Dasar Dasar Probabilitas - Solehpunya's Weblog · PDF fileDASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi 1 Dasar‐Dasar Probabilitas DASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi 2 Ruang Sampel, Titik

DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi

1

Dasar‐Dasar Probabilitas


2

Ruang Sampel, Titik Sampel danKejadian

Ruang sampel (sample space) atau semesta(universe) merupakan himpunan dari semuahasil (outcome) yang mungkin dari suatupercobaan (experiment)

Titik sampel (sample point) merupakan tiapanggota atau elemen dari ruang sampel

Kejadian (event) merupakan himpunan bagiandari ruang sampel


3

Contoh Percobaan, Ruang Sampel danKejadian (#1)

Percobaan: Pelemparan sebuah dadu dan mencatatangka yang muncul

Ruang sampel

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = Kejadian munculnya angka genap

A = {2, 4, 6}

B = Kejadian munculnya angka 5 atau lebih

B = {5, 6}


Ilustrasi Ruang Sampel, Titik Sampel dan Kejadian padaPercobaan Perlemparan Sebuah Dadu

Ruang sampel

1

2

3

4

5

6A

B


5


Percobaan: Pelemparan dua buah dadu bersamaandan mencatat angka yang muncul

Ruang sampel

S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (6, 6)}

A = Kejadian munculnya angka yang sama padakedua dadu

A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}

B = Kejadian munculnya jumlah angka 10 atau lebih

B = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }


6


Percobaan: Pelemparan tiga koin (uang logam) bersamaan dan mencatat banyaknya muka yang muncul

Ruang sampel

S = {0, 1, 2, 3}

A = Kejadian tidak ada muka yang muncul

A = {0}

B = Kejadian banyaknya muka yang muncul 2 ataukurang

B = {0, 1, 2}


7


Percobaan: Pengamatan terhadap umur (dalam jam) sebuah lampu

Ruang sampel

S = {t|t > 0}

A = Kejadian umur lampu melebihi 10 jam

E = {t|t > 10}

B = Kejadian umur lampu antara 0 dan 250 jamF = {t|0 ≤ t ≤ 250}


8

Operasi‐Operasi dalam Kejadian

Irisan (Intersection)

Gabungan (Union)

Komplemen (Complement)


9

Irisan Dua Kejadian

Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan A ∩ B, merupakan kejadian yang elemennya termasukdalam A dan B

A B


10

Gabungan Dua Kejadian

Gabungan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan A ∪ B, merupakan kejadian yang mengandung semua elemen yang termasuk A atau B atau keduanya

A B


11

Komplemen Suatu Kejadian

A A’

Komplemen suatu kejadian A, dinyatakan dengan A’, adalah himpunan semua elemen dalam S yang tidaktermasuk dalam A


12

Contoh Operasi‐Operasi dalam Kejadian

Percobaan: Pelemparan sebuah dadu dan mencatat angka yang munculRuang sampel

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Kejadian munculnya angka genap, A

A = {2, 4, 6}• Kejadian munculnya angka 5 atau lebih, B

B = {5, 6}

Irisan A dan BA ∩ B = {6}

Gabungan A dan BA ∪ B = {2, 4, 5, 6}

Komplemen dari AA’ = {1, 3, 5}


Ilustrasi Operasi‐Operasi Kejadian pada PelemparanSebuah Dadu

Ruang sampel

1

2

3

4

5

6

A ∩ B

A

B

A ∪ B

A’


14

Dua Kejadian Saling Terpisah

A ∩ B = ∅A B

Dua kejadian A dan B dikatakan saling terpisah (mutuallyexclusive) jika kejadian‐kejadian tersebut tidak dapatterjadi secara bersamaan


15

Contoh Kejadian‐Kejadian Saling Terpisah

Percobaan: Pelemparan sebuah dadu dan mencatatangka yang munculRuang sampel

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Kejadian munculnya angka genap, A

A = {2, 4, 6}Kejadian munculnya angka ganjil, B

B = {1, 3, 5}Kejadian A dan B saling terpisah

A ∩ B = ∅


Ilustrasi Dua Kejadian Saling Terpisah pada PelemparanSebuah Dadu

Ruang sampel

2 4 6A

B1 3 5


17

Penghitungan Titik Sampel

Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan n1cara, dan bila untuk setiap cara ini operasikedua dapat dilakukan dengan n2 cara, danbila untuk setiap cara ini operasi ketiga dapatdilakukan dengan n3 cara, dst, maka deretan k operasi dapat dilakukan dengan n1n2...nk cara


18

Contoh Penghitungan Titik Sampel

Tiga buah koin (uang logam) dilemparkan sekali.

Banyaknya titik sampel dalam ruang sampel ?

Koin I dapat menghasilkan 2 hasil yang mungkin, muka (M) ataubelakang (B)

Untuk tiap hasil, Koin II dapat menghasilkan 2 hasil yang mungkin, M atau B

Untuk tiap hasil, Koin III dapat menghasilkan 2 hasil yang mungkin, M atau B

Jumlah titik sampel yang dihasilkan = (2)(2)(2) = 8


19


20

Permutasi & Kombinasi

Permutasi (Permutation)

Permutasi merupakan susunan dari suatuhimpunan obyek yang dapat dibentuk yang memperhatikan urutan

Kombinasi (Combination)

Kombinasi merupakan susunan dari suatuhimpunan obyek yang dapat dibentuk tanpamemperhatikan urutan


21

Permutasi (1)

Banyaknya permutasi n obyek berlainanadalah n!

Banyaknya permutasi n obyek berlainan biladiambil r sekaligus

Banyaknya permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n – 1)!

( )! !

Prn

nnr −=


22

Permutasi (2)

Banyaknya permutasi yang berlainan dari n obyek bila n1 adalah jumlah obyek jenispertama, n2 adalah jumlah obyek jenis kedua, ..., nk jumlah obyek ke‐k adalah

!!!

!

21 knnn

n

L


23

Permutasi (3)

Banyaknya cara menyekat n obyek dalam r selbila masing‐masing berisi n1 obyek pada selpertama, n2 obyek pada sel kedua, danseterusnya adalah

dengan n1 + n2 + ... + nr = n

!!!

!

21 rnnn

n

L


24

Kombinasi (1)

Kombinasi berkaitan dengan penentuanbanyaknya cara memilih r obyek dari sejumlahn obyek tanpa memperhatikan urutannya.

Kombinasi merupakan sekatan dengan duasel, sel pertama berisi r obyek yang dipilih dan(n – r) obyek sisanya.


25

Kombinasi (2)

Jumlah kombinasi dari n obyek yang berlainanjika diambil sebanyak r

( )! !

! C

rnr

nnr −=


26

Contoh Kombinasi

Suatu kelas terdiri atas 4 pria dan 3 wanita

Banyaknya panita yang dibentuk yang beranggotakan 2 pria dan1 wanita?

Banyaknya cara memilih 2 dari 4 pria =

Banyaknya cara memilih 1 dari 3 wanita =

Banyaknya panita yang dapat dibentuk = (6)(3) = 18

6!2!2

!442 ==C

3!2!1

!331 ==C


27

Probabilitas Kejadian

Probabilitas suatu kejadian merupakan suatuukuran kemungkinan kejadian tersebut terjadi

Probabilitas kejadian A dinyatakan denganP(A)


28

Aksioma‐Aksioma Probabilitas Kejadian

0 ≤ P(A) ≤ 1

P(∅) = 0

P(S) = 1


29

Probabilitas untuk HasilBerkemungkinan Sama

Jika suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama(equally likely) dan jika tepat terdapat sebanyakn hasil yang berkaitan dengan kejadian A, makaprobabilitas kejadian A adalah

( )N

nAP =


30

Contoh Probabilitas untuk HasilBerkemungkinan Sama (#1)

Percobaan pelemparan sebuah dadu

Misal A kejadian munculnya angka genap

Jumlah seluruh hasil yang mungkin N = 6

Jumlah hasil yang mungkin untuk kejadian A, n = 3

Probabilitas kejadian A, P(A) ?

( )2

1

6

3==AP


31


Percobaan pengambilan selembar kartu dari 52 kartu bridge.

Misal B kejadian terpilihnya kartu heart

Jumlah seluruh hasil yang mungkin N = 52

Jumlah hasil yang mungkin untuk kejadian B, n = 13

Probabilitas kejadian B, P(B) ?

( )4

1

52

13==BP


32


Dalam suatu kotak, terdapat 4 bola merah dan 6 bola putih.

Jika empat bola diambil secara random, probabilitas terpilih 2 bola merah dan 2 bola putih?

A = kejadian terpilih 2 bola merah dan 2 bola putih

Jumlah cara memilih 2 dari 4 bola merah =

Jumlah cara memilih 2 dari 6 bola putih =

Jumlah cara memilih 4 dari 10 bola =

6!2!2

!442 ==C

15!4!2

!662 ==C

210!6!4

!10104 ==C

( ) ( )( )( ) 7

3

210

156==AP


33

Hukum‐Hukum Probabilitas

Jika A dan B dua kejadian sembarang, maka

P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩ B)

Jika A dan B kejadian yang saling terpisah, maka

P(A∪ B) = P(A) + P(B)

Jika A dan A’ adalah kejadian salingberkomplemen, maka

P(A’) = 1 – P(A)


34

Probabilitas Bersyarat

Probabilitas bersyarat (conditional probability) B jika diketahui A

( ) ( )( )

( ) 0 jika ;| >∩

= APAP

BAPABP

Kejadian A dan B dapat terjadi pada suatu percobaan

( ) ( ) ( ) ( ) ( )BAPBPABPAPBAP || ==∩


35

Contoh Probabilitas Bersyarat (#1)

M = pria terpilih

E = orang terpilih berstatus bekerja

Bekerja Tak Bekerja

Pria 460 40

Wanita 140 260

( )

( )

( )30

23

32

4523|

45

23

900

460

3

2

900

600

==

==∩

==

EMP

MEP

EP


36


Diberikan sekumpulan kartu bridge yang terdiri atas 52 kartu.

Dua buah kartu diambil satu per satu tanpa pengembalian

Probabilitas kartu heart terpilih pada dua pengambilan ?

A1 = kejadian kartu heart yang terambil pada pengambilan I

A2 = kejadian kartu heart yang terambil pada pengambilan II

( )

( )

( )17

1

17

4

4

1

17

4

51

124

1

52

13

21

2

1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∩

==

==

AAP

AP

AP


37

52 Kartu,13 heart

39 Nonheart

51 Kartu12 Heart

39 Nonheart

51 Kartu13 Heart

38 Nonheart

( )4

1

52

131 ==AP

( )17

4

51

12| 12 ==AAP

( )17

1

17

4

4

121 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∩ AAP

( )68

13

17

13

4

1'21 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∩ AAP

( )68

13

51

13

4

3' 21 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∩AAP

( )68

38

51

38

4

3'' 21 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∩AAP

A1

A’1

A2

A’2

A2

A’2

( )17

13

51

39|' 12 ==AAP

( )4

3

52

39'1 ==AP

( )51

13'| 12 =AAP

( )51

38'|' 12 =AAP


38


Kotak pertama terdiri atas 4 bola putih dan 3 bola hitam, dankotak kedua terdiri atas 3 bola putih dan 5 bola hitam.

Sebuah bola diambil dari kotak pertama dan ditempatkan (tanpaterlihat) ke kotak kedua.

Probabilitas bahwa sebuah yang diambil dari kotak kedua adalahhitam?

H1 = kejadian bola hitam yang terpilih dari kotak I

P1 = kejadian bola putih yang terpilih dari kotak I

H2 = kejadian bola hitam yang terpilih dari kotak II

P2 = kejadian bola putih yang terpilih dari kotak II


39

( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )6338

95

74

96

73

121121

21212121

||

=

+=

+=∩+∩=∩∪∩

PHPPPHHPHP

HPPHHPHPHHP

Kotak I4P, 3H

Kotak II3P,6H

Kotak II4P,5H

( )7

31 =HP

( )7

41 =PP

( )9

6| 12 =HHP

( )9

3| 12 =HPP

( )9

5| 12 =PHP

( )9

4| 12 =PPP

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∩

9

6

7

321 HHP

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∩

9

3

7

321 PHP

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∩

9

5

7

421 HPP

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∩

9

4

7

421 PPP

H1

P1

H2

P2

H2

P2


40

Kejadian‐Kejadian Saling Bebas

Kejadian‐kejadian A dan B saling bebas(independent) jika

( ) ( ) ( )BPAPBAP =∩


41

Contoh Kejadian‐Kejadian Bebas (#1)

Diberikan sekumpulan kartu bridge yang terdiri atas 52 kartu.

Dua buah kartu diambil satu per satu dengan pengembalian

Probabilitas kartu heart terpilih pada dua pengambilan ?

A1 = kejadian kartu heart yang terambil pada pengambilan I

A2 = kejadian kartu heart yang terambil pada pengambilan II

( )

( )

( )16

1

4

1

4

1

4

1

52

134

1

52

13

21

2

1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∩

==

==

AAP

AP

AP


42

( )4

1

52

131 ==AP

( )4

1

52

13| 12 ==AAP

( )16

1

4

1

4

121 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∩ AAP

( )16

3

4

3

4

1'21 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∩ AAP

( )16

3

4

1

4

3' 21 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∩AAP

( )16

9

4

3

4

3'' 21 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∩AAP

A1

A’1

A2

A’2

A2

A’2

( )4

3

52

39|' 12 ==AAP

( )4

3

52

39'1 ==AP

( )4

1

52

13'| 12 ==AAP

( )4

3

52

39'|' 12 ==AAP


43

Contoh Kejadian‐Kejadian Bebas (#2)

Sebuah koin (uang logam) yang seimbang dilempar tiga kali.

Probabilitas mendapatkan 2 muka (M) dan 1 belakang (B) ?

Ruang sampel

S = {MMM, MMB, MBM, MBB, BMM, BMB, BBM, BBB}

A = kejadian muncul 2 M dan 1 B

A = {MMB, MBM, BMM}

P(A) = P(MMB) + P(MBM) + P(BMM)


44

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) 8

381

81

81

81

21

21

21

81

21

21

21

81

21

21

21

=++=

===∩∩=

===∩∩=

===∩∩=

AP

MPMPBPMMBPBMMP

MPBPMPMBMPMBMP

BPMPMPBMMPMMBP

2

1)( =MP

2

1)( =MP

2

1)( =MP

8

1

2

1

2

1

2

1)( =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=MMMP

8

1

2

1

2

1

2

1)( =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=MMBP

8

1

2

1

2

1

2

1)( =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=MBMP

8

1

2

1

2

1

2

1)( =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=MBBP

8

1

2

1

2

1

2

1)( =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=BMMP

8

1

2

1

2

1

2

1)( =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=BMBP

8

1

2

1

2

1

2

1)( =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=BBMP

8

1

2

1

2

1

2

1)( =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=BBBP

2

1)( =BP

2

1)( =BP

2

1)( =MP

2

1)( =BP

2

1)( =BP

2

1)( =MP

2

1)( =BP

2

1)( =MP

2

1)( =BP

2

1)( =MP

2

1)( =BP


45

Aturan Bayes (1)

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )'|'|

|

'|

'

'

|

BAPBPBAPBP

BAPBP

ABPABP

ABPABP

ABPABPAP

ABABA

AP

ABPABP

+=

∩+∩∩

=

∩+∩=

∩∪∩=

∩=

B

A

B’


46

Aturan Bayes (2)

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )∑

∑

=

=

=

∩

∩=

n

iii

ii

n

ii

ii

BAPBP

BAPBP

ABP

ABPABP

1

1

|

|

|B1 B2

B3B4B5

A


47

Contoh Aturan Bayes

Dua orang dicalonkan menjadi Bupati. Probabilitas Pak Anu terpilih adalah 0,6; P(A1) = 0,6.Probabilitas Pak Badu terpilih adalah 0,4; P(A2) = 0,4.Jika Pak Anu terpilih, probabilitas kenaikan pajak adalah 0,8; P(B1|A1) = 0,8.Jika Pak Badu terpilih, probabilitas kenaikan pajak adalah 0,1; P(B1|A2) = 0,1.Jika ternyata diketahui terjadi kenaikan pajak, probabilitas bahwa Pak Baduyang terpilih, P(A2|B1)

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )( ) ( )( )0769,0

1,04,08,06,0

1,04,0

||

|

|

212111

212

1211

1212

=+

=

+=

∩+∩∩

=

ABPAPABPAP

ABPAP

BAPBAP

BAPBAP


48

Contoh Pohon Probabilitas

A1

A2

P(A1) = 0,6

P(A2) = 0,4

P(B1| A1) = 0,8

P(B2| A1) = 0,2

P(B1| A2) = 0,1

P(B2| A2) = 0,9

P(A1 ∩ B1) = (0,8)(0,6) = 0,48

P(A1 ∩ B2) = (0,2)(0,6) = 0,12

P(A2 ∩ B1) = (0,1)(0,4) = 0,04

P(A2 ∩ B2) = (0,9)(0,4) = 0,36

B1

B2

B1

B2

( ) ( )( )

( )( ) ( )

0769,0

04,048,0

04,0

|

1211

2

1

1212

=+

=

∩+∩∩

=

∩=

BAPBAP

BAP

BP

BAPBAP

Documents

Dasar Dasar Probabilitas - Solehpunya's Weblog · PDF fileDASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi 1 Dasar‐Dasar Probabilitas DASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi 2 Ruang Sampel, Titik