STATISTIKA LINGKUNGAN - kuliah.ftsl.itb.ac.idkuliah.ftsl.itb.ac.id/wp-content/uploads/2016/10/Bab-4-Teori... · • Normal • Binomial • Uniform Distribusi Probabilitas ... 2 27

STATISTIKA LINGKUNGAN

TEORI PROBABILITASTEORI PROBABILITAS

Probabilitas - pendahuluan

• Statistika deskriptif : menggambarkan data

• Statistik inferensi � kesimpulan valid dan perkiraan • Statistik inferensi � kesimpulan valid dan perkiraan

akurat ttg populasi dengan mengobservasi sampel

• Teori probabilitas sbg dasar statistika inferens

Konsep Probabilitas

Ruang sampel: gabungan semua kemungkinan

S SS

A

S

Kategori Probabilitas

• Probabilitas Apriori: probabilitas yang telah ditentukan sebelumnya P[A]= n (A)/n(S)

• Probabilitas frekuensi relatif (empiris): probabilitas • Probabilitas frekuensi relatif (empiris): probabilitas berdasarkan fakta setelah kejadian P[A]= f/n ; f=jumlah kejadian A muncul; n= jumlah sampel /eksperimen

• Probabilitas subyektif: probabilitas berdasarkan pertimbangan seseorang

Contoh:

1. Probabilitas bayi cacat yang dilahirkan oleh seorang Ibu yang

menderita campak Jerman saat hamil?

2. Probabilitas anak kidal yang dilahirkan dari pasangan kidal dan 2. Probabilitas anak kidal yang dilahirkan dari pasangan kidal dan

tidak kidal?

3. Hasil analisa air sungai menunjukkan bahwa dari pengalaman yang

ada , 8 % dari 100 sampel mengandung kadar fosfat yang tdk

terdeteksi jika dianalisa dengan menggunakan metode rutin.

PERANAN PROBABILITAS

• Pembuatan model, analisis matematis, simulasi komputer �

banyak didasarkan atas asumsi yang dalam kondisi ideal � model

kuantitatif mungkin bisa mendekati atau jauh dari kondisi

sebenarnya.sebenarnya.

• Dalam pengembangan desain rekayasa � keputusan dirumuskan

pada ketidakpastian � banyak keputusan terpaksa harus diambil:

* tanpa memandang kelengkapan informasi

* fenomena alamiah bersifat acak atau tak tentu


• Kuantifikasi ketidakpastian dan penilaian

pengaruhnya pada perilaku dan perancangan

suatu sistem � melibatkan konsep atau metode suatu sistem � melibatkan konsep atau metode

probabilitas (kemungkinan).

• Variabel acak � variabel yang tidak dapat

diramalkan dengan pasti � nilainya hanya dapat

diramalkan dengan probabilitas.


• Ketidakpastian yang lain � pemodelan atau

penaksiran tidak sempurna � nilai rerata tidak

akan bebas dari kesalahan terutama bila datanya akan bebas dari kesalahan terutama bila datanya

terbatas.

• Dalam beberapa hal � taksiran lebih baik �

didasarkan atas pertimbangan seorang ahli

DASAR-DASAR PROBABILITAS

• Probabilitas

�mengacu pada terjadinya suatu peristiwa (event) relatif terhadap peristiwa lain � ada lebih dari satu kemungkinan � masalah menjadi tidak tertentu (non deterministik).

� sebagai ukuran numerik dari kecenderungan terjadinya suatu peristiwa relatif terhadap sehimpunan peristiwa lain.

� memerlukan identifikasi himpunan semua kemungkinan, yaitu ruang kemungkinan (possibility space) dan peristiwa yang ditinjau

DASAR-DASAR PROBABILITAS

• Contoh : aerator � taksiran kemungkinan masa layan selama 6 tahun adalah 50%.

Digunakan 3 aerator � pertanyaan: berapa probabilitas 1 aerator masih baik setelah 6 tahun?

Aerator 1 B B B R R R B R

� Satu aerator yang baik � 3 kombinasi : B-R-R, R-R-B dan R-B-R � probabilitas adalah 3/8 atau 37,5%

Aerator 2 B B R R B R R B

Aerator 3 B R R R B B B R

ELEMEN TEORI HIMPUNAN

• Ruang sampel (sample space) � gabungan dari

semua kemungkinan dalam suatu masalah

probabilitas � secara individu � titik sampel.probabilitas � secara individu � titik sampel.

• Suatu peristiwa � sub himpunan dari ruang

sampel.

• Ruang sampel bisa bersifat :

* diskrit atau kontinu

* berhingga (finite) atau tak berhingga

Variabel Diskrit

Distribusi probabilitas variabel acak diskrit:

gabungan seluruh kemungkinan yang terjadi serta probabilitas untuk terjadi.

Expected value: merupakan nilai rata-rata (µx) semua kemungkinan peristiwa, dengan nilai setiap kemungkinan merupakan frekuensi relatif atau probabilitas

12/23/2012 Dwina Roosmini12


• Peristiwa mustahil (impossible event) � φ�peristiwa yang tidak mempunyai titik sampel �

himpunan kosong.himpunan kosong.

• Peristiwa tertentu (certain event) � S �

peristiwa yang mengandung semua titik sampel

dalam ruang sampel.

• Peristiwa komplementer (complementary event)

� E �semua titik sampel dalam S yang tidak

terkandung dalam E


Pasien hipertensi

Pasien kelebihan berat

badan Pasien perokokPasien perokok

Not mutually exclusive

Mamalia Unggas

Binatang

Mutually exclusive

Independen

Peristiwa terjadi dengan bebas

Kelinci yang diinokulasi virus polio

Darah kelinci mengandung antibodi cacarDarah kelinci mengandung antibodi cacar

Kelinci yang diinokulasi virus polio

Darah kelinci mengandung antibodi polio

Aturan Probabilitas

1. Probabilitas adalah nilai antara 0 dan 1 yang merupakan hasil suatu proses atau eksperimen/pengamatan

2. Peristiwa bahwa A tidak terjadi disebut komplemen A dengan lambang A’. Jika P(A) merupakan probabilitas kejadian A maka

P(A’)= 1- P(A)

3. Jika peristiwa A dan B ME, maka probabilitas A dan terjadi bersama adalah 0


Aturan probabilitas (lanj.)

4. Jika persitiwa A dan B ME, maka probabilitas baik A atau B terjadi adalah jumlah probabilitas masing-masing � P(A atau B) = P(A) + P (B)

5. Jika peristiwa A dan B not ME, maka probabilitas 5. Jika peristiwa A dan B not ME, maka probabilitas baik A atau B terjadi adalah P(A atauB)= P(A) + P(B) – P(A dan B)

6. Jika dua peristiwa saling dependen, maka probablilitas kondisional B terjadi setelah A terjadi adalah P(B/A)= P(A dan B)/P(A)


Aturan probabilitas (lanj.)

7. Jika peristiwa A dan B independen, probabilitas bahwa baik

peristiwa A dan B akan terjadi adalah:

P(A dan B) = P(A) x P(B)

8. Jika peristiwa A dan B not independen, probabilitas bahwa A dan B akan terjadi adalah:

P(A dan B)= P (A) x P(B/A)

12/23/2012

Dwina Roosmini20

Aturan Penjumlahan

• Mutually Exclusive:

Kemungkinan terjadi peristiwa A dan B:

P(A atau B)= P(A)+P(B)

• Not Mutually Exclusive:

Kemungkinan terjadi peristiwa A dan B:

P(Aatau B): P(A)+P(B)-P(A dan B)

Contoh:

• Analisa kimia air laut menunjukkan kandungan Pb dan Hg. Hasil analisa menunjukkan bahwa pada sampel dekat dekat muara sungai, 38% sampel mengandung Hg atau Pb tinggi, 32 % sampel mengandung Pb dan 10% mengandung Pb dan mengandung Pb dan 10% mengandung Pb dan Hg. Berapa probabilitas bahwa sampel tersebut akan mengandung Hg dan berapa yang hanya mengandung Pb?

• Probabilitas dalam melempar dadu mendapatkan nilai genap?

Lokasi produksi

mobil

Perlu perbaikan dalam 90 hari pertama

pemakaian

Jumlah

Ya Tidak

US 7 293 300

Non US 13 187 200

20 480 500

a. Pembelian 1 bh mobil� Probabilitas mobil perlu perbaikan ?

b. Probabilitas jumlah mobil br perlu perbaikan dan diproduksi di US?

c. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan yang tidak memerlukan

perbaikan?

d. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan mobil yang diproduksi di US?

e. Probabilitas mobil baru produksi US yang perlu perbaikan ?

a. Jika dilakukan pembelian satu buah mobil, berapa probabilitas

mobil perlu perbaikan pada 90 hari pertama pemakaian ?

P(perlu perbaikan)= Jumlah perlu

perbaikan/jumlah total perbaikan/jumlah total

mobil baru

= 20/500 = 0,04 = 4%

b. Jika dilakukan pembelian satu buah mobil, berapa probabilitas

mobil yang diproduksi di USA perlu perbaikan pada 90 hari pertama

pemakaian ?

P(perlu perbaikan)= Jumlah perlu perbaikan dan

diproduksi di USA/jumlah diproduksi di USA/jumlah

total mobil baru

= 7/500 = 0,014 = 0,14%

b. Jika dilakukan pembelian satu buah mobil, berapa probabilitas

mobil yang diproduksi di USA perlu perbaikan pada 90 hari pertama

pemakaian ?

P(perlu perbaikan)= Jumlah perlu perbaikan dan

diproduksi di USA/jumlah diproduksi di USA/jumlah

total mobil baru

= 7/500 = 0,014 = 0,14%

Mutually Exclusive

c. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan

yang tidak memerlukan perbaikan?

P(mobil memerlukan perbaikan atau tidak P(mobil memerlukan perbaikan atau tidak

memerlukan perbaikan) = (20/500) + (480/500) =

1

Not Mutually Exclusive

d. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan

mobil yang diproduksi di USA

P(mobil memerlukan perbaikan atau diproduksi di USA) = P(mobil memerlukan perbaikan atau diproduksi di USA) =

P(memerlukan perbaikan)+ P(diproduksi di USA) - P(memerlukan

perbaikan dan diproduksi di USA)= (20/500) + (300/500) – (7/500) =

0,626 = 62,6 %

Independen

• Probabilitas akan diperoleh angka 5 pada 2 kali

pelemparan dadu?

P(A dan B) = P(A) x P(B)

Distribusi Probabilitas

Terdapat 2 kelompok:

Distribusi probabilitas diskrit

Distribusi probabilitas kontinuDistribusi probabilitas kontinu



Diskrit

• Binomial

• Hypergeometrik

Poisson

• Normal

• Binomial

• Uniform


Kontinu

• Poisson

• Geometrik

• Multinomial

• Uniform

• Log Normal

• Gamma


Expected Value

µx=E(x)=∑ Xi P(Xi)

X= Variabel acak distkrit

Xi= Hasil X pada perlakuan I

P(Xi)= Probabilitas terjadinya hasil I dari XP(Xi)= Probabilitas terjadinya hasil I dari X

i = 1,2,3,….,n

Varians = σx2=∑(Xi-µx)

2 P(Xi)

Standard Deviasi = σx


Contoh: Data kecelakaan lalu lintas

XFrek.

RelatifP(X)

0 6 0,10

1 12 0,20

Nilai rata-rata/Expected

value?

Varians dan standard

deviasi?1 12 0,20

2 27 0,45

3 9 0,15

4 3 0,05

5 3 0,05

12/23/2012 Dwina Roosmini 33

deviasi?

Expected value=µx= Ex= ∑ Xi P(Xi)=

(0)*(0,10)+(1)*(0,20)+(2)*(0,45)+(3)*(0,15)+(4)*(0,0

5)+(5)*(0,05)= 2

Varians=

(0-2)2*(0,10)+(1-2)2*(0,2)+(2-2)2*(0,45)+ (3-

2)2*(0,15)+ (4-2)2*(0,05)+(5-2)2*(0,05)= 1,4

Standard Deviasi= √1,4=1,1812/23/2012 Dwina Roosmini34

Distribusi BinomialDigunakan untuk probabilitas yang bersifat diskrit, dengan asumsi:

1.Terdapat n kejadian pada sampling variabel acak

2.Hasil dari n independent antara satu dengan lainnya2.Hasil dari n independent antara satu dengan lainnya

3. Hanya ada dua kemungkinan hasil

4. Probabilitas setiap hasil konstant dari satu pengambilan sampel terhadap pengambilan sampel berikutnya


Distribusi Binomial

Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi = p

Probabilitas tidak berhasil/kegagalan = q=1-p

Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi tepat x kali


Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi tepat x kali

dalam setiap perlakuan (x berhasil dan n-x gagal) = b

Distribusi Binomial

xnx

xnx pxnx

pnpp

x

npnxb −− −

−=−

= )1(

)!(!

!)1(),;(

)1( pnp −=σ


Dimana x= 0,1,2,3,:n

n!=n(n-1)(n-2)(n-3)::..

0!=1

Rerata= µ=n*p

Simpangan baku=

Distribusi Binomial

Tentukan probabilitas untuk mendapatkan secara tepat

dua peristiwa dalam 4 sampel, dimana probabilitas

keberhasilan suatu peristiwa adalah 0,3.keberhasilan suatu peristiwa adalah 0,3.

2646,0)3,01(3,02

4)3,0,4;2( 242 =−

= −b


Tabel Distribusi Binomial

n x p

0,05 0,1 0,5

16 0 ��

1 0,81081 0,8108

2 0,9571

3 0,9930

),;1(),;(),;( pnxBpnxBpnxb −−=


Distribusi Hipergeometris

• Berlaku jika pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian kembali

• Jumlah sampel n, dari N populasi a diantaranya rusak

• Sampel 1= probabilitas mengambil yang rusak = a/N

• Sampel 2= terdapat 2 probabilitas mengambil yang rusak:

1. a/(N-1) jika sampel 1 yang terambil bukan yang rusak dan

2. (a-1)/(N-1) jika sampel 1 terambil yang rusak

• Probabilitas mendapatkan x berhasil dalam n percobaan= h


Distribusi hipergeometrik

)(),,;( −

−

==

n

Nxn

aN

x

a

xPNanxh

)1(2))((.2

)/(

,...2,1,0

)()(dan :dimana

−−−=

==−

=−≤−≤

NN

nNaNan

NanrataRata

nx

aNxnax

n

σ

µ


Distribusi Hipergeometrik

Suatu kotak yang berisi 40 suku cadang akan

memenuhi persyaratan penerimaan bila berisi tidak

lebih dari 3 suku cadang yang cacat. Dipilih 5 sampel

suku cadang secara acak, berapa kemungkinan suku cadang secara acak, berapa kemungkinan

mendapat tepat satu yang cacat dalam 5 sampel

diatas bila dalam kotak tersebut berisi 3 yang cacat


Distribusi Poisson

• Observasi yang dapat dilakukan pada kejadian diskret dalam suatu area kesempatan, contoh: jumlah telepon panggilan perjam pada kantor

polisi; jumlah laporan kehilangan kopor perhari pada suatu airport, dll

• Merupakan pendekatan terhadap distribusi binomial jika n>> dan • Merupakan pendekatan terhadap distribusi binomial jika n>> dan p<< � n.p ≤10

• Batasan:

1. µ konstant untuk setiap unit waktu dan ruang

2. probabilitas lebih dari satu peristiwa dalam satu titik waktu atau ruang adalah 0

3. peristiwa satu dengan lainnya independen


Distribusi Poisson

s peristiwa rata-rata

,...3,2,1,0untuk !

);(

λµ

µµµ

==

=−

= xx

xexP


Hasil pengukuran kualitas udara selama 9 perioda menunjukkan hasil

sebagai berikut:

3, 1, 10, 2, 4, 6, 8, 2 ppb

Pada konsentrasi rendah hanya akan dilaporkan sampai dengan

besaran tertentu. Berapakah probabilitas bahwa pada perioda

monitoring berikutnya hanya ada satu atau kurang dari satu ppb?

Distribusi Geometris

• Bila peristiwa berhasil pertama akan dicapai

setelah x percobaan, gagal= x-1.

• Probabilitas berhasil = p, probabilitas gagal (x-1) • Probabilitas berhasil = p, probabilitas gagal (x-1)

pada percobaan (x-1) adalah g

p

dengan

xppxPpxg

/1

1)1()();(

=

−−==

µ


Distribusi Multinomial

�Sampel n bersifat bebas

�Semua hasil merupakan mutually exclusive�Semua hasil merupakan mutually exclusive

�Digunakan jika hasil pengamatan terdapat lebih dari2, mis: nilai A, B, C, D

xkpkxpxpxkxxx

nxkxxxm ...2211!!...3!2!1

!),...,3,2,1( ==


Documents

STATISTIKA LINGKUNGAN - kuliah.ftsl.itb.ac.idkuliah.ftsl.itb.ac.id/wp-content/uploads/2016/10/Bab-4-Teori... · • Normal • Binomial • Uniform Distribusi Probabilitas ... 2 27