Stabilnost Konstrukcija

Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić 1 6. STABILNOST LINIJSKIH SISTEMA U RAVNI 6.1 MATRICA KRUTOSTI ŠTAPA Prethodno je izvedena je diferencijalna jednačina (Poglavlje Stabilnost štapa), prema teoriji drugog reda, pravog prizmatičnog štapa konstantnog poprečnog preseka opterećenog aksijalnom silom na krajevima:

0 .

U jednačini znak plus (+) odnosi se na slučaj pritisnutog štapa, a znak minus (-) na slučaj zategnutog štapa.

Homogeno rešenje ove jednačine za slučaj pritisnutog štapa glasi:

sin cos ,

gde su integracione konstante.

U cilju pogodne matrične formulacije problema, rešenje za treba prikazati u funkciji generalisanih pomeranja na krajevima štapa. Kako je u pitanju savijanje štapa usled dejstva aksijalne sile, za generalisana pomeranja na krajevima štapa izabrana su pomeranja normalna na prvobitnu, nedeformisanu, osu štapa i obrtanja krajeva štapa (Slika 6.1).

Slika 6.1: Generalisana pomeranja na krajevima štapa

Vektor generalisanih pomeranja na krajevima štapa saglasno uvednim oznakama glasi:

00 ,

Rešenje za može se predstaviti i u matričnom obliku:

· , 6.1

gde su:

1 sin cos , .

Da bi se pomeranje duž ose štapa izrazilo u funkciji generalisanih pomeranja na krajevima štapa , potrebno je da se iskoriste granični uslovi:

č 0 0 0 0

0 0 0

č sin cos0 cos sin

Dobijen je sistem od četiri jednačine koji se može prikazati i u matričnom obliku:

2 Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić

1 00

0 1 0

1 0

sin coscos sin

,

odnosno:

· . 6.2

Iz jednačine (6.2) može se odrediti vektor :

· , 6.3

pri čemu je inverzna matrica oblika:

,

čiji koeficijenti imaju vrednost:

1 cos sin∆

sin

∆

cos sin∆

1 cos

∆

1 cos∆

1 cos sin∆

sin

∆

sin cos∆

∆ 2 1 cos sin .

Ako se iskoriste jednačine (6.1) i (6.3) dobija se izraz za pomeranje u funkciji generalisanih pomeranja na krajevima štapa:

· · .

Definisanjem matrice:

· , 6.4

koja se naziva matrica interpolacionih funkcija ili matrica funkcija oblika, dobija se da je pomeranje duž ose štapa:

· ,

ili

· , 6.5

Elementi matrice određuju se iz jednačine (6.4):

1∆

1 cos sin sin sin sin 1 cos cos

1∆

cos sin 1 cos 1 cos sin sin sin cos cos

1∆ 1 cos sin sin sin 1 cos cos

Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić 3

1∆ sin 1 cos 1 cos sin sin cos .

Kao i u teoriji prvog reda, interpolaciona funkcija predstavlja i u teoriji drugog reda elastičnu liniju obostrano uklještenog štapa opterećenog aksijalnom silom pritiska na krajevima, usled generalisanog pomeranja , pri čemu su sva ostala generalisana pomeranja jednaka nuli (Slika 6.2).

Slika 6.2: Značenje elemenata matrice krutosti štapa tipa k

Da bi se odredila matrica krutosti posmatranog štapa tipa na Slici 6.3 prikazane su i odgovarajuće generalisane sile, vertikalne sile ( , ) i momenti savijanja ( , ), za usvojena generalisana pomeranja.

Slika 6.3: Generalisane sile na krajevima štapa

Matrica krutosti uspostavlja vezu između vektora generalisanih sila i vektora generalisanih pomeranja na krajevima šapa , pa se može napisati:

· , 6.6

gde je:

,

.

.

Elementi matrice krutosti odrediće se direktnim postupkom. Tako na primer, ako se pretpostavi da su svi elementi vektora jednaki nuli osim 1.0, tada iz (7.6) sledi:

1.0000

.

Znači da su elementi prve kolone matrice krutosti jednaki generalisanim silama koje nastaju usled jediničnog generalisanog pomeranja pri čemu su sva ostala generalisana pomeranja jednaka nuli.

4 Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić U fizičkom smislu oni predstavljaju reakcije oslonaca obostrano uklještene grede za zadato čvorno pomeranje, što je prikazano na Slici 6.2a.

Na sličan način mogu se odrediti elementi ostalih kolona matrice krutosti kako je to prikazano na Slici 6.2b,c,d. Prema tome može se zaključiti da je element matrice krutosti jednak generalisanoj sili

koja nastaje usled jediničnog generalisanog pomeranja 1.0 pri čemu su sva ostala generalisana pomeranja jednaka nuli.

Da bi se odredili izrazi za elemente prve kolone matrice krutosti primeniće se jednačina (6.5) kada je 1.0 i 0 za 1,2,3 :

1.0000

,

i dobiti elastična linija štapa:

1∆

1 cos sin sin sin sin 1 cos cos .

Diferenciranjem dobijaju se izrazi:

1∆

sin sin cos 1 cos sin ,

1∆

sin sin 1 cos cos ,

1∆

sin cos 1 cos sin .

Kako je izraz za momenat savijanja u preseku sa apscisom :

, 6.7

mogu se odrediti momenti na krajevima štapa:

0∆

1 cos∆

1 cos ,

∆ sin 1 cos cos ∆ cos 1 .

Iz izraza za vertikalnu silu:

, 6.8

nalazi se:

0 ∆ sin ∆ sin sin ∆ sin ,

∆

sin cos sin sin cos

∆sin sin cos sin sin cos ,

∆ sin .


Slika 6.4: Konvencija pozitivnih znakova pri izvođenju

Pošto je pri izvođenju jednačina (6.7) i (6.8) po teoriji drugog reda korišćena konvencija za pozitivne generalisane sile kao na Slici 6.4, a sada se usvaja konvencija za generalisane sile sa Slike 6.3, potrebno je promeniti znak u izrazima za 0 i .

Prema tome elementi prve kolone matrice krutosti su:

0∆

sin

0∆

1 cos

∆ sin

∆

1 .

Sličnim postupkom mogu se odrediti i ostale tri kolone, pa matrica krutosti štapa tipa po teoriji drugog reda, a koji je opterećen aksijalnom silom pritiska, glasi:

∆

sin 1 cos sin 1 cos sin cos 1 cos sin

. sin

1 cos

sin cos

6.9

Pri matričnoj analizi konstrukcija po teoriji drugog reda pogodno je ako postoji jedan zajednički izraz za matricu krutosti štapa nezavisno od toga da li je štap pritisnut, zategnut ili aksijalno neopterećen. Da bi se to postiglo usvojene su funkcije , , i koje su date u Tabeli 1.

Tabela 1: Funkcije , , i

Funkcija Pritisnut štap Zategnut štap 0

sin

12Δ

sinh12Δ 1.0

1 cos

6Δ cosh 1

6Δ 1.0

sin cos

4Δcosh sinh

4Δ 1.0

sin

2Δ

sinh2Δ 1.0

Δ 2 1 cos sinΔ 2 1 cosh sinh

Konačno opšti oblik oblik za matricu krutosti štapa tipa po teoriji drugog reda je:


12 6 12 6 4 6 2

.

12

6 4

. 6.10

Matrica krutosti zategnutog štapa može se dobiti analogno kako je to pokazano i za pritisnuti štap. Ne upuštajući se detaljnije u ovo izvođenje, može se konstatovati da ako se u izrazu za matricu krutosti pritisnutog štapa (6.9) zameni sa 1 i iskoriste veze između trigonometrijske funkcije imaginarnog argumenta i hiperboličke funkcije realnog argumenta:

ch cos , sh sin ,

dobija se matrica krutosti zategnutog štapa. Tako, na primer, funkcija za zategnut štap glasi:

sin

12 2 1 cos sinsin

12 2 1 cosh sinhsinh

12Δ .

Na sličan način mogu da se odrede i funkcije , i i one su date u Tabeli 1.

U slučaju da štap nije opterećen aksijalnom silom 0 elementi matrice krutosti sračunati po teoriji drugog reda neće se razlikovati od odgovarahućih elemenata sračunatih po teoriji prvog reda. S obzirom na usvojeni opšti oblik matrice krutosti (6.10) to znači da funkcije tada imaju jediničnu vrednost. Da bi se to dokazalo posmatraće se izrazi za funkcije kod pritisnutog štapa kada je

0 . Tada je:

0, sin 0, cos 0,

pa uvedene funkcije dobijaju vrednost:

00

.

Dakle, funkcije sada postaju neodređene, pa je potrebno potražiti njihovu graničnu vrednost kada teži nuli.

Granična vrednost funkcije može se dobiti ako se trigonometrijske funkcije prikažu preko Tejlorovog reda usvajajući približno rešenje sa samo prva tri člana reda:

lim limsin

12 2 1 cos sin

lim 3! 5!

12 2 1 1 2! 4! 3! 5!

lim 3! 5!

12 24! 3! 5!

lim 3! 5!

12 12 5!

lim1 3! 5!

1 12 · 5!

1.0

Na sličan način može se pokazati da i ostale funkcije , , i , imaju jediničnu vrednost kada je 0.

Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić 7 Matrica krutosti štapa tipa može se izvesti na isti način kao i za štap vodeći pri tome računa da je u čvoru zglobna veza, pa je momenat jednak nuli. Usvojena generalisana pomeranja i odgovarajuće generalisane sile za štap tipa prikazani su na Slici 6.5.

Slika 6.5: Generalisana pomeranja i generalisane sile za štap tipa g

Slika 6.6: Značenje elemenata matrice krutosti štapa tipa g

I u ovom slučaju, primenom direktnog postupka, može se zaključiti da elementi matrice krutosti imaju geometrijsko-statičko značenje kako je to prikazano na Slici 6.6.

Kako je već izveden izraz (6.9) za matricu krutosti štapa tipa , umesto primene direktnog postupka, do izraza za matricu krutosti štapa tipa može se doći kraćim putem primenom jednačine (6.6) za slučaj pritisnutog štapa:

. 6.11

Koristeći uslov da je 0 može se iz gornjeg sistema jednačina eliminisati obrtanje tako što će se izraziti u funkciji od ostala tri generalisana pomeranja:

0,

1 cos sin 1 cos sin cos ,

1

sin cos 1 cos sin 1 cos . 6.12

Zamenom (6.12) u (6.11) uz primenu izraza za matricu krutosti štapa tipa (6.9), nalaze se sile na krajevima štapa:

sin cos

cos sin cos


sin cos

sin sin sin

sin cos cos sin cos .

Gornje jednačine mogu se prikazati u matričnom obliku: · , gde su:

, .

Kako matrica uspostavlja vezu između vektora generalisanih sila i vektora generalisanih pomeranja za štap tipa , ona predstavlja matricu krutosti štapa tipa koji je pritisnut aksijalnom silom :

sin cos

cos sin cos sin

. cos . 6.13

Slično kao i za štap tipa i u ovom slučaju može se izvesti zajednički izraz za matricu krutosti štapa tipa za pritisnut, zategnut i aksijalno neopterećen štap i dobiti:

3 3 3 3 3

. 3 , 6.14

gde su funkcije i prikazane u Tabeli 2.

Tabela 2: Funkcije i

Funkcija Pritisnut štap Zategnut štap 0

cos

3 cosh

31.0

sin

3 sinh3

1.0

Δ sin cosΔ sinh cosh

6.1.1 Matrica krutosti štapa u obliku eksponencijalnih redova

U izvedenim izrazima za matrice krutosti štapa u zavisnosti da li je štap pritisnut ili zategnut, pojavljuju se trigonometrijske ili hiperboličke funkcije. U slučaju kada je štap aksijalno neopterećen, koeficijenti matrice krutosti postaju neodređeni, što dovodi do numeričke nestabilnosti u procesu proračuna. Da bi se izbegle numeričke poteškoće, u slučaju kada je aksijalna sila u štapu jednaka nuli treba proračun za taj štap sprovesti prema linearnoj teoriji. Na taj način, u matričnoj analizi linijskih sistema, zasnovanoj na bazi analitičkog rešenja diferencijalne jednačine teorije drugog reda, pojavljuju se tri različita oblika matrice krutosti štapa, zavisno od toga da li je pritisnut, zategnut ili je aksijalna sila u štapu jednaka nuli.

Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić 9 Da bi se analiza pojednostavila, uvodi se alternativan oblik matrice krutosti koji je dat preko eksponencijalnih redova. Matrica krutosti štapa u obliku redova je ista za sva tri slučaja dejstva aksijalne sile, što je naročito pogodno za numeričku analizu pomoću računara.

Polazeći od poznatih izraza:

sinsinh

12 1 !

coscosh 1

12 !

funkcije , 1, … 4, koje se javljaju u matrici krutosti štapa mogu da se prikažu u obliku beskonačnih redova:

112

11

2 1 !

16

12

12 2 !

14

13

2 12 3 !

12

16

12 3 ! 6.15

gde je:

112

2 12 4 !

U prethodnim izrazima znak plus važi za aksijalnu silu zatezanja a znak minus za aksijalnu silu pritiska.

Za efikasnu numeričku analizu neophodno je znati i minimalan broj članova reda koji treba uzeti pri aproksimaciji funkcija da bi se dobila dovoljna tačnost rešenja. Tako na primer, za traženu tačnost:

1,

10

potrebno je uzeti u proračunu 7 do 8 članova reda. 6.1.2 Približno rešenje - Geometrijska matrica krutosti

Pored izvedenog oblika matrice krutosti štapa dobijen na osnovu tačnog rešenja diferencijalne jednačine (6.?), za primenu je pogodniji jedan drugi oblik ove matrice, koji se zasniva na rešenju diferencijalne jednačine linearne teorije štapa. Kako se pomoću rešenja teorije prvog reda traži rešenje teorije drugog reda, to rešenje je približno (aproksimativno). Matrica krutosti štapa koja se pojavljuje u tom rešenju može se odrediti varijacionim postupkom. Varijacioni postupak se zasniva na stavu o stacionarnosti potencijalne energije nosača. (Potencijalna energija nosača ima minimum.) Potencijalna energija nosača jednaka je zbiru unutrašnje energije (deformacionog rada) i potencijalu generalisanih sila u čvorovima nosača. Potencijal generalisanih sila jednak je negativnom radu generalisanih sila. Razmatra se samo fleksiona krutost štapa.


Slika 6.7: Problem stabilnosti štapa

Unutrašnja energija (deformacioni rad)

12

12

12

Potencijal generalisanih sila

Razmatra se problem stabilnosti, tako da postoji samo aksijalna generalisana sila.

cos 1 cos

kako je mali ugao, primenom Maklorenovog reda, i usvajanjem samo dva člana reda

cos 12! 4!

cos 12!

1 12 2

12

·12

Potencijalna energija

Π12

12

Π12

ako je

gde su:

vektor interpolacionih funkcija vektor generalisanih pomeranja u čvorovima

za interpolacione funkcije usvojena je kubna interpolacija i to Hermit-ovi polinomi

Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić 11 sada su prvi i drugi izvod vertikalnog pomeranja ose štapa

Π12

ili Π T

gde su

fleksiona matrica krutosti štapa

geometrijska matrica krutosti štapa

integracijom se dobija fleksiona matrica krutosti štapa:

12 6 12 66 4 6 212 6 12 66 2 6 4

6.16

i geometrijska matrica krutosti štapa:

12 124 3⁄ 3⁄

12 123⁄ 4 3⁄

10 6.17

Geometrijska matrica krutosti štapa ne zavisi od mehaničkih karakteristika štapa, već samo od dužine štapa i aksijalne sile u štapu , pa se zato i zove geometrijska. Na osnovu stava o stacionarnosti potencijalne energije dobija se jednačina stabilnosti

Π0 0

6.2 VEKTOR EKVIVALENTNOG OPTEREĆENJA Kao što je poznato iz matrične analize konstrukcija prema teoriji prvog reda, komponente vektora ekvivalentnog opterećenja predstavljaju koncentrisana opterećenja na krajevima štapa koja zamenjuju spoljašnje uticaje koji deluju duž ose štapa , Δt . Pri tome za komponente vektora ekvivalentnog opterećenja važi ista konvencija za znak kao i za generalisane sile.

U teoriji drugog reda zadržava se ista definicija vektora ekvivalentnog opterećenja (Slika 6.8)

Ekvivalentno opterećenje je jednako negativnim reakcijama oslonaca kruto uklještenog štapa na oba kraja. Da bi se odredile ove reakcije može se koristiti neka od ranije prikazanih metoda za proračun uticaja po teoriji drugog reda, na primer metoda početnih parametara.

Slika 6.8: Komponente vektora ekvivalentnog opterećenja


Slika 6.9: Deformacija ortogonalnog okvira

6.3 P-DELTA EFEKAT U slučaju ortogonalnih okvira uticaj geometrijske nelinearnosti može se relativno jednostavno uvesti u analizu modifikovanjem linearne analize sistema. Na Slici 6.9 je prikazan deformisani oblik ravnog ortogonalnog okvira sa karakterističnim pomeranjem ∆.

Usled gravitacionog (vertikalnog) opterećenja pri horizontalnom pomeranju ∆ nastaje dodatni momenat

· ∆, koji nije obuhvaćen linearnom analizom, jer se uslovi ravnoteže postavljaju na nedeformisanom sistemu. Ovaj sekundarni efekat je poznat pod imenom P-Delta efekat. Analiza u kojoj se vodi računa o ovom efektu naziva se P-Delta analiza. Ona je linearizovana, tako da se rešenje dobija bez iteracija.

Analiza je zasnovana na pretpostavci o poznatim vertikalnim (aksijalnim) silama, koje se ne menjaju tokom deformacije i relativno malom pomeranju ∆ u odnosu na visinu objekta.

Za ilustraciju numeričkog P-Delta efekta razmatra se konzolni nosač na Slici 6.10.

Slika 6.10: P-Delta analiza

Pri horizontalnom pomeranju vertikalna sila pravi momenat , koji može da se predstavi kao ekvivalentan spreg horizontalnih sila:

1.01.0

Ako se poprečne sile odrede u svim tačkama 1,2, … i dodaju zadatim spoljašnjim horizontalnim silama koje deluju na nosač, dobija se matrična relacija linearne analize:

·

gde je matrica poprečne krutosti nosača koja je korenspodentna vektoru horizontalnih (spratnih) pomeranja , vektor ekvivalentnih horizontalnih sila u čvorovima, a korektivna matrica čiji članovi zavise od opterećenja :

1.01.0

Dalje može da se izvede:

· gde je 6.18

Rešavanjem dobijenog sistema algebarskih jednačina određuju se horizontalna pomeranja, na osnovu kojih mogu da se odrede i sile u presecima štapova. Dobijene sile zadovoljavaju uslove ravnoteže na deformisanoj konfiguraciji.

Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić 13 Matrica nije simetrična, što je nepovoljno u postupku rešavanja sistema jednačina, pa se taj nedostatak može otkloniti određenim postupkom.

Momenat vertikalnog opterećenja , koji deluje u čvoru , pri relativnom pomeranju je:

a može se predstaviti i kao ekvivalentni spreg horizontalnih sila koje deluju čvorovima i 1:

1.0 1.01.0 1.0 6.19

gde je ukupno vertikalno iznad čvora . Korektivna matrica je sada simetrična:

diag , , , …

gde je:

1.0 1.01.0 1.0

Veza između poprečnih sila i pomeranja (6.19) formalno je ista kao i veza između transverzalnih sila i pomeranja usled rotacije štapa (sa sprečenim rotacijama krajeva).

12 1.0 1.01.0 1.0 6.20

To omogućava da se efekat geometrijske nelinearnosti ( -∆ efekat) uvede u standardnu linearnu analizu pomoću fiktivnih elemenata (vertikalnih štapova) koji se dodaju realnom sistemu. Karakteristike fiktivnih elemenata (momenti inercije preseka) određuju se na osnovu upoređenja jednačina (6.19) i (6.20):

12 6.21

Ako se realnom statičkom sistemu dodaju fiktivni vertikalni elementi (sa negativnom krutošću) čiji se momenti inercije određuju prema izrazu (6.21), -∆ problem se može rešiti i u okviru linearne analize koristeži standardne računarske programe.

Primer 6.1

Odrediti kriitično opterećenje obostrano uklještene grede primenom metode konačnih elemenata.

Rešenje

Matrica krutosti i geometrijska matrica krutosti celog nosača

12 6 12 66 4 6 212 6 12 12 6 6 12 66 2 6 6 4 4 6 2

12 6 12 66 2 6 4


12 124 3⁄ 3⁄

12 12 12 123⁄ 4 3⁄ 4 3⁄ 3⁄

12 126 3⁄ 4 3⁄

10

Nepoznata pomeranja su: i

Sistem jednačina i rešenja:

24 00 8 10

24 00 8 3⁄

24 24 10 0 10.0 ,42 9.87 1.32%

8 830

0 30.0 ,4 · 4.4934

220.19 48.59%

Primer 6.2

А) Odrediti najmanje kritično opte-rećenje , ako na sistem deluju samo koncentrisane sile. Primeniti metod konačnih elemenata. U proračunu zanemariti uticaj aksijalnih sila na deformaciju ( 0).

B) Ako je 0.7 i ako deluje i ras-podeljeno opterećenje 5.0 / , odrediti obrtanje čvora . (Zanemariti promenu normalnih sila usled raspo-deljenog opterećenja)

Rešenje

A) Određivanje kritičnog opterećenja

Nepoznata pomeranja: , , .

Fleksione matrice krutosti štapova:

1234

12 24 12 242412 24

.

64

5489

12 2424 3212 24

. 64

64


3467

12 36 12 3636 7212 36

. 144

108

Fleksiona matrica krutosti sistema: 245

64 32 032 213.33 24

0 24 12 64

Geometrijske matrice krutosti štapova:

1234

. .

. .

20

5489

.

.

40

3467 .

30

Geometrijska matrica krutosti sistema: 245

128 32 032 384 12

0 12 36 120

· Jednačina stabilnosti: det 0

12064

64 128 32 32 0

32 32 213.33 384 24 120 24 12 12 36

0

1 2 1 0

16 16 213.33 384 24 120 2 1 3

0

2232 3172 1290.66 149.33 0 0.2007770.4124670.807903

12064 0.3765

B) Određivanje obrtanja čvora

0.7 · 0.7 · 0.3765 · 20000 5271

62 · 5271

2 · 200003.0802 1.2050

5 · 36

12· 1.2050 18.0750


5271120

6420000

0.1406 46.0083 36.4979 036.4979 159.3583 22.3133

0 22.3133 6.9398

018.075

0 64

0.24440.30810.9907

· 64⁄· 64⁄· 64⁄

0.3081 · 64

200009.8592 · 10

Documents

Stabilnost Konstrukcija