Upload
agreani-tangkelangi
View
50
Download
19
Embed Size (px)
DESCRIPTION
konsep peubah acak
Citation preview
Konsep Peubah Acak & DistribusiPeluang Diskrit
Sri Astuti Thamrin, Ph.D
SAThamrin MetStat 2014 1
Apa itu peubah acak (p.a)?
• Nilai-nilai peubah yang muncul menurut peluangnya masing-masing• Fungsi yang memetakan anggota-anggota ruang sampel pada himpunan
bilangan nyata.• Pemaknaan numerik atas kejadian-kejadian dalam ruang sampel.Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah dalam statistika untuk
mengkuantifikasikan kejadian-kejadian alam. Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu memetakan setiap kejadian
dengan tepat ke satu bilangan riil.
Sebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuah dadu bersisi enam yang seimbang. Ruang kejadiannya dapat disenaraikan sebagai berikut:
R = {S1,S2,S3,S4,S5,S6} Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah: X = munculnya sisi dadu yang bermata genap
= {0, 1}
Peubah acak X pada pelemparan koin, X={A,G}
SAThamrin MetStat 2014 2
Sebaran Peubah Acak
• Nilai peluang p.a yang besarnnya bersesuaiandengan kejadian yang menghasilkannya.
• Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantung dari sebaran peluang kejadiannya.
SAThamrin MetStat 2014 3
No X P(X=x)
1 0 1/8
2 1 3/8
3 2 3/8
4 3 10
1/5
2/5
3/5
4/5
1
1 1/5
1 2 3 4
P(X
=x)
X
Sebaran Peubah Acak Pemunculan Angka TigaLemparan Koin
Fungsi Peluang
• Peubah pengukuran: peubah yang dihasilkanmelalui proses pengukuran denganmenggunakan alat ukur tertentumenghasilkan p.a kontinu.
Misal: P(X=x)=0
• Peluang y=f(x) : sebaran peluang peubahpengukuran, yang secara visual ditampilkandalm bentuk kurva sebaran.
SAThamrin MetStat 2014 4
100 200 300 400
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Sebaran Fungsi Peluang
SAThamrin MetStat 2014 5
Sifat-sifat fungsi peluang
1. Jumlah nilai fungsi selang peubah tertentu
sekurang-kurangnya 0 dan sebesar-besarnya 1;
2. Jumlah nilai fungsi seluruh wilayah X adalah 1;
3. Jumlah nilai fungsi seluruh wilayah diluar X adalah0;
SAThamrin MetStat 2014 6
Nilai harapan & Ragam peubah acak
• Nilai harapan p.a : pusat peubah acak atau nilai tengahpopulasi, lambangnya μ
• Lambang nilai harapan peubah acak X; E(X): • Nilai harapan peubah acak diskrit X,
Jumlah hasil kali nilai peubah acak dengan masing-masingpeluangnya
• Nilai harapan peubah acak kontinu X,
Jumlah hasil kali x dengan f(x)
SAThamrin MetStat 2014 7
• Nilai harapan kuadrat simpangan baku diskrit
• Nilai harapan kuadrat simpangan baku kontinu
• Nilai kuadrat simpangan peubah acak; ragampeubah acak: persebaran nilai-nilai peubah acakdari pusat peubah acak, μ, dilambangkan dengan
σ2 = Var(X)= E(X-E(X))2 = E(X2) – (E(X))2
Tunjukkan!
SAThamrin MetStat 2014 8
Sifat-sifat dari ragam
Jika c konstanta maka V(c ) = 0
• Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka Var(cX) = c^2 Var(X)
• Jika X dan Y p.a. Maka:
Var(X±Y) = Var(X) + Var(Y) ± 2 Cov(X,Y)
Dimana: Cov(X,Y) = E(X-E(X))E(Y-E(Y)), Jika X dan Y saling bebas maka Cov(X,Y) = 0
SAThamrin MetStat 2014 9
Sifat-sifat nilai harapan:
• Jika c konstanta maka E(c ) = c
• Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka E(cX) = c E(X)
• Jika X dan Y peubah acak maka
E(X±Y) = E(X) ± E(Y)
SAThamrin MetStat 2014 10
Contoh 1
• Jika diketahui distribusi peluang dari peubah acak X seperti tabel disamping
• Dengan demikian nilai harapan p.a X adalah:
E(X) = 0+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6= 15/6
E(3X) = 3 E(X) = 45/6
SAThamrin MetStat 2014 11
Nilai Peubah Acak X
X 0 1 2 3 4 5
P(X=xi) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Xi p(xi) 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6
Ragam Peubah Acak
• Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut:
• V(X) = E(X-E(X))2
• = E(X2) - E2(X) tunjukkan !
SAThamrin MetStat 2014 12
Beberapa Sebaran Peluang Populasi
Sebaran Peluang Diskret • Merupakan sebaran peluang bagi peubah acak
yang nilai-nilainya diperoleh dengan cara mencacah (counting)
Beberapa sebaran peluang diskret, antara lain: SeragamBernoulliBinomialHipergeometrikPoisson
SAThamrin MetStat 2014 13
Sebaran peluang kontinu
• Merupakan sebaran peluang bagi peubah acak yang nilai-nilainya diperoleh dengan menggunakan alat ukur
Beberapa sebaran p.a kontinu antara lain:
Normal
Weibull
Gamma
Beta
SAThamrin MetStat 2014 14
Sebaran Peluang Diskrit
Sebaran Bernoulli
• Kejadian yang diamati merupakan kejadian biner yaitu sukses atau gagal
• Peubah acaknya (X) bernilai 1 jika kejadian sukses dan 0 jika kejadian gagal
• Misal, p=p(sukses) dan q=p(gagal) maka fungsi peluang Bernoulli dapat dituliskan sebagai:
P(x,p)=px q(1-x) , x=0,1
SAThamrin MetStat 2014 15
Sebaran Seragam
• P.a yang masing-masing nilainya berpeluang samauntuk muncul.
• Sebaran seragam bagi X dengan ukuran populasiukuran N:
• Fungsi peluang seragam
SAThamrin MetStat 2014 16
Contoh 2
Pada pelemparan dadu seimbang, peluangmunculnya angka kurang dari 4:
P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=3(1/6)=1/2
SAThamrin MetStat 2014 17
Sebaran Binom(ial)
Ciri percobaan Binomial
• Terdiri dari n kejadian (Bernoulli) yg saling bebas
• Setiap ulangan, hasilnya dpt digolongkan Sukses atau Gagal. P(S)=p dan P(G)=q=1-p
• Peubah acak Binomial merupakan jumlah dari kejadian sukses, X=0,1,2,….,n
• Bila tindakan binom diulang n kali, peluangsukses dari setiap ulangan tetap dan antarulangan bebas satu sama lain, maka ‘banyaknyasukses’ diantara n ulangan merupakan peuahacak binomial.
SAThamrin MetStat 2014 18
• Fungsi sebaran peluang Binomial :
P(X=x)=b(x,n,p)=C(n,x)pxq(n-x), x=0,1,2,…,n
Dimana: C(n,x) = n!/x!(n-x)!
• Nilai Tengah p.a. binom: E(X)=μ=np
• Ragam p.a. binom: = npq
SAThamrin MetStat 2014 19
Misal peluang sukses; p, dan peluang gagal
(1-p)
Banyak kejadian x sukses:
Peluang masing-masing kejadian
Berasal dari x sukses dan (n-x) gagal yang saling bebas.
Sebaran peluang p.a binomial
SAThamrin MetStat 2014 20
Contoh 3
Apabila dalam suatu populasi mahasiswa diketahuiproporsi yang mengenakan kacamata adalah 0,2. Dari populasi tersebut ditarik sampel acak sebanyaksepuluh mahasiswa, maka peluang:
a. Sedikitnya ada empat orang dari sepuluh yang terpilih tersebut memakai kacamata:
b. Tak seorangpun yang memakai kacamata:
SAThamrin MetStat 2014 21
Contoh 4
Peluang turun hujan per hari diketahui p=0,6. Jika pengamatan dilakukan dalam satu minggu, hitunglah:
a. Berapa peluang tidak turun hujan dalam satu minggu?
b. Berapa peluang paling sedikit turun hujan satu hari dalam satu minggu?
SAThamrin MetStat 2014 22
Sebaran Hipergeometrik
Ciri percobaan Hipergeometrik adalah:
(1) Suatu contoh acak berukuran n diambil dari populasi yang berukuran N
(2) k dari N benda diklasifikasikan sebagai ‘sukses’ dan (N-k) benda diklasifikasikan ‘gagal’
SAThamrin MetStat 2014 23
Sebaran peluang p.a. Hipergeometrik X yang menyatakan banyaknya ‘sukses’ dalam contoh acak berukuran n, adalah :
SAThamrin MetStat 2014 24
Rataan & variansi distribusi hipergeometrikh(x;N,n,k)
Contoh 5Sebuah panitia yang terdiri atas 5 orang diambil secara acak dari 3 perempuan dan 5 laki-laki. Carilah sebaran peluang bagi banyaknya perempuan dalam panitia itu.
Mis.:p.a. X=banyaknya perempuan dalam panitia X 0 1 2 3
P(x) 1/56 15/56 30/56 10/56 E(X)=μ=15/8 dan σ2 = 225/448
Contoh 6. Diduga 4000 diantara 10000 pemilih tidak menyetujui pajak penjualan yang baru. Bila 15 pemilih diambil secara acak dan ditanyai pendapatnya, berapa peluang bahwa sebanyak-banyaknya 13 orang menyetujui pajak yang baru tersebut?
Note: Jika N>>>n, Hipergeometrik dpt didekati dgn binom; dimana P=k/N dan q= 1 – k/N
SAThamrin MetStat 2014 25
Sebaran Poisson
• Kejadian binom yang diamati pada selang waktu atauluasan tertentu, maka banyaknya sukses pada selangwaktu atau luasan tersebut menyebar menurutsebaran Poisson.
• Bila rataan banyaknya sukses diketahui, μ, makasebaran poisson yang menyatakan peluangdiperolehnya sukses sebanyak x:
SAThamrin MetStat 2014 26
Contoh 6
Apabila banyaknya kecelakaan pada suatuperempatan jalan diketahui bersebaran Poisson dengan rataan dua kali per tahun, maka:
a. Peluang tidak terjadi satupun kecelakaan padaperempatan tersebut pada tahun tertentu:
b. Peluang ada empat kecelakaan atau lebih padatahun tertentu:
SAThamrin MetStat 2014 27
Pendekatan Binomial Melalui Poisson
• Ulangan yang besar dengan peluang sukses p yang sangat kecil atau sangat besar.
• Untuk p yang sangat kecil; gunakan
μ=np
• Untuk p yang sangat besar, sebaran poissonuntuk peubah 1-X, banyak gagal; gunakanμ=n(1-p)
SAThamrin MetStat 2014 28
Contoh 7
Peluang seorang perempuan mengalami masalahpada waktu melahirkan yang memerlukanpananganan bedah sesar adalah 0,0032. Dari 357 perempuan yang melahirkan disuatukota, berapakah peluang banyaknya yang mengalami masalah tersebut lebih dari 5 orang?
Jawab
n=357, p=0,0032, peluang yang sangat kecilsehingga μ=1,1424. Untuk X=p(x;1,1424)
=P(x>5)=1-P(x<=5)=1-0,9936=0,0063
SAThamrin MetStat 2014 29
Pendekatan Binomial Melalui Poisson
• Distribusi poisson dapat dianggap sebagai pendekatan kepada distribusi binom.
• Apabila pada distribusi binom, N cukup besar sedangkan p = peluang terjadinya peristiwa A sangat dekat kepada nol, sedemikian sehingga λ= Np tetap, maka distribusi Binom dapat didekati oleh distribusi poisson.
• Untuk penggunaannya, sering dilakukan pendekatan ini, jika N ≥ 50 dan Np < 5.
• Ulangan yang besar dengan peluang sukses p yang sangatkecil atau sangat besar.
• Untuk p yang sangat kecil; gunakan μ=np• Untuk p yang sangat besar, sebaran poisson untuk peubah
1-X, banyak gagal; gunakan μ=n(1-p)
SAThamrin MetStat 2014 30
Contoh 8
• Misalkan dari 50 siswa SD kelas 1 ada 2 orang yang dapat berenang. Sebuah sampel berukuran 100 siswa telah diambil, Jika x = banyak siswa SD kelas 1 yang dapat berenang. Berapa peluangnya siswa SD kelas 1yang tidak dapat berenang?
• X = siswa yang dapat berenang = 0, λ = Np =
Peluang siswa SD kelas 1 yang tidak dapat berenang adalah
Contoh 9
Peluang seorang perempuan mengalami masalahpada waktu melahirkan yang memerlukanpananganan bedah sesar adalah 0,0032. Dari 357 perempuan yang melahirkan disuatu kota, berapakahpeluang banyaknya yang mengalami masalahtersebut lebih dari 5 orang?
Jawab
n=357, p=0,0032, peluang yang sangat kecil sehinggaμ=1,1424. Untuk X=p(x;1,1424)
=P(x>5)=1-P(x<=5)=1-0,9936=0,0063
SAThamrin MetStat 2014 32