STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic

7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic

1/42

3. Stabilnost konstrukcija 1

6. STABILNOST KONSTRUKCIJA

V as

v. prof. Dr Mira PetronijeviProf. Dr Stanko Bri


2/42


U analizi stabilnosti nosaa traimooptereenje pri kome e se pored prvobitnog

ravnotenog poloaja javiti drugi ravnotenipoloaj, tj. trenutak pojave indiferentnogstanja, ili stanja bifurkacione ravnotee.

Taka u kojoj konstrukcija gubi stabilnost se

naziva kritina taka (critical point). Postoje 2vrste kritine take: granina taka (limit point)

taka bifurkacije (bifurcation point)

6.7Analiza elastine stabilnosti


3/42


Granina taka(limit point) je taka ukojoj je iscrpljena sposobnost sistema

da primi dodatno optereenje, tako daprirast deformacije dovodi do padakapaciteta optereenja.


4/42


Taka bifurkacije je taka u kojoj sepored jednog ravnotenog poloaja

javlja i drugi ravnoteni poloaj. Fenomen koji se pritome javlja naziva

se izvijanje.


5/42


bifurkacija

limit(granica elastinestabilnosti)

I

II

Horizontalno pomeranje

Horiz

ontalno

optereen

je

H

H=P

H=P


6/42


Kritino optereenje je optereenje pri komese javljaju dva mogua ravnotena poloaja.

Postupak odreivanja kritine take tj.kritinog optereenja nije jednostavan.Kritina taka se globalno moe definisati kaotaka posle koje matrica krutosti sistema

prestaje da bude pozitivno definitna.


7/42


U taki bifurkacije matrica krutostisistema postaje singularna.

Za inenjersku praksu je od najveeginteresa odreivanje kritinogoptereenja, tj. optereenja pri kome

dolazi do gubitka stabilnostikonstrukcije.


8/42


Praktino imamo 2 problema: Odreivanje kritine take (taka bifurkacije)

Odreivanje ponaanja konstrukcije poslekritinog poloaja

Samo mali broj konstrukcija se ponaa takoda se javlja idealna bifurkacija (imperfekcija u

geomeriji, materijalu i optereenju smanjujemogunost pojave bifurkacije)


9/42


U okviru analize stabilnosti konstrukcijabaviemo se samo problemom

odreivanja kritinog optereenja, tj.take bifurkacije.

Problem post-kritinog ponaanja

konstrukcije je daleko sloeniji, zahtevaprimenu nelinearne analize i nijepredmet prouavanja.


10/42


6.7.1 Odreivanje kritinog optereenja

U taki bifurkacije sistem se nalazi u indiferentnojravnotei.

U stanju indiferentne ravnotee druga varijacija

potencijalne energije sistema je jednaka nuli.

20

q

stabilnoindiferentnolabilno


11/42


Taku bifurkacije, tj. kritino optereenjeemo matematiki odrediti primenom

matrine analize iz uslova da je drugavarijacija potencijalne energije sistema(tj. nosaa) po pomeranjima jednakanuli.

2 0


12/42


Potencijalna energija sistema jednaka je

*T *T1

2 * * * *

0 gq K + K q S q

deformacioni rad radspoljanjihsila

sA R


13/42


Potencijalna energije je dobijena izjednaina L.T. II reda - priblino reenje.

U izrazu za potencijalnu energiju

- su unutranje sile

- su spoljanje sile* * *S = P +Q

* * *0 gK + K q


14/42


*

0

*

g

K

K

- matrica krutosti sistema po linearnoj teorji

- geometrijska matrica krutosti sistema

Dobijaju se iz osnovnih matrica krutosti pojedinihtapova u globalnom sistemu, postupkom kodnihbrojeva.


15/42


Veze izmeu matrica krutosti tapova uglobalnom i lokalnom sistemu su:

gde je T - matrica transformacije tapa.

* t * t

0 0K T K T K T K Tg g


16/42


Prva varijacija potencijalne energije po q*je

Druga varijacija potencijalne energije po q*

je:

2 0 * * *0 gK + K q

*T * * *0 g

K + K q S


17/42


U stanju bifurkacione ravnotee 2=0. Kada se ujednainu bifurkacione ravnotee uvedu granini uslovi,dobija se da je:

gde index noznaava nepoznata pomeranja.

- vektor pomeranja u slobodnim vorovima nosaa

- varijacija vektora pomeranja

- submatrica uz nepoznata pomeranja

* 0nnn * *0 gK +K q

*

nq

nn

* *

0 gK +K

*nq

*

nq


18/42


Za egzistenciju reenja potrebno je dadeterminanta submatrice sistema bude jednakanuli:

Dakle, problem odreivanja kritinogoptereenja se svodi na reavanje linearnogproblema svojstvenih vrednosti matricelinearizovane teorije II reda - priblino reenje.

det 0nn

* *0 gK +K

nn

* *

0 gK +K


19/42


U analizi bifurkacione stabilnostipretpostavlja se da je su aksijalne sile utapovima poznate i odreene po Teoriji Ireda.

Ako se intezitet optereenja menja linearno,proporcionalno parametru , tada se iintenzitet sila u tapovima menjaproporcionalno parametru , tj.geometrijska matrica tapa je

Kg a geometrijska matrica sistema je *

gK


20/42


Uslov za bifurkacionu stabilnost postaje:

Jednaina predstavlja problem svojstvenihvrednosti. U razvijenom obliku, gornja

jednaina predstavlja polinom n-tog

stepena po . Koreni tog polinoma (nule)predstavljaju karakteristine vrednosti:

1, 2, 2 ,... , n

det 0nn* *

0 gK + K


21/42


Reenje za ise dobija odreivanjem nulakarakteristinog polinoma (za n


22/42


Dakle, kritino optereenje Pcr=P je najmanjeoptereenje koje se dobija iz netrivijalnogreenja homogenog problema linearizovane

Teorije II reda.

Ono predstavlja priblino reenje problemastabilnosti, poto su sile u tapovima Sdobijenepo Teoriji I reda

*

** *

0

det 0

gde je

nn

gnn nn nn

K

K K K


23/42


Pri kritinom optereenju se javlja drugiravnoteni poloaj sistema, definisanvektorom q1 , koji odgovarasvojstvenoj vrednosti 1.


24/42


Kritini svojstvenivektor se dobijareenjem jednaine:

Kritini vektor jemogue odrediti dona konstantu, tj.u funkciji jedneizabrane vrednostinpr.

*1 ,1 0nnn

* *0 gK + K q

*

1,1

**2,12,1

*

,

**,1,1

1

nn

q

qq

qq

n 1q

*

1,1 1q


25/42


Tanije reenje po Teoriji II reda sedobija korienjem tanih matrica krutostitapova

U tom sluaju je problem odreivanja

svojstvenih vrednosti je transcedentalan.Moe se reiti iterativnim tehnikama iliprobanjem.

*

det ( ) 0 (funkcije ( ))innK


26/42


6.7.2 Postupakreavanjalinearizovane elastine stabilnosti1.Odredi se matrica krutosti sistema po Teoriji I reda

K*0i rei linearni statiki problemza= 1

tj. odrede se aksijalne sile u tapovima nosaa S.

2. Srauna se geometrijska matrica sistema K*g

3. Rei se problem svojstvenih vrednosti:

tj.

*nnn *

0 0K q p

* 0nn * *0 gK + K q* *

, , , ,nn n i i nn n i * *

0 gK q K q*

, , i n i q


27/42


Najmanja svojstvena vrednost1definiesvojstveni vektor q1koji predstavlja I ton

izvijanja. Ostale svojstvene vrednosti iodgovarajui svojstveni vektori definiupreostale tonove izvijanja.


28/42


6.7.3 Primer 1

Odrediti kritinu silu konzolnog nosaapomou priblinog i tanog reenja

linearizovane teorije II reda (1. Euler-ovsluaj)

EI

L2

24e

EIP

L

P


29/42


Sq1q2

q3q4

X =x

Y =y

x

L

1

Mogua pomeranja: q1 , q2, q3, q4

Nepoznata pomeranja: q3, q4


30/42


Priblino reenje - matrica krutosti tapa

2 2

0 3

2 2

2 2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

36 3 36 33 4 3

36 3 36 330

3 3 4

g

l l

l l l l EIK

l ll

l l l l

l ll l l l S

Kl ll

l l l l

1 2 3 4

1

2

3

4

1 2 3 4

1

2

3

4


31/42


2 2 2 23 3

0

2 2 2 2

2

0 2

12 6 12 6 36 3 36 3

6 4 6 2 3 4 3

12 6 12 6 36 3 36 330

6 2 6 4 3 3 4

30

12 1 3 3 2det det

3 2 4 1

g

g nn

l l l l

l l l l l l l l l S lK K

l l l l EI l EI

l l l l l l l l

S l

EI

lK K

l l

2

1

21cr 2 2 2

= 0

Karakteristini polinom: 135 156 12 0 0.082825

Kritina sila: S 30 2.485 1.008 , -4

e e

EI EIEI P P Eulerova kritina sila

l l l

1 2 3 4 1 2 3 4

1

2

1 2

1

2

3

4

Priblino reenje: det (K0+Kg)nn = 0 / x (l3/EI)


32/42


Tano reenje

1 2 1 2

2 2

2 3 2 4

31 2 1 2

2 2

2 4 2 3

1 2 2 2 2

1 3 22

2 3

1 2 3

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 66 2 6 4

det K 0

12 6= 0 48 -36 = 0

6 4

Kada se unesu funkcije , i dobija se

nn

l l

l l l l EIK

l lll l l l

ll l

l l

n 1

karakteristina jednaina:

cos sin 2 1 cos 0, gde je

Mogua su 2 reenja, od kojih prvo daje kritinu silu jednaku -ovoj:

1) cos = 0 = 2n-1 ,2

Skl l

EI

Euler

2 2

1 11

= S = =2 4

e2 2

EI EIP

l l


33/42


6.7.4 Primer 2

Odrediti kritinu silu obostranoukljetene grede (4. Euler-ov sluaj)

PEI

L2

24e

EIP

L


34/42


Dva konana elementa

3

1 2

l l l= L/2

X=x

Y=y

1 2

q1q2

q3q4

q5

q6

P


35/42


Matrice krutosti prvog elementa:

22

22

)1(

22

22

3

)1(

0

3

4

3

11212

3

1

3

4

1212

10

4626

612612

2646

612612

llll

ll

llll

ll

l

PK

llll

ll

llll

ll

l

EIK

g

1 2 3 4

1 2 3 4

1

2

3

4

1

2

3

4


36/42


Matrica krutosti drugog elementa je istakao za prvi element

Globalna matrica krutosti sistema sedobija sabiranjem matrica krutostipojedinih elemenata

Broj moguih pomeranja je 6 :q1=v1, q2= 1, q3= v2, q4= 2,q5=v3, q6= 3


37/42


Granini uslovi(krajevi tapa):

1 2

q1q2

q3q4

q5

q6

P

1 2

5 6

0 : 0 0

: 0 0

x q q

x L q q


38/42


Prelazni uslovi(sredina tapa)

za simetrinudeformaciju :

4 2

3 2

3

0

0

n

q

q v

q q

1 2

q1q2

q3q4

q5

q6

P

q3


39/42


Globalna matrica krutosti K0:

22

2222

22

30

4626

612612

26446626

612661212612

2646612612

llll

ll

llllllll

llll

llllll

l

EIK

1 2 3 4 5 61

2

3

4

5

6


40/42


Globalna matrica krutosti Kg:1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

22

2222

22

3

4

3

1

12123

1

3

4

3

4

3

112121212

3

1

3

4

1212

10

llll

ll

llllllll

llll

llll

ll

l

PKg


41/42


Iz jednaine stabilnosti:

0

3

3 2

det 0

se dobija samo jedna jednaina (n=3):

(12 12) (12 12) 010

odakle sledi:

24 2.4 0 10

gnn

cr

K K

EI P

ll

EI P EIP

ll l


42/42

Kako je to se dobija:

Tano reenje je

Greka iznosi: 1.32%

Ll 5.0

240L

EI

Pcr

2

24 39.478

e

EIP

L

Documents

STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic