Embed Size (px)
Citation preview
[- 0 -]
Univerzitet u Nišu Prirodno – matematički fakultet Departman za matematiku
Spektralna teorija ograničenih linearnih operatora
Mentor Student
prof. Dragana Cvetković–Ilić Maja Ţivković
Niš, oktobar 2013.
- 1 -
Sadržaj 1. Osnovni pojmovi..........................................................................3
1.1 Normirani prostor, Banachov prostor....................................................3 1.2 Ograničeni linearni operatori................................................................6 1.3 Kompaktni operatori............................................................................11 1.4 Elementarne osobine, Hilbertovi prostori............................................13 1.5 Hilbert adjungovani operator..............................................................16 1.6 Hermitski operator, normalni operator, pozitivan operator, unitaran
operator...............................................................................................18 1.7 Adjungovani operator..........................................................................23 1.8 Minimalni modul i modul sirjektivnosti..............................................24 1.9 Pojam algebre;Banchova algebra........................................................27
2. Definicija spektra i osobine.......................................................29 2.1 Invertibilnost........................................................................................29 2.2 Spektar i rezolventa..............................................................................31 2.3 Spektralni poluprečnik.........................................................................34 2.4 Spektar i podalgebre............................................................................37 2.5 B(X) kao Banachova algebra...............................................................40
3. Vrste spektra..............................................................................46 3.1 Spektar ograničenog operatora..........................................................46 3.2 Spektar unitarnog operatora...............................................................47 3.3 Spektar samo-konjugovanog i normalnog operatora.........................48 3.4 Spektar kompaktnog operatora..........................................................50
4. Spektralna dekompozicija; spektralni integral.......................54 4.1. Funkcije operatora........................................................................ .......54 4.2. Spektralna dekompozicija....................................................................56 4.3. Glavna nejednakost..............................................................................57 4.4. Konstrukcija spektralnog integrala......................................................57
Biografija.........................................................................................................59
Literatura.................................................................................................... ....60
- 2 -
Uvod
U ovom radu osim osnovnih osobina normiranih prostora, posebno Banachovog i Hilbertovog prostora, izloţ ene su i osnovne osobine spektra ograničenih linearnih operatora i klasifikacije spektra. TakoĎe, pokazani su i najvaţ niji rezultati u vezi sa spektrom ograničenih, samoadjungovanih i normalnih, kao i unitarnih operatora i kompaktnih operatora, ali i uveden pojam spektralne dekompozicije i pojam spektralnog integrala.
Rad je podeljen na četiri glave, a svaka glava na nekoliko poglavlja. Naslovi tih glava i poglavlja ukazuju na sadrţ aj rada. Definicije, teoreme i primeri numerisani su po glavama i poglavljima.
Prvi deo rada sadrţ i osnovne pojmove i teoreme funkcionalne analize, u vezi sa Banachovim i Hilbertovim prostorima. Ovaj deo rada bi trebao da pomogne čitaocu prilikom praćenja ostatka rada.
U drugom delu rada moţ emo videti šta je spektar operatora i klasifikaciju spektra, odnos spektra i podalgebre, kao i najznačajnija tvrĎenja u vezi sa B(X) kao Banachovom algebrom.
Treća glava odnosi se na najvaţ nije rezultate u vezi sa spektrom ograničenog operatora, unitarnog, samo-konjugovanog i normalnog operatora, kao i kompaktnih operatora.
U poslednjem, četvrtom delu rada navodimo neke od funkcija operatora, uvodimo pojam spektralne dekompozicije i definišemo spektralni integral, uz izvoĎenje glavne nejednakosti.
Ovom prilikom ţ elim da izrazim svoju zahvalnost svima koji su me podrţ avali tokom izrade master rada. Posebno bih ţ elela da se zahvalim svom mentoru, profesorki Dragani Cvetković-Ilić, na ukazanoj pomoći pri izradi master rada.
Niš, 2013. Maja Ţivković
- 3 -
1. Osnovni pojmovi 1.1. Normirani prostori, Banachovi1 prostori Definicija 1.1.1. Neka je K polje realnih brojeva , ili polje kompleksnih brojeva , a X vektorski prostor nad K. Funkcija sa X u naziva se norma na X ako zadovoljava sledeće uslove:
(i) za svako , (ii) ako i samo ako je , (iii) za svako i svako , (iv) za svako .
Ako se u Definiciji 1.1.1 izostavi uslov (ii) dobija se funkcija koja se naziva semi-norma. Za
funkciju koja zadovoljava uslove (i) i (ii) kaţ e se da je strogo pozitivna funkcija. Funkcija koja zadovoljava uslov (iii) je apsolutno homogena funkcija. Ako funkcija zadovoljava uslov (iv) kaţ e se da tada funkcija zadovoljava nejednakost trougla ili da je subaditivna.
Definicija 1.1.2. Normiran prostor (normiran linearan prostor, normiran vektorski prostor) je par gde je X vektorski prostor, a norma na X.
Ako je X normiran prostor, često se kaţ e da je X realan (kompleksan) normiran prostor ukoliko je X realan (kompleksan) vektorski prostor. Ukoliko je X normiran prostor i dimenzija vektorskog prostora X konačna (beskonačna), tada se kaţ e da je normiran prostor X konačnodimenzionalan (beskonačno-dimenzionalan) prostor.
Definicija 1.1.3. Neka je X normiran prostor i d funkcija sa u R, definisana sa za svako
Lako se dokazuje da je metrički prostor. Za funkciju d kaţ e se da je metrika definisana normom ili da je prirodna metrika na normiranom prostoru X.
Ako posebno ne naglasimo, uvek kada normiran prostor razmatramo kao metrički prostor, podrazumevamo da je on metrički prostor sa metrikom koja je definisana normom. Kako je normiran prostor ujedno i metrički prostor , to se svi pojmovi i stavovi za metričke prostore na prirodan način prenose i na normirane prostore. Na primer, niz u konvergira ka ako niz konvergira u t.j., ako
| |
Definicija 1.1.4. Normiran prostor X je Banachov prostor ako je kompletan metrički prostor, gde je d metrika definisana normom.
1 Stefan Banach (1892-1945), poljski matematičar
- 4 -
Prema tome, da bi normiran prostor X bio Banachov potrebno je i dovoljno da u njemu svaki Cauchyjev2 niz konvergira. Napomenimo, niz u X je Cauchyjev ako za svako postoji prirodan boj takav da je , t.j., ako | |
Lema 1.1.5. Neka je } linearno nezavisan skup vektora u normiranom prostoru X. Tada postoji pozitivan broj c takav da za svako vaţ i nejednakost | | (1)
Dokaz. Kako bi pojednostavili dokaz, označimo sumu sa t. Ako je nejednakost je očigledno tačna za svako c. Pretpostavimo da je .U ovom slučaju nejednakost (1) je ekvivalentna sa nejednakošću koja se dobija iz (1) kada se ova podeli sa t i uvede smena , t.j., sa ‖ ‖ ∑
(2)
Prema tome, dovoljno je dokazati (2) za svaku n-torku skalara koja zadovoljava uslov ∑
Ako nejednakost (2) nije tačna, tada postoji niz iz X takav da je
∑ |
| ‖ ‖ (3)
Iz ∑ |
| , sledi |
| Dakle, za svako , niz (
)
je
ograničen. Na osnovu Bolzano3-Weirstrassovog4 stava, niz (
)
ima konvergentan podniz.
Označimo sa graničnu vrednost ovog niza, a sa ( ) odgovarajući podniz niza . Analognim rasuĎivanjem, zaključujemo da niz ( ) ima podniz ( ) kod koga odgovarajući podniz niza
(
)
konvergira, ka graničnoj vrednosti . Primenjujući isti postupak, posle n-tog koraka
dolazimo do podniza ( )
niza čiji su članovi oblika ∑
∑ |
|
, a nizovi skalara
Sledi ∑
odnosno ∑ . Odavde, kako je skup } linearno nezavisan, sledi , a iz
(3) . Došli smo do kontradikcije. ■
2 Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), francuski matematičar 3 Bernhard Bolzano (1781-1848), austrijski matematičar 4 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897), nemački matematičar
- 5 -
Ako je normiran prostor i Y potprostor vektorskog prostora X, tada je restrikcija norme na Y očigledno norma na Y , i normiran prostor naziva se potprostor normiranog prostora X. Obično se jednostavnije kaţ e “Y je potprostor u X”, ili “Y je potprostor normiranog prostora X”, a naravno podrazumeva se da se radi o normiranom potprostoru Primetimo da je zatvorenje potprostora takoĎe potprostor. Teorema 1.1.6. Svaki konačno-dimenzionalan potprostor Y normiranog prostora X je kompletan (Banachov). Specijalno, svaki konačno-dimenzionalan normiran prostor je kompletan (Banachov). Dokaz. Neka je Cauchyjev niz u Y, i } baza prostora Y. Svaki vektor moţ e se na jedinstven način prikazati kao linearna kombinacija vektora baze, t.j.,
.
Kako je Cauchyjev niz, to za svako postoji , tako da iz sledi ‖ ‖ . Na osnovu Leme 1.1.5 postoji , tako da je
‖ ‖ ‖∑
‖ ∑|
|
odnosno
|
| ∑|
|
Sledi da je za svako niz (
)
Cauchyjev u ili u . On je zato konvergentan, i neka je
, njegova granica. Sada, vektor , a lako se dokazuje ■ Teorema 1.1.7. Svaki konačno-dimenzionalan potprostor Y normiranog prostora X je zatvoren u X. Dokaz. Na osnovu Teoreme 1.1.6, Y je kompletan prostor, a prema tome on je zatvoren u X. ■ 1.2. Ograničeni linearni operatori Definicija 1.2.1. Neka su X i Y normirani prostori nad istim poljem skalara K. Operator je ograničen ako postoji realan broj takav da je ‖ ‖ ‖ ‖ za svako (1) Ako je , tada iz (1.2.1.1) je
‖ ‖
‖ ‖ (2)
a odatle
‖ ‖ (
‖ ‖
‖ ‖) ‖ ‖
- 6 -
Prema tome
{ | | | | } { | | | | }
‖ ‖
‖ ‖ (3)
Iz dobijenih nejednakosti sledi:
Operator A je ograničen ‖ ‖
‖ ‖ (4)
Definicija 1.2.2. Neka su X i Y normirani prostori i ograničen operator. Norma operatora A, označava se sa ‖ ‖ i
| | ‖ ‖
‖ ‖ (1)
Iz 1.2.1. (3) i (1), za ograničen operator vaţ i: za svako (2) i za svako postoji tako da je
| | (| | )| |
Skup svih linearnih ograničenih operatora sa X u Y , označava se sa Ukoliko je , umesto jednostavno pišemo Prostor označava se sa i naziva prostor linearnih ograničenih funkcionala na X, ili dualni prostor prostora X. Primetimo, ako je normiran prostor tada je očigledno . Neka je Z normiran prostor nad poljem , Tada je a zato što su S i T ograničeni operatori, iz (1.2.2.2) sledi ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖‖ ‖‖ ‖ (3) Sada je, očigledno (4) Teorema 1.2.3. Neka su X i Y normirani prostori nad istim poljem skalara . Tada je vektorski potprostor u i norma operatora jeste norma na prostoru Dokaz. Za sledi
| || |
(1)
- 7 -
i . (2) Iz jednakosti (1), definicije norme i jednakosti 1.2.1. (3) sledi i | | | | (3) Analogno, iz (2), definicije norme i 1.2.1. (3) sledi
| | | | Ovim smo dokazali da je vektorski potprostor u Očigledno je
| | Iz pokazanog sledi da je norma operatora 1.2.2. (1) norma na prostoru B(X,Y).■ Nadalje, ukoliko posebno ne naglasimo, normiran prostor B(X,Y) je uvek normiran prostor sa operatorskom normom 1.2.2. (1). Sledeća teorema daje metod za izračunavanje norme operatora. Teorema 1.2.4. Neka su X i Y normirani prostori i Tada je
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
‖ ‖ (1)
Dokaz. Kako je
{‖ ‖
‖ ‖ }
to je
‖ ‖
‖ ‖ ‖ ‖
‖ ‖
‖ ‖
‖ ‖
Ukoliko je ‖ ‖
‖ ‖ tada iz ove nejednakosti sledi 1.2.4. (1). Iz
‖ ‖
‖ ‖ i 1.2.1. (4),
sledi . Prema tome ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖. ■ (2)
Sledeća teorema, izmeĎu ostalog, pokazuje da je svaki ograničen operator neprekidan. Teorema 1.2.5. Neka su X, Y normirani prostori i Sledeći uslovi su ekvivalentni:
(i) je uniformno neprekidno preslikavanje na X. (ii) je neprekidno preslikavanje u 0. (iii)
Dokaz. Očigledno (i) implicira (ii), a lako se pokazuje da iz (iii) sledi (i): jer ako je ispunjava uslov (i), tada za i svako iz
- 8 -
| | | | | |
Dokazaćemo da iz (ii) sledi (iii). Zato što je preslikavanje A neprekidno u 0, za postoji tako da je uvek kada je . Sada, ako je , sledi ‖ ‖ ‖⁄ ‖ i
| | ‖‖ ‖
(
‖ ‖)‖ ‖ ‖
Kako nejednakost vaţ i i za , to je ■
Teorema 1.2.6. Neka su X, Y normirani prostori i Operator A je ograničen ako i samo ako je ograničen podskup u Y za svaki ograničen podskup Q u X. ■ Teorema 1.2.7. Neka je X konačno-dimenzionalan normiran prostor i Y normiran prostor. Tada je Dokaz. Neka je baza u X i . Tada postoje skalari tako da je ∑
Zato je
∑ ‖ ‖
‖ ‖ ∑
Koristeći ovu nejednakost i Lemu 1.1.5, sledi da postoji tako da je
| | (
‖ ‖) ‖ ‖
Navedimo jednu značajnu lemu: Lema 1.2.8. (Rieszova5 lema) Neka je Y zatvoren i pravi potprostor u normiranom prostoru X. Tada, za svako postoji , tako da je
‖ ‖
‖ ‖
Dokaz. Iz pretpostavke leme, sledi postoji tako da je
Kako je , postoji tako da je . Neka je
Očigledno je i
5 Riesz Frigyes (1880-1956), maĎarski matematičar
- 9 -
‖ ‖
Zbog velikog značaja, pokaţ imo i sledeću teoremu. Napomenimo, skup je kompaktan ako svaki niz tačaka skupa E sadrţ i konvergentan podniz čija je granična vrednost sadrţ ana u skupu E. Teorema 1.2.9. Neka je X normiran i [ ] ‖ ‖ zatvorena kugla sa centrom u 0 i poluprečnikom 1 u normiranom prostoru X. Ako je [ ] kompaktan podskup u X, tada je normiran prostor X konačno-dimenzionalan. Dokaz. Pretpostavimo da je [ ] kompaktan podskup u X, i da je X beskonačno-dimenzionalan prostor. Neka je ‖ ‖ lineal nad skupom . je pravi i zatvoren potprostor u X. Na osnovu Rieszove leme, postoji ‖ ‖ Tada je i ‖ ‖ Neka je lineal nad skupom . je pravi i zatvoren potprostor u X. Na osnovu Rieszove leme, postoji ‖ ‖ . Primetimo, ‖ ‖ ‖ ‖ . Primenom metoda matematičke indukcije i Rieszove leme zaključujemo da postoji niz konačno-dimenzionalnih potprostora
u X, i niz iz X
tako da je
‖ ‖
Sledi
‖ ‖
što znači da niz nema nijedan konvergentan podniz. Tada [ ] ne moţ e biti kompaktan
podskup u X, što je kontradikcija sa pretpostavkom.
1.3. Kompaktni operatori Definicija 1.3.1. Neka su X, Y normirani prostori i Operator A je kompaktan ako je relativno kompaktan podskup u Y za svaki ograničen podskup Q u X. Ako je [ ] tada je očigledno
operator A kompaktan akko je [ ] kompaktan podskup. (1) Skup svih kompaktnih operatora sa X u Y , označava se sa Ukoliko je , umesto jednostavno pišemo Iz Teoreme 1.2.6 sledi svaki kompaktan operator je ograničen. Da obrnuto ne vaţ i pokazuje sledeći primer. Primer 1.3.2. Neka je X beskonačno-dimenzionalan normiran prostor i identičan operator. Operator I je ograničen ali nije kompaktan. Dokaz. Očigledno je I B(X). Neka je [ ] Tada je [ ] ograničen podskup u X, i [ ] [ ] nije relativno kompaktan podskup u X (Teorema 1.2.9). ■
Teorema 1.3.3. Neka su X, Y normirani prostori i Tada:
- 10 -
(i) (ii)
Dokaz. (i) Neka je ograničen podskup u X. Iz Teoreme 1.2.6 sledi je ograničen podskup u Y . Zato je ograničen i zatvoren podskup u Y . Iz sledi je zatvoren podskup u Y (Teorema 1.1.7), te je kompaktan podskup u A(X). Ovim je dokazan uslov (i).
(ii) Sledi iz Teoreme 1.2.7 i pokazanog. ■ Definicija 1.3.4. Operator je operator konačnog ranga (konačno-dimenzionalan operator) ako je
Skup svih operatora konačnog ranga iz označava se sa Ukoliko je umesto jednostavno pišemo Iz 1.3.3. (i) sledi
Teorema 1.3.5. Neka su X, Y normirani prostori i Operator A je kompaktan ako i samo ako niz ima konvergentan podniz za svaki ograničen niz iz X. Dokaz. Neka je A kompaktan operator i ograničen niz iz X. Kako je ograničen podskup u X, to je relativno kompaktan podskup u Y. Sledi da niz ima konvergentan podniz.
Obrnuto, pretpostavimo da niz ima konvergentan podniz za svaki ograničen niz iz X. Ako je Q ograničen podskup u X i niz iz , tada postoji niz iz Q takav da je za svako Prema tome niz ima konvergentan podniz. ■ Posledica 1.3.6. Ako su tada je (1) Dokaz. Ako je ograničen niz iz X, tada na osnovu prethodne teoreme niz sadrţ i podniz takav da je niz konvergentan. Analogno, niz sadrţ i podniz takav da je niz konvergentan. Zato je niz konvergentan. Na osnovu prethodno pokazane teoreme operator je kompaktan. Drugi deo tvrĎenja je očigledan. ■
Znamo da je kompozicija ograničenih operatora opet ograničen operator. Ako je jedan od operatora kompaktan, tada sledeće tvrĎenje pokazuje da je kompozicija kompaktan operator.
Posledica 1.3.7. Ako su X, Y i Z normirani prostori nad istim poljem skalara K, tada je
Dokaz. Neka je A Ako je ograničen niz iz X, tada je niz ograničen, i na osnovu Teoreme 1.3.5 niz sadrţ i podniz takav da je niz konvergentan. Zato je Analogno, ako je i ako je ograničen niz iz X, tada niz sadrţ i podniz takav da je niz konvergentan (Teorema 1.3.5). Zato je niz )konvergentan, i ponovo iz Teoreme 1.3.5 sledi .■
- 11 -
Sledeća teorema je od praktičnog značaja. Ona pokazuje kako se u mnogim konkretnim situacijama dokazuje da je neki operator kompaktan. Teorema 1.3.8. Neka je X normiran prostor i Y Banachov prostor. Ako je niz iz konvergentan, sa granicom A, tada je Prema tome, je zatvoren podskup u Dokaz. Neka je ograničen niz iz X. Na osnovu Teoreme 1.3.5 niz sadrţ i podniz takav da je niz konvergentan. Analogno, niz sadrţ i podniz takav da je niz konvergentan. Koristeći metod matematičke indukcije i Teoremu 1.3.5, vidimo da za svako postoji podniz
niza takav da je niz
konvergentan. Zato “dijagonalni niz” očigledno podniz niza ima osobinu da je niz
konvergentan za svako . Dokazaćemo da je konvergentan (iz Teoreme 1.3.5 tada . Za to je dovoljno dokazati da je niz Cauchyjev (koristimo da je Y Banachov prostor). Neka je . Kako je niz ograničen, postoji broj takav da je
‖ ‖ za svako Iz sledi postoji prirodan broj takav da je
za svako
Neka je prirodan broj takav da je
za svako
Iz ovih nejednakosti, za svako sledi
1.4. Elementarne osobine, Hilbertovi6 prostori Definicija 1.4.1. Skalarni proizvod na kompleksnom vektorskom prostoru X je funkcija s sa u C koja zadovoljava sledeće uslove:
(i) , za svako i svako
(ii)
za svako i svako ,
(iii) za svako , (iv) za svako ,
6 David Hilbert (1862-1943), nemački matematičar
- 12 -
(v) ako i samo ako je .
Vektorski prostor X sa skalarnim proizvodom s, odnosno ureĎeni par naziva se unitaran prostor (pre-Hilbertov prostor, prostor sa skalarnim proizvodom). Preciznije, Definicijom 1.4.1 uveden je kompleksan unitaran prostor. Ukoliko je vektorski prostor X realan, funkcija realna i ima gore navedene osobine, kaţ emo da je X realan unitaran prostor. Dokaţ imo elementarne osobine unitarnih prostora, definišimo Hilbertov prostor. Teorema 1.4.2. (Cauchy-Schwarzova7 nejednakost) Neka je X unitaran prostor i Tada je
Dokaz. Ako je , onda je , tj. teorema vaţ i. Neka je Za svako imamo
Odavde, za sledi
Jednakost vaţ i ako i samo ako su x i y linearno zavisni vektori.
Teorema 1.4.3. (Nejednakost Minkowskog8) Neka je X unitaran prostor i Tada je
Dokaz. Na osnovu prethodne teoreme sledi
Skalarni proizvod definiše normu. Naime, funkcija sa unitarnog prostora X u
strogo je pozitivna i zadovoljava nejednakost Minkowskog. Osim toga, za svako i svako imamo Prema tome, funkcija , je norma na X.
Definicija 1.4.4. Neka je X unitaran prostor. Za normu (1)
7 Karl Hermann Amandus Schwarz (1843-1921), nemački matematičar 8 Hermann Minkowski (1864-1909), ruski matematičar i fizičar
- 13 -
kaţ e se da je norma definisana skalarnim proizvodom. Ako se posebno ne naglasi, podrazumeva se da je unitaran prostor X normiran prostor sa normom (1). Ako je unitaran prostor Banachov prostor, tada se za kaţ e da je Hilbertov prostor. Teorema 1.4.5. Neka je X unitaran prostor. Tada je skalarni proizvod neprekidna funkcija, t.j., ako je i ako su nizovi iz X, tada
Dokaz. Na osnovu Cauchy-Schwarzove nejednakosti, sledi ■
Posledica 1.4.6. Neka je X unitaran prostor i . Tada su funkcije , neprekidne na X. Dokaz. Na osnovu prethodne teoreme. ■ Teorema 1.4.7. (Polarizaciona jednakost) Ako je X kompleksan unitaran prostor, tada za svako imamo (1) Ako je X realan unitaran prostor i , tada je (2) Dokaz. Kada se desne strane jednakosti u (1.4.7.1) i (1.4.7.2) zamene odgovarajućim skalarnim proizvodom, i srede, dobijaju se leve strane jednakosti. ■ Teorema 1.4.8. (Relacija paralelograma) Neka je X unitaran prostor i . Tada je
Dokaz. Prema Definiciji 1.4.4 i osobinama skalarnog proizvoda ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ . ■ Pomoću skalarnog proizvoda definiše se ortogonalnost u unitarnom prostoru.
Neka je X unitaran prostor i . Ako je , kaţ emo da je x ortogonalan na y, i označavamo sa . Kako iz sledi , to je simetrična relacija. Ako su E i F podskupovi u X i ako je svaki vektor iz E ortogonalan na svaki vektor iz F, kaţ emo da je skup E ortogonalan na skup F, i označavamo sa . Tada je, očigledno, i . Podskup E unitarnog prostora X je ortogonalan ako iz sledi . Ortogonalan skup E je ortonormiran ako je norma svakog elementa iz E jednaka 1. Teorema 1.4.9. (Besselova9 nejednakost). Neka je ortonormiran skup u unitarnom prostoru X. Tada je
9 Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846), nemački matematičar
- 14 -
∑
‖ ‖
Dokaz. Za svako , neka je . Tada:
‖ ∑
‖
‖ ‖ ∑
∑
∑ ( )
‖ ‖ ∑
1.5. Hilbert adjungovani operator Teorema 1.5.1. Neka su X i Y Hilbertovi prostori i Tada postoji samo jedan operator takav da je za svako i svako . (1) Dokaz. Neka je preslikavanje definisano sa . (2)
Tada i na osnovu Rieszove teoreme o reprezentaciji (Ako je f ograničen linearan funkcional na Hilbertovom prostoru X, tada postoji samo jedan vektor takav da je za svako ), postoji samo jedan vektor takav da je Neka je preslikavanje definisano sa . S je linearan operator i zadovoljava uslov (1.5.1.1). Iz
sledi . Dokaţ imo da postoji samo jedan operator koji zadovoljava uslov (1). Ako zadovoljava uslov (1), tada je za svako i svako Za , je za svako , te je za svako ■
Definicija 1.5.2. Neka su X i Y Hilbertovi prostori i Operator definisan uslovom (1) Teoreme 1.5.1., označava se sa , i naziva Hilbert adjungovani operator operatora T . Sledeća teorema daje osnovna svojstva Hilbert adjungovanog operatora. Teorema 1.5.3. Neka su X, Y i Z Hilbertovi prostori, . Tada je:
(i) za svako i svako ,
- 15 -
(ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) ako i samo ako je (viii) (ix)
Teorema 1.5.4. Neka su X i Y Hilbertovi prostori i Ako postoji tada postoji i (1) Dokaz. Iz 1.5.3. (viii) i 1.5.3. (ix) sledi
1.6. Hermitski operator, normalan operator, pozitivan operator, unitaran operator Definicija 1.6.1. Neka je X Hilbertov prostor i , Tada:
(i) T je normalan operator ako je , (ii) T je samo-konjugovan (hermitski) ako je , (iii) T je unitaran operator ako je .
Teorema 1.6.2. Operator je samo-konjugovan ako i samo ako je realan broj za svako . Dokaz. Ako je T samo-konjugovan i imamo
Prema tome, je realan broj. Obratno, ako je realan broj za svako , tada
Tada je , za svako . Ako uzmemo za upravo , dobijamo , pa je .
Definicija 1.6.3. Neka je X Hilbertov prostor i Kaze se da je T pozitivan operator ako je za svako i tada se pise . Posledica 1.6.4. Svaki pozitivan operator je samo-konjugovan. Dokaz. Prema prethodnoj teoremi i definiciji pozitivnog i samo-konjugovanog operatora. Teorema 1.6.5. Ako je X Hilbertov prostor i tada je pozitivan operator. Dokaz. Za imamo
- 16 -
‖ ‖
Definicija 1.6.6. Neka je X Hilbertov prostor, A i B samo-konjugovani operatori iz Ako je , tada pišemo . Iz Definicije 1.6.3 sledi za svako
Lako se pokazuje da je ovako definisana relacija delimično ureĎenje, i ono se često naziva uobičajeno delimično ureĎenje na skupu svih samo-konjugovanih operatora. Na osnovu Teoreme 1.6.2 sledeća definicija ima smisla. Definicija 1.6.7. Neka je X Hilbertov prostor, A samo-konjugovan operator iz i ‖ ‖ ‖ ‖ (1) Brojevi nazivaju se, redom, donja i gornja granica samo-konjugovanog operatora A. Primetimo da je
‖ ‖ ‖ ‖ Teorema 1.6.8. Neka je X Hilbertov prostor, A samo-konjugovan operator iz , redom, donja i gornja granica operatora A. Tada ‖ ‖ ‖ ‖ (1) Dokaz. Na osnovu Caushy-Schwarzove nejednakosti sledi ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖ (2)
Prema tome, da dokaţ emo (1) dovoljno je dokazati ‖ ‖ . Ako za svako x sa normom 1 vaţ i , tada je i dokaz je završen. Mozemo primetiti da za svako imamo
Kako je A samo-konjugovan
‖ ‖ (
‖ ‖
‖ ‖) ‖ ‖ (
‖ ‖
‖ ‖)
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ Tada je
‖ ‖ ‖ ‖ Ako je , tada za iz dobijenog sledi
- 17 -
‖ ‖ (
) (
) ( ‖ ‖
‖ ‖
)
a za ‖ ‖ ‖ ‖,
‖ ‖ ‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖ Teorema 1.6.9. Neka je X Hilbertov prostor, a S i T samo-konjugovani operatori iz . Tada je ST samo-konjugovani operator ako i samo ako operatori S i T komutiraju. Dokaz. Kako je i kako su po pretpostavci S i T samo-konjugovani to je ekvivalentno sa sledi da S i T komutiraju. Teorema 1.6.10. Neka je X Hilbertov prostor, niz samo-konjugovanih operatora iz . Tada je T samo-konjugovan operator. Dokaz. Iz 1.5.3. (ii) i 1.5.3. (v) sledi
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ Teorema 1.6.11. Neka je X Hilbertov prostor i Tada postoje samo-konjugovani operatori tako da je . Operatori A i B su jednoznačno odreĎeni operatorom T.
Dokaz. Neka je
. Tada su A i B samo-konjugovani operatori i
Da dokaţ emo jednoznačnost, pretpostavimo da postoje samo-konjugovani operatori , i da je . Tada je samo-konjugovan operator, a to znači da je . Odatle, Definicija 1.6.12. Neka je X Hilbertov prostor i . Realan i imaginaran deo operatora T , u oznaci, redom, definišu se kao
Teorema 1.6.13. Neka je X Hilbertov prostor i . Sledeći uslovi su ekvivalentni: (i) T je normalan operator, (ii) su komutativni operatori, (iii) ‖ ‖ ‖ ‖ za svako
Dokaz. Imamo da je
Sledi da je (i) ekvivalentno sa (ii). Za , imamo
‖ ‖ ‖ ‖ ( )
- 18 -
Jasno je da dokaz sada sledi iz pokazane jednakosti i (ii) i činjenice da je
Definicija 1.6.14. Neka je X Hilbertov prostor i niz samo-konjugovanih operatora iz Niz je monotono rastući ako je
odnosno, monotono opadajući ako je
Niz je monoton ako je ili monotono rastući ili monotono opadajući. Navedimo i teoreme Hahna-Banacha: (1.6.15)Teorema(Hahn10-Banach (realna verzija)). Pretpostavimo da je X vektorski prostor nad realnim poljem R. Neka je S potprostor u X i funkcija koja zadovoljava sledeće uslove:
(i) ,
(ii)
Ako je f linearan funkcional na S (t.j., linearno preslikavanje sa S u R) takav da je
tada postoji linearan funkcional takav da je
i
Teorema 1.6.16. (Teorema Hahna-Banach (verzija za normiran prostor)) Pretpostavimo da je X normiran prostor nad realnim ili kompleksnim poljem K, i neka je Y potprostor u X. Ako je tada postoji funkcional takav da je
Dokaz. Neka je . Očigledno je za svako i svako . Osim toga, lako se pokazuje da je za svako . Na osnovu Teoreme 1.6.15 postoji linearan funkcional takav da je za svako za svako . Zato je a kako je očigledno sledi ■ Posledica 1.6.17. Neka je Y potprostor normiranog prostora X nad poljem K. Pretpostavimo da je i da je . Tada postoji funkcional takav da je
10 Hans Hahn (1879-1934), austrijski matematičar
- 19 -
Dokaz. Neka je Z lineal nad skupom linearan funkcional na Z definisan sa . Očigledno je za svako . Dokaţ imo da je ograničen funkcional na Z i da je . Neka je . Kako je
sledi . Iz definicije broja d sledi da postoji niz takav da Zato, iz
sledi ‖ ‖ Ovim je dokazano da je . Na osnovu prethodne teoreme postoji tako da je ■ Posledica 1.6.18. Neka je element normiranog prostora X i . Tada postoji funkcional sa svojstvom
Dokaz. Na osnovu Posledice 1.6.17, ukoliko uzmemo ■ Teorema 1.6.19. (Teorema o ograničenom inverzu). Neka su X i Y Banachovi prostori i . Ako je preslikavanje A "1-1" i "na" tada postoji . Dokaz. Jasno postoji i je linearan operator. Dokaţ imo da je ograničen operator, ili ekvivalentno da je neprekidno preslikavanje. Ako je G otvoren podskup u X, tada iz i Teoreme o otvorenom preslikavanju (Ako su X i Y Banachovi prostori i A ograničen linearan operator sa X na Y, tada je A otvoreno preslikavanje, tj., A(G) je otvoren podskup u Y za svaki otvoren podskup G u X), sledi A(G) je otvoren podskup u Y.
Za preslikavanje kaţ e se da je idempotent ako je . Linearni idempotent
naziva se (algebarski) projektor.
1.7. Adjungovani operator
Neka su X, Y i Z normirani prostori, Kompozicija operatora A i B, je operator definisan sa . Znamo, . Prema tome, ako je sledi
(A1) Neka je preslikavanje definisano sa (A2) t.j.,
Lako se dokazuje da je linearan operator, a iz (A1) sledi (A3)
- 20 -
Definicija 1.7.1. Neka su X i Y normirani prostori i Operator definisan uslovom (A2) naziva se adjungovani (dualni, konjugovani) operator operatora A. Ako je tada postoji tako da je
Odavde sledi
Iz (A2) i , imamo
Teorema 1.7.2. Neka su X i Y normirani prostori i Tada
Dokaz. Na osnovu (A3) dovoljno je da dokaţ emo Neka je . Na osnovu Posledice 1.6.18 postoji funkcional takav da je
Sada je
Kako je , sledi ■
Teorema 1.7.3. Neka su X, Y i Z normirani prostori, . Tada je:
(i) (ii) (iii) (iv) (v)
1.8. Minimalni modul i modul surjektivnosti Definicija 1.8.1. Neka su X i Y normirani prostori i . Minimum modul (modul injektivnosti) operatora A, u oznaci , se definiše sa ‖ ‖ (1)
Neposredno iz definicije sledi
(i) ‖ ‖ ‖ ‖
- 21 -
(ii) ‖ ‖ ‖ ‖ (iii) ‖ ‖
Teorema 1.8.2. Neka su X i Y Banachovi prostori. Tada je (1) Dokaz. Pretpostavimo da je . Tada je očigledno . Iz sledi da postoji niz iz X, takav da je . Iz 1.8.1. (ii) sledi
‖ ‖ ‖ ‖ i niz je Caushyijev. Dakle, postoji tako da je , pa je . Dokazali smo da je , pa sledi S druge strane, ako je , tada je preslikavanje definisano sa , "1-1" i "na". Na osnovu Teoreme o ograničenom inverzu, operator
,
‖ ‖ ‖
‖‖ ‖ Sada je
‖ ‖
‖ ‖
‖ ‖ ‖ ‖
Definicija 1.8.3. Neka su X i Y normirani prostori i Modul (koeficijent) surjektivnosti operatora A, u oznaci je [ ] [ ] (1) Po dogovoru, uzimamo Sledeća teorema daje drugu formulu za . Lema 1.8.4. Neka su X i Y Banachovi prostori i . Tada je
{ [ ] [ ] }
Dokaz. Označimo desnu stranu jednakosti sa . Očigledno je . Dokaţ imo nejednakost "≥". Neka je [ ] . Pokaţ imo da je za svako . Kada , tada je Kako , to je . Iz definicije je , a kako je
{ [ ] [ ] } to je { [ ] [ ] }, što znači da je
[ ] [ ]
Tada je [ ]
[ ] i
[ ] . Postoji [ ] tako da je
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
- 22 -
Analogno, za postoji vektor takav da je ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
Nastavljajući postupak, uz korišćenje metoda matematičke indukcije, zaključujemo da postoji niz takav da je
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ gde je ∑
.Tada je
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
Sledi, ∑ ‖ ‖
. Neka je ∑
. Sada iz
∑
‖ ‖
sledi [ ] [ ] odnosno
Posledica 1.8.5. Neka su X i Y Banachovi prostori i . Tada je
Teorema 1.8.6. Neka su X i Y Banachovi prostori, i . Tada je
Dokaz. Pretpostavimo da je Tada je
‖ ‖ ‖ ‖ Neka je operator definisan sa "1-1" i "na". Na osnovu Teoreme o ograničenom inverzu, operator
A),X). Ako je [ ] , definišemo funkcional sa
Kako je po pretpostavci , to je A 1-1, pa je preslikavanje dobro definisano. Imamo da je i ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖‖ ‖‖ ‖ Na osnovu Teoreme Hanha-Banacha postoji ekstenzija funkcionala na Y, sa svojstvom ‖ ‖ Moţ emo primetiti da je
Dakle, i jer je
‖ ‖ ‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖
Pokaţ imo da je ‖ ‖ . Za i ‖ ‖ ‖ ‖, pa je tada
- 23 -
‖ ‖
‖ ‖
‖ ‖
‖ ‖
‖ ‖
‖ ‖
‖ ‖
‖ ‖
‖ ‖ ‖ ‖
Tada je
[ ] , pa sledi [ ] [ ] , odnosno,
Da pokaţ emo drugu nejednakost, pretpostavimo da je . Pokazaćemo da je , odakle sledi da je Znamo da vaţ i [ ] [ ] . Dovoljno je dokazati da je ‖ ‖ ‖ ‖ , odakle sledi da je
Neka je proizvoljno. Za [ ] takvo da vaţ i ‖ ‖, iz [ ] [ ] , sledi da postoji [ ] , tako da je . Tada
‖ ‖ ‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖
Sledeća lema pokazuje da su funkcije neprekidne. Lema 1.8.7. Neka su X i Y Banachovi prostori, Tada je
‖ ‖ ‖ ‖ Dokaz. Ako je ‖ ‖ , tada
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ odnosno
‖ ‖ Očigledno je sada ‖ ‖, stavljajući umesto , i umesto . Iz Teoreme 1.8.6, Teoreme 1.7.2 i dokazane nejednakosti, sledi druga nejednakost.
1.9. Pojam algebre; Banachova algebra
Vektorski prostor A nad poljem skalara K je algebra nad ako je definisano preslikavanje
sa osobinom da, za svako imamo:
(i) (ii) (iii)
Očigledno, algebra jeste prsten i odgovarajući pojmovi i rezultati za prstene prenose se na algebre.
Kaţ e se da algebra ima jedinicu, ukoliko prsten ima jedinicu, t.j., ako postoji element sa osobinom da je
Treba voditi računa da se sa 1 označava i element iz i element iz , i često se kada je jednostavno piše . Ako algebra ima jedinicu, tada se element naziva levo invertibilan u ako postoji tako da je , i u tom slučaju se za
- 24 -
kaţ e da je levi inverz elementa . Skup svih levo invertibilnih elemenata iz označava se sa .
Analogno, element je desno invertibilan u ako postoji tako da je , i u tom slučaju se za kaţ e da je desni inverz elementa a. Skup svih desno invertibilnih elemenata iz označava se sa
. Ako je element i levo i desno invertibilan u , t.j., ako postoje tako da je tada se kaţ e da je invertibilan element u . U tom slučaju je
se označava sa i naziva inverz elementa . Skup svih invertibilnih elemenata iz označava se sa . Algebra je komutativna ukoliko je odgovarajući prsten komutativan. Ukoliko je , algebra je realna, a ako je , algebra je kompleksna. Ako je podskup algebre , sa osobinom da je algebra sa istim algebarskim operacijama kao i algebra , tada se kaţ e da je podalgebra u . Potprostor algebre je levi (desni) ideal u ako je za svako i svako . je dvostrani ideal u ako je istovremeno i levi i desni ideal u .
Algebre nad istim poljem skalara su izomorfne ako postoji izomorfizam vektorskih prostora takav da je
Definicija 1.9.1. Za algebru kaţ e se da je normirana algebra ako postoji norma na , t.j., ako je normiran prostor, sa osobinom da je
Ako je , tada se za kaţ e da je realna (kompleksna) normirana algebra.
Normirana algebra je Banachova algebra ako je Banachov prostor.
- 25 -
2.Definicija spektra i osobine 2.1. Invertibilnost
U ovoj sekciji, a i kasnije, sa označavamo kompleksnu Banachovu algebru sa jedinicom 1 i pretpostavljamo da je . Dokazaćemo osnovna svojstva skupova
.
Lema 2.1.1. Ako je , tada:
(i) niz ∑ je konvergentan, tj., postoji tako da je
∑
(ii) ∑
(iii) ‖ ‖
‖ ‖ .
Dokaz. Kako je , sledi da je red ∑ ‖ ‖ konvergentan, a na osnovu
tvrĎenja da je normiran prostor X Banachov ako i samo ako je u njemu svaki apsolutno konvergentan red konvergentan, konvergentan je i red ∑
.Ovim smo dokazali (i). Iz sledi da kad Kako je , to je
. Analogno se dokazuje da je . Prema tome, ∑
, i dokazali smo (ii). Primetimo da iz
‖ ‖ ‖∑
‖ ∑‖ ‖
∑‖ ‖
‖ ‖
(ii) i sledi (iii). Posledica 2.1.2. Ako je ‖ ‖ , tada je
∑
‖ ‖
‖ ‖
Dokaz. Na osnovu Leme 2.1.1, ako uzmemo Posledica 2.1.3. Ako je ‖ ‖, tada je
∑
‖ ‖
‖ ‖
Dokaz. Iz (
) ‖ ‖ , na osnovu Leme 2.1.1 sledi da je . Kako je
, ponovo dva puta primenom Leme 2.1.1 imamo
∑
∑ ‖ ‖
‖
‖
‖ ‖
- 26 -
Teorema 2.1.4.
su otvoreni skupovi u . Dokaz. Neka je otvorena kugla u sa centrom u a i poluprečnikom Dokazaćemo da je . Neka je Kako je
na osnovu Posledice 2.1.2 sledi . Zato je , i dokazali smo da je otvoren podskup u .
Dokaţ imo sada da je otvoren podskup u . Ako je
tada postoji tako da je . Dokazaćemo da je
. Neka je Kako je
na osnovu Posledice 2.1.2 sledi . Iz sledi
Ovim je dokazano da je
je otvoren podskup u . Analogno se moţ e dokazati da je otvoren
podskup od . Lema 2.1.5. Neka je Banachova algebra, niz elemenata iz koji konvergira ka a. Ako je
ograničen skup, tada . Dokaz. Neka je
i n prirodan broj sa svojstvom . Kako je
iz Leme 2.1.1 sledi
. Prema tome .■ Posledica 2.1.6. Ako je , tada je
‖ ‖
Dokaz. Ukoliko niz ‖ ‖ ne konvergira ka , tada postoji realan broj , takav da je ‖
‖ , za beskonacno mnogo n. Prema tome, postoji prirodan broj n takav da je . Tada je
Iz Posledice 2.1.2 i pokazanog sledi . Kako je
grupa, sledi . MeĎutim, kako je otvoren podskup u (Teorema 2.1.4) i kako je a po pretpostavci rubna tačka skupa , to . Došli smo do kontradikcije. ■ Sledeća teorema dokazuje da je funkcija neprekidna. Teorema 2.1.7. Neka je , . Tada
Dokaz. Neka Tada , a iz
‖ ‖
sledi ‖ ‖ ‖ ‖. Prema tome,
Kako , postoji prirodan broj takav da iz , sledi Za tako izabrano , na osnovu dokazanog dela teoreme sledi
- 27 -
Sledeća teorema dokazuje da je preslikavanje ) u izvesnom smislu diferencijabilno. Teorema 2.1.8. Preslikavanje ) je diferencijabilno na u sledećem smislu: Ako tako da tada je
Dokaz. Pretpostavimo da je . Kako je to na osnovu dokaza Teoreme 2.1.4, sledi .Iz
[ ] i Teoreme 2.1.7 sledi
2.2. Spektar i rezolventa Pojam spektra je algebarski, a mnoge njegove osobine izučavaju se metodama analize. Definicija 2.2.1. Neka je . Spektar elementa a, u oznaci σ(a), je skup svih kompleksnih brojeva sa svojstvom da nije invertibilan element u A, tj.,
(i) Levi spektar elementa a, u oznaci , i definiše sa
(ii) .
Desni spektar elementa a, u oznaci i definiše sa
(iii) .
Komplement skupa u oznaci naziva rezolventni skup elementa a. Prema tome
(iv) .
Kako je to se uslov u definiciji spektra elementa a
moţ e zameniti uslovom (što se često i radi) Analogna primedba vaţ i za desni i levi spektar elementa a, za rezolventni skup elementa a, i td. Teorema 2.2.2. Neka je . Tada je zatvoren i ograničen podskup u . Dokaz. Neka je preslikavanje definisano sa Lako se dokazuje da je f neprekidno preslikavanje na . Kako je i otvoren podskup u (Teorema 2.1.4), sledi ρ(a) je otvoren podskup u . Prema tome, je zatvoren podskup u . Iz Posledice 2.1.3 sledi pa je σ(a) je ograničen podskup u . ■
- 28 -
Definicija 2.2.3. Neka je Rezolventna funkcija (rezolventa) elementa a jeste funkcija definisana sa
Očigledno je , i , odnosno
Napomenimo da je idempotentni element (idempotent) ako je . Idempotent e je netrivijalan ako je Lema 2.2.4. Ako je netrivijalan idempotent, tada je
( )
Lema 2.2.5. (Rezolventne jednačine). Neka je . Tada je
(i) (ii) .
Jednačine (i) i (ii) nazivaju se, respektivno, prva i druga rezolventna jednačina. Dokaz. Da dokaţ emo (i), primetimo da za imamo
[ ] . Što se tiče uslova (ii), za sledi [ ] . ■ Teorema 2.2.6. (i) Ako je tada je
(ii) Ako je tada je
Dokaz. Iz na osnovu Posledice 2.1.3, znamo da . Kako je
, na osnovu Teoreme 2.1.7 sledi , tj.,
dokazali smo (i). (ii) sledi iz Teoreme 2.1.7, Teoreme 2.1.8 i Teoreme 2.2.5. (i). ■ Posledica 2.2.7. Ako je f ograničen linearan funkcional na , tj. , tada je
Funkcija
( ) ( ) je diferencijabilna za svako i za njen izvod vaţ i formula
- 29 -
Dokaz. Na osnovu Teoreme 2.2.6 ■ Sledeća teorema daje vaţ no svojstvo spektra. Teorema 2.2.8. Za svako spektar elementa a je neprazan i kompaktan podskup u .
Dokaz. Pretpostavimo da je prazan skup. Tada je , na osnovu Posledice 2.2.7 funkcija je diferencijabilna za svako . Prema tome, na osnovu teoreme Liouvillea11, koja tvrdi da kompleksna funkcija koja je diferencijabilna na celom skupu , ako je ograničena funkcija jeste konstanta, sledi je konstanta za svako , i Posledice 1.6.18 sledi da postoji tako da je i . Zato je ( ) , a na osnovu dokazanog dela ove teoreme sledi . Došli smo do kontradikcije. Prema tome nije prazan skup. Da je kompaktan podskup u C sledi iz Teoreme 2.2.2. ■
Ako je
polinom, tada je element iz definisan sa
. Sledeća teorema odreĎuje odnos izmeĎu
. Teorema 2.2.9. (Teorema o preslikavanju spektra polinomom). Ako je i p polinom, tada je
( ) ( ) t.j ako i samo ako postoji tako da je Dokaz. Neka je . Tada je i postoje kompleksni brojevi tako da je
Kako je i nije invertibilan element sledi nije invertibilan element. Iz q(a) = p(a) − p(λ) imamo . Ovim smo dokazali da je Dokaţ imo sada inkluziju . Ako je , tada postoje kompleksni brojevi tako da je
Kako je , sledi da postoji tako da . Prema tome, , odnosno . Ovim je dokazano da je σ(p(a)) p(σ(a)). ■ Teorema 2.2.10. Neka je . Tada je
Dokaz. Neka je i Za , vidimo da iz sledi . Prema tome, Analogno se dokazuje da je . Zato je invertibilan element. ■ Sledećom teoremom, za , odreĎuje se odnos izmeĎu
11Joseph Liouville (1809-1882) – francuski matematičar
- 30 -
Teorema 2.2.11. Neka je . Ako je tada je Dokaz. Za imamo
2.3. Spektralni poluprečnik
Znamo da je spektar elementa , tj., neprazan i kompaktan podskup skupa kompleksnih brojeva . Od interesa je odrediti zatvorenu kuglu najmanjeg poluprečnika sa centrom u koordinatnom početku koja je nadskup skupa σ(a). Sa tim u vezi je sledeća Definicija 2.3.1. Neka je Spektralni poluprečnik elementa a, u oznaci definiše se sa (1)
Primetimo da iz Posledice 2.1.3 sledi Posledica 2.3.2. Ako su , tada je Dokaz. Na osnovu Teoreme 2.2.10. ■ Posledica 2.3.3. Ako tada je . Dokaz. Iz Posledice 2.3.2 sledi . ■ Sledeća teorema je u vezi sa izračunavanjem spektralnog poluprečnika. Teorema 2.3.4. Za svako , postoji , i označimo tu graničnu vrednost sa Broj ima sledeća svojstva :
(i) {
} (ii) (iii) za svako , (iv) za svako , (v) za svaki prirodni broj k, (vi) ako je , tada je
Dokaz. Neka je . Dokaţ imo Ako je , tada postoji tako da je . Za svaki prirodni broj n postoje celi brojevi tako da je . Prema tome, imamo (1) Kako kad , iz (1) sledi
odnosno (2) Iz za svaki prirodni broj n sledi Zato je
- 31 -
(3) Iz (2) i (3) sledi postoji granična vrednost i jednaka je Samim tim dokazan je uslov (i).
Uslovi (ii) i (iii) se lako dokazuju. Da dokaţ emo (iv) primetimo da za svaki prirodni broj n imamo
odnosno
Ako stavimo da imamo . Kada a i b zamene mesta dobijamo drugu nejednakost te je .
Iz činjenice da da je sledi za svaki prirodni broj k .
Dokaţ imo sada (vi). Iz za svaki prirodni broj n imamo . Prema tome iz (i) sledi . Da dokaţ emo drugu nejednakost u (vi) pretpostavimo da je . Za svaki prirodni broj n imamo
‖ ‖ ‖∑ (
)
‖ ∑ (
) ‖ ‖‖ ‖ ∑ (
)
‖ ‖‖ ‖
odnosno ‖ ‖ (∑ (
) ‖ ‖‖ ‖
)
(4)
Jasno je da za svaki prirodan broj n postoje prirodni brojevi i sa osobinom da je
. Sada, iz (4) sledi
‖ ‖ (∑ ( ) ‖
‖‖ ‖
)
a odatle, koristeći (i)
(‖ ‖‖
‖)
(5)
Kako je (
) ograničen niz, postoji njegov podniz
koji konvergira recimo ka p, gde je 0 ≤ p ≤ 1. Tada je očigledno
. Pretpostavimo prvo da je . Kako je (iz (2.3.4.3)), sledi ‖
‖
‖ ‖
(6)
Ako je p = 0, imamo
- 32 -
‖ ‖
‖ ‖ (7)
Sada, za i za , iz (6) i (7) sledi ‖ ‖
.
Analogno se dokazuje ‖ ‖
. Sada, iz (2.3.4.11) sledi , odnosno Sledeća teorema daje postupak za izračunavanje spektralnog poluprečnika. Teorema 2.3.5. (Teorema o spektralnom poluprečniku). Za svako vaţ i
(1) Dokaz. Ako je , tada za svaki prirodan broj n imamo (Teorema 2.2.9). Prema tome, iz Posledice 2.1.3 sledi , odnosno . Zato je
(2) Ovim smo dokazali da je
(3) Ako je , tada je ∑
(Posledica 2.1.3). Neka je rezolventna funkcija elementa i , funkcija definisana sa
( ) ( ) Tada je ∑
(4)
Kako je za svako funkcija F diferencijabilna, to zbog jedinstvenog razvoja ove funkcije u Loranov12 red u oblasti sledi
∑
(5) Za red (5) je konvergentan i sledi (6) Kako je proizvoljan element, na osnovu teoreme o uniformnoj ograničenosti iz (6) sledi
‖ ‖
Za svaki prirodni broj n, je
12 Pierre Alphonse Laurent (1813-1854), francuski matematičar
- 33 -
‖ ‖
te je
odnosno (7) Iz (3) i (7) sledi
Posledica 2.3.6. Neka je a, b A. Tada je:
(v) (vi) za svaki skalar λ, (vii) , za svaki prirodni broj k, (viii) (ix) .
Dokaz. Na osnovu Teoreme 2.3.4 i Teoreme 2.3.5. ■ Primedba 2.3.7. Iz Teoreme 2.3.4 znamo da postoji ; meĎutim taj rezultat nismo koristili u dokazu Teoreme 2.3.5, gde je na drugi način dokazana egzistencija pomenute granične vrednosti. Osim toga, Teorema 2.3.5 pokazuje da se spektralni poluprečnik r(a), elementa a, koji se definiše pomoću algebarski uvedenog pojma σ(a), opisuje analitički koristeći graničnu vrednost . Ovo je lep primer interakcije algebre i analize. Definicija 2.3.8. Ako je , tada se za a kaţ e da je kvazinilpotentan element.
Napomenimo da je nilpotentan element ako postoji prirodan broj n sa svojstvom . Očigledno je svaki nilpotentan element i kvazinilpotentan; obrnuto u opštem slučaju ne vaţ i. Sledeći rezultat opisuje svojstva komutativnih kvazinilpotentnih elemenata. Posledica 2.3.9. Ako su kvazinilpotentni elementi i , tada su kvazinipotentni elementi. Dokaz. Na osnovu 2.3.6. (v). ■ 2.4. Spektar i podalgebre
Neka je prsten ili algebra. Elemenat je levi (desni) delilac nule u ako postoji
element takav da je Ako je ili levi ili desni delilac nule u , tada se kaţ e da je a delilac nule u . Nadalje, kao i obično je Banachova algebra sa jedinicom 1. Definicija 2.4.1. Elemenat je levi (desni) topološki delilac nule u ako postoji niz iz takav da je za svako n, i . Ukoliko je ili levi ili desni topološki delilac nule u , tada se kaţ e da je a topološki delilac nule u . Ako postoji niz iz , sa svojstvom za svako n, takav da je , tada se kaţ e da je
- 34 -
element a dvostrani topološki delilac nule u A. Označimo sa respektivno, skup svih levih topoloških delioca nule, desnih topoloških delioca nule, topoloških delioca nule u . Primetimo da je . Ocigledno je svaki levi (desni) delilac nule u A i levi (desni) topološki delilac nule u A. Da obrnuto uvek ne vaţ i, pokazuje sledeći primer. Primer 2.4.2. Neka je [ ] Banachova algebra realnih neprekidnih funkcija na odsečku [ ] sa sup-normom. Tada je element [ ] definisan sa [ ] levi i desni topološki delilac nule u [ ] a nije delilac nule u [ ] Dokaz. Očigledno a nije delilac nule u [ ] Neka je niz u A definisan sa [ ] [ ]. Tada je ■ Lema 2.4.3. Neka je je Banachova algebra. Tada:
Dokaz. Pretpostavimo Tada postoji tako da je , i postoji niz iz
sa svojstvom za svako n, tako da je .Kako je
dolazimo do kontradikcije. Prema tome
. Analogno se dokazuje drugi deo tvrĎenja. ■ Teorema 2.4.4. Neka je Banachova algebra i rub skupa . Tada, iz sledi je dvostrani topološki delilac nule u . Dokaz. Ako na osnovu Posledice 2.1.6, postoji niz , takav da je
Neka je
. Iz
sledi . Analogno se dokazuje da je ■ Posledica 2.4.5. Neka je Tada je dvostrani topološki delilac nule u . Dokaz. Iz λ sledi Prema tome, pa dokaz sledi na osnovu prethodne teoreme.■
Neka je je Banachova algebra sa jedinicom 1, a Banachova podalgebra u , takoĎe sa jedinicom 1. Ako , tada se razmatra spektar elementa a u odnosu na B (označava se sa ), kao i uobičajeni spektar elementa a u odnosu na Neka je rB(a) spektralni poluprečnik elementa a u odnosu na , tj., očigledno je .
- 35 -
Lema 2.4.6. Neka je Banachova algebra sa jedinicom 1, a Banachova podalgebra u , takoĎe sa jedinicom 1. Ako , tada je
(i) (ii) .
Dokaz. (i) sledi iz elementarne činjenice . (ii) sledi iz Teoreme 2.3.5.■
Definicija 2.4.7. Neka je K kompaktan podskup kompleksne ravni . Komplement skupa K, označava se sa , je otvoren podskup u C, i njegove povezane komponente su otvoreni podskupovi u (jer je lokalno povezan prostor). Kako je separabilan prostor, skup moţ e imati najviše prebrojivo mnogo komponenata. Neka je }. Očigledno postoji samo jedna komponenta skupa koja sadrţ i Ta komponenta je neograničena komponenta skupa . Ostale komponente skupa su ograničene, i nazivaju se rupe u K. Ako ima samo jednu komponentu, (očigledno to je neograničena komponenta skupa ), tada se kaţ e se da skup K nema rupu. Definicija 2.4.8. Neka je Banachova algebra sa jedinicom 1, p netrivijalan idempotent u A i
Tada je Banachova algebra, sa jedinicom p. Ako je tada se kaţ e da p razlaže a. Za element , kaţ e se da je invertibilan u odnosu na p, ako je
sa analognim dogovorom za levu i desnu invertibilnost.
Sledeća teorema pokazuje da kada p razlaţ e a, da se invertibilnost u A moţ e ustanoviti preko invertibilnosti u Teorema 2.4.9. Neka je Banachova algebra sa jedinicom 1 i p netrivijalan idempotent u . Ako je , tada
(( ) ( ))
(1)
Dokaz. Ako , tada postoji tako da je . Iz
sledi je levi inverz elementa u . Kako je
je levi inverz elementa Analogno se dokazuje rezultat za desne inverze. Prema tome, dokazali smo u (1). Da dokaţ emo pretpostavimo da postoje tako da je
Kako je
sledi . Analogno se dokazuje
. ■
- 36 -
Teorema 2.4.10. Neka je Banachova algebra sa jedinicom 1, i p netrivijalan idempotent u . Tada je zatvorena podalgebra u , p je jedinica u , i za svako vaţ i sledeća skupovna jednakost
Dokaz. Lako se dokazuje da je podalgebra u sa jedinicom p. Dokaţ imo da je zatvoren podskup u . Neka je niz iz , sa osobinom da je . Tada je , i sledi . Prema tome, je zatvoren podskup u .
Neka je . Tada je , i sledi . Iz , na osnovu Teoreme 2.4.9, sledi . Prema tome, dokazali smo
Da dokaţ emo inkluziju , pretpostavimo da je Kako je
iz Teoreme 2.4.9 sledi . ■ Napomenimo da je ideal (levi, desni, dvostrani) u pravi (levi, desni, dvostrani) ideal u ako je . Sledeću teoremu dokazala je Laura Burlando. Teorema 2.4.11. (Burlando) Neka je Banachova algebra sa jedinicom 1, i pravi dvostrani ideal u sa jedinicom . Tada je zatvorena podalgebra u , i za svako i svako vaţ i sledeća jednakost
Dokaz. Iz pretpostavke teoreme, sledi f je netrivijalan idempotent u . Kako je jedinica u , to je . Prema tome, dokazali smo da je . Na osnovu Teoreme 2.4.10 sledi da je zatvorena podalgebra u . Sada, za svako i svako , iz Teoreme 2.2.9, sledi
Ponovo, na osnovu Teoreme 2.4.10, imajući u vidu prethodnu jednakost tvrĎenje vaţ i. ■ 2.5. B(X) kao Banachova algebra
Izučavali smo svojstva opštih Banachovih algebri. Sada detaljnije izučavamo Banachovu algebru ograničenih linearnih operatora na Banachovom prostoru X. Napomenimo da mnogi rezultati koje ovde izlaţ emo, uz adekvatno tumačenje, vaţ e i za operatore iz gde su X i Y Banachovi prostori. Teorema 2.5.1. Operator je levo invertibilan, tj.,
ako i samo ako je preslikavanje T “jedan-jedan” i postoji projektor sa svojstvom Dokaz. Iz
sledi da postoji tako da je . Tada je , i za imamo ). Očigledno je Iz sledi Ovim smo dokazali očigledno T je preslikavanje “ jedan-jedan ”.
Pretpostavimo sada da je preslikavanje T “ jedan-jedan ”, da postoji projektor sa svojstvom i dokaţ imo
. Kako je zatvoren potprostor Banachovog prostora X, R(T) je Banachov potprostor. Neka je operator sa X na definisan sa . Očigledno je Sada, na osnovu teoreme o ograničenom inverzu,
- 37 -
postoji tako da je Kako je sledi Očigledno je ■ Teorema 2.5.2. Operator je desno invertibilan, tj.,
, ako i samo ako je i postoji projektor takav da Dokaz. Iz
sledi da postoji tako da je . Prema tome, . Dalje, imamo Očigledno je Ako je tada je . Ovim smo dokazali i sledi Primetimo da je projektor i
Obrnuto, neka je i projektor sa svojstvom Kako za zatvoren potprostor M Banachovog prostora X postoji potprostor N u X takav da je ako i samo ako postoji projektor sa X na M, sledi da postoji dekompozicija prostora X na zatvorene potprostore tj., . Neka je T1 operator sa na X definisan sa . Očigledno je preslikavanje “jedan-jedan” i Na osnovu teoreme o ograničenom inverzu postoji operator
takav da je
. Kako je , i restrikcija operatora
na identičan operator, sledi . Ovim smo dokazali
■ Posledica 2.5.3. Operator je invertibilan ako i samo ako je preslikavanje T “ 1-1 ” i Dokaz. Iz Teoreme 2.5.1 i Teoreme 2.5.2. ■
Iz Teoreme 2.5.1 i Teoreme 2.5.2 sledi jednostrana invertibilnost elementa iz izmeĎu ostalog, je uslovljena egzistencijom posebnih projektora iz . Naime, ako je element levo (desno) invertibilan tada postoji projektor sa svojstvom Definicija 2.5.4. Operator je regularan u ako postoji tako da je
U tom slučaju se za operator B kaţ e da je uopšteni inverz, ili pseudoinverz za A. Često je u matematici za iste pojmove u upotrebi različita terminologija (zavisno od procene autora, ukusa itd.). Tako pojedini autori za operator B iz Definicije 2.5.4, kaţ u da je unutrašnji inverz operatora A, odnosno da je B - inverz operatora A, i tada se kaţ e da je A - invertibilan operator
Ako za operator postoji operator tako da je
kaţ e se da je operator S spoljašnji inverz operatora T . Ako za operator postoji operator koji zadovoljava uslove
tada, mnogi autori za operator C kaţ u da je -inverz operatora A ili da je C generalizovani inverz operatora A (skraćeno: C je g-inverz operatora A), a za A se kaţ e da je - invertibilan operator, ili samo da je g- invertibilan operator. Sledeća teorema daje karakterizaciju g-invertibilnih operatora. Teorema 2.5.5. Neka je T B(X). Sledeći uslovi su ekvivalentni:
(i) T je g-invertibilan operator,
- 38 -
(ii) i postoje projektori sa svojstvima Dokaz. Pretpostavimo da je T g-invertibilan operator. Tada postoji operator takav da je . Lako se vidi da je . Dalje, ako je imamo i naravno Iz dokaza Teoreme 2.5.1 (Teoreme 2.5.2) sledi . Prema tome, iz sledi je zatvoren potprostor u X. Primetimo da je Ovim smo dokazali da iz (i) sledi (ii). Dokaţ imo sada da iz (ii) sledi (i). Iz (ii) imamo: , . Neka je operator sa na definisan sa , Očigledno je bijekcija i Na osnovu teoreme o ograničenom inverzu postoji inverzan operator
operatora . Stavimo
. Očigledno je . Osim toga,
■ Lako se vidi da svaki, operator T iz ima spoljašnji inverz. U moţ emo uzeti . MeĎutim od interesa je odrediti kada operator ima spoljašnji inverz . Odgovor na ovo pitanje daje sledeća teorema. Teorema 2.5.6. Neka je . Tada za operator A postoji spoljašnji inverz takav da je ako i samo ako je . Dokaz. Ukoliko je spoljašnji inverz operatora A, tada je očigledno . Obrnuto, pretpostavimo da je i neka je tako da je . Na osnovu Posledice 1.6.19 postoji tako da je . Neka je operator definisan sa Lako se dokazuje . Kako je ( ) sledi B je spoljašnji inverz operatora A. ■ Teorema 2.5.7. Neka je Tada:
(i) A je levi delilac nule u nije “ jedan-jedan ”, (ii) A je desni delilac nule u .
Dokaz. (i) Ako je A levi delilac nule u , tada postoji B B(X) tako da je . Neka je . Iz sledi preslikavanje A nije “jedan-jedan”. Obrnuto, pretpostavimo da preslikavanje A nije “jedan-jedan”. Tada postoji , tako da je . Na osnovu Posledice 1.6.19, postoji tako da je ‖ ‖ Definišimo operator B sa . Lako se dokazuje Sledi . Kako je
sledi A je levi delilac nule u . (ii) Ako je A desni delilac nule u tada postoji tako da je . Sledi odnosno . Prema tome, . Obrnuto, ako je , postoji i na osnovu Posledice 1.6.18 postoji tako da je i za svako Definišimo operator B sa . Lako se dokazuje da je Teorema 2.5.8. Neka je Sledeći uslovi su ekvivalentni:
(i) A je levi topološki delilac nule u (ii) .
- 39 -
(iii) Postoji niz iz X, takav da je . Dokaz. Očigledno su uslovi (ii) i (iii) ekvivalentni. Prema tome, dovoljno je dokazati da je (i) ekvivalentno sa (iii). Ako je A levi topološki delilac nule u tada postoji niz iz takav da je za svako n, i da je . Iz sledi postoji niz iz X takav da je i , za svako n. Neka je (
) . Očigledno je
, za svako n. Iz
‖
‖
sledi (i) (iii).
Obrnuto, ako je niz iz (iii), tada na osnovu Posledice 1.6.19 postoji tako da je . Definišimo niz tako da je . Lako se dokazuje , za svako n. Iz
sledi , i dokazali smo da (iii) (i). ■ Definicija 2.5.9. Neka je Stavimo
(i) , (ii) (iii)
Skupovi nazivaju se, respektivno, tačkasti spektar, aproksimativni tačkasti spektar i levi spektar operatora A. Iz Teoreme 2.5.1, Teoreme 2.5.7 i Teoreme 2.5.8 sledi
Kompleksan broj je sopstvena vrednost operatora A ako postoji , sa svojstvom . U tom slučaju se vektor x naziva sopstveni vektor operatora A koji odgovara sopstvenoj vrednosti . Očigledno λ je sopstvena vrednost operatora A ako i samo ako
Postoje operatori kod kojih je tačkasti spektar prazan skup. Dokazaćemo, da je aproksimativni tačkasti spektar operatora uvek neprazan podskup u C. Posledica 2.5.10. Neka je . Tada ako i samo ako je ispunjen neki od sledećih ekvivalentnih uslova:
(i) je levi topološki delilac nule u (ii) . (iii) Postoji niz iz X, takav da je .
Dokaz. Na osnovu Teoreme 2.5.8 i Definicije 2.5.9. (ii). ■
- 40 -
Teorema 2.5.11. Neka je . Tada je: (i) kompaktan podskup u C, (ii) , (iii) je neprazan podskup u C.
Dokaz. (i) Minimum modul neprekidna funkcija (Lema 1.8.7), pa sledi da funkcija definisana sa , je neprekidna. Iz sledi je zatvoren podskup u C, a iz sledi je kompaktan podskup u C. Ovim je dokazan uslov (i).
(ii) Iz , sledi i na osnovu Teoreme 2.4.5 vidimo da je dvostrani topološki delilac nule u . Sada, iz Posledice 2.5.10 sledi Ovim je dokazan uslov (2.5.11.2).
(iii) Iz i (ii) sledi . ■ Teorema 2.5.12. Neka je adjungovani operator operatora A. Sledeći uslovi su ekvivalentni:
(i) A nije surjektivan operator, (ii) A je desni topološki delilac nule u (iii) je levi topološki delilac nule u
Dokaz. Kako je (Teorema 1.8.6), iz Posledice 1.8.5 i Posledice 2.5.10 sledi uslovi (i) i (iii) su ekvivalentni. Prema tome, dovoljno je dokazati da uslovi (ii) i (iii) su ekvivalentni. Ako je A desni topološki delilac nule u tada postoji niz takav da je . Kako je (Teorema 1.7.2)
(Teorema 1.7.3) sledi je levi topološki delilac nule u Ovim je dokazano iz (ii) sledi (iii). Obrnuto,ako je levi topološki delilac nule u tada iz Teoreme 2.5.8 sledi postoji niz
takav da je Neka je . Definišimo niz , tako da je . Lako se dokazuje Kako je
[ ] [ ] sledi Ovim je dokazano A je desni topološki delilac nule u .■ Definicija 2.5.13. Neka je Stavimo
(i) , (ii) (iii)
Skupovi nazivaju se, respektivno, defektni spektar, aproksimativni defektni spektar i desni spektar operatora A. Iz Teorema 2.5.7, (2.5.7. (ii), Teoreme 2.5.12 i drugog dela teoreme 2.4.3 sledi
Posledica 2.5.14. Neka je . Tada ako i samo ako je ispunjen neki od sledećih ekvivalentnih uslova:
(i) je desni topološki delilac nule u (ii) , (iii)
- 41 -
Dokaz. Na osnovu činjenice da je , Posledice 2.5.10 i Teoreme 2.5.12.■ Teorema 2.5.15. Ako je X Banachov prostor i , tada je Posledica 2.5.16. Ako je tada je:
(i) kompaktan podskup u C, (ii) (iii) je neprazan podskup u C.
Dokaz. Na osnovu Teoreme 2.5.14 i Teoreme 2.5.15. ■ Za ograničene linearne operatore na Hilbertovom prostoru vaţ i sledeći rezultat. Teorema 2.5.17. Ako je X Hilbertov prostor i tada :
(i) j(A) > 0,
(ii) q(A) > 0,
(iii) A je g − invertibilan . (iv) , (v) .
Za operator izučavali smo spektar operatora A, kao i neke njegove podskupove.
Ţelimo da pokaţ emo kako se spektar operatora moţ e predstaviti kao unija nekih njegovih karakterističnih podskupova. Počinjemo sa sledećom teoremom. Teorema 2.5.18. Ako je tada su sledeći uslovi su ekvivalentni:
(i) , (ii) A je ili desni delilac nule ili levi topološki delilac nule u .
Dokaz. Pretpostavimo i A nije ni desni delilac nule u ni levi topološki delilac nule u Tada, iz 2.5.7. (ii) sledi , a iz Teoreme 2.5.8 sledi . Prema tome, preslikavanje A je “ jedan-jedan ”, što je u kontradikciji sa pretpostavkom da . Ovim smo dokazali da iz (i) sledi (ii). Očigledno, iz (ii) sledi (i). ■ Posledica 2.5.19. Ako je tada je Dokaz. Na osnovu Posledice 2.5.12 i Teoreme 2.5.18. ■ Definicija 2.5.20. Neka je Rezidualni spektar operatora A, u oznaci je skup svih kompleksnih brojeva , za koje je preslikavanje “ jedan-jedan ” i . Prema tome,
Neprekidni spektar operatora A, u oznaci je skup svih kompleksnih brojeva , za koje je preslikavanje “ jedan-jedan ”, . Prema tome,
Posledica 2.5.21. Ako je tada su skupovi meĎusobno disjunktni i
- 42 -
Dokaz. Iz Definicije 2.5.20 sledi da su skupovi meĎusobno disjunktni. Iz istog razloga je
{ }
- 43 -
3.Različite vrste spektra 3.1. Spektar ograničenog operatora Teorema 3.1.1. Neka je ortonormirana baza u Hilbertovom prostoru X i neka je ograničen niz skalara. Tada postoji jedinstven operator takav da je (1) Operator A je normalan i (2) Dokaz. Neka je realan broj sa svojstvom da je . Za imamo razvoj ∑
, pa ∑
∑
‖ ‖ pokazuje da red
∑ konvergira. Stavimo
∑
(3)
Tako definisan operator , je linearan, zadovoljava (1) i vazi ‖ ‖ ‖ ‖ za svako . Koristeći (1), dobijamo ∑
∑
∑
∑
.
(4) Iz (3) i (4) dobijamo
sto daje . Time je dokazano da je sa (3) definisan ograničen normiran operator i da su skalari sopstvene vrednosti operatora A.
Sa označimo desnu stranu u (2). Kako je zatvoren skup, to je . Preostaje da pokaţ emo i . Ako , onda postoji realan broj takav da je za svako . Kako je
, to je prema već dokazanom sa
∑
definisan ograničen linearan operator R na X. Iz
dobijamo
što povlači
Odavde vidimo da je I da je Na taj način je dokazano da je Primetimo da je za
- 44 -
Teorema 3.1.2. Ograničen linearan operator A ima samo jedan elemnt u i on pripada Dokaz. Neka je ortonormirana baza u Hilbertovom prostoru X i neka je definisan linearan operator na X sa
∑
Tada je
Sledi da je
‖ ‖
‖ ‖
‖ ‖
‖ ‖
Tada je pa spektar operatora A sadrzi samo 0. Iz sledi
∑
∑
∑
Tada je , pa je 3.2. Spektar unitarnog operatora Podsetimo se: ograničen operator U Hilbertovog prostora X na X je unitaran ako je Teorema 3.2.1. Spektar unitarnog operatora U leţ i na jediničnoj kruţ nici, t.j., (1) Dokaz. Prema definiciji spektralnog poluprečnika, spektar operatora je sadrţ an u krugu ‖ ‖ radijusa ‖ ‖. Iz definicije unitarnog operatora sledi ‖ ‖ ‖ ‖ , pa je spektar operatora i sadrţ an u jediničnom krugu . Nadalje iz iste definicije, sledi da je , pa je nula regularna tačka za U i . Ako je
|
|
i iz Teoreme 2.2.11 dobijamo . Kako je svaka tačka , za koju je , regularna, to je (1) dokazano.
- 45 -
Sada ćemo dati primer unitarnog operatora V koji nema svojstvenih vrednosti, a njegov spektar je jedinična kruţ nica. Zato, u separabilnom kompleksnom Hilbertovom prostoru X uzmimo ortonormiranu bazu i tu bazu poreĎajmo u niz . Svaki vektor u tako odabranoj bazi ( ima razvoj
∑
Sa ∑ (2) je definisan linearan operator V iz X u X. Iz (3.2.1.2) sledi ∑ (3) pa je lako proveriti da je
Iz (2) i (3) sledi
Teorema 3.2.2. Dvostrani pomak V je unitaran operator. Spektar dvostranog pomaka V je jedinična kruţ nica. Svaka tačka spektra operatora V pripada kontinuiranom spektru. Odnosno, vaţ i
Dokaz. a) Uzmimo da je . Tada je injekcija. Zaista, iz sledi . Odavde za dobijamo
što zbog Besselove nejednakosti daje i . Nadalje povlači
Dakle , pa je . Time je injektivnost operatora dokazana. Odavde sledi da V nema svojstvenih vrednosti, tj. da je .
b) Ako je , onda je gust skup u X. Zaista,
pa Besselova nejednakost i daju i . Slično, . Dakle, , pa je .
c) Ako je , onda nije surjekcija. Dokaţ imo da , tj. da
jednačina nema rešenje . Iz za dobijamo
- 46 -
( ) Besselova nejednakost i povlače Nadalje
daje , što ponovo daje i . Dakle, , za svako No, tada je , a to je u kontradikciji sa . Kako je skup gust u X i različit od X, a injekcija, to je u kontinuiranom spektru operatora V. Ujedno vidimo da je
3.3. Spektar samo-konjugovanog i normalnog operatora
U ovoj sekciji sa X označavamo Hilbertov prostor, i izučavamo neka svojstva spektra samo-konjugovanog i normalnog operatora. Teorema 3.3.1. Neka je normalan operator i . Tada (1) Dokaz. Ako je , tada je , pa je što je ekvivalentno sa . Neko je sada i pretpostavimo da je . Tada postoji , tako da je . Prema tome za svako , (2) Ako uzmemo , iz (2) sledi , a zatim iz Teoreme 1.6.13 sledi . Prema tome, z = 0, a to je kontradikcija sa pretopstavkom. Dakle, . ■ Posledica 3.3.2. Neka je normalan operator. Tada je . Dokaz. Na osnovu prethodne teoreme. ■ Sledeća teorema se odnosi na spektralni poluprečnik normalnog operatora. Teorema 3.3.3. Neka je normalan operator. Tada je Dokaz. Neka je . Iz sledi . Indukcijom se pokazuje za svako (1) a odatle i iz Teoreme 2.3.5 sledi
(2)
Iz (2) i Teoreme 1.5.3. (vi) sledi (3) Analogno, iz , za svako n = 1, 2, . . . sledi
- 47 -
‖ ‖ ‖ ‖ (4) Iz Teoreme o spektralnom poluprečniku i (3), kad u (4) uzmemo da sledi odnosno . ■
Ako je samo-konjugovan operator, tada je za svako (Teorema 1.6.2). Brojevi
su, respektivno, donja i gornja granica operatora A, i vaţ i nejednakost (Definicija 1.6.7). Sledeća teorema pokazuje da se brojevi koriste za izučavanje pojedinih svojstva spektra operatora A. Teorema 3.3.4. Neka je samo-konjugovan operator. Tada je
[ ] Dokaz. Iz [ ] sledi [ ] . Za svako iz |( )| sledi . Sada, na osnovu Teoreme 3.3.1, sledi , odnosno [ ] Dokaţ imo . Ako je , tada je (Teorema 1.6.8). Neka je niz iz X sa svojstvom . Tada
Odatle i iz Teoreme 3.3.1 sledi
Da dokaţ emo opšti slučaj, t.j., bez pretpostavke , primetimo je samo-konjugovan operator i [ ] za svako . Odavde i iz već dokazanog dela sledi
[ ]
odnosno . Iz istih razloga
- 48 -
Posledica 3.3.5. Ako je samo-konjugovan operator, tada je A pozitivan operator ako i samo ako je [ Dokaz. Na osnovu Teoreme 3.3.4 i Definicije 1.6.3. ■ Lema 3.3.6. Ako je samo-konjugovan operator, , sopstvene vrednosti operatora A, i , respektivno, odgovarajući sopstveni vektori, tada je Dokaz. Iz pretpostavke teoreme sledi , a iz Teoreme 3.3.4 znamo Odatle
odnosno ■ 3.4. Spektar kompaktnog operatora Lema 3.4.1. Neka je X Banachov prostor i kompaktan operator. Ako je niz različitih elemenata iz tada . Dokaz. Za svako n neka je Lako se dokazuje da je linearno nezavisan skup. Ako je , tada je i . Na osnovu Rieszove leme postoji tako da je . Neka je . Iz (1) za n > m sledi
[
] Kako je [
] , iz (1) sledi
odnosno niz
nema konvergetan podniz. Sada, kako je A kompaktan operator, sledi niz
nema ograničen podniz. Prema tome, iz sledi
odnosno . ■
Lema 3.4.2. Neka je X Banachov prostor i kompaktan operator. Tada, iz , sledi t.j., λ je sopstvena vrednost operatora A. Dokaz. Neka je i Iz Teoreme 2.5.11 sledi , i prema tome postoji niz iz X sa svojstvom i . Kako je A kompaktan operator, sledi postoji podniz
niza sa svojstvom da niz konvergira ka recimo. Kako
- 49 -
sledi
odnosno Prema tome, , a kako je , sledi λ je sopstvena vrednost operatora A.
Sada, na osnovu Leme 3.4.1 rub skupa , je prebrojiv sa jedinom mogućom tačkom nagomilavanja 0. Prema tome, kompaktan skup ima povezan komplement. Odatle sledi unutrašnjost (interior) je prazan skup, odnosno ■ Sledeća teorema se uglavnom dobija kada se prethodne leme uzmu zajedno. Teorema 3.4.3. Ako je X beskonačno-dimenzionalan Banachov prostor i kompaktan operator, tada su jedino mogući sledeći slučajevi:
(i) (ii) gde je za ,
svako sopstvena vrednost operatora A i . (iii) gde je za svako ,
svako sopstvena vrednost operatora A, (iv) .
Dokaz. Na osnovu Leme 3.4.1, Leme 3.4.2 i Posledice 1.3.7. ■ Lema 3.4.4. Neka je X Hilbertov prostor, i A samokonjugovan operator. Tada su ili sopstvene vrednosti operatora A i postoji odgovarajući sopstveni vektor sa svojstvom Dokaz. Na osnovu Teoreme 1.6.8, Teoreme 3.3.4 i Leme 3.4.2 sledi da su su ili sopstvene vrednosti operatora A. Prema tome, postoje tako da je | ‖ ‖, i vektor sa svojstvom . Očigledno je ■ Sledeća teorema se često naziva spektralna teorema za samo-konjugovan kompaktan operator. Teorema 3.4.5. Neka je X Hilbertov prostor, i A samo-konjugovan operator.
Ako je A operator konačnog ranga, tada nenula sopstvene vrednosti operatora A formiraju konačan realan niz , i
∑
(1)
gde je ortonormiran skup odgovarajućih sopstvenih vektora, t.j., je sopstveni vektor koji odgovara sopstvenoj vrednosti .
Ako A nije operator konačnog ranga, tada nenula sopstvene vrednosti operatora A formiraju beskonačan realan niz sa svojstvom tako da je
∑
(2)
gde je ortonormiran skup odgovarajućih sopstvenih vektora. Dokaz. Pretpostavimo prvo da A nije operator konačnog ranga. Neka je . Dokaţ imo da postoji niz zatvorenih potprostora u X, , niz sopstvenih vektora operatora A sa
- 50 -
svojstvom i niz sopstvenih vektora , koji odgovaraju sopstvenim
vrednostima , tako da je za svako
(3)
Dokaz izvodimo metodom matematičke indukcije. Na osnovu Leme 3.4.4 postoji
, i skalar tako da je i . Pretpostavimo da za svako , postoje potprostori , skalari i vektori sa svojstvom (2). Neka je (4) Očigledno je zatvoren potprostor u X, i . Iz , za svako , sledi (5) a odatle . Prema tome, Neka je
. Lako se dokazuje da je je kompaktan, samo-konjugovan operator, a pokaţ imo da je . Ako je , tada je
∑
∑
što je nemoguće, jer smo pretpostavili da A nije operator konačnog ranga. Prema tome . Ponovo, na osnovu Leme 3.4.4 postoji , i skalar tako da je i . Iz sledi
Dokaţ imo da je (6) Ako (6) nije tačno, tada je niz ograničen, prema tome niz ima konvergentan podniz, a ovo je nemoguće jer je ortonormiran niz. Prema tome, dokazali smo (6).
Da dokaţ emo (2), pretpostavimo da je ∑
Primetimo, za svako n, ,
‖ ‖ ∑
a odatle
(7) Iz (6) i (7) sledi , odnosno
- 51 -
∑ (8)
Sada, pretpostavimo da je sopstvena vrednost operatora A, i dokaţ imo da je ,
za neko . Sledi, postoji , tako da je . Ako je za svako , tada iz Leme 3.3.6 sledi , a odatle i iz (8) imamo . Došli smo do kontradikcije. Ovim smo dokazali (2).
Dokaţ imo sada (1). Kako je A operator konačnog ranga, postoji samo konačno mnogo različitih sopstvenih vrednosti operatora A. Na isti način, kao u (8), neka je konačan niz sopstvenih vrednosti, a ortonormiran skup odgovarajućih sopstvenih vektora. Sledi
, odnosno, analognim potupkom kao ranije,dobijamo
∑
- 52 -
4.Spektralna dekompozicija operatora; spektralni integral 4.1. Funkcije operatora
Neka su takvi da je i neka je A operator za koji vaţ i . Neka je [ ] skup po delovima neprekidnih i ograničenih funkcija koje su granica monotono opadajućeg niza neprekidnih funkcija. Za opadajući niz koji konvergira ka f pišemo Takve funkcije su poluneprekidne odozgo (za svako [ ] vaţ i Lema 4.1.1. Neka je [ ] Tada postoji niz polinoma za svako [ ] Dokaz. Na osnovu definicije [ ] postoji [ ] takav da . Primenjujući Vajerštrasovu teoremu na neprekidne funkcije
dobijamo da za svako n postoji polinom takav da je
| (
)|
Tada
. Zato, je nerastući i očigledno konvergira ka jer konvergira ka , kada . ■ Prethodna lema nam omogućava da definišemo operator za svako na način koji će biti opisan u sledećoj definiciji. Definicija 4.1.2. (Definicija ). Neka je za svako [ ]. Tada je opadajući niz
ograničen jer je što znači da je . Monotono opadajući niz jako konvergira i granicu zovemo
Primetimo da zapis pretpostavlja da ova granica zavisi samo od operatora A i funkcije
. Na osnovu konstrukcije mogli bismo posumnjati da zavisi i od izabranog niza kojim aproksimiramo funkciju . Pokazaćemo da granica niza koju zovemo ne zavisi od niza nego samo od funkcije . Lema 4.1.3. Neka su i nizovi polinoma. Pretpostavimo da za svako [ ] Neka za svako [ ]. Tada
Lako moţ emo pimetiti, ako je onda je . Odatle i granični operator ne zavisi od izbora niza polinoma koji tačkasto konvergira ka . Dokaz. Za svako i svako [ ] postoji takvo da za svako
imamo
(1)
- 53 -
(ovde koristimo činjenicu da je nerastući niz). Odatle sledi da postoji otvoren interval oko t gde vaţ i (1) za i zbog toga i za svako . Dakle, imamo pokrivanje intervala [ ] otvorenim intervalima.. Na osnovu Hajne13-Borelove14 teoreme postoji konačan podpokrivač. Neka je to
. Tada za za svako i za svako
za svako [ ] To znači da je
.. Puštajući da to dobijamo
(za sada uzimamo da je n fiksirano). Sada, puštajući da to imamo
.■
Zbog ovoga za fiksirani operator A preslikavanje je dobro definisano. TakoĎe primetimo neposrednu posledicu poslednje dve leme. Posledica 4.1.4. Neka su neprekidne funkcije takve da je . Tada jako.
Za sve funkcije koje smo do sada pominjali su iz klase K. Primetimo da je za samo-konjugovani operator A i realan polinom, operator takoĎe samo-konjugovan. Zbog toga za svaku funkciju operator je samo-konjugovan. Sada ćemo pokazati linearnost, multiplikativnost i uređenje ovih preslikavanja.
i)
Uzmimo
. Tada
i izbor polinoma koji opadajući teţ e ka ne utiče na granični operator.
i i) Za vaţ i . i i i) .
U ovom momentu ovo ima smisla jedino za jer u suprotnom ne mora pripadati klasi K.
Uzmimo
tada
odakle sledi tvrĎenje.
iv) Iz sledi (Lema 4.1.3)
Posmatrajmo sada funkcije K - K oblika gde su . Definišimo . Lako moţ emo proveriti da ako onda odakle sledi . Odatle što znači da je dobro definisano tj. da ne zavisi od reprezentacije kao razlike . Sada se moţ emo vratiti na osobine ii) i iii). Moţ emo uzeti bilo koju konstantu u osobini ii) i ne moramo pretpostaviti da je u osobini iii). Pokaţ imo ovo poslednje tvrĎenje. Neka su konstante takve da je . Definišimo
13 Heinrich Eduard Heine (1821-1881), nemački matemmatičar 14 Emile Borel (1871-1956), francuski matematičar i političar
- 54 -
Operator definisan pomoću ovog identiteta jednak je . Ovo vaţ i i za kompleksne funkcije: za gde uzmemo
4.2. Spektralna dekompozicija Izvedimo spektralnu dekompoziciju samoadjungovanog ograničenog operatora.
Posmatrajmo funkciju
{
Očigledno [ ] Definišimo Tada je jer je
je simetričan (jer je realna funkcija). Vaţ i : i) su ortogonalni projektori. Šta više za . i i) je neprekidno sa desne strane u odnosu na X u "jakom" smislu. Zaista, neka je niz neprekidnih funkcija takvih da je
Sada
imamo
Kada . Zato
i i i) Ovo sledi iz . Ovu osobinu moţ emo zapisati u obliku
Familiju sa osobinama i) - iii) zovemo "spektralna familija" ili "dekompozicija jedinice". iv) (zato što je jaki limit polinoma po A). 4.3. Glavna nejednakost
Neka je . Tada
(
) (
) (
)
- 55 -
Stavljajući A umesto t i koristeći vezu izmeĎu funkcija i operatora dobijamo glavnu nejednakost
(
) (
) (
) Neki slučajevi ove nejednakosti su od posebnog značaja. Uzimajući imamo
je
Uočimo da je
ortogonalni projektor. Kako komutira sa A,
podprostor
je invarijantan podprostor od A i za imamo
Zato za [ ] imamo
Na osnovu osobine i) iz dela 4.1 dobijamo
‖ ‖
To znači da je naš operator blizu konstantnom operatoru na ovom podprostoru. Primetimo da ne znamo da
nije trivijalan (nula) podprostor. U suprotnom bismo mogli reći da je X "skoro" sopstvena vrednost i svaki ne-nula element
je "skoro" sopstveni vektor. 4.4. Konstrukcija spektralnog integrala
Sada ćemo konstruisati integral koji zovemo "spektralni integral". Posmatrajmo particiju
tako da vaţ i . Izaberimo proizvoljno [ ] Stavljajući u glavnu nejednakost imamo
∑
(∑
) ∑
Posmatrajmo operator
∑
Kako je sledi
- 56 -
∑
∑
∑
Na osnovu osobine sledi ‖ ‖ ; dobijamo
‖ ∑
‖
za proizvoljnu particiju intervala, gde je norma particije ne veća od i proizvoljan izbor iz intervala particije.
Tada postoji granica (u normi operatora) kada i prirodan naziv za tu granicu je
"integral". Tako smo definisali pojam spektralnog integrala
∫
∫
∫
Mogli bismo uzeti bilo koje za donju granicu integrala koju bismo izrazili sa .
TakoĎe moţ emo uzeti bilo koje , ali zbog neprekidnosti sa desne strane za granicu uzimamo baš M. Primetimo da je tako da formalno moţ emo zapisati ∫
jer je identički jednak nuli izvan intervala [
- 57 -
Biografija
Ţivković Maja je roĎena u 30. maja 1989., Leskovcu, Republika Srbija. Osnovnu školu
"Radoje Domanović" završila je u Bošnjacu 2004, kao nosilac Vukove diplome. Iste godine upisala Medicinsku školu u Leskovcu, smer Farmaceutski tehničar, koju je završila sa odličnim uspehom, 2008. godine. Prirodno-matematički fakultet u Nišu, odsek matematika, upisala je 2008. Godine 2011. završila je osnovne akademske studije sa prosekom 8,60, i iste upisala diplomske akademske studije na smeru Matematika. Poloţ ila je sve ispite predviĎene nastavnim planom i programom master studija i tako stekla pravo za odbranu master rada.
- 58 -
Literatura 1. V. Rakočević, Funkcionalna analiza, Naučna knija, 1994. 2. S. Kurepa, "Funkcionalna analiza, Elementi teorije operatora", Zagreb 1981. 3. M. Schechter, Principles of functional analzsis, Hn Wiley & Sons, 1978. 4. https://en.wikipedia.org, https://wikipedia.rs
