OPISAĆ PRÓBĘ MIARY ZMIENNOŚĆI

PO CO MI TO?

• Badamy złożoność wypowiedzi (w zależności od wykształcenia).

• Wskaźnikiem złożoności jest długość poszczególnych zdań mierzona w słowach.

• Dla trzech wybranych osób uzyskaliśmy następujące wyniki.

osoba 1:

[8, 7, 6 , 9, 8, 7]

osoba 2:

[4, 3, 2, 5, 27, 4]

osoba 3:

[12, 8, 10, 12, 1, 2]

ROZSTĘP

różnica między najniższym a najwyższym wynikiem w rozkładzie

32 3 4 6 7 7 8 9

ROZSTĘP

• bardzo prosty do obliczenia;

• przydatny w obliczaniu przedziałów dla zmiennych na podstawie badań pilotażowych;

• zależy tylko od dwóch wartości w całym rozkładzie;

• nie jest wrażliwy na stan całego rozkładu;

• mocno wrażliwy na wartości skrajne;

• duża zmienność w kolejnych próbach;

• w wielu wypadkach – uzależniony od wielkości próby;

ODCHYLENIE ĆWIARTKOWE

Q1 – pierwszy punkt kwartylowy – punkt poniżej którego znajduje się ¼ obserwacji;

Q3 – trzeci punkt kwartylowy – punkt poniżej którego znajduje się ¾ obserwacji;

𝑄=𝑄3−𝑄1

2

OBLICZANIE Q1 I Q3

• zbiór danych:1. Szeregujemy obserwacje od najmniejszej do największej (lub odwrotnie);2. Numerujemy uszeregowane obserwacje od 1 do N;3. Wybieramy liczby znajdujące się na pozycji N/4 i 3N/4 (lub obliczamy średnią z

sąsiadujących z tą pozycją);

DANE W PRZEDZIAŁACH

szukamy Q1;

mamy 80 obserwacji;

Q1 znajduje się na pozycji 20;

przedziały mają szerokość 3;

15 18 19 20 21 2616 17

3/11

…

3/11 3/113/11

DANE W PRZEDZIAŁACHdolna

pozornagórna

pozornadolna realna

górna realna

f f cum

96 98 95,5 98,5 1 80

93 95 92,5 95,5 1 79

90 92 89,5 92,5 3 78

87 89 86,5 89,5 3 75

84 86 83,5 86,5 4 72

81 83 80,5 83,5 7 68

78 80 77,5 80,5 8 61

75 77 74,5 77,5 9 53

72 74 71,5 74,5 12 44

69 71 68,5 71,5 6 32

66 68 65,5 68,5 11 26

63 65 62,5 65,5 7 15

60 62 59,5 62,5 2 8

57 59 56,5 59,5 3 6

54 56 53,5 56,5 3 3

1. Określamy pozycję, na której będzie znajdował się Q1 (Q3)

2. Znajdujemy przedział klasowy, w którym będzie wartość Q1 (Q3).

3. Określamy liczbę obserwacji znajdujących się pomiędzy dolnym końcem rozkładu a dolną granicą przedziały, w którym znajduje się Q1 (Q3) [].

4. Określamy liczbę obserwacji potrzebnych do uzupełnienia różnych miedzy liczbą ustalona w kroku 3 a liczbą określoną w kroku 1.

5. Zakładamy, że wszystkie wyniki w przedziale są równo rozłożone.

6. Określamy liczbę obserwacji w interesującym nas przedziale [f]

7. Znajdujemy szerokość przedziału [i]8. Znajdujemy odległość w przedziale brakującą do

punktu Q1 (Q3), dzielimy ją przez f i mnożymy przez i.

9. Dodajemy otrzymaną wartość do dolnej granicy przedziału.

ODCHYLENIE ĆWIARTKOWE

• jego wartość zależy od środkowej części wyników (nie uwzględnia skrajnych 25% z każdej strony; • inaczej: rozstęp 50% środkowych wyników;• właściwości podobne do mediany:

• wrażliwe bardziej na liczbę wyników poniżej/powyżej pewnej wartości niż na ich dokładną wartość;

• mniej od innych miar zmienności wrażliwe na wartości skrajne;

• jedyna miara dla rozkładów otwartych na końcu;

• dobra stabilność dla różnych prób (słabsza niż dla odchylenia standardowego)

WARIANCJA

średnia z kwadratów odchyleń wszystkich wyników od średniej

– suma kwadratów – oznaczana też jako SS.

Problem!

Wariancja jest w jednostkach kwadratowych, więc nie można jej bezpośrednio porównać np. ze średnią.

Rozwiązanie:

ODCHYLENIE STANDARDOWE

ODCHYLENIE STANDARDOWE

tendencja centralnej dla odchylenia wyników

(z pominięciem ich znaku)

S

x średnia różnica kwadrat

16 42,47 -26,47 700,48

36 42,47 -6,47 41,82

11 42,47 -31,47 990,15

17 42,47 -25,47 648,55

30 42,47 -12,47 155,42

33 42,47 -9,47 89,62

61 42,47 18,53 343,48

65 42,47 22,53 507,75

41 42,47 -1,47 2,15

65 42,47 22,53 507,75

43 42,47 0,53 0,28

42 42,47 -0,47 0,22

62 42,47 19,53 381,55

50 42,47 7,53 56,75

65 42,47 22,53 507,75

EXCEL:==ODCH.STANDARD.POPUL.A(ZAKRES)

ODCHYLENIE STANDARDOWE

• wrażliwe na dokładne położenie każdego wyniku;

• wrażliwe na wartości skrajne;

• najmniej wrażliwe na zmienność próby;

• najczęściej wykorzystywane w analizach statystycznych;

• zagnieżdżone w wielu procedurach statystyki opisowej i wnioskowania statystycznego;

INTERPRETACJE

ŚREDNIA-MEDIANA-MODA

PRZEDSZKOLE 1:

= 5,12 =5 Mo=5

PRZEDSZKOLE 2:

= 5,12 = 8 Mo= 10

PRZEDSZKOLE 3:

= 5,12 = 3 Mo= 2

• badamy liczbę prezentów otrzymywanych przez dzieci na święta;

• zbadano 4 przedszkola, w każdym 50 dzieci;• Czego na podstawie takich wyników możemy się domyślać na temat liczby prezentów, które dostały poszczególne dzieci

ROZKŁAD NORMALNY

PRZEDSZKOLE 1:

= 5,12 =5 Mo=5

większość wyników skupiona jest wokół średniej;

im dalej od średniej, tym mniej wyników;

inaczej rozkład Gaussa

==Mo

SKOŚNOŚĆ UJEMNA

PRZEDSZKOLE 2:

= 5,12 = 8 Mo= 10

wartości skupiają się w prawej części rozkładu;

średnią „obniża” kilka relatywnie niskich wyników na krańcach rozkładu;

inaczej skośny prawostronnie

x Mdm Mo

SKOŚNOŚĆ DODATNIA

PRZEDSZKOLE 3:

= 5,12 = 3 Mo= 2

wartości skupiają się w lewej części rozkładu;

średnią „podwyższa” kilka relatywnie wysokich wyników na krańcach rozkładu;

inaczej skośny lewostronnie

xMdmMo

NAUGHTY OR NICE

• To czy Kasia dostanie prezenty zależy od tego, czy była wśród najlepszych na teście z matematyki;

• Kasia dostała 123 punkty;

• średnia: 115

• min=90, max=125

• S=3,47• założenie: wyniki mają rozkład zbliżony do normalnego

ĆWICZENIE

• badamy świąteczne konsumpcje;

• zdanie:• oblicz miary tendencji centralnej i

zmienności;• przygotuj 5 zdań na temat

opisywanej próby zawierających najciekawsze, najbardziej istotne i jak najbardziej skumulowane informacje;

Zmienne:• karp – w kilogramach• kapusta – w kilogramach• ciasta – w liczbie kawałków• makowiec – w liczbie kawałków• piernik – w liczbie kawałków• sernik – w liczbie kawałków• pierniczki – w sztukach• barszcz – w litrach• prezenty – w sztukach• wydatki_prezenty:1. 1-502. 51-1003. 101-1504. 151-2005. 201-250