Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty

[Titulní stránky]

In: Hana Vymazalová (author): Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty. (Czech).Praha: Český egyptologický ústav FF UK, 2006. pp. [1]–[2].

Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401064

Terms of use:© Vymazalová, Hana

Institute of Mathematics of the Czech Academy of Sciences provides access to digitized documentsstrictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use.

This document has been digitized, optimized for electronic delivery andstamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech DigitalMathematics Library http://dml.cz

ČESKÝ EGYPTOLOGICKÝ ÚSTAV

DĚJINY MATEMATIKY, svazek 31

STAROEGYPTSKÁ MATEMATIKA

HIERATICKÉ MATEMATICKÉ TEXTY

Hana Vymazalová

PRAHA 2006

DĚJINY MATEMATIKY

Redakční rada

Jindřich Bečvář, Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha

Eduard Fuchs, Přírodovědecká fakulta MU, Brno

Karel Mačák, Pedagogická fakulta TU, Liberec

Ivan Netuka, Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha

Štefan Šchwabik, Matematický ústav AV ČR, Praha

Emilie Těšínská, Ústav soudobých dějin AV ČR, Praha

Redakce:

Eduard FuchsÚstav matematiky a statistiky Přírodovědecké fakultyMasarykova univerzita,Janáčkovo nám. 2a,602 00 Brno

Recenzenti:

Prof. PhDr. Miroslav Verner, DrSc.Doc. RNDr. Eduard Fuchs, CSc.

Vydání této publikace bylo financováno z prostředků výzkumného záměruMinisterstva školství, mládeže a tělovýchovy ČR, MSM-0021620826.

c© H. Vymazalová, 2006

ISBN 80-7308-156-3

Obsah

Předmluva 5Stručný přehled dějin 6

I Staroegyptská matematika 9I.1 Úvod 11

I.2 Jazykové prostředky 13

I.3 Staroegyptské jednotky délky a objemu 18

I.4 Počítání se zlomky 23

I.5 Řešení rovnic 33

I.6 Výpočet obsahu plochy 41

I.7 Výpočet objemu tělesa 46

I.8 Výpočet sklonu pyramidy 50

I.9 Slovní úlohy různého zaměření 53

I.10 Stanovení kvality piva a chleba 61

I.11 Staroegyptská matematika 69

II Překlady hieratických matematických textů 73II.1 Moskevský matematický papyrus 75

II.2 Fragmenty papyru nalezené v Káhúnu 88

II.3 Fragmenty papyru z muzea v Berlíně 92

II.4 Dřevěné tabulky nalezené v Achmímu 94

II.5 Rhindův matematický papyrus 101

II.6 Kožený svitek 145

Vybraná literatura 149

Předmluva

Tato knížka je učena všem, kdo se zajímají o matematiku a její historii,není však zamýšlena jako vyčerpávající studie o staroegyptském mate-matickém myšlení. Místo toho přináší pohled na přímé prameny, tedyna několik matematických textů, které se dochovaly do dnešních dnů.Většina z nich sloužila k výuce matematiky v egyptských písařskýchškolách, a dává nám tedy nahlédnout nejen na matematiku jako tako-vou, ale také na část postupů, které byly užívány při výuce budoucíchstátních úředníků.Kniha je rozvržena do dvou částí. První představuje úvod do egypt-

ské matematiky a přináší základní přehled o obsahu dochovaných textů.Stručně se věnuje jazykové stránce textů, objasňuje zápisy čísel i ma-tematických operací a popisuje různé typy úloh, které jsou v textechzachyceny, spolu s rozličnými metodami výpočtů. Zachycuje tak rozsahmatematických problémů, kterým se dochované texty věnují, a měla byumožnit srovnat či posoudit řešení či obtížnost příkladů pocházejícíchz různých textů.Druhou část tvoří překlady matematických textů, které jsou řazeny

podle přibližného stáří od nejstarších po nejmladší. Každý text je uve-den stručnou charakteristikou upřesňující jeho stáří, dobu a místo nálezua současné umístění. Doprovodný obrázek vždy naznačuje povahu tohokterého textu na základě vybrané ukázky. Připojena je také základní bib-liografie. V překladech byla záměrně ponechána pokud možno doslovnáforma úloh, která může působit až krkolomně, avšak odráží drobné ja-zykové a formální rozdíly mezi jednotlivými texty a rovněž zachycujezpůsoby vyjadřování staroegyptských písařů.Přepisy jmen a egyptských termínů a způsob datace se řídí obo-

rovým standardem udávaným Ilustrovanou encyklopedií starého Egypta(M. Verner, L. Bareš, B. Vachala, Praha 1998).

Ráda bych vyjádřila poděkování Eduardu Fuchsovi za jeho podporua cenné rady, kterých se mi dostalo nejen během přípravy této knížky.Můj velký dík patří také Miroslavu Vacurovi za cenné připomínky a tech-nickou pomoc, Martě Štrachové a Jolaně Malátkové za připomínky k ru-kopisu, které měly výrazný vliv na čtivost a přehlednost knihy, a rovněžmým kolegům a přátelům, kteří mě během psaní podporovali.

5

Stručný přehled dějin

Dějiny starověkého Egypta dnes dělíme na několik období, jež odrážejívětší či menší stabilitu státu. Pro jednotlivé dynastie uvádíme stručnoucharakteristiku a vybrané památky. Uvedená data jsou pouze přibližná,s jistotou lze datovat jen události v 1. tisíciletí př. Kr.

Předdynastická doba (cca 4500–3150 př. Kr.)starší, střední, mladší0. dynastie: proces sjednocování Egypta

Archaická doba (cca 3150–2700 př. Kr.)1. dynastie2. dynastie

Stará říše (cca 2700–2180 př. Kr.)3. dynastie: stupňovité pyramidy (Džoserova v Sakkáře)4. dynastie: centralizovaný stát, rozměrné pyramidy v Médúmu,

Dahšúru, Gíze5. dynastie: skromnější pyramidy v Abúsíru a Sakkáře, sluneč-

ní chrámy6. dynastie: pyramidy v Sakkáře, Texty pyramid, pozvolný roz-

klad státní struktury

První přechodná doba (cca 2180–1994 př. Kr.)7. dynastie: oslabení centrální moci, rozvoj lokálních tradic8. dynastie: rozvoj lokálních tradic9. a 10. dynastie: panovníci sídlící v Hérakleopoli11. dynastie: panovníci sídlící v Thébách, sjednocení Egypta

Střední říše (cca 1994–1797 př. Kr.)12. dynastie: pyramidy v Sakkáře, Dahšúru, Lištu, Láhúnu,

Hawwáře

Druhá přechodná doba (cca 1797–1534 př. Kr.)13. dynastie: pozvolný úpadek centrální moci14. dynastie: méně významní panovníci vládnoucí v Deltě15. dynastie: hyksóští panovníci vládnoucí v severní části země16. dynastie: vazalové Hyksósů17. dynastie: panovníci sídlící v Thébách a vládnoucí v jižní části

země, sjednocení Egypta a vyhnání Hyksósů

6

Nová říše (cca 1543–1080 př. Kr.)18. dynastie: expanzivní politika a rozkvět diplomacie, skalní

hrobky v Údolí králů, velké chrámové komplexy19. dynastie: vojenské výpravy, rozsáhlá stavební činnost20. dynastie: pozvolný úpadek centrální moci

Třetí přechodná doba (cca 1078–715 př. Kr.)21. dynastie: rozdělení moci mezi panovníky a velekněze22. dynastie: vládci libyjského původu v Tanidě a Búbastidě23. dynastie: vládci libyjského původu v Leontopoli24. dynastie: nezávislý vládce v západní části Delty

Pozdní doba (715–305 př. Kr.)25. dynastie: panovníci z Núbie26. dynastie: návrat k egyptským tradicím, tzv. sajská renesance,

řecké komunity v Egyptě27. dynastie: první perská nadvláda28. dynastie: krátká vláda panovníka Amenardise29. dynastie: kratší vlády panovníků, původně vojenských velitelů30. dynastie: prosperita země, navázání na tradice z doby sajských

vládců, boje o samostatnost Egypta31. dynastie: druhá perská nadvláda

Alexandr Veliký a další řečtí vládcové, boje diadochů

Ptolemaiovská doba (305–30 př. Kr.)velký vliv Řecka na egyptskou kulturu, Alexandrie centrem vzdělanosti

7

Káhira

Luxor

Asuán

Gíza

Alexandrie

AbúsírSakkára

KáhúnLáhún

Achmím

Údolí králù

SaisBúsirisLeontopolis

Tanis

Médúm

Dahšúr

Hérakleopolis

Théby

LištHawwára

oáza Fajjúm

Memfis

Héliopolis

Bení Hasan

Asjút

Tell el Amarna

Abydos

Edfu

Kom Ombo

oázaCharga

oázaDachla

oázaBahrija

Stredozemní more

Rudé

more

100 km

Mapa Egypta zachycující významná starověká města a pohřebiště.

8

Část I

Staroegyptská matematika

I.1 Úvod

Staroegyptská kultura a její pozoruhodné hrobky, chrámy, zvyky a před-stavy se těší neutuchající pozornosti. Matematika starých Egypťanůnicméně stojí poněkud na okraji zájmu, přestože právě matematickéznalosti byly nezbytné pro fungování egyptského státu, který se v úrod-ném nilském údolí rozvíjel po více než tři tisíciletí. Matematika spo-lečně s psaním a čtením tvořila základní součást vzdělání egyptskýchúředníků. Byla nesmírně důležitá pro zajištění administrativní kontrolyzemě, budování staveb světského i náboženského významu či důmyslnéorganizování lidských i přírodních zdrojů.Egyptská matematika se bez nejmenších pochyb počala rozvíjet již

v období před založením jednotného egyptského státu, avšak nejstaršíznámé texty obsahující matematické výpočty pocházejí až z doby o vícenež tisíc let mladší. Ve většině případů se jedná o sbírky vyřešenýchmatematických problémů, které sloužily jako pomůcky při výuce mate-matiky v písařských školách; dochovaly se však také různé tabulky, jichžse v matematické praxi zřejmě hojně využívalo.Texty jsou jedinými přímými svědky matematických vědomostí sta-

rých Egypťanů, ačkoli o nemalých znalostech a výjimečných administra-tivních a organizačních schopnostech staroegyptských písařů, úředníkůa stavitelů vypovídají nadmíru výmluvně také monumentální stavby,především pyramidy a rozlehlé chrámové komplexy. Tyto památky sečasto stávají předmětem více či méně fantastických zkoumání odhalují-cích skryté vědění a pokročilé znalosti starověkých Egypťanů. I ve stínuohromujících staveb bychom se však měli vyhnout nepodloženým spe-kulacím, a tedy mějme na paměti, že s jistotou můžeme o staroegyptskématematice tvrdit pouze to, co nalezneme v přímých pramenech. A poně-vadž se dochovalo jen velmi málo matematických textů, nezbývá námnež smířit se s omezeným poznáním.Matematické texty, jež jsou v této knížce zahrnuty, pocházejí z první

poloviny 2. tisíciletí př. Kr. Jsou psány hieratickým písmem, které slou-žilo v každodenním životě pro psaní běžných záznamů, administrativ-ních dokumentů, dopisů atp., zatímco věhlasnější hieroglyfy byly určenypro oficiální záznamy, zejména pro tesání na kamenné stěny chrámů.Gramaticky tyto texty odpovídají klasické (střední) egyptštině a psacímmateriálem je zpravidla papyrus, dochovaly se však i tabulky ze dřeva,svitek z kůže a několik ostrak, tedy úlomků vápence či keramiky.Ze starších období egyptských dějin se žádné matematické texty ne-

dochovaly. Mladší texty z konce 1. tisíciletí př. Kr. a pozdějších obdobípsané démotickým nebo řeckým písmem do značné míry odrážejí vliv

11

mezopotámské a řecké matematiky. Tvoří tedy trochu jinou skupinupramenů vypovídající o dalším vývoji matematických znalostí a budejim věnována pozornost v některé z dalších publikací.Při čtení hieratických textů se hieratika nejprve přepíše do formy

hieroglyfické, potom následuje transliterace a překlad. Texty bývají namnoha místech poničeny, v tomto případě je příslušná pasáž v překladuvyznačena závorkami či tečkami. Někdy je možné zničený text částečně čiúplně rekonstruovat, například se znalostí analogických příkladů z jinýchtextů.Dochované matematické texty jsou známy pod různými názvy, jež

zpravidla odrážejí místo, kde byly nalezeny (např. káhúnské papyry, ta-bulky z Achmímu), nebo místo současného uložení ve světových muzeích(např. moskevský papyrus, berlínské fragmenty). Rhindův papyrus, nej-známější a nejobsáhlejší z dochovaných matematických textů, je pojme-nován po sběrateli starožitností. Podrobnější informace k jednotlivýmtextům ohledně místa nálezu a současného umístění, stejně jako stručnýpopis a základní bibliografie následují ve druhé části.O egyptské matematice byla sepsána řada knih a studií z pohledu

matematiků i egyptologů. Kromě komentovaných překladů jednotlivýchtextů stojí za zmínku zejména práce Otto Neugebauera o egyptské arit-metice a geometrii, uveřejněné v řaděQuellen und Studien zur Geschichteder Mathematik (Berlín 1931). Významná je též jeho publikace DieGrundlagen der Ägyptischen Bruchrechnung (Berlín 1926). Obecněji po-jednává o matematice například Olivier Gillain ve svém díle La scienceégyptienne: l’arithmétique au Moyen Empire (Brusel 1927). Úplnýmpočátkům egyptské matematiky se věnuje doktorská disertace WalteraFriedricha Reinekeho Gedanken und Materialien zur Frühgeschichte derMathematik in Ägypten. Za bližší pozornost rozhodně stojí dílo RichardaJ. Gillingse Mathematics in the Time of the Pharaohs (New York 1972).Souborem vybraných úloh z hieratických matematických textů se za-bývala Sylvia Couchoud ve své knize Mathématiques égyptiennes: re-cherches sur les connaisances mathématiques de l’Egypte pharaonique(Paříž 1993). Z novějších publikací stojí jistě za zmínku Ägyptische Al-gorithmen. Eine Untersuchung zu den mittleägyptischen mathematischenAufgabentexten (Wiesbaden 2003) od Annette Imhausen, která však berev úvahu jen soubory příkladů a nevěnuje pozornost ostatním typům do-chovaných matematických textů. Z českých prací můžeme zmínit svazek23 této edice od Jindřicha Bečváře, Martiny Bečvářové a Hany Vyma-zalové, Matematika ve starověku. Egypt a Mezopotámie, jenž zahrnujezákladní informace o staroegyptské matematice.

12

I.2 Jazykové prostředky

Matematické texty se v rámci staroegyptské literatury řadí mezi tzv.vědeckou literaturu, jež užívá zvláštní slovesnou formu vyjadřující nut-nou akci ve smyslu „má se učinit�.1 Ta je typická zejména pro lékařskéa matematické texty, kde se užívá v popisech rozmanitých problémůa v návodech k jejich řešení, a je tedy zcela v souladu s návodnou pova-hou těchto textů. V češtině se nejlépe vyjádří imperativem, a to zejménav zadání úloh a popisech řešení, či přítomným časem, např. při vyjadřo-vání výsledku.

Číselný systém a zápis čísel

Egyptská matematika užívala dva typy čísel, a to celá čísla a zlomky.Pro celá čísla byl vyvinut nepoziční desetinný systém zápisu, využívajícíčíslice od 1 do 1 000 000. Čísla se zapisovala kombinací potřebného počtučíslic pro jednotky, desítky, stovky, . . . Přehled egyptských číslic a jejichhieratický a hieroglyfický zápis zachycuje následující tabulka:

� � � � � � �1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000

Zlomky zahrnovaly převrácené hodnoty celých čísel, tedy šlo o zlomky

kmenné. V zápisu se zlomek od celého čísla odlišoval znakem � zapsa-

ným nad číslovkou. V hieratice se ze znaku � stala tečka. Výjimku

v systému kmenných zlomků tvořily 23 , které se zapisovaly znakem� ,

v hieratice .Počítání s kmennými zlomky nebylo tak docela snadné, neboť vý-

sledky sčítání, odčítání, násobení či dělení zlomků musely být vždy vy-jádřeny opět jen kmennými zlomky. Zvládnutí počítání se zlomky všakbylo základem pro další studium matematiky a velká část matematic-kých textů se mu podrobně věnuje (viz oddíl I.4).

1A. H. Gardiner, Egyptian Grammar: Being an Introduction to the Study of Hie-roglyphs, Oxford 1957, s. 344–347; J. P. Allen, Middle Egyptian: an Introduction tothe Language and Culture of Hieroglyphs, Cambridge 2000, s. 304–306.

13

Matematické operace a jejich terminologie

Symbolický zápis nebyl ve starém Egyptě znám. Zadání úloh i postupřešení se popisovaly slovně, přičemž v některých případech slovní popisydoprovázely také písemné výpočty provádějící operace zmíněné v textu.Pro vyjádření jakékoli operace egyptští písaři používali často výraz

iri, jehož základní význam je „dělat�, což lze v kontextu matematickýchtextů chápat jako „počítat�. Vedle toho však každá z operací nabízelai další, pro ni specifické možnosti vyjádření, často odrážející způsob pro-vedení.

SčítáníDesítková číselná soustava umožňovala velmi jednoduše sčítat praktickyjakékoli celočíselné hodnoty (o zlomcích bude řeč dále). Sčítání se kroměnejčastějšího iri vyjadřovalo i slovesem wah. s významem „spojit�, „při-pojit�. Zřídka se v této souvislosti objevuje i sloveso demedž ve významu„sjednotit�.

OdčítáníSloveso iri v tomto případě zpravidla stojí ve spojení s wedžat , což zna-mená „zbytek�: „Spočítej zbytek 16 za 15� (M15), čili 16−15. Podobnoukonstrukci mohlo iri vytvořit také s aa „velikost�: „Spočítej velikost těch10 k těm 4� (M19), čili 10− 4.Dalším výrazem používaným pro vyjádření operace odčítání bylo

sloveso chebi s původním významem „zmenšit�. Výsledek operace mohlbýt v tomto případě označen opět jako wedžat „zbytek�: „odečti 1 od10, zbytek je 9� (R64), čili 10− 1 = 9.

NásobeníOperace násobení byla založena na sčítání a tuto skutečnost odrážínejčastější formulace: „sečti x y-krát�, nebo „počítej s x y-krát�. Uží-vají se při tom slovesa iri a wah. (často v konstrukci wah. -tep-m), a to vespojení se sep či r-sep, tedy „krát�.Př: 15 · 13 \1 15

2 30\4 60\8 120

Činitel 15 se zdvojnásobuje, dokud jeho násobky nedají druhého čini-tele, tedy 1 + 4 + 8 = 13. Výsledku se dosáhne sečtením odpovídajícíchhodnot z druhého sloupce, tedy 15+60+120 = 195. Šikmá čárka u hod-noty násobku naznačuje, které násobky činitele jsou určeny k sečtení.V některých případech bylo výhodnější použít místo dvojnásobků dese-tinásobky, pro necelé činitele se určovaly rovněž poloviny či desetiny.

14

DěleníPři dělení se postupovalo podobně jako u násobení, kdy se při zdvojná-sobování dělitele nejprve našla v pravém sloupci hodnota dělence a se-čtením odpovídajících hodnot z levého sloupce se získal výsledek.Př: 43÷ 8 \1 8

2 16\4 32\18 1

\14 2

Jelikož 43 = 8+32+1+2, výsledkem je 5+ 18 +

14 . Při dělení se zlomky

se často využívalo obrácené hodnoty dělitele, jejíž násobek je roven 1.Pokud bylo dělení vyjádřeno pomocí iri , stálo toto sloveso ve spojení

s účelovou konstrukcí r gemet „pro nalezení�, „aby se nalezlo�, což velmipěkně vystihuje proces, který se v průběhu dělení udál: „Počítej s 16,až najdeš (dokud nenajdeš) 25� (M11), čili 25 ÷ 16. Totéž sloveso všakmohlo vyjadřovat operaci dělení i jiným způsobem, totiž když se dělenívyjádřilo jako násobení dělence zlomkem, jehož jmenovatelem se staldělitel: „spočítej jeho 1

10� (R46), čili x÷10. Podobně mohlo být použitotaké sloveso wah. , ale pouze ve spojení s „aby se nalezlo�, zatímco sezlomkem není doloženo v žádné ze známých úloh.Méně často se užívá sloveso nis. Zatímco výše uvedené způsoby vyjá-

dření operaci dělení pouze popisují, tento termín lze přeložit přímo jako„dělit�: „Vyděl 1÷ (3 + 1

3)� (R35).

Vyjádření výsledkuVýsledek matematické operace se označuje dvěma způsoby, a to pomocísloves cheper „vzniknout�, „stát se� a demedž ve významu „sečteno�,tedy „celkem�. První způsob vyjádření se objevuje u výsledků zmiňova-ných v textu, zatímco druhým způsobem se označují výsledky písemnýchvýpočtů.Sloveso cheper může být použito v prostém tvaru „vyjde x� nebo

se sponou m ve spojení „výsledek je x�, přičemž některé texty nabízejíoba způsoby vyjádření. V káhúnských papyrech se setkáváme s výrazem„to, co zde vyjde, je x�. Pro jednoduchou orientaci v překladech je prorůzné formy vyjádření použit pouze výraz „vyjde�.

Další operaceVelký význammá v egyptské matematice operace zdvojnásobování, kteráse užívá především při násobení a dělení. Nejčastěji se označuje opisem„počítej s x 2krát�, v moskevském papyru se však můžeme setkat i s ter-mínem k.ab „zdvojnásobit�. Operace zdesateronásobování se popisujevýhradně výrazem „počítej s x 10krát�.

15

Operace umocňování není v dochovaných textech příliš častá a vevšech známých případech se provádí na „vhodných� hodnotách. Častoje vyjádřena jako „spočítej x x-krát�. V moskevském papyru se používávýraz seš „mocnina�, a to ve spojení „spočítej x v mocnině�, zatímcoberlínský papyrus operuje s výrazem h. ajet „pravoúhelník� ve spojení„spočítej pravoúhelník z x�. Tento způsob vyjádření by napovídal, že proEgypťany (stejně jako později pro Řeky) byla druhá mocnina produktemgeometrie, i když výraz seš naznačuje, že mohla být chápána i jinak.Odmocňování se jednotně označuje termínem k.enbet „odmocnit�.

Téměř ve všech případech je odmocňovaná hodnota opět bezproblémová,jedinou výjimkou je výpočet na berlínském papyru. Ohledně způsobuegyptského odmocňování se předpokládá, že, podobně jako u umocňo-vání, byla i zde použita geometrická cesta spolu s empiricky zjištěnýmivztahy mezi čísly.

Ustálená slovní spojení používaná v úlohách

Vzhledem k různému stáří a místu původumatematických textů můžemeočekávat určité odchylky ve formě zápisu příkladů i v metodách počí-tání, které tyto úlohy popisují. Přesto je však možné vysledovat určitousnahu o formální jednotu, užívání specifické matematické terminologie(viz výše) a ustálených výrazů označujících jednotlivé součásti příkladu.Nejpropracovanější úlohy dodržují přehlednou formu, která zahrnuje

nadpis upřesňující typ úlohy, vlastní zadání problému obsahující vstupníhodnoty potřebné k počítání, podrobný popis řešení, jenž může zahrno-vat i písemné výpočty, a v závěru zkoušku a stručnou odpověď.Mnohé úlohy tuto ideální podobu nedodržují, obsahují však zpravidla

alespoň některé její součásti. Známe úlohy s nadpisem omezujícím sena „další příklad�, jindy po nadpisu následuje rovnou popis výpočtu.Některé příklady tvoří pouze písemný výpočet bez jakéhokoli vysvětlení.V těchto případech bývá obtížné určit pravý účel výpočtů, a to i tehdy,když prováděné operace jsou samy o sobě pochopitelné.Jednotlivé součásti výpočtu, jež byly popsány výše, mohly být v pří-

kladech nadepisovány zvláštním spojením. Právě tato typická označenítvoří společný rys většiny matematických textů a svědčí o existenci ustá-lených pravidel pro zapisování problémů. Tyto nadpisy, stejně jako např.částečné výsledky v písemných výpočtech, bývají zvýrazněny červenýminkoustem, který se v egyptských textech obecně používal pro nadpisya pasáže vyžadující obzvláštní pozornost.2

2J. Černý, Paper&Books in Ancient Egypt, London 1952, s. 24.

16

Titul některých příkladů tvoří slovní spojení, které lze přeložit jako„začátek výpočtu�, avšak s ohledem na skutečnost, že účelem úloh v do-chovaných matematických papyrech bylo předvedení způsobů řešení jed-notlivých problémů na konkrétních příkladech, můžeme tuto frázi chápatjako výraz „metoda výpočtu�. U tematicky řazených textů mohou býtněkteré úlohy uvedeny jako „jiný výpočet�, „další příklad� (na danétéma).Zadání úlohy následuje za nadpisem a bývá uvedeno formulí „když

se ti řekne�. Méně často se můžeme setkat i s tvarem „když ti písařřekne�, a to vždy v úvodu úlohy, jež postrádá titul „metoda výpočtu�.Rhindův papyrus obsahuje i případ se stručnou formou „řekne se ti�.Vlastní nadpis mívají i písemné výpočty, jež mnohdy doprovázejí

text úloh v Rhindově papyru. V závislosti na charakteru výpočtů jsoudoloženy tři různé tituly písemných výpočtů, jejichž použití se nijaknepřekrývá. Někdy se všechny tři způsoby překládají jednotně jako „dů-kaz�, avšak v případě staroegyptské matematiky není tento výraz patrnězcela na místě. Písemné výpočty totiž spíše názorným způsobem ukazo-valy (nikoli dokazovaly) správnost řešení popsaného v textu úlohy.Nejčastější nadpis písemných výpočtů lze přeložit jako „postup� či

„výpočet�. Používá se pro označení pomocných výpočtů, a to v úloháchtýkajících se nejrůznějších témat. Oproti tomu nadpis „metoda zkou-šky� zpravidla uvádí výpočet, který ověřuje správnost řešení dosazenímvýsledku do zadání. Objevuje se u řešení lineárních rovnic, kde bychomzkoušku skutečně očekávali. Poslední druh nadpisu je „řešení�, popř.„metoda řešení�, „tvar řešení�; setkáváme se s ním v úlohách týkajícíchse objemů těles a rozměrů pyramid a rovněž v tzv. tabulce 2÷ n.

17

I.3 Staroegyptské jednotky délky a objemu

V Egyptě, stejně jako v jiných raných kulturách, bylo přirozené používatčásti lidského těla k porovnávání rozměrů určitých předmětů. Postupemčasu se abstrahovalo od původního významu a tyto míry začaly být chá-pány jako skutečné jednotky. Jako první byly stanoveny jednotky dél-kové, o něco později pak byly v závislosti na nich definovány i jednotkyplošné. V egyptských matematických textech se délkové míry používajízejména pro popsání rozměrů pyramid, polí a sýpek. Problémy týkajícíse polí používají rovněž jednotky plošné.Nezávislý systém byl stanoven pro duté míry, přičemž se využívalo

nádob různých rozměrů. Pro obilí to byla měřice, vůči níž se potomvymezily další jednotky jako její zlomky a násobky. Množství tekutinse udávalo pomocí nádob, jež byly, zdá se, typické svým tvarem a mělypřibližně jednotný objem.3 S jednotkami objemu se setkáváme předevšímv příkladech týkajících se objemů sýpek, rozdělování obilí či vaření pivaa pečení chleba. Na tabulkách z Achmímu nacházíme doklad o prácis jednotkou měřice.Přehled základních jednotek používaných v úlohách:

1 loket = 52,5 cm = 7 dlaní1 dlaň = 75 mm = 4 prsty1 prst = 18,5 mm1 chet = 52,5 m = 100 loktů1 secat = 2 756, 5 m2 = 1 chet2 = 10 000 loktů2

1 měřice = 4,805 l = 320 ro1 ro = 0,015 l1 dvojnásobná měřice = 9,610 l = 2 měřice1 čtyřnásobná měřice = 19,22 l = 4 měřice1 pytel = 96,114 l = 20 měřic1 henu = 0,4805 l = 1

10 měřice

Souvislost mezi jednotkami délky a objemu je možné najít v Rhin-dově papyru, a to v úlohách počítajících objem sýpek různého tvaru.Rozměry sýpek jsou udávány v loktech, první výsledek je v loktech3

a následně se převede na pytle a stovky čtyřnásobné měřice, přičemžplatí vztah 1 loket3 = 1 + 1

2 pytle, čili 1 pytel =23 lokte

3.

3O nejrůznějších nádobách máme doklady v textech a vyobrazeních náboženskéa zádušní povahy, kde jsou vyjmenovávány obětiny skladované v různých typech ná-dob.

18

Počítání s jednotkou měřice

Množství zrna se ve starověkém Egyptě vyjadřovalo pomocí měřice a je-jích částí a násobků (viz výše). Zejména části měřice stojí za bližší po-zornost, neboť pro jejich vyjádření se používal zvláštní systém zlomků,z nichž každý byl reprezentován vlastním znakem, přičemž tyto znakyse liší od běžných egyptských zlomků. Všechny tyto zlomky činí do-

hromady 6364 a spojení jejich znaků vytváří znak� vedžat, posvátné

oko boha Hora;4 proto se systém zlomků měřice někdy označuje jako„zlomky Horova oka�.

� � � � � �12

14

18

116

132

164

Abychom tyto zlomky měřice odlišili od obyčejných zlomků, píšeme jev překladech kurzivou.V praxi se však písaři setkávali i s takovými objemy obilí, jež od-

povídaly jiným zlomkům měřice, než se kterými operoval tento systém.V takových případech bylo zapotřebí „nevhodný� zlomek převést nasoučet zlomků, které systém měřice používal.

Pomocníci přeměřují množství sklizeného ječmene, zatímco písař sýpky předkládáúčty sedícímu správci. Sechemptahanchova hrobka v Sakkáře, 5. dynastie

Doklad takových převodů se dochoval na dvou dřevěných tabulkáchz Achmímu, uložených dnes v Egyptském muzeu v Káhiře. Je na nichzaznamenáno několik výpočtů, jež se vztahují k 1

3 ,17 ,

110 ,

111 a

113 měřice.

Ve většině těchto případů se jedná o zlomek s lichým jmenovatelem, pro

4J. Janák, Brána nebes. Bohové&démoni starého Egypta, Praha 2005, s. 87–88;G. Pinch, Magic in Ancient Egypt, London 1994, s. 109–110.

19

který se během výpočtu najde odpovídající součet zlomků používanýchpro měřici.Výpočty pro jednotlivé zlomky měřice se na tabulkách několikrát

opakují. Ne vždy jsou zaznamenány celé a různé verze téhož výpočtuněkdy obsahují tytéž písařské chyby. Můžeme se tedy domnívat, že ta-bulky posloužily k procvičování výpočtů s jednotkou měřice a že úče-lem bylo nejen dosáhnout výsledku, ale rovněž procvičit početní postup.Chyby ve výpočtech nicméně naznačují, že ne vždy byl písař dostatečněpozorný.Výpočty hledající 1n z měřice sestávají ze dvou částí. První část tvoří

dělení 1 merice ÷ n, přičemž měřice je zde vyjádřena ve tvaru 320 ro.Během dělení se používá postupné zdesateronásobování a menší hodnotyse dohledávají pomocí zdvojnásobování n a 1

n .Ve druhé části se ověřuje správnost výsledku, a to tak, že výsledek

převedený z ro na součet zlomků Horova oka se vynásobí hodnotou n.Samotný převod z ro na vhodné zlomky měřice se u žádného z výpočtůneobjevuje. Tato operace byla pravděpodobně natolik automatická, žepísař nepokládal za nutné ji ve svých cvičeních zdůrazňovat. Při zdvoj-násobování výsledku, zejména části s malými hodnotami v ro, se častovyužívá hodnot z tabulky 2÷ n (viz oddíl I.4).

17 měřice:

320 ÷ 7 = 45 + 12 + 1

7 +114

7 · (18 + 164 merice + 1

2 +17 + 1

14 ro) = 1 měřice

Výpočet pro stanovení 17 měřice se na tabulkách objevuje čtyřikrát. Ve

všech verzích se objevuje tatáž chyba při určování dvojnásobku a čtyř-násobku dělitele, v jedné verzi výpočtu navíc došlo ke sloučení dvouřádků v dělení. Je tedy zjevné, že v těchto případech písař výpočtypřinejmenším částečně opisoval a byl dost nepozorný.

110 měřice:

320 ÷ 10 = 32

10 · ( 116 + 1

32 merice + 2 ro) = 1 měřiceJediný případ, kdy je jmenovatel hledaného zlomku měřice sudý. Z to-hoto důvodu je výpočet velice jednoduchý a na tabulkách se objevujepouze jednou.

111 měřice:

320 ÷ 11 = 29 + 111

11 · ( 116 + 1

64 merice + 4 + 111 ro) = 1 měřice

20

Výpočet 111 měřice se na tabulkách objevuje čtyřikrát. Jeden z výpočtů

obsahuje chyby v dělení a stojí za pozornost, že další dva výpočty jsouzapsány bezprostředně vedle něj. Snad si písař chyb povšiml a pro jistotuspočítal úlohu znovu a správně. Je však také možné, že výpočet provádělči opisoval znovu, aby si jej lépe zapamatoval.

113 měřice:

320÷ 13 = 24 + 12 + 1

13 +126

13 · ( 116 merice + 4 + 1

2 + 113 + 1

64 ro) = 1 měřiceVýpočet 1

13 měřice se na tabulkách objevuje třikrát, pouze jednou je všakzapsán celý. Ve druhé části výpočtu se objevují chyby z nepozornosti,přičemž v jedné verzi si písař chyb nepovšiml, zatímco ve druhé verzise chyby promítly do všech kroků násobení a výpočet nebyl dokončen.Třetí verze výpočtu byla přerušena již v průběhu dělení, a to zřejměopět v důsledku opomenutí.

13 měřice:13 · 5 = 1 + 2

36364 · (1 + 2

3) + 1 + 23 = 1

4 + 116 + 1

64 merice + 1 + 23 ro

3 · (14 + 116 + 1

64 merice + 1 + 23 ro) = 1 měřice

Výpočet 13 měřice se od ostatních příkladů na tabulkách výrazně od-

lišuje, neboť používá jiný postup řešení. V prvním kroku je stanovenahodnota třetiny z 5 ro (tedy třetiny z 1

64 měřice). Druhý krok postupně

zdvojnásobuje výsledek z prvního kroku, až se od 164 měřice dojde k 1

měřici. Tak se postupně stanoví třetiny všech zlomků Horova oka a takétřetina měřice, která společně se svým dvojnásobkem slouží ve třetímkroku jako zkouška.Výpočet 1

3 měřice se na tabulkách opakuje dvakrát a v obou přípa-dech je proveden bez chyb. Odlišná metoda výpočtu v těchto případechpravděpodobně souvisí se skutečností, že egyptští písaři museli velmidobře ovládat práci se 2

3 a13 . Při hledání třetiny měřice se snad změ-

nou postupu docílilo snazšího výpočtu a také názorného vyjádření třetinvšech součástí systému užívaného pro jednotku měřice.

Rovněž Rhindův papyrus obsahuje příklad, který, jak se zdá, procvičovalpočítání s jedotkou měřice a jejími zlomky. Úloha se však liší od výpočtůna tabulkách z Achmímu.

R47: 110 obsahu sypky = 10 měřic120 = 5 měřic

21

130 = 3 + 1

4 + 116 + 1

64 merice + 23 ro

140 = 2 + 1

2 merice150 = 2 měřice160 = 1 + 1

2 + 18 + 1

32 merice + 3 + 13 ro

170 = 1 + 1

4 + 18 + 1

32 + 164 merice + 2 + 1

14 + 121 +

142 ro

180 = 1 + 1

4 měřice190 = 1 + 1

16 + 132 + 1

64 merice + 12 +

118 ro

1100 = 1 měřice

Převádění měřic na henu

Dvě úlohy v Rhindově papyru ukazují vztah měřice k další jednotce henu.Příklad R80 je uveden zajímavým nadpisem odkazujícím na strážceskladů a na nádobu, v níž se jim odměřuje obilí. Po nadpisu nicméněnásleduje pouze jednoduchá tabulka, kde je měřice a rovněž všechny jejízlomky vyjádřena v jednotce henu.

R80: 1 měřice = 10 henu12 měřice = 5 henu14 měřice = 2 + 1

2 henu18 měřice = 1 + 1

4 henu116 měřice =

12 +

18 henu

132 měřice =

14 +

116 henu

164 měřice =

18 +

132 henu

Úloha R81 obsahuje množství převodů, kdy jsou různé složitější částiměřice vyjádřeny v jednotce henu. V samotném úvodu se opakuje ta-bulka z úlohy R80, následující obtížnější případy mohly tedy snadnovyužít kombinace těchto základních zlomků měřice. Například pro převe-dení 12 + 1

4 + 18 měřice tedy stačilo dohledat příslušné zlomky v tabulce

a sečíst jim odpovídající hodnoty v henu, čili 5+2+ 12+1+ 1

4 = 8+ 12 +

14

henu.Nejzajímavější na tomto příkladu jsou jistě údaje stanovující vztah

mezi henu a měřicí za vyjádření pomocí obyčejných zlomků (tedy nikolizlomků užívaných pro jednotku měřice). Například tedy 1

8 + 116 měřice

+ 4 ro = 2 henu = 15 měřice. Tento údaj je velice neobvyklý. Písař se

v této úloze dopustil poměrně mnoha chyb.

22

I.4 Počítání se zlomky

Ovládnutí zlomků je jedním ze základních předpokladů pro studiummatematiky. Není tedy překvapivé, že se v egyptských matematickýchtextech věnuje počítání se zlomky velká pozornost. Můžeme se zde setkats úlohami, jejichž účelem je procvičit právě sčítání či násobení zlomků;teprve po zvládnutí těchto operací bylo možné řešit složitější problémyz algebry a geometrie. Naprostá většina výpočtů zaznamenaná v docho-vaných textech zahrnovala více či méně složité počítání se zlomky.Mezi nejjednodušší úlohy patří problém M3 v úvodu moskevského

matematického papyru. Jeho zadání popisuje dřevěný stěžeň o délce 30loktů, z něhož je třeba určit jeho 1

3 +15 . Jedná se tedy o snadný příklad

30 · (13 + 15) = 16 v podobě roztomilé slovní úlohy.

Výroba dřevěné bárky. Předák stojící uprostřed paluby udílí pokyny řemeslníkům,kteří dokončují loď; někteří z nich se právě chystají vztyčit stěžeň. Cejova hrobka

v Sakkáře, 5. dynastie

Počítání s kmennými zlomky se dnes může zdát zbytečně složitým,avšak egyptská matematika si vytvořila účelný systém počítání se zlomkya rovněž hojně využívala pomocných tabulek. Tabulky mohly být ve ško-lách memorovány, i když některé dochované výpočty naznačují, že bylotřeba se naučit i postupy, jak k příslušným hodnotám dojít. Dochovalyse nám tabulky na určování 2

3 z čísla, tabulka sčítání zlomků a tabulkadvojnásobků zlomků s lichým jmenovatelem. Využívání hodnot z těchtotabulek je dobře patrné i v ostatních úlohách, zejména v písemných vý-počtech.

Tabulka 2÷ n

Tabulka označovaná tímto názvem souvisí s jednou ze stěžejních operacístaroegyptské matematiky, se zdvojnásobováním, které tvořilo základnásobení a dělení. Určování dvojnásobku čísla tedy muselo být běhemvýpočtů prováděno rychle a v podstatě automaticky.

23

U celých čísel není zdvojnásobování složité a rovněž zlomky se sudýmjmenovatelem nepůsobily obtíže, neboť bylo možné je vykrátit, a získattak opět kmenný zlomek (2 · 1

2k = 1k ). Oproti tomu dvojnásobek zlomku

s lichým jmenovatelem bylo třeba vyjádřit několika kmennými zlomky,jejichž součet činil 2

n .V mnoha případech nebylo pořízení vhodného rozkladu jednoznač-

né, avšak tabulka pro každý lichý zlomek uvádí vždy jen jeden odpoví-dající součet kmenných zlomků. Účelem tedy nebylo shromáždit všechnymožnosti. Tabulku 2 ÷ n tedy snad můžeme považovat za pokus o ko-difikaci nejednoznačných rozkladů, aby písař, který ji měl při práci poruce, nemusel nad dvojnásobky dlouho přemítat. Na druhou stranu všakněkteré úlohy v Rhindově papyru dokládají použití jiného rozkladu, nežkterý je uveden v tabulce 2÷ n, když to bylo pro daný výpočet výhod-nější.Tabulka 2 ÷ n je zaznamenána ve dvou z dochovaných textů, a to

na jednom fragmentu káhúnského papyru a na počátku Rhindova pa-pyru. Káhúnský papyrus obsahuje hodnoty dvojnásobků zlomků od 1

3po 1

21 . Hodnoty jmenovatelů a odpovídající dvojnásobky jsou přehledněuspořádány do sloupců spolu s kontrolními hodnotami pro rychlou zkouš-ku: např. 2÷ 5 = 1

3 +115 s kontrolními hodnotami 1+

23(=

53) a

13(=

515),

jejichž součet dává 2.Tabulka v Rhindově papyru zahrnuje zlomky od 1

3 až po1

101 , kteréjsou rozděleny do několika sloupců textu. První případ ve sloupci je vždyuveden výrazem „vyděl 2 ÷ n�, zatímco ostatní případy se omezují nazadání hodnoty dělitele. Na rozdíl od káhúnského papyru obsahuje každýpřípad i písemný výpočet, který můžeme chápat jako zkoušku správnosti,nebo jako popis metody, jak určit hledaný dvojnásobek zlomku v tomkterém případě: např. pro zlomek 2

7 je zaznamenán následující výpočet:

2÷7 = 14 + 1

28

pomocné hodnoty: 1 + 12 +

14 a

14

2÷ 7 = 14

4 · 7 = 28, a tedy 14 ÷ 7 = 1

28

První část úlohy obsahuje zadání a požadované hodnoty dvojnásobku17 , spolu s kontrolními hodnotami. Tato část se zcela shoduje s tabulkouz káhúnského papyru. Následující výpočet demonstruje postup řešení přihledání dvojnásobku 1

7 . Jde o písemné dělení 2÷ 7 se zbytkem. Dělitel 7se nejprve půlí, dokud se nedojde k hodnotě co nejbližší 2 (tedy 1

4 · 7 =1+ 1

2+14 ), zbytek je

14 . Protože

14÷7 je rovna 1

4 · 17 , stačí najít čtyřnásobek7, abychom získali hodnotu hledaného jmenovatele 1

28 .

24

Na rozdíl od tabulky zapsané v káhúnském papyru nebyla tato pa-sáž Rhindova papyru klasickou tabulkou. Kromě přehledu rozkladů projednotlivé liché zlomky totiž zároveň procvičovala násobení, resp. dělenízlomků a také ukazovala metody, které umožňovaly dosáhnout rozkladupro jakýkoli případ.

2÷ 3 = 23 2÷ 53 = 1

30 +1

318 + 1795

2÷ 5 = 13 +

115 2÷ 55 = 1

30 +1

330

2÷ 7 = 14 +

128 2÷ 57 = 1

38 +1

114

2÷ 9 = 16 +

118 2÷ 59 = 1

36 +1

236 + 1531

2÷ 11 = 16 + 1

66 2÷ 61 = 140 +

1244 + 1

488 + 1610

2÷ 13 = 18 + 1

52 +1

104 2÷ 63 = 142 +

1126

2÷ 15 = 110 + 1

30 2÷ 65 = 139 +

1195

2÷ 17 = 112 + 1

51 + 168 2÷ 67 = 1

40 +1

335 + 1536

2÷ 19 = 112 + 1

76 + 1114 2÷ 69 = 1

46 +1

138

2÷ 21 = 114 + 1

42 2÷ 71 = 140 +

1568 + 1

710

2÷ 23 = 112 + 1

276 2÷ 73 = 160 +

1219 + 1

292 + 1365

2÷ 25 = 115 + 1

75 2÷ 75 = 150 +

1150

2÷ 27 = 118 + 1

54 2÷ 77 = 144 +

1308

2÷ 29 = 124 + 1

58 + 1174 + 1

232 2÷ 79 = 160 +

1237 + 1

316 + 1790

2÷ 31 = 120 + 1

124 + 1155 2÷ 81 = 1

54 +1

162

2÷ 33 = 122 + 1

66 2÷ 83 = 160 +

1332 + 1

415 + 1498

2÷ 35 = 130 + 1

42 2÷ 85 = 151 +

1255

2÷ 37 = 124 + 1

111 + 1296 2÷ 87 = 1

58 +1

174

2÷ 39 = 126 + 1

78 2÷ 89 = 160 +

1336 + 1

534 + 1890

2÷ 41 = 124 + 1

246 + 1328 2÷ 91 = 1

70 +1

130

2÷ 43 = 142 + 1

66 + 1129 + 1

301 2÷ 93 = 193 +

1186

2÷ 45 = 130 + 1

90 2÷ 95 = 160 +

1380 + 1

570

2÷ 47 = 130 + 1

141 + 1470 2÷ 97 = 1

56 +1

679 + 1776

2÷ 49 = 128 + 1

196 2÷ 99 = 166 +

1198

2÷ 51 = 134 + 1

102 2÷ 101 = 1101 + 1

202 + 1303 + 1

606

Určování desetiny z čísla menšího než 10

Z dnešního pohledu můžeme tento problém popsat také jako rozkladzlomků s 10 ve jmenovateli. Jedná se o velmi užitečné výpočty, neboťčíslo 10 v egyptské matematice často figuruje jako dělitel. V Rhindově

25

papyru bezprostředně za tabulkou 2 ÷ n následuje tabulka n ÷ 10 pron menší než 10. Na tuto stručnou tabulku navazuje šestice úloh, R1–R6,jež jsou zadány jako slovní úlohy, kdy je třeba rozdělit 1, 2, 6, 7, 8 a 9chlebů mezi deset lidí tak, aby každý dostal stejný díl.

Venkovští pasáci dobytka pečou chleba. Jeden hněte těsto ve velké nádobě a druhýza pomoci dvou holí vkládá na oheň bochníky, které mu podává mladý pomocník.

Hrobka Nefera a Kahaje v Sakkáře, 5. dynastie

V zadání úloh se objevuje počet chlebů určených k rozdělení a poténásleduje rovnou výsledek. Postup vedoucí k nalezení výsledku v úlo-hách chybí, je tedy možné, že byl jednoduše přejat z předcházející ta-bulky. Po výsledku vždy následuje zkouška a zdá se, že právě v ní spočíváhlavní váha úloh. Výsledek se zde násobí deseti, jinými slovy se postupnězdvojnásobuje, takže následně stačí jen sečíst dvojnásobek s osminásob-kem. Během násobení se využily některé identity z tabulky 2 ÷ n, a to2 · 1

5 = 13 + 1

15 a 2 · 115 = 1

10 + 130 . Další identita

15 + 2

3 + 110 + 1

30 = 1,která se ověřila ve zkoušce první úlohy ve skupině, mohla následněusnadnit sčítání zlomků v příkladech R2–R3 a R6. Podobně identita12 + 1

3 + 110 + 1

15 = 1 objevující se v úloze R4 mohla být využita prousnadnění výpočtu v R5.

R1: 1÷ 10 = 110

110 · 10 = 1

5 + 23 + 1

10 + 130 = 1

R2: 2÷ 10 = 15

15 · 10 = 1

3 +115 + 1 + 1

3 + 15 +

115 = 2

R3: 6÷ 10 = 12 +

110

(12 + 110) · 10 = 1 + 1

5 + 4 + 23 +

110 + 1

30 = 6

R4: 7÷ 10 = 23 +

130

(23 + 130) · 10 = 1 + 1

3 +115 + 5 + 1

2 + 110 = 7

26

R5: 8÷ 10 = 23 + 1

10 +130

(23 + 110 + 1

30) · 10 = 1 + 12 +

110 + 6 + 1

3 + 115 = 8

R6: 9÷ 10 = 13 + 1

5 +130

(13 + 15 + 1

30 ) · 10 = 1 + 23 +

110 + 1

30 + 7 + 15 = 9

Není zcela patrné, proč byly v této skupině úloh vynechány případyse 3, 4 a 5 chleby, zvláště když písař neopomněl zaznamenat ani takjednoduchý případ, jako je 1 ÷ 10 v úloze R1. Nezbývá tedy než věřit,že opomenutí tří případů lze připsat na vrub něčí nepozornosti.

Sčítání zlomků

Skupina úloh R7–R20 v Rhindově matematickém papyru se někdy ozna-čuje jako úlohy sekem, což je egyptský výraz s významem „učinit úpl-ným�, „doplnit�. V tomto případě jej však můžeme chápat obecněji jako„počítat�. Přesné zadání úloh není snadné zjistit, neboť výpočty nejsoudoprovázeny žádným bližším komentářem. Písemné výpočty nicméněukazují, že úlohy sekem se věnují počítání se zlomky. Určuje se násobekzadaného zlomku, čili se sčítá zadaná hodnota se svými dvěma částmi.V úlohách R7 a R9–R15 se zadané zlomky sčítají se svou polovinoua čtvrtinou, zatímco v úlohách R8, R16–R20 se svou třetinou a dvěmatřetinami. Druhý zmíněný případ jasně ukazuje, že hlavním tématemúloh bylo procvičit právě sčítání zlomků. Kdyby šlo jen o získání vý-sledku, stačilo by místo přičítání třetiny a dvou třetin zlomku určit jehodvojnásobek, neboť 1 + 1

3 +23 = 2.

Sčítání zlomků se provádělo převedením na společného jmenovatele.Oproti dnešním postupům však v egyptských výpočtech za společnéhojmenovatele nemusel být zvolen nejmenší společný násobek, takže hod-noty odpovídající čitatelům mohly mít i podobu zlomku. Hodnota či-tatele se připsala červeným inkoustem pod každý zlomek ve výpočtu,přičemž zvolený společný jmenovatel měl hodnotu 1. Tato červená číslajasně zachycovala vztah toho kterého zlomku k ostatním hodnotám vevýpočtu a také v ostatních úlohách ve skupině. V obou skupinách pří-kladů se totiž operuje vždy s týmž společným jmenovatelem.Úlohy R7 a R8 celou skupinu příkladů uvádějí a přehledně ukazují

metodu jejich řešení. Všechny úlohy ve skupině jsou k sobě v učitémvztahu, neboť zpravidla platí, že hodnota zadaná v jednom příkladu jepolovinou zadání předcházejícího příkladu.

R7: (1 + 12 +

14) · (14 + 1

28)

(14 + 128 ) + (18 + 1

56 ) + ( 116 + 1

112 ) =12

27

Při sčítání se využívá společného jmenovatele 28, červená čísla uvádějícíz našeho pohledu hodnotu čitatelů tedy dávají součet 14.

R8: (1 + 13 +

23 ) · 1

414 + 1

6 + 112 = 1

2Za společného jmenovatele byla v tomto příkladu zvolena hodnota 18,a to i přesto, že snadněji by se počítalo s nejmenším společným násobkemvšech sčítaných zlomků, tedy s 12.

R9: (1 + 12 +

14 ) · (12 + 1

14 )

(12 + 110) + (14 + 1

20 ) + (18 + 150 ) = 1

Zadání této úlohy má navazovat na hodnoty v příkladu R7, jichž jedvojnásobkem. Chybou písaře se však místo 1

14 počítá s110 . V celém

výpočtu chybějí červené hodnoty napomáhající sčítání, což může odrážetzmatení písaře, který si snad svou chybu uvědomil, ašak namísto aby jiopravil, připojil za chybný výpočet správný výsledek.

R7B: (1 + 12 + 1

4) · (14 + 128)

(14 + 128 ) + (18 + 1

56) + ( 116 + 1

112) =12

Výpočet je totožný s příkladem R7. Jeho zadání je poloviční oproti úlozeR9, což byl zřejmě důvod, proč jej písař zapsal na tomto místě znovu.Opakování příkladu je nejspíše důvodem toho, že červené hodnoty jsoupřipsány jen u posledních dvou sčítanců, nikoli v celém výpočtu.

R10: (1 + 12 + 1

4) · (14 + 128)

(14 +128 ) +

17 + 9 = 1

2Zadání je totožné se zadáním úlohy 7B, avšak postup řešení se liší.V hodnotě dvojnásobku se využívá vztahu 1

4 +128 = 2 · 17 , který je znám

z tabulky 2 ÷ n. Výpočet obsahuje mnoho chyb a zcela zde chybí čer-vené hodnoty napomáhající sčítání. Hodnota čtyřnásobku je nesprávná,nejspíš vinou nepozorného písaře.

R11: (1 + 12 + 1

4) · 17

17 +

19

114 + 1

18 = 14

I v tomto příkladu se písař dopustil chyb, přičemž svou chybu ve dvoj-násobku opravil. Ve výpočtu se neobjevují červené hodnoty.

R12: (1 + 12 + 1

4) · 114

19

114 + 1

28 +136 = 1

8Chyba z předchozí úlohy se objevuje i v zadání tohoto příkladu. Hod-nota dvojnásobku byla poopravena, avšak čtyřnásobek zůstal chybný.Ve výpočtu se neobjevují červené hodnoty.

28

R13: (1 + 12 +

14 ) · ( 1

16 + 1112)

( 116 + 1

112 ) + ( 132 + 1

224 ) + ( 164 + 1

448) =18

Zadání této úlohy je jiným vyjádřením hodnoty zadané v předcházejícímpříkladu, protože 1

16 + 1112 = 1

14 . Červené hodnoty napomáhající sčítáníodpovídají společnému jmenovateli 28, zvolenému již v úloze R7.

R14: (1 + 12 +

14 ) · 1

28118 + 1

36 + 172 = 1

16V zadání této úlohy je hodnota 1

28 zapsána chybně jako118 a tento omyl

prolíná celým výpočtem. Červené hodnoty vztahující se ke společnémujmenovateli 28 nicméně tuto chybu zcela ignorují.

R15: (1 + 12 +

14 ) · ( 1

32 + 1224)

( 132 + 1

228 ) + ( 164 + 1

456 ) + ( 1128 + 1

912 ) =116

Zadání této úlohy je jiným vyjádřením hodnoty zadané v předcházejícímpříkladu. Písař se znovu dopustil chyby, když v zadání místo 1

224 zapsal1

228 . Chyba se opakuje i u dvojnásobku a čtyřnásobku, červené hodnotyvšak odpovídají správným hodnotám. Vztahují se opět ke společnémujmenovateli 28.

R16: (1 + 13 +

23 ) · 1

212 + 1

3 +16 = 1

Tento příklad navazuje na úlohu R8 a jeho zadání je vůči ní dvojná-sobné. Výpočet neobsahuje červené hodnoty. Sčítání v tomto případěbylo celkem snadné, proto jich pravděpodobně nebylo zapotřebí, zatímcov předcházející skupině chybějí zpravidla u těch úloh, kde písař ve vý-počtu chyboval.

R17: (1 + 13 +

23 ) · 1

313 + (16 +

118 ) +

19 = 2

3Zadaná hodnota odpovídá nikoli polovině, ale 2

3 hodnoty zadané v před-chozí úloze. Sčítání se opět obešlo bez červených čísel.

R18: (1 + 13 +

23 ) · 1

616 + 1

9 +118 = 1

3Zadání je poloviční vůči předcházející úloze a výpočet se obešel bezčervených hodnot.

R19: (1 + 13 +

23 ) · 1

12112 + 1

18 + 136 = 1

6V tomto případě již sčítání usnadnila červená čísla vztahující se ke spo-lečnému jmenovateli 18.

29

R20: (1 + 13 + 2

3) · 124

124 +

136 + 1

72 = 112

Stejně jako v předchozím příkladu se při sčítání využívá červených hod-not odpovídajících společnému jmenovateli 18.

Doplňování

Úlohy R21–R23 ve svém zadání rovněž obsahují sloveso sekem s vý-znamem „doplnit�. Hledá se doplnění zadaného zlomku do hodnoty 1(popř. do 2

3), čili ve výrazu A+ B = C se má najít hodnota B. Řešenýproblém tedy můžeme chápat jako odečítání zlomků. Výpočty v těchtoúlohách jsou doprovázeny komentáři objasňujícími postup, v závěru jevždy provedena zkouška ověřující, že součet zadaných zlomků s výsled-kem je skutečně roven 1 (popř. 23). Řešení usnadňují hodnoty vyjadřujícívztah zlomků při převedení na společného jmenovatele; v těchto úloháchjich však většina není psána červeným, nýbrž černým inkoustem.

R21: 13 +

115 doplnit do 1:

1− (13 + 115) =

15 +

115

13 + 1

5 +115 + 1

15 = 1V prvním kroku se využívá společný jmenovatel, totiž 15. Do 1 tedychybí 4

15 , které se dohledají v písemném výpočtu 4÷15. Hodnoty čitatelůusnadňují také sčítání prováděné ve zkoušce. V závěru úlohy je připsánvýraz „jiné 1

5 + 110 se k tomu přičtou�, který, jak se zdá, do této úlohy

nepatří. Může se vztahovat k následujícímu příkladu, kde se s uvedenýmizlomky počítá.

R22: 23 +

130 doplnit do 1:

1− (23 + 130) =

15 +

110

23 + 1

5 +110 + 1

30Postup je stejný jako v úloze R21. Společným jmenovatelem je u těchtozlomků 30, tedy se dohledává 9

30 .

R23: 14 +

18 +

110 + 1

30 + 145 doplnit do

23

23 − (14 + 1

8 + 110 +

130 + 1

45) =19 +

140

Komentáře vysvětlující tuto úlohu se omezují na minimum. Zadané zlom-ky se mají doplnit do 2

3 , doprovázejí je hodnoty odpovídající společnémujmenovateli 45. Další postup řešení je vynechán a následuje rovnou vý-sledek a zkouška. Ve zkoušce se zadané zlomky sčítají se stanovenýmvýsledkem a s 1

3 , takže po sečtení se dojde k 1.

30

Tabulka sčítání zlomků

Vedle tabulky 2÷ n a výpočtů procvičujích práci se zlomky se můžemesetkat i s tabulkou sčítání zlomků, která mohla sloužit jako pomůcka prousnadnění jiných výpočtů. Dochovala se na koženém svitku z Britskéhomuzea a je na něm zapsána hned dvakrát. Obě verze přitom obsahujítytéž písařské chyby.Tabulka zahrnuje jak triviální případy, tak i několik obtížných sou-

čtů. V celém textu chybějí červené hodnoty vztahující se k procesu sčí-tání zlomků. Můžeme tedy usoudit, že hodnoty byly opsány z jiného,snad rozsáhlejšího textu. Účelem zjevně nebylo procvičit sčítání, ale jenzaznamenat výsledek.Zachyceny jsou následující případy (chyby jsou zde opraveny):

110 +

140 = 1

8114 + 1

21 + 142 = 1

715 +

120 = 1

4118 + 1

27 + 154 = 1

914 +

112 = 1

3122 + 1

33 + 166 = 1

11110 +

110 = 1

5128 + 1

49 + 198 + 1

196 = 114

16 +

16 = 1

3130 + 1

45 + 190 = 1

1516 +

16 +

16 = 1

2124 + 1

48 = 116

13 +

13 = 2

3118 + 1

36 = 112

125 +

115 + 1

75 + 1200 = 1

8121 + 1

42 = 114

150 +

130 + 1

150 + 1400 = 1

16145 + 1

90 = 130

125 +

150 + 1

150 = 115

130 + 1

60 = 120

19 +

118 = 1

6115 + 1

30 = 110

17 +

114 + 1

28 = 14

148 + 1

96 = 132

112 +

124 = 1

8196 + 1

192 = 164

Tabulka určování 23z lichého zlomku

V egyptské matematice hrály 23 velice důležitou úlohu. Jak byly určovány

23 z celého čísla, není z výpočtů patrné. Pravděpodobně pro tento účelexistovaly tabulky, které měl písař během počítání při ruce. Ze 2

3 senásledně půlením určovala 1

3 .Úloha R61 v Rhindově papyru zaznamenává tabulku určování zlomků

ze zlomků, kde jsou 23 a

13 výrazně zastoupeny. Obsahuje následující pří-

pady:

23 · 2

3 = 13 +

19

19 · 2

3 = 118 + 1

5413 · 2

3 = 16 +

118

15 · 1

4 = 120

31

23 · 1

3 = 16 + 1

1817 · 1

2 = 114

23 · 1

6 = 112 + 1

3617 · 2

3 = 114 +

142

23 · 1

2 = 13

111 · 2

3 = 122 + 1

6613 · 1

2 = 16

111 · 1

3 = 133

16 · 1

2 = 112

111 · 1

2 = 122

112 · 1

2 = 124

111 · 1

4 = 144

Vedle této tabulky je zapsán text označený jako úloha R61B, kterýpopisuje algoritmus pro výpočet 2

3 ze zlomku s lichým jmenovatelem.Postup je zde vysvětlen na případě 1

5 a můžeme jej vyjádřit vztahem23 · 1

x = 12x + 1

6x . Úloha se uzavírá tvrzením, že stejný výpočet je použi-telný pro každý lichý zlomek, což lze chápat jako náznak obecně platnéhopravidla popsaného na konkrétním případě.

32

I.5 Řešení rovnic

Úlohy, jejichž tématem je řešení rovnic s jednou neznámou, se objevujíve všech známých staroegyptských sbírkách příkladů. Tato skutečnostnejen svědčí o jejich velkém významu pro egyptské počtáře, ale navícnám dává příležitost porovnat problémy z hlediska obtížnosti, způsobuzadání i metody řešení a nalézt odlišnosti mezi příklady z různých textů.Rhindův papyrus je jediný, který nabízí více způsobů řešení rovnic, a tov závislosti na složitosti jejich zadání.Některé z příkladů řešících rovnice jsou zadány jako slovní úlohy,

jiné však o problému pojednávají bez potřeby demonstrovat metodu nanějaké situaci ze života. Neznámá se označuje egyptským výrazem ah. a,který je chápán jako abstraktní množství. Na základě tohoto výrazu seněkdy egyptským rovnicím říká úlohy ah. a.

Rovnice řešené metodou nesprávného předpokladu

Úlohy R24–R27 v Rhindově matematickém papyru formulují rovnice vetvaru x + 1

A · x = B, a to způsobem: přidej 1A z neznámého množství

k němu samému tak, aby vyšlo B. Řešení využívá výhod, jež mu nabízíjednoduchost zadání. Hodnota A se zvolí za x, tedy levá strana rovnice jerovna A+1. Skutečná hodnota x je potom rovna A · B

A+1 . Po vypočítánívýsledku se vždy provádí zkouška, ve které se ověří platnost zadanéhovztahu.

R24: x+ 17 · x = 19

7 + 17 · 7 = 7 + 1 = 8

19÷ 8 = 2 + 14 + 1

8

7 · (2 + 14 + 1

8) = 16 + 12 + 1

8 = x

(16 + 12 +

18) +

17 · (16 + 1

2 +18) = (16 + 1

2 + 18) + (2 + 1

4 + 18) = 19

Úloha sestává ze slovně zadaného problému a písemných výpočtů. Po-stup řešení, jenž můžeme vyjádřit jako x = 7 · 19

8 , není opatřen žádnýmkomentářem, zřejmě ho vzhledem k nevelké obtížnosti úlohy nebylo za-potřebí.

R25: x+ 12 · x = 16

2 + 12 · 2 = 2 + 1 = 3

16÷ 3 = 5 + 13

2 · (5 + 12) = 10 + 2

3 = x

(10 + 23) +

12 · (10 + 2

3 ) = (10 + 23) + (5 + 1

3) = 16

33

Způsob výpočtu je stejný jako v předchozím případě a odpovídá vztahux = 2 · 16

3 . Výpočet opět nedoprovázejí žádné bližší komentáře.

R26: x+ 14 · x = 15

4 + 14 · 4 = 4 + 1 = 5

15÷ 5 = 3

4 · 3 = 12 = x

12 + 14 · 12 = 12 + 3 = 15

Tato úloha je z celé skupiny nejlépe vypracovaná, počítá se v ní s jed-noduššími hodnotami a kromě písemného výpočtu obsahuje také slovnípopis řešení. Přestože nestojí v čele této skupiny příkladů, můžeme jipovažovat za jakousi vzorovou úlohu pro tento typ problému. Postup lzevyjádřit vztahem x = 4 · 15

5 .

R27: x+ 15 · x = 21

5 + 15 · 5 = 5 + 1 = 6

21÷ 6 = 3 + 12

5 · (3 + 12) = 17 + 1

2 = x

(17 + 12) +

15 · (17 + 1

2) = (17 + 12) + (3 + 1

2) = 21Výpočet má opět stručnou formu prostou komentářů a obtížností jesrovnatelný s úlohou R25. Lze jej vyjádřit jako x = 5 · 21

6 .

V Rhindově papyru se metoda nesprávného předpokladu využívái v jiných problémech, např. v úloze R40, kde se rozděluje chléb několikalidem podle určitého vztahu (viz oddíl I.9).

Kancelář písařů. Písaři chystající se k práci drží svitky a písařské palety pod paží, zanimi jsou ve dvou řadách úhledně srovnány skřínky s dokumenty a psacím náčiním.

Cejova hrobka v Sakkáře, 5. dynastie

34

Rovnice řešené metodou dělení

V jiných úlohách se postupuje odlišně a namísto nesprávného předpo-kladu se provede dělení pravé strany rovnice násobkem neznámé, tedynapříklad pro rovnici tvaru x+ 1

A · x = B se provede B ÷ (1 + 1A) = x.

S tímto postupem řešení se setkáváme v moskevském papyru, najednom zlomku z Káhúnu a také v některých úlohách Rhindova papyru.Zatímco moskevský a káhúnský papyrus ukazují jednoduché příkladylišící se jen drobnostmi v postupu, hodnoty zadané v Rhindově papyruvedou k poměrně obtížným výpočtům.

M25: 2x+ x = 9

x+ 2x = 3x

9÷ 3 = 3 = xHodnoty zadané v této úloze jsou natolik jednoduché, že je možné jed-noduše sečít násobky neznámé a vydělit jimi pravou stranu rovnice.

M19: (1 + 12 ) · x+ 4 = 10

10− 4 = 6

1÷ (1 + 12 ) =

23

6 · 23 = 4 = x

Rovnice se nejprve upraví tak, aby na levé straně stál pouze násobekneznámé. Poté se pravá strana rovnice vydělí tímto násobkem. Dělenívšak neprobíhá přímo, jak tomu bylo v předchozím případě, ale přesvyjádření poměru násobku neznámé vůči 1. Tento způsob se používái v jiných úlohách a do velké míry dělení usnadňoval.

K4: x− (12 +14) · x = 5

1− (12 + 14) =

14

1÷ 14

5 · 4 = 20 = xTento příklad počítá jedinou známou rovnici, která v zadání obsahujeodčítání. V prvním kroku se levá strana rovnice upraví do jednoduššíhotvaru. Následující dělení se opět provádí nepřímo jako v úloze M19.

Úlohy R30–R34 v Rhindově papyru ukazují, jak složité mohlo v něk-terých případech dělení být. Tato skupina úloh se svým zadáním blízcepodobá příkladům řešeným metodou nesprávného předpokladu. Přičí-tanou část neznámé však nelze vyjádřit jediným kmenným zlomkem.Rovnice mají tvar x + ( 1

A + 1B ) · x = C. Rozklad několika zlomků již

není výhodný pro metodu nesprávného předpokladu, proto se v těchto

35

příkladech provádí dělením pravé strany rovnice násobkem neznámé, čilix = C ÷ (1 + 1

A + 1B ).

Ve srovnání s úlohami z moskevského a káhúnského papyru je všakdělení v těchto příkladech mnohem složitější a jde zpravidla o děleníse zbytkem. Operace navíc zahrnují množství kmenných zlomků, cožsituaci z našeho pohledu ještě více znepřehledňuje. V závěru úloh jevždy provedena zkouška.

R30: (23 +110 ) · x = 1

10

10÷ (23 +110 ) = 13, zbytek 1

30130 · 23 = 2

3 +110

x = 13 + 123

(23 +110 ) · (13 + 1

23 ) = 10Zadáním se tato úloha trochu liší od ostatních ve skupině, řešení jevšak stejné. Výpočty doprovází i podrobný popis řešení, jenž odpovídávztahu x = 10 ÷ (23 + 1

10 ). Hodnota z pravé strany rovnice je v zadáníuvedena chybně jako 1

10 . Při dělení se nejprve vypočítá celočíselná částvýsledku. Text výpočtu neprozrazuje, jak písař došel ke zbývající 1

23 . Jevšak možné, že si počítal stranou a tuto část úlohy neopsal.

R31: x+ (23 +12 + 1

7) · x = 33

33÷ (1 + 23 +

12 +

17) = 14 + 1

4 , zbytek3+ 1

2+ 1

442

142 · (3 + 1

2 +14) =

197 · (3 + 1

2 +14) · (1 + 2

3 + 12 +

14)

x = 14 + 14 +

197 · (3 + 1

2 + 14)

Hodnoty zadané v tomto příkladu vedou ke složitému výpočtu. Jed-notlivé kroky jsou navíc zpřeházeny, což ještě ztěžuje srozumitelnostpříkladu. Při dělení se ve dvou krocích sčítají hodnoty násobků děli-tele, a to nejprve celá čísla a jednoduché zlomky, zvlášť potom obtíž-

nější zlomky. Zbytek po dělení činí3+ 1

2+ 1

442 . Výpočet připsaný nesprávně

v samotném závěru úlohy ověřuje, že platí, že 1 + 23 + 1

2 + 17 = 97

42 .Tedy platí také vztah mezi zadaným násobkem neznámé a zbytkem3+ 1

2+ 1

442 =

(3+ 12+ 1

4)·(1+ 2

3+ 1

2+ 1

7)

97 , a tedy je možné stanovit celkovou hod-notu výsledku. Výpočty se zlomky doprovázejí hodnoty odpovídajícíspolečnému jmenovateli 42, což usnadnilo kontrolu již v průběhu počí-tání. Zkouška v tomto příkladu není zaznamenána.

R32: x+ (13 +14 ) · x = 2

2÷ (1 + 13 + 1

4 ) = 1 + 16 +

112 + 1

114 + 1228

(1 + 16 +

112 + 1

114 + 1228 ) · (1 + 1

3 +14 ) = 2

36

Výpočet této úlohy je částečně doplněn komentářem. Písemné dělenídoprovázejí pomocné hodnoty, jež se vztahují ke společnému jmeno-vateli 144. Ten byl získán v pomocném výpočtu o dvou krocích, totiž12 · 12 = 144 a následně 144 · (1 + 1

3 + 14 ) = 228. Posléze je provedena

zkouška, kde se z výsledné hodnoty spočítá její třetina a čtvrtina. Druházkouška následuje v závěru příkladu. Hodnoty x, 1

3 · x a 14 · x se zde sčí-

tají, aby se ověřilo, že vyjde 2, jak bylo stanoveno v zadání. Sčítáníprobíhá ve dvou krocích. Nejprve se sečtou malé zlomky s 1, výsledkemje 1+ 1

2 +14 , do 2 tedy chybí

14 . Obtížnější zlomky se následně sčítají po-

mocí červených hodnot, jež se vztahují ke společnému jmenovateli 912.Jejich součet je 228, čili 228

912 , což je chybějící14 .

R33: x+ (23 + 12 +

17) · x = 37

37÷ (1 + 23 + 1

2 + 17) = 16, zbytek 2

42142 · 2 = (1 + 2

3 +12 + 1

7) · ( 156 + 1

689 + 1776)

x = 16 + 156 + 1

689 + 1776

(16 + 156 +

1689 + 1

776 ) · (1 + 23 +

12 + 1

7 ) = 37Postup je stejný jako v předchozí úloze. Provádí se dělení se zbytkem,potom se využije vztah 1 + 2

3 +12 +

17 = 97

42 , tedy (1 +23 +

12 +

17) · 1

97 =142 . Jeho dvojnásobek, tedy hledané

242 , se určí podle tabulky 2 ÷ n.

Po dosažení výsledku je provedena zkouška, která ověřuje jeho správnost.Při počítání se zlomky se v celém výpočtu používají červené hodnotyvztahující se ke společnému jmenovateli 42.

R34: x+ (12 + 14) · x = 10

10÷ (1 + 12 + 1

4 ) = 5 + 12 +

17 + 1

14

(5 + 12 + 1

7 + 114) · (1 + 1

2 + 14 ) = 10

Dělení v této úloze je snazší a vede rovnou k výsledku. Zkouška, ježověřuje správnost výsledku, nicméně využívá možnosti sčítat zlomkypostupně, tedy nejprve ty snazší a potom pomocí červených hodnot tyobtížnější.

Rovnice počítající množství obilí

Rhindův papyrus obsahuje i další příklady, které z matematického hle-diska řeší stejný problém, tedy rovnice o jedné neznámé, avšak jsouzadány jako slovní úlohy. Z tohoto důvodu se v nich neobjevuje výrazah. a, postup řešení je však stejný jako v příkladech popsaných výše.Úlohy R35–R38 se zabývají množstvím obilí, které se odměřuje po-

mocí měřice. Zadání příkladů je formulováno v první osobě z hlediskax a má tvar A · x+ 1

B · x = 1. Rovnice se řeší dělením 1÷ (A+ 1B ).

37

Co činí tuto skupinu příkladů odlišnou od předcházejících rovnic,je druhá část výpočtů ověřující správnost výsledku. Zkouška se nejprveprovádí prostě dosazením výsledku do zadaného vztahu. Protože se všakneznámé množství týká obilí, výpočet zkoušky se opakuje ještě v hodno-tách systému měřice, a to nejprve v ro a poté ještě ve zlomcích Horovaoka. Zdá se, že v procvičování převodů spočívala hlavní váha těchtopříkladů.

R35: 3x+ 13 · x = 1

1÷ (3 + 13) =

15 +

110 = x

(15 +110 ) · (3 + 1

3) = 1

(15 +110 ) · 320 · (3 + 1

3) = 96 · (3 + 13) = 320 ro

(14 + 132 + 1

64 + 1) · (3 + 13 ) = 1 měřice

Řešení rovnice je snadné, poté jsou provedeny tři zkoušky. První zkouškaověřuje správnost výpočtu, druhá zkouška počítá s hodnotou ro, kdy15 +

110 odpovídá 96 ro. Třetí zkouška operuje přímo s jednotkou měřice,

a hodnota x je tedy v tomto případě rovna 14 + 1

32 + 164 měřice +1 ro.

R36: 3x+ (13 + 15) · x = 1

30÷ 106 = 14 + 1

53 +1

106 + 1212 = x

(14 +153 + 1

106 + 1212 ) · (3 + 1

3 + 15) = 1

Dělení, které se provádí v tomto výpočtu, odpovídá 1 ÷ (3 + 13 + 1

5).Písař vynechal jeden krok výpočtu, který by objasnil, že platí vztah3 + 1

3 +15 = 106

30 . Sčítání zlomků ve zkoušce probíhá ve dvou krocích. Pojednoduchém sečtení 12+

14 se obtížnější zlomky sečtou pomocí červených

hodnot vyjadřujících jejich vztah vůči 1 060. Tak se dopočítá 14 zbývající

do 1. V tomto případě chybějí druhé zkoušky ověřující hodnoty v měřici.Možná je tomu tak proto, že výpočet zkoušky byl poměrně složitý.

R37: 3x+ (13 + 13 · 1

3 +19) · x = 1

3 + 13 + 1

3 · 13 + 1

9 = 3 + 12 +

118

1÷ (3 + 12 + 1

18 ) =14 + 1

32 = x

(14 +132 ) · (3 + 1

3 +13 · 1

3 +19) = 1

90 · (3 + 13 + 1

3 · 13 + 1

9) = 320

(14 + 132 ) · (3 + 1

3 +13 · 1

3 + 19 ) =

12 + 1

8 + 14 + 1

8 = 1 měřiceLevá strana rovnice je nejprve zjednodušena, aby se s ní snáze počítalo.Potom se provede dělení, v jehož závěru se ověřuje správnost sečtenímpříslušných násobků dělitele. V tomto sčítání zlomků se postupuje vedvou krocích, kdy se obtížnější zlomky sčítají zvlášť pomocí červených

38

hodnot, jež odpovídají společnému jmenovateli 576. V dalším kroku seprovede zkouška dosazením výsledku do zadání. Další dvě zkoušky počí-tají v ro a ve zlomcích měřice, jako tomu bylo v úloze R35.

R38: 3x+ 17 · x = 1

1÷ (3 + 17) =

16 + 1

11 + 122 + 1

66

(16 + 111 + 1

22 + 166 ) · (3 + 1

7) = 1

(16 + 111 + 1

22 + 166 ) · 320 = 101 + 2

3 +111 + 1

22 +166

(101 + 23 +

111 + 1

22 + 166) · (3 + 1

7) = 1 měřice

(14 + 116 + 1 + 2

3 + 111 +

122 + 1

66) · (3 + 17) = 320 ro

Při dělení se využívá vztahu (3 + 17) ÷ 22 = 1

7 , což je ve výpočtu vý-slovně uvedeno. Zkouškou se ověří správnost výsledku jeho dosazenímdo zadání. Další dvě zkoušky počítají s hodnotami v ro a ve zlomcíchměřice. Zajímavé je, že v závěru zkoušky v ro je uvedeno, ze součet činí1 měřici, zatímco ve zkoušce pro zlomky měřice se součet uvádí ve tvaru320 ro.

Dvě neúplné úlohy

V Rhindově papyru se dochovaly dvě úlohy, jejichž forma i sofistikovanýzpůsob řešení se značně liší od ostatních příkladů počítajících rovnice.Ani jedna z nich však není zapsána celá; první úloha je popsána slovně,zatímco druhou tvoří pouze písemný výpočet. Obě úlohy jsou si vzá-jemně velice podobné, což mohlo během opisování poplést písaře, kterýtak omylem spojil slovní popis s písemným řešením dvou různých úloh,aniž by si svého omylu povšiml.

R28: x+ 23 · x− 1

3 · (x+ 23 · x) = 10

110 · 10 = 1

10− 1 = 9 = x23 · 9 = 6

9 + 6 = 1513 · 15 = 5

15− 5 = 10Zadání úlohy popisuje poměrně složitou rovnici. Celé řešení příkladu seprovádí ve dvou krocích, které lze shrnout jako 10 − 1

10 · 10 = 9 a ježvycházejí z upraveného tvaru rovnice x · 109 = 10. Jak k němu písař došelnení zřejmé, zajímavé však je, že nepočítal 9 ·( 1

10 ·10), jak bychom mohli

39

očekávat vzhledem k principům staroegyptské matematiky.5 Následujícíkroky výpočtu tvoří zkouška, kde se výsledek dosadí do zadání.

R29: (1 + 14 + 1

10) · 10 = 13 + 12 = x

(13 + 12) · 2

3 = 9

13 + 12 + 9 = 22 + 1

2

(22 + 12) · 1

3 = 7 + 12

22 + 12 + 7 + 1

2 = 3013 · 30 = 10

Výpočet odpovídá rovnici 13 · [x+ 23 ·x+ 1

3 ·(x+ 23 ·x)] = 10 a řešení zjevně

vychází z jejího upraveného tvaru 2027 ·x = 10, tedy x = 10 · (1 + 1

4 + 110).

Výsledek je vypočítán v prvním kroku řešení, následující kroky tvořízkouška.

Rovnice druhého řádu

Jediný známý příklad počítající rovnici druhého řádu se zachoval najednom z fragmentů z berlínského muzea. Rovnice zahrnuje dvě neznámámnožství, která se rozlišují jako „jedno� a „jiné, druhé�. Jejich vztah jezadán jako b = (12 + 1

4) · a.

B1: 100 = a2 + b2

100 = a2 + ((12 + 14 ) · a)2

100 = (1 + 12 +

116 ) · a2

10 = (1 + 14) · a

10÷ (1 + 14) = 8 = a

8 · (12 + 14) = 6 = b

Postup řešení jasně ukazuje, že exponenty obou neznámých jsou většínež 1, ačkoli text tuto skutečnost přímo nezmiňuje. V prvním krokuse druhá neznámá převede na první dle zadaného vztahu. Tím se získárovnice s jednou neznámou. Násobky neznámé se potom umocní a seč-tou, aby bylo možné celou rovnici odmocnit. První neznámá potom bylaspočítána vydělením, druhá neznámá dosazením první neznámé do za-daného vztahu. Písař, který se tímto problémem zabýval, musel být jiždost zkušený.

5O. Neugebauer, Arithmetik und Rechnentechnik der Ägypter, Quellen und Studienzur Geschichte der Mathematik B1, Berlin 1931, s. 301–381.

40

I.6 Výpočet obsahu plochy

Úlohy počítající obsah plochy různých obrazců jsou známy z Rhindovaa moskevského papyru. Jsou zadány zpravidla jako úlohy vztahující sek vyměřování polí.6 Výraz pro pole, egyptsky ah. et, který se v těchto úlo-hách objevuje, však můžeme chápat také jako pojem označující obecněplochu.Jednotky, ve kterých se počítá, nejsou v úlohách vždy zmíněny. Písaři

nicméně museli být schopni se v jednotkách dobře orientovat, což je po-chopitelné vzhledem k důležitosti zeměměřičských výpočtů pro tehdejšíživot v nilském údolí.

Čtyřúhelník

Obdélník se v textech označuje výrazem ifed, v moskevském papyru takévýrazem pet, a jeho obsah se počítá vynásobením délek jeho stran. Delšístrana se nazývá aw, kratší strana wesech.

R49: a = 10, b = 2

1000 · 100 = 100 000110 · 100 000 = 10 000110 · 10 000 = 1000 = S

Výpočet odpovídá rozměrům 10 × 1, přestože zadání uvádí 10 × 2. Za-jímavé je převádění jednotek během výpočtu, které mohlo být jednímz úkolů k procvičení v této jednoduché úloze.

M6: S = 12, a · (12 + 14) = b

1÷ (12 + 14) = 1 + 1

3

12 · (1 + 13 ) = 16√

16 = 4 = a

(12 + 14) · 4 = 3 = b

Zadán je obsah pravoúhelníku a vztah mezi oběma jeho rozměry. Vý-počet obsahuje několik písařských chyb. Zajímavé je, že na konci úlohyje zapsána i část písemného výpočtu, který se v moskevském papyruobvykle vynechává.

M18: a =5 loktů 5 dlaní, b =3 dlaní

5 loktů = 35 dlaní6Vyměřování polí tvořilo významnou součást egyptského hospodářství. Hranice

polí se vytyčovaly opakovaně každý rok poté, co se rozvodněná řeka navrátila dosvého koryta a zemědělské práce mohly začít.

41

5 · 2 = 10

(31 + 10) · 80V tomto případě úloha není zadána na příkladu pole, ale kusu látky.Metoda počítání obsahu plochy se tedy procvičovala v různém kontextu.Písař se však dopustil chyby již na začátku počítání a úloha zůstalanedokončená.

Káhúnský papyrus obsahuje úlohu, jež snad řeší také obsahy plochy.7

Její zadání a začátek výpočtu se nedochovaly, nicméně se zdá, že pro-blém se zabývá rozdělením plochy o rozměrech 40× 3 na deset stejnýchobdélníků, jejichž poměr stran je stanoven vztahem b = (12 + 1

4) · a.

K5: 40 · 3 = 120110 · 120 = 12

1÷ (12 + 14 ) = 1 + 1

3

12 · (1 + 13) = 16√

16 = 4 = a

(12 + 14) · 4 = 3 = b

Obsah zadané plochy je rozdělen na deset částí. Rozměry deseti shod-ných čtverců se potom spočítají pomocí zadaného vztahu mezi jejichrozměry. Tyto kroky výpočtu se zcela shodují s úlohou M6.

Vyměřování pole. Písař opírající se o hodnostářskou hůl, doprovázený mladým učed-níkem, dohlíží na dva asistenty, kteří provádějí potřebná měření za pomoci silného

lana. Džeserkaresenebova hrobka v západních Thébách, 18. dynastie

7Přepis a překlad papyru publikované F. L. Griffithem (Hieratic Papyri from Ka-hun and Gurob, London 1898) naznačují, že se mohlo jednat o výpočet objemů, avšakS. Couchoud se pokusila prokázat, že se jedná o rozdělování plochy (Mathématiqueségyptiennes, Paris 1993, s. 136–138). Intepretace úlohy tedy není zcela jednoznačná.

42

Trojúhelník

Trojúhelník se v textech označuje výrazem sepdet a vždy se jedná o troj-úhelník rovnoramenný. Jeho základna se nazývá tep-r, zatímco merejetoznačuje zřejmě výšku.8 Obsah se počítá převedením trojúhelníku naobdélník se stejným obsahem, což vyjadřuje fráze „spočítej polovinux (délka základny), abys udal jeho obdélník�. Písaři se tedy nejen učilitento typ problému vypočítat, ale rovněž měli pochopit postup řešenía některá obecně platná pravidla geometrie.

R51: v = 10 chet, a = 4 chet12 · 4 = 2

10 · 2 = 20 = SPostup řešení je jasný, polovina délky základny rovnoramenného trojú-helníku se vynásobí jeho výškou. V závěru úlohy se výsledných 20 chet2

přepočítá na 2 000 loktů2 a poté na jednotky cha-ta.

M4: v = 10, a = 412 · 4 = 2

10 · 2 = 20 = STato úloha se shoduje s příkladem R51. Rozměry zadaného trojúhelníkui postup řešení jsou totožné, v moskevském papyru však nejsou uvedenyjednotky ani převody. Shoda úloh ve dvou různých textech může nazna-čovat, že při výuce matematiky se používaly vzorové příklady z jakéhosijednotného zdroje.

M7: S = 2, a : b = 2 + 12

S · 2 = 40

40 · (2 + 12) = 100√

100 = 10

1÷ (2 + 12) =

13 +

115

10 · (13 + 115 ) = 4

a = 10, b = 4V tomto případě je zadán obsah a je třeba najít rozměry. Zadán je obsah2, avšak počítá se s obsahem 20. Jedná se tedy opět o tentýž obrazec jakov úlohách R51 a M4. Zdvojnásobením obsahu trojúhelníku se získá obsahodbélníku se shodnými rozměry, poté se spočítá obsah čtverce o délcestrany rovné delšímu rozměru trojúhelníku. Odmocněním se získá první

8Někteří odborníci soudí, že výraz merejet označuje délku strany trojúhelníku. Viznapř. W. B. Chace, The Rhind Mathematical Papyrus, Oberlin 1979, s. 36.

43

rozměr, což je výška. Délka základny se již snadno vypočítá ze zadanéhovztahu mezi oběma rozměry.

M17: S = 20, b = (13 + 115 ) · a

20 · 2 = 40

1÷ (13 + 115 ) = 2 + 1

2

40 · (2 + 12) = 100√

100 = 10 = a

(13 + 115) · 10 = 4 = b

Úloha je totožná s M7, avšak vztah mezi oběma rozměry trojúhelníku jezadán jiným způsobem. Moskevský papyrus tedy pravděpodobně zkouší,nakolik se počtář orientuje v problémech, které se liší v maličkostech.

Rhindův matematický papyrus obsahuje ještě tři další výpočty za-bývající se obsahem trojúhelníku, a to R53–R55. Tyto úlohy sestávajíz písemných výpočtů, které doprovází náčrtek. Vysvětlující komentářevšak chybějí a je značně obtížné úlohy interpretovat. Je docela dobřemožné, že všechny tři úlohy spolu souvisejí, a že se tedy nejedná o třirůzné nezávislé příklady.9

R53: (1 + 14 ) · (4 + 1

2 secat) = 5 + 12 + 1

8 secat110 · (13 + 1

2 +14) = 1 + 1

4 + 18 secat

5 + 12 +

18 + 1 + 1

4 +18 = 7 secat

7 · (3 + 14 ) = 15 + 1

2 + 14 secat

12 · (15 + 1

2 + 14) = 7 + 1

2 + 14 + 1

8 secat

R54: rozdělení plochy 7 secat na 10 polí:

7÷ 10 = 12 +

15

10 · (12 + 18 secat+ 7 + 1

2 meh. -ta)= 7 secat

R55: rozdělení plochy 3 secat na 5 polí:

3÷ 5 = 12 + 1

10

5 · (12 secat+ 10 meh. -ta) = 3 secatCo se skrývá za výpočty v úloze R53, není příliš jasné, a je pravděpo-dobné, že část výpočtů chybí. Úlohy R54 a R55 rozdělují určitou plochuna několik částí. Výsledek se v obou případech spočítá v prvním krokuvýpočtu a ve druhém kroku potom následuje zkouška. Přitom se výsle-dek z jednotek secat převede na secat+meh. -ta.

9Viz např. presentace A. Gennara s titulem „A consistent solution of the problem53 in the Rhind mathematical papyrus na The Eighth International Congress ofEgyptologists, Cairo 28 March – 3 April 2000.

44

Lichoběžník

Obsah lichoběžníku h. aket se počítal převedením na rovnoramenný trojú-helník, jehož délka základny je rovna součtu obou základen lichoběžníku,tedy podle vztahu S = (a+c)·v

2 . Termíny označující delší základnu a výš-ku jsou tytéž jako u trojúhelníku, kratší základna se nazývá pa-h. aket,tedy to, co charakterizuje lichoběžník h. aket.

R52: v = 20, a = 6, c = 4

a+ c = 6 + 4 = 1012 · 10 = 5

20 · 5 = 10 = SRozměry lichoběžníku jsou zadány v jednotkách chet, zatímco písemnévýpočty jsou v loktech. Na místě výsledku je chybně zapsáno 10 místosprávné hodnoty 100.

Kruh

Kruh, egyptsky deben, byl určován délkou poloměru. Staroegyptská ma-tematika nepracovala s hodnotou π, ani tuto veličinu nijak nepopisovala.Obsah kruhu se počítal převedením na čtverec o přibližně stejném ob-sahu. Strana čtverce přitom byla rovna 8

9 poloměru zadaného kruhu.10

Výsledky těchto výpočtů odpovídají π = 3,16, chyba vzniklá touto me-todou je tedy vcelku zanedbatelná.

R48: 8 · 8 = 64

9 · 9 = 81Úloha sestává ze dvou písemných výpočtů, které postrádají slovní vy-světlení. Doprovodný obrázek naznačuje, že výpočty porovnávají obsahkruhu a čtverce, jejichž průměr a délka strany jsou stejné: d = a = 9.První výpočet se týká kruhu a vychází ze vztahu S = (d − 1

9 · d)2 =(9− 1)2 = 82. Druhý výpočet počítá obsah čtverce.

R50: d = 9

9− 19 · 9 = 9− 1 = 8

8 · 8 = 64Tato úloha vzorově předvádí počítání obsahu kruhu. Slovní popis řešenídoprovází písemný výpočet.

10O možném způsobu odvození metody používané k počítání obsahu kruhu po-jednává článek H. Engelse „Quadrature of the Circle in Ancient Egypt, HistoriaMathematica 4 (1977), s. 137–140.

45

I.7 Výpočet objemu tělesa

Objemy těles se počítají v Rhindově, moskevském a káhúnském papyru.Úlohy v jednotlivých textech se liší, a to jak způsobem zadání a metodouřešení, tak obtížností řešených příkladů.Za pozornost stojí skutečnost, že zatímco u obsahů plochy se pra-

cuje s jasnou terminologií popisující jednotlivé obrazce i jejich rozměry,v případě těles se s obecnými termíny nesetkáme. Rhindův papyrus pro-blémy popisuje na příkladu obilních sýpek s čtvercovou nebo kruhovoupodstavou, takže se vyhýbá názvům pro kvádr (krychli) a válec. Ko-molý jehlan v moskevském papyru je popsán pomocí ideogramu, nikolislovním termínem. Úloha v káhúnském papyru není dochována celá.Rhindův papyrus ve svých příkladech s obilními sýpkami zachycuje

další významnou součást života staroegyptské společnosti. Výpočet ob-jemu je v těchto úlohách velice jednoduchý, zajímavé jsou však převodyjednotek, jež se zde procvičují a které mohly být hlavní náplní těchtoúloh. Rozměry se zadávají v loktech, výsledek se z loktů3 převede nejprvena pytle a poté na stovky čtyřnásobných měřic.

Kontrolor měrných nádob a jeho pomocník odebírají zrno ze sýpky, muž stojící zanimi hlásí odměřená množství písařům. Nikauisesiho hrobka v Sakkáře, 6. dynastie

Kvádr a krychle

Rozměry tělesa jsou dány rozměry podstavy, tedy obdélníku, které do-plňuje údaj o výšce, jež se nazývá h. eh. . Objem kvádru i krychle, se kte-rými se setkáváme v Rhindově papyru, se počítá dle vztahu V = S ·v, kdeobsah podstavy S se získá postupem procvičeným v úlohách popsanýchv předchozím oddílu a v je výška.

R44: a = 10, b = 10, c = 10

10 · 10 = 100

100 · 10 = 1000

46

1 000 + 12 · 1 000 = 1000 + 500 = 1500

120 · 1 500 = 75

Postup řešení je jednoduchý. Výsledných 1 000 loktů3 se převede nejprvena 1 500 pytlů a poté na 75 stovek čtyřnásobných měřic.

R45: V = 75

75 · 20 = 1500110 · 1 500 = 150110 · 1

10 · 1 500 = 1523 · 1

10 · 110 · 1 500 = 10

V tomto případě je úloha zadána obráceně, avšak jde o tutéž sýpku jakov úloze R44. Zadání neupřesňuje ani tvar tělesa, ani žádný z rozměrů.Výpočet nicméně ukazuje, že se jedná o těleso s pravoúhlou podstavou,přesněji o krychli, a dva rozměry rovné 10 loktům byly počtáři známy.Objem ve stovkách čtyřnásobných měřic se nejprve převede na pytle.Dvojí vydělení 10 vede ke zjištění třetího rozměru, který se však ještěmusí vyjádřit v loktech podle vztahu 1 loket = 1 + 1

2 pytle.

R46: V = 25

25 · 20 = 500110 · 500 = 50120 · 500 = 25110 · 1

10 · 500 = 523 · 1

10 · 110 · 500 = 3 + 1

3Postup je stejný jako v předcházejícím případě. Po převedení na pytle seobjem vydělí dvěma známými rozměry (které však opět nejsou v zadánívýslovně uvedeny). Výpočet 1

20 objemu s postupem řešení nijak nesouvisía byl zde zapsán asi omylem. Tato úloha se zabývá sýpkou s třetinovouvýškou, a tedy třetinovou kapacitou ve srovnání s předcházejícími dvěmaúlohami.

Válec

Objem válce se počítá vynásobením obsahu kruhové podstavy výškou,jež se nazývá h. eh. . I v těchto úlohách, stejně jako v případě počítáníobjemu kvádru, se v Rhindově papyru podrobně procvičuje převáděníjednotek. Úloha, která se dochovala na káhúnském papyru, sestává pouzez písemného výpočtu. Slovní zadání či vysvětlující komentáře v tomtopřípadě zcela chybějí.

47

R41: d = 9, v = 10

9− 19 · 9 = 9− 1 = 8

8 · 8 = 64

64 · 10 = 640

640 + 12 · 640 = 960

120 · 960 = 48

Obsah kruhové podstavy se počítá stejně, jak tomu bylo v úlohách počí-tajících obsahy polí. Obsah podstavy se vynásobí výškou a 640 loktů3

se převede na pytle a na stovky čtyřnásobných měřic.

R42: d = 10, v = 10

10− 19 · 10 = 10− (1 + 1

9) = 8 + 23 +

16 + 1

18

(8 + 23 +

16 +

118 ) · (8 + 2

3 +16 +

118 ) = 79 + 1

108 + 1324

(79 + 1108 + 1

324 ) · 10 = 790 + 118 + 1

27 + 154

(790 + 118 + 1

27 + 154) +

12 · (790 + 1

18 + 127 + 1

54) = 1185

1185 · 120 = 59 + 1

4Postup řešení je shodný s předcházejícím příkladem, avšak hodnoty, sekterými se zde počítá, nejsou tak příznivé. Převody na pytle a stovkyčtyřnásobných měřic vedou k příhodnějšímu tvaru výsledku.

K2´ : d = 12, v = 8

12 + 13 · 12 = 12 + 4 = 16

16 · 16 = 256

256 · (5 + 13) = 1 365 + 1

3Úloha je zadána pomocí jednoduchého náčrtku, který zachycuje tvarpodstavy a rozměry. V prvním kroku se spočítá obsah čtverce o straněo třetinu větší než zadaný průměr podstavy. Vynásobením 2

3 výšky sezíská objem válce v pytlích. Postup odpovídá výrazu (d+ 1

3 ·d)2· 23 ·v, kterýje ekvivalentní s postupem (d− 1

9 · d)2 · v · 32 známým z úloh z Rhindovapapyru.

R43: v = 9, d = 6

9− 1 = 8

8 + 13 · 8 = 10 + 2

3

(10 + 23) · (10 + 2

3) = 113 + 23 +

19

(113 + 23 + 1

9) · 23 · 6 = (113 + 2

3 + 19) · 4 = 455 + 1

9120 · (455 + 1

9) = 22 + 12 + 1

4 +145

Rozměry zadané v úvodu úlohy byly zaměněny. Podle následujícího vý-počtu je průměr podstavy roven 9 a výška 6 loktům. Objem se počítá

48

tak, aby vyšel rovnou v pytlích. Řešení však není správné, neboť se zdespletly dohromady postupy známé z úloh R41 a K2´ do chybného vztahu((d− 1

9 · d) · (1 + 13))

2 · 23 v.

Komolý jehlan

Komolý jehlan v moskevském papyru představuje o něco obtížnější před-mět počítání. Těleso je v zadání zachyceno ideogramem, který nejlépevystihoval jeho tvar. Můžeme je chápat jako nedostavěnou pyramidu sečtvercovou základnou. Výška je označena termínem setatej, délku stranyhorní a dolní základny popisují termíny cherej a h. erej. Jednotky, s nimižse zde počítá, nejsou v příkladu uvedeny, důležitější byl samotný postupřešení.

M14: v = 6, a = 4, b = 2

42 = 16

4 · 2 = 8

22 = 4

16 + 8 + 4 = 2813 · 6 = 2

28 · 2 = 56Délky stran horní a dolní podstavy jsou umocněny a také vzájemněvynásobeny, poté se výsledek vynásobí třetinou výšky. Postup tedy od-povídá výrazu V = (a2 + ab+ b2) · 1

3 · v.Jak byl postup řešení odvozen, úloha nijak nenaznačuje. Je možné,

že egyptští písaři metodu řešení stanovili empiricky díky svým bohatýmkonstrukčním zkušenostem.11

11K různým výkladům viz např. B. Gunn – T. E. Peet, „Four geometrical problemsfrom the Moscow mathematical papyrus, The Journal of Egyptian Archaeology 15(1929), s. 167–185; K. Vogel, „The truncated pyramid in Egyptian mathematics, TheJournal of Egyptian Archaeology 16 (1930), s. 242–249; W. R. Thomas, „Moscowmathematical papyrus no. 14, The Journal of Egyptian Archaeology 17 (1931),s. 50–52. Za zmínku stojí, že v řecké matematice se výpočet objemu jehlanu podlevztahu V = 1

3·S ·v objevuje v 5. stol př. Kr. u Démokrita a dokazuje jej až Eukleides.

49

I.8 Výpočet sklonu pyramidy

Úlohy zabývající se poměrem mezi výškou a délkou strany pyramidy na-cházíme pouze v Rhindově matematickém papyru. Pro výšku pyramidyse užíval termín per-m-wes, délka strany se označovala jako wecha-cebet.Egyptští písaři vyjadřovali sklon pyramidy jako poměr mezi polovinoudélky strany základny vůči výšce. Z našeho pohledu tedy hledali kotan-gens úhlu pravoúhlého trojúhelníku, jehož jednu odvěsnu tvoří výškapyramidy v a druhou odvěsnu polovina délky základny a

2 . Sklon sek.edvyjadřovali v dlaních a odpovídal délce a

2 pro v = 1 loket.

v

a/2

1

seked

R56: pyramida: a = 360, v = 25012 · 360 = 180

180 ÷ 250 = 12 + 1

5 +150 lokte

7 · (12 + 15 + 1

50) = 5 + 125 dlaně

Sklon zadané pyramidy se spočítá vydělením poloviny délky strany zá-kladny výškou pyramidy. Následuje převod z loktů na dlaně podle vztahu1 loket = 7 dlaní.

R57: pyramida: a = 140, sklon = 5 dlaní 1 prst

1÷ 2 · (5 + 1) = 1÷ (10 + 12)

7÷ (10 + 12 )

23 · (10 + 1

2) = 723 · 140 = 93 + 1

3V tomto příkladu je úkolem stanovit výšku pyramidy při zadané délcestrany základny a sklonu. Postup je tedy obrácený, nejprve se vyjádřípoměr mezi jednotkovou výškou a dvojnásobkem sklonu, který odpovídádélce strany základny pro výšku rovnou 1 lokti (7 dlaním). Výsledekdělení 7÷ (10 + 1

2) se vyjadřuje obrácenou operací, tedy jako činitel vevztahu 2

3 ·(10+ 12) = 7. Pomocí takto získaného poměru se z délky strany

pyramidy dopočítá hledaná výška.

R58: pyramida: v = 93 + 13 , a = 140

12 · 140 = 70

50

70÷ (93 + 13 ) =

12 + 1

4

(12 + 14) · 1 loket

(12 + 14) · 7 dlaní = 3 + 1

2 + 1 + 12 + 1

4 = 5 dlaní 1 prstÚloha počítá s týmiž hodnotami jako R47, zadání je však obrácené.Dělení se provádí písemně a tento výpočet je připojen za slovním ko-mentářem úlohy.

R59: pyramida: v = 12, a = 8

6÷ 8 = 12 + 1

4

(12 + 14) · 7 = 5 + 1

4 = 5 dlaní 2 prstyRozměry zadané v úvodu této úlohy jsou zaměněny. Podle výpočtu totižhodnota 12 odpovídá délce strany a 8 výšce. Další chyba se objevuje vevýsledku, který je ve skutečnosti roven 5 dlaním a 1 prstu.

R59B: pyramida: a = 12, sklon = 5 dlaní 1 prst

1÷ 2 · (5 + 1) = 7÷ (10 + 12)

23 · (10 + 1

2 ) = 7

23 · 12 = 4

Řešení je stejné jako v úloze R57, zatímco hodnoty, se kterými se počítá,se shodují s hodnotami v úloze R59. Ve výsledku písař opět udělal chybu.

R60: stavba: a = 15, v = 30

12 · 15 = 7 + 1

2

(7 + 12) · 4 = 30

Tato úloha se nevěnuje pyramidě, ale jinému vyššímu, strmějšímu ob-jektu, který je označen ideogramem.12 Jeho rozměry se označují odliš-nými termíny než rozměry pyramid, a to kai-en-heru pro výšku a sentetpro délku strany základny. Liší se rovněž postup řešení, neboť tato úlohamísto a

2 ÷ v určuje poměr v÷ a2 , tedy tangens úhlu svíraného základnou

a stěnou.

Úlohy popisované v této skupině pravděpodobně odrážejí matematic-kou praxi datující se již do období Staré říše, kdy se zhruba ve 28.–27.století př. Kr. začaly stavět rozměrné pyramidy. Za pozornost stojí, žesklon 5 dlaní a 1 prst, jenž se objevuje ve čtyřech ze šesti úloh v této

12Snad se jednalo o pilíř nebo obelisk. Výška tohoto objektu je dvojnásobná oprotidélce strany základny.

51

skupině, přibližně odpovídá13 sklonu stěn Rachefovy pyramidy v Gíze,14

zatímco sklon popsaný v úloze R60 odpovídá zhruba sklonu stěn soukro-mých hrobek.15 Rozměry z úloh R57 a R58 navíc odpovídají rozměrůmVeserkafovy pyramidy v Sakkáře.16

Vedle počítání sklonu pyramid muselo být z hlediska staroegyptskéúřednické praxe rovněž důležité počítat objem pyramid, a tedy množstvíkamene potřebného na stavbu. Takové úlohy se však v dochovanýchtextech neobjevují. Pouze úloha 14 v moskevském papyru ukazuje, žealgoritmus pro výpočet objemu jehlanu byl znám a používán (viz výše).

Dělníci otesávají a proměřují velký kamenný blok určený pro nějakou stavbu.Rechmireova hrobka v západních Thébách, 18. dynastie

13V této souvislosti musíme mít na paměti, že rozměry pyramid, jak je stanovujemednes, nejsou zcela přesné. Památky jsou silně poškozené a obložení stěn bylo u většinyz nich dávno strháno, takže měření nemohou zcela spolehlivě zachytit původní stav.14Druhou největší pyramidu v Egyptě vybudoval syn Chufua, stavitele slavné Velképyramidy v Gíze. Rachefova pyramida má základnu dlouhou 215 m a dosahovalavýšky 143,5 m.15L. Borchardt, „Wie wurden die Böschungen der Pyramiden bestimmt?, Zeit-schrift für ägyptischen Sprache 51 (1893), 16–17.16Více k pyramidám viz M. Verner, Pyramidy: tajemství minulosti, Praha 1997;M. Lehner, The Complete Pyramids, London 1997; H. R. Butler, Egyptian PyramidGeometry. Architectural and Mathematical Patterning in Dynasty IV Egyptian Pyra-mid Complexes, Mississauga 1998.

52

I.9 Slovní úlohy různého zaměření

Velká část příkladů, které můžeme najít v dochovaných matematickýchtextech, má podobu slovních úloh, které na rozmanitých případech inspi-rovaných běžným životem egyptského obyvatelstva definují různé mate-matické problémy. I v jiných skupinách úloh jsme se mohli setkat s prak-tickým zadáním příkladů, zde však nacházíme větší rozmanitost a ná-paditost v zadání, stejně jako v typech problémů.Můžeme zde najít úlohy, které odkazují na tentýž praktický kontext,

např. stanovení přídělů, avšak matematický problém, který řeší, je zcelaodlišný. Stejně tak jsou zde příklady, které skrývají tentýž matematickýproblém a popisují tutéž metodu řešení, avšak jsou zadány jako zcelaodlišné situace z různých oblastí života, např. rozdělování chlebů a sta-novení hodnoty kovů.

Dělení produktů na nestejné části

Úlohy popsané v této skupině pocházejí pouze z Rhindova matematic-kého papyru a zabývají se rozdělováním chleba a obilí podle určitéhozadaného klíče.

R39: 100 chlebů rozdělit 10 lidem, polovinu šesti, polovinu čtyřem, rozdíl

jejich přídělů je x:

50÷ 4 = 12 + 12

50÷ 6 = 8 + 13

(12 + 12 )− (8 + 1

3) = 4 + 16 = x

Ze zadaných sto chlebů rozdělených na polovinu se spočítají přídělyjednotlivých mužů z jedné i druhé skupiny. Všechny příděly jsou v úlozevyjmenovány a v závěru je uveden hledaný rozdíl.

R63: 700 chlebů pro 4 muže, tak aby díly byly v poměru 23 :

12 :

13 :

14

23 +

12 + 1

3 +14 = 1 + 1

2 +14

1÷ (1 + 12 + 1

4) =12 +

114

700 · (12 + 114) = 400

23 · 400 = 266 + 2

312 · 400 = 20013 · 400 = 113 + 1

314 · 400 = 100

V prvním kroku se sečtou díly všech mužů podle zadaného poměru a vy-dělí se jimi celkový počet chlebů. Dělení se provádí nepřímo ve dvou kro-

53

cích. Z výsledných 400 chlebů se již snadno spočítají podíly jednotlivýchmužů. U třetího muže se písař dopustil chyby a místo 133 zapsal 113.

R65: 100 chlebů rozdělit 10 lidem, díl každého je x, tři muži mají 2x

10 + 3 = 13

100 ÷ 13 = 7 + 23 +

139 = x

K deseti hledaným přídělům se připočítá jeden příděl navíc pro tři pri-vilegované muže. Zadaných 100 chlebů se vydělí na příslušný počet dílů,a tak se určí příděl jednotlivců. Třem šťastlivcům přísluší dvojnásobnýpodíl 15 + 1

3 + 126 + 1

78 , který se snadno stanoví pomocí tabulky 2÷ n.

R68: 100 jednotek obilí rozdělit 4 velitelům v poměru 12 : 8 : 6 : 4

100 ÷ 30 = 3 + 13 = 3 + 1

4 + 116 + 1

64 měřice 1 +23 ro

12 · (3 + 14 + 1

16 + 164 + 1 + 2

3 ) = 40 měřic

8 · (3 + 14 + 1

16 + 164 + 1 + 2

3) = 26 + 12 + 1

8 + 132 měřice + 3 + 1

3 ro

6 · (3 + 14 + 1

16 + 164 + 1 + 2

3) = 20 měřic

4 · (3+ 14 + 1

16 + 164 +1+ 2

3 ) = 13+ 14 + 1

16 + 164 měřice + 1+ 2

3 roPostup ke stejný jako v úloze R63. Nejprve se sečte počet všech dílův zadaném poměru a vydělí se tím sto zadaných chlebů, čímž vyjde podílkaždého muže v mužstvech velitelů. Tento podíl se převede na měřice,přičemž hodnota 1

3 měřice je známa z výpočtů na tabulkách z Achmímu(viz I.3). Podíly jednotlivých velitelů se potom snadno získají násobením.

Muž pomocí dřevěného nástroje podobného vidlím odmetá zrno z kupy obilí směremke dvěma ženám, které je prosévají. Jedna z nich nahromaděné zrní prometá a dru-há je prosévá na velkém sítu tak, aby vítr odvál plevy. Vlasy mají staženy, aby si je

chránily před prachem. Egyptské muzeum v Káhiře, 5./6. dynastie

54

Aritmetická a geometrická posloupnost

Některé slovní úlohy v Rhindově papyru ukazují, že egyptští písaři se do-vedli dobře orientovat také v problémech s posloupnostmi. Jeden příkladje znám také v káhúnského papyru, tento však sestává pouze z písem-ného výpočtu a nemá slovní zadání.

R40: 100 chlebů rozdělit 5 lidem tak, aby součet prvních tří dílů =

= součet druhých dvou dílů; diference je 5 + 12

a1 = 1

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 60

100 ÷ 60 = 1 + 23

a1 · (1 + 23) = 1 + 2

3

a2 · (1 + 23) = 10 + 2

3 +16

a3 · (1 + 23) = 20

a4 · (1 + 23) = 29 + 1

6

a5 · (1 + 23) = 38 + 1

3V úloze se počítají jednotlivé členy posloupnosti při zadaném součtu a di-ferenci. Využívá se metoda nesprávného předpokladu, kterou již známez rovnic. Pro nejmenší člen rovný 1 se dopočítají zbývající členy a jejichsoučet. Následně se určí poměr zadaných 100 chlebů vůči tomuto součtua podle něj se potom upraví jednotlivé členy posloupnosti. Podmínkastanovená v zadání platí, není však v úloze ověřena, ani se nevyužívá přivýpočtu.

R64: 10 měřic ječmene rozdělit 10 lidem, diference 18

10÷ 10 = 12

10 = 1 = 912 · 1

8 = 116

9 · 116 = 1

2 +116

a1 = 1 + 12 + 1

16Tento výpočet popisuje algoritmus pro určení největšího členu posloup-nosti a1 na základě znalosti součtu s, počtu členů n a diference d, kterýmůžeme vyjádřit jako a1 = s

n + (n − 1) · d2 . V prvním kroku se písař

dopustil chyby.

K2: a = 13 + 23 +

112 , d = 2

3 +16

9 · (13 + 16) = 3 + 2

3 +112

Tato úloha nemá žádný slovní popis a sestává pouze z písemných vý-počtů. Je zřejmé, že levý sloupec vyjmenovává členy sestupné aritme-

55

tické posloupnosti, nad kterými je zapsán součet členů. Pravý sloupecobsahuje výpočet, jenž odpovídá operaci (n−1) · d2 , která souvisí s určo-váním součtu členů aritmetické posloupnosti.

R79: a1 = 7, q = 7

7 + 49 + 343 + 2301 + 16 807 = 19 607

7 · 2 801 = 19 607Tato úloha popisuje hospodářství tvořené domy, ke kterým patří kočky,myši a různé druhy obilnin. Nejde však o praktický problém; jsou zdezaznamenány dva sloupce textu, z nichž jeden vyjmenovává členy geome-trické posloupnosti (součásti hospodářství), kde každý člen je 7krát většínež předchozí člen, přičemž hodnota čtvrtého členu je zapsána chybně(správně je 2 401). Druhý sloupec počítá operaci 7 ·2 801 = 19 607, kteráodpovídá vztahu x · qn−1

q−1 , kde n je počet členů posloupnosti a q je kvoci-ent. Oba výpočty ukazují součet geometrické posloupnosti, avšak chybízde komentář, který by písemný výpočet objasňoval.

Žertovný obrázek koček posluhujících vypasené myší šlechtičně. Jedna z koček podá-vá sedící myši oděné v jemný šat pohár vína, její kolegyně jí zatím upravuje nakade-řenou paruku. Další dvě kočky pečují o malou myšku, která rozpustile mává tlapka-

mi. Satirický papyrus z Egyptského muzea v Káhiře, 20. dynastie

Obchod a řemeslná práce

Část slovních úloh svými tématy odkazuje na praktické činnosti, jako jeurčování hodnoty zboží, rozpočítávání zásob, dohled nad řemeslníky čipravidelně prováděné sčítání dobytka. Příklady tak odrážejí další součástrozmanitého života staroegyptské společnosti.

R62: pytel zlata, stříbra a cínu v hodnotě 84 kroužků, cena kovů je x

12 + 6 + 3 = 21

84 ÷ 21 = 4

56

12 · 4 = 48 = x (zlato)

6 · 4 = 24 = x (stříbro)

3 · 4 = 12 = x (cín)Tato úloha se velice podobá příkladům R63 a R68 (viz výše), postupřešení je stejný jako v R68. Sečtou se ceny za jednotku všech kovů a určíse počet jednotek každého kovu v pytli. Přitom množství každého kovuje stejné, což však není v zadání uvedeno. Hodnota jednotlivých kovův pytli se spočítá vynásobením jednotkové hodnoty spočítaným množ-stvím.

R66: 10 měřic tuku rozpočítat na rok

10 měřic = 3 200 ro

1 rok = 365 dní

3 200 ÷ 365 = 8 + 23 + 1

10 +1

2 190

8 + 23 +

110 + 1

2 190 = 116 měřice + 3 + 2

3 + 110 +

12 190 ro

Výpočet je velice snadný. Zadané množství tuku se převede na menšíjednotky dle vztahu 1 merice = 320 ro a rok se vyjádří počtem dnů. Podokončení výpočtu se výsledek převádí zpět na měřice.

M23: výroba sandálů: 10 denně nařeže, 5 denně dokončí, x sandálů denně

nařeže i dokončí

1 + 2 = 3

10÷ 3 = 3 + 13 = x

První krok výpočtu určí, jak dlouho trvá dokončit sandály, které vý-robce vyrobí za jeden den. Následné dělení stanoví počet sandálů, kterélze kompletně vyrobit za den.

Dílna na výrobu sandálů. Tři muži obklopení svými nástroji vyrábějí sandály: jedenz nich připravuje kůži, další vytváří otvory potřebné k připevnění šňůrek a poslednímuž sandály dokončuje. Rechmireova hrobka v západních Thébách, 18. dynastie

57

M11: výroba prken(?): šíře 5 dlaní = 100, šíře 4 dlaně = x

52 = 25

42 = 16

25÷ 16 = 1 + 12 + 1

16

100 · (1 + 12 +

14) = 156 + 1

4 = xZadání úlohy není příliš jasné. Zdá se, že se jedná o truhláře vyrábějícíhourčitý objem dřeva různé šíře.17 V prvních krocích výpočtu se určí plochaprken obou šíří, v dalším kroku se určí poměr, o který naroste množstvípři změně šířky.

R67: dobytek přiváděný ke sčítání: 70 býků je 23 · 13 z původních x kusů:

23 · 1

3 = 16 +

118

1÷ (16 + 118) = 4 + 1

4

70 · (4 + 14) = 315 = x

23 · 1

3 · 315 = 70Zadání popisuje rovnici 2

3 · 13 · x = 70. V prvním kroku se přepočítá

násobek neznámé, přičemž se využije tabulka 2 ÷ n pro n = 9. Tímtonásobkem se vydělí pravá strana rovnice. V závěru úlohy je provedenazkouška ověřující správnost výsledku.

Péče o hospodářství

Poslední úlohy v Rhindově papyru a rovněž jeden příklad v káhúnskémpapyru se zabývají vykrmováním drůbeže a dobytka. Z matematickéhohlediska to nejsou úlohy obtížné, úkolem je spočítat množství krmiva,které se spotřebuje za určité časové období. Zajímavé jsou však údajeo průměrné spotřebě krmiva pro zvířata žijící v různých podmínkách,jako jsou husy zavřené v klecích oproti husám žijícím na rybníku. Sou-částí příkladů jsou také převody na různé jednotky.

R82: pro krmenou husu 2 + 12 měřice mouky, 10 hus po 40 dnů, celkem

je potřeba x měřic obilí k namletí mouky:

(2 + 12 ) · 10 = 25 měřic

17K této nové interpretaci viz A. Imhausen, Ägyptische Algorithmen. Eine Untersu-chungen zu den mittelägyptischen Aufgabentexten, Ägyptologische Abhandlungen 65,Wiesbaden 2003, s. 154–155. Podle dřívější intepretace úloha přepočítává navýšeníobjemu práce muže, který přenáší chleby v koších, do kterých se vejde 5 bochníků,oproti košům na 4 bochníky; viz V. V. Struve, Mathematischer Papyrus des Staatli-chen Museums der schönen Künste in Moskau, Quellen und Studien zur Geschichteder Mathematik A1, Berlin 1930, s. 101–106.

58

(2 + 12) · 40 = 100 měřic

23 · 100 = 66 + 1

3 + 14 + 1

16 + 164 merice + 1 + 2

3 ro110 · (66 + 2

3) = 6 + 12 + 1

8 + 132 merice + 3 + 1

3 ro

100 − (6 + 23 ) = 93 + 1

4 + 116 + 1

64 merice + 1 + 23 ro = x

Text úlohy není zcela jasný, je však možné rozeznat výše popsané ope-race. Úkolem asi bylo určit množství obilí, které je potřeba k umletímouky postačující na výkrm 10 hus za 40 dnů. Postup odpovídá tomu,že na 100 měřic mouky je potřeba namlít obilí o objemu menším o 1

10ze 2

3 z tohoto množství. Tedy23 ze 100 měřic je 66 + 2

3 a110 z toho je

6 + 23 měřice. Ty je třeba odečíst od 100 měřic mouky. Výsledek je po-

tom z měřic převeden ještě na dvojnásobné měřice, kde se nicméně písařdopustil chyby.

82B: pro krmenou husu 1 + 14 měřice mouky, 10 hus po 40 dnů, celkem

je potřeba x dvojnásobných měřic obilí k namletí mouky:

(1 + 14) · 10 = 12 + 1

4

(1 + 14) · 40 = 50

x = 23 + 12 + 1

4 + 18 merice + 4 + 1

4 + 16 +

16 ro

Tato úloha je stejná jako předchozí, avšak počítá s poloviční dávkoukrmiva. Nejprve se spočítá množství mouky potřebné na celé období40 dnů, potom se vyjádří množství žádaného obilí ve dvojnásobnýchměřicích. Výsledku se tedy dosáhlo výpočtem ( 1

10 · 23 · 50)÷ 2.

Vykrmování hus. Muž sedící vpravo připravuje krmivo pro drůbež a odkládá je nanízký stolek před sebou. Jeho kolega pevně přidržuje vybranou husu, aby jí mohl

nacpat krmení do krku. Kagemniho hrobka v Sakkáře, 6. dynastie

59

R83: 4 husy spotřebují 1 henu, 1 husa spotřebuje x:

1 henu= 32 ro÷ 4 = 164 merice + 3 ro = x

116 + 1

32 merice + 2 ro = 32 ro = 1 henu

1 · 10 = 1 měřice

1 · 30 = 30 měřicNa začátku úlohy se vypočítá krmivo pro jednu husu, a to v jednotkáchměřice. Poté se i zadané množství krmiva pro čyři husy vyjádří v měři-cích. Výsledek se přepočítá pro deset dnů, přičemž 10 henu = 1 měřice,a poté ještě na měsíc, tedy 30 dnů. Za výpočtem následuje přehled růz-ných druhů drůbeže a množství krmiva odpovídajícího tomu kterémudruhu. Tato část úlohy nemá valný matematický význam, z hlediskahospodářského je však velice zajímavá.

Pasáci starající se o hovězí dobytek dopřávají zvířatům odpočinek poté, co je pře-vedli přes řeku. Hrobka Nefera a Kahaje v Sakkáře. 5. dynastie.

Úloha K6 v káhúnskémmatematickém papyru se nedochovala celá. V prvníčásti jsou uvedeny různé druhy drůbeže, z následujícího výpočtu se do-chovaly tyto kroky:

K6: . . .−1 = 11

100 − 45 = 55

55÷ 11 = 5

. . .

2 · 5 = 10

. . .Úloha snad počítá počet hus připadajících na určité časové období. In-tepretace výpočtu je však vzhledem ke stavu dochování velice obtížná.

Poslední matematická úloha v Rhindově papyru, R84, se podobá před-chozím příkladům, avšak zabývá se vykrmováním býků. Její intepretaceje poměrně obtížná. Pro různé druhy býků jsou zde uvedeny dvě hod-noty odpovídající dvěma druhům krmiva. Druhá část příkladu počításpotřebu krmiva v období 10 dnů a měsíce.

60

I.10 Stanovení kvality piva a chleba

Jednou z nejpočetnějších skupin úloh jsou příklady zabývající se pečenímchleba a vařením piva, které jsou zaznamenány v Rhindově a moskev-ském matematickém papyru.Chléb a pivo tvořily základ jídelníčku starých Egypťanů a jako ta-

kové zasluhovaly bezpochyby velkou pozornost. Úlohy věnující se jejichpřípravě se zaobírají různou kvalitou těchto produktů v závislosti napoužitém množství obilí (mouky). Kvalita produktu se označovala výra-zem pesu, který vyjadřoval počet chlebů nebo džbánů piva vyrobenýchz jedné měřice obilí.Některé příklady srovnávají hodnotu produktů na základě jejich kva-

lity, což v zásadě umožňovalo směnu piva a chlebů různých kvalit. Zá-roveň bylo určování kvality byrokratickým nástrojem, kdy se snadnoměřitelné množství obilí procesem vaření a pečení přeměnilo na zcelajiný produkt. Kvalita potom určovala přesný vztah výsledného produktuk jednotce evidovaného obilí.

Výroba chleba a piva

Nejjednodušší výpočty v této skupině se zabývají výrobou chleba a pivaze zadaného množství obilí či mouky. Úkolem je stanovit kvalitu nebopočet kusů. V Rhindově papyru najdeme dva příklady počítající nejenkvalitu pečeného chleba, ale také množství mouky odpovídající každémuupečenému kusu. Moskevský papyrus obsahuje několik úloh s rozdílněsložitým a různě formulovaným zadáním.Zajímavostí moskevského papyru je obohacování piva datlemi,18 jež

vedlo ke zvýšení podílu alkoholu. Tento proces se v úlohách popisujevýrazem „12 +

14 sladu pro datle�, který v zásadě znamená, že pro stejně

silné pivo se spotřebovalo poloviční množství obilí nebo že ze zadanéhomnožství obilí se získal dvojnásobný počet džbánů piva.

M15: vyrobit x džbánů piva kvality 2 z 10 měřic:

10 · 2 = 20Tato jednoduchá úloha ukazuje, jak se určuje množství piva uvařenéhoz určitého množství obilí při žádané kvalitě. Kvalita 2 znamená, že z kaž-dé měřice se uvaří dva džbány piva, tedy z 10 měřic je to 20 džbánů.

18O výrobě piva pojednává velmi podrobně např. D. Samuel, „Brewing and Ba-king, T. Nicolson, I. Shaw (eds.), Ancient Egyptian Material and Technology,Cambridge 2000, s. 537–576, ohledně přidávání datlí viz s. 556–557.

61

M12: vyrobit 18 džbánů piva kvality x z 13 měřic:

13 ÷ (2 + 16 ) = 6

18 ÷ 6 = 3Kvalita piva při zadaném množství obilí a žádaném počtu džbánů sespočítá rovněž velice snadno. Na rozdíl od předcházejícího příkladu sesíla piva zvyšuje přidáním datlí. Koeficient 2 + 1

6 odpovídá stavu, kdyse do směsi během vaření přidává stejné množství datlí, jako je sladu.

R69: 80 chlebů z 3 + 12 měřice mouky kvality x, každý chléb odpovídá

y měřic mouky:

80 ÷ (3 + 12 ) = 22 + 2

3 + 17 +

121

(22 + 23 +

17 + 1

21 ) · (3 + 12) = 80

3 + 12 měřice = 1 120 ro

1 120 ÷ 80 = 14 ro = 164 měřice + 3 ro

( 164 + 3) · 80 = 3 + 1

2 měřiceV této úloze se počítá nejen kvalita žádaných chlebů, ale také množstvímouky, které připadne na každý bochník. V prvním kroku výpočtu sehledá kvalita chleba, po dosažení výsledku následuje zkouška. V dalšímkroku se zadaná mouka převede na ro a spočítá se, že každý bochníkchleba odpovídá 14 ro mouky. Po převedení na měřici následuje zkouška.

R70: 100 chlebů z 7 + 12 + 1

4 + 18 měřice kvality x, každý chléb

odpovídá y měřic mouky.

100 ÷ (7 + 12 + 1

4 + 18 ) = 12 + 2

3 + 142 +

1126

(12 + 23 +

142 + 1

126 ) · (7 + 12 + 1

4 + 18 ) = 2 520

2 520 ÷ 100 = 25 + 15 ro =

116 + 1

64 měřice +15 ro

100 · ( 116 + 1

64 + 15 ) = 7 + 1

2 + 14 + 1

8 měřiceTento příklad je zadán podobně jako R69 a rovněž postup je stejný. Nej-prve se spočítá kvalita chleba a provede se zkouška. Podíl jednoho boch-níku se určuje nejprve v jednotkách ro. Převod zadaných 7+ 1

2 + 14 + 1

8měřice na ro není v úloze zazamenán. Toto opomenutí může souvisets chybným zapsáním výsledku první zkoušky, který má být 100, jako bypři opisování písař omylem přeskočil celý jeden krok výpočtu.

M9: vyrobit 100 chlebů kvality 20 a x džbánů piva kvality 2, 4, 6 z 16měřic:

100 ÷ 20 = 5 měřic

16− 5 = 11 měřic

62

12 +

14 + 1

6 = 23 +

14

(23 + 14 ) · 2 = 1 + 2

3 +14

11÷ (1 + 23 +

14) = 6 džbánů

V tomto případě se má vyrobit chleba jedné kvality a pivo tří různýchkvalit. Nejprve se spočítá, že ze zadaných 16 měřic obilí se 5 měřicspotřebuje na výrobu chleba. Na jeden džbán od každé kvality piva sespotřebuje 2

3 +14 měřice obilí, což při přidání datlí tvoří 1+

23 +

14 měřice.

Vydělením 11 měřic touto hodnotou se tedy získá celkový počet džbánůpiva.

M13: vyrobit 100 chlebů kvality 20 a x džbánů piva kvality 2, 4, 6 z 16

měřic:

100 ÷ 20 = 5 měřic

16− 5 = 11 měřic

1÷ 2 + 1÷ 4 + 1÷ 6 = 23 + 1

4

(23 + 14) · 2 = 1 + 2

3 + 16

11÷ (1 + 23 +

16 ) = 12 džbánů

Zadání je totožné s úlohou M9, avšak popis řešení se v některých částechliší. Poslední dělení navíc nepřináší správný výsledek, přesto však nakonci úlohy stojí fráze „nalezl jsi správně�.

M22: vyrobit 100 chlebů kvality x a 10 džbánů piva kvality 2 z 10 měřic

10÷ 2 = 5

10 = 5 = 512 · 5 = 2 + 1

2Úloha je pravděpodobně nedokončená. Nejprve se spočítá spotřeba obilípro normální pivo, potom se však přepočítává kvůli obohacení datlemi.Kvalita chlebů se již nedopočítá. Kvalita sta chlebů by nicméně vychá-zela 13 + 1

3 .

M24: vyrobit 200 chlebů kvality x a 10 džbánů piva kvality y z 15 měřic

tak, aby y = x10

1÷ 110 = 10

10 · 10 = 100

100 + 200 = 300

300 ÷ 15 = 20 = x110 · 20 = 2 = y

V tomto případě je zadán počet žádaných chlebů a džbánů piva a poměrmezi kvalitami obou produktů. Řešení odpovídá vztahu 200

x + 10y = 15,

63

tedy 200x + 100

x = 15. Jako první se získá kvalita chleba, potom je jižsnadné spočítat kvalitu piva.

Mísení a změna kvality hotového produktu

Změna kvality či mísení hotových produktů vyžadovala spočítání kvalityvýsledné směsi. Takovým výpočtem se zabývá jedna úloha v Rhindověpapyru a jedna úloha v moskevském papyru. Praktický význam takovýchpříkladů je zcela nepochybný.

R71: čtvrtina džbánu piva byla odlita a doplněna vodou

1÷ 2 = 12

12 − 1

4 · 12 = 1

2 − 18 = 1

4 + 18

1÷ (14 + 18) = 2 + 2

3Nejprve se spočítá množství obilí, z něhož se uvařil zadaný džbán piva(kvality 2), což je polovina měřice. Od tohoto množství se odečte odlitáčtvrtina. Výsledné pivo tedy bylo uvařeno z 1

4 + 18 měřice obilí, což

odpovídá kvalitě 2 + 23 .

Pečení chlebů. Sedící žena s nemluvnětem na klíně prohrabuje oheň pod hliněnýmichlebovými formami, které na sebe skládá její pomocnice. Třetí žena plní rozehřá-té formy přichystaným těstem. Hrobka Nianchchnuma a Chnumhotepa v Sakkáře,

6. dynastie

M21: 20 chlebů z 18 měřice, 40 chlebů z

116 měřice, každý chléb v průměru

odpovídá x měřicím18 · 20 = 2 + 1

2 měřice116 · 40 = 2 + 1

2 měřice

2 + 12 + 2 + 1

2 = 5

20 + 40 = 60

5÷ 60 = 116 merice = x

64

Nejprve se spočítá množství obilí odpovídající oběma kvalitám chlebů.Jejich součet udává celkové množství obilí použité k výrobě zadanéhoobětního pečiva. Když se potom obilí vydělí celkovým počtem chlebů,vyjde průměrné množství na jeden chléb z celkového počtu, tedy 1

12měřice. Písař však ve výsledku chyboval.

Srovnání chlebů různých kvalit

Další skupina úloh v Rhindově matematickém papyru srovnává početchlebů rozdílných kvalit. Úlohy přitom ukazují dvě různé metody řešenítohoto problému, a to buď s využitím množství obilí potřebného k výroběchlebů, nebo vzájemného poměru mezi oběma kvalitami chlebů.

R73: 100 chlebů kvality 10 odpovídá x chlebům kvality 15

100 ÷ 10 = 10

10 · 15 = 150 = xNejprve se stanoví množství mouky, ze kterého se vyrobily chleby prvníkvality. Poté se snadno spočítá, na kolik chlebů kvality 15 toto množstvívystačí.

R72: 100 chlebů kvality 20 odpovídá x chlebům kvality 45

45− 10 = 35

35÷ 10 = 3 + 12

100 · (3 + 12) = 350

350 + 100 = 450 = xV tomto případě se stejný problém počítá složitější metodou, a to přesrozdíl kvalit obou druhů chlebů. Tento rozdíl, tedy 35, vyžaduje upra-vení kvality koeficientem 3+ 1

2 , čili pro kvalitu 45 se vyrobí o 350 chlebůvíce než pro původní kvalitu. Tento výpočet je oproti předchozímu pří-kladu složitější, na druhou stranu však nabízí druhou možnost řešenítéže úlohy.

R74: 1 000 chlebů kvality 5 odpovídá x chlebům kvality 10 a y chlebům

kvality 20

1 000 ÷ 5 = 20012 · 200 = 100

100 · 10 = 1000 = x

100 · 20 = 2000 = yV této úloze se zadané chleby přepočítávají na dvě jiné kvality chlebů.Nejprve se spočítá množství mouky potřebné na výrobu zadaného chleba.

65

Na každou novou kvalitu potom připadne stejné množství, tedy polovinaz této mouky. Určit počet výsledných chlebů je již snadné.

R75: 155 chlebů kvality 20 odpovídá x chlebům kvality 30

155 ÷ 20 = 7 + 12 +

14

(7 + 12 + 1

4) · 30 = 232 + 12

Úloha je podobná příkladu R73, avšak čísla, s nimiž se zde počítá, nejsoutak výhodná.

R76: 1 000 chlebů kvality 10 odpovídá x chlebům kvality 20 a x chlebům

kvality 30

1 000 ÷ 10 = 100 měřic120 + 1

30 =2+ 1

230

30 ÷ (2 + 12 ) = 12

100 · 12 = 1200 = xZadání se podobá úloze R74, avšak z výpočtu vyplývá, že na rozdíl od níse v tomto případě má vyrobit stejný počet chlebů obou kvalit. Nejprvese spočítá množství mouky, které odpovídá zadaným chlebům. Potomse pokračuje podle vztahu 100 = 1

20x+ 130x, čili x = 100÷ 1

12 . V závěruje ještě uvedeno, kolik mouky se spotřebuje na každou kvalitu chlebů,tedy 60 měřic na kvalitu 20 a 40 měřic na kvalitu 30.

Srovnání chleba a piva různých kvalit

Obdobně jako se v předchozí skupině srovnávaly různé kvality chlebů,bylo možné stejným způsobem porovnat chleba vůči pivu. Tyto příkladymůžeme najít v Rhindově a moskevském papyru. Postup řešení všechtěchto úloh využívá množství obilí či mouky potřebné k výrobě zadanýchproduktů.

R77: 10 džbánů odpovídá x chlebům kvality 5

10 ÷ 2 = 5

5 · 5 = 25 = xKvalita zadaného piva není výslovně uvedena, z výpočtu však plyne, žebyla rovna 2. Pivo odpovídá 5 měřicím mouky, z nichž lze vyrobit 25chlebů požadované kvality.

R78: 100 chlebů kvality 10 odpovídá x džbánům piva kvality 2

100 ÷ 10 = 10

10 · 2 = 20 = x

66

V tomto příkladu je zadání obrácené. Nejprve se stanoví množství moukypotřebné k výrobě zadaných chlebů a v dalším kroku se spočítá početodpovídajících džbánů piva.

M5: 100 chlebů kvality 20 odpovídá x džbánům piva kvality 4

100÷ 20 = 512 · 5 = 2 + 1

2

(2 + 12) · 4 = 10 = x

Stejně zadaná úloha navíc počítá s úpravou kvality piva, což je operacetypická pro moskevský papyrus. Nejprve se spočítá množství obilí čimouky potřebné k výrobě zadaných chlebů. Toto množství se potomvydělí dvěma, protože pivo se obohacuje datlemi. Jinými slovy, početdžbánů, které svou hodnotou odpovídají zadaným chlebům, se vyrobíz polovičního množství obilí. Jejich počet je potom snadné stanovit.

M8: 100 chlebů kvality 20 odpovídá x džbánům piva kvality 4

100÷ 20 = 515 · 5 = 2 + 1

2

(2 + 12) · 4 = 10 = x

Tento příklad je totožný s úlohou M5. Zadání i řešení se nijak neliší,jediným rozdílem jsou trochu odlišné formulace v popisu řešení úlohy.

Písař zapisuje množství vyrobeného chleba a piva, které před ním ukládají do při-pravených nádob představený skladů chleba a představený skladů piva. Nikauisesi-

ho hrobka v Sakkáře, 6. dynastie

Počítání hodnoty piva

Dva příklady v moskevském matematickém papyru přepočítávají pivovyrobené z ječmene na určité množství pšenice odpovídající hodnoty.Přitom cena měřice pšenice odpovídá ceně 2+ 1

2 měřice ječmene. Postup

67

řešení se v obou příkladech liší, první příklad při výpočtu využívá celkovémnožství obilí potřebné na vyrobení zadaných produktů, zatímco druhýpříklad se řeší přes množství připadající na jednotlivý bochník.

M16: 1 džbán piva kvality 2 má hodnotu x měřic pšenice

1÷ 2 = 12 měřice

12 · 2 = 1 měřice

1÷ (2 + 23) =

14 +

18

(14 + 18) · 1 merice = 1

4 + 18 merice = x

První dva kroky výpočtu počítají množství ječmene, z něhož se vyrobízadaný džbán piva obohacený o obvyklý přídavek datlí. Výsledná měřicese poté vydělí zadaným poměrem mezi hodnotou pšenice a ječmene a vý-sledek se nakonec převede na zlomky Horova oka.

M20: 1 000 chlebů kvality 20 má hodnotu x měřic pšenice

(2 + 23 )÷ 20 = 1

5 · 23

15 · 2

3 · 1 000 = 133 + 13 merice = x

133 + 13 = 133 + 1

4 + 116 + 1

64 měřice +23 ro

První krok vyjadřuje hodnotu pšenice vůči každé jednotce ječmene.Výsledkem se potom vynásobí zadaný počet chlebů. Takto se vyjádřímnožství pšenice v určitém množství ječmene, které odpovídá zadanémumnožství chlebů. Nakonec se výsledek převede na měřice, přičemž provyjádření 13 měřice se využívá znalostí, jež jsou zachyceny na dřevěnýchtabulkách z Achmímu (viz oddíl I.3).

68

I.11 Staroegyptská matematika

Znalosti staroegyptských písařů musely být větší, než jak je zachycujístránky matematických papyrů. Texty, které ze starého Egypta známea jež máme možnost zkoumat, byly převážně určeny k výuce egyptskýchpísařů, a zachycují tedy základní znalosti vyučované v písařských ško-lách.Rhindůvmatematický papyrus byl příručkou, podle které snad mohlo

probíhat vyučování ve staroegyptské písařské škole. Jde o nejrozsáhlejšímatematický text ze starého Egypta, který zachycuje nejen nejvíce úloh,ale také poskytuje největší rozmanitost, co se týče řešených matematic-kých problémů i témat popisovaných slovních úloh. Obsah Rhindova pa-pyru je uspořádán tematicky a témata jsou řazena podle obtížnosti tak,jak postupně probíhala výuka, od počítání se zlomky až po praktickyzaměřené úlohy připravující žáčky na písařskou praxi. Některé úlohypočítají s poměrně obtížnými hodnotami, např. zlomky se jmenovate-lem v řádech stovek či dokonce tisíců. Rozdílná forma určitých typů úlohnaznačuje, že příklady v Rhindově papyru mohou pocházet z několikarůzných předloh.Moskevský matematický papyrus rovněž souvisel s výukou matema-

tiky. Zdá se, že předloha, podle níž byl opsán, měla procvičit znalostiněkterého školáka podobou testu. Příklady zahrnují celou škálu obtíž-nosti a jsou uspořádány tak, že se různé matematické problémy střídají.Hodnoty, se kterými se v moskevském papyru počítá, jsou vesměs pří-větivé.Káhúnské papyry i zlomky papyru z berlínského muzea jsou příliš

špatně dochovány na to, abychom mohli usoudit něco více o jejich po-vaze. Z formálního hlediska i svými tématy nicméně blízce připomínajíúlohy z Rhindova a moskevského papyru a není třeba pochybovat, žepůvodně byly součástí podobných sbírek úloh.Za pozornost stojí, že se v různých textech setkáváme se zcela totož-

nými úlohami, např. M4 a R51. Lze tedy usuzovat, že mohly existovaturčité vzorové soubory příkladů doporučené k výuce, a že tedy autořinašich dochovaných textů mohli každý ve své době a v místě svého pů-sobení čerpat z podobných pramenů.Přestože texty popsané a přeložené v této knížce jsou nejstaršími

dochovanými matematickými texty ze starého Egypta, znalosti v nichzachycené musejí být mnohem starší. Matematické znalosti se formovalyna počátku egyptských dějin ve stejné době, kdy se vytvářelo písmoa pokládal se základ nejstaršího egyptského státu. Počátky egyptskématematiky souvisely s potřebou organizace a správy rodící se země.

69

Hospodářství vyžadovalo pravidelnou kontrolu úrody, počítání výše od-váděných daní v závislosti na výši každoročních nilských záplav; s tímsouviselo přeměřování polí a odhadování objemu úrody, jež se měla skli-dit a uložit v sýpkách. Hlavním účelem veškerého snažení byla centra-lizovaná kontrola a redistribuce vešekeré produkce země. Proto museliegyptští písaři velmi záhy zvládnout řešení nejrůznějších algebraickýchi geometrických problémů. Základním předpokladem přitom bylo doko-nalé ovládnutí číselného systému, zlomků a matematických operací, jimžse věnuje nemalá část dochovaných textů. Úlohy počítající sklon pyra-mid nebo jejich objem se jistě řešily nejpozději na počátku 4. dynastie(27. století př. Kr.).Dochované texty zachycují nejběžnější znalosti egyptských písařů,

které byly zapotřebí k běžné administrativní práci. Na vyobrazeníchv egyptských hrobkách ze všech období můžeme spatřit důstojné pí-saře sepisující záznamy o všem, co se děje – počínaje sklizní a úrodoua konče ukládáním hotových výrobků pohřební výbavy do hrobky ma-jitele. Stejně probíhala byrokratická praxe na všech úrovních egyptskéspolečnosti od vesnických komunit až po státní paláce a velké chrámy.Výmluvným svědkem o každodenní písařské rutině je množství docho-vaných účetních záznamů, které do nejmenších podrobností zachycovalychod státních institucí i menších statků.

Správci statků jsou v poníženém postavení přiváděni k vyúčtování; čelí přitom hru-bému zacházení dozorců. Písaři pořizují podrobný záznam o celé záležitosti. Cejova

hrobka v Sakkáře, 5. dynastie

V závislosti na postavení písaře a povinnostech, které musel ve svémúřadu plnit, se zvyšovaly také nároky na jeho znalosti. Písaři tvořili elituegyptské společnosti a potřeby jejich úřadů přirozeně přímo souviselys mírou vzdělání nad základní rámec. Určitou představu o povinnostechvýznamnějších úředníků, kteří zodpovídali za organizování lidí, pláno-vání prací, za stavby královských hrobek a dalších památek, poskytujínepřímo samotné monumenty. Výmluvnější náznak můžeme najít v jed-

70

nom dopisu z Nové říše19 (13./12. stol. př. Kr.), kde autor oslovuje svéhokolegu písaře a snaží se poukázat na nedostatek jeho znalostí tím, že mupředkládá úlohy k řešení. Tento satirický dopis, ačkoli není matematic-kým textem, odhaluje celou škálu znalostí, jež patřily k požadavkůmna úspěšné plnění úřednické práce. Zmiňované úkoly zahrnují hloubeníjezírka, postavení rampy, vztyčení sochy, přepravu obelisku, vybavenía zaopatření vojenské výpravy, ale také například znalost asijské geo-grafie.

Vážení kovové suroviny. Vlevo sedící písař pečlivě zapisuje údaje, které jeho kolegaodměřuje na vahách. Kaemrehova hrobka v Sakkáře, 5. dynastie

Egyptská matematika měla praktický náboj a vycházela z potřebstaroegyptské společnosti. Většina příkladů, které jsou popsány v docho-vaných matematických textech, je zadána v podobě slovních úloh, ježodkazují na rozmanité momenty každodenního života starých Egypťanůa poodhalují roušku rutinní úřednické práce. Za praktickým zadánímúloh se však neskrývají skutečné případy. Podíváme-li se na příkladyblíže, je patrné, že se ve většině případů jedná o teoretické úlohy s kon-krétní formou. Potvrzují to nejen čísla, která se v úlohách objevují (např.složité rozklady zlomků pro rozdělování chlebů), ale také skutečnost, ženěkteré skupiny úloh počítají stejný problém zadaný z různých hledisek.Tak tomu je například v případě počítání obsahů plochy, objemů tělesa sklonu pyramid.Co však v textech zcela chybí, jsou obecně formulovaná pravidla.

Určité náznaky teoretických úvah se nicméně projevují ve výpočtechobsahu rovnoramenného trojúhelníku ve frázi „abys udal jeho obdélník�či v úloze R61B, kde se praví „ať se počítá podobně pro každý lichýzlomek, který se vyskytne� (podobně také v úloze R66).

19Tento text je znám pod názvem papyrus Anastasi I a je uložen v Britském muzeuv Londýně (BM 10247). A. H. Gardiner, Egyptian Hieratic Texts, Leipzig 1911.

71

Texty, které jsou zahrnuty v této knížce, nám neprozrazují, jak da-leko zašli staroegyptští písaři ve svém poznání zákonitostí matematiky.Dochované příklady se omezují na úlohy spojené s výukou, které na jednéstraně ukazují velkou rozmanitost problémů i metod počítání a prezen-tují matematiku v kontextu administrativních potřeb společnosti, nadruhé straně však nevěnují pozornost obecně platným pravidlům, de-finicím, tvrzením a jejich důkazům. Můžeme se domnívat, že systémzápisu čísel a především zlomků mohl přispět k určitému omezení vý-voje matematického vědění, či k jeho stagnaci na určité úrovni. Zároveňvšak nemůžeme zcela vyloučit, že v chrámových knihovnách, kde se shro-mažďovaly, uchovávaly a opisovaly rukopisy obsahující vědění z různýchoborů, se učení kněží a písaři zabývali jinou úrovní matematiky. Snadkvůli silně prakticky zaměřené povaze staroegyptské společnosti všaknebylo myslitelné teoretické vědění všeobecně šířit, jelikož pro vykoná-vání úřednických povinností plně postačovalo umět používat analogienaučených příkladů.

72

Část II

Překlady hieratickýchmatematických textů

II.1 Moskevský matematický papyrus

Papyrus pochází z pohřebiště v Dra Abú en-Naga v oblasti dnešníhoLuxoru, kde jej roku 1892/93 nebo 1893/94 zakoupil V. S. Goleniščev.20

Od roku 1921 je rukopis uložen v Puškinově muzeu krásných uměnív Moskvě (inv. č. 4676).Moskevský papyrus byl sepsán za 13. dynastie, některé formy hiera-

tických značek nicméně naznačují, že jeho předloha mohla pocházet jižz doby 12. dynastie.Původní rozměry svitku se odhadují na 544×8 cm, dnes však sestává

z jednoho většího kusu o 11 listech a z 9 malých fragmentů.Text je uspořádán do 45 sloupců, z nichž každý obsahuje nejvýše 8

řádků písma. Sloupce jsou v překladu vyznačeny římskými číslicemi. Napapyru je zapsáno 25 matematických úloh, které mají jednotnou formua některé z nich se opakují.

Literatura:V. V. Struve, Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums derschönen Künste in Moskau, O. Neugebauer, J. Stenzel, O. Toeplitz(Hg.), Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astrono-mie und Physik, Abteilung A: Quellen, Bd1, Berlin 1930

A. Imhausen,Rechnungen aus dem Niltal – Probleme ägyptischer Mathe-matik am Beispiel des mathematischen Papyrus Moskau, diplomová práce,Freie Universität Berlin 1996

20V. S. Goleniščev, egyptolog ruského původu, ze svých četných cest do Egyptapřivezl množství starožitností, které dnes tvoří součást sbírky moskevského muzea.Po revoluci se do vlasti již nikdy nevrátil.

75

M1

I

. . . co vstoupí. . .

. . . co vstoupí. . .

. . . vyjde 5

. . .

M2

II

Metoda výpočtu kormidla z. . .

Řekne-li se ti: kormidlo z. . .

Udej mi. . .

. . .

M3

III

Metoda výpočtu stěžně ze dřeva aš.

Řekne-li se ti: stěžeň ze dřeva aš, 30 loktů

dlouhý. [Jaká je 13

15 jeho délky?] Spočítej

13

15 z těch 30,

[vyjde 16. . . hle, získal jsi]

[hledanou délku. Nalezl jsi] správně.

M4

IV

[Metoda] výpočtu (obsahu) trojúhelníkové plochy.

[Řekne-li se ti:] trojúhelník, jehož výška je 10

a základna 4. Udej mi (obsah)

jeho plochy. Spočítej 12 ze 4, je to 2,

pro udání jeho obdélníku. Počítej s 10 2krát,

vyjde 20. To je (obsah) jeho plochy.

76

V

10

24

1 4 1 [10]12 2 \2 [20]

M5

VI

Metoda výpočtu 100 chlebů (kvality) 20

Řekne-li se ti: 100 chlebů (kvality) 20

převést na pivo kvality 4.

[1214 Spočítej] podíl

[těch 100 chlebů] (kvality) 20, vyjde 5.

[Počítej s 12

14 , až najdeš 1,

vyjde 12 .]

VII

Spočítej12 z 5, vyjde

2 12 . Počítej

s 2 12 4krát,

vyjde 10.

Hle, to je příslušné pivo.

Nalezl jsi správně.

M6

VIII

Metoda výpočtu pravoúhelníku

Řekne-li se ti: pravoúhelník o (obsahu) plochy 〈12〉, kde 12

14 z délky

přísluší šířce.

Počítej s 12

14 , až najdeš 1, vyjde 1

13 .

Počítej s těmito 12, což je (obsah) plochy, 1 13krát, vyjde 16.

77

Spočítej odmocninu (z toho), vyjde 4 pro délku, 12

14 , je to 3, pro

šířku. Postup:124

3\1 4

\2 16

M7

IX

Metoda výpočtu trojúhelníku.

Řekne-li se ti: trojúhelník o (obsahu) plochy 2, s poměrem stran 2 12 .

Zdvojnásob (obsah) plochy, vyjde 40. Počítej (s tím) 2 12krát,

vyjde 100. Spočítej (z toho) odmocninu, vyjde 10. Proveď 1÷ 2 12 ,

to, co vyjde, je 13

115 . Spočítej to z 10, vyjde 4.

Je to 10 na délku, 4 na šířku.

M8

X

Metoda výpočtu 100 chlebů (kvality) 20.

Řekne-li se ti: 100 chlebů (kvality) 20

převést na pivo, jež má kvalitu 4;12

14 sladu pro datle.

Spočítej podíl těch 100 chlebů kvality 20,

vyjde 5 . Počítej s 12

14 sladu

pro datle, až najdeš 1, vyjde 12 .

XI

Spočítej 12 z 5, vyjde 2

12 .

Počítej s 2 12 4krát,

vyjde 10. Toto (tedy) řekni:

Hle, to je příslušné pivo. Nalezl jsi správně.

M9

XII

Metoda výpočtu měřic hornoegyptského ječmene na chleba a pivo.

Řekne-li se ti: 16 měřic hornoegyptského ječmene převést na 100

78

chlebů (kvality) 20,

zbytek na pivo (kvality) 2

4

612

14 sladu pro datle.

XIII

Spočítej podíl těch 100 chlebů (kvality) 20,

vyjde 5 měřic hornoegyptského ječmene. Spočítej zbytek

z těch 16 měřic hornoegyptského ječmene, vyjde 11 měřic hornoegypt-

ského ječmene.

Řekni mu: 11 měřic hornoegyptského ječmene je to, co se převede na

XIV

pivo (kvality) 2

4

612

14 sladu pro

datle.

XV

Spočítej podíl toho, co má kvalitu 2, vyjde 12 .

Spočítej podíl toho, co má kvalitu 4, vyjde 14 .

Spočítej podíl toho, co má kvalitu 6, vyjde 16 .

Sečti to, vyjde 23

14 .

Počítej s 23

14 2krát, neboť bylo řečeno:

XVI12

14 sladu

pro datle,

vyjde 1 23

14 .

Počítej s 1 23

14 ,

až najdeš těch 11,

XVII

jež vyšly jako zbytek z těch 16 měřic hornoegyptského ječmene za těmi

5 měřicemi hornoegyptského ječmene,

vyjde 6. Řekni mu: hle, to je to, co mu bylo přineseno pro všechny

79

kvality.

Je to 6 džbánů piva, co jsi udal pro všechny kvality.

Nuže poznej to: to je to, co jsi nalezl.

Postup. Nalezl jsi správně.

M10

XVIII

Metoda výpočtu koše.

Řekne-li se ti: koš 〈o 4 12〉 v tep-r

ku 4 12 na adž. Nuže,

udej mi jeho plochu. Spočítej19 z 9, neboť koš

je 12 . . . , vyjde 1.

XIX

Spočítej zbytek, je to 8.

Spočítej 19 z 8,

vyjde 23

16

118 . Spočítej

zbytek z těch 8 za

těmi 23

16

118 , vyjde 7

19 .

XX

Počítej se 7 19 4 1

2krát,

vyjde 32. Hle, toto je jeho plocha.

Nalezl jsi správně.

M11

XXI

Metoda počítání prací výrobce peh. džu.

Řekne-li se ti: práce výrobce peh. džu.

Množství jeho práce jako výrobce peh. džu je 100,

jež odpovídají 5 dlaním.

Udělá z toho peh. džu

odpovídající 4 dlaním. Počítej s těmi 5 dlaněmi v mocnině, vyjde

25. Počítej s těmi 4 dlaněmi v mocnině, vyjde 16.

80

XXII

Počítej s těmi 16, až najdeš 25,

vyjde 12

116 . Počítej se 100 tolikrát,

vyjde 156 14 . Řekni mu: Hle,

to je peh. džu, které přinesl, odpovídající 4 dlaním.

Nalezl jsi správně.

M12

XXIII

Metoda výpočtu 13 měřic hornoegyptského ječmene.

Řekne-li se ti: 13 měřic hornoegyptského ječmene převést na

18 džbánů piva, je-li sladu

stejně jako datlí. Hle,

sladu je stejně jako datlí,

(tedy) 2 16 . Počítej s 2

16 , až

najdeš těch 13 . Hle, bylo řečeno 13,

to je těch 13 měřic. Vyjde 6krát.

XXIV

Počítej se 6, až najdeš 18,

vyjde 3krát. Hle, to je

kvalita 3. Nalezl jsi správně.

M13

XXIV

Metoda výpočtu 16 měřic hornoegyptského ječmene.

Převést na 100 chlebů (kvality) 20, zbytek na

pivo (kvality) 2

4

6

XXV12

14 sladu pro datle.

Spočítej podíl těch 100 chlebů (kvality) 20,

vyjde 5 . Spočítej zbytek ze 16

81

za 5 , vyjde 11 . Proveď

dělení 1 těmi velikostmi kvalit,

vyjde 23

14 . Počítej s

23

14 2krát,

XXIV

neboť bylo řečeno: 12

14 sladu pro datle,

vyjde 1 23

16 . Počítej s těmi 1

23

16 , až

najdeš 11 , vyjde 12krát. Řekni mu:

toto je příslušné pivo. Nalezl jsi správně.

M14

XXVII

Metoda výpočtu

Řekne-li se ti: o výšce 6,

dolní základně 4 a horní základně 2.

Spočítej tyto 4 v mocnině, vyjde 16.

Zdvojnásob 4, vyjde 8.

Spočítej tyto 2 v mocnině, vyjde 4.

XXVIII

Sečti těch 16

s těmi 8 a těmi 4,

vyjde 28. Spočítej13 z 6, vyjde 2. Počítej

s 28 2krát, vyjde 56.

Hle, je to 56. Nalezl jsi správně.

XXIX

2 přijde 4

566

44

1 28

2 13 2 56

přijde 16, 8 celkem 28.

82

M15

XXX

Metoda výpočtu 10 měřic hornoegyptského ječmene.

Řekne-li se ti: 10 měřic hornoegyptského ječmene

převést na pivo, jež má kvalitu 2.

Nuže, udej mi (množství)

piva. Počítej s těmi 10

2krát, vyjde 20. Hle,

(je to) 20 džbánů piva. Nalezl jsi správně.

M16

XXXI

Metoda výpočtu džbánu piva kvality 2.

Řekne-li se ti: džbán piva kvality 2,12

14 sladu pro datle, převést na

pšenici, odměřit 2 23 . Spočítej

potřebu toho džbánu kvality 2,

vyjde 12 . Počítej s tím 2krát,

vyjde 1. Počítej s 2 23 , až najdeš 1,

XXXII

vyjde 14

18 . Spočítej

14

18 z 1, vyjde

14

18 .

Řekni mu: hle, to je ono.

Nalezl jsi správně.

M17

XXXIII

Metoda výpočtu trojúhelníku.

Řekne-li se ti: trojúhelník, jehož (obsah) plochy je 20.

Udáš-li jeho délku, udej 13

115 , to bude na šířku.

Zdvojnásob 20, vyjde 40.

Počítej s 13

115 , až najdeš 1, vyjde 2

12krát.

Počítej se 40 2 12krát, vyjde 100. Spočítej odmocninu z toho,

83

XXXIV

vyjde 10. Hle, je to 10 na délku. Spočítej 13

115

z 10, vyjde 4. Hle, je to 4 na šířku.

Nalezl jsi správně.

211

13

115 4

40 [2]2

1 40

\2 80

\[12 ] 20, celkem 100, odmocnina 10

M18

XXXV

Metoda výpočtu části látky (o rozměrech) 5 (loktů) 5 dlaní a 2 dlaně:

přepočíst na plochu.

Řekne-li se ti: pruh látky (o rozměrech) 5 (loktů) 5 dlaní a 2 dlaně:

přepočíst na plochu.

Udej mi tedy (obsah) jeho plochy. Převeď

těch 5 (loktů) a 2sic dlaní na dlaně, vyjde 35, jako těch 5,

vyjde 10, jako ten pruh. Počítej s 31sic(35 ) a s 10 80krát.

M19

XXXVI

Metoda výpočtu množství. To, co se spočítá 1 12krát se

4 tak, aby to přišlo k 10, je množství, o kterém se hovoří.

Spočítej velikost těch 10 nad těmi 4, vyjde 6.

Počítej s 1 12 , až najdeš 1, vyjde

23 . Spočítej

23 z těch 6, vyjde 4. Hle, 4 je to,

oč se jedná. Nalezl jsi správně.

84

M20

XXXVII

Metoda výpočtu 1 000 chlebů (kvality) 20.

Řekne-li se ti: 1 000 chlebů (kvality) 20, převést na pšenici.

Udej mi (množství) pšenice. Počítej: vyděl 20, až najdeš 2 23 ,

vyjde 15 ze

23 . Spočítej

15 ze

23 z těch 1 000, vyjde 133 1

3 .

Převeď to na měřice hornoegyptského ječmene, vyjde 133 14

116

164

a 23 ro.

M21

XXXVIII

Metoda výpočtu mísení obětního chleba.

Řekne-li se ti: 20 odměřit 18 , 40 odměřit

116 .

Spočítej 18 z 20, neboť

18 je

18 ,

vyjde 2 12 . Spočítej

116 ze 40, neboť

116 je

116 , vyjde 2

12 . Sečti

obojí, vyjde 5. Sečti

XXXIX

obojí, vyjde 60. Proveď dělení 5÷ 60,

vyjde 116sic. Hle, smícháno 1

16 . Nalezl jsi správně.

M22

XL

Metoda výpočtu 10 měřic hornoegyptského ječmene.

Řekne-li se ti: 10 měřic hornoegyptského ječmene

převést na 100 chlebů, není-li známa jejich kvalita,

zbytek na 10 (džbánů) piva (kvality) 2; 12

14 sladu pro datle.

Hle, 12

14 sladu pro datle.

Hle, je to 2, spočítej podíl těch 10 džbánů piva (kvality) 2,

vyjde 5 . Spočítej zbytek těch 10 za těmi 5 měřicemi hornoegyptského

ječmene,

85

XLI

vyjde 5 . Počítej s těmi 12

14 sladu pro datle, až najdeš 1.

Hle, 12

14 sladu pro datle a (kvalita) je 2. Vyjde

12 . Spočítej

12 z 5,

vyjde 2 12 .

M23

XLII

Metoda počítání prací výrobce sandálů.

Řekne-li se ti: práce výrobce sandálů: když řeže,

je to 10 za den; když dokončuje, je to 5 za den.

Když řeže i dokončuje, kolik udělá

za den? Sečti dobu těch 10 s těmi 5,

vyjde celkem 3. Počítej s tím, až najdeš 10, vyjde 3 13krát.

Hle, 3 13krát je to pro jeden den. Nalezl jsi správně.

M24

XLIII

Metoda výpočtu 15 měřic hornoegyptského ječmene.

Řekne-li se ti: 15 měřic hornoegyptského ječmene převést na 200

chlebů,

zbytek na 10 (džbánů) piva tak, aby kvalita piva byla 110 kvality

chleba.12

14 sladu pro datle. Počítej s

110 , až najdeš 1,

vyjde 10krát. Počítej s těmi 10 džbány piva

10krát, vyjde 100. Sečti těch 100 a těch 200,

vyjde 300. Počítej s 15 , až najdeš 300, vyjde 20krát.

XLIV

Hle, 20 je kvalita těch 100 chlebů.

Spočítej 110 z těch 20, vyjde 2.

Hle, těch 10 džbánů piva má kvalitu 2.

Nalezl jsi správně.

86

M25

XLV

Metoda výpočtu množství. To, co se spočítá 2krát 〈a jednou〉 se 4 tak,aby to přišlo k 9,

je to, o čem se hovoří. Sečti to množství a ty dvě,

vyjde 3. Počítej s těmi 3, až najdeš 9, vyjde 3krát.

Hle, 3 je to, o čem se hovoří. Nalezl jsi správně.

87

II.2 Fragmenty papyrů nalezené v Káhúnu

Několik zlomků papyru nesoucích matematické výpočty bylo nalezeno

při vykopávkách v pyramidovém městě Káhúnu během roku 1889 spolu

s mnoha dalšími texty nejrůznějšího charakteru. Papyry s matematic-

kými výpočty jsou dnes uloženy v Petrieho muzeu egyptské archeolo-

gie na University College London (UC32118B, UC32134A, UC32134B,

UC32159, UC32160, UC32161, UC32162).

Texty je možné datovat do 12. dynastie, protože káhúnské sídliště

bylo úzce spjato s pyramidovým komplexem panovníka Senusreta II.

v Láhúnu a prokazatelně bylo opuštěno nejpozději na sklonku 12. dy-

nastie.

Matematické výpočty se dochovaly na pěti zlomcích papyru, které

jsou popsány jen z jedné strany. V některých případech se jedná o pa-

limpsest. Největší z těchto fragmentů měří 41× 14, 2 cm.

Dochovalo se 8 úloh řešících různé matematické problémy. Písmo je

dosud celkem dobře čitelné, zlomky jsou však na mnoha místech po-

ničeny a některé z výpočtů jsou tak špatně dochovány, že není možné je

plně rekonstruovat.

Literatura:

F. L. Griffith, Hieratic Papyri from Kahun and Gurob (Principally of

the Middle Kingdom), London 1898

88

K1

2 3 23 2

5 13 1 2

3115

13

7 14 1 1

214

128

14

9 16 1 1

2118

12

11 16 1 2

316

166

16

13 18 1 1

218

152

14

1104

18

15 110 1 1

2130

12

17 112 1 1

3112

151

13

168

14

19 112 1 1

2112

176

14

1114 [16 ]

21 114 1 1

2142

12

K2 K2’

12

131365 8

\1 256 110 \1 13

112

23 8 2 512 13 2

3112 2 2

316

13 4 \4 1024 12 2

316

112 4 1 2

3

celkem 16 23 85 1

3 12 112 \8 3 1

3

\ 1 16 celkem 1365 13 11 1

6112 celkem 3 2

3112

\10 160 10 13

112

\ 5 80 9 13

16

112

celkem 256 8 23

112

7 23

16

112

7 112

6 16

112

K3

925 157 13

7 . . . 8 453 13

7 . . . 9 533 13

5 . . . 98 23

18

116

47 . . . 42 23

89

44 . . . 3 16

209 2 . . .112

K412 . . .

14 , zbytek [5].

Kdo to říká? Spočítej [velikost 1]

za 12

14 , vyjde

14 . Počítej s

14 ,

až najdeš 1, vyjde 4krát.

Počítej s 5 4krát, vyjde 20.

20 to říká.

K5

Metoda počítání toho, co je v knihách

. . .

. . .

. . . z těch. . .

Počítej s těmi 40 3krát,

vyjde 120. Spočítej110 ze 120, vyjde 12.

Počítej s tou 12

14 , až najdeš 1,

vyjde 1 13krát. Počítej

s těmi 12 1 13krát, vyjde 16.

Spočítej odmocninu (z toho), je to 4. Spočítej12

14 ze 4, vyjde 3.

Vyjde 10 pravoúhelníků 4 ku 3 loktům.

K6

Počítání produkce drůbeže.

Potřeba produkce: 100 (kusů) drůbeže,

konečné vyúčtování z této potřeby drůbeže.

90

husy 8 [3]

ptáci cerep 4 [3]

ptáci dedžen 2 [3]

kachny ostralky 1 [3]

odečíst 1. . . ,

zbytek 11. Spočítej velikost 100

za 45, vyjde 55. Počítej

s těmi 11, až najdeš 55,

vyjde 5krát.

Udej [mi. . . ] je to

množství. . . ptáků, tedy 6.

Počítej. . . 8,

vyjde. . .

[Zdvojnásob] těch 5,

vyjde 10. Velikost. . .

celkem 100. To je to, co přijde.

K7

. . .

Nuže zvolej: Nalezl jsi správně.

K8

. . .

Když ti člověk řekne:. . .

je to 2. Umocni 14 . Spočítej. . .

je to 12 , zbytek je 1. Spočítej. . .

. . .

91

II.3 Fragmenty papyru z muzea v Berlíně

Malé zlomky papyru, jež jsou uloženy v muzeu v Berlíně (č. 6619), bylypravděpodobně objeveny v Thébách v oblasti dnešního Luxoru.Oba zlomky, z nichž větší měří pouhých 14, 5× 14, 2 cm, jsou z obou

stran popsány matematickými úlohami. Dochovaly se ve velmi špatnémstavu, takže ani jedna ze 4 úloh na nich zapsaná není úplná. Svým cha-rakterem však text připomíná ostatní sbírky příkladů, které se používalyv písařských školách.

Literatura:H. Schack-Schackenburg, „Der Berliner papyrus 6619�, Zeitschrift fürägyptische Sprache und Altertumskunde 38 (1900), s. 135–140

H. Schack-Schackenburg, „Das kleinere Fragment des Berliner Papyrus6619�, Zeitschrift für ägyptische Sprache und Altertumskunde 40 (1902),s. 65–66

92

B1

Jiný. . . Řekne-li se ti: [100] je množství [a 12

14 z]

prvního množství je pro druhé. Nuže, udej mi [obě množství]

Spočítej pravoúhelník z prvního a spočítej 12

14 z jedné. [Spočítej]

12

14 z prvního množství pro druhé, vyjde

12

14 . Spočítej to [pro druhé

množství.]

Tedy první množství je 1 a druhé 12

14 . Přidej celé první ke druhému,

sečti je,

vyjde 1 12

14sic 1

16 . Spočítej odmocninu z toho, vyjde 114 . Spočítej od-

mocninu ze 100,

vyjde [10]. Počítej s 1 14 , až najdeš 10, vyjde 8krát. [To je první

množství.]

Spočítej 12

14 z 8, vyjde [6, to je druhé množství.]

B2

. . . odměny. Řekne-li se ti:

. . . 60 plných měřic hornoegyptského ječmene, 2 plné měřice pšenice,

. . . 27 měřic hornoegyptského ječmene, 60 měřic pšenice. Celkem

. . . Nuže odpočítej mi cenu hornoegyptského ječmene.

B3

. . . Spočítej odmocninu . . . 6 14 . . .

. . . tyto 2 12 . Spočítej zbytek . . .

. . . Spočítej. . . krát . . .

. . . loktů. . . řekl odmocnina. . .

. . . 3 k tomuto počítání . . .

. . . z 12, které to říkají. Nalezl jsi [správně.]

. . .

B4

. . . přičti to k pšenici. . .

93

II.4 Dřevěné tabulky nalezené v Achmímu

Dvě dřevěné tabulky pocházejí z Achmímu ve středním Egyptě. Dnesjsou uloženy ve sbírce Egyptského muzea v Káhiře pod čísly CG 25367a 25368 (JdE 26442, 26441).Text na tabulkách je možné datovat přibližně do 12. dynastie, a to

na základě písma a některých osobních jmen, jež byla v té době běžná.Tabulky měří 47, 5× 25 cm a 46, 5× 26 cm. V horní části jsou vyvr-

tány malé otvory, kterými mohl být prostrčen provázek sloužící k upev-nění. Povrch tabulek je z obou stran pokryt tenkou vrstvou vyhlazenéhoštuku, jenž skýtal dobré podmínky pro psaní. Štuk je místy poškrábanýči oprýskaný. Dochovaný text pokrývá obě strany obou tabulek a zahr-nuje seznamy jmen služebníků z pomocného personálu, téměř nečitelnýzbytek dopisu a 14 matematických výpočtů.

Literatura:G. Daressy, Catalogue générale des Antiquités égyptiennes du Musée deCaire. Ostraca, Cairo 1901, s. 95–96

G. Daressy, „Calculs égyptiens du Moyen-empire�, Recueil de travauxrelatifs a la philologie et a l’archéologie égyptiennes et assyriennes 28(1906), s. 62–72

T. E. Peet, „Arithmetic in the Middle Kingdom�, Journal of EgyptianArchaeology 9 (1923), s. 91–95

H. Vymazalová, „The wooden tablets from Cairo: the use of the grainunit ���� in Ancient Egypt�, Archiv orientální 70 (2002), s. 27–42

M. Gardner, „Akhmim wooden tablet� [online příspěvek] (2005) do-stupný na http://akhmimwoodentablet.blogspot.com/

94

25367/1

1 13

10 130

20 260

2 26

4 52113 118

152

1104 2

14

126

152 4

12

113

126 8

1 116

164

sic4 1

2113

126

2 18

132

sic 164 4 1

13152

1104

4 14

116

sic 132

164 3

25367/2

1 7

10 70

20 140

40 280

2 12sic

4 24sic

17 114

128 2

12

114 4

1 18

164

12

17

114

2 14

132 1 1

4 [17128 ]

25367/3

[1 13

10 130

20 260

2 26

95

4 52113 1]18

152

1104 2

14

126

152 4

\12

113

126 8

1 116 4 1

2113

126

[2 18

132

sic] 4 1

13152

1104

4 14

132

164 2sic 1

418

113

1104

8 12

116

132

164 1 1

214

18

126

1104

25368/4

1 11

10 1[10]

20 2[20]

2 22

4 44

8 88111 1

\1 116

164 4 1

11

\2 18

132

164 3 1

6166

4 14

116

132

164 1sic 1

33

[\8 12 ]

18

116

132 2 2

3122

166

25368/5

1 [7]

10 70

20 140

40 280

2 12sic

4 24sic

17 112

114 2sic

96

1 18

164

12

17

114

2 14

132 1 1

417

128

4 12

116 2 1

214

114 [ 1

28 ]

25368/6

1 13

2 23

4 1 13

164 1 2

3132 3 1

3116

164 1 2

318

132 3 1

314

116

164 1 2

312

18

132 3 1

3

\1 14

116

164 1 2

3

\2 12

18

132 3 1

3

25368/7

1 13

10 130

2 26

4 52

25368/8

1 11

10 110

20 220

2 12sic

4 24sic

8 [88]

[ 111 1]

97

\1 116

164 4 1

11

\2 18

132

164 3 1

6166

4 14

116

132

164 1sic 1

33

[\8 12 ]

18

116

132 2 2

3122

166

25368/9

1 11

10 110

20 220

2 22

4 44

8 88111 1

\1 116

164 4 1

11

\2 18

132

164 3 1

6166

4 14

116

132

164 1sic 1

33

\8 12

18

116

132 2 2

3122

166

25368/10

1 7

10 70

20 140

2 12sic

4 24sic

17 114

128 2

12

114 4

\1 18

164 [12

17

114 ]

\2 14

132 1 1

417

128

\4 12

116 2 1

214 [ 1

14128 ]

98

25368/11

1 11

10 110

20 220

2 22

4 44

8 88

[ 111 1]

\1 116

164 4 1

11

\2 18

132

164 3 1

6166

4 14

116

132

164 1 sic 1

33

\8 12

18

116

132 2 2

3 [ 122

166 ]

25368/12

1 13

2 23

4 1 13

164 1 2

3132 3 1

3116

164 1 2

318

132 3 1

314

116

164 1 2

312

18

132 3 1

3

\1 14

116

164 1 2

3

\2 12

18

132 3 1

3

25368/13

1 7

10 70

20 140

40 280

2 12sic

99

4 24sic

17 114

128 2

12

114 4

1 18

164

12

17

114

2 14

132 1 1

417

128

[4 12 ]

116 2 1

214

114 [ 1

28 ]

25368/14

1 10

10 100

20 200

2 20

1 116

132 2

\2 18

116 4

4 14

18

164 3

\8 12

14

132

164 1

100

II.5 Rhindův matematický papyrus

Nejznámější staroegyptský matematický papyrus byl nalezen v Rames-seu v oblasti dnešního Luxoru; tam jej roku 1858 zakoupil sběratelstarožitností A. H. Rhind.21 Dva velké fragmenty papyru jsou uloženyv Britském muzeu v Londýně (BM 10057, BM 10058) a několik malýchzlomků se dostalo do brooklynského muzea.Papyrus byl sepsán za vlády hyksóského panovníka Auserrea Apo-

piho z 15. dynastie (16. stol. př. Kr.), avšak jeho předloha se datuje dovlády Nimaatrea Amenemheta III. z 12. dynastie (19. stol. př. Kr.).Celková délka papyru pro spojení obou větších fragmentů je 513 cm,

přitom sestává ze 14 listů širokých 38–40 cm. Text je celkem dobře či-telný. Celý povrch papyru byl vyhrazen matematickým výpočtům, ježjsou uspořádány do tematických okruhů, avšak nezachovávají zcela jed-notnou formu. Výpočtům předchází červeně psaný titul obsahující údajeo době sepsání, stáří předlohy a písaři, který byl opsáním textu pověřen.

Literatura:A. Eisenlohr, Ein mathematisches Handbuch der alten Aegypter, Leipzig1877

T. E. Peet, The Rhind Mathematical Papyrus, British Museum 10057and 10058. Introduction, Transcription, Translation and Commentary,London 1923

A. B. Chace, The Rhind Mathematical Papyrus: Free Translation andCommentary with Selected Photographs, Translations, Transliterationsand Literal Translations, Classics in Mathematics Education 8, Oberlin1927–1929, reprint 1979

G. Robins, Ch. Shute, The Rhind Mathematical Papyrus. An AncientEgyptian Text, London 1990

L. Guggenbuhl, „The New York fragments of the Rhind mathematicalpapyrus�, Mathematics Teacher 57 (1964), s. 406–410

21Britský právník Alexander Henry Rhind během svých cest do Egypta (1855–56,1856–57) projevil značný zájem o staroegyptské památky. Podařilo se mu shromáž-dit pozoruhodnou sbírku zahrnující také několik významných papyrů. Po jeho smrtipřipadla část jeho sbírky muzeím v Edinburghu a Londýně.

101

Pravidla pro proniknutí

do věcí, pro poznání

všeho, co je, [všech]

záhad, . . . , všeho skry-

tého.

Tento svitek byl opsán

33. roku, 4. měsíce ob-

dobí záplav . . . [za vlády

krále Horního] a Dol-

ního Egypta Auserrea,

obdařeného životem,

podle staré

knihy sepsané v době

[krále Horního a Dol-

ního Egypta Nimaat-

rea]; písař Ahmose to

byl, kdo sepsal tento

opis.

102

Vyděl 2 ÷ 3 23 · 2 řešení:

· 5 13 · 1 2

3115 · 1

3 1 5 \23 · 1 1

323 3 1

3 \ 115

13

· 7 14 · 1 1

214

128 · 1

412 3 1

2 1 7

\14 1 1

214 2 14

\4 28 14 \4 28

· 9 16 · 1 1

2118 · 1

223 613 3

\ 16 1 1

2

\ 118

12

[· 11] 16 · 1 2

316

166 · 1

6

. . .

. . .

. . .

\6 66 16

· 13 18 · 1 1

218

152 · 1

41

104 · 18

12 6 1

214 3 1

4 \4 152

14

\18 1 1

218 \8 1

10418

· 15 110 · 1 1

2130 · 1

2

\ 110 1 1

2

\ 130

12

103

Vyděl 2 ÷17 112 · 1 1

3112

151 · 1

3168 · 1

4

řešení:

1 17 13 5 2

3 \ 112 1 1

416 1 17 3 51 1

323 11 1

316 2 1

213 \zbytek 1

314 2 34 4 68 1

4

· 19 112 · 1 1

2112

176 · 1

41

114 · 16

23 12 2

3 1 19 1 1913 6 1

3 2 38 2 3616 3 1

6 4 76 14 4 76

112 1 1

2112 , zbytek

14

16 zbytek 1

6 celkem \6 114 16

· 21 114 · 1 1

2142 · 1

223 14 1 1

2

2 42 12

· 23 112 · 1 2

314

1276 · 1

1223 15 1

3112 1 1

214

16 \10 230

13 7 2

3 zbytek 112 \ 2 46

16 3 1

213 1 23 \celkem 276 1

12

· 25 115 · 1 2

3175 · 1

3

\ 115 1 2

3

\3 175

13

· 27 118 · 1 1

2154 · 1

2

\23

116 1 1

2

\2 154

12

Vyděl 2 ÷29 124 · 1 1

6124

158 · 1

21

174 · 16

1232 · 1

5

řešení: \1 124 1 1

6124 \6 1

17416

\2 158

12 \8 1

23218

104

31 120 · 1 1

2120

1124 · 1

41

155 · 15

1 120 1 1

2120

\4 1124

14

\5 1155

15

33 122 · 1 1

2166 · 1

223

122 1 1

2

\2 166

12

35 130 · 1 1

6142 · 2

316

6 7 5

\ 130 1 1

6

\ 142

23

16

· 37 124 · 1 1

2124

1111 · 1

31

296 · 18

23 24 2

3112 3 1

12 1 37 1 3713 12 1

3 \ 124 1 1

2124 2 74 2 74

16 6 1

6 zbytek 13

18 \3 111 1

3 4 148

zbytek 18 \ 8 296 1

8

· 39 126 · 1 1

2178 · 1

2

\23 26 1 1

2

2 78 12

Vyděl 2 ÷41 124 · 1 2

3124

1246 · 1

61

328 · 18

řešení:23 27 1

3112 3 1

3112 1 41 celkem \6 246 1

613 13 2

3 \ 124 1 2

3124 2 82 \8 328 1

816 6 2

316 zbytek 1

618 \4 164

105

43 142 · 1 1

42166 · 1

21

129 · 13

1301 · 1

7

najdi: \ 142 · 1 1

42

\2 166 · 1

2

3 1129 · 1

3

\7 1301 · 1

7

45 130 · 1 1

2190 · 1

2

\23 30 1 1

2

\2 90 12

47 130 · 1 1

2115

1141 · 1

31

470 · 110

najdi: 130 1 1

214

\ 3 1141

13

\10 1470

110

49 128 · 1 1

214

1196 · 1

4

najdi: 128 1 1

214

\ 4 1196

14

51 134 · 1 1

21

102 · 12 (?)

\23 34 1 1

2

\2 102 12

Vyděl 2 ÷53 130 · 1 2

3110

1318 · 1

61

795 · 115

řešení: najdi: 130 1 2

3110 1 53 \ 5 265

\6 1318

16 \10 530 celkem 15 795 1

15

zbytek 115

55 130 · 1 2

316

1330 · 1

6

najdi: \ 130 · 1 2

316

\6 1330 · 1

4

106

57 138 · 1 1

21

11412

\23 36 1 1

2

\2 114 12

59 136 · 1 1

2112

118

1236 · 1

41

531 · 19

najdi: \ 136 1 1

2112

118

\4 1236

sic 14 \9 531 1

9

61 140 · 1 1

2140

1244 · 1

41

488 · 18

1610 · 1

10

najdi: \ 140 1 1

2140 \8 1

48818

\4 1244

sic 14 \10 1

610110

63 142 · 1 1

21

126 · 12

\23 42 1 1

2

\2 1126

sic 12

Vyděl 2 ÷65 139 · 1 2

31

195 · 13

řešení: najdi: 139 1 2

3

\3 1195

13

67 140 · 1 1

218

120

1335 · 1

51

536 · 18

najdi: \ 140 1 1

218

120

\5 1335

15 \8 536 1

8

69 146 · 1 1

21

138 · 12

\23 46 1 1

2

\2 138 12

71 140 · 1 1

214

140

1568 · 1

81

710 · 110

najdi: 140 1 1

214

140

\8 568 18 \10 710 1

10

107

73 160 · 1 1

6120

1219 · 1

31

292 · 14

1365 · 1

5

najdi: \ 160 1 1

6120 \4 1

292

sic 14

\2 1219

sic 13 \5 365 1

5

75 150 · 1 1

21

150 · 12

\23 50 1 1

2

\2 1150

12

Vyděl 2÷77 144 · 1 1

214

1308 · 1

4

řešení: najdi: \ 144 1 1

214

\4 13[08]

sic 14

79 160 · 1 1

4115

1237 · 1

31

316 · 14

1790 · 1

10

najdi: 160 1 1

4115 \4 1

416

sic

sic14

\2 1233

sic

sic13 \10 1

790

sic 110

81 54sic · 1 12

1162 · 1

2

\23

154

sic1 1

2

\2 162 12

83 [ 160 ] · 1 1

3120

1332 · 1

41

415 · 15

1498 · 1

6

najdi: \ 160 1 1

3120

\4 332 14

\5 1415

15

\6 1498

16

85 151 · 1 2

31

255 · 13

1 85

najdi: \1 51sic 1 12

\3 255 13

108

87 158 · 1 1

21

174 · 12

\23 58 [1] 1

2

\2 1174

sic 12

Vyděl 2 ÷89 160 · [1 1

3 ]110

120

1356 · [14 ]

1[53]4 · 1

61

890 · [ 110 ]

řešení: najdi: 60 1 13

110

120 \6 554 1

6

\4 356 14 \10 1

890110

91 170 · 1 1

5110

1130 · 2

3130

najdi: 170 1 1

5110

najdi: 1130

23

130

[9]3 162 · 1 1

21

186 · 12

najdi: \ 162 1 1

2

\2 1186

sic 12

95 160 · 1 1

21

[1]21

380 · [141

5[70] · [16 ]

najdi: 60sic 1 12

112

\4 1380

sic 14

\6 1570

sic 16

97 156 · 1 1

218

114

128

1679 · [1]

71

77[6] · [18 ]

najdi: \56sic 1 12

18

114

128

\7 679 17

\8 776 18

99 166 · 1 1

21

19[8] · 12

najdi: \23 66 1 1

2

2 198 12

109

[Vyděl 2 ÷101 1101 · 1] 1

202 · 12

130[3] · [13 ] [ 1

606 · 16 ]

řešení: [1 101] \3 303 13

\2 202 12 \6 606 1

6

110

23 + [ 1

30 ]15

23 +

110 + 1

3015 + 1

1023 +

15 +

130

13 + 1

151212 + 1

10

R1

Metoda počítání 1 [chleba] pro 10 mužů.

Počítej s 110 10krát.

Postup: [\2 15 ] \8 2

3110

130

[ 4 13

115 ] celkem [1], je to totéž.

R2

Počítání [2 chlebů pro 10 mužů.] Počítej

s 15 10krát. Postup:

[\]2 13

115 [\8 1 1

315 ]

115

[4] 23

110

130 [celkem 2, je to totéž.]

R3

Počítání 6 chlebů pro 10 mužů. Počítej s

[12 ]110 10krát. Postup:

[ 1 12 ]

110 \8 4 [23

110 ]

130

[\2 1] 15 celkem 6, [je to] totéž.

[ 4 2] 13

115

110

R4

Počítání 7 chlebů pro 10 mužů. Počítej s23

130 10krát, vyjde 7. Postup:

[ 1 23

130 ] 4 2 2

3110

130

[\2 1 13 ]

115 \8 5 1

2110

celkem 7 chlebů, je to ono.

R5

Počítání 8 chlebů pro 10 mužů. Počítej

s 23

110

130 10krát, vyjde 8.

Postup: 1 23

110

130 \8 6 1

3115

\2 1 [12110 ] celkem 8 chlebů, je to totéž.

[4 3 15 ]

R6

Počítání 9 chlebů pro 10 mužů.

Postup: Počítej s 4 3 12

110

23

15

130 10krát. \8 7 1

5

1 23

15

130 \2 1 2

3110

130 celkem 9 chlebů, je to ono.

R7

Metoda doplňování

1 14

128

14

116

1112

7 1 1 1214

14

12

18

156 celkem 1

2

312

12

111

R7B

1 14

128

12

18

156

14

116

1112

11214

14

celkem 12

R8

1 14

412

23

16

313

112

112

celkem 12

9

R9

1 12

110sic

12

14

120sic

14

18

150sic

celkem 1

R10

1 14

128

12

17

14 9sic

celkem 12

112

R11

1 17

12

19

sic

14

118

sic

celkem 14

R12

1 19sic

12

128

sic

14

136

celkem 18

R13

1 116

1112

11214

14

12

132

1224

121418

18

14

164

1448

1418

116

116

celkem 18

R14

1 118 sic

112

136 sic12

14

172 sic14

celkem 116

113

R15

1 132

1228

sic

121418

18

12

164

1456

sic

1418

116

116

14

1128

1912

sic

18

116

132

132

chybně celkem 116

R16

1 12

23

13

13

16

celkem 1

R17

1 13

23

16

118

13

19

celkem 23

R18

1 16

23

19

13

118

celkem 13

114

R19

1 112

112

23

118

113

13612

celkem 16

R20

1 1241214

23

13612

13

17214

celkem 112

R21

Řekne se ti: co doplní23

115 do 1?

10 1 celkem 11, zbytek je 4.

Počítej s 15, až najdeš 4. Metoda zkoušky:

1 15 \ 115 1 doplní se

110 1 1

2 celkem 4 23

15

115

115 k 1.

\15 3 Tedy 1

5115 se k tomu přičtou 10 3 1 1

jiné15

110 se přičtou

115

R22

Co doplní 23130 do 1? 1 30 Tedy 1

5110 se k tomu přičtou,

20 1 \ 110 3 doplní se 2

315

110

130 k 1.

celkem jeho velikost je 9 \ 15 6 20 6 3 1

Počítej s 30, až najdeš 9 celkem 9

R2314

18

110

130

145 doplnit do 2

3 .14

18

19

110

130

140

145

13

11 5 4 1 1 Tedy 19

140 se k tomu 11 5 5 4 1 1 1 15

14

12

12

12

přičtou, aby to dalo 23 .

14

12

12

12

18

18

18

dají 1.

R24

Množství, jehož 17 k němu přidaná dá 19. Množství

\1 7 1 8 \14 2 \1 2 1

418 postup 16 1

218

\17 1 \2 16 \1

8 1 \2 4 12

14

17 2 1

418 ,

12 4 \4 9 1

2 celkem 19.

R25

Množství, jehož 12 k němu přidaná dá 16.

1 2 \1 3 23 2 1 5 1

3 postup Množství 1 10 23

12 1 2 6 \1

3 1 \2 10 23

12 5 1

3

\4 12 celkem 16

R26

Množství, jehož 14 k němu přidaná dá 15. Počítej se 4. Spočítej

14

z toho, tedy 1, celkem 5.

Počítej s 5, až najdeš 15:

\1 5 vyjde 3. Počítej se 3 4krát: Množství 12

\2 10 1 3 \4 12 1 12 14 z toho 3,

2 6 vyjde 12 14 3 celkem 15 celkem 15.

116

R27

Množství, jehož 15 k němu přidaná dá 21.

1 5 \1 6 \1 3 12

15 1 celkem 6 \2 12 2 7 Množství 17 1

2

\12 3 celkem 21 \4 15sic 1

5 z toho 312 ,

celkem 21.

R2823 se přidají,

13 se ubere, 10 zbyde.

Spočítej 110 z těch 10, vyjde 1, zbytek je 9.

23 z toho je 6, přidají se k tomu, celkem 15.

13 z toho je 5,

5 je to, co se ubere, zbytek je 10.

Postup:

R29

1 1014 2 1

2110 1 celkem 13 1

223 9 celkem 22 1

223 20

13 7 1

2 celkem 30 13 10

R30

Když ti písař řekne: výsledek 110

sicje 2

3110 z čeho? Ať slyší: Počítej

s 23

110 , až najdeš 10.

\1 23

110 S 1

30 se počítá 23krát, než se najde23

110 .

2 1 13

15 celkem to množství, o něž se jedná, je 13 1

23 .

\4 3 115 13 1

23

\8 6 110

130 \2

3 8 23

146

1138

celkem 13 130 \ 1

10 1 15

110

1230 celkem 10.

117

R31

Množství, jehož 23

12

17 k němu přidané dají 33.

1 1 23

12

17

\2 4 13

14

128

\4 9 16

118

sic

\8 18 13

17

12

12

13

14

114

\14

14

16

18

128 celkem 32 1

2 , zbytek12

\ 197

142 1

\ 156

1679

1776

121 2

\ 1194

184

12

\ 1388

1168

14

17

18

114

128

128

6 514 3 11

2 112

17 14

3 12

14

12 21 celkem 33.

1 4223 2812 2117 6, celkem 99sic

R32

Množství, jehož 13

14 k němu přidané dají 2.

1 1 13

14 228

\23 1 1

18 152

\13

12

136 76

\16

14

172 38

\ 112

18

1144 19

1228

1144 1

1114

172 2

celkem 1 16

112

1114

1228 je to množství, o něž se jedná.

23

23

19

118

1171

1342

13

13

118

136

1342

1684

118

12 [12 ]

112

124

1228

1456

14 [14 ]

1[2]4

148

1456

1912

množství 144 1 1213 48 2 2414 36 \4 48

celkem 228 \8 96

celkem 144

Metoda zkoušky:

1 1 16

112

1114

1228

13

13

118

136

1342

1684

14

14

124

148

1456

1912

celkem 1 12

14 , zbytek je

14

112

1114

1228

118

136

1342

76 8 4 5023 251

3 223

1684

124

148

1456

1912

113 38 19 2 1

1 91212 45614 228 celkem 128sic je 1

4 .

R33

Množství, jehož 23

12

17 k němu přidané dají 37.

1 1 23

12

17

2 4 13

14

128

4 9 16

114

8 18 13

17

\16 36 23

14

128

28 1012 11

2 1 4223 2812 21

\14 10 1

2

\ 128 1 1

2 celkem 40, zbytek je 2

119

197

142 1

\ 156

1689

1776

121 2

celkem 37

Metoda zkoušky:

1 16 156

1679

1776

97 8 723 10 2

3184

11 358

14 074

11 184

6423 4 11

3 423

12 8 1

1121

1 3581

1 552

4812 4 31

217 2 1

4128

1392

14 753

15 432

131214

114

128 11

7 1

36 23

14

128 zbytek je 1

28184

3 62113 1 358 194 194 642

3

1 5 43223 3 621 1

312 2 71614 1 358128 194 celkem 5 173 1

3

zbytek je 258 23 .

R34

Množství, jehož 12

14 k němu přidané dají 10.

\1 1 12

14

14

128

12

2 3 12 \1

2114 1

\4 7 celkem je to množství 5 12

17

114

\17

14

Metoda zkoušky:

\1 5 12

17

114 celkem 9 1

218 , zbytek je

14

18

\12 2 1

214

114

128

17

114

114

128

128

156

14 je 14

\14 1 1

418

128

156 8 4 4 2 2 1 1

8 7, celkem 21.

120

R35

Vešel jsem 3krát do měřice, se svou 13 jsem byl úplný. Kdo to říká?

Postup:

\1 1

\2 2 Vyděl 1÷ 3 13 Metoda \1 1

5110

\13

13 , celkem 3 1

3 1 313

110

13

15

23 , celkem 1. zkoušky: \2 1

2110

1 320 Metoda zkoušky: spočítat pro obilí: 13

110

110 32 1 96 1 1

4132

164 1

15 64 2 192 2 1

2116

132 2

celkem 96 13 32 1

3116

132 2

celkem 320 celkem měřice.

R36

Vešel jsem 3krát, se svou 13

15 jsem byl úplný. Jaké je to množství, které

to říká?

1 1 1 106 1 14

153

1106

1212

1 1 12 53 2 1

2130

1318

1795

153

1106

1 1 \14 26 1

213

112

1159

1318

1636

13

13 \ 1

106 1 15

120

1265

1530

11 060

15

15 \ 1

53 2

\ 1212

12 celkem 1

153

1106

1212

20 10 5 35130

1318

1795

153

1106

3513 31

3 113 20 10 70

112

1159

1318

1636

8813 62

3 313 12

3 100120

1265

1530

11 060

53 4 2 1 80sic

12 530 1

4 265 265 14

14 265 celkem 1 060.

121

R37

Vešel jsem 3krát do měřice, se svou 13 ,

13 z

13 ,

19 jsem byl úplný. Kdo

to říká?

ať slyší: vyděl 1÷ 3 12

118

18

14

18

116

1144

1 1 1 3 12

118

116

18

116

132

1288

2 2 12 1 1

214

136

132

116

132

164

1576

13

13 \1

412

14

18

172 celkem 1

13 z

13 z toho

19

19 z toho

19 celkem 3 1

2118

doplnit 12

14

18

172

116

132

164

1576 celkem 1

8

8 36 18 9 1 72

Metoda zkoušky: 13 z toho

112

196

1 14

132

13 z

13 z toho

136

1288

2 12

116

19 z toho

136

1288

celkem 1

doplnit 12

14

132

116

112

196

9 18 24 3136

1288

136

1288

8 1 8 1 celkem 14

celkem 320 18 40 72

12 160 1

16 2014 80 1

32 10 celkem 90

Metoda zkoušky: spočítat pro obilí:

\1 90 \1 14

132

\2 180 \2 12

116

13 30 \1

3116

132

13 z

13 10 \1

3 z13

132

\19 z toho 10 \1

9 z toho132

celkem 320 celkem 12

18

14

18

122

R38

Vešel jsem 3krát do měřice, se svou 17 jsem byl úplný.

\1 1 Vyděl 1÷ 3 17

\2 2 1 3 17

\17

17

122

17 s 1

7 se počítá 22〈krát〉,celkem 3 1

7111

14

128 až se nalezne 3 1

716

166

12

114 celkem 1

Metoda zkoušky: 1 320 \ 111 29 1

11

1 16

111

122

166

23 213 1

3 \ 122 14 1

2122

2 12

111

133

166

13 106 2

3 \ 166 4 2

316

166

17

122 celkem 1 \1

6 53 13 celkem 101 2

3111

122

166

Metoda zkoušky:

\1 101 23

111

122

166

\2 203 12

111

133

166

\17 14 1

2122

celkem 1. Spočítat pro obilí:

spočítá se 122krát 7, než se najde . . .

1 14

116 1 2

3111

122

166

2 12

18 3 1

2111

133

166 ro

17

132 4 1

2122 ro

celkem 319 23

111

111

122

122

133

166

166

13

6 6 3 3 2 1 1 22

R39

Metoda výpočtu rozdílu.

100 chlebů pro 10 mužů, 50 pro 6

a 50 pro 4. Jaký je rozdíl?

123

1 4 1 6 1 12 12 1 8 1

3 rozdíl je 4 16

\10 40 2 12 1 12 12 1 8 1

3

[\]2 8 4 24 1 12 12 1 8 1

3

\12 2 \8 48 1 12 1

2 1 8 13

\13 2 1 8 1

3

1 8 13

R40

100 chlebů pro 5 mužů, 17 ze tří horních

pro 2 muže dole. \· 23

Jaký je rozdíl? \· 17 12

Postup: rozdíl je 5 12 \· 12

\· 6 12

\· 1 celkem 60

\1 60 23krát, výsledek je 38 13

\23 40 17 1

2 29 16

počítej 12 20

s 1 23 6 1

2 10 23

16

1 celkem 60 1 23 celkem 100.

R41

Metoda výpočtu kruhové sýpky (o rozměrech) 9, 10. Odečti 19 z 9, je

to 1, zbytek 8.

Počítej s 8 8krát, vyjde 64. Počítej se 64

10krát, vyjde 640. Přidej k tomu 12 z toho, vyjde 960. To je jeho objem

v pytlích.

Spočítej 120 z 960, je to 48. To je to, co do ní vejde ve stovkách čtyřná-

sobných měřic: 48 stovek čtyřnásobných měřic obilí.

Tvar řešení tohoto:

1 8 \8 64 celkem 960

2 16 1 64 110 96

4 32 \10 640 120 48

\12 320

124

R42

Kruhová sýpka (o rozměrech) 10, 10. Odečti 19 z 10, je to 1

19 , zbytek

je 8 23

16

118 .

Počítej s 8 23

16

118 8 2

316

118krát, vyjde 79

1108

1324

Počítej s 79 1108

1324 10krát, vyjde 790

118

127

154

Přidej k tomu 12 z toho, vyjde 1 185. Počítej s 1 185 20krát, je to 59

14 .

To je to, co do ní vejde ve stovkách čtyřnásobných měřic: 59 14 stovek

čtyřnásobných měřic.

tvar řešení tohoto:

1 8 23

16

118 \8 71 1

9 \16 1 1

3112

124

172

1108

2 17 23

19 \2

3 5 23

16

118

127 \ 1

1813

19

127

1108

1324

4 35 12

118

13 2 2

316

112

136

154 celkem 79 1

1081

324

1 79 1108

1324 celkem 1 185

10 790 118

127

154 10sic 118 1

212 395 1

36154

1108 \ 1

20 59 14

R43

Kruhová sýpka, jejíž výška je 9 loktů a šířka 6. Co je to, co do ní

vejde v obilí? Postup: odečti 1 od 9, zbyde 8.

Počítej s 8: připočítej k tomu 13 z toho, vyjde 10

23 . Počítej s 10

23

10 23krát, vyjde 113

23

19 . Počítej

s 113 23

19 4krát, toto jsou

23 ze 6 loktů, což je šířka, je to 455

19 .

To je její objem v pytlích.

Najdi 120 z jejího objemu v pytlích, vyjde 22

12

14

145 . To je to, co do

ní vejde v obilí ve stovkách čtyřnásobných měřic.

22 12

14

132

164 měřice 2

12

14

136 ro

tvar řešení tohoto: \1 8 1 10 23

23 jsou 5 1

3 \10 106 23

\13 2 2

3 celkem 10 23 \2

3 7 19 celkem 113 2

319

125

1 113 23

19 1 455 1

9

2 227 12

118

110 45 1

2190

\4 455 19 \ 1

20 22 12

14

145

R44

Metoda počítání čtverhrané sýpky, jejíž délka je 10, šířka 10 a výška

10. Co je to, co do ní vejde v obilí?

Počítej s 10 10krát, vyjde 100. Počítej se 100 10krát, vyjde 1 000. Při-

počítej 12 z 1 000, je to 500, vyjde 1 500. To je její objem v

pytlích. Spočítej 120 z 1 500, vyjde 75. To je to, co do ní vejde ve stov-

kách čtyřnásobných měřic. 75 stovek čtyřnásobných měřic obilí.

metoda řešení tohoto:

1 10 1 1 000 1 1 500 1 75

10 1 000 12 500 1

10 150 10 750

1 100 120 75 \20 1 500

110 150110 z

110 15

23 z

110 z

110 z toho je 10

R45

Sýpka, do níž vejde 75 měřic obilí. To, co mu přísluší velikost ku veli-

kosti? Počítej se 75 20krát, vyjde 1 500.

Počítej s 1 500: spočítej 110 z toho, je to 150,

110 z

110 z toho, (je to) 15,

23 z

110 z

110 z toho, je to 10. Tedy mu přísluší 10 ku 10 ku 10.

1 75 120

sic1 500, hle, toto je její objem.

10 750 1 1 500 110 150 1

10 z110 z toho 15

23 z

110 z

110 z toho je 10.

R46

Sýpka, do níž vejde 25 čtyřnásobných měřic obilí, což je její objem.

Počítej s 25 20krát, vyjde 500, to je její objem.

126

Počítej s 500: spočítej 110 z toho, je to 50,

120 z toho, je to 25,

110 z

110

z toho, je to 5, 23 z

110 z

110 z toho, je to 3

13 . Přísluší jí 10 ku 10

ku 3 13 , té sýpce.

řešení tohoto: 1 25 1 500

10 250 110 50

120

sic500, to je její objem. 1

10 z110 z toho, je to 5

23 z

110 z

110 z toho 3 1

3

vyjde tato sýpka, jež má 10 loktů ku 10 ku 3 13 . Je to totéž.

R47

Když ti písař řekne: udej mi110 , když je v sýpka (ať už) kruhové či pravoúhlé.110 (odpovídá) 10 čtyřnásobným měřicím obilí.120 5 1

30 3 14

116

164 ,

23

140 2 1

2180 1 1

4150 2 1

90 1 116

132

164 ,

12

118

160 1 1

218

132 , 3 ro 1

31

100 1170 1 1

418

132

164 , 2 ro 1

14121

142

R48\1 9 secat

1 8 secat 2 18 secat

2 16 secat 4 36 secat

4 32 secat \8 72 secat

\8 64 secat celkem 81 secat

9

R49

Metoda výpočtu (obsahu) plochy. Řekne-li se ti: čtyřúhelníkové

pole o (rozměrech) 10 k 2. Jaký je (obsah) jeho plochy? Postup:

127

10 chet2 chet

1 1 000 110 z 100 000, je to 10 000

10 10 000 110 z

110 z toho, je to 1 000

100 100 000 to je plocha.

R50

Metoda výpočtu (obsahu) kruhové plochy o (průměru) 9 chet.

Jaký je obsah její plochy? Odečti 19 z toho, je to 1,

zbytek je 8. Počítej s 8 8krát,vyjde 64. Toto je její obsah v ploše: 64 secat.

9

postup: 1 9 obsah plochy19 z toho 9 64 secat

odečíst od toho, zbytek 8.

1 8 4 32

2 16 \8 64

R51

Metoda výpočtu (obsahu) trojúhelníkové plochy.

Řekne-li se ti: trojúhelník, jenž má 10 chet na výšku

a jeho základna 4 chet.

Jaký je (obsah) jeho plochy? Postup:

10 chet

4 chet

1 40 1 1 00012 20 2 2 000, to je (obsah) jeho plochy: 2.

Spočítej 12 ze 4, je to 2,

pro udání jeho obdélníku.

Počítej s 10

2krát, to je (obsah) jeho plochy.

128

R52

Metoda výpočtu lichoběžníkového pole. Řekne-li se ti: lichoběžníkové

pole

jež má 20 chet na výšku, jeho (dolní) základna je 6 a 4 chet má (hor-

ní) základna. Jaký je (obsah) jeho plochy?

Sečti (dolní) a (horní) základnu, vyjde 10. Spočítej 12 z 10, je to 5,

pro udání jeho obdélníku.

Počítej s 20 5krát, vyjde 10, to je (obsah) jeho plochy. Postup:

20 chet

4 chet 6 chet

1 1 000 \1 2 00012 500 2 4 000 celkem 10 000, převeď na

\4 8 000 plochu: 20sic

to je obsah jeho plochy.

R53

7 secat 6 5 6 3 14

14

14

18

12 7

\1 4 12 secat celkem 5 1

218 secat 1 7 secat

\2 9 secat 110 z toho je 1

14

18 secat, 10 meh. -ta \2 14 secat

12 2 1

4 secat110 z toho odečíst, to je obsah.

12 3 1

214 1 1

8 (secat) \14 1 1

214

celkem 15 12

14 secat

\12 7 1

214

18 secat

R54

Oddělení plochy 1 10 1 12

18 , 7

12 meh. -ta

z 10 polí. \12 5 \2 1 1

418 secat, 2

12 meh. -ta

\15 2 4 2 1

2 secat, 5 meh. -ta

\8 5 12 secat, 10 meh. -ta

129

R55

Oddělení plochy 3 secat z 5 polí. Počítej s 5 secat, až najdeš plochu

(o obsahu) 3 secat.

1 5 vyjde 12

110 . \1 1

2 , 10 meh. -ta12 2 1

2 Počítej s 2 1 18 secat, 7 1

2 meh. -ta110

12

12

110 5krát \4 2 1

418 secat, 2 1

2 meh. -ta

nalezneš tedy tu plochu, je to 3 secat.

R56

Metoda počítání pyramidy o straně 360 a výšce 250.

Udej mi její sklon. Spočítej 12 z 360, vyjde 180. Počítej s

250, až najdeš 180, vyjde 12

15

150 lokte. 1 loket je 7 dlaní, počítej se 7:

1 7 její12 3 1

2 sklon15 1 1

3115 5 1

25 dlaní.150

110

125

250

360

R57

Pyramida o straně 140 a sklonu 5 dlaní 1 prst. Jaká je její výška?

Proveď dělení 1 lokte dvojnásobkem sklonu, který vyjde 10 12 . Počítej

s 10 12 , až najdeš 7, neboť to je 1 loket. Počítej s 10

12 :

23 z 10

12 , je to 7.

Počítej se 140, to je délka strany: spočítej 23 ze 140, je to 93

13 .

Hle, to je její výška.93

140

13

R58

Pyramida, jejíž výška je 93 13 . Udej mi její sklon, když 140

je strana. Spočítej 12 ze 140, je to 70. Počítej s 93

13 ,

130

až najdeš 70. Počítej s 93 13 :

12 z toho je 46

23 ,

14 z toho je 23

13 .

Spočítej 12

14

z 1 lokte. Počítej se 7: 12 z toho je 3

12 ,

14 z toho je 1

12

14 , celkem

5 dlaní 1 prst, to je její sklon.

řešení:

1 93 13 1 7

\12 46 2

312 3 1

2

\14 23 1

314 1sic 1

4

spočítej 12

14 z lokte, celkem 5 dlaní 1 prst,

když 1 loket je 7 dlaní. to je sklon.

93

140

13

R59

Pyramida, jejíž výška je 12 a strana 8.

Počítej s 8, až najdeš 6, to je 12 výšky.

1 8 spočítej 12

14 ze 7, 1 7

\12 4 hle, to je 1 loket. \1

2 3 12

\14 2 \1

4 1 12

14

vyjde 5 dlaní 2sic prsty. Hle,

to je její sklon.

. . .

R59B

Spočítej pyramidu o (rozměru) 12, jejíž sklon je 5 dlaní 1 prst.Udej mi její výšku. Počítej

s dvojnásobkem 5 dlaní 1 prst, až najdeš 1 loket, hle,

ten je 7 dlaní. Vyjde 10 12 .

23 z toho, je to 7. Po-

čítej s 12: [23 ] z toho, je to 4sic. Hle, toto je výška.

12

131

R60

� o 15 loktech na jeho základu, 30 má jeho výška k vrcholu.Udej mi jeho sklon. Počítej s 15: 1

2 z toho, je to 7 12 . Počítej

se 7 12 4krát, až najdeš 30, vyjde jeho �����, je to 4. Toto je

jeho sklon.

řešení: 1 15

\12 7 1

2

1 7 12

2 15

\4 30

30

15

R6123 ze

23 , je to

13

19

13 ze

23 , je to

16

118

23 z

13

16

118

23 z

16

112

136

23 z

12 z toho, je to

13

13 z

12 z toho, je to

16

16 z

12 z toho, je to

112

112 z

12 z toho, je to

124

19 z

23

118

154

19

23 z toho, je to

118 . . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .14 z toho, je to

120

17

23 [z toho], je to 1

14142

17

12 z toho

114

111

23 [z toho, je to] 1

22166

13 z toho

133

111

12 z toho

122

14 z toho

144

132

R61B

Počítání 23 z lichého zlomku

Řekne-li se ti:

Co jsou 23 z

15?

Počítej s tím 2krát

a 6krát, toto jsou 23 z toho.

Hle, ať se počítá podobně

pro každý lichý zlomek,

který se vyskytne.

R62

Metoda výpočtu pytle s mnohými drahými kovy. Řekne-li se ti:

pytel, v němž je zlato, stříbro a cín.

Tento pytel může být získán za 84 šatej. Co je to, co přísluší každému

kovu,

když za deben zlata se dá 12 šatej, (za) stříbro to je 6 šatej

a (pro) deben cínu to je 3 šatej. Sečti to, co se dá za šatej sic

všech kovů, vyjde 21. Počítej s těmi 21, až najdeš

84 šatej. To je, za co je možné získat tento pytel. Vyjde 4.

To dáš za každý kov. Postup:

Počítej se 4 12krát, vyjde: zlato je 48, to je to, co mu přísluší.

6 stříbro 24

3 cín 12

21 celkem 84

R63

[Metoda výpočtu. . . ] 700 chlebů pro 4 muže, 23 pro 1,

12 pro dalšího,

[13 pro třetího a14 pro čtvrtého]. Udej mi podíl každého jednotlivce.

Sečti23

sic 13

14 , vyjde 1

12

14 . Proveď dělení 1÷ 1 1

214 , vyjde

12

114 . Spočítej

12

114 ze 700, je to 400. Spočítej

23 ze 400, je to 266

23 ,

12 ze 400, je to 200,

13 ze 400, je to 133

13 ,

14 ze 400, je to 100: podíly

každého jednotlivce.

133

postup:

počet 70012

114 400 1

3 ze 400 pro ·1· 113sic 13

23 ze 400 pro ·1· 266 2

314 ze 400 pro ·1· 100

12 ze 400 pro ·1· 200 celkem · 700

R64

Metoda počítání s rozdílem peru. Řekne-li se ti: 10 měřic ječmene pro

10 mužů, rozdíl peru každého muže vůči jeho druhovi: množství

v ječmeni je 18 měřice, hlavní část je

12

sic. Odečti 1 od 10, zbytek

je 9. Spočítej 12 z

rozdílu peru, je to 116 , počítej (s tím) 9krát, vyjde

12

116 měřice. Přičti

k hlavní části. Odečti18 měřice od každého muže, než dojdeš k poslednímu. Postup:

1 12

116 1 1

418

116 1 1

4116 1 1

8116 1 1

1612

14

18

116

12

14

116

12

18

116

12

116

14

18

116 , celkem 10.

R65

Metoda výpočtu 100 chlebů pro 10 mužů, lodník, velitel a dveřník mají

dvojnásobek

Řešení toho: sečti to, co je lidí mužstva, vyjde 13. Počítej

se 13, až najdeš těch 100 chlebů, vyjde 7 23

139 . Řekni: toto je to,

co náleží lodník,

těm 7 mužům, velitel

a dveřník mají dvojnásobek

· 7 23

139 · 7 2

3139 lodník 15 1

3126

178

· 7 23

139 · 7 2

3139 velitel 15 1

3126

178

· 7 23

139 · 7 2

3139 dveřník 15 1

3126

178 , celkem 100.

· 7 23

139

134

R66

10 měřic tuku přijde pro 1 rok. Co je podíl jednoho dne z toho? Řešení

tohoto: Převeď

těch 10 měřic tuku na ro, vyjde 3 200. Převeď rok na dny, vyjde 365.

Vyděl 3 200 ÷ 365, vyjde 8 23

110

12 190 . Převeď z ro,

je to 164 , 3

23

110

12 190 ro. To je podíl dne. Postup:

1 365 110 36 1

2 Počítej stejně se vším, co se ti řekne

2 730 12 190

16 podobného tomuto případu.

4 1 460 celkem 8 23

110

12 190

23 243 1

3

R67

Metoda (výpočtu) prací pastýře. Inu přišel ten pastýř ke sčítání

dobytka

se 70 dobytčaty. Ten úředník pro sčítání dobytka pravil k tomu

pastýři: málo je kusů dobytka, jež přivádíš!

Kde je množství tvých početných kusů dobytka?! Ten pastýř pravil:

přivedl jsem ti 23 z

13

z býků, kteří mi byli svěřeni. Počítej se mnou a shledáš, že jsem

úplný. Postup:

1 1 1 16

118

23

23 2 1

319

13

13 \4 2

316

118

23 z

13 z toho, je to

16

118 \1

219

Vyděl 1÷ 16

118 celkem 1

Počítej vyjde 315 23 z

13 z toho

se 70: to je to, co mu bylo svěřeno 70

spočítej 1 315 70

3 12krát

23 210 to je to,13 z toho 105 co přivedl.

135

R68

Když ti písař řekne: 4 velitelé se přeli o obilí

o 100 velkých měřic. Mužstvo prvního čítalo 12 mužů,

první · 12 mužů Počítej se 30, až

druhý · 8 najdeš 100, vyjde 3 13

třetí · 6 převeď na obilí: 3 14

116

164 měřice, 1

23 ro

čtvrtý· 4, celkem 30Počítej (s tím) 12krát pro prvního

8 druhého

6 třetího

4 čtvrtého

1 3 14

116

164 , 1

23 1 3 1

4116

164 , 1

23

2 6 12

18

132 , 3

13 ro 2 6 1

218

132 , 3

13 ro

\4 13 14

116

164 , 1

23 4 13 1

4116

164 , 1

23

\8 26 12

18

132 , 3

13 ro \8 26 1

218

132 , 3

13 ro

celkem první 40 celkem 26 12

18

132 , 3

13 ro druhý

1 3 14

116

164 , 1

23 1 3 1

4116

164 , [1

23 ]

\2 6 12

18

132 , 3

13 ro 2 6 1

218

132 , 3

13 ro

[\]4 13 14

116

164 ,

sic 23 \4 13 1

4116

164 , 1

23

celkem třetí 20 celkem čtvrtý 13 14

116

164 , 1 [23 ]

toto zde první · 12 · 40 · 40(je pro) velitele druhý · 8 · 26 1

218

132 , 3

13 ro · 26 2

3

velká měřice třetí · 6 · 20 · 20čtvrtý · 4 · 13 1

4116

164 , 1

23 · 13 1

3

celkem 30 · 100 měřic · 100 měřic

R69

3 12 měřic mouky převést na 80 chlebů.

Udej mi množství jednoho v mouce.

136

Udej mi jejich kvalitu. Počítej

s 3 12 , až najdeš 80.

1 3 13 Kvalita je 22 2

317

121 .

10 35 Počítej s 80,

\20 70 až najdeš 1 120.

\2 7 Postup:

\23 2 1

3

\ 121

16

\17

12

1 80

\10 800 \1 22 23

17

121

2 160 \2 45 13

14

114

114

128

142

\4 320 \12 11 1

3114

142

celkem 1 120

Podíl jednoho z těch chlebů v mouce: 132 4 ro

\1 320 1 132 4 ro

\2 640 2 116

164 3 ro

\12 160 4 1

8132

164

celkem 1 120 v ro 8 14

116

132 2 ro

16 12

18

116 4 ro

32 1 14

18

164 3 ro

64 2 12

14

132

164

vyjde 3 12 měřic mouky.

R70

7 12

14

18 měřic mouky převést na 100 chlebů.

Co je podíl jednoho z těch chlebů v mouce?

Jaká je jejich kvalita?

Počítej se 7 12

14

18 , až najdeš 100.

137

1 7 12

14

18

2 15 12

14

\4 31 12

\8 63

\23 5 1

4 celkem 99 12

14 , zbytek

14

163

18 zdvojnásob zlomek pro 1

4

\ 142

1126

14

Kvalita je 12 23

142

1126 Počítej se 100,

\1 12 23

142

1126 až najdeš 2 520

\2 24 13

121

163 1 100 pro podíl jednoho

\4 50 23

114

121

1126 10 1 000 z chlebů v mouce,

\12 6 1

3184

1252 \20 2 000 je to 1

16164

15 ro

\14 3 1

61

1681

504 \5 500

\18 1 1

2112

1336

11 008

15 20

celkem 2 520

1 116

164

15 ro

10 12

14

132 2 ro

100 7 12

14

18 měřice mouky

R71

1 džbán piva, jehož 14 byla odlita a nahrazena vodou pro zjemnění.

Jaká je kvalita?

Převeď 1 džbán na slad, vyjde 12 slad. Odečti

14 z toho, tedy

18 , zbytek je

14

18 . Počítej s

14

18 , až najdeš 1, vyjde

2 23 . Kvalita je 2

23 .

R72

Metoda nahrazení chlebů chleby. Řekne-li se ti: 100 chlebů (kvality)

10 nahradit (odpovídajícím) množstvím chlebů (kvality) 45.

Spočítej velikost 45 ku 10, vyjde 35. Počítej s 10, až najdeš 35,

138

vyjde 3 12 .

Počítej se 100 (3 12)krát, vyjde 350. Přičti k tomu 100, vyjde 450.

Řekni: toto je nahrazení těch 100 chlebů (kvality) 10

450 chleby (kvality) 45. Převést na mouku:

10.

R73

Řekne-li se ti: 100 chlebů (kvality) 10 nahradit kvalitou 15. Kolik je to

nahrazení? Spočítej podíl

těch 100 chlebů v mouce, a to 10. Počítej s 10 15krát, vyjde 150.

Řekni: toto je příslušné nahrazení. Postup: 100 chlebů (kvality) 10

nahradit 150 chleby (kvality) 15. 10.

R74

Další: 1 000 chlebů (kvality) 5 nahradit (kvalitou) 10 a 20. Jaké je pří-

slušné nahrazení? Přepočítej těch 1 000 chlebů (kvality) 5, vyjde 200

měřic hornoegyptského ječmene.

Řekni: toto je mouka. Spočítej 12 z 200 měřic, tedy 100. Počítej se 100

měřicemi 10krát, vyjde 1 000. To je podíl

kvality 10. Počítej s tím 100 měřic 20krát, vyjde 2 000. To je podíl kva-

lity 20. Postup:

1 000 chlebů (kvality) 5 převést na mouku 200 měřic

nahradit 1 000 (chleby kvality) 10 100 měřic

nahradit 2 000 (chleby kvality) 20 100 měřic

R75

Další: 155 chlebů (kvality) 20 nahradit kvalitou 30. Převeď těch 155

chlebů (kvality) 20 na mouku, je to 7 12

14 .

Počítej (s tím) 30krát, vyjde 232 12 .

Postup: převést na mouku:

155 chlebů (kvality) 20 7 12

14

nahradit (kvalitou) 30 232 12 7 1

214

139

R76

Další: 1 000 chlebů (kvality) 10 nahradit (příslušným) množstvím chle-

bů (kvality) 20 a 30.

Ať slyší: 1 2 12

120

130 \10 25

112 1 \ 2 5

celkem 2 12 celkem 12

Spočítej podíl těch 1 000 chlebů v

mouce, tedy 100 měřic. Počítej (s tím) 12krát,

to, co vyjde, je 1 200: příslušné nahrazení (kvalitou) 20 a 30

1 000 chlebů (kvality) 10 převést na mouku: 100 měřic.

20 1 200 60

30 1 200 40

R77

Metoda nahrazení piva chlebem. Řekne-li se ti: 10 džbánů piva

nahradit (chleby) kvality 5. Převeď těch 10 džbánů piva na mouku, je

to 5.

Počítej s 5 5krát, vyjde 25. Řekni: to je příslušné nahrazení. Postup:

10 džbánů piva 5 měřic mouky

nahradit 25 chleby (kvality) 5. 5

R78

Metoda nahrazení chlebů pivy. Řekne-li se ti: 100 chlebů (kvality) 10

nahradit (příslušným) množstvím piva (kvality) 2. Převeď 100

(chlebů kvality) 10

na mouku, je to 10. Počítej (s tím) 2krát to, co vyjde, je 20.

Řekni: toto je příslušné nahrazení.

140

R79

Majetek:

domy 7

kočky 49

1 2 801 myši 343

2 5 602 pšenice 2 301sic

4 11 204 ječmen 16 807

celkem 19 607 celkem 19 607

R80

Míra, v níž se odměřuje pro strážce skladů výrobního okrsku.

Převést na henu:

měřice . 10 116 . 1

218

12 . 5 1

32 . 14

116

14 . 2 1

2164 . 1

8132

18 . 1 1

4

R81

Jiné počítání henu

Když 12 . 514 . 2 1

218 . 1 1

4116 . 1

218

132 . 1

4116

164 . 1

8132

Když 12

14

18 , v henu je to 8 1

214

12

14 . je to 7 1

2

je to 23 z měřice

12

18

132 3 ro 1

3 . 6 12

116

sic

je to 15 z měřice

12

18 . 6 1

4

je to 13 z měřice

14

18 . 3 1

214

je to 17sicz měřice 1

4132

164 1 2

3 ro . 3 14

18

23sic

141

je to 14 z měřice

14 . 2 1

2

je to 15 z měřice

18

132 4 ro . 2

je to [16 ] z měřice [18 ]132 3 1

3 ro . 1 [23 ]

Když 18

116 4 ro je to 2 henu je to 1

5 z měřice116

132 2 ro je to 1 henu je to 1

10 z měřice132

164 je to 1

2 henu je to 120 z měřice

164 3 ro je to 1

4 henu je to 140 z měřice

116 1 1

3 ro je to 23 henu je to 1

30

sicz měřice

132 , 1 2

3

sicro je to 1

3 henu je 160

sicměřice

164 , 1

13

sicro je to 1

5 henu je to 150 z měřice

12 je to 5 henu je to 1

2 z měřice14 je to 2 1

2 je to 14 z měřice

12

14 je to 7 1

2 je to 12

14 z měřice

12

14

18 je to 8 1

2sic

je to 12

14

18 z měřice

12

18 je to 6 1

4 henu je to 12

18 z měřice

14

18 je to 1

214

sichenu je to 1

418 z měřice

12

18

132 3 1

3 ro je to 6 23 henu je to 2

3 z měřice14

116

164 1 2

3 ro je to 3 13 henu je to 1

3 z měřice18 je to 1 1

4 henu je to 18 z měřice

116 je to 1

218 henu je to 1

16 z měřice

132 je to 1

4116 z henu je to 1

32 z měřice164 je to 1

8132 z henu je to 1

64 z měřice

R82

Odhad přídělů, jež mají přijít drůbeži v ohradách.

Převést na chleby, na denní podíl mouky.

husa ve výkrmu: 10 hus 2 12

spočítej na 10 dní 25

spočítej na 40 dní 100 měřic

142

co se musí namlít:

pšenice dvouzrnná 166 12

18

132 3 1

2 ro

pšenice 66 13

14

116

164 1 2

3 ro

co se musí odečíst 110 6 1

218

132 3 1

3 ro

zbytek, který se má dát 93 14

116

164 1 2

3 ro

spočítej v obilí v měřicích 93 14

116

164 1 2

3 ro

spočítej ve dvojměřicích 47 12

14

164 3 1

3 ro

R82B

Množství, které sní 10 hus 1 14

spočítat na 10 dní 12 14

sic

40 50

spočítej v obilí ve dvojměřicích 23 12

14

18 4 1

416

16 ro

R83

Potrava pro 4 husy,

které jsou zavřené, je 1 henu dolnoegyptského ječmene,

podíl jedné husy je 164 3 ro.

Potrava pro husu, jež žije na rybníku,

je 116

132 2 ro, což je 1 henu pro 1 husu.

Spočítat pro 10 hus 1 měřice dolnoegyptského ječmene

10 dní 10 měřic

měsíc 30 měřic

Denní podíl potravy pro husu ve výkrmu

co sní: 18

132 3 1

3 ro 1 pták

cerep 18

132 3 1

3 ro 1 pták

jeřáb 18

132 3 1

3 ro 1

set 132

164 1 ro 1

ser 164 3 ro 1

hrdlička 3 ro 1

křepelka 3 ro 1 celkem

143

R84

Odhad potravy pro stáj býků krmení. . . krmení. . .

měřic měřic

obětní býci iwa spořádají

4 dobří hornoegyptští býci 24 2

2 dobří hornoegyptští býci 22 6

3 obyčejní býci 20 2

co spořádá 1 . . . býk 20

celkem 8 6 10

spočítat v pšenici 9 7 12

spočítat na 10 dní 90 75

spočítat na měsíc 200 90

spočítat ve dvojnásobných měřicích 61 12

18 3 ro 30

144

II.6 Kožený svitek

Svitek byl nalezen spolu s Rhindovým papyrem poblíž Ramessea v ob-lasti dnešního Luxoru; tam oba texty roku 1858 zakoupil A. H. Rhind.Roku 1864 se kožený svitek stal součástí sbírky Britského muzea (BM10250).Písmo výpočtů na svitku se blízce podobá písmu Rhindova matema-

tického papyru, můžeme tedy předpokládat, že svitek i papyrus pocházejípřibližně ze stejné doby.Svitek měří 44, 1 × 26 cm a písmo je dosud dobře čitelné. Na svitku

jsou zapsány čtyři sloupce textu, jež jsou v překladu vyznačeny řím-skými číslicemi.

Literatura:S. R. K. Glanville, „The Mathematical Leather Roll in the British Museum�,Journal of Egyptian Archaeology 13 (1927), s. 232–239

145

I II110

140 to je 1

8130

145

190 to je 1

1515

120 to je 1

4124

148 to je 1

1614

112 to je 1

3118

136 to je 1

12

[ 110 ]

110 to je 1

5121

142 to je 1

14

[1616 ] to je 1

3145

190 to je 1

30

[1616

16 ] to je 1

2130

160 to je 1

20

[1313 ] to je 2

3115

130 to je 1

10

[ 125 ]

115

175

1200 to je 1

8148

196 to je 1

32150

130

1150

1400 to je 1

16196

1192

164

125

150

1150 to je 1

6sic

[19118 ] to je 1

6

[17114 ]

128 to je 1

4

[ 112

12]4 to je [18 ]

114

121

142 to je [17 ]

[ 118

12]7

154 to je [19 ]

[ 112sic 1

33 ]166 to je [ 111 ]

[ 128

149 ]

1196 to je [ 113 ]

sic

III IV110

140 to je 1

8118

136 to je 1

1215

120 to je 1

4121

142 to je 1

1414

112 to je 1

3145

190 to je 1

30110

110 to je 1

5130

160 to je 1

2016

16 to je 1

3115

130 to je 1

1016

16

16 to je 1

2148

196 to je 1

3213

13 to je 2

3196

1192

164

125

115

175

1200 to je 1

8150

130

1150

1400 to je 1

16125

150

1150 to je 1

6sic

19

118 to je 1

617

114

128 to je 1

4112

124 to je 1

8

146

114

121

142 to je 1

7118

127

154 to je 1

9112

sic 133

166 to je 1

11128

149

1196 to je 1

13

sic

130

145

190 to je 1

151

2[4]1

[48] to je 1[1]6

147

Vybraná literatura

Allen, J. P., Middle Egyptian: an Introduction to the Language and Cul-ture of Hieroglyphs, Cambridge 2000

Birch, S., „Geometric papyrus�, Zeitschrift für ägyptische Sprache undAltertumskunde 6 (1868), s. 108–110

Bečvář, J. – Bečvářová, M. – Vymazalová, H., Matematika ve starověku.Egypt a Mezopotámie, Dějiny matematiky 23, Praha 2003

Borchardt, L., „Der Inhalt der Halbkugel nach einem Papyrusfragmentdes Mittleren Reiches�, Zeitschrift für ägyptische Sprache und Alter-tumskunde 35 (1897), s. 150–152

Borchardt, L., „Wie wurden die Böschungen der Pyramiden bestimmt?�,Zeitschrift für ägyptische Sprache und Altertumskunde 31 (1893), s. 9–17

Bruckheimer, M. – Salomon, Y., „Some comments on R. J. Gillings’analysis of the 2/n table in the Rhind papyrus�, Historia Mathematica4 (1977), s. 445–452

Brugsch, H., „Ueber den mathematischen Papyrus im britischen Museumzu London�, Zeitschrift für ägyptische Sprache und Altertumskunde 12(1874), s. 147–149

Bruins, E. M., „The part in ancient Egyptian mathematics�, Centaurus19 (1975), s. 241–251

Budge, E. A. W. (ed.), Facsimile of the Rhind Mathematical Papyrus,London 1898

Butler, H. R., Egyptian Pyramid Geometry. Architectural and Mathe-matical Patterning in Dynasty IV Egyptian Pyramid Complexes, Mis-sissauga 1998

Calice, F., „Zur Böschungsbestimmung im Pap. Rhind�, Zeitschrift fürägyptische Sprache und Altertumskunde 40 (1902), s. 147

Caminos, R. A., „Fragmentary duplicate of papyrus Anastasi I in theTurin Museum�, The Journal of Egyptian Archaeology 44 (1958), s. 3–4

Cantor, M., Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Leipzig 1894

Cantor, M., „Über die sogennanten Seqd der ägyptischen Mathemati-ker�, Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Classeder kaiserlichen Akademie der Wissenschaften Abth. II, Vienna 90 (1884),s. 475–477

149

Chace, A. B., The Rhind Mathematical Papyrus: Free Translation andCommentary with Selected Photographs, Translations, Transliterationsand Literal Translations, Classics in Mathematics Education 8, Oberlin1927–1929, reprint 1979

Clagett, M., Ancient Egyptian Science I–II, Philadelphia 1992–95

Clarke, S. – Engelbach, R., Ancient Egyptian Construction and Archi-tecture, New York 1990

Cooke, R., The History of Mathematics. A Brief Course, New York 1997

Couchoud, S.,Mathématiques egyptiennes: recherches sur les connaissan-ces mathématiques de l’Egypte pharaonique, Paris 1993

Černý, J., Paper & Books in Ancient Egypt, London 1952

Daressy, G., Catalogue générale des Antiquités égyptiennes du Musée deCairo. Ostraca, Cairo 1901, s. 95–96

Daressy, G., „Calculs égyptiens du Moyen-empire�, Recueil de Travauxrélatifs a la Philologie et a l’Archéologie égyptiennes et assyriennes 28(1906), s. 62–72

Eisenlohr, A., Ein mathematisches Handbuch der alten Aegypter (Papy-rus Rhind des British Museum), Leipzig 1877

Engels, H., „Quadrature of the circle in ancient Egypt�, Historia Mathe-matica 4 (1977), s. 137–140

Fowler, D., The Mathematics of Plato’s Academy, Oxford 1999

Gardiner, A. H., Egyptian Hieratic Texts of the New Kingdom. Series 1:Literary Texts of the New Kingdom. Part 1: The Papyrus Anastasi Iand the Papyrus Koller, Leipzig 1911

Gardiner, A. H., Egyptian Grammar: Being an Introduction to the Studyof Egyptian Hieroglyphs, Oxford 1957

Gardner, M., „Decimal fractions�, http://egyptianfractions.blogspot.com

Gardner, M., „Akhmim wooden tablet�, http://akhmimwoodentablet.blogspot.com

Gardner, M., „Egyptian mathematical leather roll�, http://emlr.blogspot.com/

Gennaro, A., „A consistent solution of the problem 53 in the Rhindmathematical papyrus�, The Eighth International Congress of Egypto-logists, Cairo 28 March – 3 April 2000

150

Gerdes, P., „Three alternate methods of obtaining the ancient Egyptianformula for the area of a circle�, Historia Mathematica 12 (1985), s. 261–268

Gillain, O., La science égyptienne: L’arithmétique au Moyen Empire,Bruxelles 1927

Gillings, R. J., „The volume of a truncated pyramid in ancient Egyptianpapyri�, Mathematics Teacher 57 (1964), s. 552–555

Gillings, R. J., „The addition of Egyptian unit fractions�, The Journalof Egyptian Archaeology 51 (1965), s. 95–106

Gillings, R. J., Mathematics in the Times of the Pharaohs, Cambridge1972

Gillings, R. J., „The recto of the Rhind mathematical papyrus: how didthe ancient Egyptian scribe prepare it?�, The Archive for History ofExact Sciences 12 (1974), s. 291–298

Gillings, R. J., „What’s the relation between EMLR and the RMPrecto?�, Archive for History of Exact Sciences 14 (1975), s. 159–167

Glanville, S. R. K., „The mathematical leather roll in the British Museum�,The Journal of Egyptian Archaeology 13 (1927), s. 232–239

Griffith, F. L., Hieratic Papyri from Kahun and Gurob, London 1898

Guggenbuhl, L., „The New York fragments of the Rhind mathematicalpapyrus�, Mathematics Teacher 57 (1964), s. 406–410

Gunn, B., „Review of ”The Rhind Mathematical Papyrus” by T. E.Peet�, The Journal of Egyptian Archaeology 12 (1926), 123ff.

Gunn, B. – Peet. T. E., „Four geometrical problems from the Moscowmathematical papyrus�, The Journal of Egyptian Archaeology 15 (1929),s. 167–185

Harris, J. R., The Legacy of Egypt, Oxford 1971

Imhausen, A., Rechnungen aus dem Niltal – Probleme ägyptischer Mathe-matik am Beispiel des mathematischen Papyrus Moskau, diplomová práce,Freie Universität Berlin 1996

Imhausen, A., Ägyptische Algorithmen: eine Untersuchung zu den mit-telägyptischen mathematischen Aufgabentexten, Ägyptologische Abhand-lungen 65, Wiesbaden 2003

Janák, J., Brána nebes. Bohové & démoni starého Egypta, Praha 2005

151

Jürss, F. (ed.), Geschichte der wissenschaftlichen Denkens im Altertum,Berlin 1982

Knorr, W., „Techniques of fractions in ancient Egypt and Greece�,Historia Mathematica 9 (1982), s. 133–171

Kolman, A., Dějiny matematiky ve starověku, Praha 1968

Lehner, M., The Complete Pyramids, London 1997

Lepre, J. P., The Egyptian Pyramids: a Comprehensive, Illustrated Re-ference, Jefferson, London, 1990

Lexa, F., „O staroegyptských měrách délkových a plošných�, Zeměměřičskývěstník 15 (1927), s. 14–22, 36–39

Lumpkin, B., „Note: the Egyptians and pythagorean triples�, HistoriaMathematica 7 (1980), s. 186–187

Lyons, H., „Two notes on land-measurement in ancient Egypt�, TheJournal of Egyptian Archaeology 12 (1926), s. 242–244

Möller, G., „Die Zeichen für die Bruchteile des Hohlmaßes und dasUzatauge�, Zeitschrift für ägyptische Sprache und Altertumskunde 48(1911), s. 99–105

Neugebauer, O., Die Grundlagen der ägyptischen Bruchrechnung, Berlin1926

Neugebauer, O., „Zur ägyptischen Bruchrechnung�, Zeitschrift für ägyp-tische Sprache und Altertumskunde 64 (1929), s. 44–48

Neugebauer, O., „Über den Scheffel und seine Teile�, Zeitschrift fürägyptische Sprache und Altertumskunde 65 (1930), s. 42–48

Neugebauer, O., „Arithmetic und Rechnentechnik der Ägypter�, Quellenund Studien zur Geschichte der Mathematik, B.1, Berlin 1931, s. 301–381

Neugebauer, O., „Die Geometrie der ägyptischen mathematischen Texte�,Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, B.1, Berlin 1931,s. 413–452

Neugebauer, O., The Exact Sciences of Antiquity, Copenhagen 1951

Neugebauer, O., Vorlesungen über Geschichte der antiken mathema-tischen Wissenschaften I, New York 1969

Neugebauer, O., „On the orientation of pyramids�, Centaurus 24 (1980),s. 1–3

152

Nicolson, T. – Shaw, I., Ancient Egyptian Material and Technology,Cambridge 2000

Nims, Ch. F., „The bread and beer problems of the Moscow mathemati-cal papyrus�, The Journal of Egyptian Archaeology 44 (1958), s. 56–65

Peet, T. E., The Rhind Mathematical Papyrus. Transcription, Translationand Commentary, London 1923

Peet, T. E., „Arithmetic in the Middle Kingdom�, The Journal of Egyp-tian Archaeology 9 (1923), s. 91–95

Peet, T. E., „A problem in Egyptian geometry�, The Journal of EgyptianArchaeology 17 (1931), s. 100–106

Peet, T. E., „Notices of recent publications: Mathematischer papyrusdes Staatlichen Museums der Schönen Künste in Moskau. Von W. W.Struve�, The Journal of Egyptian Archaeology 17 (1931), s. 154–160

Perepelkin, J. J., „Die Aufgabe Nr. 62 des mathematischen PapyrusRhind�,Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, B.1, Berlin1931, s. 108–110

Pinch, G., Magic in Ancient Egypt, London 1994

Rees, C. S., „Egyptian fractions�, Mathematical Chronicle 10 (1981),s. 13–30

Reineke, W. F.,Gedanken und Materialien zur Frühgeschichte der Mathe-matik in Ägypten, doktorská disertace, Berlin

Reineke, W. F., „Der Zusammenhang der altägyptischen Hohl- undLängenmasse�, Mitteilungen des Instituts für Orientforschung derDeutschen Akademie des Wissenschaften zu Berlin 9 (1963), s. 145–163

Reineke, W. F., „Gedanken zur vermutlichen Alter der mathematischenKenntnisse im Alten Ägypten�, Zeitschrift für ägyptische Sprache undAltertumskunde 105 (1978), s. 67–76

Reineke, W. F., „Ägypten – Mathematik�, Jürss, F. a kol., Geschichtedes wissenschaftlichen Denkens im Altertum, Berlin 1982

Reineke, W. F., „Mathematik und Gesellschaft im Alten Ägypten�, Re-ineke, W. F., Acts. First International Congress of Egyptology (Cairo1976), 1979, s. 543–552

Rising, G. R., „The Egyptian use of unit fractions for equitable distri-bution�, Historia Mathematica 1 (1974), s. 93–94

153

Robins, G., „The 14 to 11 proportion in Egyptian architecture�, Discus-sions in Egyptology 16 (1990), s. 75–80

Robins, G., „Irrational numbers and pyramids�, Discussions in Egypto-logy 18 (1990), s. 43–53

Robins, G. – Shute, Ch., „Mathematical bases of ancient Egyptian ar-chitecture and graphic art�, Historia Mathematica 12 (1985), s. 107–122

Robins, G. – Shute, Ch., The Rhind Mathematical Papyrus. An AncientEgyptian Text, London 1990

Sethe, K., „Das Zahlwort 10�, Zeitschrift für ägyptische Sprache undAltertumskunde 34 (1886), s. 90

Sethe, K., „Zum Zahlwort „hundert��, Zeitschrift für ägyptische Spracheund Altertumskunde 31 (1893), s. 112–113

Sethe, K., „Eine bisher unbeachtete Bildung für die Ordinalzahlworte imNeuägyptischen�, Zeitschrift für ägyptische Sprache und Altertumskunde38 (1900), s. 144–145

Sethe, K., „Untersuchungen über ägyptischen Zahlwörter�, Zeitschriftfür ägyptische Sprache und Altertumskunde 47 (1910), s. 1–41

Sethe, K., Von Zahlen und Zahlworten bei den alten Ägyptern, Straßburg1916

Schack, Gr., „Bemerkungen zu Prof. Eisenlohr’s Ausgabe des mathema-tischen Papyrus Rhind�, Recueil de Travaux rélatifs a la Philologie eta l’Archéologie égyptiennes et assyriennes 3 (1882), s. 152–154

Schack-Schackenburg, H., „Die angebliche Berechnung der Halbkugel�,Zeitschrift für ägyptische Sprache und Altertumskunde 37 (1899),s. 78–79

Schack-Schackenburg, H., „Der Berliner Papyrus 6619�, Zeitschrift fürägyptische Sprache und Altertumskunde 38 (1900), s. 135–140

Schack-Schackenburg, H., „Das kleinere Fragment des Berliner Papyrus6619�, Zeitschrift für ägyptische Sprache und Altertumskunde 40 (1902),s. 65–66

Schack-Schackenburg, H., „Nr.60 des mathematischen Handbuchs�, Zeit-schrift für ägyptische Sprache und Altertumskunde 41 (1904), s. 79–80

Struve, V. V., Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums derschönen Künste in Moscau, Berlin 1930

154

Thomas, W. R., „Moscow Mathematical Papyrus, No.14�, The Journalof Egyptian Archaeology 17 (1931), s. 50–52

Turajev, V. A., Drevnij Jegipt, Petrohrad 1922

Verner, M., Pyramidy: tajemství minulosti, Praha 1997

Vogel, K., „The truncated pyramid in Egyptian mathematics�, TheJournal of Egyptian Archaeology 16 (1930), s. 242–249

Vogel, K., Vorgriechische Mathematik I. Vorgeschichte und Ägypten,Hannover 1958

Vymazalová, H., „���-problems in ancient Egyptian mathematical texts�,Archiv Orientální 69 (2001), s. 571-582

Vymazalová, H., „The wooden tablets from Cairo: the use of the grainunit ���� in ancient Egypt�, Archiv Orientální 70 (2002), s. 27-42

Vymazalová, H., „Svitek písaře Ahmose: Rhindův papyrus a výuka ma-tematiky ve starověkém Egyptě�, Mynářová, J. (ed.), Pražské egyptolo-gické studie 1 (2002), s. 197-206

Vymazalová, H., „Odraz úřednické praxe v úlohách Rhindova mate-matického papyru�, Mynářová, J. (ed.), Pražské egyptologické studie 2(2003), s. 202-212

Vymazalová, H., „Zkusme měřit měřicí�, Mynářová, J. (ed.), Pražskéegyptologické studie 3 (2004), s. 159-167

Van der Waerden, B. L., Science Awakening, New York 1963

Van der Waerden, B. L., Geometry and Algebra in Ancient Civilizations,Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo 1983

155

STAROEGYPTSKÁ MATEMATIKA

HIERATICKÉ MATEMATICKÉ TEXTY

Hana Vymazalová

Edice Dějiny matematiky, 31. svazek

VydalČeský egyptologický ústav Filozofické fakulty Univerzity Karlovy v Praze,Celetná 20, 110 01 Praha 1, ve spolupráci s Jednotou českých matematiků a fyziků

Kniha vychází s finanční podporou MŠMT, vědecko-výzkumný záměrč. MSM-0021620826

Sazba programem LATEX2ε

Vydání 1., Praha 2006Tisk SERIFA� s.r.o., Jinonická 80, 115 00 Praha 5

ISBN 80-7308-156-3

Přehled vydaných svazků edice DĚJINY MATEMATIKY

1. J. Bečvář, E. Fuchs (ed.): Historie matematiky I, 1994

2. J. Bečvář a kol.: Eduard Weyr (1852–1903), 1995

3. J. Bečvář, E. Fuchs (ed.): Matematika v 19. století, 1996

4. J. Bečvář, E. Fuchs (ed.): Člověk, umění, matematika, 1996

5. J. Bečvář (ed.): Jan Vilém Pexider (1874–1914), 1997

6. P. Šarmanová, Š. Schwabik: Malý průvodce historií integrálu, 1996

7. J. Bečvář, E. Fuchs (ed.): Historie matematiky II, 1997

8. P. Šišma: Teorie grafů (1736–1963), 1997

9. K. Mačák: Počátky počtu pravděpodobnosti, 1997

10. M. Němcová: František Josef Studnička (1836–1903), 1998

11. J. Bečvář, E. Fuchs (ed.): Matematika v proměnách věků I, 1998

12. J. Bečvář, E. Fuchs (ed.): Matematika v 16. a 17. století, 1999

13. M. Bečvářová: Z historie Jednoty (1862–1869), 1999

14. K. Lepka: Historie Fermatových kvocientů (Fermat – Lerch), 2000

15. K. Mačák: Tři středověké sbírky matematických úloh, 2001

16. J. Bečvář, E. Fuchs (ed.): Matematika v proměnách věků II, 2001

17. E. Fuchs (ed.): Mathematics throughout The Ages, 2001

18. K. Mačák, G. Schuppener:Matematika v jezuitském Klementinu v le-tech 1600–1740, 2001

19. J. Bečvář a kol.: Matematika ve středověké Evropě, 2001

20. M. Bečvářová: Eukleidovy Základy, jejich vydání a překlady, 2001

21. P. Šišma: Matematika na německé technice v Brně, 2002

22. M. Hykšová: Karel Rychlík (1885–1968), 2003

23. J. Bečvář, M. Bečvářová, H. Vymazalová: Matematika ve starověku.Egypt a Mezopotámie, 2003

24. J. Bečvář, E. Fuchs (ed.): Matematika v proměnách věků III, 2003

25. E. Fuchs (ed.): Mathematics throughout The Ages II, 2004

26. K. Mačák: Vývoj teorie pravděpodobnosti v českých zemích do roku1938, 2005

27. Z. Kohoutová, J. Bečvář: Vladimír Kořínek (1899–1981), 2005

28. J. Bečvář, M. Bečvářová, J. Škoda: Emil Weyr a jeho pobyt v Itáliiv roce 1870/71, 2006

29. A. Slavík: Product Integration, Its History And Applications, 2007

30. L. Lomtatidze: Historický vývoj pojmu křivka, 2006