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STAT-I301:Chapitre 1: La statistique descriptive
Caroline Verhoeven
Table des matières
1 Introduction
2 Types de données
3 TableauxDonnées quantitativesDonnées qualitatives
4 Mesures statistiquesMesures de positionStatistiques de dispersion
5 GraphiquesDonnées quantitativesDonnées qualitatives
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1. Introduction
Acquisition des données : Types d’études
Etudes observationnellesObservation dans le tempsSans intervention externe
Etudes expérimentalesIntervention de l’expérimentateur
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1. Introduction
Etudes observationnelles
Prospectives (”cohort” studies)
Rétrospectives (”case-control” studies)
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1. Introduction
Etudes observationnelles : Prospectives
Suivi d’une cohorte d’individus au cours du temps
cohorte
sujets
contrôles
conséquence
sans conséquence
conséquence
sans conséquence
début étude tempssens de l’étude
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1. Introduction
Etudes observationnelles : Rétrospectives
Etudes d’individus possédant un même ”résultat”
sujets
contrôles
exposé
pas exposé
exposé
pas exposé
début étude tempssens de l’étude
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1. Introduction
Etudes expérimentales : Essais cliniques
Evaluation d’un traitement (intervention)
Etudes comparatives : un groupe reçoit le traitement, l’autre pasComment choisir les 2 groupes ? Idéalement identiques avant letraitement
Idéal : des jumeaux, 1 des 2 dans chaque groupeDes sujets dont “les variables relevantes” sont identiques2 groupes choisis au hasard
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2. Types de données
Types de données I
données
Qualitatives Quantitatives
Nominales Ordinales Discrètes Continues
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2. Types de données
Types de données II
Données qualitatives (catégorielles)Données nominalesExemple :Sexe : Homme ou femme, groupe sanguin : O, A, B, ABDonnées ordinalesExemple :Evaluation du prof : très défavorable, défavorable, satisfaisant,favorable, très favorable
Données quantitatives (intrinsèquement numériques)Données discrètesExemple :Nombre d’enfants dans un ménageDonnées continuesExemple :Poids, taille, taux de cholestérol
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3. Tableaux 1. Données quantitatives
Série statistique
Ce tableau contient l’énumération des données
Exemple 1
Poids de la prof de stati xi1 57,02 57,43 57,34 57,85 56,96 56,57 56,98 57,39 56,6
10 56,4
i : “identification” du sujet
xi : Mesures, ici poids de la prof
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3. Tableaux 1. Données quantitatives
Variables continues : table de fréquences
Lorsque les observations sont plus nombreuses, elles sont présentéessous forme groupées, on obtient un tableau de fréquences
Exemple 2
Le taux d’acide urique (mg/100ml) de N = 267 donneurs de sangrépartis en 8 classes
Classe j nj n′j]3,00;4,00] 17 0,064]4,00;4,50] 33 0,124]4,50;5,00] 40 0,150]5,00;5,50] 54 0,202]5,50;6,00] 47 0,176]6,00;6,50] 38 0,142]6,50;7,50] 3 0,116]7,50;9,00] 7 0,026
nj : Nombre de sujets dans laclasse j , fréquence absolue
n′j : n′
j = nj/N, fréquencerelative
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3. Tableaux 1. Données quantitatives
Variables continues : table de fréquences cumulées
On peut également faire une table de fréquences cumulées
Exemple 3
Le taux d’acide urique (mg/100ml) de N = 267 donneurs de sangrépartis en 8 classes
Classe j nj Nj N ′j]3,00;4,00] 17 17 0,064]4,00;4,50] 33 50 0,188]4,50;5,00] 40 90 0,338]5,00;5,50] 54 144 0,540]5,50;6,00] 47 191 0,716]6,00;6,50] 38 229 0,858]6,50;7,50] 31 260 0,974]7,50;9,00] 7 267 1,000
nj : Le nombre de sujets dansla classe j , fréquence absolue
Nj : Nj = n1 + n2 + · · ·+ nj ,fréquence cumulée jusqu’à laclasse j incluse
N ′j : Nj/N : fréquence cumuléerelative
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3. Tableaux 1. Données quantitatives
Variables discrètes : Table de fréquences
On regroupe les sujets ayant les mêmes mesures et on construit untableau de fréquences et de fréquences cumulées
Exemple 4
Nombre de garçons parmi N = 38495 familles de 8 enfants
xj nj n′j Nj N′
j
0 161 0,004 161 0,0041 1152 0,030 1313 0,0342 3951 0,103 5264 0,1373 7603 0,198 12867 0,3354 10263 0,267 23130 0,6025 8498 0,221 31628 0,8236 4948 0,129 36576 0,9527 1635 0,042 38211 0,9948 284 0,007 38495 1,001
xj , (j : 1, . . . ,9) : Mesure, nombrede garçons par famille
nj : nombre de familles avec xjgarçons, fréquence absolue
n′j : fréquence relative
Nj : Nj = n1 + n2 + · · ·+ nj ,fréquence cumulée
N ′j : Nj/N, fréquence cumuléerelative
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3. Tableaux 2. Données qualitatives
Table de fréquences
Exemple 5
Tableau de fréquences des causes principales de mortalité chez lesjeunes de 15 à 19 ans aux Etats-Unis en 1999
Cause de la mort Fréquence Pourcentage1 Accidents 6.688 48.542 Homicide 2.093 15,193 Suicide 1.615 11,724 Tumeurs malignes 745 5,415 Maladies cardiaques 463 3,366 Anomalies congénitales 222 1,617 Maladies respiratoires chroniques 107 0,788 Grippes et pneumonies 73 0.539 Maladies cérébrovasculaires 67 0.49
10 Autres tumeurs 52 0,3811 Autres causes 1.653 12,00
Total 13.778 100,0
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4. Mesures statistiques 1. Mesures de position
La moyenne d’une série
Moyenne pour les séries : x =1N
N∑
j=1
xj
Exemple 6
Poids moyen de la prof de stat :
x =1
10(57, 0 + 57, 4 + 57, 3 + 57, 8 + 56, 9
+ 56, 5 + 56, 9 + 57, 3 + 56, 6 + 56, 4) = 57, 01
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4. Mesures statistiques 1. Mesures de position
La moyenne d’une série regroupée
Moyenne pour les séries regroupées : x =1N
c∑
j=1
njx∗
j
c : le nombre de classes
Exemple 7
Taux d’acide uriqueClasse j nj x∗j
]3, 00; 4, 00] 17 3,50]4, 00; 4, 50] 33 4,25]4, 50; 5, 00] 40 4,75]5, 00; 5, 50] 54 5,25]5, 50; 6, 00] 47 5,75]6, 00; 6, 50] 38 6,25]6, 50; 7, 50] 31 7,00]7, 50; 9, 00] 7 8,25
x∗j : centre de la classe
taux moyen d’acide urique :
x =1
267(17 × 3,50 + 33 × 4,25 + 40 × 4,75
+ 54 × 5,25 + 47 × 5,75 + 38 × 6,25
+ 31 × 7 + 7 × 8,25) = 5,45
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4. Mesures statistiques 1. Mesures de position
La moyenne de données discrètes
Moyenne pour des variables discrètes x =1N
c∑
j=1
njxj
c : le nombre de mesures discrètes différentes
Exemple 8
Nombre de garçons parmi N = 38495 familles de 8 enfants
xj nj0 1611 11522 39513 76034 102635 84986 49487 16358 284
Moyenne du nombre de garçons :
x =1
38495(161 × 0 + 1152 × 1 + 3951 × 2
+ 7603 × 3 + 10263 × 4 + 8498 × 5
+ 4948 × 6 + 1635 × 7 + 284 × 8)
= 4, 13
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4. Mesures statistiques 1. Mesures de position
La médiane : principe
Définition 9
La médiane, x̃ , est “la mesure du milieu” : 50% des sujets auront desmesures plus petites, 50% des mesures plus grandes
Comment calculer la médiane ?
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4. Mesures statistiques 1. Mesures de position
La médiane d’une série
Pour les séries :
Exemple 10
Poids de la prof de stati xi1 57,02 57,43 57,34 57,85 56,96 56,57 56,98 57,39 56,6
10 56,4
i xi10 56,46 56,59 56,65 56,97 56,91 57,03 57,38 57,32 57,44 57,8
Ordonner les variables : petit −→ grand
N impair ⇒ la médiane : la mesure à laplace N+12Exemple : N = 7 ⇒ x̃ : la mesure à laplace 82 = 4
N pair ⇒ la médiane : la moyenne desmesures à la place N2 et
N2 + 1
Exemple : A gauche, N = 10 et doncx̃ = 12(56, 9 + 57, 0) = 56.95
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4. Mesures statistiques 1. Mesures de position
La classe médiane
Pour les séries regroupées :
Exemple 11
Taux d’acide uriqueClasse j nj Nj N ′j
]3, 00; 4, 00] 17 17 0,064]4, 00; 4, 50] 33 50 0,188]4, 50; 5, 00] 40 90 0,338]5, 00; 5, 50] 54 144 0,540]5, 50; 6, 00] 47 191 0,716]6, 00; 6, 50] 38 229 0,858]6, 50; 7, 50] 31 260 0,974]7, 50; 9, 00] 7 267 1,000
On utilise le tableau et/ou lediagramme de fréquencescumulées
La classe qui contient lamédiane : la 1ère classe pourlaquelle N ′j ≥ 0.5
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4. Mesures statistiques 1. Mesures de position
La médiane pour les données discrètes
Pour les variables discrètes
Exemple 12
Nombre de garçons dans une famille de 8 enfantsxj nj Nj N ′j0 161 161 0,0041 1152 1313 0,0342 3951 5264 0,1373 7603 12867 0,3354 10263 23130 0,6025 8498 31628 0,8236 4948 36576 0,9527 1635 38211 0,9948 284 38495 1,001
On utilise la table de fréquencescumulées
La médiane : la 1ère mesure pourlaquelle N ′j ≥ 0.5Exemple : On voit dans la tableauà gauche que cela correspond à 4garçons.
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4. Mesures statistiques 1. Mesures de position
centiles
Le cème centile est la mesure telle c% des sujets ont une mesureinférieure
La médiane est un cas spécial : c’est le 50ème centile
Pour calculer le centile exacte, on utilise souvent un logiciel.Pour les séries regroupées on peut aussi :
Déterminer la classe du centile
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4. Mesures statistiques 1. Mesures de position
Classe du centile : exemple
Exemple 13
Taux d’acide uriqueClasse j nj Nj N ′j
]3,00;4,00] 17 17 0,064]4,00;4,50] 33 50 0,188]4,50;5,00] 40 90 0,338]5,00;5,50] 54 144 0,540]5,50;6,00] 47 191 0,716]6,00;6,50] 38 229 0,858]6,50;7,50] 31 260 0,974]7,50;9,00] 7 267 1,000
Déterminons la classe du 60ème
centile
Considérons la table defréquences cumulées
La classe du 60ème centile est la1ère classe où N ′j ≥ 0.6
Dans notre exemple : c’ est laclasse ]5, 50; 6, 00]
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4. Mesures statistiques 1. Mesures de position
Les quartiles
Les quartiles sont des cas particuliers des centiles :
Le 1er quartile, Q1 correspond au 25èmecentile
Le 2èmequartile correspond à la médiane
Le 3ème quartile Q3 correspond au 75ème centile
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4. Mesures statistiques 1. Mesures de position
Le mode
La (les) mesure(s) de fréquence maximum
On utilise les tableaux de fréquences
Pour les séries et les variables discrètes : La (les) valeurs les plusobservées
Pour les séries regroupées ”la classe modale” est la classe defréquence maximum
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4. Mesures statistiques 1. Mesures de position
Conclusions tendances centrales
Quand utiliser les tendances centrales :Statistiques Quand ?
Moyenne quantitativespas de données aberrantesgrands échantillons
Médiane quantitatives, ordinalesok avec les données aberrantes
Mode quantitatives, qualitativesdistribution multimodale
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4. Mesures statistiques 2. Statistiques de dispersion
Statistiques de dispersion
Exemple 14
Les séries de mesures
{99, 100, 101}
{0, 100, 200}
on toutes 2 une moyenne x = 100, mais leur dispersion est trèsdifférente
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4. Mesures statistiques 2. Statistiques de dispersion
L’étendue
L’étendue E est donnée par
E=maximum - minimum
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4. Mesures statistiques 2. Statistiques de dispersion
Comment définir la variance ?
Pour les séries :
De quelle manière les mesurent diffèrent-elles de la moyenne ?
Proposition : Regardons la différence entre les mesures et lamoyenne
1N
N∑
i=1
(xi − x)
Problème : Exemple avec 3 données
13
(
(x1 − x) + (x2 − x) + (x3 − x))
=13(x1 + x2 + x3)− x = x − x = 0
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4. Mesures statistiques 2. Statistiques de dispersion
La variance d’une série
Autre proposition : Regardons le carré de la différence entre lesmesures et la moyenne
s2x =1
N − 1
N∑
j=1
(xj − x)2,
la variance !
N − 1 : nombre de degrés de liberté1
N−1 ≃1N pour N grand
Exemple : 11000 = 0,001000 ≃1
999 = 0,001001
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4. Mesures statistiques 2. Statistiques de dispersion
La variance d’une série regroupée et de donnéesdiscrètes
Pour les séries regroupées :
s2x =1
N − 1
c∑
j=1
nj(x∗
j − x)2
c : nombre de classe, x∗j milieu de la classe j
Pour les variables discrètes :
s2x =1
N − 1
c∑
j=1
nj(xj − x)2
c : nombre des mesures discrètes différentes
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4. Mesures statistiques 2. Statistiques de dispersion
La déviation standard d’une série
La déviation standard sx :
sx =√
s2xPour les séries :
Exemple 15
i xi (xi − x)2
1 57,0 0,00012 57,4 0,15213 57,3 0,08414 57,8 0,62415 56,9 0,01216 56,5 0,26017 56,9 0,01218 57,3 0,08419 56,6 0,1681
10 56,4 0,3721
sx =
√
√
√
√
1N − 1
N∑
j=1
(xj − x)2
Pour notre exemple :
s2x =19(0,0001 + 0,1521 + 0,0841 + 0,6241
+ 0,0121 + 0,2601 + 0,0121
+ 0,0841 + 0,1681 + 0,3721) = 0,1966
⇒ sx =√
0, 1966 = 0, 44ULBBeamerlogo
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4. Mesures statistiques 2. Statistiques de dispersion
La déviation standard d’une série regroupée
Pour les séries regroupées :
sx =
√
√
√
√
1N − 1
c∑
j=1
nj(x∗j − x)2
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4. Mesures statistiques 2. Statistiques de dispersion
La déviation standard de données discrètes
Pour les variables discrètes :
Exemple 16
Nombre de garçons dans une famille de 8 enfants (N = 38495)xj nj0 1611 11522 39513 76034 102635 84986 49487 16358 284
sx =
√
√
√
√
1N − 1
c∑
j=1
nj(xj − x)2
Pour notre exemple :
sx =
√
138494
(83.294, 24) = 1, 47
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4. Mesures statistiques 2. Statistiques de dispersion
L’écart interquartile
On en déduit l’écart interquartile IQR :
IQR = Q3 − Q1
Cette étendue va donc du 25ème centile au 75ème centile
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4. Mesures statistiques 2. Statistiques de dispersion
Conclusions : mesures de dispersion
Quand utiliser les mesures de dispersion :Statistiques Quand ?
Etendue quantitativespas de données aberrantesêtre prudent
Déviation standard quantitativespas de données aberrantesgrands échantillons
Ecart interquartile quantitatives, ordinalesok avec des données aberrantes
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5. Graphiques 1. Données quantitatives
Valeurs numériques continues : histogrammes
Exemple 17
Classe j nj Ij yj = nj/Ij]3, 00; 4, 00] 17 1,0 17,00]4, 00; 4, 50] 33 0,5 66,00]4, 50; 5, 00] 40 0,5 80,00]5, 00; 5, 50] 54 0,5 108,00]5, 50; 6, 00] 47 0,5 94,00]6, 00; 6, 50] 38 0,5 76,00]6, 50; 7, 50] 31 1,0 31,00]7, 50; 9, 00] 7 1,5 4,67
Ij : largeur de la classe3 4 5 6 7 8 9
20
40
60
80
100yj
taux d’acide urique(mg/100ml)
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5. Graphiques 1. Données quantitatives
Valeurs numériques continues : diagrammes desfréquences cumulées
Exemple 18
Classe j nj Nj N ′j]3, 00; 4, 00] 17 17 0,064]4, 00; 4, 50] 33 50 0,188]4, 50; 5, 00] 40 90 0,338]5, 00; 5, 50] 54 144 0,540]5, 50; 6, 00] 47 191 0,716]6, 00; 6, 50] 38 229 0,858]6, 50; 7, 50] 31 260 0,974]7, 50; 9, 00] 7 267 1,000 3 4 5 6 7 8 9
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0N ′j
bb
b
b
b
b
b
b b
taux d’acide urique(mg/100ml)
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5. Graphiques 1. Données quantitatives
La médiane par le diagramme de fréquencescumulées
Pour les séries regroupées :
Exemple 19
Taux d’acide urique
3 4 5 6 7 8 9
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0N ′j
bb
b
b
b
b
b
b b
0.5
x̃taux d’acide urique(mg/100ml)
x̃ : la valeur qui correspond àN ′j = 0, 5
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5. Graphiques 1. Données quantitatives
Le centile par le diagramme de fréquences cumulées
Exemple 20
3 4 5 6 7 8 9
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0N ′j
bb
b
b
b
b
b
b b
c60taux d’acide urique(mg/100ml)
c60 : la valeur qui correspond à un N ′j =0, 6
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5. Graphiques 1. Données quantitatives
Variables discrètes : diagramme en bâtons pour lesfréquences
Exemple 21
Nombre de garçons parmi N = 38495 familles de 8 enfants
xj nj0 1611 11522 39513 76034 102635 84986 49487 16358 284 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2000
4000
6000
8000
10000
12000nj
Nombre de garçons
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5. Graphiques 1. Données quantitatives
Variables discrètes : diagramme en bâtons pour lesfréquences cumulées
Exemple 22
xj nj Nj N ′j0 161 161 0,0041 1152 1313 0,0342 3951 5264 0,1373 7603 12867 0,3354 10263 23130 0,6025 8498 31628 0,8236 4948 36576 0,9527 1635 38211 0,9948 284 38495 1,001
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0N ′j
Nombre de garçons
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5. Graphiques 1. Données quantitatives
La boı̂te à moustaches I
Exemple 23
Le taux de fer (mg/100g) de 14 aliments différentsAliment fer (xi )boeuf, cuit 6,16graines de tournesol,grillées, salées 3,81chocolat 3,13purée tomate, conserve 2,98haricots blancs, bouillis 2,94choux de bruxelles, bouillis 1,20lait de soja 1,10laitue, crue 1,00brocoli, cru 0,91épinards, crus 2,70chou rouge, cru 0,80framboises, crues 0,69fraises, crues 0,42pommes de terre, cuites 0,35
x = 2, 014
x̃ = 1, 150
Q1 = 0, 828
Q3 = 2, 970
min= 0, 35
max= 6, 16
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5. Graphiques 1. Données quantitatives
La boı̂te à moustaches II
Les données sont représentées dans la boı̂te à moustaches :
1
2
3
4
5
6fe
r(m
g/10
0g)
min
max
Q1
x̃
Q3
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5. Graphiques 1. Données quantitatives
La boı̂te à moustaches III
Pourquoi a-t-on conseillé de manger des épinards ?
Exemple 24
Le taux de fer (mg/100g) de 14 aliments différentsAliment fer (xi )bœuf, cuit 6,16graines de tournesol,grillées, salées 3,81chocolat 3,13purée tomate, conserve 2,98haricots blancs, bouillis 2,94choux de bruxelles, bouillis 1,20lait de soja 1,10laitue, crue 1,00brocoli, cru 0,91épinards 35,00chou rouge, cru 0,80framboises, crues 0,69fraises, crues 0,42pommes de terre, cuites 0,35
x = 4, 321
x̃ = 1, 150
Q1 = 0, 828
Q3 = 3, 092
min= 0, 35
max= 35, 00ULBBeamerlogoCaroline Verhoeven STAT-I301 45 / 49
5. Graphiques 1. Données quantitatives
La boı̂te à moustaches IV
Les données sont représentées dans la boı̂te à moustaches :
10
20
30
fer
(mg/
100g
)
⋆
La boite à moustache met labarre au maximum que si
max≤ Q3 + 1.5 × IQR
La boite à moustache met labarre au minimum que si
min ≤ Q1 − 1.5 × IQR
Si ce n’est pas le cas, il prendles premières valeurs quisatisfont à ces conditions
Les autres mesures sontreprésentées à part et sontdite aberrantesULBBeamerlogo
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5. Graphiques 2. Données qualitatives
On part de la table de fréquences
Exemple 25
Table de fréquences des causes principales de mortalité chez les jeunesde 15 à 19 ans aux Etats-Unis en 1999
Cause de la mort Fréquence Pourcentage1 Accidents 6.688 48.542 Homicide 2.093 15,193 Suicide 1.615 11,724 Tumeurs malignes 745 5,415 Maladies cardiaques 463 3,366 Anomalies congénitales 222 1,617 Maladies respiratoires chroniques 107 0,788 Grippes et pneumonies 73 0.539 Maladies cérébrovasculaires 67 0.49
10 Autres tumeurs 52 0,3811 Autres causes 1.653 12,00
Total 13.778 100,0
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5. Graphiques 2. Données qualitatives
Diagrammes en bâtons
Exemple 26
Données de l’exemple 23 en diagramme en bâtons
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5. Graphiques 2. Données qualitatives
Diagrammes en camembert
Exemple 27
Données de l’exemple 23 en diagramme en camembert
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IntroductionTypes de donnéesTableauxDonnées quantitativesDonnées qualitatives
Mesures statistiquesMesures de positionStatistiques de dispersion
GraphiquesDonnées quantitativesDonnées qualitatives