STATISTIKA Srednje vrednosti - studentski.netstudentski.net/get/ulj_fup_up1_oss_sno_srednje_vrednosti_01.pdf · 19.5.2006 prof.dr. Srečko Devjak 1 STATISTIKA Srednje vrednosti Nosilec:

19.5.2006 prof.dr. Srečko Devjak 1

STATISTIKA Srednjevrednosti

Nosilec:Prof.dr.Srečko Devjak

Sodelavci: Dr. Žiga AndoljšekJanez Vogrinc

prof.dr. Srečko Devjak 219.5.2006

SREDNJE VREDNOSTI - POMEN

Srednja vrednost je predstavnik“PARAMETER” populacije, in na ta načinomogoča primerjavo med posameznimipopulacijami

srednja vrednost je izraz centralnetendence, srednje vrednosti pokažejo lastnoststatistične populacije in njene porazdelitve

Srednje vrednosti delimo na:

računane srednje vrednostisrednje vrednosti določene z lego


Računane srednje vrednosti

aritmetična sredina geometrijska sredinaharmonična sredina

Srednje vrednosti določene z lego

mediana ali središčna vrednostmodus ali gostiščna vrednost


ARITMETIČNA SREDINA

Uporabljamo jo za izračunavanjearitmetične sredine iz posamičnihpodatkov.

IZ POSAMIČNIH PODATKOV ali NAVADNA ARITMETIČNA SREDINA

N

y

Ny...yyY

N

ii

N∑==

+++= 121


Kadar so podatki v obliki frekvenčneporazdelitve.Kadar vrednosti pojava na delih populacije nimajo enakega vpliva (niso enako pomembne) za vrednost pojava na celotni populaciji

IZ FREKVENČNE PORAZDELITVE ali TEHTENA(PONDERIRANA) ARITMETIČNA SREDINA

∑

∑

=

== k

jj

k

jjj

f

y*fY

1

1


Primer: Telesna teža študentov ........

(tehtana aritmetična sredina)

∑∑=

j

jj

fy*f

Y

Odgovor: Ob predpostavki, da bi imeli vsi enako vrednost......

60Skupaj

od 70 do pod 90

od 50 do pod 70

od 30 do pod 50

fj*yjyjfjTeža


Aritmetična sredina iz aritmetičnihsredin

Tabela 16: Povprečna ocena treh predmetov

0,72952065*

===

∑∑

j

jj

f

YfY

Povprečne ocene predmetov (yj)

Število izpitov (fj)

Agregat (fj*yj)

Ppredmet 1 6,5 200 1300Predmet 2 7,5 60 450Predmet 3 9 35 315

295 2065


Povprečni delež (struktura)

Delež:

i0

jiji Y

YD =

∑∑

∑∑

==

ii0

ijii0

ii0

iji

j Y

DY

Y

YD

Primer:

Oddelek A ima 60% deklet v oddelku B je 10% deklet. Določite povprečen delež deklet, če je v A 400 študentov in v B 100 študentov.


Aritmetična sredina iz statističnihkoeficientov

oo

j

jj X

YK = Kj –koeficient področja j populacije

j=1,2,...,k

∑

∑

=

=== k

jj

k

jj

X

Y

XYK

1

1

Povprečni koeficient na celotni populaciji:

∑∑

∑

∑==

=

=

j

jjk

jj

k

jj

X

XK

X

Y

K*

1

1

Računanje povprečnega koeficienta (na celotni populaciji), če so poznani Kj in Xj


Primer: Povprečni proračunski prihodki na prebivalca treh občin

Tabela 17: Proračunski prihodki na prebivalca v treh mestnih občinah za leto 2000(Vir: URL: http://www.fu.uni-lj.si/sib/vhod.htm)

Prihodki na prebivalca (v tisoč sit)

Prebivalci (v tisoč)

j Kj Xj Kj*Xj1 VELENJE 90,7 34,1 3.090,22 SLOVENJ GRADEC 126,7 17,0 2.147,83 PTUJ 105,6 24,1 2.549,4

75,2 7.787,4Povprečni prihodki na 103,6

6,1033,75

4,787.7*===

∑∑

j

jj

X

KXK

Odgovor: Povprečni proračunski prihodki na prebivalca za leto 2000 so v obravnavanih občinah znašali 103,6 tisoč sit.


Standardizirana povprečna relativna števila

Tabela 18: Povprečna plača po izobrazbeni strukturi v podjetjih A in B

Povprečne plače Struktura zaposlenih

Izobrazba j Yj/A Yj/B Dj/A Dj/BVisoka 1 200 220 0,2 0,1Višja 2 180 180 0,6 0,5Srednja 3 120 100 0,4 0,4

Povprečje podjetje A struktura A

Povprečje podjetje A struktura B

Povprečje podjetje B struktura A

Povprečje podjetje B struktura B

Izobrazba j YA/A YA/B YB/A YB/BVisoka 1 40 20 44 22Višja 2 108 90 108 90Srednja 3 24 48 20 40Povprečje 172 158 172 152

Povprečne plače za podjetja po upoštevanju izobrazbenih strukturah


AGREGATNI INDEKSI

Agregatni ali grupni indeksi za merjenje sprememb zaradi skupnega vpliva spreminjanja večjega številapojavov med dvema: •razdobjema, •krajema, •področjema ipd.

Primerjamo agregate pojavov z različnim opredeljevanjem osnov ali baz.

Agregat vsota vrednosti spremenljivke:

Y = y1+y2+...+yN

Ali pri frekvenčni porazdelitvi – ponderji ali uteži:

∑=

=k

jjj yfY

1

*


Agregatni indeks količin in agregatni indeks cen –najpogosteje uporabljena

Agregat pri obeh pomeni vrednost dobrin pri določenih cenah in količinah dobrin.

Agregatni indeks količin primerja vrednosti agregatov pri istih cenah za različni količinah (strukturi) dobrin/med dvema primeroma.

Agregatni indeks cen primerja vrednosti agregatov pri isti količini (strukturi) dobrin za različne cene dobrin -med dvema primeroma.

Primeri uporabe:- življenski stroški in inflacija - storilnost ali produktivnost- ekonomičnost

.

OPREDELITVE AGREGATNIH INDEKSOV


Agregatni indeksi - OBRAZCI

Agregatni indeks cen računamo po obrazcu:

∑

∑

=

== N

iii

N

iiji

p

qp

qp

I

10

1*100

N- število upoštevanih dobrin,Ip agregatni indeks cenpji - cena dobrine i (i=1,2,...,N) v

obdobju j,p0i - cena dobrine i (i=1,2,...,N) v

osnovnem obdobju ,qi - količina dobrine i,

N- število upoštevanih vrst dobrin,Iq agregatni indeks količinqji - količina dobrine i (i=1,2,...,N) v obdobju j,q0i - količina dobrine i (i=1,2,...,N) vosnovnem obdobju ,pi - cena dobrine i,

∑

∑

=

== N

iii

N

ijii

q

qp

qp

I

10

1*100

Agregatni indeks količin računamo po obrazcu:


Indeks rasti življenskih stroškov

2,1063745039765100100

197

198

97/98, ===

∑

∑

=

=N

iii

N

iii

p

qp

qp

I

Primer : Indeks rasti življenjskih stroškov Vir: SL 2001 str278Življenjska potrebščina

EM qi pi97

(v sit)

p i98

(v sit)

pi97*qi pi98*qi

Kruh beli kg 40 185 213 7400 8520Jabolka kg 20 132 155 2640 3100Meso- goveje kg 25 1010 1049 25250 26225

Jajca kos 80 27 24 2160 1920Skupaj 37450 39765


Pri Laspeyresovem agregatnem indeksu vzamemo za primerjalno osnovno obdobje.

oo

ojp

qp

qpL

*

**100∑∑=

Pri Paaschejevem agregatnem indeksu vzamemo za primerjalno tekoče obdobje.

jo

jjp

q*p

q*p*100P∑∑=

Geometrijsko sredino med obema agregatnima indeksomaimenujemo Ficherjev idealni agregatni indeks

ppp P*LF =

Laspeyresovi in Paaschejevi agregatni indeksi cen


Primer: Merjenje indeksa cen in storilnosti

V spodnji tabeli so podatki za ugotavljanje indeksa cen in obsega dejavnosti krojaške delavnice in čistilnice

Storitvepi/97

(v tisoč sit)pi/98

(v tisoč sit) pi/97 qi/98

Moške obleke 22,14 24 50 45Čiščenje moške obleke 1,46 1,57 90 90Šivanje krila 5,07 5,41 60 80

Tabela 5.2: Cene in obseg storitev Vir:SL2001, str.282

Storitve pi/97*qi/97 pi/98*qi/97 pi/97*qi/98 pi/98*qi/98Moške obleke 1107,0 1200,0 996,3 1080,0Čiščenje moške obleke 131,4 141,3 131,4 141,3Šivanje krila 304,2 324,6 405,6 432,8SKUPAJ 1542,6 1665,9 1533,3 1654,1

99,1076,15429,1665==pL 88,107

3,15331,1654==pP

94,10788,107*99,107* === ppp PLF

4,996,15423,1533*100 ==qI

Spreminjanje cen:

Spreminjanje obsega dejavnosti/storilnost:


HARMONIHARMONIČČNA SREDINANA SREDINA

Harmonična sredina Hy je recipročna vrednost povprečja iz reciprokov vrednosti yi .

UPORABA:računanje povprečij pri asimetričnih porazdelitvah (če se reciproki porazdeljujejo simetrično)

računanje povprečij koeficientov, kadar so poleg koeficientov poznani vrednosti števcev teh koeficientov.


RAČUNANJE HARMONIČNE SREDINE

∑=

= N

i j

y

y

NH

1

1

∑

∑

=

== k

j j

j

k

jj

y

yf

f

H

1

1

POSAMIČNE VREDNOSTI

FREKVENČNA PORAZDELITEV

NAVADNA HARMONIČNA SREDINA

TEHTANA HARMONIČNA SREDEINA


HARMONIČNA SREDINA ZA STATISTIČNEKOEFICIENTE

∑

∑

=

== k

j j

j

k

jj

KY

Y

K

1

1

∑

∑

=

==++++++

=

=

k

1jj

k

1jj

k21

k21

X

Y

X...XXY...YYK

XjYjKj

j

jj K

YX =Poznamo: Kj, Yj

IZHODIŠČE:

Povprečni koeficient:


Primer:

Tabela 17: Proračunski prihodki na prebivalca za dve mestni občini - leto 2002(Vir: URL: http://www.fu.uni-lj.si/sib/vhod.htm)

6,10206,51

5238

KY

Y

X

YK k

1j j

j

k

1jj

k

1jj

k

1jj

====

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

51,065238SKUPAJ

16,952148126,70 SLOVENJ GRADEC2

34,11309090,60 VELENJE1

Xj=Yj/KjYjKjj

Proračunski prihodki (v 109 sit)

Prihodki na prebivalca (tisoč)


GEOMETRIJSKA SREDINAGEOMETRIJSKA SREDINA

Geometrijsko sredino uporabljamo za računanje povprečja, kadar opazujemo relativne odnose med vrednostmi spremenljivk.

Najpogosteje jo uporabljamo pri računanju povprečij dinamikepojava:verižnih indeksih, koeficientih dinamike, stopnja rasti.


Računanje geometrijske sredine

Splošni obrazec:

N NKKKK *....** 21=

N Ny yyyG *....** 21=

N NVVVV *....** 21=

100*100100 −=−= KVSPovprečna stopnja rasti:

Povprečni verižni indeks:

Povprečni korficientdinamike:


GeometrijskaGeometrijska sredinasredina --PrimerPrimer

Primer: PovprePrimer: Povpreččna stopnja rasti vrednosti na stopnja rasti vrednosti bruto investicij (stalne cene) v Sloveniji za bruto investicij (stalne cene) v Sloveniji za obdobje 1997obdobje 1997--20002000 (Vir.SL02,str.470)(Vir.SL02,str.470)

103,13429,101.1*19.1*12.1 33 ===K

Yj Vj KjLeto 109 sit Preizkus

1997 595 - - 595,00

1998 669 112,4 1,12 656,441999 795 118,8 1,19 724,222000 799 100,5 1,01 799,00

(Vir: SL2001, str.470)

Vrednost bruto investicij se je v opazovanem obdobju vsako leto v povprečju povečala za 10,3 %.


SREDNJE VREDNOSTI DOLOČENE Z LEGO

modus ali gostiščna vrednostmediana ali središčna vrednost


MEDIANA

Mediana “Me” je srednja vrednost, ki leži na polovici statistične množice Mediana je drugi kvartil: in mu ustreza kvantilni rang P=0,5

0

15,00,05,0 *

fFR

dyyMe s−−

+==


5,695,0138*5,05,0*5,0 =+=+= NPR

Tabela: Frekvenčna porazdelitev občin manjših od 10 tisočprebivalcev (Vir: URL: http://www.fu.uni-lj.si/sib/vhod.htm)

Primer:Mediana za slovenske občine manjše od 10 tisoč prebivalcev

138SKUPAJ138118000 do pod 1000127206000 do pod 8000107364000 do pod 6000

71482000 do pod 400023230 do pod 2000

FjfjRazred

393848

235,69*200020005,0 ≅−

+== yMe


MODUS

Modus je najpogostejša vrednost v opazovani populaciji.

V frekvenčnih porazdelitvah najdemo njegovo vrednost v razredu z največjofrekvenco.

Primer: Izpitne ocene


Modus- frekvenčna porazdelitev

Modus iščemo v razredu z največjo frekvencoVrednost modusa se pomakne proti sosednjemu razredu z večjo frekvencoObrazec:

110

100 2 +−

−

−−−

+=fff

ff*dyM s,o


Primer: Frekvenčna porazdelitev slovenskih občin ki ne presegajo 10 tisoč prebivalcev

Tabela: Frekvenčna porazdelitev občin manjših od 10 tisoč prebivalcev (Vir: URL: http://www.fu.uni-lj.si/sib/vhod.htm)

Razred fj0 do pod 2000 232000 do pod 4000 484000 do pod 6000 366000 do pod 8000 208000 do pod 1000 11SKUPAJ 138

110

10,0 2

*+−

−−−

−+=

fffffdyM so

3351362348*2

2348*20002000 ≅−−

−+=oM


Tabela: Frekvenčna porazdelitev občin manjših od 10 tisočprebivalcev (Vir: URL: http://www.fu.uni-lj.si/sib/vhod.htm)

Primer:Aritmetična sredina za slovenske občine -manjše od 10 tisoč prebivalcev

4246138

000.586≅=Y

3351≅oM

Razred fj yj fj*yj0 do pod 2000 23 1000 230002000 do pod 4000 48 3000 1440004000 do pod 6000 36 5000 1800006000 do pod 8000 20 7000 1400008000 do pod 1000 11 9000 99000SKUPAJ 138 586000 y

3938≅Me


Grafični prikaz

Frekvenčna porazdelitev slovenskih občin po številu prebivalcev za občine ki ne presegajo

10tisoč prebivalcev

0

10

20

30

40

50

60

2000 4000 6000 8000 10000 12000

Prebivalci

Štev

ilo o

bčin

(fj)

YMeMo ≤≤

Documents

STATISTIKA Srednje vrednosti - studentski.netstudentski.net/get/ulj_fup_up1_oss_sno_srednje_vrednosti_01.pdf · 19.5.2006 prof.dr. Srečko Devjak 1 STATISTIKA Srednje vrednosti Nosilec: