Statik Ders Notları - Üç Boyutta Denge

Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ

Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN

www.makina.selcuk.edu.tr

STATİK

Behcet DAĞHAN

İÇİNDEKİLER

1. GİRİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları

2. KUVVET SİSTEMLERİ - İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri - Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri

3. DENGE - Düzlemde Denge - Üç Boyutta Denge

4. YAPILAR - Düzlem Kafes Sistemler - Çerçeveler ve Makinalar

5. SÜRTÜNME

6. KÜTLE MERKEZLERİ ve GEOMETRİK MERKEZLER

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN


STATİK

STATİK

DENGE

Behcet DAĞHAN

3Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN

Üç Boyutta Denge

3.2STATİK




Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN


Statik Denge 3.2. Üç Boyutta Denge 1

Üç boyutta denge denklemleri

ΣM = 0→

ΣF = 0→

→

→R = Σ Fi = F1 + F2 + ··· + Fn = ΣF = 0 : Ötelenme ile ilgili denge şartı→→ →

i=1

n → → → →

M = Σ Mi = M1 + M2 + ··· + Mn = ΣM = 0 : Dönme ile ilgili denge şartı→→ →

i=1

n → → → →

Kuvvetlerin de kuvvet çiftlerinin de üç dik bileşeni olabilir.

ΣFx = 0

ΣFy = 0

ΣMz = 0ΣFz = 0

ΣMy = 0

ΣMx = 0

Üç boyutlu kuvvet sistemi etkisindeki bir cismin dengesini inceleyerek 6 tane bağımsız denklem elde edilebilir.

Dolayısı ile bir cismin dengesini inceleyerek en fazla 6 bilinmeyen bulunabilir.

Üç boyutta denge problemlerini çözerken de yapılacak ilk iş serbest cisim diyagramı çizmektir.

Dengedeki bir cisme etki eden kuvvetlerin toplamı ve kuvvet çiftlerinin momentlerinin toplamı sıfırdır.



Behcet DAĞHAN



Üç boyutta denge problemlerini çözmek amacı ile serbest cisim diyagramı çizerken faydalanmak üzere aşağıdaki tablo hazırlanmıştır.

Temas cinsi ve kuvvet kaynağı İncelenecek cisme etkisi

1. Sürtünmesiz yüzeyler veya bilya mesnetli

2. Sürtünmeli yüzeyler

3. Yanal yönde hareketi engellenmiş tekerlekli mesnet

N

Diğer cisim incelediğimiz cisme bir N kuvveti uygulayabilir.Bu kuvvet daima itme kuvvetidir vetemas noktasında dayanma yüzeyine diktir.

N

F

Diğer cisim incelediğimiz cisme bir R kuvveti uygulayabilir.Bu kuvvet daima itme kuvvetidir.

R

R2 = F2 + N2F : Teğetsel bileşen, sürtünme kuvveti, dayanma yüzeyine paralel

N : Normal bileşen, dayanma yüzeyine dik

Sürtünme kuvveti daima kaymayı önleyici yöndedir.

N

F

R

Diğer cisim incelediğimiz cisme bir R kuvveti uygulayabilir.Bu kuvvet daima itme kuvvetidir.

R 2 = F2 + N2F : Yanal kuvvet

N : Normal bileşen, dayanma yüzeyine dik

x y

z

x y

z

x y

z



Behcet DAĞHAN



Temas cinsi ve kuvvet kaynağı İncelenecek cisme etkisi

4. Küresel mafsal

5. Ankastre mesnet

Diğer cisim incelediğimiz cisme bir R kuvveti uygulayabilir.Fakat dönmeye izin verdiği için moment uygulayamaz.

Rzx y

RyRx R2 = Rx2 + Ry

2 + Rz2

Rz

RyRx

Mx

Mz

My

Diğer cisim incelediğimiz cisme bir R kuvveti vebir M momenti uygulayabilir.

R2 = Rx2 + Ry

2 + Rz2

M2 = Mx2 + My

2 + Mz2

6. Eksenel yük taşıyabilen rulmanlı yatak

Rz

RyRx

Mx

Mz

xy

z Diğer cisim incelediğimiz cisme bir R kuvveti vebir M momenti uygulayabilir.

R2 = Rx2 + Ry

2 + Rz2

M2 = Mx2 + Mz

2

Dönme ekseni doğrultusunda moment uygulayamaz.



Behcet DAĞHAN



ÜÇ BOYUTTA DENGE KATEGORİLERİ

Kuvvet Sistemi Serbest Cisim Diyagramı Bağımsız Denklemler

2. Aynı çizgi ile kesişen

1. Bir noktada kesişen

0 = 0

0 = 0

ΣFx = 0

ΣFy = 0

ΣMz = 0

ΣFz = 0

ΣMy = 0

ΣMx = 0

F2

F1

Fn

O

x

z

y

F3

F2

F1

Fn

O

x

z

yF3

0 = 0

ΣFx = 0

ΣFy = 0

ΣMz = 0ΣFz = 0

ΣMy = 0

ΣMx = 0

A

0 = 0



Behcet DAĞHAN



ÜÇ BOYUTTA DENGE KATEGORİLERİ

Kuvvet Sistemi Serbest Cisim Diyagramı Bağımsız Denklemler

4. Genel

3. Paralel

0 = 0ΣFx = 0

ΣFy = 0

ΣMz = 0

ΣFz = 0 ΣMy = 0

ΣMx = 0

F2

F1

Fn

O

x

z

yF3

F2

F1

Fn

O

x

z

yF3

M1

ΣFx = 0

ΣFy = 0

ΣMz = 0ΣFz = 0

ΣMy = 0

ΣMx = 0

0 = 0

0 = 0



Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 3/6

Verilenler:

İstenenler:

Üç ayaklı bir tabure şekildeki gibi bir L yükünü taşımaktadır. Her bir ayağın altındaki düşey tepkikuvvetini bulunuz. Taburenin ağırlığını ihmal ediniz.

Çözüm

Boyutlar milimetre cinsindendir.

L

A = f(L) = ?

B = f(L) = ?

C = f(L) = ?

y

z

x

O

AC

B

30o

30o

AC

B

ΣMx = 0

r = OA = OB = OC = 250 mm

L

C (r cos30o) − B (r cos30o) = 0

C = B

ΣFz = 0

A + B + C − L = 0

ΣMy' = 0

L (75 + 250 sin30o) − A (250 + 250 sin30o) = 0 A = ––– L

y'

→8

15B = ––– L

730



Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 3/7

Verilenler:

İstenenler:

1. Çözüm

T1 = 1.6 kN

T2 = 2.4 kN

R = ?

M = ?

T1 = 1.6 kN

T2 = 2.4 kN

Rx

RzRyMx

My

Mz

ΣFx = 0

Rx + T1 cos50o = 0

Rx = − 1.03 kN

ΣFy = 0

Ry − T1 sin50o + T2 cos30o = 0

Ry = − 0.85 kN

ΣFz = 0

Rz − T2 sin30o = 0

Rz = 1.2 kN

R 2 = Rx2 + Ry

2 + Rz2 → R = 1.8 kN

x'y'

ΣMx' = 0

Mx − T1 sin50o (350) + T2 cos30o (150) = 0 → Mx = 117 N·m

ΣMy' = 0

My − T1 cos50o (350) = 0 → My = 360 N·m

ΣMz = 0

Mz − T1 sin50o (200) = 0 → Mz = 245 N·m

M 2 = Mx2 + My

2 + Mz2 → M = 451 N·m

Şekildeki gibi yüklenmiş olan dirseğin dengede kalabilmesi için O noktasındaki civatabağlantısının dirseğe uygulaması gereken kuvvet R nin ve kuvvet çifti M nin şiddetini bulunuz.



Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 3/7

Verilenler:

İstenenler:

2. Çözüm

T1 = 1.6 kN

T2 = 2.4 kN

R = ?

M = ?

T1 sin50o

T2

Rz

Ry

ΣFx = 0

Rx + T1 cos50o = 0

Rx = − 1.03 kN

ΣFy = 0

Ry − T1 sin50o + T2 sin60o = 0

Ry = − 0.85 kN

ΣFz = 0

Rz − T2 cos60o = 0

Rz = 1.2 kNR 2 = Rx

2 + Ry2 + Rz

2 → R = 1.8 kN

ΣMO = 0

Mx − T1 sin50o (350) + T2 sin60o (150) = 0

Mx = 117 N·m

ΣMO = 0

My − T1 cos50o (350) = 0

My = 360 N·m

ΣMO = 0

Mz − T1 sin50o (200) = 0

Mz = 245 N·m

M 2 = Mx2 + My

2 + Mz2 → M = 451 N·m

y-z düzlemi

z

y

OMx

60o200 mm

150 mm

T1 cos50o T2 cos60o

Rz

Rx

x-z düzlemi z

OMy

200 mm

150 mm

x

T1

T2 sin60o

Ry

Rx

x-y düzlemi y

O

Mz

200 mm

x

B

A

B

A

BA

50o




Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 3/7

Verilenler:

İstenenler:


3. Çözüm

T1 = 1.6 kN

T2 = 2.4 kN

R = ?

M = ?

R 2 = Rx2 + Ry

2 + Rz2

R = 1.8 kN

M 2 = Mx2 + My

2 + Mz2

M = 451 N·m

ΣMO = M + MOR + MO

T1 + MOT2 = 0

→ →

→ →i j k

→

→

ΣMO = 0→→

→ →

MOT1 =

→200 0 − 350

T1 cos50o − T1 sin50o 0

ΣF = 0→→

R + T1 + T2 = 0→→ → →

R = Rx i + Ry j + Rz k→ → → →

T1 = T1 cos50o i − T1 sin50o j→ →→

T2 = T2 cos30o j − T2 sin30o k→ →→

}Rx = − 1.03 kN

Ry = − 0.85 kN

Rz = 1.2 kN

M = Mx i + My j + Mz k→ → → →

→ →i j k

→

MOT2 =

→0 0 − 150

0 T2 cos30o − T 2 sin30o

rT1 rT2

Mx = 117 N·m

My = 360 N·m

Mz = 245 N·m

Bu vektörel denklemleri yazıp düzenledikten sonra

i, j ve k nın katsayılarını sıfıra eşitleyerek

elde edilen denklemlerin çözümünden

aranan sonuçlar bulunur.

→→ →

→

MOR = 0

→→

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 3/8

Verilenler:

İstenenler:

Her birinin boyu 1200 mm ve kütlesi 20 kg olan üç tane üniform çubuk birbirine kaynatılmış ve şekildekigibi üç tane düşey kablo ile tavana asılmıştır. AB ve BC çubukları yatay olan x-y düzleminde yer almaktadır.Üçüncü çubuk ise x-z düzlemine paraleldir. Her bir kablodaki çekme kuvvetini hesaplayınız.

Çözüm

m = 20 kg

A = ?

B = ?

C = ?

600600

600

600600

600

A

B

C

W W

W

W = m g

ΣMy = 0

− A (1200) + W (600) + W (600 sin30o) = 0

A = 147 N

g = 9.81 m/s2

ΣMx = 0

C (1200) + W (600) + W (600) = 0

C = 196 N

Boyutlar milimetre cinsindendir.Aslında bu problemin çözümüuzunlukların biriminden bağımsızdır.

ΣFz = 0

A + B + C − 3 W = 0

B = 245 N

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 3/9

Verilenler:

İstenenler:

O ve A noktalarındaki pim bağlantıları üç koordinat doğrultusunda kuvvet ve x- ile z-eksenietrafında moment taşıyabilmektedir. OA kolunun kütlesi 2 kg, AB kolununki 2.5 kg veC tablasınınki ise 4 kg dır. Şekildeki durumda O mesnedindeki tepkileri bulunuz.

Çözüm

mOA = 2 kg

Rx = ?

Mx = ?

W = m g

g = 9.81 m/s2

WC

Mx

Ry

Mz

Rz

Rx

O

WAB

WOA

0.12

Boyutlar metre cinsindendir.

0.4

0.4

0.30.3

mAB = 2.5 kg

mC = 4 kg

Ry = ?

Rz = ?

Mz = ?

ΣFx = 0

ΣFz = 0

ΣFy = 0

Rx = 0

Rz = 0

Ry − WOA − WAB − WC = 0

Ry = 83 N

ΣMx = 0

Mx + WOA (0.3 sin30o) + WAB (0.6 sin30o + 0.4 sin15o) + WC (0.6 sin30o + 0.8 sin15o + 0.12) = 0

15o

Mx = − 37.4 N·m

ΣMz = 0

Mz − WOA (0.3 cos30o) − WAB (0.6 cos30o − 0.4 cos15o) + WC (0.8 cos15o − 0.6 cos30o) = 0 Mz = − 1.6 N·m

→

→

30o x

z

30o

15o

O

A

BÜstten görünüş

Documents

Statik Ders Notları - Üç Boyutta Denge