. Branovi
Statistike metodebeleke
Beograd, 2005.
Sadraj pitanja za usmeni deo ispita str. 1. Algebra dogaaja
2.Definicije verovatnoe dogaaja 3. Osobine verovatnoa 4.Uslovne
verovatnoe 5. Nezavisnost dogaaja 6. Sluajne promenljive 7.
Dvodimenzionalne sluajne promenljive 8. Funkcije sluajne
promenljive 9. Numerike karakteristike sluajne promenljive 10.
Koeficijent korelacije 11.Mere centralne tendencije 12. Mere
varijacije 13.Mere asimetrije i spljotenosti 14. Zadatak statistike
15. Uzorak 16. Centralna teorema statistike 17. Takaste ocene
parametara 18. Intervalno ocenjivanje 19. Testiranje statistikih
hipoteza 20. T-test 21. 2 test 22. Regresije 23. Trendovi 1 5 9 10
12 14 19 22 24 27 29 35 36 41 43 45 46 49 52 57 60 63 67
1. Uvod u teoriju verovatnoe Ostvarivanjem odreenih uslova koji
su neophodni za izvoenje nekog opita (eksperimenta) ne dobijaju se
uvek jednoznani (deterministiki) rezultati. Za teoriju verovatnoa
je bitna upravo situacija kada se na osnovu realizovanja odreenog
kompleksa uslova mogu oekivati razliiti sluajni ishodi (rezultati).
Tipian primer je bacanje kocke za igru. Ovde ostvarivanje kompleksa
uslova znai kocka je baena, dok je ishod, ili dogaaj, ili rezultat
broj taaka na gornjoj strani kada kocka pada. Teorija verovatnoa se
bavi matematikom analizom sluajnih ili stohastikih pojava. Poetak
ove teorije se vezuje za prouavanje zakona koji vladaju kod
hazardnih igara (Paskal, 1654.) da bi, naroito u XIX stoleu,
matematiki modeli sluajnosti postali znatno sloeniji i apstraktniji
tako da je Kolmogorov, 1933. godine aksiomatski zasnovao teoriju
verovatnoa. 1.1. Algebra dogaaja Skup svih moguih ishoda (dogaaja)
koji se mogu oekivati pri nekom opitu -eksperimentu- ostvarenju
kompleksa neophodnih uslova oznaava se sa , dok se elementi tog
skupa, tj. pojedini ishodi ili rezultati nazivaju elementarni
dogaaji i oznaavaju sa i. Pod dogaajem A se podrazumeva bilo koji
podskup A skupa . Kaemo da se dogaaj A realizovao ako i samo ako se
ostvari neki ishod i koji pripada podskupu A. Dogaaji se oznaavaju
velikim slovima abecede, sa indeksima ili bez njih. Skup dogaaja je
dogaaj koji se realizuje uvek pa se on zove siguran ili izvestan
dogaaj. Prazan podskup zove se nemogu dogaaj. Predstavljanje
dogaaja kao podskupova skupa omoguava da se meu dogaajima
posmatraju relacije i operacije koje su analogne sa najvanijim
relacijama i operacijama u Teoriji skupova.
Relacija implikacije. Kae se da dogaaj A implicira dogaaj B
(piemo A B) ako i samo ako kad se realizuje dogaaj A onda se
realizuje i dogaaj B. Relacija identinosti. Ako za neka dva dogaaja
A i B vai A B i B A onda su A i B identini dogaaji i piemo A = B
Operacija komplementiranja. Datom dogaaju A se moe pridruiti dogaaj
Ac (zove se komplementaran ili suprotan dogaaj) koji se realizuje
ako i samo ako se dogaaj A ne realizuje. Operacija presek
(proizvod) dogaaja. Datim dogaajima A i B se moe pridruiti novi
dogaaj- presek ili proizvod, oznaka A B ili AB. To je dogaaj koji
se realizuje ako i samo ako se realizuju i dogaaj A i dogaaj B. Ako
je A B = AB = kae se da dogaaji A i B disjunktni (uzajamno se
iskljuuju pa se ne mogu istovremeno ostvariti). Jasno je da je A Ac
= AAc = . Operacija uniranja. Unija dogaaja A i B ( oznaka je A B )
je dogaaj koji se ostvaruje ako i samo ako se ostvaruje bar jedan
od dogaaja A i B. Unija dva disjunktna dogaaja A i B se oznaava sa
A+B. Oigledno da je A Ac = A+B = . Razlika dogaaja. Razlika dogaaja
A i B (oznaka A-B ili A\ B ) je dogaaj koji se realizuje ako i samo
ako se realizuju oni ishodi koji pripadaju dogaaju A , a ne
pripadaju dogaaju B. Oigledno je A- B = ABc. Simetrina razlika
dogaaja A i B, oznaka AB , definie se sa AB = (A-B) (B-A) = (A B)
AB Operacije i se mogu proiriti na konano, pa i prebrojivo mnogo
dogaaja, tako da je : A1A2
...
An
= Aii =1
n
dogaaj koji se realizuje ako i samo ako se realizuje bar jedan
od dogaaja Ai i {1, 2, 3, ... , n};
A1 A1
A2
...
An
= Aii= 1
n
dogaaj koji se realizuje ako i samo ako se realizuje svaki od
dogaaja Ai ; A2
... = Aii= 1
dogaaj koji se realizuje ako i samo ako se realizuje svaki od
dogaaja A1,A2, ... ; A1 A2 ... = Aii =1
dogaaj koji se realizuje ako i samo ako se realizuje bar jedan
od dogaaja A1,A2, ... . Specijalno, ako je AiAj = A Ai piemo
i
A j = za ij onda umesto
i =1
Ai = A1 + A2 + A3 + ... .i =1
Primer 1.1. Igra se zavrava kada prvi put kod bacanja kocke
padne broj 6. Neka je Ai dogaaj da u i-tom bacanju padne 6. Dogaaj
igra je zavrena je Ai.i =1
Ako je A = B1+ B2 + ... + Bn , pri emu je Bi Bj = za ij , kaemo
da je dogaaj A rastavljen na n posebnih sluajeva. Posebno, ako je
B1+B2 + ... + Bn = onda se kae da dogaaji B1, B2, ... , Bn obrazuju
potpunu grupu dogaaja. Na dogaaje se, oigledno, mogu preneti
identiteti koji vae kod skupova, kao to su: A (B C) = (A B) (A C) ;
(A B)c = Ac Bc ; (A B)c = Ac Bc, itd.
Primer 1.2. Dogaaji A, Ac B i (A B)c obrazuju potpunu grupu
dogaaja jer je A (Ac B) (A B)c = A (Ac B) (Ac Bc) = A (Ac (B Bc) =
A (Ac ) = A Ac = .Primer 1.3. Strelac gaa u cilj koji je oblika
krune mete poluprenika r, pri emu se meri rastojanje x pogotka od
centra mete. Opisati skup ishoda. Reenje. = { x : 0 x r } {
promaaj}
Primer 1.3. Student polae tri ispita. Ako su A, B i C redom
dogaaji: student je poloio prvi, odnosno drugi ili trei ispit
sledee dogaaje izraavamo na sledei nain: a) student je poloio sva
tri ispita ABC = A B C b) student je poloio bar jedan ispit A B C =
Ac Bc Cc = (A B C)c c) student je poloio samo jedan ispit A BcCc +
Ac B Cc + Ac Bc C d) student nije poloio ni jedan ispit (ABC)c
Primer 1.4. Neka je skup ishoda u nekom eksperimentu dat sa =
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Uoeni su sledei dogaaji: A = {1,3,5,7,9}; B
= {0,2,4,6,8} ; C ={4,5,6,7,8,9}. Odrediti sledee dogaaje : a)ABC ;
b) (A B)c ; c) CcBc = Cc Bc ; d) A e) A B C ; f) Ac A ; g) Ac (B
Cc) ; h) (A B C )c
2. Definicije verovatnoe dogaaja Klasina definicija verovatnoe.
Pretpostavimo da je data potpuna grupa disjunktnih dogaaja E1,
E2,..., En od kojih se nijedan ne moe dalje razloiti na posebne
sluajeve. Pretpostavimo dalje i da su svi ti dogaaji Ei jednako
mogui, tj. svi se mogu oekivati sa istom verovatnoom. Ako se dati
dogaaj moe rastaviti na m takvih dogaaja (to znai da on nastupa
kada se ostvari bilo koji od tih m dogaaja) onda se za verovatnou
dogaaja A (oznaka p(A) ) uzima broj m / n. Jednakost p(A) = m / n
predstavlja tzv. klasinu definiciju verovatnoe dogaaja. Intuitivno
je jasno da je verovatnoa izvesnog dogaaja jednaka 1( jer se on
razlae na n dogaaja, pa je tada m = n). Isto tako, verovatnoa
nemogueg dogaaja je 0 (jer je u tom sluaju m = 0). Kako je za bilo
koji
sluajni dogaaj m n, sledi da je razlomak m / n pravi razlomak pa
je otuda verovatnoa ma kog sluajnog dogaaja neki broj izmeu 0 i 1.
Pretpostavka o tome da su svi dogaaji Ei jednako mogui je ozbiljni
nedostatak ove definicije verovatnoe dogaaja. Statistika definicija
verovatnoe. Zamislimo eksperimenat koji se moe ponavljati n puta i
u svakom od tih ponavljanja se registruje da li se realizovao neki
dogaaj A. Broj realizacija tog dogaaja u n ponovljenih
eksperimenata oznaimo sa n(A) (0 n(A) n ) . Kolinik n(A) / n
nazivamo relativna uestalost (relativna frekvencija) dogaaja A u n
ponovljenih eksperimenata (pokuaja). Ljudsko iskustvo, kao i
neposredna intuicija, pokazuju da se sa uveanjem broja n (kada n
)vrednosti kolinika n(A) / n sve vie grupiu oko jednog fiksnog
broja p(A) koji se onda zove verovatnoa dogaaja A. To je tzv.
statistika definicija verovatnoe dogaaja A saglasno kojoj je to
granina vrednost (limes) relativne frekvencije kada se broj pokuaja
(ekspeimenata) n neogranieno poveava. Tokom XVII i XVIII veka su
vreni razliiti eksperimenti i utvrivane su onda odgovarajue
relativne frekvencije. Tako su, recimo, za dogaaj da kod numerisane
kocke padne broj 6 na gornjoj strani utvreni sledei podaci: n n(A)
n(A) / n 600 84 0,140 6000 957 0,160 60000 9847 0,164 120000 19936
0,166 Vidi se da se vrednosti relativnih frekvencija grupiu oko
broja 1/6 ( 0,166), to prema klasinoj definiciji predstavlja
verovatnou uoenog dogaaja. Pirson, engleski matematiar, je bacao
novi i beleio koliko se puta pojavilo pismo. Dobio je sledee
rezultate: n 4040 12000 n(A) 2048 6019 n(A) / n 0,5070 0,5016
24000
12012
0,5005
Oigledno je da se frekvencija sve vie pribliava broju 0,5.
Poznato je da je relativna frekvencija roenja mukog deteta 0,515 i
da se taj broj pokazao vrlo stabilan u raznim vekovima i u raznim
krajevima sveta. Ozbiljno ogranienje kod statistike definicije
verovatnoe je svakako to to ne postoji efektivan postupak za
odreivanje tane granine vrednosti ( a time i verovatnoe dogaaja)
kojoj se pribliava niz relativnih frekvencija kada se broj
ponavljanja eksperimenta uveava. Postoji i tzv. geometrijski
definisana verovatnoa koja se odnosi na sluajeve kada je prostor
svih ishoda neki neprebrojiv skup. Da bi se otklonili uoeni
nedostaci u pojedinim od navedenih definicija uoava se jedna
posebna kolekcija ili skup dogaaja na kome se pojam verovatnoe
uvodi pomou aksioma. Ta kolekcija, (onaena sa F ) zadovoljava
sledee zahteve: 1. F, 2. Ako A F , onda i Ac F, i 3. Ako Ai F, n =
1,2, ... , tada i A i F. i =1
Kolekcija dogaaja F se naziva polje ili - algebra ili Borelovo
polje dogaaja. Verovatnoa p je numerika funkcija definisana nad
Borelovim poljem dogaaja tako da zadovoljava sledee aksiome: A1)
nenegativnost: Svakom sluajnom dogaaju A iz polja F odgovara
nenegativan broj p(A) koji se zove verovatnoa dogaaja A. A2)
normiranost. Verovatnoa sigurnog dogaaja je 1, tj. p () = 1. A3) -
aditivnost. Ako je niz dogaaja An iz F takav da je Ai Aj = Ai Aj =
za i j , onda je p ( Ai) = p(Ai).i =1
i =1
Ureena trojka (, F, p ) se zove prostor verovatnoe. Kae se i da
je zadavanje prostora verovatnoe upravo zadavanje prebrojivo
aditivne nenegativne mere koja je jo i normirana na merljivom
prostoru. Na osnovu navedenih aksioma se dalje moe izgraivati
sadrajna matematika teorija koja se temelji na tzv. teoriji mere.
Konaan prostor verovatnoa. Neka je = {1, 2, ..., n} , n konaan
prirodni broj, i neka su p1, p2, ... , pn brojevi koji
zadovoljavaju uslov pi0, i = 1, 2, ... , n in
pi = 1. F je skup svih podskupova od kojih imai =1
n
2 ukljuujui i . Verovatnou moemo definisati na sledei nain: p(A)
= pi pri emu se indeks i odnosi na one i koji pripadaju datom
dogaaju A. Lako se proverava da je sada (, F, p ) prostor
verovatnoe, odnosno da su zadovoljene aksiome A1, A2 i A3. Ako se
pretpostavi da je pi = p(i ) = 1/n za i = 1,2,..., n dobija se
klasina definicija verovatnoe za konaan prostor jednako verovatnih
dogaaja, tj. p(A) = (broj i u A ) / n. Primer 2.1. Na 8 listia su
zapisani brojevi 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, i 13. Na sluajan nain se
biraju dva listia. Odrediti verovatnou da se razlomak formiran od
izvuenih brojeva moe skratiti. Broj svih mogunosti n jednak je
broju kombinacija druge klase od 8 elemenata, tj. n = 8! /(2!
(8-2)!) = 28, dok je broj sluajeva m koji odgovaraju datom dogaaju
jednak broju kombinacija druge klase od 5 elemenata (ima 5 parnih
brojeva), tj. m = 5! / (2!(5-2)!) = 10. Otuda je verovatnoa datog
dogaaja 5/14.
3. Osobine verovatnoe
Neposredne posledice aksioma pomou kojih se definie verovatnoa
nekog dogaaja su, recimo: 1. p() = 0, jer je = + + + ... = ; 2.
Konana aditivnost : p( Ai ) = p(Ai) kao posledica - aditivnostii =1
i =1 n n
budui da je Ai = A1+A2+ ... + An + + + ... ;i =1
n
3. p(A )= 1 p(A), jer je A + Ac = ; 4. Ako je A B onda je p(A)
p(B) , jer je onda B = A + AcB ; 5. Za A F je 0 p(A) 1 , jer je A ;
6. p(A B ) = p(A) + p(B) p(AB) , jer je A = A + ABc i B = AB + AcB;
7. p(A B ) P(A) + p(B) Na osnovu pojmova verovatnoe dogaaja p
definiu se pojmovi skoro siguran dogaaj A - ako je p(A) = 1, i
skoro nemogu dogaaj A ako je p(A) = 0. To je zato to iz p(A) = 1 ne
mora da sledi da je A = , niti iz p(A) = 0 da je A = . Primer 3.1.
Koristei osobinu 6. moe se dobiti da je p(A B C) = p(A (B C)) =
p(A) + p(B C) p (A(B C)) = p(A) + p(B) + p(C) p(BC) p(AB AC)) =
p(A)+p(B) + p(C) p(BC) ( p(AB) + p(AC) p(ABAC)) = p(A) + p(B) +
p(C) p(AB) p(AC) p(BC) + p(ABC).
c
4. Uslovne verovatnoe
esto se javlja potreba da se odredi verovatnoa dogaaja B pod
uslovom da se ve ostvario dogaaj A ija je verovatnoa pozitivna.
Takve ce verovatnoe nazivaju uslovne i oznaavaju sa pA (B) ili p(B/
A) . Uslovna verovatnoa pA(B) odreuje, opisno govorei, koji deo
dogaaja A obuhvata dogaaj B. Primer 4.1. Verovatnoa dogaaja B : kod
bacanja numerisane kocke pao je broj 2 je 1/6. Neka je poznato da
je nastupio dogaaj A : pao je paran broj. Verovatnoa dogaaja B pod
uslovom da je nastupio dogaaj A je onda 1/3. U aksiomatskom
zasnivanju teorije verovatnoe uslovna verovatnoa se uvodi
definicijom. Neka je (, F, p) prostor verovatnoe, A F i p(A) > 0
, tada je sa pA (B) = p(B/A) = p(AB) / p(A) = p(A B) / p(A) za
svako B F odreena nova verovatnoa pA i novi prostor verovatnoe (,
F, pA). Lako se moe proveriti da ova nova verovatnoa zadovoljava
napred navedene aksiome verovatnoe A1, A2 i A3. Iz definicije
uslovne verovatnoe sledi tzv. pravilo mnoenja p(AB) = p(A) p(B/A) =
p(B) p(A/B) koje se moe onda proiriti na proizvod konano mnogo
dogaaja p(A1A2... An) = p(A1) p(A2/A1) p(A3/A1A2) ...
p(An/A1A2A3...An-1) Sa uslovnim verovatnoama su povezane i dve vane
formule u teoriji verovatnoa. Formula totalne verovatnoe. Ako su
A1,A2, ..., An uzajamno disjunktni dogaaji sa pozitivnim
verovatnoama tako da je Ai = , onda za svaki dogaaj B F vai:i =1
n
p(B) = p(A1) p(B/A1) + p(A2) p(B/A2)+ ... + p(An) p(B/An) =
p(Ai)i =1
n
p(B/Ai) Zaista, disjunktnost dogaaja Ai i = 1,2, ... ,n povlai i
disjunktnost dogaaja Ai B = Ai B , a kako je B = B = B(A1+ A2+ ...
+ An) = A1B + A2B + ... AnB to se, uzimanjem verovatnoa, dobija
navedena formula. Dogaaji A1, A2, ... , An se esto nazivaju i
hipoteze. To znai da ako neki dogaaj nastupa uz odreene hipoteze,
onda njegova verovatnoa zavisi od verovatnoa tih hipoteza i
uslovnih verovatnoa tog dogaaja pod uslovom da su se realizovale te
hipoteze. Verovatnoe p(Ai) i = 1,2, ..., n su obino poznate
unapred, pre realizacije nekog eksperimenta, pa se esto nazivaju i
apriornim verovatnoama. Bajesova formula. Saglasno pravilu mnoenja
je p(AiB) = p(Ai) p(B/Ai) = p(B) p(Ai /B) za i = 1, 2, ..., n. Iz
zadnje dve jednakosti, uz korienje formule o totalnoj verovatnoi,
dobija se p(Ai /B) = p(Ai ) p(B/ Ai) / p(B) = p(Ai) p(B/ Ai) /
p(Aj) p(B/Aj) za j =1 B F.n
Ova se formula obino interpretira na sledei nain: Dogaaj B se
moe realizovati pod razliitim uzrocima, pretpostavkama, hipotezama
A1,..., An . Dogaaj B se realizovao. Tada je p(Ai / B) verovatnoa
dogaaja realizacija dogaaja B je nastupila pod uzrokom, hipotezom
Ai, tj. verovatnoa hipoteze pod uslovom da se realizovao dogaaj B.
Zbog toga se verovatnoe p(Ai/ B) nazivaju i aposteriorne
verovatnoe. Primer 4.1. Pojava simptoma B u laboratorijskoj analizi
krvi sree se kod bolesti Ai, i= 1,2,...,n . Poznata je verovatnoa
pojavljivanja svake bolesti Ai i verovatnoa pojavljivanja simptoma
B kod svake bolesti Ai, i = 1,2,...,n. Bajesova formula omoguava da
se odredi verovatnoa da je u pitanju bolest Ai , odnosno daje
vrednost od p(Ai/ B).
Primer 4.2. Ako je p(A) = 0,9 ; p(B) = 0,8 pokazati da je p(A/
B) 0,875. p(A/ B) = p(AB) / p(B) = (p(A)+p(B) p(A B))/ p(B) (0,9
+0,8 1)/0,8= 0,875 budui da je p(A B) 1.
5. Nezavisnost dogaaja Dogaaj A je nezavisan od dogaaja B ako i
samo ako je pA(B) = p(B). U tom sluaju ranije navedeno pravilo
mnoenja dobija oblik p(AB) = p(A) p(B) Kako je u tom sluaju i pB(A)
= p(AB) / p(B) = p(A) p(B) / p(B) = p(A) to znai da ako je B
nezavisan od A tada je i A nezavisan od B. U praktinim primenama
nije lako proveriti nezavisnost dogaaja pomou definicije.
Nezavisnost dogaaja se obino pretpostavlja (ili ne pretpostavlja)
na osnovu fizikih uslova eksperimenta u kome te dogaaje posmatramo.
Neki od nezavisnih dogaaja se lako uoavaju: 1. Proizvoljni dogaaj A
i sigurni dogaaj su nezavisni. Zaista, zbog A = A i p() = 1 je p(A)
= p(A) = p(A)1 = p(A) p() 2. Proizvoljni dogaaj A i nemogui dogaaj
su nezavisni. Zbog A = i p() = 0 je p(A) = p() = 0 = 0p(A ) = p()
p(A) . 3. Ako su dogaaji A i B nezavisni tada su to i dogaaji a) A
i Bc , b) Ac i B , c) Ac i Bc .
Zaista, iz 1 = pB () = pB (A+Ac) = pB(A) + pB(Ac) = p(A) +
pB(Ac) , odakle je pB(Ac) = 1 p(A) = p(Ac) ime je pokazano da vai
b). Proveri sam ostala tvrenja! 4. Ako su A i B1 nezavisni, a isto
tako i A i B2 , gde je B1B2 = , tada su i A i B1 + B2 nezavisni.
Oigledno je p(A(B1 + B2)) = p(AB1+AB2) = p(A) p(B1) + p(A) p(B2)=
p(A) (p(B1) + p(B2)) = p(A) p(B1+B2). Dogaaji A1, A2, ... , An su
nezavisni u ukupnosti ako postoji meusobna nezavisnost za
proizvoljnih r (r n) takvih dogaaja, tj. za ma koju konanu
kolekciju Ai1, Ai2, ..., Air , 1 i1 i2 ... ir vai p(Ai1Ai2 ... Air)
= p(Ai1) p(Ai2) ... p(Air). To znai i da je za ma kojih n dogaaja
A1, A2, ... , An koji su nezavisni u ukupnosti: p(A1A2 ... An) =
p(A1) p(A2) ... p(An) Da nezavisnost u parovima (bilo koja dva
dogaaja su meusobno nezavisna) nije dovoljna za nezavisnost u
ukupnosti pokazuje sledei jednostavan primer. Tri strane pravilnog
teatraedra su obojene redom crvenom, plavom i utom bojom, dok je
etvrta strana obojena sa sve te tri boje. Neka A oznaava dogaaj da
prilikom bacanja tetraedra padne crvena boja, B- plava i C uta.
Oigledno je da je p(A) = p(B) = p(C) = 2/4 = .Takoe je p(AB) = = =
p(A) p(B) , a isto vai i za dogaaje AC i BC. To znai da su dogaaji
u parovima nezavisni. Meutim, p(ABC) = p(A) p(B) p(C) = = odnosno,
dogaaji A, B i C nisu nezavisni u ukupnosti. Primer 5.1. Dogaaji
A1, A2, ... , An su nezavisni. Odrediti: a) verovatnou da se bar
jedan od njih realizuje, b) verovatnou da se svi ne realizuju, c)
verovatnou da se samo A3 realizuje. a) Posmatrani dogaaj je B =
(A1cA2c... Anc)c pa je
p(B) = 1 p(A1cA2c ... Anc) = 1 p(A1c) p(A2c) ... p(Anc) = 1
(1-p(A1)) (1-p(A2)) ... (1-p(An)). b) C = (A1A2 ... An)c , pa je
p(C) = 1- p(A1) p(A2) ... p(An). Primer 5.2. Pokazati da dogaaji A
i Ac nisu meusobno nezavisni. Zaista , ako je 0 < p(A) < 1
onda je i 0 < p(Ac) < 1 pa je p(Ac/ A) = p(AAc) / p(A) = p()
/ p(A) = 0 p(Ac).
6. Sluajne promenljive U svakodnevnom ivotu, kao i u naunoj
praksi, esto se deava da se nekom moguem ishodu pridruuje neka
numerika karakteristika ili obeleje, zapravo neki realni broj.
Sluajnim dogaajima, kao skupovima elementarnih ishoda, se onda
pridruuje odreeni skup realnih brojeva. Tako se, povezivanjem
prostora dogaaja sa skupom realnih brojeva, dolazi do novog pojma
sluajna veliina (promenljiva, varijabla). Preciznije, u prostoru (,
F , p) je neki elementarni dogaaj iz F. Sluajna promenljiva X() je
preslikavanje R pri emu je za svaki
podskup S R data verovatnoa da X() S, tj. p(X S) = p(: X() S) je
poznata (ili se moe odrediti). Primer 6.1. Pri bacanju numerisane
kocke elementarnim ishodima 1, 2, ..., 6 pridruimo redom brojeve
1,2, ... ,6. Ti brojevi se mogu smatrati vrednostima sluajne
promenljive X = X(). Ishod i se interpretira kao dogaaj u kome je
promenljiva X uzela vrednost i (i = 1,2, ..., 6). Pri tome je p(X =
i ) = 1/6. Primer 6.2. Neka je A dogaaj : duina sluajno izabranog
predmeta je u granicama od 30 d0 35 cm. Tu se zapravo radi o
dogaaju da neka sluajna promenljiva uzme vrednost iz intervala (30,
35) , tj. dogaaju A = { X : 30 X 35} ili, krae A = {30 X 35}.
Primeuje se da promenljiva X moe uzeti bilo koju vrednost iz datog
intervala, pa postoji, dakle, beskonano, neprebrojivo (kontinuum)
moguih vrednosti te promenljive. Oznaimo sa pX(S) verovatnou p(X S)
= p(: X() S). Ona se zove zakon raspodele verovatnoa za sluajnu
promenljivu X. Sluajna promenljiva je odreena kada je poznat njen
zakon raspodele. Na osnovu zakona raspodele se moe precizirati tip
sluajne promenljive. Sluajna promenljiva je diskretnog tipa ako i
samo ako postoji prebrojiv skup realnih brojeva RX = { x1, x2 , ...
} takav da je pX(RX) = p(X RX) = 1 i pri tome su poznate sve
verovatnoe p(xi) = p(X =xi) = pi za svako xi RX. Uobiajeno je da se
u tom sluaju zakon verovatnoe zapisuje u obliku x1 x2 x3 ... X : (
=1 p(x1) p(x2) p(x3) ... Zakon verovatnoe se moe predstaviti i
putem tabele X x1 x2 ...),
p(xi) > 0 , p(xi)i =1
p
p1
p2
...
Sluajna promenljiva je odreena svojim zakonom raspodele
verovatnoa pX(S) = p( X S). U sluaju da je S = (- , x) , x R dobija
se pX(S) = pX(- , x) = pX(X< x) = F(x). Funkcija F(x) se zove
funkcija raspodele verovatnoa (ili raspored) i ona, takoe, u
potpunosti odreuje sluajnu promenljivu. Ako su sve realizacije
sluajne promenljive u skupu RX = {x1, x2, ...} pri emu je p(xi) =
p(X=xi) i = 1,2, ... onda funkcija raspodele ima oblik F(x) = p(xi)
xi me > mo. za 3 < 0 , re je o negativno asimetrinoj
distribuciji ili levoj distribuciji, pri emu je EX < me < mo.
- ako se vrednosti od 3 kreu od -2 d0 +2 , ili se pribliavaju broju
2, odnosno 2 , onda je ta distribucija jako ili izrazito
asimetrina. Pored navedenog, postoje i druge mere asimetrije
rasporeda. Tako je Pearson uveo sledei koeficijent asimetrinosti,
oznaka Sk, : Sk = (EX mo) /
U formuli se pojavljuje razlika izmeu aritmetike sredine i
modusa, koja je kod simetrinih rasporeda jednaka nuli. Mera je
oznaena sa Sk od skewness nagnutost. Za koeficijent Sk se moe
dobiti i sledei izraz: Sk = 3(EX me) / Vrednosti od Sk se kreu od 3
do +3 i to je Sk blii nuli to je asimetrija rasporeda manja,
odnosno raspored je simetriniji. Sk je pozitivan kod pozitivno
asimetrine distribucije, a negativan kod negativno asimetrine
distribucije. Merama spljotenosti (ili zaobljenosti) raspodele
opisuje se homogenost, tj. koncentracija vrednosti u odnosu na
aritmetiku sredinu. Za koeficijent spljotenosti , oznaka 4 ,
izabran je odnos centralnog momenta etvrtog reda i etvrtog stepena
standardne devijacije, tj. 4 = 4 / 4 Ovaj koeficijent ima samo
pozitivne vrednosti jer je re o stepenovanju parnim brojem. Za
normalnu Gausovu raspodelu vrednost ovog koeficijenta je 3 i u
odnosu na tu raspodelu se odreuje zaobljenost drugih raspodela.
-Ako je za neku raspodelu 4 = 3, onda je ta raspodela normalne
visine; Ako je > 3 distribucija je izduenog oblika (visoka
distribucijavea je koncentracija vrednosti sluajne promenljive oko
aritmetike sredine); Ako je < 3 onda je distribucija spljotenog
oblika (niska distribucija manja je koncentracija vrednosti obeleja
oko aritmetike sredine). Primer 11.1. Odrediti EX, 2, 3 i 4 za
sledei raspored :xi X : fi 6 4 8 5 10 3 11 2 12 5 14 1 15 2
Iz sledee radne tabele sledi :
xi 6 8 10 11 12 14 15
fi 4 5 3 2 5 1 2 22
fi xi di = xi EX 24 -4 40 -2 30 0 22 1 60 2 14 4 30 5 220
di2 fi di2 16 64 4 20 0 0 1 2 4 20 16 16 25 50 172
fi di3 -256 -40 0 2 40 64 250 60
fi di4 1024 80 0 2 80 256 1250 2692
EX = x = fi xi / N = 220/22 = 10; 2 = fi (xi EX)2/ N = 172 / 22
= 7,82, = 7,821/2 = 2,80; 3= 21,90 ; 4 = 61,15; 3 = 3 / 3 = ( fi
(xi EX)3/ N): 3 =( 60/22) : 21,90 = 0,13 (desna asimetrija) 4 = 4 /
4 = ( fi (xi EX)4/N): 4 = (2692/ 22): 61,15 = 2 (spljoteniji
raspored od normalnog). Primer 11.2. Koeficijent asimetrije i
koeficijent spljotenosti se odreuje na osnovu sledee intervalne
distribucije:Teina u kp 56-60 broj studenata 7 60-64 15 64-68 28
68-72 24 72-76 16 76-80 10
Iz radne tabele (sa xi su oznaene sredine gornjih podintervala)
sledi:
xi 58 62 66 70 74 78
fi 7 15 28 24 16 10 100
xi fi 406 930 1848 1680 1184 780 6828
di= xi - EX -10,28 -6,28 -2,28 1,72 5,72 9,72
di2 105,68 39,44 5,20 2,95 32,72 94,47
fi di2 739,76 591,6 145,6 70,8 523,52 944,7 3015,98
fi di3 -7604,73 -3715,25 -331,97 121,77 2994,53 9182,48
643,83
fi di4 78176,62 23331,77 756,89 209,44 17128,71 89253,7
208857,13
EX = xi fi / N = 6828/100 = 68,28i =1
6
2 = fi di2 /N = 3015,98/100 = 30,16 ; = 5,4918; 3= 165,63;i
=1
6
= 909,62 3 = fi di3 / N = 646,83 / 100 = 6,47i =1 6
4
pa je
3 = 3 /3 = 6,47 / 165,63 = 0,0391 4 = fi di4 /N = 208857,13 /
100 = 2088,57 pa je 4 = 4 / 4 = 2,296.i =1 6
Primer 11.3. Dobijeno je sledeih 50 podataka o nekom obeleju:69
61 65 70 70 63 66 71 76 83 65 80 73 81 82 68 62 73 78 66 83 88 72
71 67 75 75 80 79 73 76 79 84 69 70 74 72 83 78 78 85 86 82 78 76
74 84 75 77 87
Potrebno je da se formiraju intervali frekvencija, a zatim
odrede koeficijenti asimetije i spljotenosti. Vrednosti sluajne
promenljive se grupiu u podintervale pri emu se za broj i irinu
intervala koristi tzv. pravilo Sturgesa: K = 1 + 3,3 log N - broj
intervala; d = (xmax xmin) / K - irina jednog podintervala. K = 1 +
3,3 log 50 = 7 ; d = (88 61) / 7 = 4 Radna tabela ima oblik : (d=4,
A = 74 , N= 50, yi = (xi 74) /4 )razmak 60-64 64-68 68-72 72-76
76-80 80-84 84-88 xi 62 66 70 74 78 82 86 fi 3 6 8 12 9 8 4 50 yi
-3 -2 -1 0 1 2 3 fi yi -9 -12 -8 0 9 16 12 8 fi yi2 27 24 8 0 9 32
36 136 fi yi3 -81 -48 -8 0 9 64 108 44 fi yi4 243 96 8 0 9 128 324
808
EY = m1 = 8/50 = 0,16 ; m2 = EY2 = 136/50 = 2,72 ; m3 = EY3=
44/50 = 0,88 ; m4 = EY4 = 808/50 = 16,16, a kako je X= 4Y + 74 to
je EX = 40,16 +74 = 74,64; 2X = 2(4Y + 74) = 16 2Y = 16(EY2 -
(EY)2) = 16(2,72- 0,162) = 162,6944, pa je X= = 6,56. Iz k = E( X
EX)k = E( 4Y +74 4EY 74)k = E(4(Y EY))k = 4k E(Y EY)k dobija se 3 =
43E(Y EY)3 = 43 E(Y3- 3Y2 EY + 3 Y(EY)2 - (EY)3) = 43(EY3- 3EY2 EY
+ 3 EY (EY)2 - (EY)3) =
43(m3 3m1m2 +2m13) = 43(0,88 - 30,162,72 + 20,163) = -26,7; 4 =
44 E(Y EY)4 = 44 E(Y4-4Y3 EY +6Y2(EY)2-4 Y (EY)3+(EY)4)= 44(m4
4m1m3+6m12m2-3m14)= 4099 , pa je 3 = 3/ 3 = (-2,67)/ 6,563 = -0,09
; 4 = 4 / 4 = 2,2
14. Zadatak statistike Statistika, krai naziv za matematiku
statistiku, se obino definie kao skup metoda za kvantitativno
istraivanje pojava i to ne na pojedinim ve na mnotvu sluajeva.
Predmet njenog istraivanja su skupovi (populacije ili mase
sveukupnosti) iji su elementi (tzv. statistike jedinice) meusobno
slini i povezani s nekom optom vezom (recimo posedovanje iste
osobine-obeleja). Statistika je opta metoda saznavanja koja koristi
rezultate teorije verovatnoa. U njoj se masovno i opte saznaje na
osnovu posebnog i pojedinanog, dok se kvalitet upoznaje na osnovu
kvantiteta. Re statistika se, takoe, esto odnosi i na rezultate
kvantitatativnog istraivanja pojava. Statistike jedinice, po
pravilu, poseduju, vie razliitih obeleja (karakteristika,
svojstava, vrednosti neke sluajne promenljive). Ta obeleja mogu
biti numerikog karaktera, ali i opisnog, atributivnog karaktera
(pol, zanimanje, boja oiju). Ljudsko iskustvo pokazuje da ako se
posmatra mali broj statistikih jedinica onda vrednosti obeleja
pokazuju od elementa do elementa znaajna kolebanja. Meutim, ako se
broj posmatranih jedinica povea onda se jae manifestuje odreena
zakonitost kod kolebanja tog obeleja.
Cilj statistikih istraivanja je da se doe do adekvatnih
informacija o karakteristikama posmatrane populacije. Te se
karakteristike izraavaju pomou odreenih parametara kao to su
sredine (EX, G, H), varijanse, momenti proizvoljnog reda, medijana,
modus, koeficijent korelacije itd. Takvi parametri se posmatraju i
izraunavaju na odreenim podskupovima populacije koji se tovu
uzorci. esto se odreene karakteristike, tj. odgovarajui parametri
na uzorku, nazivaju i statistike. Kako se u razliitim uzorcima mogu
nalaziti razliiti elementi populacije to se vrednosti jedne iste
statistike menjaju od uzorka do uzorka, tj. prisutna je odreena
fluktuacija uzorka. Ako se iz iste populacije uzme odreeni broj
uzoraka sa po n elemenata (kaemo da se radi o uzorcima obima n ), i
za svaki uzorak izrauna vrednost jedne iste statistike, dobija se
niz vrednosti te statistike od kojih se moe obrazovati odgovarajui
raspored frekvencija. Raspored frekvencija jedne statistike koji bi
se dobio kada broj takvih uzoraka od n elemenata neogranieno raste,
zove se raspored statistike. Kao i svaki raspored i ovaj raspored
moe imati svoje parametre- sredine, varijansu, medijanu i sl.
Dakle, na statistiku se moe gledati kao na jednu sluajnu
promenljivu. Statistika se moe posmatrati i kao nauka o tzv.
induktivnom ponaanju oveka (i ne samo oveka) u situacijama kada je
on prinuen da na osnovu nedeterministikog eksperimenta dolazi do
reenja na najbri i najekonominiji nain.Najire posmatrano, u
statistiku spada sve to je vezano za stvaranje i korienje metoda za
prikupljanje i obradu pojedinih podataka u cilju dolaenja do
odreenih saznanja odnosno do izvoenja odreenih naunih i praktinih
zakljuaka. Konkretnije, osnovni zadaci statistike su: -prikupljanje
podataka o nekoj pojavi, obeleju, stavu, ...;
-obrada podataka u cilju dobijanja informacija neophodnih za
dobijanje zakljuaka, formulisanje zakonitosti ili proveravanje neke
unapred zadate pretpostavke (hipoteze); -predvianje (predikcija) i
donoenje odluka.
Primer 12.1 . Za mnoge proizvode je bitno obeleje vek trajanja
(npr sijalice) koji je nemogue tano unapred odrediti. Iskustvo
pokazuje da ako se proizvodni proces ne menja onda se ta trajanja
X1, X2, ... mogu posmatrati kao nezavisne i jednako rasporeene
sluajne promenljive. Parametar vezan za vek trajanja prirodno je
povezati sa EXi , i = 1,2,... Jedan od osnovnih zadataka u
statistici je da se odredi parametar . U tom cilju se uzima n
gotovih proizvoda i na njima se vri provera datog svojstva
registruje se vek trajanja konkretne sijalice. Neka su sa x1, x2 ,
... , xn oznaena vremena trajanja posmatranih n proizvoda. Prirodno
je oekivati da broj x =1 x n ii =1 n
pri dovoljno velikom n bude blizu , tj. da se se moe zameniti sa
x , a da se pri tome ne napravi velika pogreka. Svakako da je od
interesa da n bude to manje (npr. da se to manje sijalica rtvuje),
kao i da je tzv. ocena parametra to pouzdanija. Primer 12.2. Neka
se neki eksperiment prvo n puta izvodi u uslovima A, a zatim m puta
u uslovima B. Postavlja se pitanje uticaja uslova eksperimenta na
rezultate eksperimenta. Tako, recimo, ako se posmatra uticaj nekog
preparata na rast biljaka onda se izvode dve serije eksperimenata
(sa preparatom i bez njega) i vri
poreenje dobijenih rezultata. Analogno je i kod raznih pedagokih
istraivanja (kontrolna i eksperimentalna grupa). 15. Uzorak
Generalni skup (populaciju) oznaimo sa , a njegove elemente sa . Za
ma koji se uoava posmatrano obeleje X(). X = X() je sluajna veliina
koja je, kao to znamo, potpuno odreena svojom funkcijom raspodele
F(x) , koju emo u daljem zvati teorijska funkcija rasspodele
populacije. Ukoliko bi populacija bila sa manje elemenata i za
svaki od njih se utvrdila vrednost obeleja X onda bi i funkcija
F(x) bila potpuno odreena. U praksi obino nije tako, ve se
registrovanje zadatog svojstava vri nad nekim pravim podskupom iz
populacije, na uzorku. Uzorci se dele u dve osnovne grupe u
zavisnosti od toga da li svi elementi populacije imaju jednaku
verovatnou da uu u uzorak tada se radi o prostom sluajnom uzorku
ili se radi o uzorcima gde svaki elemenat populacije ima odreenu,
ali ne uvek i podjednaku verovatnou, da bude izabran za uzorak-
tada je re o kontrolisanim uzorcima. Najei kontrolisani uzorci su:
- stratifikovani uzorak. Ako se uzorak izabere iz populacije gde su
prisutne velike varijacije kod obeleja onda e se kod evidentiranog
svojstva pojaviti velike razlike u odnosu na svojstvo kod cele
populacije. Te se razlike mogu smanjiti poveavanjem obima uzorka,
ali i tako to bi se heterogeni skup podelio na vie
homogenijih podskupova-stratuma pa se onda uzorci birali iz
stratuma. Na takvim uzorcima bi se registrovala vrednost obeleja,
odnosno vrednost nekog parametra (statistike) obeleja, a onda bi
se, uz odgovarajue ponderisanje, izraunavala vrednost tog parametra
za celu populaciju. Na taj nain se dolazi do informacija ne samo o
karakteristikama cele populacije, ve podskupova te populacije.
-viefazni uzorak. Ako je re o istraivanju gde je nemogue ili vrlo
skupo (ili skopano sa rizicima) neposredno ispitivanje ak i na
uzorku tada se u prvoj fazi izvre sva ona ispitivanja koja su
mogua, dok se u drugoj fazi izvri u odreenoj grupaciji specifino
ispitivanje koje se nije primenilo na ceo uzorak. -viestepeni
uzorak. Ova se uzorak koristi kada je u pitanju velika teritorija,
pa je otean direktan izbor elemenata za uzorak. Tada se u prvom
stepenu odabiraju elementi iz kojih e se vriti odabir elemenata
drugog reda i tako redom. sistematski uzorak. Radi se o varijanti
viestepenog uzorka pri emu se odabiranje elemenata vri po odreenom
algoritmu. Obino se prvo odredi korak izbora K = N/n (N broj
jedinica cele populacije, n obim uzorka). Prvo se odredi prvi
element uzorka a (a K) . Ostali elementi uzorka su onda a+K, a+2K,
a+3K , ... Pokazuje se da se na osnovu registrovanih vrednosti u
prostom sluajnom uzorku , pri dovoljno velikom n moe , sa dosta
velikom tanou,ustanoviti nepoznata funkcija raspodele odgovarajue
sluajne promenljive obeleja
populacije. Da bi se to postiglo mora se obezbediti
reprezentativnost uzorka, tako da saznanje izvueno iz njega bude to
tanije za celu populaciju. Reprezentativnost se postie ako je izbor
elemenata u uzorak sluajan i nezavisan od obeleja koje se posmatra.
Sluajni izbor se najbolje postie ako se koriste tablice sluajnih
brojeva koje su sastavljene tako da parni i neparni brojevi imaju
ansu od 50% da uu u uzorak, a brojevi od 0 do 9 verovatnou od 10%.
Za korienje tablica mora se utvrditi obim populacije (N), izvriti
njeno numerisanje i utvrditi obim uzorka (n).Za n 30 govori se o
malom uzorku, a u protivnom o velikom uzorku. Tako, recimo, ako je
N = 3300 uenika, a treba izabrati uzorak od n = 85 uenika prvo se u
tablicama sluajnih brojeva bira poetni broj (naravno ne vei od
3300) a zatim se vri odabiranje etvorocifrenih brojeva (jer je N
etvorocifreni broj) sve dok se ne popuni broj od 85 uenika. Pri
odabiranju brojeva moe se ii horizontalno, vertikalno ili
dijagonalno po tablicama - bitno je da se po izabranom postupku
izbor sprovede do kraja. Pomou spiska utvrdie se onda o kojim se
uenicima radi. Ako su elementi uzorka obima n izabrani sluajno onda
imamo n nezavisnih ishoda 1, 2, ... , n, kojim u odnosu na
posmatrano obeleje odgovara n- dimenzionalna sluajna veliina (X1,
X2, ... , Xn) gde je Xk = X(k) ; k = 1,2,..., n koja se zove
sluajni uzorak. U konkretnom sluaju konkretnom utvrivanju svojstva
dobija se registrovana vrednost uzorka (x1 , x2 , ... , xn) ili, to
je isto, realizovana vrednost date n dimenzionalne sluajne
veliine.
Sluajni uzorak je prost ako su sve sluajne veliine X1, X2, ...,
Xn meusobno nezavisne i sve imaju istu funkciju raspodele kao i
obeleje populacije X. To znai da se kod uzorka radi o registrovanju
n nezavisnih vrednosti obeleja X. U daljem e se uvek
pretpostavljati da se radi o prostom sluajnom uzorku. Primer 13.1.
Poznato je da je zakon verovatnoe (gustina) obeleja populacije f(x)
= (x+1) za -1 < x < 1 i f(x) = 0 u ostalim sluajevima. Iz
populacije je uzet uzorak obima 5. Potrebno je odrediti verovatnou
da su tano tri izvuena elementa iz uzorka pozitivna. Za ma koji
elemenat Xi iz sluajnog uzorka (X1, X2, X3, X4, X5) je p(Xi > 0
) = f(x) dx = 1/2 (x+1) dx = 0,75,1 0
1
0
pa je p(Xi 0) = 1 0,75= 0,25; i = 1,2,3,4,5. Uzorak oblika (X1
0, X2 0 , X3> 0, X4>0, X5 > 0) ispunjava uslove zadatka a
verovatnoa njegovog izbora je p(X1 0 ) p(X2 0) p(X3> 0) p(X4>
0) p (X5> 0) = 0,252 0,752 . Kako takvih uzoraka ima koliko i
kombinacija bez ponavljanja druge klase od 5 elemenata to je traena
verovatnoa p = 5!/2! 0,252 0,752 = 135/512. 16. Centralna teorema
statistike Na osnovu uzorka (X1, X2, ... , Xn) definie se
empirijska funkcija raspodele Fn*(x) na sledei nain: Fn (x) = 1/n I
(Xk< x) gde je funkcija indikator dogaaja A, oznaka I(A)*k =1
n
definisana sa I(A) = 1 , ako se dogaaj A ostvario, 0, ako se
dogaaj A nije ostvario. Za zadati realni broj x dogaaja Fn*(x)
pokazuje relativnu uestalost
A = (Xk< x). Oigledno je da se ova funkcija za registrovani
uzorak poklapa sa funkcijom raspodele kod diskretne uniformno
raspodeljene sluajne promenljive. Sledei iskaz je od odluujueg
znaaja za zakljuivanja koja se izvode u statistici i poznat je pod
imenom centralna teorema statistike (GlivenkoKanteli): Ako je F(x)
teorijska funkcija raspodele obeleja populacije i Fn*(x) empirijska
funkcija raspodele koja odgovara prostom uzorku (X1, X2, ..., Xn)
onda p( sup| F(x) - Fn*(x)|0, kada n ) = 1 za svako x R. To znai da
sve realizacije funkcije Fn*(x), izuzev moda onih koje odgovaraju
dogaaju ija je verovatnoa 0, konvergiraju ka odgovarajuim
vrednostima teorijske funkcije raspodele, i to za svaki realni broj
x. Time se opravdava zakljuivanje sa uzorka na populaciju tj. da su
zakljuci dobijeni sa dovoljno dobrog uzorka tani , sa verovatnoom
koja je bliska 1, i za celu populaciju. Drugim reima, ako je obim
uzorka dovoljno veliki (n ) verovatnoa razlikovanja empirijske i
teorijske funkcije raspodele je veoma mala. Na osnovu poznavanja
empirijske funkcije raspodele mogu se izraunati razliiti uzoraki
parametri kao to su obini i centralni momenti, medijana i sl. Jedna
od posledica centralne teorme statistike je da obini i centralni
uzoraki momenti konvergiraju ka odgovarajuim momentima sluajne
promenljive X obeleja cele populacije (kada se obim uzorka
poveava). Iz tog razloga se u
praksi umesto nepoznatih parametara obeleja populacije koriste
izraunate vrednosti odgovarajuih uzorakih parametara iz
realizovanog uzorka. Uobiajeno je da se sa x = xn i s2= sn2
oznaavaju redom izraunata uzoraka aritmetika sredina i uzoraka
disperzija (varijansa). 17. Takaste ocene parametara Ponekad su o
nepoznatoj funkciji raspodele obeleja populacije dostupne neke
informacije. Tako je, recimo, poznato da se radi o raspodeli
odreene vrste (normalnoj, binomnoj, uniformnoj,...). Pri tome je
nepoznat odreeni parametar u takvoj raspodeli, ili se, eventualno,
moe ukazati na interval u kome bi se on mogao nalaziti. Kae se da
je u takvim sluajevima nepoznata raspodela smetena u skup
dopustivih raspodela koje zavise od nekog nepoznatog parametra,
odnosno X : {F(x,) , } gde je sa oznaen skup u kome se moe nalaziti
nepoznati parametar u raspodeli oznaen sa . Tako, recimo, oznaka X:
{ N (m,) - < m < , > 0 } ukazuje na to da je re o normalno
rasporeenom obeleju sa dva nepoznata parametra od kojih je drugi
pozitivan. Jedan od zadataka u statistici je da se na osnovu
sluajnog uzorka uzetog iz populacije ije obeleje ima funkciju
raspodele F(x,) na neki nain odredi vrednost parametra a time i
konani analitiki oblik te funkcije raspodele. Radi se o oceni
(estimaciji) nepoznatog parametra, tj. o dobijanju njegove
vrednosti, odnosno o tzv. takastoj oceni parametra raspodele. U tom
cilju se na osnovu registrovanih vrednosti u uzorku izraunava neka
prikladna vrednost (statistika), obino oznaena
sa , koja se moe proglasiti za ocenu nepoznatog parametra . Da
bi takva ocena bila dovoljno dobra uvode se zahtevi kao to su:
Nepristrasnost ocene. Dobijena ocena od paramerta je nepristrasna
(centrirana) ako je E() = . Napomenimo da se izraunava na osnovu
sluajnog uzorka pa je re o sluajnoj veliini koja moe imati svoje
matematiko oekivanje. Korektnost ocene. Ocena je korektna
(asimptotski centrirana) ako E() kada n , tj. obim uzorka
neogranieno raste. Konzistentnost ocene. Ocena je konzistentna
ukoliko E(- )20 , kada n . Drugim reima radi se o najmanjoj moguoj
disperziji te ocene u odnosu na dati raspored. Primer 14.1. Moe se
pokazati da je oekivana vrednost uzorake aritmetike sredine jednaka
matematikom oekivanju obeleja populacije, to znai da je aritmetika
sredina registrovanih vrednosti u uzorku nepristrasna ocena za
matematiko oekivanje kod populacije. Isto tako, moe se dobiti da je
E(sn2) = (n-1)2/n gde 2 predstavlja varijansu obeleja populacije.
To znai da uzoraka varijansa nije nepristrasna ocena varijanse
populacije. Meutim, kako (n-1)2/n 2 kada n to uzoraka disperzija
jeste korektna ocena disperzije populacije. Primetimo da bi veliina
n sn2/(n-1) mogla biti nepristrasna ocena disperzije. Metod
maksimalne verodostojnosti je esto koriena metoda za dobijanje
korektnih takastih ocena nepoznatog parametra u funkciji raspodele
obeleja za celu populaciju.
Neka su {p(xk, ) } k= 1,2,..., n ; ili {f(x,) } familije
dopustivih raspodela obeleja populacije X u zavisnosti od toga da
li je obeleje X sluajna promenljiva diskretnog ili neprekidnog tipa
(f(x,) je gustina raspodele sa nepoznatim parametrom ). Broj za
koji tzv. funkcija verodostojnosti L(, x1, x2 , ... , xn) = L()
dostie maksimum je korektna ocena napoznatog paramerta . Funkcija
verodostojnosti za dati sluajni uzorak (X1 , X2 , ... , Xn) ima
oblik: L() = p(X1,) p(X2, ) ... p(Xn, ) u diskretnom sluaju,
odnosno L() = f(X1,) f(X2, ) ... f (Xn, ) u neprekidnom sluaju. Ako
se posmatra realizovani uzorak onda je L() = L(, x1, x2, ..., xn)
funkcija od jedne promenljive pa se diferenciranjem po toj
promenljivoj moe zapoeti sa traenjem mogueg maksimuma po toj
promenljivoj. Napomenimo da je ponekad pogodnije da se prvo
funkcija L() logaritmuje pa onda diferencira (naravno, uz uslov da
diferenciranje ima smisla). Primer 14.1. Poznato je da obeleje X
populacije ima gustinu raspodele: X : xi pi -2 /5 0 /5 7 1-2/5 0
< < 5/2
Potrebno je da se na osnovu realizovanih vrednosti u uzorku
obima 4 (0, -2, 7, -2 ) odredi ocena maksimalne verodostojnosti za
nepoznati parametar . Kako je L() = p(X1,) p(X2, ) p(X3,) p(X4,) =
p(X1= 0) p(X2= -2) p(X3= 7) p(X4=-2) = /5 /5 (1-2/5)/5 =
(/5)3(1-2/5), to iz L() = 32/125 - 83/625 = 0 sledi = 15/8. Primer
14.2.Obeleje populacije ima gustinu sa nepoznatim parametrom :
f(x, ) = ( 1) x- za x 1 i f(x,) = 0 u ostalim sluajevima. Na
osnovu uzorka obima n , odnosno realizacija (x1,x2, ... , xn)
dobija se: L() = (-1) x1- (-1) x2- ... (-1) xn- = (-1)n (x1 x2 ...
xn)- lnL() = n ln(-1) (lnx1+ lnx2 + ... + lnxn), pa iz (lnL()) =
n/(-1) (lnx1+ lnx2 + ... + lnxn) = 0 sledi = 1 + n/(lnx1+ lnx2 +
... + lnxn)
18. Intervalno ocenjivanje Ocena nepozmatog parametra u
raspodeli obeleja populacije se moe vriti i tako da se na osnovu
sluajnog uzorka odredi interval u kome se nalazi taj parametar. Na
osnovu realizovane vrednosti uzorka (X1, X2, ... , Xn) odreuju se
dva broja u1 i u2 ( u1 < u2) tako da se sa unapred zadatom
verovatnoom 1 ( tzv. koeficijent pouzdanosti ili nivo poverenja)
moe tvrditi da se nepoznati parametar nalazi u intervalu ( u1, u2)
= I( X1 , X2 , ... , Xn)= I . Znai: p ( I ) = p(u1 u2) = p( I(X1 ,
X2 , ... , Xn) = 1 . Interval I = I(X1 , X2 , ... , Xn) je sluajna
promenljiva koja se menja od uzorka do uzorka. Neki od tih
intervala e sadrati parametar , a neki ne. Ipak, u duoj seriji
uzoraka relativna frekvencija sluajeva kada e dobijeni interval
sadrati je priblino 1 . Ako je, recimo, u pitanju 95% nivo
poverenja, tj. 1 = 0,95 ( = 0,05) onda se moe oekivati da e 95%
uzoraka generisati intervale koji e sadrati , (koji e pokrivati
).
Na ovaj nain se dolazi do intervala u kome sa zadatom (obino
visokom preko 90%) verovatnoom treba traiti pravu , ali nepoznatu
vrednost parametra . Prirodno je da se eli da je dobijeni intervala
I = (u1 , u2) to ui, a da je nivo poverenja to vii, ali su ova dva
zahteva, u optem sluaju, suprotna. U sledeim primerima razmotriemo
odreivanje intervalne ocene parametara u pojedinim sluajevima. A.
Pretpostavimo da je poznato da obeleje populacije ima normalni
raspored sa parametrima m i , pri emu je poznato. Potrebno je da se
odredi interval poverenja za nepoznato matematiko oekivanje m
(srednja vrednost) sa nivoom poverenja 1 . Za ocenu nepoznatog
parametra m (aritmetika sredina) koristi se odgovarajua vrednost
tog parametra u uzorku. Moe se pokazati da ako je obeleje
rasporeeno normalno, onda sluajna veliina koja za svoje vrednosti
ima uzorake sredine, oznaka Xn takoe ima normalni raspored sa
izmenjenom disperzijom (odnosno standardnom devijacijom). Naime,
vai: Ako je X : N ( m , ) onda je Xn : N (m, / n1/2). (Pokuajte da
sami napiete zakon verovatnoe za sluajnu veliinu Xn ). Kako je za
sluajnu veliinu X: p(m t 2 sloena. Obino se testira jedna prosta
hipoteza H0 koja se naziva u nulta hipoteza.
Suprotna hipoteza H1 nultoj hipotezi se zove obino alternativna
hipoteza i ona moe biti i prosta i sloena. Prilikom verifikacije
hipoteze mogue je napraviti dve vrste greaka : -greke prve vrste
koje se sastoje u tome da se odbaci H0 ako je ona faktiki tana
(opovrgavanje tane hipoteze), i -greke druge vrste da se prihvati
hipoteza H0 i ako ona nije tana (potvrivanje netane hipoteze).
Jasno je da do pravilnog reenja u postupku sprovoenja statistikog
testa dolazi u dva sluaja: -hipoteza se prihvata pri emu je ona
stvarno i pravilno postavljena (istinita), i -hipoteza se odbacuje
, a ona je istovremeno i nepravilna. Ako se hipoteza odnosi na
parametre raspodele onda se odgovarajui test za njenu proveru
naziva parametarski, dok su ostali testovi neparametarski. Postupak
za proveru kod parametarskih testova emo opisati na primeru provere
hipoteze H0 : = 0 protiv hipoteze H1: 0 . Na osnovu uzorka (X1 ,
X2, ... , Xn) se bira statistika n = f (X1, X2, ... , Xn) kojom ce
ocenjuje nepoznati parametar . Kada je re o konkretnom uzorku onda
statistika n postaje odreeni broj vn ( vn= f(x1,x2,...,xn)) pa je
od interesa da se posmatra odstupanje | vn n| i postavi pitanje da
li je to odstupanje bitno ili ne za prihvatanje hipoteze H0. U tom
cilju treba odrediti broj vn, takav da verovatnoa da se pojavi
odstupanje ne manje od vn, iznosi , ukoliko je hipoteza H0 tana tj.
p( |n | vn, ) = Broj se naziva prag (nivo) znaajnosti, on je
unapred zadat i obino je mali broj, najee = 5 % ili = 1 %.
Ako izraunato odstupanje na osnovu uzorka nije manje od vn,
hipotezu H0 odbacujemo, dok u sluaju da je dobijeno odstupanje koje
je manje od vn, hipotezu H0 nema razloga da odbacimo ( kaemo i :
rezultati testiranja ne protivuree hipotezi H0). Pogledacemo neke
sluajeve testiranja hipoteza. A. Obeleje X je N(m, ) i poznato je .
Testira se hipoteza H0 : m = m0 protiv hipoteze H1 : m m0. Iz datog
uzorka (x1,x2,...,xn) izraunava se uzoraka sredina xn i onda nae
vrednost izraza C = 1 - 2(| xn- m0|/ ( n-1/2)) = p(|Xn- m0||xn m0|
) koja se poredi sa zadatim pragom znaajnosti . U sluaju da je C
hipotezu H0 treba odbaciti, a ako je C > zakljuuje se da uzorak
ne protivurei hipotezi. Primer 16.2. Iz uzorka od 50 vekni hleba
naena je srednja vrednost teine koja iznosi 596 grama. Ako je
standardno odstupanje = 20 grama sa pragom znaajnosti = 5 % = 0,05
testirati hipotezu H0 : m = 600 grama protiv alternativne hipoteze
H1 : m 600 grama. Kako je C = 1 - 2(| 596 - 600|/ (2050-1/2) = 1 -
2(1,41) = 0,16 > 0,05 nema razloga da se odbaci hipoteza H0
odnosno odstupanje od 4 grama se moe smatrati sluajnim. B. Neka je
obeleje X : N(m, ) pi emu nije poznato. Testira se ponovo hipoteza
H0: m = m0 protiv H1 : m m0. Iz zadatog uzorka (x1,x2,...,xn) se
izraunavaju uzoraka sredina xn i uzoraka standardna devijacija sn a
zatim vrednost veliine C = |xn m0|(n 1 )1/2 / sn
Iz tablice Student-ove raspodele se itaju tzv. kritine vrednosti
tn-1, ( je zadati prag znaajnosti). Ako je C tn-1, hipotezu H0
odbacujemo, a ako je C < tn-1, zakljuujemo da uzorak ne
protivurei hipotezi. Primer 16.3. Obrano je 17 stabala vianja i
naen je prosean rod po stablu x17 = 20,2 kg uz standardno
odstupanje s17 = 0,64 kg. Da li je pretpostavka o prosenom prinosu
po stablu od m = 20 kg tana ili ne, uz prag znaajnosti od 5 % =
0,05. Kako je C = |20,2 - 20|(17 1)1/2 / 0,64 = 1,25, a t16, 0,05 =
2,12 > 1,25 zakljuuje se uzorak ne protivurei postavljenoj
hipotezi. C. Testira se hipoteza H0 : m1 = m2 kod dva normalno
rasporeena obeleja. U tom cilju se iz uzetih uzoraka izraunavaju
sredine i standardne devijacije tj. xn1 , yn2, sn1 i sn2 , a zatim
se izrauna vrednost od C = (| xn1 yn2| (n1n2(n1+n2- 2)/(n1+ n2))1/2
/ (n1 (sn1 )2+ n2 ( sn2)2)1/2 ) Iz tablica za raspodelu Student-a
se ita broj tn1 +n2 2 , pa ako je C tn1 + n2 2 , hipotezu H0 se
odbacuje, dok se u ostalim sluajevima prihvata. Primer 16.4. Na
prijemnom ispitu iz matematike je: 80 uenika prve kole osvojilo
proseno po 14,2 poena uz standardno odstupanje od 3,1 poena; 100
uenika iz druge kole postiglo proseno 13,8 poena uz standardno
odstupanje od 3,1 poen. Moe li se smatrati da je na obe populacije
normalna raspodela sa istim matematikim oekivanjem i disperzijom,
uz prag znaajnosti od 1%. Kako je C = (|13,8 14,2|(80100(80 + 100
2)/(80 + 100))1/2/ (803,12 +1003,42)1/2 odnosno C = 1,467 a zbog n1
+ n2 2 = 178 ne vredi koristiti raspodelu studenta ve normalnu
raspodelu odnosno broj t , 0,01 = 2,576. Kako je C < 2,576 to se
moe smatrati da je hipoteza tana razlike u raspodelama nisu
znaajne. D. Testiranje hipoteze o disperziji H0 : 2> 20 kod
normalne raspodele. Iz uzorka se rauna uzoraka disperzia sn2, a
zatim veliina C = n sn2/20 pa se iz tablice za 2 raspodelu nalazi
broj 2n-1, i za C 2n-1, se H0 odbacuje , a u protivnom se H0
prihvata. Primer 16.5. Maina pakuje mleko u vreice od 1 l , sa
disperzijom od 20 = 0,001 l. Posle nekog vremena radnik je izvrio
proveru jedne gajbe mleka od 20 komada i konstatovao da je
disperzija s202= 0,0013 l. Ispitati da li je proces normalan ili se
maina ratelovala , uz prag znaajnosti od 5 %. Zbog C = 200,0013/
0,001 = 26 < 30,144 = 219, 0,05 zakljuuje se da je proces
normalan (ali kako je broj C blizu granine vrednosti treba biti
oprezan). E. Testiranje hipoteze o koeficijentu korelacije H0 : XY
= 0 protiv alternativne hipoteze H1 : XY 0. Iz uzorka (x1,y1) ,
(x2,y2) , ... , (xn,yn) se izraunava uzoraki koeficijent korelacije
rXY 0 pa zatim veliina C = |rXY | (n 2)1/2 / (1 rXY 2)1/2. Iz
tablica za raspodelu Studenta se nalazi vrednost tn-2 , i u sluaju
C tn-2, odbacuje se H0. Primer 16.6. Na sistematskom pregledu 29
uenika konstatovano je da kada se posmatraju visina i teina je rXY
= 0,64. Testirati hipotezu da ne postoji linearna veza protiv
hipoteze da ta veza postoji. C = 0,64 (29 2)1/2 /(1- 0,4096)1/2 =
4,33 > 2,771= t27, 0,01 pa se odbacuje hipoteza.
20. T test Procena vrednosti nekog parametra (recimo aritmetike
sredine) je tanija ukoliko je uzorak vei i ukoliko je obeleje koje
posmatramo manje varijabilno. Kako se na varijabilitet ne moe
delovati, jedino je mogue poveanjem uzorka smanjiti greku procene
koja se vezuje uz nae merenje. Pri tome je poznato da greka u
merenju opada srazmerno kvadratnom korenu broja elemenata uzetih u
uzorak. Tako je, recimo, standardna greka aritmetike sredine,
oznaka SE, data sa SE = / n1/2 = standardna devijacija obeleja
populacije / n1/2 Kako je, po pravilu, nepoznato, to se ona
zamenjuje sa standardnom devijacijom sn iz uzorka (SD uzorka = sn )
tako da se dobija procena standardne greke aritmetike sredine SE =
sn / n1/2 = standardna devijacija uzorka / n1/2 = SD uzorka/ n1/2
saglasno, tzv. pravilu sigmi mogue je uz pomo standardne greke
oceniti interval u kome se kree aritmetika sredina populacije koju
ne znamo. Uz verovatnou od 68,3 % prava sredina je u untervalu xn
SE , uz verovatnou od 95,5 % je prava sredina u intervalu xn 2 SE,
dok je uz verovatnou 99,7 % prava sredina u intervalu xn 3 SE, tj.
p( xn 3 SE 50). Isto tako, podskupove Sk treba odabrati tako da je
r to vee, ali i da je mk > 5 za k = 1,2,...,r. Primer 18.1. Na
alteru banke je registrovan broj ljudi u jednakim vremenskim
raznacima koji je dat tabelom: broj ljudi xi 0 1 2 3 4 broj
intervala ni 80 76 36 15 5 2 Koristei test sa nivoom znaajnosti =
0,05 ispitati da li je ova raspodela Puasonova. ( Pusaonova
raspodela P() je diskretna raspodela za koju je p(X = k) = e- k/k!
, k = 0,1,2,... pri emu je EX = x = i 2X = .) Kako je za Puasonovu
raspodelu parametar jednak matematikom oekivanju (aritmetikoj
sredini) to je : = (080 + 176 + 236 +315 + 45)/(80+76+36+15+5)
1.
Iz tablica za Puasonovu raspodelu nalazimo teorijske verovatnoe
sa pretpostavkom da je hipoteza tana i to: p1= 0,367879 p2=
0,367879 p3 = 0,183940 p4 = 0,061313 p5 = 0,018989 Izraunavaju se
proizvodi npi (oekivani brojevi ljudi na alteru): np1= 212 0,367879
= 77,99 78 np2 = 212 0,367879 78 np3 = 212 0,183940 39 np4 = 212
0,061313 13 np5 = 212 0,018989 4 C = (80 78)2/78 + (76 78)2/78 +
(36 39)2/39 + (15-13)2/13 + (5-4)2/4 = =0,891< 7,815 = 25-1-1,
0,05 pa se hipoteza da je raspodela Puasonova prihvata. (Broj
stepeni slobode se umanjuje za 1 jer se izraunava jedan nepoznati
parametar raspodele ). Primer 18.2. Uspeh studenata se poentira sa
0 do 100 poena i oni se dele u 5 grupa: A : 90 100; B: 80-89 ; C :
70-79 ; D : 60 69 i E : 0-59. Pretpostavlja se da je re o normalnom
rasporedu sa parametrima m = 75 i = 10. U posmatranom ocenjivanju
200 studenata je konstatovano sledee: A : 20 ; B : 60;C : 75 ; D :
35 i E : 10. Testirati hipotezu H0 : X : N(75, 10) uz nivo
znaajnosti = 1 %. Kako je r = 5, m1= 20; m2 = 60; m3 = 75; m4 = 35
i m5 = 10, a zatim p1 = p(90 X 100) = p((90-75)/10 (X 75)/10 (100
75)/10) = (2,5) (1,5) = 0,07; p2 = p( 80 X 89) = 0,24 ; p3 = 0,38 ;
p4 = 0,24 i p5= 0,07 dobija se:
C = (mk npk)2/ npk = 10,25 < 13,28 = 24; 0,01.k =1
5
Nema razloga za odbacivanje hipoteze.
22. Regresije Fransis Galton je 1855. godine analizirao
zavisnost izmeu visine oeva i sinova i pri tome zakljuio da sinovi
ekstremno visokih oeva nisu toliko visoki, ve da regresiraju. Tada
je i uvedena re regresija. est je sluaj da se na osnovu vrednosti
(ili ponaanja) jedne sluajne promenljive zakljuuje neto o drugoj
sluajnoj promenljivoj (ili o vie njih). U prirodnim naukama se
posmatraju deterministiki zakoni oblika y = f(x) u kojima se uvek
pretpostavljaju idealni uslovi (npr. vakuum, konstantnost
temperature i sl.). Meutim, ukoliko se veliine X i Y posmatraju u
realnim uslovima , uvek postoji deo zavisnosti izmeu njih koji se
ne moe opisati deterministikim zakonom. Ako bi postojala jednoznana
funkcionalna zavisnost izmeu dve sluajne promenljive X i Y onda bi
svakoj vrednosti za X odgovarala neka vrednost od Y i tada bi
govorili o funkciji sluajne veliine ( o emu je ve bilo rei). Ako bi
bio poznat zakon raspodele sistema (X , Y) , odnosno odgovarajue
dvodimenzionalne promenljive onda bi se mogle odreivati uslovne
verovatnoe u diskretnom, odnosno uslovne gustine u neprekidnom
sluaju, tj. p(Y = yj / X = xi) = pX = xi(Y = yj) = p(xi, yj)/ p(xi)
= pij / pi. =p(yj/xi) i f(y / x) = fx (y) = f(x,y) / f1(x), odnosno
f(x / y) = fy(x) = f(x,y) /f2(y) Ako je zavisnost meu sluajnim
veliinama samo delimina, tj. neke vrednosti sluajne promenljive Y
zavise od nekih vrednosti sluajne promenljive X,a druge ne (sa obe
strane) moe se govoriti samo o oekivanoj vezi meu X i Y. Radi se o
tzv. uslovnom matematikom oekivanju y(x) = E( Y / X = x) = R(X)
koje u diskretnom sluaju ima oblik R(X) = y(x) = yj p(yj/xi) dok
je za neprekidni sluajj
R(X) = y(x) = y f(y/x) dy
Oigledno je da funkcija R(X) ima smisla samo za one vrednosti od
X = x za koje je p(x) > 0 , odnosno f1(x) > 0. Funkcija y =
R(X) se zove regresija Y na X , a njen grafik je regresiona kriva.
Da bi se dolo do oblika regresione zavisnosti, tj. do R(X),
konstruiu se razliite aproksimativne krive kao to su: polinomi
razliitog stepena y = a0 +a1x , y = a0+a1x+a2x2, ..., hiperbole y =
1/(a0+a1x) , eksponencijalne krive y = abx, geometrijske krive y =
axb, modifikovane eksponencijalne krive y = abx+c, logistike krive
y = 1/( abx+c), itd. Najboljom aproksimativnom krivom se smatra ona
kod koje je greka odstupanja najmanja. Moe se pokazati da za ma
koju krivu y = g(X) greka aproksimacije E(Y g(X))2 najmanja ako se
za g(X) izabere upravo R(X). Na tome ze zasniva tzv. metoda
najmanjih kvadrata putem koje se dolazi do konkretnog analitikog
izraza za neku regrecionu krivu. Razmotrimo, u svojstvu primera,
sluaj linearne regresije kada se trai da aproksimativna kriva bude
linearna, tj. oblika Y = X + . Parametri i e se odrediti iz uslova
da izraz G( , ) = E(Y ( X + ))2 ima najmanju vrednost. Potrebno je
da se odredi minimum funkcije od dve promenljive. Korienjem osobina
matematikog oekivanja i uslova G = 0 i G = 0 dobija se sistem tzv.
normalnih jednaina u obliku: EX2 + EX = E(XY) i EX + = EY
iz koga se, reavanjem po nepoznatim i i zamenom dobijenih
vrednosti u izraz y = x + dobija oblik linearne regresije Y na X :
y = XY X/ Y (x EX) + EY ili (y EY)/Y = (x EX) / X gde su EX, EY, X,
Y , = XY - parametri koje smo ve upoznali ranije i koji se esto
mogu izraunati i bez poznavanja zakona raspodele dvodimenzionalne
sluajne promenljive (X,Y). Primer 19.1.Na osnovu datih podataka o
uticaju investicija na poveanje dohotka firme odrediti jednainu
regresione prave Y na X.
investicije (milioni din.) poveanje dohotka Na osnovu sledee
radne tabele: X 15 20 30 40 60
15 6
20 8
30 10
40 12
60 15
Y 90 160 300 480 900 51
XY
X2
Y2
6 8 10 12 15 165n
225 36 400 64 900 100 1600 144 3600 225 1930 6725 569
EX = 1/n xi = 165/5 = 33 ; EY = 51/5 = 10,2 sXY = 1/n xiyi EX EY
= 1930/5 - 3310,2 = 49,4 sx2 = 1/n xi2 (EX)2 = 6725/5 332 ) = 256 ;
sx = 16i =1
sy2 = 569/5 10,22 = 9,8, sy = 3,13 = XY = sXY / sx sy = 49,4
/(163,13) = 0,987 Vidi se da je koeficijent korelacije veoma blizak
broju 1, tj. da postoji jaka linearna zavisnost. Unoenjem naenih
vrednosti u ranije datu formulu dobija se oblik regresije y = 0,19
x + 3,97. Primer 19.2. Sistem (X, Y) je zadat tabelom
Y X 1 2 3 4
0 1 1
2 2 1 2
3 2 1 1
4
5
1 1
1
Potrebno je da se odredi regresija Y na X. Iz sledee radne
tabele dobija se: yi xi 1 2 3 4 fi 0 1 1 2 2 1 2 5 3 2 1 1 4 4 5 fi
3 4 4 3 14 fi xi fi xi2 fij yj 3 8 12 12 35 3 16 36 48 103 4 8 11
12 xi fij yj 4 16 33 48 101
1 1
1
2
2 1
fj yj fj yj2 fijxi yj fij xi
0 10 12 8 5 35 0 20 36 32 25 113 3 10 11 7 4 35 0 20 33 28 20
101
EX = x = 1/n fi xi = 35/14 = 2,5; EY = y = 1/n fj yj = 35/14 =
2,5; s2x = 1/n fi xi2 (EX)2 = 103/14 2,52 = 1,11, sx = 1,05 ; sy =
1,35 sxy = 1/n fij xi yj EX EY )= = 1/n (xi fij yj ) EX EY = 1/n
(yj fij xi ) EX EY = = 101/14 2,5 2,5 = 0,96 = xy = sxy /sx sy =
0,686 ; y = 0,87 x + 0,33 23. Trendovi Pod pojmom trend podrazumeva
se oekivani razvoj (kae se i razvojna tendencija) neke pojave u u
odreenom buduem periodu, a na osnovu posmatranja te pojave u nekom
dosadanjem (dovoljno dugom) periodu vremena. Na osnovu podataka o
kretanju pojave u dosadanjem periodu (serije podataka iz odreenih
prethodnih vremenskih uzastopnih perioda) bira se matematika
funkcija koja na najbolji nain prati te podatke ( koja najvie
odgovara tim podacima) pa se onda ta funkcija produava u budunost.
Naime, pretpostavlja se da e se ta pojava, bar u neposrednoj
budunosti, i dalje razvijati na nain koji je iskorien za dobijanje
pomenute matematike funkcije. Najee birane funkcije pomou kojih se
vri izraavanje trenda su : -linearna funkcija y = a + bx i trend
izraen ovom funkcijom je linearni; -kvadratna funkcija y = a +bx +
cx2 i onda je re o parabolikom trendu; -eksponencijalna funkcija y
= abx , radi se o eksponencijalnom trendu;
-pomerena eksponencijalna funkcija y = k + abx modifikovani
eksponencijalni trend; -reciprona vrednost pomerene eksponencijalne
funkcije y = 1 /(k + x ab ) trend logistike krive , itd. Odreivanje
vrednosti nepoznatih parametara kod funkcija koje se koriste za
izraavanje trenda se vri na osnovu podataka koji su poznati iz
nekog ranijeg perioda i to primenom metode najmanjih kvadrata koji
smo upoznali kod kriva regresije. U sluaju linearnog trenda na
raspolaganju treba da postoje podaci iz dvodimenzionalnog uzorka (
(x1,y1) , (x2,y2) , ... , (xn,yn)) . Neophodno je da se proveri da
li meu podacima postoji izraena linearna zavisnost koja se ogleda u
koeficijentu korelacije: = xy = ( (xi EX) (yi EY))/ ( (xi EX)2( yi
EY)2)1/2i =1 i =1 n n
Smatra se da za: 0 2
EX = 0 , 2X = n/(n-2) ,
Koijeva raspodela f(x) = / ((1 + x 2)) Relejeva raspodela f(x) =
x/ 2 exp (- x 2/ 2 2) , x > 0 f(x) = /(2) 1/2 , 2X = 2(4-)/2
Laplasova raspodela f(x) = 1/2 exp (-(x-)/) EX = , 2X = 2 2
Vejbulova raspodela V(, ) f(x) = / 2 x-1 exp(-(x/) ), Lognormalna
raspodela L(, ) f(x) = 1/((2)1/2 x) exp( -(ln x )2/22) x>0
