Upload
others
View
5
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
StarChildEducation© ii Voorbereidingsberaad 2012
INLIGTINGSBLAD: WISKUNDE
a
acbbx
2
42
)1( niPA )1( niPA niPA )1(
niPA )1(
n
i
n1
1 2
)1(
1
nni
n
i
dnaTn )1(
dnan
n )1(22
S
1 n
n arT
1
1
r
raS
n
n ; 1r
r
aS
1; 11 r
i
ixF
n11
[1 (1 ) ]nx i
Pi
h
xfhxfxf
h
)()(lim)('
0
22 )()( 1212 yyxxd M
2;
2
2121 yyxx
cmxy )( 11 xxmyy
12
12
xx
yym
tanm
222rbyax
In ABC: C
c
B
b
A
a
sinsinsin Abccba cos.2222
CabABCarea sin.2
1
sin.coscos.sinsin sin.coscos.sinsin
sin.sincos.coscos sin.sincos.coscos
1cos2
sin21
sincos
2cos
2
2
22
cos.sin22sin
)sincos;sincos();( xyyxyx
)sincos;sincos();( xyyxyx
n
fxx
n
xxn
i
i2
2
1
Sn
AnAP
)()( P(A of B) = P(A) + P(B) – P(A en B)
bxay ˆ
2)(
)(
xx
yyxxb
StarChildEducation© iii Voorbereidingsberaad 2012
Vraestel 1
StarChildEducation© 1 Vr1-Random
KWADRATIESE VERGELYKINGS STAP 1: Kry alles een kant van die =, sodat jy ‘n nul aan die anderkant het
STAP 2: Faktoriseer of gebruik die formule
2 4
2
b b acy
a
BREUKE : MAAL & DEEL STAP 1: Vereenvoudig elke term bo & onder. Faktoriseer!
STAP 2: Gebruik die resiprook as jy ‘n deelteken het
STAP 3: Kanselleer sovêr jy kan…onthou die strikdas
STAP 4: Skryf alles wat bo oorbly
STAP 5: Skryf alles wat onder oorbly
VOORBEELD 2 2 2
2
2 2 4 2 2 2 3
9 3 2
2 1 2 1 1 3 1
3 3 3 2
2( 1)( 2 3 3 1
3 3 1 1 2
2
x x x x x x
x x x
(x )(x ) (x )(x ) (x )(x )
(x )(x ) (x ) (x )
x x ) (x ) (x )(x )
(x )(x ) (x )(x ) (x )
BREUKE : PLUS/MINUS SONDER = STAP 1: Vereenvoudig elke term bo & onder. Faktoriseer en skryf ALS in hakies!
STAP 2: Skryf die KGV vir jouself in die kantlyn neer
STAP 3: Maal elke term met die KGV
STAP 4: Maal die BOONSTE hakies uit
Pasop vir teken foute!
STAP 5: Vereenvoudig & faktoriseer weer die boonste deel
STAP 6: Kanselleer as jy kan
StarChildEducation© 2 Vr1-Random
VOORBEELD
2 2 2
1 2 1 2
3 2 2 2 1 2
1 2
2 1 2 1
2 1 1
1 1 2 1
2 1 1
1 2 2
2 1 1
3
2 1 1
3
2 1 1
x x x x x x x x
x x x x
KGV x x x
x x
x x x
x x
x x x
x
x x x
x
x x x
BREUKE : PLUS/MINUS MET = STAP 1: Vereenvoudig elke term bo & onder. Faktoriseer en skryf ALS in hakies!
STAP 2: Skryf die KGV vir jouself in die kantlyn neer
STAP 3: Maal elke term met die KGV
STAP 4: Die breuke is nou WEG!!!
Maal die hakies uit – pasop vir teken foute!
STAP 5: Kry al die terme eenkant, vereenvoudig en faktoriseer
STAP 6: Skryf die BEPERKINGS neer
VOORBEELD
110
0110
0109
0109
010842
81042
2410421
2
42
10
2
41
2
2
2
2
of xx
))(x(x
)x(x
xx
xxxxx
xxxxx
x)()(x)(x)(xx)(
xKGV
x
xx
0
02:
x
xBPK
StarChildEducation© 3 Vr1-Random
LINIÊRE ONGELYKHEDE Liniêre ongelykhede werk net soos gewone liniêre vergelykings
…wat jy een kant van die = doen, moet jy aan die anderkant ook doen
VOORBEELD
43
34
2
6
2
8
628
39235
9325
x
x
x
x
x
x
KWADRATIESE ONGELYKHEDE By kwadratiese ongelykhede MOET jy ‘n parabooltjie (of iets soortgelyks) gaan teken!
VOORBEELD
50
05
052
xofx
xx
xx
50
05
052
x
xx
xx
GELYKTYDIGE OPLOSSINGS STAP 1: Herskryf die liniêre vergelyking sodat x (of y) alleen is
STAP 2: Vervang die vergelyking van stap 1 in die kwadratiese vergelyking
STAP 3: Jy moet twee y (of x) antwoorde kry
STAP 4: Vervang hierdie twee antwoorde weer in die liniêre vergelyking om elkeen se x
(of y) maatjie te kry
STAP 5: Skryf jou antwoorde in koördinaat vorm
ONTHOU:
Dit werk net soos
gewone vergelykings
MAAR as jy
maal/deel met ‘n
minus dan moet die
teken omruil
>
Kleur die deel
BO
die x-as in
Die KLEIN
getal moet
EERSTE
staan
<
Kleur die deel
ONDER
die x-as in
StarChildEducation© 4 Vr1-Random
VOORBEELD
)1...(12
712 22
yx
xxyyenyx
0657
71442
71212
7
:in (1) Stel
2
222
22
22
yy
yyyyy
yyyy
xxyy
64,035,1
72
67455
2
4
2
2
yofy
a
acbby
35,1;7,1
7,1135,12
in 1,35y Stel
x
64,0;28,2
28,2164,02
in -0,64y Stel
x
WORTELS PLUS/MINUS: Vereenvoudig eers die onderkant van die wortel
525916 416925
22222 52525169 xxxxx
MAAL/DEEL: Gee vir elke getal/onbekende sy eie wortel en vereenvoudig
326464 98181 bababa 4
2
8
4
8
4
312
74
9
4
81
16
81
16
81
16
a
b
a
b
a
b
ba
ba
STAP 1: Skryf elke getal onder die wortel as die produk van ‘n vierkantsgetal…
2224248 STAP 2: Gee vir elke getal sy eie wortel en vereenvoudig – elke term het nou ‘n getal
langs ‘n wortelgetal
STAP 3: Tel die wortelgetalle bymekaar en vereenvoudig die breuk…
PASOP
vir hierdie stap…doen
dit mooi stadig
StarChildEducation© 5 Vr1-Random
VOORBEELD
3
2
223
222
236
224
22222510
224
22222510
224
22225
842
EKSPONENTE Ken jou eksponent wette
STAP 1: Verander die grondtalle in priemfaktore
STAP 2: Raak van die hakies ontslae, deur die buitenste eksponent met ELKE eksponent
binne die hakie te maal
STAP 3: Split die eksponente deur vir elke eksponent sy eie grondtal te gee
STAP 4: Skuif die negatiewe eksponente
STAP 5: Vereenvoudig deur soortgelyke eksponente en grondtalle saam te sit en dan uit te
kanselleer
OF
STAP 4: Faktoriseer en kanselleer
STAP 5: Herskryf enige breuk met ‘n deelteken
PASOP
vir hierdie stap
…doen dit mooi
stadig
A
Ax
x
1
A
B
A Bx
x
1
BA
B
A
xx
x
BABA xxx .
A
B
A B xx
StarChildEducation© 6 Vr1-Random
2007 2010 2007 2007 3
2008 2009 2007 1 2007 2
2007 2007 3
2007 1 2007 2
2007 3
2007 1 2
3
1 2
5 5 5 5
5 5 5 5
5 5 5
5 5 5 5
5 1 5
5 5 5
1 5
5 5
21
5
.
. .
StarChildEducation© 7 Vr2-5 Rye en Reekse
Wanneer gebruik ons hierdie formules?
Wanneer jy die waarde van terme in die ry/reeks wil bepaal
Wanneer jy die hoeveelheid terme in ’n ry/reeks wil bepaal
REKENKUNDIGE RYE As daar ’n konstante verskil tussen terme is.
Plus / minus heeltyd met dieselfde getal om van een term na ’n ander term te beweeg.
Om die verskil uit te werk 2312 TTTTd
1 ndaTn
MEETKUNDIGE RYE
As daar ’n konstante verhouding tussen die terme is:
Maal heeltyd met dieselfde getal om van een term na ’n ander term te beweeg.
Om die verhouding uit te werk
2
3
1
2
T
T
T
Tr
1. nn raT
Die waarde van die
term.... dis “wie” hy
is
Die eerste
term
Die
konstante
verskil
Die posisie van
die term... dis
“waar” hy staan
Die waarde van die
term.... dis “wie” hy
is
Die eerste
term
Die
konstante
verskil
Die posisie van
die term... dis
“waar” hy staan
StarChildEducation© 8 Vr2-5 Rye en Reekse
KWADRATIESE RYE as die tweede verskil tussen die terme konstant is:
Om die onbekendes in die vergelyking uit te werk
verskila e22 123 TTba cbaT 1
cbnanTn 2
BV Bepaal die aantal terme in die volgende ry: -5; -1; 3; 7; …; 439
Antwoord
?
439
451
5
12
n
T
TTd
a
n
112
4448
445439
415439
)1(
n
n
n
n
dnaTn
BV Die eerste drie terme van ’n meetkundige reeks is m+2; m; 2m-3. Bepaal die waarde van m
Antwoord
23
)2)(3(0
630
6342
)2)(32(
32
2
2
22
2
2
3
1
2
mofm
mm
m
mmmm
mmm
m
m
m
m
T
T
T
T
BV Beskou die ry: 6; 6; 2; -6; -18…
Die eerste term Die tweede term
Maak ’n lysie
van al die
inligting wat jy
het
StarChildEducation© 9 Vr2-5 Rye en Reekse
a) Bepaal die uitdrukking van die nde term
Antwoord
2
42
22
a
a
verskila e
6
06
6623
3 12
b
b
b
TTba
14
626
1
c
c
cbaT
1462 2 nnTn
b) Dui aan dat -6838 in die reeks voorkom
Antwoord
5760
22
68522466
2
4
6852620
14626838
1462
2
2
2
2
2
nofn
a
acbbn
nn
nn
nnTn
-6838 is die 57ste term in die ry
REKENKUNDIGE REEKSE As ’n rekenkundige ry se terme bymekaargetel word.
122
ndaSn
n
Die waarde as n
terme
bymekaargetel word
Die eerste
term Die konstante
verskil
Die aantal terme wat
bymekaargetel word
n moet ‘n
POSITIEWE
HEELGETAL
wees
StarChildEducation© 10 Vr2-5 Rye en Reekse
MEETKUNDIGE REEKSE (1van2) as 'n meetkundige ry se terme bymekaargetel word en die verhouding 'n breuk is
r
raS
n
n1
1
As die verhouding ’n breuk is, sal die reeks konvergeer.... dit beteken: hoe meer terme
bymekaargetel word, hoe nader kom die antwoord aan ’n sekere getal
Ons kan dus die som tot oneindig gaan uitwerk:
r
aS
1
MEETKUNDIGE REEKSE (2of2) As ’n meetkundige ry se terme bymekaargetel word en die verhouding ’n groter as 1 is.
1
1
r
raS
n
n
BV. Karen spaar geld om ’n fiets wat R2950 kos te koop. Sy spaar die eerste maand R160 en daarna spaar sy elke maand R30 meer as die vorige maand. Hoe lank sal dit neem voor sy haar fiets kan koop?
ANTWOORD
BV. Gegee die meetkundige reeks:
...4
3
2
336
a) Bereken die som van die eerste 11 terme b) Bereken die som tot oneindig
Dit werk net as r ’n breuk is
.11 r
Die waarde as n
terme bymekaar
getel word
Die eerste
term Die konstante
verskil
Die aantal terme wat
bymekaar getel word
StarChildEducation© 11 Vr2-5 Rye en Reekse
?
2950
30
160
n
Sn
d
a
5902930
5900290300
]30290[5900
]3030320[5900
)30)(1()160(2[2950
])1(2[
2
2
2
2
nn
nn
nn
nn
n
dnaSn
n
n
67,1910
)3(2
)590)(3(422929
2
42
nofn
na
acbb
ANTWOORD a)
2
1
6
11
?11
r
a
n
S
994,11
1
)1(
2
11
11
2
116
11
S
r
raSn
n
b)
6
112
1
12
aS
r
Beskou die volgende reeks getalle: 2; 5; 2; 9; 2; 13; 2; 17; … en bereken die som van die eerste 100 terme van die reeks
)13,9,5()2,2,2( 5050100 SSS
0
2
50
?2,2,250
d
a
n
S
4
5
50
?13,9,550
d
a
n
S
50
[2 ( 1) ]2
50[2(2) ( 1)(0)]
2
100
n
nS a n d
S n
50
[2 ( 1) ]2
50[2(5) (50 1)(4)]
2
5150
n
nS a n d
S
52505150100100 S
StarChildEducation© 12 Vr2-5 Sigma Notasie
Sigma Notasie is ‘n wiskundige manier om vrae oor ‘n reeks te vra:
n
k
k1
2412
Wat doen ons?
a) Gebruik die formule wat gegee word en bepaal die eerste 3 terme van die reeks
b) Maak ‘n inligtingslysie
c) Ignoreer nou die en doen die som soos ‘n gewone reeks som
BV
Bereken
2
2
2
18
k
k
ANTWOORD
8
18
4
18
2
18
24
2
13
23
2
12
22
2
11
T
T
T
?
2
1
2
1
S
r
a
BV
Bereken
8
1
22.3
k
k
ANTWOORD
1223
623
323
133
122
111
T
T
T
8
?
2
3
8
n
S
r
a
Die waarde van k
by die LAASTE
term
Die waarde van k by
die EERSTE term Tn
Die formule om elke
term te bepaal
Sn
Die antwoord as die
terme bymekaar getel
word
StarChildEducation© 13 Vr2-5 Sigma Notasie
1
1
1
2
12
1
r
aS
765
12
123
1
1
8
8
S
r
raS
n
n
BV
Bepaal n in 1
1
1
12
1
17
5 1
8 3
14
2 2k
n pr
r p
k
ANTWOORD 1
1
5 1
8 3
p
p
72
513
3
1.
8
53
24
512
3
1.
8
52
8
511
3
1.
8
51
T
T
T
?
3
1
8
5
S
r
a
16
15
1
1
3
18
5
r
aS
12
1
17
2k
k
2372
1
2
527
2
1
3172
1
3
2
1
T
T
T
12
?
3
12
2
1
n
S
d
a
3
1122
132
2
12
122
12
S
ndan
Sn
StarChildEducation© 14 Vr2-5 Sigma Notasie
12
11
1
1
72
1
3
1
8
5
2
14
kp
pn
r
r
k
1
151
16234
rn
r
2
1
2
14
12
14
22
14
3
3
2
2
1
1
T
T
T
?
16
153
2
1
2
n
S
r
a
n
6
22
1
12
16
153
1
1
6
2
1
64
1
2
1
64
63
2
1
32
63
2
11
2
112
n
n
r
raS
n
n
n
n
n
n
BV Voltooi die regterkant van die vergelyking:
....
1
.....45......13951n
ANTWOORD
.....13951
?
3
1
nT
d
a
34
441
)4)(1(1
)1(
n
n
n
dnaTn
12
448
3445
34
n
n
n
nTn
12
11
34n
k
nk nT
StarChildEducation© 15 Vr2-5 Sigma Notasie
BV Gegee
1 5
6
n
n
k
a) Bepaal die waardes van k waarvoor die reeks sal konvergeer
ANTWOORD
5
6
5
6
5
6
1
2
1
2 k
k
k
T
Tr
5
12
5
1
15
61
11
k
k
r
b) As die reeks konvergeer, toon aan dat
k
kS
511
65
ANTWOORD
k
k
k
k
k
k
r
aS
k
k
k
k
511
65
115
65
1
1
1
5
1
5
1
5
11
5
6
5
6
5
6
5
6
5
6
c)
Bereken vervolgens
1 5
6
n
n
k as k=2
ANTWOORD
4
)2(511
6)2(5
511
65
k
kS
StarChildEducation© 16 Vr6-8 Funksies
y-afsnit
POSITIEWE helling
(opdraende)
NEGATIEWE helling
(afdraende)
HELLING/
GRADIËNT
HELLING/
GRADIËNT
REGUITLYN cmxy
11 xxmyy
12
12
xx
yym
Lyne wat LOODREG op mekaar lê se hellings is mekaar se omgekeerdes
Bv 2
11 m en
1
22 m sodat 121 mm
Lyne wat parallel met mekaar lê se hellings is dieselfde
Bv 2
11 m en
2
12 m
StarChildEducation© 17 Vr6-8 Funksies
Standaard Formule
…
ook op jou formule
blad
DRAAIPUNT
(p;q)
a is jou vorm
a=positief
SMILEY
FACE
a=negatief
SAD FACE
X-AFSNITTE
(x1;0) en (x2;0)
a is jou vorm
PARABOOL cbxaxy 2
qpxay 2
21 xxxxay
412 xy 31 xxy
HIPERBOOL q
px
ky
32
1
xy 3
2
1
xy
Vertikale (x)
asimptoot
…
Kyk mooi vir die
teken
Horisontale (y) asimptoot
k=positief
1ste en 3de kwadrant k=negatief
2de en 4de kwadrant
x
Vorm
StarChildEducation© 18 Vr6-8 Funksies
a is positief, daarom loop
grafiek opwaarts
a is positief, daarom loop
grafiek opwaarts
a is positief, daarom loop die
grafiek opwaarts
a is negatief, daarom loop die
grafiek afwaarts
a is positief, daarom loop
grafiek opwaarts
b>1, daarom loop die grafiek
links na regs b>1, daarom loop grafiek links
na regs
0<b<1, daarom loop die grafiek
regs na links
EKSPONENSIËLE FUNKSIE
qbay x .
23.2 xy 2
3
1223.2
xxy
23.2 xy 23
1223.2
xxy
StarChildEducation© 19 Vr6-8 Funksies
a is positief, daarom loop
grafiek opwaarts
a is positief, daarom loop die
grafiek opwaarts
a is positief, daarom loop
grafiek opwaarts
a is negatief, daarom loop die
grafiek afwaarts
a is positief, daarom loop
grafiek opwaarts
b>1, daarom loop die grafiek
links na regs b>1, daarom loop grafiek links
na regs
0<b<1, daarom loop die grafiek
regs na links
LOG grafiek
xay blog
xy 2log xy 2log
x
xxy1
logloglog 2
2
12 xxy
2
12 loglog
StarChildEducation© 20 Vr6-8 Funksies
x
x
y
xf
3
3
xxf
xy
x y
3
3
log
log
3
xxf
xy
yx
yx
x
x
y
y
3
3
log
log
3log
log
3loglog
3loglog
3
INVERSE x en y ruil plekke om OF die grafiek reflekteer om die lyn y=x
Voorbeeld 1 As dan is die inverse
Die inverse sal slegs ‘n funksie wees as elke x-waarde op
die grafiek slegs een y-waarde het
FUNKSIE NIE-FUNKSIE
FUNKSIE as 0y of FUNKSIE as 0y
StarChildEducation© 21 Vr6-8 Funksies
Skryf die
KLEINSTE
getal altyd
EERSTE
SNYPUNTE Ons kry die snypunte tussen enige twee grafieke deur die twee funksies gelyk aan mekaar te stel
VOORBEELD
872 xxxf en 243 xxg word hieronder getoon. Bepaal die
snypunte van die twee funksies
28
280
16100
24387
2
2
xofx
xx
xx
xxx
xgxf
0;818;2
1824232
g(x)in 2 xStel
en
g
DEFINISIE & WAARDEVERSAMELING Definisie versameling is al die x-waardes waarvoor die funksies gedefinieer is:
VOORBEELD: RD xf
Waardeversameling is al die y-waardes waarvoor die funksie gedefinieer is:
VOORBEELD: 9;xfW
TRANSFORMASIES As die funksie op of af skuif, wys ons dit aan die einde van die vergelyking aan
VOORBEELD: Skuif xf 3 eenhede op en xg 4 eenhede af
3873 2 xxxf 42434 xxg
As die funksie links of regs geskuif word, wys ons dit by die x in die vergelyking
VOORBEELD: Skuif xf 3 eenhede regs en xg 4 eenhede links
837332
xxxf 24434 xxg
Sien jy dis -3 as ons 3 regs skuif? Sien jy dis +4 as ons 4 links skuif?
StarChildEducation© 22 Vr9 Finansies
ONTHOU om ’n tydlyn te teken
wanneer geld meer as een keer
gedeponeer / onttrek word!
’n Enkel bedrag word vir ’n tydperk belê
ENKELVOUDIGE RENTE
Bv. Huurkoop
)1( niPA
SAAMGESTELDE RENTE
Bv. Inflasie
nm
m
iPA
1
A = Eindbedrag
P = Begin bedrag / kapitaal
i = Rente 100
n = Jare
m = Saamgestel
Jaarliks m = 1
Halfjaarliks m = 2
Viermaandeliks m = 3
Kwartaalliks m = 4
Tweemaandeliks m = 6
Maandeliks m = 12
Weekliks m = 52
Daagliks m = 365
VOORBEELD
Lindiwe ontvang ’n beurs van R80 000 vir haar studies by ’n universiteit. Sy belê die geld teen ’n
rentekoers van 13,75% per jaar, jaarliks saamgesteld. Sy besluit om R25 000 aan die einde van
elke jaar te onttrek om vir haar studies te betaal. Bepaal hoeveel vol jare die belegging haar
studies sal kan ondersteun
1
1375,0
80000
m
i
P
BELEGGINGS
StarChildEducation© 23 Vr9 Finansies
31,56960
)1375,01(50075
)1(
500752500075075
75075
)1375,01(66000
)1(
660002500091000
91000
)1375,01(80000
)1(
1
32
1
21
1
10
n
n
n
iPA
TT
iPA
TT
iPA
TT
12916
)1375,01(11354
)1(
113542500036354
36354
)1375,01(31960
)1(
319602500056960
1
54
1
43
n
n
iPA
TT
iPA
TT
12083250001291665 TT
Sy kan vir 5 jaar studeer
REGLYNIGE WAARDEVERMINDERING
)1( niPA
WAARDEVERMINDERING MET VERMINDERDE SALDO
nm
m
iPA 1
A = Verminderde waarde / boeke waarde
P = oorspronklike waarde
i = rente 100
n = jare
m = saamgestel
WAARDEVERMINDERING
StarChildEducation© 24 Vr9 Finansies
VOORBEELD
’n Fotokopieërder met ’n waarde van R24 000 depresieer teen ’n tempo van 18% p.j. op die
verminderde saldo metode. Na verloop van hoeveel jaar sal die waarde van die masjien R15 000
wees?
1
180
24000
15000
m=
n=?
.i=
P=
A=
yearn
n
PA
n
n
n
n
nm
m
i
37.282.0log
625.0log
82.0log625.0log
82.0log625.0log
82.0625.0
18.01625.0
1
18.012400015000
1
1
’n bedrag wat geleen word en oor ’n tydperk (met vaste paaiemente) terugbetaal word
m
i
nm
mix
P
11
P = Bedrag wat geleen word
x = Paaiemente
i = Rente 100
n = Jare
m = Saamgestel
nm = Aantal paaiemente
Paaiemente word betaal soos die rente saamgestel word
As die rente kwartaalliks saamgestel word, betaal jy elke kwartaal ’n paaiement
LEEN (Present value)
PASOP VIR
SKRYFFOUTE!
StarChildEducation© 25 Vr9 Finansies
VOORBEELD
Rowan beplan om ’n motor vir R125 000 te koop. Hy betaal ’n deposito van 15% en neem ’n
lening by die bank uit vir die balans. Die bank vra 12,5% p.j maandeliks saamgestel
Bereken die waarde van die lening by die bank.
6
12
125,0
125000
n
m
i
P
106250
18750125000
18750
12500%15
DepTotaalLening
vanDep
Bereken die maandelikse paaiemente op die motor indien die lening oor 6 jaar terugbetaal word.
94,2104
)52,0(1106
111106
11
106250
11
72
12
125,0
12125,0
612
12
125,0
x
x
x
x
mi
x
P
nm
m
i
Annuïteite en Delgingsfondse.... jy spaar nou sodat jy nie later hoef te leen nie.
m
i
nm
mix
F11
P = Bedrag wat jy wil spaar
x = Paaiemente
i = Rente 100
n = Jare
m = Saamgestel
nm = Aantal paaiemente
SPAAR (Future Value)
StarChildEducation© 26 Vr9 Finansies
VOORBEELD
‘n Skool koop ‘n dupliseer masjien vir R100 000. Hulle besef dat dit oor 5 jaar vervang moet
word. Die inflasiekoers sal na verwagting 7% per jaar wees en die waarde van die huidige
toerusting behoort teen ‘n tempo van 5% per jaar te verminder
Hoeveel sal dit kos om oor 5 jaar ‘n nuwe dupliseer masjien te koop?
1
07,0
5
100000
m
i
jrn
P
17,140255
1
07,01100000
1
5
nm
m
iPA
Bepaal die afskryfwaarde van die huidige masjien.
1
05,0
5
100000
m
i
n
P
09,77378
1
05,01100000
1
5
nm
m
iPA
Bereken die bedrag geld wat nodig is om ’n nuwe masjien te koop as jy die oue kan inruil
08.6287709,7737817,140255Bedrag
Hoeveel moet maandeliks in ’n delgingsfonds betaal word om die koste van die aankoop van ’n
nuwe masjien te dek as die rentekoers 11.2% per jaar, kwartaalliks saamgestel, is?
5
62877
4
112,0
?
n
F
m
i
x
01,2388
)737,0(1760
111760
11
62877
11
20
4
112,0
4112,0
54
4
112,0
x
x
x
x
x
Fm
i
nm
m
i
StarChildEducation© 27 Vr9 Finansies
NOMINALE rente is rente wat anders as jaarliks SAAMGESTEL word
EFFEKTIEWE rente is saamgestelde rente wat JAARLIKS SAAMGESTEL WORD
VOORBEELD
Bepaal die waarde van R25 000 wat vir 5 jaar teen 10% kwartaalliks saamgestelde rente belê
word.
41.40965
125000
1
45
4
1.0
nm
m
iPA
Bepaal die effektiewe rente koers
1038.0
1038.11
11
11
4
4
1.0
i
i
i
im
m
i
Bepaal weer die waarde van die R25 000, maar met die effektiewe rentekoers
41.40965
125000
1
15
1
1038.0
nm
m
iPA
NOMINAAL & EFFEKTIEF
mm
ii 11
StarChildEducation© 28 Vr10 Differensiasie
Jy móét dit nog differensieer.
Die simbole ís die vraag, daarom
hoef geen woorde in die vraag
gebruik te word nie
Klaar gedifferensieer
A
B
A Bx
x
1
A
B
A B xx
Wat beteken die SIMBOLE?
xxD
xxdx
d
x 32
32
2
2
34
34
xxf
xdx
dy
METODE Maal die x se eksponent met die x se koëffisiënt. Skryf die x en trek 1 van die oorspronklike
eksponent af
OF
Maal die ding in die lug met die ding op die grond. Skryf die x en maak die ding in die lug 1
minder
22
1313
33
183
0)3(613
]96[
xx
xx
xxDx
x
dx
dy
xxdx
dy
xxy
5010
)2(25100
25104
1211
2
DIFFERENSIASIE REËLS: Voor jy kortpad differensieer moet jy eers seker maak dat daar geen wortels, breuke of hakies by
jou x’e is nie.
Vir wortels: Gebruik jou eksponent reëls en herskryf die wortels as rasionale eksponente:
...
5
2
5
2
3
2
2
1
3 2
y
xx
xx
y
StarChildEducation© 29 Vr10 Differensiasie
Dit help om die getal
helemal los van die x te
skryf
22
1 33
x
ipvx
A
B
A Bx
x
1
A
B
A B xx
A
Ax
x
1
Vir breuke: Gebruik eksponent reëls vir een-term breuke
413
3
3
2
33
2
1
2
1
2
1
xxxf
x
xy
As jy ‘n een-term noemer het,
gee vir elke term in die teller,
sy eie noemer en vereenvoudig
2
1
41
4
4
x
xx
x
x
xy
2
3
12
1
2
2
140
x
xdx
dy
Faktoriseer en kanselleer as jy kan
4222
3
322
3
62
3
1222
2
2
xx
x
xx
x
xx
x
xxy
2
2
12
0
11
x
xdx
dy
Vir hakies: Maal eers die hakies uit
12
01112
6
32
1112
2
x
xx
xxD
xxD
x
x
StarChildEducation© 30 Vr10 Differensiasie
Gebruik net EERSTE BEGINSELS as daar spesifiek daarvoor gevra word.
Bv Differensieer f deur van eerste beginsels gebruik te maak waar xxxf 2)( 2
ANTWOORD
xxxf 2)( 2
hxhxhx
hxhxhx
hxhxhxf
222
22)2(
)(2)()(
22
22
2
Vervang nou hierdie twee uitdrukkings in die formule vir eerste beginsel:
22
2)0(2
22lim
)22(lim
22lim
2222lim
)2()222(lim
)()(lim)(
0
0
2
0
222
0
222
0
0
x
x
hx
h
hxh
h
hhxh
h
xxhxhxhx
h
xxhxhxhx
h
xfhxfxf
h
h
h
h
h
h
Werk eers f(x) en f(x+h)
apart uit…
onthou f(x+h) beteken dat
jy (x+h) in elke x in die
vergelyking moet
invervang
Pasop vir tekenfoute!
StarChildEducation© 31 Vr11 Derde graadse funksies
Draaipunte/Stasionêre punte…dis waar die helling nul is.
0: xfstelDraaipunte
Stel die x-koördinate van die draaipunt in die oorspronklike vergelyking xf om die y-
koördinate te kry.
Buigpunt/Punt van infleksie…dis die punt op die grafiek waar die konkaviteit
van die grafiek verander
0: xfstelBuigpunt
Stel die x-koördinaat van die draaipunt in die oorspronklike vergelyking xf om die y-
koördinaat te kry.
Die tweede afgeleide gee dus vir ons die aard van die draaipunte:
As 0 xf dan is die draaipunt ‘n lokale minimum (die funksie is konkaaf na bo).
As 0 xf dan is die draaipunt ‘n lokale maksimum (die funksie is konkaaf na
onder)
x-afsnitte…is waar die grafiek die x-as sny
0: ystelafsnittex
Ons gebruik die faktor stelling om die vergelyking te faktoriseer
StarChildEducation© 32 Vr11 Derde graadse funksies
y-afsnit…is waar die grafiek die y-as sny
0: xstelafsnity
BV Skets 3523 xxxy
0: ystelafsnittex
330
310
350
223
2
23
kxxxkxx
kxxx
xxx
k
k
xkxx
2
11
222
2
35
35
k
k
kxxx
Daarom
131
1310
3210
310
2
2
xofxofx
xxx
xxx
kxxx
Raai die eerste faktor… dit sal ‘n faktor van die konstante wees
031511123
f
dus is 1x of 1x ‘n faktor van xf
Dus
3523 xxx kan herskryf word as
31 2 kxxx
0: xstelafsnity
33050023
y
Want
32 xxx
Want
331
Want ons weet nie wat die
getal is nie
StarChildEducation© 33 Vr11 Derde graadse funksies
0: xfstelDraaipunte
13
5
1530
5230
523
2
2
xofx
xx
xx
xxxf
2
1
3
52
3
53
3
5
3
5
9
35
f
2
1
3
59;
0
31511123
f 0;1
Aard van die draaipunte:
26 xxf
0
823
56
3
5
f
f
2
19;
3
5 is die lokale maksimum
0
82161
f
f
0;1 is die lokale minimum
Buigpunt
0: xfstelBuigpunt
3
1
62
260
26
x
x
x
xxf
8,4
33
15
3
1
3
1
3
123
f
8,4;
3
1 is die buigpunt
StarChildEducation© 34 Vr11 Derde graadse funksies
Vir ‘n raaklyn formule het jy
die helling
en ‘n punt
nodig om in cmxy of 11 xxmyy in te vervang
Die draaipunt van xf gee
die x-afsnitte van xf
Die buigpuntpunt van xf
gee die draaipunt van xf
2
21
m
f
gee die helling
1x word gegee
41 f gee y
StarChildEducation© 35 Vr12 Diff Toepassing
DEEL 1: Gewoonlik word iets soos volume/oppervlakte/buite-oppervlakte gevra
VOLUME:
DOppVol 3
BUITE-OPPERVLAKTE
esOppervlaktBO OPPERVLAKTE
Hbl
DOpp
Volume
3
Hb
Hl
bl
BO
blOpp
Hr
DOpp
Volume
2
3
Hr
r
BO
2
2 2
2rOpp
Hhb
DOpp
Volume
2
1
3
Hs
Hs
Hs
hb
BO
3
2
1
2
12
hbOpp 2
1
StarChildEducation© 36 Vr12 Diff Toepassing
DEEL 2: Die x-waarde waarvoor DEEL 1 ‘n minimum of maksimum sal wees word gevra…
a) Differensieer die uitdrukking van DEEL 1 en stel dit gelyk aan nul.
As jy net een antwoord kry, is jy klaar met die som. As jy twee antwoorde kry moet jy gaan kyk
wie die minimum en wie die maksimum is.
b) Differensieer die uitdrukking van DEEL 1 twee keer en stel die antwoorde van a) daarin.
As 0 xf dan is die antwoord die maksimum.
As 0 xf dan is die antwoord ‘n minimum
Die minimum/maksimum oppervlakte/volume/buite-oppervlakte word gevra.
Vervang jou x-waarde in die oorspronklike vergelyking van DEEL 1 in en los op.
BV Die volume van ‘n reghoekige kartondoos word deur die vergelykings
5058 23 xxxxf gegee
a) Bereken die waarde van x waarvoor die volume ‘n
maksimum sal wees.
b) Bepaal die maksimum volume
ANTWOORD Max volume as
0)(&0)( xVxV
53
1
)5)(13(0
5163)(
5058)(
2
23
xofx
xx
xxxV
xxxxV
166)( xxV
014)5( V
dus is daar ‘n minimum volume as 5x
0183
1
V
dus is daar ‘n maksimum volume as
41,47
503
15
3
18
3
1
3
1)(
23
max
VxV
StarChildEducation© 37 Vr12 Diff Toepassing
Sien jy die verskil?
By MIN/MAKS differensieer jy die funksie, stel dit =0 en bepaal die x-waarde.
By TEMPO differensieer jy die funksie en vervang die x-waarde in.
‘n Uitdrukking vir spoed/temperatuur/massa/volume word in terme van tyd gegee.
DEEL 1: Bepaal die spoed/temperatuur/massa/volume as t ‘n sekere waarde is
Vervang die gegewe t waarde in die oorspronklike vergelyking en los op
DEEL 2: Bepaal die tempo van verandering van spoed/temperatuur/massa/volume as t ‘n sekere waarde
is
Differensieer die oorspronklike vergelyking en vervang die gegewe t (of x) waarde daarin
BV
In ‘n eksperiment wat 9 sekondes duur, word die temperatuur T (in C ) van ‘n vloeistof, t
sekondes na die eksperiment begin het, gegee deur 89 23 tttT
a) Wat is die temperatuur van die vloeistof aan die begin van die eksperiment?
b) Bepaal die tempo waarteen die temperatuur verander as t=5 sekondes.
ANTWOORD
88)0(9)0()0( 23 T
1
2
2
.15)5(
)5(18)5(3)5(
183
sCT
T
tttT
tTTempo
StarChildEducation© 38
Vraestel 2
StarChildEducation© 39 Vr1-3 Data hantering
DISKRETE DATA:
Data wat slegs heelgetalle kan wees. Bv. mense
Dit word met kolletjies (wat nie verbind is nie) voorgestel
KONTINUE DATA:
Data wat reële waardes kan hê. Bv. temperatuur & massa
Dit word met kontinue lyne voorgestel
KWALITATIEWE DATA:
Data wat nie getel kan word nie. Bv. kleure & vakke
KWANTITATIEWE DATA:
Data wat getel kan word. Bv. kinders wat spesifieke vakke neem
GEORDENDE DATA:
Data wat in volgorde geskryf is. Bv. in ‘n stingel & blaar diagram
GEGROEPEERDE DATA: Data wat in intervalle verdeel is. Bv. in ‘n frekwensie tabel
StarChildEducation© 40 Vr1-3 Data hantering
Rekenkundige gemiddeld n
xx
Gemiddeld m.b.v. frekwensie tabel n
Fxx
Modus Die getal wat die meeste voorkom
Modale Klas Klas/interval met die meeste inskrywings
Omvang/variasie wydte Grootste getal minus kleinste getal
Mediaan Die middelste waarde Die posisie van die median
word met 12
12 nQ bepaal
Eerste (onderste) kwartiel Die posisie word met 14
11 nQ bepaal
Derde (boonste) kwartiel Die posisie word met 14
33 nQ bepaal
Interkwartiele variasie wydte Die waarde van 3Q minus die waarde van Q1
Variansie 1
22
n
xxs i
Standaard Afwyking 1
2
n
xxs i
STINGEL EN BLAAR DIAGRAM
StarChildEducation© 41 Vr1-3 Data hantering
MOND EN SNOR (HOUER EN PUNT)
HISTOGRAM STAAF GRAFIEK
FREKWENSIE VEELHOEK
1ste
kwartiel
3de
kwartiel Mediaan
Kleinste getal Grootste
getal
StarChildEducation© 42 Vr1-3 Data hantering
OGIEF
FREKWENSIE TABEL
Groepe Telling Frekwensie x Fx Kummulatiewe
Frekwensie
0-9
5 5,42
90
5,45 5
10-19
3 5,142
1910
5,143 5+3=8
20-29 6 2
2920 147 8+6=14
30-39 9 310,5 14+9=23
40-49 5 222,5 23+5=28
TOTAAL 28 746
1ste kwartiel
3de kwartiel
Mediaan
StarChildEducation© 43 Vr4-5 Analitiese Meetkunde
Middelpunt Afstand/Lengte…kyk mooi as jy
die koördinate invervang!
Inklinasie Hoek…
van die x-as af
antikloksgewys tot jy
die lyn tref
Helling Helling /
Gradiënt
Sirkel met middelpunt (a;b) en
radius r
Raaklyn aan sirkel is
LOODREG op radius
AB parallel aan CD dan
CDAB mm
AB loodreg op CD dan
1 CDAB mm
1x word gegee
41 f gee y
Al die formules word vir jou gegee:
Vir ‘n lyn formule het jy
‘n punt
en die helling
nodig om in cmxy of
11 xxmyy in te vervang
StarChildEducation© 44 Vr4-5 Analitiese Meetkunde
Vierkantsvoltooiing om die sirkel se vergelyking te kry:
58)2;4(
5824
582
4
2
8
2
4
2
838
2
44
2
88
3848
03848
22
22
2222
22
22
22
radiusM
yx
yx
yyxx
yyxx
yxyx
Hoe bepaal jy of ‘n koördinaat op ‘n sirkel lê?
Vervang die koördinaat in x en y van die sirkel formule…werk die radius uit asof jy hom
nie het nie
o As jou antwoord = regte radius dan lê die koördinaat op die sirkel
o As jou antwoord > regte radius dan lê die koördinaat buite die sirkel
o As jou antwoord < regte radius dan lê die koördinaat binne die sirkel
Hoogte lyn: Uit een hoek loodreg op die teenoorstaande sy
Swaarte lyn: Uit een hoek na die middelpunt van die teenoorstaande sy
Middelloodlyn: Loodreg en in die middel van ‘n sy
…die lyn gaan nie noodwendig deur ‘n hoek nie
StarChildEducation© 45 Vr6-7 Transformasies
REFLEKSIES Elke punt is ewe ver van die refleksie-as af
– die nuwe figuur is ‘n spieëlbeeld van die oorspronklike
Refleksie:
Om die
x-as
yxyx ;;
y se teken verander
Refleksie:
Om die
y-as
yxyx ;;
x se teken verander
Refleksie:
Om
y=x
xyyx ;;
x & y ruil om
Refleksie:
Om
y=-x
; ;x y y x
x & y ruil om
EN
tekens verander
StarChildEducation© 46 Vr6-7 Transformasies
TRANSLASIES Elke punt is ewe ver van sy oorspronklike posisie af
– die nuwe figuur lyk presies dieselfde, net op ‘n ander plek
ROTASIES MET 90O & 180O
Roteer
90o
kloksgewys
xyyx ;;
Ruil x & y om
EN
die nuwe y se teken verander
Roteer
90o
anti-
kloksgewys
xyyx ;;
Ruil x & y om
EN
die nuwe x se teken
verander
Roteer
180o
yxyx ;;
Verander x & y se tekens
Transleer
op en af
6;8; yxyxx +(regs) of –(links)
y +(op) of –(af)
StarChildEducation© 47 Vr6-7 Transformasies
Rotasie anti-kloksgewys om die
oorsprong
Rotasie kloksgewys om die
oorsprong
ROTASIES MET ANDER GRADE
VERGROOT/VERKLEIN
Soos wanneer jy ‘n transpirant op ‘n triprojektor gebruik
– die nuwe figuur is groter en ‘verder’ weg van die oorsprong af
of die nuwe figuur is kleiner en ‘nader’ aan die oorsprong
kykxyx ;;
k is die vergrotings/verkleinings faktor
StarChildEducation© 48 Vr8 Trig. Driehoeke
5 13
Kyk na jou driehoek
voor jy besluit op die
teken
A S
T C
05sin13 x as 270;90x
STAP 1: Bepaal die kwadrant waar die driehoek geteken moet word
Kry sin/cos/tan alleen
13
5sin
5sin13
05sin13
x
x
x
270;90x
STAP 2:Teken nou die driehoek met die gegewe inligting
r
y
s
tx
13
5sin
STAP 3: Werk die onbekende sy met Pythagoras uit
12
12
14451322222
x
x
yrx
StarChildEducation© 49 Vr8 Trig. Driehoeke
13
-12
ONTHOU As jou driehoekie ‘n enkelhoek gebruik
MOET
jy enkelhoeke in jou somme
gebruik
STAP 4: Gebruik jou driehoek om die vrae te beantwoord
VB Bepaal xtan
12
5tan
x
y
a
tx
VB Bepaal x2sin
169
120
13
12
13
522cossin22sin
s
a
s
txxx
VB Bepaal x2cos
169
1191
13
122121cos22cos
169
119
13
52121sin212cos
169
119
13
5
13
12sincos2cos
222
222
222222
s
axxof
s
txxof
s
t
s
axxx
StarChildEducation© 50 Vr9 Trig. Uitdrukkings
A S
T C
Uitdrukkings werk soos substitusie van graad 8 … een uitdrukking word met ‘n ander
uitdrukking vervang en ALLES wat jy nodig het word vir jou gegee.
STAP 1: Maak alles een term
STAP 2: Vereenvoudig saamgestelde hoeke OF herlei stomphoeke na skerphoeke
yxyxyx
yxyxyx
sin.coscos.sinsin
sin.coscos.sinsin
yxyxyx
yxyxyx
sin.sincos.coscos
sin.sincos.coscos
xxx
xx
xx
xxx
sinsin360sin
sin180sin
sin180sin
cos90sin90sin
xxx
xx
xx
xx
xx
coscos360cos
cos180cos
cos180cos
sin90cos
sin90cos
xxx
xx
xx
tantan360tan
tan180tan
tan180tan
STAP 3: Verander die xtan in ‘n x
x
cos
sin
STAP 4: Herskryf die dubbelhoeke
xxx cos.sin22sin
1cos2
sin21
sincos2cos
2
2
22
x
x
xxx
STAP 5: Verander die 1 in ‘n xx 22 cossin
StarChildEducation© 51 Vr9 Trig. Uitdrukkings
Hier is ‘n paar wat jy gereeld gaan
teëkom:
xxxx
xxxx
cossincossin
coscossin2sin 22
1sin1sin
1sin 2
xx
x
STAP 6: Vereenvoudig/faktoriseer/kanselleer tot jy by die antwoord kom
EN AS JY VASHAAK? Maal met 1
xx
xx
xx
xx
xx
xxLK
cossin
cossin
cossin
cossin
cossin
cossin
Gebruik ‘n ander variasie van x2cos
VOORBEELD1
1
sincos
sinsin2
cos.cos.sin2
sin.cos.cos
sin
sin2
cos2sin
sin.cos.tansin2
cos2sin
sincos.tansin2
cos2sin
sin.cos.tansin2
cos2sin
sincostansin2
cos2sin
720sin180cos180tan90cos2
cos2180sin
22
2
xx
xx
xxx
xxx
x
x
xx
xxxx
xx
xxxx
xx
xxxx
xx
xxxx
xx
xxxx
xx
StarChildEducation© 52 Vr9 Trig. Uitdrukkings
VOORBEELD2
2
1
1
1
3
1.
2
3
45tan
30tan.30cos
12sin.45tan
12sin30tan.30cos
12sin.45tan
12sin30tan.30cos
1290cos.45tan
12sin30tan.30cos
102cos45tan
12sin30tan.30cos
102cos45360tan
12sin30180tan30360cos
258cos315tan
12sin150tan330cos
2
s 3 t
a
1
60
2
s 1 t
a
1
45
2
s 1 t
a
3
30
StarChildEducation© 53 Vr10 Identiteite
A S
T C
Laat die antwoord aan
die RK
jou lei om die regte
variasie van x2cos te
gebruik
HEEL EERSTE: Skryf LK=… of RK=…
STAP 1: Maak alles een term
STAP 2: Vereenvoudig saamgestelde hoeke
yxyxyx
yxyxyx
sin.coscos.sinsin
sin.coscos.sinsin
yxyxyx
yxyxyx
sin.sincos.coscos
sin.sincos.coscos
xxx
xx
xx
xxx
sinsin360sin
sin180sin
sin180sin
cos90sin90sin
xxx
xx
xx
xx
xx
coscos360cos
cos180cos
cos180cos
sin90cos
sin90cos
xxx
xx
xx
tantan360tan
tan180tan
tan180tan
STAP 3: Verander die xtan in ‘n x
x
cos
sin
STAP 4: Herskryf die dubbelhoeke
xxx cos.sin22sin
1cos2
sin21
sincos2cos
2
2
22
x
x
xxx
StarChildEducation© 54 Vr10 Identiteite
Hier is ‘n paar wat jy gereeld gaan
teekom:
xxxx
xxxx
cossincossin
coscossin2sin 22
1sin1sin
1sin 2
xx
x
STAP 5: Verander die 1 in ‘n xx 22 cossin
STAP 6: Vereenvoudig/faktoriseer/kanselleer tot jy by die antwoord kom
EN AS JY VASHAAK? Maal met 1
xx
xx
xx
xx
xx
xxLK
cossin
cossin
cossin
cossin
cossin
cossin
Gebruik ‘n ander variasie van x2cos
VOORBEELD1
AA
AA
A
A
A sincos
cossin
2cos
2sin
2cos
1
RK
AA
AA
AAAA
AAAA
AA
AAAA
AA
AAAA
AA
AA
A
A
A
A
ALK
sincos
cossin
sincossincos
cossincossin
sincos
coscossin2sin
sincos
cossin2cossin
sincos
cossin21
2cos
2sin1
2cos
2sin
2cos
1
22
22
22
22
22
StarChildEducation© 55 Vr10 Identiteite
Graph Limited School Edition
cos x
270
180
90
Waardes waarvoor die identiteit nie DEFINIEERBAAR is nie:
Zk
kA
kA
VH
A
9045
180902
90
02cos
Zk
kA
VH
A
A
A
A
A
AA
AA
18045
45
tan1
cos
sin
cos
cos
sincos
0sincos
ONTHOU OM ALGEMENE EN SPESIFIEKE OPLOSSINGS VAN GRAAD 11 TE
HERSIEN!
StarChildEducation© 56 Vr10 Identiteite
VOORBEELD2
2
3
225cos.104sin
135sin.300sin.480tan
RK
LK
2
3
2
3.
1
3
60sin60tan
45sin14cos
45sin14cos60sin60tan
4590cos1490sin
45sin14cos60sin60tan
45cos76sin
45sin14cos60sin60tan
45cos76sin
45sin14cos60sin60tan
45180cos76180sin
45180sin14cos60360sin60180tan
225cos104sin
225sin.14cos.300sin120tan
225cos.104sin
225sin.14cos.300sin.120360tan
225cos.104sin
135sin.14cos.300sin.480tan
StarChildEducation© 57 Vr11 Trig. Grafieke
Amplitude…
maksimum verplasing
vanaf rotasie as
Translasie links(x+p)
en
regs(x-p)
Aantal golwe in 360o
Translasie op(+q)
en
af(-q)
COS
Graph Limited School Edition
45 90 135 180 225 270 315 360
-1
1cos x
qpxbay cos
VOORBEELDE xy 3cos vir 180;180x
Graph Limited School Edition
-180 -150 -120 -90 -60 -30 30 60 90 120 150 180
-1
1cos 3x
30cos2 xy vir 360;90x
Graph Limited School Edition
-60 -30 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
-2
-1
1
2 2cos x2cos (x-30)
StarChildEducation© 58 Vr11 Trig. Grafieke
Amplitude…
maksimum verplasing
vanaf rotasie as
Translasie links(x+p)
en
regs(x-p)
Aantal golwe in 360o
Translasie op(+q)
en
af(-q)
SIN
Graph Limited School Edition
45 90 135 180 225 270 315 360
-1
1cos x
qpxbay sin
VOORBEELDE
xy 2sin vir 180;180x
Graph Limited School Edition
-180 -150 -120 -90 -60 -30 30 60 90 120 150 180
-1
1sin 2x
xy sin1 vir 360;90x
Graph Limited School Edition
-60 -30 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
-1
1
2
sin x
1+sin x
StarChildEducation© 59 Vr11 Trig. Grafieke
y-waarde by 45o van ‘n
gewone y=tan x grafiek
Translasie links(x+p)
en
regs(x-p)
Aantal golwe in 180o
Translasie op(+q)
en
af(-q)
TAN
Graph Limited School Edition
45 90 135 180 225 270 315 360
-1
1tan x
qpxbay tan
VOORBEELDE
xy 2tan vir 180;90x
Graph Limited School Edition
-67.5 -45 -22.5 22.5 45 67.5 90 112.5 135 157.5 180
-2
-1
1
2tan 2x
xy tan2
1 vir 360;90x
Graph Limited School Edition
-45 45 90 135 180
-1
-0.5
0.5
1
½ tan x
StarChildEducation© 60 Vr11 Trig. Grafieke
TOEPASSING VRAE Vir watter waardes van x is 0)( xg
Graph Limited School Edition
-180 -150 -120 -90 -60 -30 30 60 90 120 150 180
-1
1sin 2x
90;090;180 enxx
Vir watter waardes van x is )()( xgxf
Graph Limited School Edition
-30 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
-2
-1
1
2
g(x)
f(x)
300;120x
Vir watter waardes van x is
5.1)()( xgxf
Graph Limited School Edition
-30 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
-2
-1
1
2
g(x)
f(x)
330;30;30x
Skryf die koördinate neer waar )()( xgxf
Graph Limited School Edition
-30 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
-2
-1
1
2
g(x)
f(x)
1;2701;90 en
Waar lê
g(x) BO f(x)
Of
Waar lê
g(x) ONDER
f(x)
Waar lê g(x) BO
die x-as?
KYK waar lê f(x) 1.5
eenhede BO g(x)
Waar lê g(x) BO
die x-as? Waar lê
g(x) BO f(x)
Of
Waar lê
f(x) ONDER
g(x)
KYK waar lê f(x) 1.5
eenhede BO g(x) Waar SNYx) en g(x)
mekaar?
Waar SNY f(x) en g(x)
mekaar?
StarChildEducation© 61 Vr12 3D Trig
Gebruik as jy
2 hoeke en 1sy
OF
2 sye en 1hoek
het
?
?
Oppervlakte as jy 2 sye
en die ingeslote hoek het
Gebruik as jy
2 sye en 1hoek OF 3 sye het
en die SIN reël nie werk nie
?
StarChildEducation© 62 Vr12 3D Trig
STAP 1: Probeer eers graad 10 trig gebruik
STAP 2: Gebruik die SIN reël as jy kan
STAP 3: Gebruik die COS reël as jy moet
STAP 4: Gebruik die OPPERVLAKTE reël as jy dit nodig het
VOORBEELD In die figuur hieronder staan Hector by punt A – die bopunt van gebou AB – wat 50m hoog is.
Hy sien twee motors C en D, wat in dieselfde horisontale vlak as B is. Die hoogtehoek van C na
A is 55o en die hoogtehoek van D na A is 48o. CÂD=71o
Bereken die lengtes van AC en AD, korrek tot 1 desimaal
mAC
ACs
t
0,6155sin
50
5055sin
mAD
ADs
t
3,6748sin
50
5048sin
Bereken die afstand tussen die twee motors, CD
mCD
AADACADACCD
7,74
71cos3,676123,6761
cos.2
22
222
Bereken die oppervlakte van ACD
25,66871cos3,67612
1cos..
2
1mAADACOppACD
A
C D
71
m50
55
A
C B
m50
48
A
B D