Statica Del Punto Materiale e Del Corpo Rigido

Politecnico di Milano Facolt di Ingegneria dei Processi Industriali

Corso di Laurea in Ingegneria Chimica

Scienza delle Costruzioni

Dispense del corso A cura di

Maria Gabriella Mulas

Capitolo 2 Statica del punto materiale e del corpo rigido

Scienza delle Costruzioni M.G. Mulas Statica del punto materiale e del corpo rigido

Indice

1. Definizioni generali 1 2. Equilibrio delle forze applicate ad un punto materiale 3

2.1 Condizione di equilibrio delle forze applicate ad un punto materiale 5 3. I sistemi di forze applicati ai corpi rigidi 6

3.1. Propriet del momento 7 3.2. La seconda operazione invariantiva e l'equivalenza dei sistemi di forze 8 3.3. La riduzione ad un punto per i sistemi di forze nel piano. 10 3.4. Le equazioni cardinali della statica del corpo rigido. 12

4. Le equazioni di equilibrio per i corpi vincolati 14 4.1 Condizione per la quiete di un punto materiale vincolato 15 4.2 Condizione per la quiete di un corpo rigido vincolato 16

4.2.1 Le forme alternative delle equazioni cardinali della statica nel caso piano 17 4.3 Lutilizzo delle condizioni di equilibrio nel calcolo delle reazioni vincolari 18

Riferimenti bibliografici

Le nozioni base di statica illustrate in questa dispensa (originariamente scritta per il corso da 5 crediti) seguono la linea di presentazione del testo adottato nelle facolt di architettura dellAteneo:

E. Guagenti Grandori, E. Garavaglia, F. Buccino, G. Novati, Statica, Introduzione alla Meccanica Strutturale, McGraw Hill (indifferentemente la 1 o la 2 edizione). Questo testo presenta una trattazione relativamente semplice e ricca di esempi (si vedano i cap. 2 e 3, esclusi i par. 2.14, 2.15 e 3.11), anche se insufficiente per la versione attuale del corso da 10 crediti. Lo scopo di questa dispensa di fornirvi in italiano la terminologia della materia, di darvi alcuni spunti sulle condizioni di equilibrio, lequivalenza dei sistemi di forze, lanalisi degli schemi statici e il calcolo delle azione interne, spunti che non sono contenuti nel libro di testo. Ricordo che per la trattazione completa degli argomenti di statica allinterno del corso di Scienza delle Costruzioni A+B occorre fare riferimento al testo:

F.P. Beer, E.R. Johnston jr., E.R. Eisenberg, Vector Mechanics for Engineers, Statics. 7th Edition, McGraw-Hill 2004 (oppure 8th edition, 2007).


1. Definizioni generali

La meccanica quella parte della Fisica che si occupa di descrivere il moto dei corpi (cinematica),

di studiare le condizioni sotto cui un corpo in quiete (statica) e di predire il moto dei corpi dovuto

alle cause (forze) agenti su di essi (dinamica). In questo contesto i corpi vengono considerati come

sistemi meccanici, ovvero come sistemi materiali di cui ha interesse, quale unica propriet fisica, la

massa. Dei sistemi meccanici ha interesse studiare la quiete (definita come assenza di velocit per

qualunque punto del corpo) o lo stato di moto, descritti nello spazio e nel tempo.

Possiamo denotare con il nome di forza la causa degli effetti meccanici, avendo definito con

questo nome il passaggio dalla quiete al moto e viceversa, le variazioni di moto e quindi di velocit,

e le deformazioni subite dai corpi. Le forze sono le azioni di corpi (o parte di essi) su altri corpi (o

su parte di essi); sono determinate da un numero, che rappresenta l'intensit della forza, da una

direzione, da un verso e infine da un punto, che il punto del corpo in cui la forza agisce. Le forze

sono rappresentate da vettori applicati; il punto in cui applicata la forza si chiama punto di

applicazione, la retta passante per il punto e contenente la forza si chiama linea d'azione della forza.

Il sistema meccanico pi semplice costituito dal punto materiale. Il concetto di punto materiale

un modello della realt che pu essere adottato tutte le volte che l'estensione del corpo in studio

molto piccola rispetto alle dimensioni del campo in cui avviene il fenomeno che ha interesse, ed in

cui non necessario distinguere tra le varie parti di cui il corpo costituito. In questo caso la

posizione del corpo definita, in un sistema cartesiano ortogonale, dalle tre coordinate (x, y, z); esso

per non cessa di avere una quantit finita di materia (da cui il nome di punto materiale). La

posizione di un corpo che ha estensione finita nello spazio descritta dalla sua configurazione, cio

dalla posizione di tutti i suoi punti. In generale sono possibili spostamenti relativi tra i punti del

corpo; i corpi sono quindi deformabili, cio soggetti a variazioni di forma e/o di volume dovute ad

azioni applicate (forze, ma anche variazioni termiche, etc). Tuttavia, nella prima parte del corso ci

occuperemo soltanto di corpi rigidi, ovvero di corpi in cui rimangono invariate le mutue distanze tra

i punti componenti il corpo stesso.

Daremo come base di partenza dei nostri ragionamenti i principi fondamentali della dinamica di

Newton, validi per i sistemi di riferimento inerziali (in quiete o in moto rettilineo uniforme). Il

primo principio, detto anche principio di inerzia, stabilisce che ciascun corpo persevera nel suo

stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, a meno che sia costretto a mutare tale stato da forze

impresse (esterne). Il secondo principio stabilisce che una forza F (grandezza vettoriale) applicata a

un corpo (indeformabile) gli imprime una accelerazione a (grandezza vettoriale) a essa proporzio-

nale, secondo la relazione:

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F = ma (1.1)

La costante di proporzionalit m viene definita come la massa inerziale del corpo.

Ricordiamo in ultimo il principio di azione e reazione, che stabilisce che se su un punto

materiale A agisce una forza dovuta ad un altro punto B, A esercita su B una forza uguale e

contraria, avente la stessa linea d'azione, coincidente con la retta AB.

Un ultima classificazione delle forze distingue tra forze esterne, che sono quelle che agiscono sul

corpo o sistema in virt dell'azione di corpi esterni al corpo dato, e forze interne, che sono invece

dovute all'azione di corpi appartenenti al sistema stesso. In virt del principio di azione e reazione,

le forze interne si possono sempre scindere in un certo numero di sistemi di forze a due a due uguali

ed opposte e con la stessa linea d'azione.

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2. Equilibrio delle forze applicate ad un punto materiale

Per ricavare la condizione che assicura la quiete di un punto materiale, premettiamo la seguente

osservazione (che peraltro il fondamento della seconda legge della dinamica per un osservatore

inerziale): nel concetto di forza, cos come stato dato, implicito il fatto che se una forza non

nulla viene applicata o rimossa su un punto materiale libero, essa lo mette in moto se

precedentemente era in quiete o ne varia l'eventuale moto; inversamente, per alterare lo stato di

quiete o di moto di un punto materiale libero necessario applicare (o rimuovere) su di esso

almeno una forza non nulla. Nel caso che su un punto materiale agiscano pi forze, ci si domanda

se sia possibile sostituire il sistema di forze dato con ununica forza, che sia equivalente dal punto

di vista meccanico al sistema di forze dato, sia cio in grado di produrre gli stessi effetti meccanici

sul punto materiale in esame. Vale a riguardo il seguente postulato:

Postulato I: le variazioni dello stato di quiete o di moto prodotte da un sistema di forze che vengano

tutte simultaneamente applicate o rimosse sullo stesso punto materiale, libero o vincolato, si

possono ottenere anche sostituendo a quelle forze un'unica forza, definita risultante delle forze

considerate.

Lo strumento operativo per determinare la risultante del sistema di forze definito dai seguenti

due postulati:

Postulato II: la risultante di due forze applicate nello stesso punto si ottiene componendone i vettori

con la regola del parallelogramma, cio sommando vettorialmente le due forze, come indicato in

Fig. 2.1.

Postulato III: la risultante di un sistema di pi di due forze applicate nello stesso punto si ottiene

componendo le prime due, poi componendo la forza cos ottenuta con la terza, e cos via, fino ad

avere composto tutte le forze.

Fig. 2.1 - La regola del parallelogramma per la somma dei vettori.

Viene definita come operazione invariantiva su un sistema di forze agente su un corpo rigido

quella che non altera lo stato meccanico di quiete o di moto del corpo. Possiamo quindi definire la:

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1 operazione invariantiva: lo stato di quiete o il moto di un corpo rigido invariante per

composizione o decomposizione di pi forze agenti in un solo punto.

L'esistenza della prima operazione invariantiva sottolinea come, ai fini dello stato meccanico del

punto materiale, l'unico parametro di importanza del sistema di forze applicato ad esso sia la

risultante del sistema stesso, essendo ininfluente come sia effettivamente fatto il sistema di forze (da

quante e quali forze sia composto). Due sistemi di forze agenti su un punto materiale risultano

equivalenti se possono essere ottenuti luno dallaltro attraverso la sola prima operazione

invariantiva. Luguaglianza della risultante (in senso vettoriale) pertanto condizione necessaria e

sufficiente per lequivalenza di due sistemi di forze agenti sul medesimo punto materiale. La

condizione necessaria perch la prima operazione invariantiva non altera la risultante dei sistemi

di forze in esame; la condizione sufficiente perch se i due sistemi hanno la stess ultante

sono riducibili alla stessa forza app

Fig. 2.2

La risultante di due o pi forz

poligono delle forze. Se si riporta

che dall'estremo della prima si s

risultante del sistema di forze i

della prima forza con il secondo e

2.2b per il caso di due e di tre for

delle forze e la regola del paralle

caso di somma di pi di due ve

anchelicata nel punto.

(a) (b

(c)

- Costruzione grafica del poligono delle forze.

e pu essere trovata facendo uso della costruzione

no ordinatamente i vettori rappresentativi delle forze,

picchi il vettore rappresentativo della seconda, e

l vettore orientato che si ottiene congiungendo il pri

stremo dell'ultima forza, come rappresentato nelle fi

ze rispettivamente. L'equivalenza tra la costruzione d

logramma evidenziata nella fig. 2.2a; le risultanti

ttori e la validit della propriet associativa nellop

074a ris

)

(d)

grafica del

in maniera

cos via, la

mo estremo

gure 2.2a e

el poligono

parziali nel

erazione di

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somma vettoriale sono messe in luce nelle fig. 2.2b e 2.2c. La validit della propriet commutativa

per la somma vettoriale illustrata nella costruzione grafica in fig. 2.2d.

2.1 Condizione di equilibrio delle forze applicate ad un punto materiale

Prima di introdurre la condizione di equilibrio del punto materiale occorre definire in maniera

qualitativa la nozione di equilibrio. A tale riguardo vale la seguente definizione: Un sistema di forze

si dice in equilibrio su un punto materiale libero P quando, applicato o rimosso su P, non ne altera

lo stato di quiete o di moto, e ci indipendentemente da qualsiasi altro sistema di forze agenti su P.

Abbiamo visto che la prima operazione invariantiva ci garantisce che leffetto meccanico di un

qualunque sistema di forze applicato a un punto materiale uguale a quello della sua risultante,

determinata per successive applicazioni della regola del parallelogramma. Alla luce di questa

osservazione possiamo fornire la condizione cui devono soddisfar le forze applicate a un punto

materiale affinch il punto stesso sia in equilibrio: condizione necessaria e sufficiente per

l'equilibrio di un sistema di forze applicate ad un punto materiale libero che la loro risultante sia

uguale a zero.

La condizione necessaria: infatti, le variazioni dello stato di quiete o di moto che si otterreb-

bero aggiungendo o rimuovendo il sistema sono identiche a quelle prodotte dalla risultante

(postulato I); perci, se il sistema di forze in equilibrio, ossia non produce nessuna delle dette

variazioni, la risultante deve essere nulla, coerentemente con l'osservazione fatta all'inizio del

paragrafo. La condizione sufficiente: se la risultante nulla non si hanno variazioni dello stato di

quiete o di moto ed il sistema in equilibrio.

Come caso particolare, risulta in equilibrio un sistema di due forze uguali e contrarie, aventi la

stessa linea d'azione.

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3. I sistemi di forze applicati ai corpi rigidi

Quando si passa a considerare sistemi costituiti da pi punti materiali o da corpi di dimensioni finite

diventa importante il punto di applicazione che le varie forze hanno sul corpo. Il sistema di forze

quindi definito dai vettori applicati (F1, P1), (F2, P2), (Fn, Pn). Il vettore risultante (che non un

vettore applicato) di questo sistema di forze il vettore R somma dei vettori F1, F2, Fn, ossia:

n21 FFFR +++= ....... (3.1) Il punto di applicazione Pi della singola forza pu essere tenuto in conto tramite la definizione

del momento della forza rispetto ad un polo O arbitrario. Una prima definizione elementare del

momento pu essere introdotta nel caso che tutte le forze considerate giacciano nello stesso piano,

cui appartiene anche il polo O. In tal caso il momento definito come lo scalare MO dato dal

prodotto del modulo F della forza moltiplicato per il braccio b della forza rispetto al punto O. Il

braccio b definito come la distanza del polo O dalla linea d'azione della forza F. In questa

accezione il momento uno scalare dotato di segno; il segno legato al verso di rotazione che la

forza indurrebbe su un'ipotetica asta che connettesse rigidamente il punto di applicazione della forza

con il polo O (orario o antiorario). La convenzione di segno ininfluente; tuttavia importante,

quando si calcola il momento di un sistema di forze, che i singoli momenti vengano tutti valutati

con la stessa convenzione. La definizione pi generale del momento tuttavia una definizione

vettoriale. Il momento di una forza (F, P) rispetto ad un punto O il vettore ottenuto dal prodotto

vettoriale tra il vettore posizione di P rispetto ad O ed il vettore forza F, come illustrato in Fig. 3.1:

FM = )( OPO (3.2)

Mo

O

b P

F r

Fig. 3.1 - La definizione vettoriale di momento di una forza.

Indicando con l'angolo formato dalla linea d'azione di F con il vettore (P-O), e con OP il modulo del vettore (P-O), il modulo del momento dato da:

bFasinOPFM O == (3.3)

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Il vettore MO pertanto completamente definito:

dal modulo Fb dato dal prodotto forza per braccio, analogamente al caso piano; dalla direzione, perpendicolare al piano, definito piano direttore, in cui giacciono F ed O; da verso tale da rispettare la regola della mano destra. Nella definizione ora data di momento non viene individuato un punto di applicazione del vettore

MO; tuttavia usuale rappresentare il vettore come spiccato dal punto O. Il momento risultante di

un sistema di n forze Fi applicate nei punti Pi dato da

= i iiO OP FM )( (3.4)

3.1. Propriet del momento

Dalle definizioni date discende che:

Il momento di una forza rispetto ad un punto non varia se si fa scorrere la forza lungo la sua linea d'azione. Infatti, nell'operazione di scorrimento non variano n il vettore forza, n il

braccio, n il verso di rotazione associato.

Se cambia il polo O, a meno che non venga spostato parallelamente alla linea d'azione della forza, cambia anche il momento. Infatti, assumendo un nuovo polo O', distinto da O, si ha:

[ ] FMFFM OO +=+== )'()'()()'(' OOOOOPOP (3.5) L'equazione (3.5) consente di mettere in luce la variazione subita dal momento nel muovere il

polo da O a O', e di evidenziare come il termine aggiuntivo non sia altro che il momento, rispetto

al punto O', che la forza F avrebbe se fosse applicata in O. L'equazione (3.5) costituisce pertanto

la regola di trasporto del momento.

Nel caso di pi forze, il momento rispetto ad un nuovo polo O' vale: RMFFFM OO +=+== )'()'()()( '' OOOOOPOP i iii ii ii (3.6)

Dall'equazione (3.6) discendono i casi di invarianza del momento di un sistema di forze. Al variare del polo, il momento non varia solo nei seguenti due casi: (a) la risultante R nulla; (b)

qualunque sia la risultante, se il polo viene spostato parallelamente alla risultante stessa.

Possiamo infine enunciare il teorema di Varignon: il momento di pi forze che siano tutte applicate in un solo punto P uguale al momento della risultante R, applicata in tale punto.

Infatti:

RFFM iiO === )()()( OPOPOP ii i (3.7)

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Questo risultato implica che la prima operazione invariantiva (ovvero la composizione o

decomposizione dei sistemi di forze in un punto) non altera il momento risultante di un sistema

di forze applicato ad un punto.

L'espressione cartesiana del momento consente di scrivere il vettore MO come: kjiMO zyx MMM ++= (3.8)

Definiamo come momento rispetto ad un asse la proiezione ortogonale, su quell'asse, del vettore

momento calcolato rispetto a qualunque punto dell'asse, ottenuta attraverso il prodotto scalare del

vettore momento per il versore dellasse stesso. Risulta pertanto che le componenti scalari del

momento Mx, My, Mz sono i momenti, rispetto agli assi cartesiani x, y, z, del sistema di forze dato. Il

momento rispetto ad un asse a qualunque non dipende dalla scelta del polo O sull'asse stesso.

Infatti, se O ed O' appartengono entrambi alla retta a, tenendo conto dell'equazione (3.6), si pu

scrivere:

( )( aOOaaM OOOa versRMversMversM )+=== (3.9) Nell'equazione (3.9) risulta infatti nullo il prodotto scalare del versore della retta a per il prodotto

vettoriale del vettore (O-O') con il vettore risultante; il prodotto vettoriale fornisce infatti un vettore

che perpendicolare a OO' e quindi al versore di a. Nei problemi piani il momento delle forze

definito come scalare coincide con il momento rispetto ad un asse che sia perpendicolare al piano

che contiene le forze e passante per il polo che stato assunto nel calcolo del momento stesso. Il

momento di un sistema di forze rispetto ad un asse nullo se la risultante del sistema di forze passa

per lasse o ad esso complanare.

3.2. La seconda operazione invariantiva e l'equivalenza dei sistemi di forze

Abbiamo osservato che lo scorrimento di una forza lungo la sua linea d'azione non altera il

momento della forza stessa rispetto ad un polo qualunque. Se limitiamo la nostra attenzione ai corpi

rigidi, possiamo osservare che lo stato di quiete o di moto di un corpo rigido (attenzione: non il suo

stato di sollecitazione interno) non viene alterato dallo scorrimento di una forza lunga la sua linea

d'azione. Possiamo perci introdurre la:

2 operazione invariantiva: lo stato di quiete o il moto di un corpo rigido invariante per

scorrimento di una forza lungo la sua linea d'azione.

Come per il punto materiale, diremo equivalenti due sistemi di forze che producono gli stessi

effetti meccanici se applicati allo stesso corpo rigido. Viste le propriet delle operazioni

invariantive, sono equivalenti due sistemi di forze che vengono ottenuti l'uno dall'altro attraverso

sole operazioni invariantive. Trasformare in modo equivalente un sistema di forze in un altro

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significa applicare al primo, una o pi volte, le operazioni invariantive. In questo caso i due sistemi

di forze si dicono riducibili l'uno all'altro, e la trasformazione, composta di sole operazioni

invariantive, si chiama riduzione.

Le operazioni invariantive non alterano n la risultante n il momento risultante di un sistema di

forze; pertanto l'uguaglianza di risultante R e momento risultante M una condizione necessaria per

l'equivalenza. Per mostrare che la condizione anche sufficiente occorre premettere alcune

definizioni e propriet dei sistemi di forze.

Definiamo con il termine coppia l'insieme di due forze parallele, di pari modulo F e verso opposto, come indicato in Fig. 3.2. Si chiama braccio b della coppia la distanza tra le linee

d'azione delle forze; poich la risultante della coppia nulla il momento della coppia

invariante. Esso un vettore perpendicolare al piano della coppia, di verso definito dalla regola

della mano destra e modulo dato da:

bFM = (3.10) Si pu dimostrare che tutte le coppie di uguale momento sono equivalenti, anche se le forze

agiscono in piani differenti.

F

- F M = Fb

b

Fig. 3.2 - Definizione di coppia.

Per trasportare una forza occorre un momento: sia F una forza applicata in un punto A e la si voglia trasportare in un altro punto O. Senza alterare lo stato di quiete o di moto del corpo si pu

aggiungere in O un sistema di due forze pari rispettivamente ad F e a -F, caratterizzato

dall'avere risultante R e momento risultante M entrambi pari a zero. L'insieme della forza F

applicata in A e della forza -F applicata in O costituisce una coppia di momento M uguale al

momento che la forza F originaria ha rispetto al punto O.

Fig. 3.3 - Il trasporto della forza richiede un momento. 07/10/2009 9

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Come conseguenza del punto precedente immediato constatare che qualunque sistema di forze equivalente ad una forza pi una coppia. Infatti, per ogni forza del sistema pu essere ripetuta

l'operazione di trasporto in un punto O. Le forze, applicate tutte nel punto O, possono essere

ridotte alla loro risultante R applicata in O. Il trasporto di ciascuna forza produce una coppia,

che il momento che la forza nella posizione originaria possedeva rispetto al punto O; le

diverse coppie possono essere sommate vettorialmente, dando luogo ad un'unica coppia, pari al

momento risultante M del sistema di forze. L'operazione di trasporto nel punto O e di

composizione di forze e momenti prende il nome di riduzione al punto O.

Da quando detto risulta che la condizione per l'equivalenza di due sistemi di forze anche

sufficiente: infatti, se due sistemi di forze hanno uguale risultante R e uguale momento risultante

MO rispetto ad un particolare punto O essi, con sole operazioni invariantive, sono riducibili alla

stessa forza R applicata in O ed alla stessa coppia di momento MO. Possiamo perci enunciare il

seguente teorema:

Condizione caratteristica (ovvero necessaria e sufficiente) affinch due sistemi di forze siano

equivalenti che abbiano la stessa risultante e lo stesso momento risultante rispetto ad un polo

arbitrario O.

Discende da quanto enunciato fin qui che loperazione di riduzione al punto O di un sistema di

forze qualunque applicato ad un corpo rigido consente, senza alterare lo stato di equilibrio o di moto

del corpo, di sostituire il sistema dato con un altro di uguale risultante ed uguale momento (la forza

R applicata in O e la coppia di momento MO).

3.3. La riduzione ad un punto per i sistemi di forze nel piano.

Poich in questo corso ci occuperemo solo di strutture piane caricate nel loro piano, verr esaminato

in dettaglio il problema della riduzione ad un punto solo per i sistemi di forze nel piano. Se la

risultante del sistema di forze nulla, il sistema stesso riducibile ad una coppia, di momento

uguale a quello del sistema originario rispetto ad un punto qualunque; infatti in questo caso il

momento del sistema invariante rispetto al polo assunto. Se viceversa il sistema di forze ha

risultante non nulla esiste sempre un polo O rispetto a cui il momento della risultante nullo; il

sistema di forze equivalente alla sola risultante R applicata in O. Poich per, per la seconda

operazione invariantiva, la forza R pu scorrere lungo la sua linea dazione, in questo caso si pu

parlare di retta di applicazione della risultante. La retta di applicazione pu sempre essere trovata:

Se il sistema costituito da due forze F1 e F2 le cui linee dazione convergono in un solo punto O, possibile (seconda operazione invariantiva) fare scorrere ciascuna delle due forze lungo la

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sua linea dazione in modo da applicarle nel punto dintersezione O (Fig. 3.4). Successivamente

(prima operazione invariantiva) possibile comporre le forze con la regola del

parallelogramma, determinandone la risultante; essa applicata in O, ma per la seconda

operazione invariantiva, pu essere liberamente fatta scorrere lungo la sua linea dazione.

O

F1 F2

R

F1

F2

R

Fig. 3.4 - Riduzione ad un punto per un sistema di due forze complanari

Se il sistema costituito da due forze parallele a risultante non nulla, F1 e F2, si pu aggiungere ad esso un sistema, a risultante e momento risultante nullo, di due forze uguali, contrarie e con

la stessa linea dazione, come illustrato in Figura 3.5. Le due forze parallele, sommate al sistema

nullo, diventano convergenti, e pu essere effettuata la stessa operazione vista nel punto prece-

dente. La risultante ha modulo pari alla somma dei moduli delle due forze.

|R| = |F1| + |F2|

O

R

- F + F

R2 F2

R1 F1

Fig. 3.5 - Riduzione ad un punto per un sistema di due forze parallele.

Se il sistema di forze nel piano costituito da pi di due forze, la risultante e la sua retta di applicazione possono essere determinate applicando successivamente le costruzioni ora

illustrate.

Il punto di applicazione O della risultante di un sistema di forze parallele, chiamato centro delle

forze parallele, pu essere trovato per via analitica sfruttando la propriet che il momento risultante

del sistema di forze rispetto ad O zero:

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0=OM 02211 = LFLF 1

2

2

1

FF

LL =

12 FR

LL = (3.11)

essendo: 21 LLL += 21 FFR +=

R = F1 + F2

F1 F2

O B A L1 L2

Fig. 3.6 - Determinazione analitica del centro di due forze parallele.

Lultima eguaglianza della (3.11), che discende direttamente dalle propriet delle proporzioni, pu

anche essere ottenuta osservando che la risultante R applicata in O equivalente al sistema di forze

di partenza. I due sistemi di forze perci hanno, oltre che uguale risultante, anche uguale momento

risultante rispetto a qualunque punto del piano. Se si calcola il momento dei due sistemi di forze

rispetto, ad esempio, al punto A,si ottiene la stessa condizione ottenuta nella (3.11), che consente il

calcolo immediato della distanza L2:

21 LRLFM A == Il punto di applicazione delle forze peso, che sono un particolare sistema di forze parallele,

prende il nome di baricentro: questo significa che il sistema di forze peso equivalente al peso

totale del corpo considerato applicato nel baricentro. La posizione del baricentro - come del centro

di qualunque sistema di forze parallele - non varia per rotazione delle forze peso, cio per rotazione

nello spazio del corpo che si sta considerando. La posizione del baricentro non dipende neanche dal

valore dellaccelerazione di gravit, e perci esso pu essere pi correttamente definito come centro

di massa invece che centro delle forze peso.

3.4. Le equazioni cardinali della statica del corpo rigido.

Diremo che un sistema di forze in equilibrio su un corpo rigido libero quando la sua applicazione

o rimozione sul corpo non ne altera lo stato di quiete o di moto, e ci indipendentemente da

qualunque altro sistema di forze agenti sul corpo. Valgono a proposito i seguenti Postulati della

Statica del Corpo Rigido Libero:

Postulato I: se su di un corpo rigido libero in quiete non agisce nessuna forza esterna, il corpo

persevera nel suo stato di quiete.

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Postulato II: se agisce una sola forza esterna, il corpo non persevera nel suo stato di quiete.

Postulato III: se agiscono due forze esterne il corpo persevera nel suo stato di quiete se e solo se le

due forze sono uguali e contrarie e con la stessa linea dazione.

Pertanto, se un corpo rigido libero inizialmente in quiete:

Condizioni necessarie e sufficienti per lequilibrio ovvero per il permanere nella condizione di

quiete - di un corpo rigido libero consistono nellannullarsi della risultante e del momento

risultante del sistema di forze esterne applicato al corpo.

0M0R=

=O

(3.12)

La condizione sufficiente: infatti se le (3.12) sono soddisfatte il sistema di forze esterne

equivalente al sistema nullo e lequilibrio sussiste per il Postulato I.

La condizione necessaria: se infatti la risultante fosse nulla ma il momento risultante fosse diverso

da zero il sistema sarebbe equivalente ad una coppia e lequilibrio non sussisterebbe pi per il

postulato III; nel caso di risultante diversa da zero il sistema potrebbe essere equivalente o ad una

forza o ad una forza pi una coppia, ed entrambi i casi non sarebbero pi di equilibrio per i postulati

II e III.

Le equazioni (3.12) vengono chiamate equazioni cardinali della Statica per i corpi rigidi; per i

corpi deformabili, cio non rigidi, sono solo condizioni necessarie. Vale infatti il postulato dei

vincoli addizionali:

Se un corpo in equilibrio sotto lazione di un sistema di forze esterne, lo stato di equilibrio non

viene turbato dallapplicazione di vincoli addizionali.

Se come particolare vincolo addizionale si considera il vincolo dellirrigidimento cio la

conservazione delle mutue distanze tra i punti del corpo si ha che se il corpo deformabile era in

equilibrio, tale rester anche se ad esso verr applicato il vincolo dellirrigidimento, e quindi per

esso varranno le equazioni cardinali della statica. La condizione (3.12) quindi necessaria: se il

corpo in equilibrio le (3.12) sono soddisfatte. La condizione non per in questo caso sufficiente,

cio il soddisfacimento delle equazioni cardinali della statica non sufficiente a garantire che il

corpo non rigido sia in equilibrio.

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4. Le equazioni di equilibrio per i corpi vincolati

I corpi, rigidi o deformabili, possono essere liberi o vincolati. Un corpo o un sistema di corpi (ad

esempio di punti materiali) si dice libero, in una certa posizione, quando pu passare da questa a

tutte le altre posizioni vicine geometricamente possibili; invece vincolato, in una certa posizione,

quando per effetto di alcuni legami o vincoli geometrici non pu passare da questa posizione a tutte

le altre vicine. I vincoli possono essere esterni, quando limitano i movimenti del corpo rispetto ad

altri punti esterni al corpo stesso; sono invece interni quando limitano gli spostamenti di un

generico punto rispetto agli altri punti appartenenti al sistema stesso, e sono dovuti ai punti del

sistema stesso. I vincoli interni sono quindi in ogni caso mutui.

L'esperienza ci porta ad ammettere il seguente postulato delle reazioni vincolari:

Senza alterare la quiete o il moto di un corpo o di un sistema di corpi (in particolare di un punto

materiale) si possono sopprimere alcuni o tutti i vincoli che agiscono sul corpo e sostituirli con

opportune forze, dette reazioni vincolari.

Ogni corpo o punto materiale vincolato pu essere sempre considerato come libero, purch gli si

applichino tutte le reazioni vincolari; le azioni esercitate dai vincoli sono pertanto classificabili

come forze. Tuttavia, denoteremo con il nome di forze attive le forze "ordinarie" applicate sui corpi,

distinguendole cos dalle forze reattive esercitate dai vincoli. Nei problemi pratici le forze attive

sono usualmente note, e non costituiscono una limitazione alla mobilit del punto del corpo cui

sono applicate; viceversa le forze reattive, applicate in punti che non hanno piena possibilit di

movimento, sono in generale incognite e dipendono non solo dalle forze attive applicate ma anche

dalla geometria del corpo e dei vincoli stessi. Negli esempi trattati in questo corso i vincoli impon-

gono delle condizioni in termini finiti agli spostamenti del punto del corpo cui sono applicati: lo

spostamento nullo o pari ad un valore assegnato. I vincoli che godono di questa propriet vengono

detti olonomi e per essi il postulato delle reazioni vincolari pu essere esteso nel seguente modo:

La reazione vincolare applicata in un punto ha direzione e verso opposto allo spostamento proibito

di quel punto.

Le reazioni vincolari dei vincoli interni soddisfano il principio di azione e reazione:

Se una certa reazione vincolare esercitata su A per effetto di un vincolo che lo lega a B, su B

agisce una reazione vincolare dovuta ad A, uguale e contraria alla reazione considerata per prima

e con la stessa linea d'azione.

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4.1 Condizione per la quiete di un punto materiale vincolato

Possiamo ora trovare le condizioni che assicurano che un punto materiale vincolato, in quiete in un

certo istante, rimanga in quiete. Poich il punto materiale si pu ritenere libero qualora si

sostituiscano ai vincoli le loro reazioni, se il punto rimane in quiete, deve essere in equilibrio il

sistema delle forze attive e delle reazioni vincolari. Viceversa, se quest'ultimo sistema sempre in

equilibrio e il punto in un certo istante in quiete, esso rimane, per definizione di sistema in

equilibrio, sempre in quiete. Pertanto:

Condizione necessaria e sufficiente affinch un punto materiale sia in quiete che si annulli la

somma fra la risultante delle forze attive R(a) e la risultante R(r) delle forze reattive, cio la

risultante totale delle forze attive e reattive. Matematicamente:

R(a) + R(r) = 0 (4.1)

Poich un punto materiale vincolato si pu considerare libero quando si sostituiscano ai vincoli

le loro reazioni, dalla definizione ora data si deduce che l'applicazione o la rimozione su un punto

materiale vincolato di un sistema di forze in equilibrio (avente risultante nulla) non ne altera lo stato

di quiete o di moto. Lequazione vettoriale (4.1) corrisponde a tre equazioni scalari, ottenute per

proiezione sugli assi x, y, z di un sistema cartesiano ortogonale:

0)( )(,)(

, =+ rxiaxii FF (4.1a) 0)( )(,

)(, =+ ryiayii FF (4.1b)

0)( )(,)(

, =+ rziazii FF (4.1c) Nelle equazioni (4.1a,b,c) le componenti della risultante sui tre assi vengono determinate

attraverso la somma delle componenti delle singole forze, estesa a tutte le forze che agiscono sul

punto. La condizione di risultante nulla pu essere determinata anche graficamente, mediante la

costruzione del poligono delle forze. Dalla figura 2.2d infatti immediato osservare che la

condizione di risultante nulla coincide con la condizione di poligono delle forze chiuso.

Si pu infine osservare che le condizioni (4.1a,b,c) sono in numero pari alle tre coordinate

indipendenti che definiscono la posizione del punto nello spazio e alle tre possibilit di movimento

indipendenti che un punto materiale libero possiede nello spazio: uno spostamento di direzione,

verso e modulo qualunque, di componenti indipendenti tra loro lungo i tre assi. I tre parametri che

occorre specificare per definire la posizione o il moto del punto nello spazio prendono il nome di

gradi di libert. Il numero di componenti di reazione incognite che possono essere determinate con

le equazioni di equilibrio (4.1) quindi pari al numero dei gradi di libert posseduti dal punto

materiale in esame.

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4.2 Condizione per la quiete di un corpo rigido vincolato

Analogamente a quanto visto per il punto materiale, le equazioni cardinali della statica possono

essere estese al caso del corpo rigido vincolato, a condizione di includere nel sistema di forze sia le

forze attive sia quelle reattive, cio le reazioni trasmesse dai vincoli stessi:

0MM0RR=+

=+)()(

)()(

rO

aO

ra

(4.2)

Come nel caso del punto materiale le equazioni (4.2), scritte in forma vettoriale, corrispondono a sei

equazioni in forma scalare che esprimono rispettivamente lannullarsi delle componenti, rispetto a

tre assi di un sistema cartesiano ortogonale x, y, z, della risultante e del momento risultante:

0)( )(,)(

, =+ rxiaxii FF (4.2a) 0)( )(,

)(, =+ ryiayii FF (4.2b)

0)( )(,)(

, =+ rziazii FF (4.2c) 0)( )(,

)(, =+ rxiaxii MM (4.2d)

0)( )(,)(

, =+ ryiayii MM (4.2e) 0)( )(,

)(, =+ rziazii MM (4.2f)

Analogamente al caso del punto materiale:

le componenti della risultante vengono determinate attraverso la somma delle componenti delle singole forze, estesa a tutte le forze che agiscono sul corpo;

le componenti del momento risultante (non definito nel caso del punto materiale) vengono ottenute sommando i contributi delle singole forze e di eventuali coppie, estendendo la

sommatoria a tutte le forze e le coppie agenti sul corpo;

le sei equazioni corrispondono: (a) alle sei possibilit indipendenti di movimento di un corpo rigido nello spazio, descritte da tre componenti di traslazione e tre componenti di rotazione; (b)

ai sei parametri indipendenti che occorre specificare per definire posizione e orientazione di un

corpo rigido nello spazio, quali ad esempio la posizione di un punto fissato allinterno del corpo

e lorientazione di un sistema di riferimento solidale al corpo rispetto a un riferimento fisso.

Analogamente al caso del punto materiale, questi sei parametri indipendenti prendono il nome

di gradi di libert del corpo rigido nello spazio.

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4.2.1 Le forme alternative delle equazioni cardinali della statica nel caso piano

Nel caso di strutture piane caricate nel loro piano (qui supposto coincidente con il piano x, y) si pu

osservare che sono identicamente nulle le componenti delle forze attive e reattive in direzione z,

nonch i momenti rispetto agli assi x ed y. Le equazioni cardinali della Statica nel caso piano

diventano quindi:

( ) 0)()( =+ rxax FF (4.3a) ( ) 0)()( =+ ryay FF (4.3b) ( ) 0)( =+ rOaO MM (4.3c)

Le equazioni (4.3a) e (4.3b) impongono l'annullarsi della risultante delle forze attive e reattive

lungo due direzioni x e y mutuamente ortogonali; l'equazione (4.3c) impone l'annullarsi del

momento risultante delle forze attive e reattive rispetto allasse z, cio ad un arbitrario punto O del

piano. L'arbitrariet del punto O conseguenza del fatto che un sistema di forze avente risultante

nullo momento - invariante al variare del polo utilizzato. Nel calcolo delle reazioni vincolari dei

sistemi piani risultano talora di pi comodo impiego due forme alternative di queste equazioni.

Nella prima forma si adottano due equazioni di equilibrio alla rotazione rispetto a due punti O1 e O2

del piano e una equazione di equilibrio alla traslazione lungo un'arbitraria direzione t:

( ) 0)()( =+ rtat FF (4.4a) ( ) 0)()(

11=+ rOaO MM (4.4b)

( ) 0)()(22

=+ rOaO MM (4.4c) Nella seconda forma alternativa vengono scritte tre equazioni di equilibrio alla rotazione rispetto

a tre distinti punti del piano O1, O2 e O3 :

( ) 0)()(11

=+ rOaO MM (4.5a) ( ) 0)()(

22=+ rOaO MM (4.5b)

( ) 0)()(33

=+ rOaO MM (4.5c) Le due forme alternative delle equazioni cardinali, che in taluni casi possono consentire la

scrittura di un sistema di equazioni di pi agevole soluzione, devono per essere adottate con

cautela. La prima forma (equazioni (4.4a,b,c)) cade in difetto se la direzione t perpendicolare alla

congiungente O1O2. Infatti, l'annullarsi del momento rispetto ai due punti O1 e O2 impone che la

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risultante del sistema di forze agente sulla struttura sia diretta come la congiungente O1O2; tale

risultante possiede una componente nulla in direzione t se questultima perpendicolare a O1O2. In

tal caso il sistema di forze esterne soddisferebbe le condizioni (4.4) pur senza possedere risultante

nulla. Un problema analogo presenta la seconda forma alternativa, se i tre punti O1, O2 e O3 sono

allineati lungo una medesima retta.

4.3 Lutilizzo delle condizioni di equilibrio nel calcolo delle reazioni vincolari

Si consideri un punto materiale o un corpo rigido vincolato in maniera tale da essere privo di

possibilit di movimento. Esso in grado di stare in quiete - ovvero in equilibrio - sotto qualunque

set di carichi esterni; questa osservazione alla base del postulato che stabilisce che i vincoli sono

in grado di impedire gli spostamenti perch trasmettono alla struttura cui sono applicati le forze,

dette reazioni vincolari, a priori incognite, ma tali da garantirne il permanere in uno stato di quiete.

Indichiamo ora con il termine grado di vincolo il numero di componenti indipendenti di

spostamento/rotazione che un vincolo in grado di eliminare. Con riferimento alle equazioni di

equilibrio in forma scalare (4.1) e (4.2) il postulato delle reazioni vincolari pu essere

ulteriormente specificato nel modo seguente:

Le componenti indipendenti di reazione vincolare trasmesse da un vincolo sono in numero pari ai

gradi di vincolo che il vincolo fornisce alla struttura e dirette come le componenti di spostamento

impedite dal vincolo stesso.

Come gi osservato, le equazioni di equilibrio a disposizione, sia per il punto materiale sia per il

corpo rigido, sono in numero pari ai gradi di libert (gdl) posseduti. Daltro canto, le componenti

indipendenti di reazione vincolare incognite sono in numero pari ai gradi di vincolo (gdv) imposti

dai vincoli posseduti dal punto materiale/corpo rigido. Quando le equazioni di equilibrio del punto

materiale e/o del corpo rigido vengono utilizzate per ricavare le componenti di reazione vincolare

incognite, le equazioni (4.1) e (4.2) diventano un sistema lineare di equazioni nelle reazioni

incognite. Se il problema ben posto (vedremo nel seguito le condizioni perch ci si verifichi) il

sistema possiede 1 sola soluzione nel caso in cui il numero di gradi di libert gdl = gdv, numero di

gradi di vincolo. Parliamo in questo caso di problema staticamente determinato. Se il numero dei

gdl maggiore del numero dei gdv, non garantito che il sistema ammetta soluzione. Se infine il

numero dei gdl inferiore al numero dei gdv, detta n la differenza gdv-gdl il problema ammette

infinite alla n soluzioni, e viene detto staticamente indeterminato: le condizioni di equilibrio non

sono sufficienti a determinare le reazioni vincolari.

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Statica Del Punto Materiale e Del Corpo Rigido