Upload
aldise-dyan-rini-syarifa
View
373
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
YUNITA WULAN SARI, S.SI, M.SC
Statistika
Materi Kuliah
PendahuluanData dan PengumpulannyaNotasi dan SimbolPeringkasan DataPenyajian DataAnalisis DataPeluang/ProbabilitasVariabel Random Distribusi PeluangStatistika Inferensi
Buku Penunjang
Soejoeti, Z. (1984). Buku Materi Pokok Metode Statistik I, Universitas Terbuka, Penerbit Karunika, Jakarta.
Gunardi, A. Rakhman (2004). Metode Statistika, FMIPA UGM, Yogyakarta.
Penilaian
No Unsur Penilaian Prosentase1. Ujian Akhir …..2. Sisipan …..3. Tugas/PR /Kuis …..4. Absensi …..
Pendahuluan
Definisi Statistika:
Data
Penghasilan mingguan 40 buruh bangunan di suatu kota
(dalam ribuan rupiah):
58 72 64 65 67 92 55 51 69 7364 59 65 55 75 56 89 60 84 6874 67 55 68 74 43 67 71 72 6662 63 83 64 51 63 49 78 65 75
Data ???
Jenis Data
Berdasarkan cara memperolehnya :Data PrimerData sekunder
Skala Pengukuran :
Data
Kualita
ti
f
Data
Kuantitat
if
Notasi dan Simbol
Notasi-notasi sigma
Peringkasan Data
Peringkasan Data
Tabel distribusi frekuensiCara membuat :
Jangkauan = j = data terbesar – data terkecil
Aturan sturges = jumlah interval = k = 1 + 3,3 log n
Panjang interval = c = j/kCross Tabulation
Penghasilan mingguan 40 buruh bangunan di suatu kota
(dalam ribuan rupiah):
58 72 64 65 67 92 55 51 69 7364 59 65 55 75 56 89 60 84 6874 67 55 68 74 43 67 71 72 6662 63 83 64 51 63 49 78 65 75
Tugas :
Buatlah tabel distribusi frekuensinya !!
Penyajian Data
Diagram Batang (bar chart)Representasi grafik dari distribusi frekuensi
data diskret atau kategori.
Diagram Lingkaran (Pie chart)Representasi grafik dari distribusi frekuensi
data diskret atau kategori.
Contoh diagram batang
Contoh diagram Lingkaran
Histogram, line chart, poligon, ogive, steam and leaf plotRepresentasi grafik dari distribusi frekuensi data kontinu.
Contoh Histogram
Contoh Poligon
Contoh Ogive
Steam and leaf plot
Tugas 2:
Berdasarkan data di samping buatlah penyajian datanya agar menarik dan mudah dimengerti oleh orang lain !!
Analisis Data
Ukuran tengah / pusat dataMeanmedianModus
Ukuran dispersi / sebaran dataRentangVariansistandard deviasi
Mean
Data tidak dikelompokkan
Data dikelompokkan
1
n
ii
xx
n
1
1
k
i iik
ii
f xx
f
Median
Data tidak dikelompokkanmerupakan nilai tengah data setelah diurutkan
Data dikelompokkan
2med
med
n Fmedian L c
f
11
41 KK
n FKuartil L c
f
33
3 43 KK
n FKuartil L c
f
Modus
Data tidak dikelompokkandata dengan frekuensi terbesar
Data dikelompokkan
modmodusa
L ca b
Variansi
Data tidak dikelompokkan
Data dikelompokkan
2
1
( )
1
n
ii
x xVar
n
2
1
1
( )
1
k
i ii
k
ii
f x xVar
f
Deviasi standar
std Var
Tugas 3
Berdasarkan jawaban dari tugas 2, cari ukuran tengah dan ukuran dispersi data !!
Peluang ??Kenapa sih harus belajar tentang peluang???
Peluang
Harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi.
0 1
Mungkin ya mungkin
tidak
Tidak mungkin
Pasti
Sangat tidak
mungkin
Sangat mungki
n
Terminologi
EksperimenRuang sampelKejadian
Contoh :
Eksperimen : pelemparan sebuah mata uang sebanyak dua kali.
Hasil : sisi mata uang yang tampak.Ruang sampel : S = {GA, AG, AA, GG}.Kejadian : A = munculnya sisi angka dua
kali = {AA}
Contoh :
Eksperimen : sebuah biji kedelai ditanam.Hasil : biji kedelai tumbuhRuang sampel : S = {0,1}Kejadian : A = biji kedelai tidak tumbuh
= {0}
Contoh :
Eksperimen : Pemilihan seorang mahasiswa secara random dan dicatat IPnya
Hasil : Bilangan antara 0 sampai dengan 4Ruang sampel : S = {0 ≤ X ≤ 4 | X ∈ R}Kejadian : A = IP di atas 2
= {2 ≤ X ≤ 4 | X ∈ R} B = IP di bawah 1 = {0 ≤ X ≤ 1 | X ∈ R}
Contoh :
Eksperimen : sebuah dadu dilemparHasil :Ruang sampel :
Pendekatan peluang
( )( )
( )
n AP A
n S ( )
( )( ) lim
( )n S
n AP A
n S
Contoh peluang berdasarkan definisi klasik
Sebuah dadu dilempar sekali. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan n(S) = 6. Misal didefinisikan A : muncul mata dadu 3 dan B : muncul mata dadu bilangan prima. A = {3} dan n(A) = 1 ; B = {2, 3, 5} dan n(B) = 3 maka
( ) 1( )
( ) 6
n AP A
n S
( ) 3 1( )
( ) 6 2
n BP B
n S
Contoh : Peluang suatu peristiwa ditentukan berdasarkan frekuensi kemunculannya
Seorang ahli tanaman ingin tahu berapa peluang tanaman yang dicangkoknya akan hidup setelah pencangkokan.Peluang hidup atau mati tanaman diperoleh dari pengalaman atau catatan pencangkokan tanaman yang sama sebelumnya dengan melihat frekuensi tanaman yang hidup atau mati.
Contoh : peluang subjektif
Peluang Mega – Pro menjadi presiden dan wakil presiden RI
Peluang Tim sepak bola Indonesia mengalahkan MU.
Kerjakan !!!
Suatu stoples berisi 3 kelereng dengan warna yang berbeda, 2 berwarna merah dan 1 berwarna kuning. Kemudian dua kelereng diambil satu persatu. Berapa peluang yang terambil adalah kelereng merah semua?
Peristiwa-peristiwa baru
Gabungan dua peristiwa A dan B
Irisan dua peristiwa A dan B
Komplemen suatu peristiwa A
{ , atau }A B x S x A x B
{ , dan }A B x S x A x B
{ , }cA x S x A
Contoh :
Dalam pelemparan satu buah dadu satu kali.Misal : A={1,2} , B={4,3,5}, dan C={2,6}Tentukan :
, , , , , ,c c cA B A B A C A C B C B C
Contoh :
Y menunjukkan IPK seorang mahasiswaMisal :
Tentukan :
1,45 2,00 , 1,50 2,01 , dan 1,90A Y B Y R Y
, , ,c cA B A B R B R
Kejadian saling asing apabila dua kejadian tidak mungkin terjadi secara bersamaan
Contoh : dalam pengambilan satu kartu. Kartu bergambar hati dan kartu bergambar diamond tidak mungkin diambil bersamaan.
A B
Kejadian saling independen apabila kejadian satu tidak dipengaruhi oleh kejadian lainnya
Contoh suatu mata uang dilempar sekali, kemunculan angka tidak dipengaruhi oleh kemunculan sebelumnya.
( ) ( )P A B P A P B
Beberapa ketentuan :
0 ≤ P(A) ≤ 1P(S) = 1 (peluang dari ruang sampel)P( ) = 0 (peluang dari peristiwa yang tidak akan ∅
pernahterjadi)P(A) = 1 − P(Ac) (aturan komplemen)P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B) (aturan penjumlahan)Bila A dan B adalah kejadian yang saling asing,A ∩ B
= , maka P(A ∪ B) = P(A) + P(B)∅P(B) = P(A ∩ B) + P(Ac ∩ B)
A ∩ B dan Ac ∩ B saling asing
Contoh :
Dalam pelemparan satu buah dadu satu kali.Misal : A={1,2} , B={4,3,5}, dan C={2,6}Tentukan :
, ,
, , ,c c c
P A B P A B P A C
P A C P B P C P B C
Peluang Bersyarat
Diketahui A dan B dua peristiwa dari ruang sampel S, dan P(B) > 0, maka peluang bersyarat terjadinya A jika diketahui B telah terjadi, ditulis P(A | B), didefinisikan sebagai
P A BP A B
P B
Contoh :
Sepasang dadu dilempar bersama jika diketahui jumlah keduamata dadu yang keluar adalah 6, hitunglah peluang bahwa satu diantara dua dadu tersebut adalah mata dadu 2.B = {jumlahan mata dadu adalah 6} = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} danA = {mata dadu 2 muncul dari salah satu dadu} = {(2, 4), (4, 2)}
2
36
n A BP A B
n S
( ) 5
( ) 36
n BP B
n S
2
5P A B
Kerjakan !!!
Peluang suatu penerbangan yang telah terjadwal teratur berangkat tepat waktu adalah P(A) = 0,83; peluang sampai tepat waktu adalah P(B) = 0,82; peluang berangkat dan sampai tepat waktu adalah P(A ∩ B) = 0,78.
Peluang bahwa suatu pesawat sampai tepat waktu jika diketahui berangkat tepat waktu adalah
Peluang bahwa suatu pesawat berangkat tepat waktu jika diketahui sampai tempat waktu adalah
Variabel Random
Variabel random adalah suatu cara memberi harga angka kepada setiap elemen ruang sampel, atau suatu fungsi bernilai real yang harganya ditentukan oleh setiap elemen dalam ruang sampel
Contoh:Eksperimen melemparkan uang logam tiga kali,
S = {BBB, BBM, BMB, MBB, BMM, MBM, MMB, MMM}. Didefinisikan variabel random X : banyak M (muka) muncul dalam pelemparan uang logam tiga kali.
Jenis Variabel Random
Contoh variabel random diskrit :
Eksperimen : sebuah mata uang dilempar 3 kali
Ruang sampel diskrit : S = {AAA, AAG, …., GGG}
Variabel random diskrit : X menyatakan banyak G yang muncul dalam tiga kali pelemparan mata uang.
X = {0,1,2,3}X(0)=1, X(1)=3, X(2)=3, X(3)=1
Contoh Variabel Random Kontinu
Pencatatan IPK mahasiswaMisal : Variabel random kontinu X menyatakan
IPK lulusan FTP, maka
2,75 4X x R x
Distribusi Peluang
Model matematik yang menghubungkan semua nilai variabel random dengan peluang terjadinya nilai tersebut dalam ruang sampel. Distribusi peluangdapat direpresentasikan dalam bentuk fungsi, tabel, atau grafik. Distribusi peluang dapat dianggap sebagaifrekuensi relatif jangka panjang.
Distribusi Peluang Variabel Random Diskrit
Fungsi f(x) disebut sebagai fungsi peluang dari variabel random diskret X, jika untuk setiap harga x yang mungkin :
1. f(x) ≥ 02.
Peluang untuk nilai x tertentu:P(X = x) = f(x)
Distribusi kumulatif F(x)F(x) = P(X ≤ x) =
t x
f t
( ) 1x
f x
Contoh :
Distribusi banyaknya sisi muka yang muncul dalam pelemparan mata uang logam tiga kali.
Contoh :
Eksperimen : melemparkan mata uang 2 kali :Variabel random X = jumlah gambar yang
muncul
A
A
A
A
G
G
G G
Nilai X Peluang
0 1/4 = 0.25
1 2/4 = 0.50
2 1/4 = 0.25
Distribusi Peluang
Kerjakan !!!
Tentukan peluang banyaknya sisi muka yang muncul dalam pelemparan mata uang logam tiga kali adalah kurang dari 2 !
Distribusi Peluang Variabel random Kontinu
Fungsi f(x) disebut sebagai fungsi densitas peluang dari variabel random kontinu X, jika untuk setiap harga x yang mungkin :
1. f(x) ≥ 02.
Nilai peluang untuk interval tertentu
Distribusi kumulatif F(x)
( ) 1f x dx
( )b
a
P a X b f x dx
( ) ( )x
F x P X x f t dt
Contoh :
Fungsi densitas suatu variabel random X
Harga Harapan
Harga harapan (expected value, ekspektasi)
Sifat-sifat harga harapan :1. E(aX+b) = aE(X) + b , a dan b adalah konstan2. E(X+Y) = E(X) + E(Y) , X dan Y adalah variabel random
Variansi
Sifat-sifat variansi :1.Var(aX + b) = a2Var(X) , a dan b adalah
konstan2.Standard deviasi (X) =
2
22
( ) ( )Var X E X E X
E X E X
( )Var X
Contoh :
Pada contoh sebelumnya, harga harapan dan variansi pada pelemparan mata uang 2 kali adalah :
E(X) = (0 x 0.25) + (1 x 0.50) + (2 x 0.25) = 1
E(X2) = (02 x 0.25) + (12 x 0.50) + (22 x 0.25) = 1.50Var(X) = 1.50 – 12 = 0.50
Distribusi Peluang Variabel Random
Distribusi Binomial
Merupakan distribusi peluang variabel random diskrit
Syarat :1. percobaan/eksperimen terdiri dari n usaha yang berulang2. tiap usaha memberikan dua hasil yang mungkin, yakni sukses dan gagal3. x menyatakan banyaknya sukses dalam n usaha tersebut4. peluang sukses dalam tiap usaha dinyatakan dengan p, dan tidak berubah sampai usaha ke n. peluang gagal dinyatakan dengan q=1-p
Distribusi peluang binomial dinyatakan dengan
E(X) = npVar(X) = npq
( ) ( ; ; ) , 0,1,2,3,.....,
!
!( )!
x n x
x n x
nP x f x n p p q x n
x
np q
x n x
Contoh :
Suatu uang logam yang baik (seimbang) dilempar 4 kali. X adalah banyaknya muka muncul dalam 4 kali pelemparan tersebut. Pelemparan dipandang sebagai usaha, dan sukses adalah muka muncul. X merupakan variabel random binomial dengan n = 4 dan p = 1/2 dengan distribusi peluang:
44( ) ( ;4;0.5) 0.5 0.5 , 0,1,2,3,4x xP x f x x
x
Contoh (Lanjutan)
Hitung peluang muka muncul sebanyak 2 kaliHitung peluang muka muncul paling sedikit 2
kali
Contoh
Seorang petani jeruk mengeluh karena 60% dari panen jeruknya terserang sejenis virus. Cari peluangnya bahwa diantara 4 buah jeruk yang diperiksa dari hasil panen itu :a.Semua terserang virus tersebutb.Antara 1 sampai 3 yang terserang virus tersebut
Distribusi Poisson
Variabel random Poisson X adalah banyaknya sukses dalam suatu percobaan poisson.
Distribusi peluangnya :
Mean ,
Variansi,
, , 0,1,2,...!
xef x x
x
E X
Var X
Contoh
Suatu printer membuat kesalahan secara random pada kertas cetak, rata-rata 2 kesalahan per halaman. Hitunglah peluang bahwa dalam satu halaman yang dicetak, terdapat satu kesalahan cetak.
Berdasarkan contoh diatas, diketahui bahwa variabel random X adalah banyaknya kesalahan cetak pada suatu halaman.Rata-rata X terjadi dalam 1 halaman Peluang satu salah cetak dalam 1 halaman :
2
2 12
11!
eP x
Pendekatan distribusi poisson untuk dist.binomial
Misalkan X variabel random binomial dengan distribusi peluang . Bila nilai n besar dengan p kecil, maka distribusi binomial dapat didekati menggunakan distribusi poisson dengan .
; ;f x n p
np
Contoh
Peluang seseorang meninggal karena suatu infeksi saluran pernapasan adalah 0,002. Carilah peluang bila 2000 orang yang terserang infeksi tersebut, tepat 5 orang yang meninggal ?
Didefinisikan variabel random X merupakan banyaknya orang yang meninggal karena infeksi pernapasan, maka X berdistribusi binomial dengan n=2000 dan p=0,002. Namun disini karena n besar dan p sangat kecil, maka dapat digunakan pendekatan poisson untuk binomial dengan 2000*0,002 4
Distribusi Normal
Merupakan distribusi peluang variabel random kontinu
Distribusi Normal dengan mean E(X) = μ dan variansi Var(X) = σ2 mempunyai fungsi peluang,
dimana
Kurva Normal
Sifat-sifat : simetris terhadap sumbu vertikal μ memotong sumbu mendatar (sumbu x) secara asimtotis, harga modus (maksimum) dan median terletak pada x = μ, Luas dibawah kurva normal adalah 1
Luasan di bawah kurva normal
Untuk mempermudahnya dapat dihitung dengan menggunakan tabel Normal Standar dengan terlebih dahulu mentransformasikan skala
X ∼ N(μ, σ2) ke Z ∼ N(0, 1),
Distribusi normal standard adalah distribusi normal dengan nilai mean 0 dan variansi 1.
= z
Contoh
Distribusi Normal dengan mean μ = 60 dan deviasi standar σ = 12, hitunglah luas kurva Normal mulai ekor paling kiri (−∞) sampai 76
Contoh (Lanjutan)
Transformasi X ke Z76 60
1.3312
Z
Jadi, luas L atau P(X<73) = 0.5 + 0.4082 = 0.9082
Statistika Inferensi
Permasalahan dalam Peluang :
Dari populasi, berapa peluang terambil bola merah?
Statistika Inferensi
Permasalahan dalam Inferensi :
Dari sampel, bagaimana karakteristik populasi berdasarkan sampel?
Terminologi
Statistika Inferensi :Pengambilan kesimpulan tentang parameter-parameter populasi berdasarkan analisis pada sampel yang diperoleh.
Uji Hipotesis
Hipotesis nol (H0).Hipotesis yang akan diuji oleh suatu prosedur statistik, biasanya berupa suatu pernyataan tidak adanya perbedaan atau tidak adanya hubungan.
Hipotesis alternatif (H1). Hipotesis yang merupakan lawan dari H0,
biasanya berupa pernyataan tentang adanya perbedaan atau adanya hubungan.
Tipe Kesalahan dalam uji Hipotesis
α : peluang terjadinya kesalahan tipe Iβ : peluang terjadinya kesalahan tipe II
Tahap-tahap uji hipotesis
Mean 1 Populasi Normal
Estimasi :Estimasi titik :
Estimasi Interval :Dengan tingkat kepercayaan (1-α)% interval konfidensi untuk mean =
1
n
ii
XX
n
2 2X Z X Z
n n
Uji Hipotesis
Estimasi dan Uji Hipotesis proporsi 1 populasi
Contoh :
Suatu perusahaan alat listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi hampir normal dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Ujilah hipotesis bahwa μ = 800 jam bila sampel acak 30 bola lampu mempunyai rata-rata umur 788 jam. Gunakan tingkat signifikansi 0,04 .
Suatu sample acak 8 rokok merk tertentu mempunyai rata-rata kadar nikotin 4,2 mg dan simpangan baku 1,4 mg. Apakah ini sesuai dengan pernyataan pabriknya bahwa rata-rata kadar nikotin tidak melebihi 3,5 mg?
Diduga paling sedikit 60% rumah tangga di suatu daerah memiliki pesawat televisi. Kesimpulan apakah yang akan anda ambil bila hanya 110 dalam sampel 200 keluarga yang memiliki televisi? Gunakan tingkat signifikansi 0,04.
Inferensi Variansi 2 Populasi
Estimasi titik perbandingan variansi 2 populasi
Estimasi interval perbandingan variansi 2 populasiDengan tingkat kepercayaan (1-α)% interval konfidensi untuk perbandingan variansi 2 populasi =
2 21 12 22 2
s
s
2 2 2 21 2 1 1
2 2;( 2 1);( 1 1)
2 2 2;( 1 1);( 2 1)2
n nn n
s s sF
F s
Uji hipotesis perbandingan variansi 2 populasi:
Parameter Statistik
Hipotesis alternatif
Daerah kritik
Perbandingan variansi 2 populasi
2122
2122
sF
s
2 21 1 2:H
;( 1 1);( 2 1)2
;( 2 1);( 1 1)2
1n n
n n
F F atau FF
2 21 1 2:H
2 21 1 2:H ;( 1 1);( 2 1)n nF F
;( 2 1);( 1 1)
1
n n
FF
Contoh :
Suatu penelitian diadakan untuk membandingkan lamanya waktu yang diperlukan pria dan wanita merakit sejenis rakitan. Pengalaman lalu menunjukkan bahwa distribusi waktu untuk pria dan wanita hampir normal tapi variansi waktu untuk wanita lebih kecil daripada untuk pria. Suatu sampel acak waktu 11 pria dan 14 wanita menghasilakan data sebagai berikut :
Ujilah hipotesis bahwa ! Gunakan tingkat signifikansi 0,01
Pria wanita
n1 = 11S1 = 6,1
n2 = 14S2 = 5,3
2 21 2
Selisih Mean 2 Populasi
Lanjutan Selisih Mean 2 Populasi
Contoh :
Suatu penelitian diadakan untuk menaksir perbedaan gaji profesor universitas negeri dan swasta di negara bagian Virginia, USA. Sampel acak 100 profesor universitas swasta mempunyai gaji rata-rata $32.000 dalam 9 bulan dengan simpangan baku $1.300. Sampel acak 200 profesor universitas negeri menunjukkan rata-rata gaji $32.900 dengan simpangan baku $1.400. Ujilah hipotesis bahwa selisih rata-rata gaji profesor universitas negeri dan universitas swasta tidak lebih dari $500. Gunakan tingkat signifikansi 0,01
Mean 2 populasi berpasangan
1 2 3
1 2 3
, , ,....,
, , ,....,
, 1, 2,...,
i n
i n
i i i
X X X X X
Y Y Y Y Y
D X Y i n
Contoh :
Dari penelitian Comparison of Sorbid Acid in Country Ham Before and After Storage yang dilakukan di Virginia Polytechnic Institute and State University di tahun 1983, diperoleh data berikut yang menyangkut perbandingan sisa asam sorbat dinyatakan dalam bagian per sejuta, dalam daging Ham segera setelah dicelupkan dalam larutan sorbat dan setelah disimpan selama 60 hari dicatat disamping.Apakah terdapat kenyataan yang cukup pada tingkat signifikansi 0,05 untuk menyatakan bahwa lamanya penyimpanan mempengaruhi konsentrasi sisa asam sorbat?
Potongan
Sisa asam sorbat dalam ham
Sebelum disimpan
Setelah disimpan
12345678
2242704004445906601400680
11696239329437597689576