ÖRNEKLEME ÖRNEKLEME İ İTEORİSİR S

1/30

NİÇİN ÖRNEKLEMENİÇİN ÖRNEKLEME YAPILIR?YAPILIR?

• Zaman Kısıdı• Maliyeti Azaltma• Hata Oranını Azaltma• Hata Oranını Azaltma• Sonuca Ulaşma Hızı

2/30

Örnekleme Teorisi konusunun içinde,

• populasyondan örnek alınma şekli,• örneklerin sahip olduğu özelliklerin incelenmesi gibi konular yer alırincelenmesi gibi konular yer alır.

Bir populasyonu tahminlemek içinyapılan bir örneklemede olması gereken enyapılan bir örneklemede olması gereken enönemli özellik örneğin populasyonuYANSITMASI ve DOĞRU olmasıdır

3/30

YANSITMASI ve DOĞRU olmasıdır.

Örnekleme TipleriÖrnekleme

Tipip

Olas l klOlasılıksal OlasılıklıOlasılıksal Olmayan

Basit Şans TabakalıSistematik Kümeli

KitleYargı Kota

4/30

Basit Şans Örneği

1. Her Populasyon Elemanının Seçilme Şansı EşittirSeçilme Şansı Eşittir

2. Bir Birimin Seçilmesi Diğerlerinin Seçilmesini EtkilEtkilemez

3. Rastgele Sayılar Tablosu, Çekiliş Yöntemi Kullanılır

5/30

Sistematik Örnekleme1. Rastgele bir başlangıçtan

sonra her k’ ıncı eleman so e c e eseçilir.

2 Atlama aralığı:2. Atlama aralığı:k = Populasyon Hacmi

ÖÖrnek Hacmi3. Özellikle telefon

Araştırmalarında Kullanılır

6/30

Si t tik ö kl i b itSistematik örneklemenin basit şans örneklemesine göre , AVANTAJLARIg•Sadece bir şans sayısı seçildiğinden

l t l k l loluşturulması kolay olması, •Örneğe giren bireyler populasyondan eşit bir ğ g y p p ydağılımla seçilmiş olmasıdır.

Bu iki nedenden dolayı sistematikörnekleme basit tesadüfi örneklemeye oranlaörnekleme basit tesadüfi örneklemeye oranladaha daha geçerli sonuçlar verebilir.

7/30

B t jl ğ ü i d d lBu avantajlara rağmen üzerinde durulmasıgereken iki DEZAVANTAJ,g

• Populasyonun periyodik bir varyasyongöstermesi, ( örnekleme işlemine aradamüdahale etmek ve şans sayısını ara sıraş ydeğiştirmek ile giderilebilir. )

• Tahminin standart hatasının bulunmasında• Tahminin standart hatasının bulunmasındagüven aralığı ve hipotez testleri gibiişlemlerin yapılmasında normal dağılışvarsayımının kullanılmamasıdır.

8/30

y

Tabakalı Örnekleme

1. Populasyon Alt Gruplara A l

All Students

Ayrılır– Tamamen ayrık– Tümü kapsayan– İlgilenilen En Az 1 Ortak

k i ik

Commuters Residents

Karakteristik

2. Alt Gruplardan Basit Şans SÖrnekleri Seçilir Sample

9/30

Tabakalı Örneklemede BaşlıcaTabakalı Örneklemede Başlıca Üç Basamak Vardır.Üç Basamak Vardır.

• Populasyonun kendi içlerinde homojen fakat aralarında heterojen tabakalara ayrılması,y ,

• Her tabakadan bağımsız birer örnek seçilmesiseçilmesi,

• Populasyon parametresi için bir tahmin elde edilmesi.

10/30

T b k l Ö kl İ i P lTabakalı Örnekleme İçin Populasyon Ortalamasının Tahmini

1∑ hht yN

N1y ∑=

Nh : h’ıncı tabakadaki örnekleme ünitelerinin sayısısayısı

: h’ıncı tabakadan alınan örneğin ortalamasıhy

N = Σ Nh

11/30

Dikkat Edilecek Noktalar!!!Dikkat Edilecek Noktalar!!!P l t l t h i i t b k• Populasyonun ortalamasının tahmini tabaka

ortalamaları arasındaki farklılıklardantkiletkilenmez.

• Bir başka ifadeyle ‘nin örnekleme hatasıtysadece tabaka içindeki varyasyondan etkilenir.

Üzerinde durulan bir değişken açısındanÜzerinde durulan bir değişken açısındanbüyük farklılık gösteren bir populasyon kendiiçinde homojen tabakalara ayrılırsa basit şansiçinde homojen tabakalara ayrılırsa basit şansörneklemesine oranla bir HASSASİYET eldeedilir

12/30

edilir.

Tabakaya verilen örnekleme ağırlığı Wh = Nh/N y ğ ğ h holarak gösterilirse, populasyon ortalaması için tahmin,

∑=∑=h

hhhht yWyNN1y

şeklinde elde edilir. hN

n1 / N1 = n2 / N2 = ............. = nh / Nh = n / Nolarak ifade edilirse, populasyon ortalamasının tahmini 1W ∑∑şeklinde elde edilir

yynn

yWyh

hhh

hht === ∑∑

13/30

şeklinde elde edilir.

Küme ÖrneklemesiKüme Örneklemesi1 P l K l1. Populasyon Kümelere

AyrılırŞirketler (Kümeler)

Eğer Menajerler Eleman ise Şirketler Kümelerdir.

2. Kümeler Rasgele Seçilir3 Kümenin İçinden Alınan Ö3. Kümenin İçinden Alınan Şans Örneği ya da Kümenin Tamamı Araştırılır

Örnek

Tamamı Araştırılır

14/30

Olasılık Dışı Örneklemeler

1. Yargı– Örnek Seçerken Tecrübeden Faydalanılır

( )2. Quota ( Kota )– Tabakalı Örnekleme ile Benzerdir fakat Şans Örneklemesi Kullanılmaz

3. Kitle (Uygunluk)– En Ulaşılabilir Elemanlar Kullanılır

15/30

ş

Örneklemeye Bağlı HatalarÖrneklemeye Bağlı Hatalar

Kapsam (Çerçeve) Hatası

Örnekleme Hatası

T ki i lik &Tepkisizlik &Ölçüm Hataları

Toplam Populasyon(Öğrenciler)

Örnek Çerçevesi(Rehberdeki Öğrenciler)

Planlanan Örnek(Seçilen Öğrenciler)

AsılÖrnek

16/30

( ğ ) Öğrenciler) ( ç ğ )

Ortalama Karesel HataOrtalama Karesel Hata( Mean Square Error )( Mean Square Error )

Örnekleme planlarının değerlendirilmesindekullanılan ölçülerden birisi tahmin hatalarınınkullanılan ölçülerden birisi tahmin hatalarınınkarelerinin ortalamasıdır. Buna ortalamakaresel hata ( mean square error ) adı verilir vekaresel hata ( mean square error ) adı verilir vekısaca OKH ( MSE ) şeklinde gösterilir.

OKH = 1 / n Σ ( tahminin hata kareleri )

şeklinde hesaplanır17/30

şeklinde hesaplanır

Örnek: Populasyon N = 4 bireyden oluşsun BuÖrnek: Populasyon N 4 bireyden oluşsun. Bubireyler a,b,c ve d ile gösterilsin ve a = 2, b = 3 , c = 5 ,d =12 olsund 12 olsun.

Burada yapılmak istenen N = 4 bireyden n = 2bireylik örnek seçip, seçilen örneğin değerlerindenhareketle populasyon toplamını tahmin etmektir. 4bireyden 2 bireylik bir örneğin seçilmesi için en basityöntem a’dan d’ye kadar 4 harfi ayrı ayrı kağıtparçaları üzerine yazmak, kağıt parçalarını katlayarakbir torba içine atmak ve daha sonra torbadan iki kağıdıçekmektir. Bu yöntem bir basit şans örneklemesidir.

18/30

Tablo 1. N = 4 bireyden oluşan bir populasyondan yapılan n=2 bireyli basit şanspopulasyondan yapılan n=2 bireyli basit şans

örneklemesinin değerlendirilmesiSıra No Örnek Örnek

toplamıPopulasyon

Toplamı Hata

( tahmin-22 )Tahmini

1 ab 5 10 -122 ac 7 14 -83 ad 14 28 63 ad 14 28 64 bc 8 16 -65 bd 15 30 86 cd 17 34 12

19/30Ortalama 11 22 0

Tablo 1’de verilen örnekleme planı için OKA,

OKH= 1 / 6 ( 122+72+..........+122) = 488 / 6 = 81,33

olarak bulunur. Örnekleme planı sapmasız ( hataortalamaları 0 ) fakat OKH’sı 81,33 olan bir plandır.Buna göre örnek planının standart sapması

‘dir Bu standart sapma gerçek populasyon toplamı02,933,81 =

dir. Bu standart sapma gerçek populasyon toplamıolan 22’nin, (9,02/22) * 100 = % 41’inioluşturmaktadır Bu örnekleme planının buoluşturmaktadır. Bu örnekleme planının bupopulasyon için iyi bir örnekleme planı olmadığısöylenebilirsöylenebilir.

20/30

Tablo 1’deki örnekleme planı incelendiğinde d bireyinibulunduran tüm örneklerin geçek populasyon değerininüstünde, d bireyini bulundurmayanların ise gerçekdeğerin altında sonuçlar verdiği görülmüştür. Buradaörnekten elde edilecek tahmin büyük ölçüde örneğin d’yiiçerip içermediğine bağlıdır. Bu amaçla populasyon ikisınıfa ayrılır. Birinci sınıf sadece d’den, ikinci sınıf ise a,bve c’den oluşur. Bu örnekleme şekline göre her bir sınıfayrı ayrı dikkate alınır.

Birinci sınıf toplamı 12’dir. İkinci sınıf için 3bireyden ölçüm yapılacaktır Böylece bu sınıftaki toplamıbireyden ölçüm yapılacaktır. Böylece bu sınıftaki toplamı3 ile çarpmak en uygun çözüm olacaktır. Populasyontoplamının tahmini için 12 + 3 ( ikinci sınıf toplamı )

21/30

toplamının tahmini için 12 + 3 ( ikinci sınıf toplamı )şekline bir tahminleme yöntemi kullanılır.

T bl 2 T bl 1 ’d ki ö kl i iki flTablo 2. Tablo 1.’deki örneklemin iki sınıflı olarak yapılması halindeki değerlendirmeler

Sıra No Örnek 2.sınıf ö k

populasyon t l

Hataörnek

toplamıtoplamı tahmini

1 d 2 18 41 ad 2 18 -4

2 bd 3 21 12 bd 3 21 -1

3 cd 5 27 53 cd 5 27 5

ortalama 22 022/30

ortalama 22 0

Tablo 2’de verilen örnekleme planı için OKA,p ç ,

OKA= 1 / 3 [(-4)2+(-1)2+52 ] = 42 / 3 = 14

olarak bulunur. Bu örnekleme planının standart sapması ‘dir74314 =sapması dir.

Bu standart sapma gerçek populasyon toplamı74,314 =

olan 22’nin, (3,74 / 22) * 100 = % 17’sinioluşturmaktadır. İki sınıflı olarak yapılan buş y pörneklemenin ( tabakalı örnekleme ) basit şansörneklemesine göre daha küçük bir OKA değerineg ç O ğsahip dolayısıyla daha iyi bir örnekleme olduğusöylenebilir

23/30

söylenebilir.

ÖRNEK HACMİNİN HESAPLANMASI

Örneklemede en önemli konulardan birisi alınacak örnek hacmininbelirlenmesidir Çok küçük bir örnek almak örneğin populasyonu temsilbelirlenmesidir. Çok küçük bir örnek almak, örneğin populasyonu temsilyeteneğini ortadan kaldırır, gereğinden çok örnek almak ise zaman veçaba kaybına ve yüksek maliyete neden olur.ç y y yPopulasyon Ortalamasının Tahmini İçin Örnek Hacminin Belirlenmesi

N l d ğ l lt d t l i i ü l ğNormal dağılış altında ortalama için güven aralığı:)/.(2/ nZX σα± Buradaki hata payı

( )nZL σα .2/=Bu ifadede L, izin verilebilecek hata payıdır. Buradan örnek hacmini çekersek;

2

222/Zn σα=

24/30

2Ln

Örneğin daha önce belirli bir bölgedeki çocuklardanalınan bir örnekte boy için varyansın 90 3 olduğualınan bir örnekte boy için varyansın 90.3 olduğubiliniyorsa ve gerçek ortalama etrafında ±1 hatayai i ili %95 ü i i il lizin veriliyorsa, %95 güven seviyesi ile alınmasıgereken örnek hacmi:

Z0.025=1.96

3473.9096.1 2222/ =

×==

Zn σα 347122 ===

Ln

25/30

Populasyon Oranının Tahmini İçin Örnek Hacminin BelirlenmesiNormal dağılış altında ortalama için güven aralığı:ğ g ğ

nqpZp ..2/α± Buradaki hata payı

nqpZL ..2/α=

nBu ifadede L, izin verilebilecek hata payıdır. Buradan örnek hacmini çekersek;

n

2ç ;

2

22/ ..L

qpZn α=

Örneğin bir populasyondaki sigara içen kişilerin oranını tahminlemek isteyelim.p değerinin yaklaşık olarak 0.60 olduğunu biliyor olalım. Bu durumda populasyon parametresini %99 olasılıkla ±0.2 hata toleransıyla tahminlemek için almamız gereken örnek hacmi:

4040.060.0575.2..2

2

2

22/ =

××==

qpZn α

26/302.0 22L

Olasılıksal örnekleme yöntemlerinde örnek hacmi belirli birygüven seviyesinde belirlenebilir. Bir anket aracılığı ile yapılacakbir araştırmaya başlamadan önce görüşülecek kişilerin tamamen

b ğl l k il i k k di A k l ğ ilşansa bağlı olarak seçilmesi gerekmektedir. Anket aracılığı ileyapılacak araştırmalarda görüşülecek kişi sayısı aşağıdaki formülyardımı ile belirlenebilir:yardımı ile belirlenebilir:

2 q.ptn = 20 dn =

Pratikte ilk önce hesaplanır, eğer ihmal edilebilir iseyani 0.07 den daha düşük bir değer ise , gerekli örnek hacmi

0n Nn 0

0niçin tatmin edici bir yaklaşımdır. Eğer ihmal edilemez ise0.07 den daha büyük bir değer veya bu değere eşit ise aşağıdakiformülden n değeri hesaplanır

Nn 0

27/30

formülden n değeri hesaplanır.

( )N/n1n

n0

0

+= ( )0

Burada n anakütleyi temsil edecek sonuçlar elde edilebilmesi içinBurada n anakütleyi temsil edecek sonuçlar elde edilebilmesi içingerekli örnek hacmi, p değeri anketlerde kişilerin belirli bir şıkkıişaretleme oranı veya cevap verme oranı olarak kabul edilir. Buy poran soruların hepsi cevaplandırılmadan bilinmediğinden en kötüdurum olan 0.5’in kullanılması kabul görmektedir. t arzu edilenü i i k l k l t bl d ğ i h t t l d2dgüven seviyesine karşılık gelen tablo değeri, hata toleransıdır

ve N populasyon hacmidir.

2d

28/30

Örneğin populasyon hacmimizin 1000 olması durumunda %95güvenilirlikle ve ±0.07 hata toleransı ile almamız gerekenörnek hacmi bir diğer değişle görüşmemiz gereken kişi sayısı

2

2

0 dq.ptn =

( ) ( )( )( )

19607.0

5.05.096.12

2

==

d ( )

07.01000196

> olduğundan ihmal edilemez ve ilgili örnek hacmi; 1000

( )Nnnn

/1 0

0

+=

( ) 1641000/1961

196=

+= olarak hesaplanır.

29/30

Orantılı Paylaştırma -Örneğin paylaştırılması-y ş ğ p y ş

Örnek olarak N=500 birimlik bir yığından n = 50 hacimli bir örnek ildiği d b l kl / N 50/500 0 1seçildiğinde, bunun anlamı örnekleme oranının n / N=50/500=0.1

olduğudur ve her bir tabakadan %10’luk kısmının örnek için seçilmiş olduğudur Bu durumdaseçilmiş olduğudur. Bu durumda

10%....21 =====nnnn L 10%....

21 NNNN L

nnnnNn

Nn

Nn

Nn

L

L ==== ....2

2

1

1 olduğundan genelleme yapılırsa

nNNn h

h = olur

30/30