Upload
truongthuan
View
221
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Statistika
2018/19
Teorija verovatnoće
Slučajne promenljive
Eksperimenti
Ishodi eksperimenata
{Pismo, Grb} {1,2,3,4,5,6}
Teorija verovatnoće
Skup elementarnih događaja = skup svih ishoda nekog eksperimenta
},|{ BABA
},|{ BABA
},|{ AA
Unija događaja A i B:
Presek događaja A i B:
Suprotan događaj za A:
Primer
Kockica se baca jednom. Ako A označava događaj da kockica pokazuje paran broj a B događaj da kockica pokazuje broj manji od 4, odrediti presek i uniju događaja A i B.
}6,4,3,2,1{BA }2{BA
Pojam verovatnoće
• Laplasova (klasična) definicija verovatnoće
• Statistička definicija verovatnoće
• Aksiomatska definicija verovatnoće
• Geometrijska verovatnoća
Laplasova (klasična) definicija verovatnoće
},...,,{ 21 n Konačan skup elementarnih događaja
svaki elementarni događaj ima istu verovatnoću realizacije n
Pp ii
1)(
A
},...,,{21 kiiiA
n
kAP )(
Statistička definicija verovatnoće
n ponavljanja eksperimenta
m uspešnih realizacija
n
mAP )(
Osnovne osobine
1. 2. 3. Verovatnoća unije događaja A i B
1)(0 AP
1)( P
)()()()( BAPBPAPBAP
Nezavisni događaji
Događaji A i B su nezavisni ako važi )()()( BPAPBAP
Kockica se baca dva puta. Koliko iznosi verovatnoća da prvi put pokazuje broj 5 a drugi put broj 2?
Prvo Drugo bacanje
bacanje 1 2 3 4 5 6
1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
2 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
36/1)( BAP6/1)( AP
6/1)( BP
Uslovna verovatnoća
0)(,)(
)()|(
BP
BP
BAPBAP
Formula totalne verovatnoće
Potpun sistem događaja nHHH ...21
jiHH ji ,
Formula totalne verovatnoće
Formula totalne verovatnoće
n
i
ii HAPHPAP1
)|()()(
Bajesova formula
A priori verovatnoća
A posteriori verovatnoća
Bajesova formula
• Pretpostavimo da cena akcija raste u 900 dana i pada u 1100. Sa kojom verovatnoćom cena akcija pada?
• Pretpostavimo da raspolažemo sa dodatnim informacijama o kretanju kamatne stope:
• Sa kojom verovatnoćom cena akcija pada ako imamo informaciju da kamatna stopa raste?
Cena Kamatna stopa
akcija Pada Raste
Pada 200 900
Raste 800 100
Permutacije i kombinacije
Permutacije i kombinacije
KOMBINACIJE
PERMUTACIJE )!(
!
kn
nPk
n
)!(!
!
knk
n
k
nC k
n
Permutacije i kombinacije
KOMBINACIJE
PERMUTACIJE
10 načina
60 načina
• Čovek svakog dana čita novine A, B, C, D . Na koliko načina se može odrediti redosled čitanja
a) sve 4 novine,
b) 3 novine,
c) 2 novine,
d) 1 novine?
• Čovek svakog dana čita novine A, B, C, D. Na koliko načina se može izabrati X novina koje će biti pročitane, ako je
a) X = 4,
b) X = 3,
c) X = 2,
d) X = 1,
e) X = 0?
Binomna verovatnoća
• Bernulijeva shema:
n ponavljanja eksperimenta,
posmatra se događaj A,
p - verovatnoća realizacije
Binomna verovatnoća
• Verovatnoća da se prilikom n ponavljanja eksperimenta, k uspešno realizuje
knk ppk
nknp
)1();(
Puasonova verovatnoća
• Granični slučaj binomne verovatnoće kada
i
• U praksi n ≥ 20 i p ≤ 0,05.
n 0p
npmek
mknp m
k
,!
);(
Slučajne promenljive
• Slučajna promenljiva X je preslikavanje koje svakom elementarnom događaju pridružuje realan broj
RX :
Prekidna ili neprekidna slučajna promenljiva?
• Bacanje novčića, elementarnom događaju pridružuje se broj prikazanih grbova.
• Novčić se baca 3 puta, elementarnom događaju pridružuje se broj prikazanih grbova.
• Kockica se baca 2 puta, elementarnom događaju pridružuje se zbir prikazanih brojeva.
• Tačna težina studenta izabranog na slučajan način.
• Tačno vreme provedeno na pauzi. • Tačan broj sekundi potrebnih da se popuni
anketa.
Prekidne slučajne promenljive
,...},{ 21 xxRX
kk pxXP )(
...
...
2
2
1
1
p
x
p
xX
1)( XRXP
10 kp
Skup mogućih vrednosti slučajne promenljive
Verovatnoća sa kojom slučajna promenljiva X “uzima” vrednost xk
Osobine:
Zakon raspodele slučajne promenljive X:
Novčić se baca 3 puta, elementarnom događaju pridružuje se broj prikazanih grbova.
Zakon raspodele slučajne promenljive:
81
83
83
81
3210X
Transformacije slučajnih promenljivih
Odrediti:
• Y1 = X + 1
• Y2 = 2X
• Y3 = 2X + 1
• Y4 = X2 + 1
31
31
31
101:X
Matematičko očekivanje prekidne slučajne promenljive
n
i
ii pxXE1
)(
Vrednost koja se u proseku može očekivati nakon velikog broja eksperimenata
Matematičko očekivanje prekidne slučajne promenljive
• Osobine:
1.
2.
3.
4. Za nezavisne X, Y
n
i
ii pxXE1
)(
CCE )(
)()( XEXE
)()()( YEXEYXE
)()()( YEXEYXE
Varijansa prekidne slučajne promenljive
2222 ))(()(]))([()( XEXEXEXEXVarX
Očekivano kvadratno odstupanje oko prosečne vrednosti (E(X)) slučajne promenljive
Varijansa prekidne slučajne promenljive
• Osobine:
1.
2.
3. Za nezavisne X, Y
2222 ))(()(]))([()( XEXEXEXEXVarX
0)( CVar
)()( 2 XVarXVar
)()()( YVarXVarYXVar
Diskretna uniformna slučajna promenljiva
k
k
kk
xxxX
11
2
1
1
...
...
Realizacija svakog ishoda eksperimenta je podjednaka
2)( minmax xx
XE
12
1)1()(
2
minmax
xxXVar
Osobine:
Diskretna uniformna slučajna promenljiva
k
k
kk
xxxX
11
2
1
1
...
...
Realizacija svakog ishoda eksperimenta je podjednaka
2)( minmax xx
XE
12
1)1()(
2
minmax
xxXVar
Osobine:
Bernulijeva slučajna promenljiva
Eksperiment
Uspešan Neuspešan
ppX
1
1
0
Osobine:
pXE )(
)1()( ppXVar
Binomna slučajna promenljiva
Elementarni događaj iz Bernulijeve šeme
Broj realizacija eksperimenta
011
1
0
0
......10
qnpn
nknqkpk
nnqpnnqp
n
nkX
npXE )(
Osobine:
)1()( pnpXVar
Binomna slučajna promenljiva
Elementarni događaj iz Bernulijeve šeme
Broj realizacija eksperimenta
011
1
0
0
......10
qnpn
nknqkpk
nnqpnnqp
n
nkX
npXE )(
Osobine:
)1()( pnpXVar
Binomna slučajna promenljiva
Elementarni događaj iz Bernulijeve šeme
Broj realizacija eksperimenta
011
1
0
0
......10
qnpn
nknqkpk
nnqpnnqp
n
nkX
npXE )(
Osobine:
)1()( pnpXVar
Puasonova slučajna promenljiva
Granični slučaj binomne slučajne promenljive za veliki broj eksperimenata i malu verovatnoću realizacije eksperimenta:
kk
ek
mkXP
!)(
mXE )(
Osobine:
mXVar )(
Neprekidne slučajne promenljive
Funkcija gustine fX:
Dxxf ,0)(.1
1)(.2 D
dxxf
b
a
dxxfbXaP )()(.3
Nenegativna na oblasti definisanja
Ukupna površina ispod funkcije gustine iznosi 1
Verovatnoća da X “uzme” neku vrednost u intervalu [a,b]
Matematičko očekivanje neprekidne slučajne promenljive
• Osobine:
1.
2.
3.
4. Za nezavisne X, Y
CCE )(
)()( XEXE
)()()( YEXEYXE
)()()( YEXEYXE
dttftXE X )()(
Varijansa neprekidne slučajne promenljive
• Osobine:
1.
2.
3. Za nezavisne X, Y
2222 ))(()(]))([()( XEXEXEXEXVarX
0)( CVar
)()( 2 XVarXVar
)()()( YVarXVarYXVar
Uniformni raspored
,),,(: babaUX
],[,0
],[,1
)(
bax
baxabxfX 2
)(ba
XE
12
)()(
2abXVar
Osobine:
Uniformni raspored
,),,(: babaUX
],[,0
],[,1
)(
bax
baxabxfX
]3,1[,0
]3,1[,2
1
)(
x
xxfX
]2
11,1[,0
]2
11,1[,2
)(
x
xxf X
2)(
baXE
12
)()(
2abXVar
Osobine:
Osobine: 1. Funkcija gustine ima oblik simetričnog zvona 2. Raspored je simetričan u odnosu na x = µ, 3. α3 = 0, α4 = 3. 4.
Normalan raspored
0,),,(: 22 RX Ν
Rxexf
mx
X
,2
1)(
2
21
2
)(XE 2)( XVar
Osobine: 1. Funkcija gustine ima oblik simetričnog zvona 2. Raspored je simetričan u odnosu na x = µ, 3. α3 = 0, α4 = 3. 4.
Normalan raspored
0,),,(: 22 RX Ν
Rxexf
mx
X
,2
1)(
2
21
2
)(XE 2)( XVar
Normalan raspored
0,),,(: 22 RX Ν
Rxexf
mx
X
,2
1)(
2
21
2
Normalan raspored
0,),,(: 22 RX Ν
Rxexf
mx
X
,2
1)(
2
21
2
Standardizovan normalan raspored
)1,0(:NZ
Rxexfx
X
,2
1)( 2
2
0)( ZE 1)( ZVar
Osobine:
Standardizovan normalan raspored
)1,0(:NZ
Rxexfx
X
,2
1)( 2
2
hi-kvadrat raspored
riZi ,...,1),1,0(: N
22
2
2
1
2 ... rr ZZZ
nezavisne slučajne promenljive
rE r )( 2 rVar r 2)( 2
Osobine:
hi-kvadrat raspored
riZi ,...,1),1,0(: N
22
2
2
1
2 ... rr ZZZ
nezavisne slučajne promenljive
rE r )( 2 rVar r 2)( 2
Osobine:
i nezavisne slučajne promenljive
Studentov t – raspored
)1,0(:NZ2
r
r
rr
Zt
2
Osobine: 1. Funkcija gustine je simetrična, 2. Raspored je simetričan u odnosu na t = 0, 3. α3 = 0, 4. 0)( rtE
2)(
r
rtVar r
i nezavisne slučajne promenljive
Studentov t – raspored
)1,0(:NZ2
r
r
rr
Zt
2
Osobine: 1. Funkcija gustine je simetrična, 2. Raspored je simetričan u odnosu na t = 0, 3. α3 = 0, 4. 0)( rtE
2)(
r
rtVar r
i nezavisne slučajne promenljive
Studentov t – raspored
)1,0(:NZ2
r
r
rr
Zt
2
i nezavisne slučajne promenljive
Studentov t – raspored
)1,0(:NZ2
r
r
rr
Zt
2
i nezavisne slučajne promenljive
Snedekorov F – raspored
22 nm
n
mnm
n
m
F2
2
,
2)( ,
n
nFE nm
)4()2(
)2(2)(
2
2
,
nnm
nmnFVar nm
Osobine:
Slučajna promenljiva X
X1, X2,..., Xn, nezavisne slučajne promenljive sa istom očekivanom vrednošću µ i varijansom σ2
n
X
X
n
i
i 1
Osobine:
)(XE
nXVar
2
)(
nX
Primer
Godine starosti kod 5 osoba su 18, 20, 22, 24, 26. a) Odrediti zakon raspodele ove populacije, očekivanu vrednost i standardnu devijaciju. b) Formirati sve uzorke sa ponavljanjem veličine 2 i odrediti aritmetičke sredine uzoraka. c) Odrediti očekivanu vrednost i standardnu devijaciju rasporeda aritmetičkih sredina uzoraka.
a)
2,0
26
2,0
24
2,0
22
2,0
20
2,0
18X
22)( XE
22X
Uzorci za n = 2: 18 18 18 18 20 19 18 22 20 18 24 21 18 26 22 20 18 19 20 20 20 20 22 21 20 24 22 20 26 23 22 18 20 22 20 21 22 22 22 22 24 23 22 26 24 24 18 21 24 20 22 24 22 23 24 24 24 24 26 25 26 18 22 26 20 23 26 22 24 26 24 25 26 26 26
b)
x
xi: 18 19 20 21 22 23 24 25 26 fi: 1 2 3 4 5 4 3 2 1
c)
xi: 18 19 20 21 22 23 24 25 26 fi: 1 2 3 4 5 4 3 2 1
04,0
26
08,0
25
12,0
24
16,0
23
20,0
22
16,0
21
12,0
20
08,0
19
04,0
18X
c)
22)( XE
2X
Polazni podaci: xi: 18 20 22 24 26 fi: 1 1 1 1 1
n = 2 xi: 18 19 20 21 22 23 24 25 26 fi: 1 2 3 4 5 4 3 2 1
n = 3 xi: 18.0 18.7 19.3 20.0 20.7 21.3 22.0 22.7 23.3 24.0 24.7 25.3 26.0 fi: 1 3 6 10 15 18 19 18 15 10 6 3 1
Polazni podaci:
n = 2
n = 3
2,0
26
2,0
24
2,0
22
2,0
20
2,0
18X
04,0
26
08,0
25
12,0
24
16,0
23
20,0
22
16,0
21
12,0
20
08,0
19
04,0
18X
008,0
26
024,0
33,25
048,0
67,24
08,0
24
12,0
33,23
144,0
67,22
152,0
22
144,0
33,21
12,0
67,20
08,0
20
048,0
33,19
024,0
67,18
008,0
18X
Slučajna promenljiva
Broj realizacija događaja A, u n nezavisnih eksperimenata ima Binomni raspored sa parametrima n i p = p(A). X - broj uspešnih realizacija eksperimenta
Osobine:
p̂
n
Xp ˆ
ppE )ˆ(
n
pppVar
)1()ˆ(
n
ppp
)1(ˆ
Centralna granična teorema
Neka su X1, X2,..., Xn, slučajne promenljive, sa istom očekivanom vrednošću µ i varijansom σ2. Označimo sa i . Kada distribucija slučajne promenljive
teži ka slučajnoj promenljivoj sa standardizovanim normalnim rasporedom.
n
i
iXX1
n
i
inXX
1
1 n
n
X
n
nXZ
22