Kona£ne grupe - PMF...Preduvjeti : Parcijalne diferencijalne jednadºbe, Normirani prostori i Operatori na nor-miranim prostorima, Mjera i integral Opis: Razlomljene derivacije se

Mentor: Draºen Adamovi¢

Kona£ne grupe

Podru£je: algebra

Prikladno za studij: svi studiji

Preduvjeti: Poºeljno je predznanje iz algebarskih kolegija

Opis: U diplomskom radu prou£avali bi se osnovni koncepti iz teorije kona£nih grupa, testrukture vezane za njih. Ovisno o anitetu studenta, prou£avala bi se strukturna teorijakona£nih grupa ili teorija reprezentacija ovih grupa.

Literatura:

S. Lang, Algebra, Springer, 2002.W. A. Adkins, S. H. Weintraub, Algebra. An approach via module theory, Springer, 1992.

1


Poluprosti prstenovi

Podru£je: algebra



Opis: U diplomskom radu bit ¢e prou£avani poluprosti prstenovi, poluproste algebre injihovi primjeri. Oviano o anitetu studenta, naglasak ¢e biti dan na strukturnu teoriju,konstrukciju ili klasikaciju tih prstenova

Literatura:

S. Lang, Algebra, Springer, 2002.W. A. Adkins, S. H. Weintraub, Algebra. An approach via module theory, Springer, 1992.

2


Weylove algebre

Podru£je: algebra



Opis: U diplomskom radu ¢e se prou£avati osnovne konstrukcije povazane s Weylovomalgebrom. Weylova algebra bit ¢e denirana kao kvocijent tenzorske algebre. Ovisnoo anitetu studenta, bit ¢e prou£avane kvantne Weylove algebre, teorija reprezentacijaWeylovih algebri i veza s teorijom Liejevih algebri.

Literatura:

T. Y. Lam, A rst course in noncommutative rings. Volume 131 of Graduate texts inmathematics. 2ed. Springer, 2001. p.6J. C. McConnell, J. C. Robson, Noncommutative Noetherian rings, Graduate Studies inMathematics, Vol 30, AMS, 1997N. Jing, J. Zhang, Quantum Weyl algebras and deformations of U(G)), Pacic Journalof Mathematics Vol. 171., No.2, 1995

3


Tenzorske algebre i primjene

Podru£je: algebra



Opis: U diplomskom radu prou£avale bi se algebarske strukture usko vezane s tenzor-skim produktom vektorskih prostora i modula. Naglasak ¢e biti dan na strukturnu teorijutenzorske algebre, te na vanjsku i simetri£nu algebru. Ovisno o anitetu studenata, pro-u£avale bi se i primjene ovih algebri u teoriji reprezentacija.

Literatura:

W. H. Greub. Multilinear algebra. Springer, 1967.S. Lang, Algebra, Springer, 2002.

4

Mentor: Nenad Antoni¢

Razlomljene derivacije i primjene

Podru£je: matemati£ka analiza, matemati£ko modeliranje u zici

Prikladno za studij: svi smjerovi

Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe, Normirani prostori i Operatori na nor-miranim prostorima, Mjera i integral

Opis: Razlomljene derivacije se u matematici prou£avaju od devetnaestog stolje¢a, da bitek nedavno postale izvor novih modela u zici i inºenjerskim strukama.Za vi²e informacija v. http://lebesgue.math.hr/∼nenad/Diplomski/Literatura:

R. Hilfer (ur.): Applications of fractional calculus in physics, World Scientic, 2000.S. G. Samko, A. A. Kilbas, O. I. Marichev: Fractional integrals and derivatives - Theoryand application, Gordon and Breach, 1993.K. B. Oldham, J. Spanier: The fractional calculus - Theory and applications of dieren-tiation and integration to arbitrary order, Academic Press, 1974.

5


Degenerirana difuzija

Podru£je: parcijalne diferencijalne jednadºbe



Opis: Jednadºba provoenja topline prototip je za paraboli£ke parcijalne diferencijalnejednadºbe. Meutim, ponekad modeliranje realne pojave difuzije pokazuje druga svojstva,koja se mogu opisati nelinearnom jednadºbom oblika ut = divgrad(um). Za m > 1 imamosporu difuziju (jednadºbu porozne sredine), za mc < m < 1 nadkriti£nu brzu difuziju, aza m ≤ mc podkriti£nu brzu difuziju (mc = (d− 2)+/d).Za vi²e informacija v. http://lebesgue.math.hr/∼nenad/Diplomski/Literatura:

P. Daskalopoulos, C. E. Kenig: Degenerate diusion, EMS, 2007.

6


Tricomijeva jednadºba

Podru£je: parcijalne diferencijalne jednadºbe



Opis: Tricomijeva jednadºba, koja mijenja tip, je jednostavan model za prijelaz iz pod-zvu£nog toka u nadzvu£ni tok uida.Za vi²e informacija v. http://lebesgue.math.hr/∼nenad/Diplomski/Literatura:

A. Kuz'min: Boundary-value problems for transonic ow, Wiley, 2002.J. M. Rassias: Lecture notes on mixed type partial dierential equations, World Scientic,1990.

7


Matemati£ki modeli u klimatologiji

Podru£je: matemati£ko modeliranje u geozici


Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe, Obi£ne diferencijalne jednadºbe

Opis: Klimatologija prou£ava vremenske uvjete tijekom duljeg vremenskog perioda. Raz-li£iti klimatolo²ki modeli, temeljeni na razli£itim matemati£kim tehnikama, se koriste zaprou£avanje dinamike vremena i klimatskih sustava, s ciljem projekcija na budu¢e vre-menske uvjete.Za vi²e informacija v. http://lebesgue.math.hr/~nenad/Diplomski/

Literatura:

H. Kaper, H. Engler: Mathematics & Climate, SIAM, 2013.A. E. Gill: Atmosphere-ocean dynamics, Academic Press, 1982.

8


Matemati£ki pristup relativisti£koj elektrodinamici

Podru£je: matemati£ko modeliranje u zici


Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe, Diferencijalna geometrija

Opis: Neki zikalni zakoni, poput Maxwellovih jednadºbi, koje su invarijantne na Lo-rentzove transformacije, tj. u skladu su s posebnom teorijom relativnosti, posebno seelegantno mogu zapisati kori²tenjem diferencijalnih formi.Za vi²e informacija v. http://lebesgue.math.hr/∼nenad/Diplomski/Literatura:

S. Parrott: Relativistic electrodynamics and dierential geometry, Springer, 1987.P. Bamberg, S. Sternberg: A course in mathematics for students of physics 1,2; Cam-bridge, 1988.C.W. Misner, K.S. Thorne, J.A. Wheeler: Gravitation, Freeman, 1973.

9

Mentor: Bojan Basrak

Permutacijski i randomizacijski testovi

Podru£je: Vjerojatnost, Slu£ajni procesi

Preduvjeti: Matemati£ka statistika

Prikladno za studij: Svi studiji

Opis: Permutacijski testovi u mnogim primjenama nude jednostavniji i robusniji na£inodreivanja pvrijednosti pojedinih statisti£kih testova. Poznato je npr. da permutacij-ski ttest na dva uzorka ima nivo zna£ajnosti α kad god oba uzorka imaju istu razdiobu.Randomizacijski testovi su op¢enitiji i zasnivaju se na izra£unu testne statistike na raz-nim slu£ajnim transformacijama podataka. Upotreba im je sve ra²irenija zahvaljuju¢i sveve¢oj dostupnosti brzih ra£unala. Lehmann i Romano (2006) opisuju generi£ku konstruk-ciju permutacijskih/randomizacijskih testova sa zadanim nivoom zna£ajnosti i studirajunjihova teoretska svojstva. Diplomski rad bi trebao prikazati teorijsku pozadinu ovih tes-tova i njihovu primjenu u statistici.

Literatura:

Lehmann, E. L., i Romano, J. P. (2006). Testing statistical hypotheses. Springer.Chung, E., i Romano, J. P. (2013). Exact and asymptotically robust permutation tests.The Annals of Statistics, 41(2), 484-507.

10

Mentor: Tomislav Beri¢

Numeri£ka slika operatora i matrica

Podru£je: Linearna algebra


Preduvjeti: Vektorski prostori

Opis: Numeri£ka slika operatora A ∈ L(X) je podskup W (A) = 〈Ax, x〉 : ‖x‖ = 1kompleksne ravnine C. U ovom radu cilj je prou£iti svojstva numeri£ke slike i njenu vezusa spektrom operatora. Poseban naglasak ¢e biti na prou£avanju oblika numeri£ke slike i²to iz njega moºemo zaklju£iti o svojstvima operatora.

Literatura:

K. E. Gustafson, D. K. M. Rao, Numerical Range: The Field of Values of Linear Operatorsand Matrices, Springer, 1996.S. Kurepa, Funkcionalna analiza, kolska knjiga, 1990.

11


Ortogonalnost u normiranim prostorima

Podru£je: Funkcionalna analiza

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika

Preduvjeti: Normirani prostori

Opis: Za dva vektora iz unitarnog prostora kaºemo da su ortogonalni ako je njihovskalarni produkt jednak nuli. Na normiranim prostorima na kojima nemamo skalarniprodukt, ortogonalnost se moºe denirati na razne na£ine koji se podudaraju sa stan-dardnom ortogonalno²¢u u slu£aju unitarnih prostora. U ovom radu ¢e se prou£iti nekaod tih poop¢enja, poput BirkhoJamesove i Robertsove ortogonalnosti. Izloºit ¢e sekarakterizacije tih ortogonalnosti i istraºiti njihova svojstva.

Literatura:

J. Alonso, H. Martini, S.L. Wu, On Birkho orthogonality and isosceles orthogonality innormed linear spaces, Aequationes Mathematicae, vol. 83, no. 12, str. 153189 (2012)J. Sikorska, Orthogonalities and functional equations, Aequationes Mathematicae, vol. 89,no. 2, str. 215277 (2015)

12


Schurov komplement

Podru£je: Linearna algebra


Preduvjeti: nema

Opis: Za blok matricu M =

[A BC D

]s regularnim blokom A, Schurov komplement

od A denira se kao matrica M/A := D − CA−1B. Cilj ovog rada je prou£iti primjeneSchurovog komplementa u ra£unanju determinanti, inverza i ranga matrice te rje²avanjusustava linearnih jednadºbi.

Literatura:

F. Zhang, The Schur Complement and Its Applications, Springer, 2005.

13


Lpprostori

Podru£je: Analiza, Funkcionalna analiza



Opis: U ovom radu ¢e se najprije izloºiti osnovni rezultati vezani za mjeru i integral.Zatim ¢e se prou£iti svojstva Lpprostora, meusobni odnos tih prostora za razli£ite eks-ponente p, te njihovi dualni prostori. Na kraju ¢e se izloºiti interpolacijski teoremi zaLpprostore.

Literatura:

G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Wiley, 1999.G. Pedersen, Analysis now, Springer, 1996.S. Kurepa, Funkcionalna analiza, kolska knjiga, 1990.

14

Mentor: Tina Bosner

Odreivanje vidljivih ploha

Podru£je: Ra£unarstvo i numeri£ka matematika

Prikladno za studij: Ra£unarstvo i matematika

Preduvjeti: po mogu¢nosti Ra£unalna graka

Opis: Za dani skup 3D objekata i danu projekciju, ºelimo odrediti koje linije ili plohe suvidljive iz sredi²ta projekcije ili duº pravaca projekcije, tako da se mogu prikazati samoone koje to jesu. Ideja ovog diplomskog rada je predstaviti nekoliko razli£itih algoritamakoji se bave tim problemom.

Literatura:

1. J. D. Foley, A. van Dam, S. K. Feiner, J. F. Hughes: Computer Graphics: Principlesand Practice, AddisonWesley (2005)

15

Mentor: Tina Bosner

Globalno konvergentne modikacije Newtonove metode

Podru£je: Numeri£ka matematika

Prikladno za studij: Primjenjena matematika, Matemati£ka statistika, Financijska iposlovna matematika

Preduvjeti: Numeri£ka matematika, a poººeljni su i Numeri£ka analiza 1 i 2

Opis: U primjeni se dosta £esto pojavljuje potreba za rje²avanjem bezuvjtenih minimiza-cijiskih problema ili rje²avanjem sistema nelinearnih jednadººbi. Za oba problema koristese skoro iste numeri£ke metode, gdje je jedna od najpopulatnijih Newtonova metoda.Poznat je kao jedan od glavnih nedostataka Newtonove metode nepostojanje globalnekonvergencije, pa je cilj ovog diplomskog rada ponuditi nekoliko mogu¢ih modikacijaNewtonove metode kojima se taj problem rje²ava.

Literatura:

1. J. E. Dennis Jr., R. B. Schnabel: Numerical Methods for Unconstrained Optimiza-tion and Nonlinear Equations, SIAM (1996), (Originally published by Prentice-Hall,Inc., Englewood Clis, N.J., 1983.)

16

Mentor: Tina Bosner

Numeri£ke metode za rje²avanje obi£nih diferencijalnih jednadºbi


Prikladno za studij: Matematika; smjer: nastavni£ki, Matematika i informatika; smjer:nastavni£ki

Preduvjeti: Primijenjena matemati£ka analiza

Opis: Ovaj diplomski rad zami²ljen je kao pregled naj£e²¢ih numeri£kih metoda, jed-nokora£nih i vi²ekora£nih, za rje²avanje obi£nih digerencijalnih jednadºbi. Uz osvrt naosnovne teorije, vezane uz konvergenciju metoda, prestavila bi se i neka svojstva danihmetoda, te njihove to£nosti, a zatim bi se usporedile njihove ekasnisti na konkretnimprimjerima.

Literatura:

1. M. Schatzman: Numerical Analysis, Clarendon Press, Oxford (2002)

2. E. Isaacson, H. B. Keller: Analysis of Numerical Methods, John Wiley and Sons,London (1966)

3. L. N. Trefethen: Finite Dierence and Spectral Methods for Ordinary and PartialDierential Equations, Cornell University, (1996)

17

Mentor: Mario Bukal Suvoditelj: Boris Muha

Matemati£ka analiza Maxwell-Stefanovog sustavavi²ekomponentnih mje²avina

Podru£je: primijenjena matematika; matemati£ka zika

Prikladno za studij: primijenjena matematika; teorijska matematika

Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe 1 i 2; Normirani prostori

Opis: Maxwell-Stefanov sustav opisuje dinamiku molarnih koncentracija pojedinih kom-ponenti mje²avine plina. Sustav £ine zakon sa£uvanja mase (jednadºba kontinuiteta) ijednadºbe kemijskih potencijala. Cilj diplomskog rada je provesti detaljnu analizu danogsustava uz odgovaraju¢e po£etno-rubne uvjete. Analiza se sastoji od konstrukcije slabihnenegativnih rje²enja sustava (dokaz egzistencije), dokaza entropijske nejednakosti i ispi-tivanja dugoro£nog pona²anja sustava.

Literatura:

A. Jüngel and I. Stelzer. Existence analysis of Maxwell-Stefan systems for multicompo-nent mixtures. SIAM J. Math. Anal. 45 (2013), 2421-2440.

18

Mentor: Mario Bukal Suvoditelj: Boris Muha

Numeri£ke simulacije Maxwell-Stefanovog sustavavi²ekomponentnih mje²avina

Podru£je: primijenjena matematika; matemati£ka zika

Prikladno za studij: primijenjena matematika; ra£unarstvo i matematika

Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe 1 i 2; Numeri£ka analiza

Opis: Maxwell-Stefanov sustav opisuje dinamiku molarnih koncentracija pojedinih kom-ponenti mje²avine plina. Sustav £ine zakon sa£uvanja mase (jednadºba kontinuiteta) ijednadºbe kemijskih potencijala. Cilj diplomskog rada je provesti odgovaraju¢u diskre-tizaciju po£etno-rubnog sustava i dobivenu metodu implementirati u nekoj od bibliotekaza numeri£ko rje²avanje parcijalnih diferencijalnih jednadºbi (FreeFem++, Dune, ...).

Literatura:

A. Jüngel and J.-P. Mili²i¢. Entropy dissipative one-leg multistep time approximations ofnonlinear diusive equations. Numer. Meth. Part. Di. Eqs. 31 (2015), 1119-1149.

19

Mentor: Tomislav Do²li¢

Matrice udaljenosti u grafovima

Podru£je: Diskretna matematika


Preduvjeti:

Opis: Udaljenost dvaju vrhova u grafu denira se kao duljina najkra¢eg puta koji ihpovezuje. Matrica udaljenosti u grafu je kvadratna matrica £iji su retci i stupci indeksiranivrhovima grafa i u kojoj se na mjestu (i, j) nalazi udaljenost vrhova i i j. Poznatoje da matrice udaljenosti svih stabala s istim brojem vrhova imaju istu determinantu.Stabla su specijalni slu£aj kaktusa: Povezani graf je kaktus ako mu je svaki blok brid iliciklus. Cilj rada bio bi prou£iti determinante matrica udaljenosti nekih klasa uniformnihi neuniformnih kaktusa.

Literatura:

D. Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika, Algoritam, Zagreb, 2001.

20


Mjere nebipartitnosti u grafovima

Podru£je: Diskretna matematika


Preduvjeti:

Opis: Graf je bipartitan ako mu se skup vrhova moºe podijeliti u dvije klase tako da svakibrid ima jedan kraj u jednoj i drugi kraj u drugoj klasi te particije. Klasi£ni rezultat kaºeda je graf bipartitan ako i samo ako ne sadrºi neparan ciklus. Intuitivno je jasno da nisusvi nebipartitni grafovi jednako daleko od udovoljavanja tom kriteriju. Cilj rada bio biprikazati i usporediti razli£ite mjere odstupanja od bipartitnosti za neke klase grafova.

Literatura:


21


Nizovi i kruºnice

Podru£je: Kombinatorika, geometrija


Preduvjeti: Nema

Opis: Neka je dan kombinatorni niz (an)n≥0. Uzmimo kruºnicu K0 polumjera 1/a0 ikruºnicu K1 polumjera 1/a1 sa sredi²tima na y-osi koje se diraju u ishodi²tu. Za n ≥2 odredimo sredi²ta svih kruºnica polumjera 1/an (dakle zakrivljenosti an) koje dirajukruºnice Kn−1 i Kn−2. Cilj rada bi bio ispitati pona²anje koordinata sredi²ta za raznenizove (an)n≥0.

Literatura:


22

Mentor: Alan Filipin

Linearne forme u logaritmima i rekurzivni nizovi

Podru£je: teorija brojeva


Preduvjeti: nema

Opis: U radu ¢e se obraditi primjena Bakerove teorije linearnih formi u logaritmima natraºenje £istih potencija u binarno rekurzivnim nizovima, na traºenje najve¢ih prostihfaktora u £lanovima rekurzivnih nizova, kao i na srodne probleme.

Literatura:

1. H. Cohen, Numer theory. Volume I: Tools and Diophantine Equations, Springer Verlag,Berlin, 2007.2. H. Cohen, Numer theory. Volume II: Analytic and Modern Tools, Springer Verlag,Berlin, 2007.

23

Mentor: Renato Filjar Suvoditelj: Luka Grubi²i¢

Model procjene poloºaja satelita zasnovan na satelitskimefemeridama satelitskog sustava za odreivanje poloºaja

Podru£je: Ra£unarstvo i matematika

Prikladno za studij: Ra£unarstvo i matematika

Preduvjeti: nema

Opis: Poloºaj satelita satelitskog navigacijskog sustava u trenutku oda²iljanja signala zaodreivanje poloºaja neophodan je ulazni podataka u postupku odreivanja poloºaja sa-telitskim sustavom. Procjenu poloºaja satelita odreuje korisni£ki prijamnik za satelitskunavigaciju na osnovu podataka o satelitskim orbitama (satelitskim efemeridama) prim-ljenih u navigacijskoj poruci. U ovom radu potrebno je opisati model procjene poloºajasatelita zasnovan na satelitskim efemeridama satelitskog sustava za odreivanje poloºajate analizirati njegovu to£nost. Model je potrebno izvesti u programskom okruºenju zastatisti£ko ra£unarstvo R te analizirati ograni£enja izvedbe sa stajali²ta stabilnosti i to£-nosti.

Literatura:

Sanz Subirana, J, Juan Zornoza, J M i Hernandez-Pajares, M. (2013). GNSS Data Proce-ssing Volume I: Fundamentals and Algorithms. ESA. http://bit.ly/1tDzJIQ. Bate,R R, Mueller, D D i White, J E. (1971). Fundamentals of Astrodynamics. Dover Pu-blishing, Inc. New York, NY. Crawley, M J. (2013). The R Book. John Wiley & Sons.Chichester, UK.

24

Mentor: Ilja Gogi¢

Izometri£no injektivni Banachovi prostori

Podru£je: funkcionalna analiza


Preduvjeti: Operatori na normiranim prostorima, Metri£ki prostori, Mjera i integral

Opis: Za Banachov prostor X kaºemo da je izometri£no injektivan ako se za sve Banac-hove prostore Y ⊆ Z, svaka linearna kontrakcija φ : Y → X moºe pro²iriti do linearnekontrakcije φ : Z → X. Drugim rije£ima, X je injektivan objekt u kategoriji Banachovihprostora s linearnim kontrakcijama kao morzmima. Najjednostavniji primjer izome-tri£no injektivnog Banachovog prostora je X = C (Hahn-Banachov teorem). Op¢enitijiprimjeri izometri£no injektivnih Banachovih prostora su prostori L∞(Ω, µ), gdje je (Ω, µ)σ-kona£an prostor mjere, te biduali funkcijskih prostora C(K), gdje je K kompaktanHausdorov prostor.

Osnovni cilj ovog diplomskog rada je dokazatiGoodner-Nachbin-Kelleyjev teorem koji kaºeda je Banachov prostor X izometri£no injektivan ako i samo ako postoji ekstremno ne-povezan kompaktan Hausdorov prostor K takav da je X izometri£ki izomorfan s C(K).Jedna od interesantnih posljedica te karakterizacije (u kombinaciji s dekompozicijskomtehnikom Peªczy«skog) je da su Banachovi prostori `∞ i L∞([0, 1]) izometri£ki izomorfni.

Literatura:

1. F. Albiac, N. J. Kalton, Topics in Banach space theory, Graduate Texts in Mathema-tics, vol. 233, Springer, New York, 2006.2. M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos and V. Zizler, Banach Space Theory:The Basis for Linear and Nonlinear Analysis, CMS Books in Mathematics, Springer, NewYork, 2011.3. H. G. Dales, F. K. Dashiell, Jr., A.T.-M. Lau, D. Strauss, Banach Spaces of ContinuousFunctions as Dual Spaces, Springer, 2016.3. D. Hadwin, V. Paulsen, Injectivity and projectivity in analysis and topology, AbstractSci. China Math. 54 (2011), no. 11, 23472359.https://arxiv.org/abs/0706.2995

25

Mentor: Ilja Gogi¢

Reeksivni Banachovi prostori

Podru£je: funkcionalna analiza

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika, Matemati£kastatistika

Preduvjeti: Operatori na normiranim prostorima, Metri£ki prostori, Mjera i integral

Opis: Svaki Banachov (ili op¢enitije normiran) prostor X nad poljem F realnih ili kom-pleksnih brojeva moºemo na kanonski na£in uloºiti kao potprostor njegovog (topolo²kog)biduala X∗∗. Naime, za x ∈ X denirajmo preslikavanje x : X∗ → F s x(f) := f(x).Tada je x ograni£en linearni funkcional na X∗ (dakle element od X∗∗) i ‖x‖ = ‖x‖, papreslikavanje QX : x 7→ x denira linearnu izometriju s X u X∗∗. Ako je QX takoersurjektivno, onda za prostor X kaºemo da je reeksivan.

Reeksivni prostori igraju bitnu ulogu u teoriji i primjeni (posebno u parcijalnim diferen-cijalnim jednadºbama) te za razliku od op¢enitih Banachovih prostora dijele neka dostadobra svojstva. U osnovne primjere reeksivnih prostora spadaju svi kona£nodimenzi-onalni normirani prostori, Hilbertovi prostori te Lp-prostori (za 1 < p <∞).

Cilj ovog diplomskog rada je iskazati i dokazati razne karakterizacije reeksivnosti. Tako-er bi se opisala konstrukcija tzv. Jamesovog prostora J , koji je fundamentalni primjernereeksivnog Banachovog prostora koji je, s druge strane, izometri£ki izomorfan svombidualu.

Literatura:

1. R. E. Megginson, An introduction to Banach space theory, Graduate Texts in Mathe-matics, vol. 183, Springer-Verlag, New York, 1998.2. J. B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag, New York, 1985.3. P. Hájek, V. Montesinos and V. Zizler, Banach Space Theory: The Basis for Linearand Nonlinear Analysis, CMS Books in Mathematics, Springer, New York, 2011.4. F. Albiac, N. J. Kalton, Topics in Banach space theory, Graduate Texts in Mathema-tics, vol. 233, Springer, New York, 2006.

26

Mentor: Ilja Gogi¢

Paradoksalne dekompozicije i teorem Tarskog

Podru£je: algebra, geometrija

Prikladno za studij: svi

Preduvjeti: Algebarske strukture, poºeljno Teorija skupova te Mjera i integral

Opis: Prema slavnom Banach-Tarskijevom paradoksu (odn. teoremu), zatvorena jedi-ni£na kugla u R3 moºe se rastaviti na kona£no mnogo dijelova, od kojih se kori²tenjemkrutih gibanja (tj. translacija i rotacija) mogu sastaviti dvije kugle identi£ne po£etnoj.tovi²e, ako su A i B bilo koja dva ograni£ena skupa u R3 s nepraznim interiorom,tada skup A moºemo rastaviti na kona£no mnogo dijelova od kojih se kori²tenjem krutihgibanja moºe sastaviti skup B (jaka forma Banach-Tarskijevog paradoksa). Jedan odosnovnih koraka u dokazu tog teorema je dokaz £injenice da je grupa G = SO(3) rotacijau R3 oko ishodi²ta paradoksalna, tj. postoji kona£na particija E1, . . . , En od G, ele-menti g1, . . . , gn ∈ G i prirodan broj 1 ≤ m < n sa svojstvom da su g1E1, . . . , gmEmi gm+1Em+1, . . . , gnEn dvije particije od G. Istaknimo da dokaz Banach-Tarskijevogparadoksa bitno ovisi o aksiomu izbora.

U prvom dijelu ovog diplomskog rada bi se dokazala jaka forma Banach-Tarskijevog pa-radoksa. U drugom dijelu rada dokazao bi se teorem Tarskog, koji kaºe da je grupa Gparadoksalna ako i samo ako G ne dopu²ta kona£no aditivnu G-invarijantnu vjerojatnosnumjeru deniranu na £itavom partitivnom skupu od G.

Literatura:

1. V. Runde, Lectures on Amenability, Lectures Notes in Mathematics 1774, SpringerVerlag, 2002.2. J. H. Shapiro, A Fixed-Point Farrago, Springer, 2016.3. S. Wagon, The BanachTarski Paradox, Cambridge University Press,1985.4. A. Garrido, An introduction to amenable groups, lecture noteshttp://people.maths.ox.ac.uk/kar/amenable.pdf

5. I. Gogi¢, Paradoksalne dekompozicije, PMF-MO, 2017.https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/studnatj/BT.pdf

27

Mentor: Ilja Gogi¢

Klasi£ni rezultati globalne teorije ravninskih krivulja

Podru£je: geometrija

Prikladno za studij: nastavni£ki studiji

Preduvjeti: Uvod u diferencijalnu geometriju

Opis: U ovom diplomskom radu obradila bi se sljede¢a tri klasi£na teorema globalneteorije ravninskih krivulja:

1. Hopfov teorem o indeksu rotacije (indeks rotacije jednostavno zatvorene ravninskekrivulje jednak je ±1).

2. Izoperimetrijska nejednakost (ako unutra²nje podru£je jednostavno zatvorene ravninskekrivulje duljine ` ima povr²inu A, tada vrijedi 4πA ≤ `2. Pritom se jednakost postiºe akoi samo ako je ta krivulja kruºnica).

3. Teorem o £etiri tjemena (svaka jednostavno zatvorena konveksna ravninska krivuljaima barem £etiri tjemena).

Literatura:

1. C. Bär, Elementary Dierential Geometry, Cambridge University Press, 2010.2. K. Tapp, Dierential Geometry of Curves and Surfaces, Springer, 2016.3. M. Do Carmo, Dierential Geometry of Curves and Surfaces: Revised and UpdatedSecond Edition, Courier Dover Publications, 2016.4. T. F. Bancho, S. T. Lovett, Dierential Geometry of Curves and Surfaces, SecondEdition, CRC Press, 2016.

28

Mentor: Boris Gulja²

Kompaktni operatori u Banachovim prostorima

Podru£je: Funkcionalna analiza, Teorija operatora

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika, Matemati£kastatistika, Financijska i poslovna matematika

Preduvjeti: Poºeljno predznanje iz kolegija Normirani prostori, Operatori na normira-nim prostorima,Metri£ki prostori

Opis: Kompaktni operatori na Banachovim prostorima su operatori koji preslikavajuograni£ene skupove u predkompaktne skupove, tj. skupove £iji zatvara£ je kompaktanskup. Oni su uniformni limesi operatora kona£nog ranga i po svojstvima su najsli£nijioperatorima na vektorskim prostorima kona£ne dimenzije.

Cilj rada je prou£iti svojstva navedenih operatora i struktura koje oni tvore. Takoer seplanira obraditi neke njihove primjene.

Literatura:

Kurepa Svetozar,Funkcionalna analiza- Elementi teorije operatora, kolska knjiga, 1981,T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, 2nd edition, Springer, New York,1980.Dunford N. & Schwartz J. T., Linear operators (Part II) Spectral theory, Self AdjointOperators in Hilbert Space, John Wiley & sons, 1963.

29


Nuklearni operatori



Preduvjeti: Poºeljno predznanje iz kolegija Normirani prostori, Operatori na normira-nim prostorima, Metri£ki prostori

Opis: Nuklearni operatori ili operatori s tragom su podskup skupa kompaktnih operatorana Hilbertovom prostoru X. Svaki kompaktan operator A : H → H ima prikaz oblika

Ax =∞∑n=1

λn(x|un)en,∀x ∈ H,

gdje su (un)n i (en)n ortogonalni nizovi vektora, ∀n ∈ N, λn ≥ 0 i λn → 0. Operator jenuklearan ako vrijedi

∑∞n=1 λn <∞

U bilo kojoj ortonormiranoj bazi mogu¢e je denirati (kona£an) trag operatora kao tragpripadne (beskona£ne) matrice i on je neovisan o izboru baze. Na skupu svih nuklearnihoperatora denira se norma tako da je on zatvara£ u toj normi skupa svih operatorakona£nog ranga.

Cilj rada je prou£iti svojstva navedenih operatora, struktura koje oni tvore i obraditi nekenjihove primjene.

Literatura:

Kurepa Svetozar,Funkcionalna analiza- Elementi teorije operatora, kolska knjiga, 1981,Krein I. C. & M. C, Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators, Ame-rican Mathematical Society, 1969,Simon B., Trace ideals and their applications, Second Edition, Amer. Math. Soc., 2005,Dunford N. & Schwartz J. T., Linear operators (Part II) Spectral theory, Self AdjointOperators in Hilbert Space, John Wiley & sons, 1963.

30


Zatvoreni operatori




Opis: Linearan operator A : D(A) → Y , D(A) ⊆ X, je zatvoren operator ako je njegovgraf Γ(A) = (x,Ax)|x ∈ X ⊆ X × Y zatvoren potprostor u X × Y , gdje su X, YBanachovi prostori. Zatvorni operatori predstavljaju prirodnu generalizaciju ograni£e-nih linearnih operatora na beskona£no-dimenzionalnim Banachovim prostorima. Zbogteorema o zatvorenom grafu, ako je operator A neograni£en onda je nuºno D(A) 6= X.

Cilj rada je prou£iti koje teoreme iz teorije ograni£enih linearnih operatora je mogu¢epro²iriti na zatvorene operatore.

Literatura:

Kurepa Svetozar,Funkcionalna analiza- Elementi teorije operatora, kolska knjiga, 1981,Krein I. C. & M. C, Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators, Ame-rican Mathematical Society, 1969,Kato T., Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, 1966Dunford N. & Schwartz J. T., Linear operators (Part II) Spectral theory, Self AdjointOperators in Hilbert Space, John Wiley & sons, 1963.

31


Spektralni teorem za ograni£ene normalne operatore




Opis: Spektralni teoremi predstavljaju poop¢enja rezultata iz kona£no dimenzionalnihvektorskih prostora koji se odnose na dijagonalizaciju odgovaraju¢ih klasa operatora uortonormiranim bazama. U su£aju beskona£no dimenzionalnih Hilbertovih prostora radise o egzistenciji tzv. dekompozicije jedinice ili spektralne funkcije za operator A, tj. fami-lije ortogonalnig projektora Eλ;λ ∈ K, gdje je K = R u slu£aju hermitskih operatora iK = C u slu£aju normalnih operatora. Tada je mogu¢ prikaz operatora u obliku

A =

∫KλdEλ.

Cilj rada je dokazati spektralni teorem za ograni£ene normalne operatore i opisati nekenjegove primjene. Literatura:Kurepa Svetozar,Funkcionalna analiza- Elementi teorije operatora, kolska knjiga, 1981,Krein I. C. & M. C, Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators, Ame-rican Mathematical Society, 1969,Kato T., Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, 1966Dunford N. & Schwartz J. T., Linear operators (Part II) Spectral theory, Self AdjointOperators in Hilbert Space, John Wiley & sons, 1963,Rudin Walter, Functional analysisn, McGraw-Hill Book Company, 1973.

32

Mentor: Marcela Hanzer

p-adski redovi potencija

Podru£je: algebra, teorija brojeva


Preduvjeti: Algebarske strukture

Opis: Tehnike nearhimedske analize imaju mno²tvo primjena u modernoj matematici,npr. u teoriji brojeva i teoriji reprezentacija. U radu bi se krenulo s bazi£nim konceptima:najprije bi se uveli p-adskih brojevi i prou£avala njihova aritmetika, a zatim bi se izgradilopro²irenje polja p-adskih brojeva koje je i algebarski zatvoreno i potpuno, time daju¢i p-adski analog kompleksnih brojeva (koji su i potpuni i algebarski zatvoreni). Nakon togabi se bavilo osnovnom temom rada, a to su p-adski redovi potencija. Prou£avalo bi seneke interesantne primjere, kao npr. p-adski logaritam i eksponencijalna funkcija, p-adskagamma i Artin-Hasseova eksponencijalna funkcija. Prou£avalo bi se i Newtonove poligonei dokazala p-adska verzija Weierstrassovog pripremnog teorema.

Literatura:

Weil, Basic number theory, Springer 1995.Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis and Zeta functions, Springer, 1984.

33


Reprezentacije grupe GL2(Fq), gdje je Fq kona£no polje

Podru£je: algebra, teorija reprezentacija


Preduvjeti: Algebarske strukture

Opis: Op¢e linearne grupe (nad proizvoljnim poljima) £ine jednu od najzna£ajnih serijagrupa koje se javljaju u najrazli£itijim granama matematike. Najednostavnije je razumi-jeti njihove reprezentacije ako je rije£ o grupama koje su i kona£ne, dakle, nad kona£nimpoljima. U radu bi se prvo objasnili osnovni pojmovi vezani uz teoriju reprezentacija ko-na£nih grupa nuºni za razvoj teorije, posebno konjugacijske klase i karakteri. Naglasak uradu bi bio na kori²tenju tih osnovnih pojmova u eksplicitnom izra£unu svih ireducibilnihreprezentacija op¢e linearne grupe reda 2 nad kona£nim poljima.

Literatura:

Fulton-Harris, Representation theory-A rst course, Springer 1991.

34


Teorija reprezentacija kona£nih grupa; Artinov teorem

Podru£je: algebra, teorija reprezentacija


Preduvjeti: Algebarske strukture, poºeljno i Algebra

Opis: Reprezentacije kona£nih grupa su vrlo zna£ajne za primjene u zici ili kvantnojkemiji, a u matematici su, zajedno s klasi£nom harmonijskom analizom, ishodi²na to£ka urazvoju teorije reprezentacija i drugih klasa grupa, npr. algebarskih. U radu bi se trebaodati osvrt na osnove teorije reprezentacija kona£nih grupa, teoriju karaktera i osnovnekoncepte (sume, tenzorski produkti, induciranje) uz analizu nekoliko primjera konkretnihgrupa. U radu bi se trebali dokazati Artinov i Brauerov teorem, koji imaju zna£ajnuulogu u primjeni teorije reprezentacija, npr. u prou£avanju L-funkcija.

Literatura:

Serre, Linear representations of nite groups, Springer 1977.Curtis, Reiner, Representation theory of nite groups and associative algebras, Wiley,1962.

35


Lokalno kompaktne grupe

Podru£je: algebra, funkcionalna analiza


Preduvjeti: Algebarske strukture, Normirani prostori

Opis: U suvremenoj algebri i harmonijskoj analizi od velikog zna£enja su topolo²ke grupe,naro£ito lokalno kompaktne grupe. U radu bi se dale osnove teorije topolo²kih grupa tedokazala egzistencija Haarove mjere na lokalno kompaktnim grupama. Uz kratko ponav-ljanje potrebnih £injenica iz teorije mjere, izu£avala bi se modularna funkcija te konvo-lucija na lokalno kompaktnoj grupi kao i Lp prostori na lokalno kompkatnoj grupi. Nakraju bi se dali neki osnovni rezultati o homogenim prostorima i egzistenciji invarijantnihmjera na takvim prostorima.

Literatura:

Folland, A course in Abstract Harmonic Analysis, CRC Press, 1995.

36

Mentor: Vjeran Hari

Realna CJ metoda za generalizirani problem vlastitih vrijednosti

Podru£je: linearna algebra, matri£ni algoritmi



Opis: Rad bi prou£avao relativnu to£nost nove dijagonalizacijske metode za GPVV. Me-toda se primijenjuje na par simetri£nih matrica (A,B) od kojih je B pozitivno denitna.Prvo se dijagonalni elementi od B svedu da budu 1. Metoda je tako konstruirana da £uvate jedinice na dijagonali od B. U jednom koraku metode, obje pivotne podmatrice A i Bse dijagonaliziraju transformacijom kongruencije. To se postiºe tako da se na£ini LLT iliRRT faktorizacija od B, nakon £ega se primijeni transformacija kongruencije sa inverz-nim faktorima, tako da B postane jedini£na matrica I2. Nakon toga primijeni se obi£naJacobijeva transformacija koja dijagonalizira aºuriranu matricu A. Izbor LLT ili RRT

faktorizacije u svakom koraku ovisi o tome da li je prvi pivotni dijagonalni element aiimanji ili ve¢i od drugog pivotnog dijagonalnog elementa ajj, i < j, a to garantira visokurelativnu to£nost metode. U radu bi se prou£avala upravo relativna to£nost izra£unatihvlastitih vrijednosti i vektora, a takoer dokazao bi se teorem o globalnoj konvergencijimetode. Od alata, koristio bi se MATLAB i njegov Symbolic toolbox.

Literatura:

V. Hari, Globally convergent Jacobi methods for positive denite matrix pairs, DOI:10.1007/s11075-017-0435-5. Rad je prihva¢en za objavljivanje u £asopisu Numerical Al-gorithms.V. Hari, E. Begovi¢, Convergence of the Cyclic and Quasi-cyclic Block Jacobi Methods.Electronic transactions on numerical analysis (ETNA) 46, 107-147 (2017)Cleve Moler, Numerical Computing with MATLAB(ebook, www.mathworks.com/moler/chapters.html)

37

Mentor: Vjeran Hari

Kompleksna CJ metoda za generalizirani problem vlastitihvrijednosti




Opis: U radu bi se izvela nova metoda za ra£unanje vlastitih vrijednosti i vektorapara kompleksnih hermitskih matrica. Metoda se primijenjuje na par hermitskih ma-trica (A,B) pri £emu je B pozitivno denitna. Prvo se dijagonalni elementi od B sveduda budu 1. Metoda je tako konstruirana da £uva te jedinice na dijagonali od B. U jednomkoraku metode, obje pivotne podmatrice A i B reda 2 se dijagonaliziraju transformacijomkongruencije. To se postiºe tako da se na£ini LL∗ ili RR∗ faktorizacija od B, nakon £egase primijeni transformacija kongruencije sa inverznim faktorima, tako da B postane jedi-ni£na matrica I2. Nakon toga primijeni se obi£na kompleksna Jacobijeva transformacijakoja dijagonalizira aºuriranu matricu A. Izbor LL∗ ili RR∗ faktorizacije u svakom korakuovisi o tome da li je prvi pivotni dijagonalni element aii manji ili ve¢i od drugog pivotnogdijagonalnog elementa ajj, i < j, a to garantira visoku relativnu to£nost metode. U radubi se izveo algoritam i testirala bi se njegova to£nost u MATLABu.

Literatura:

V. Hari, Globally convergent Jacobi methods for positive denite matrix pairs, DOI:10.1007/s11075-017-0435-5. Rad je prihva¢en za objavljivanje u £asopisu Numerical Al-gorithms.

Cleve Moler, Numerical Computing with MATLAB(ebook, www.mathworks.com/moler/chapters.html)

38

Mentor: Vjeran Hari

Blok HZ metoda




Opis: Ova tema je orijentirana prema izvodu i implementaciji blok HZ metode za po-zitivno denitni par simetri£nih matrica. Metoda ra£una vlastite vrijednosti i vektoreza problem vlastitih vrijednosti Ax = λBx, gdje su A i B simetri£ne, a B je pozitivnodenitna. Metoda koristi transformacije kongruencije sa elementarnim blok matricama.Prvo se odredi particija broja n (red matrica), n = n1 + n2 + · · · + nm. Zatim se na£iniparticija matrica (blok-matri£na particija) A = (Ars), B = (Brs), pri £emu su dijagonalniblokovi Aii i Bii reda ni, 1 ≤ i ≤ m. Metoda prvo svede dijagonalne blokove da budujedini£ne matrice. U dvije petlje, prvo po i (od 1 do m − 1), pa po j (od i + 1 do m)transformacijom kongruencije dijagonalizira pivotne podmatrice

A =

[Aii AijAji Ajj

]i B =

[Bii Bij

Bji Bjj

].

Zatim se dobivena matrica transformacije umetne u veliku matricu transformacije Fijkoja transformira matrice: F T

ijAFij, FTijBFij. Postupak se ponavlja dok se matrice A i B

dovoljno ne dijagonaliziraju. Cilj rada je napisati program u MATLABu ili nekom vi²emprogramskom jeziku i na£inite testove to£nosti metode.

Literatura:

V. Hari, Globally convergent Jacobi methods for positive denite matrix pairs, DOI:10.1007/s11075-017-0435-5. Rad je prihva¢en za objavljivanje u £asopisu Numerical Al-gorithms.V. Hari, E. Begovi¢, Convergence of the Cyclic and Quasi-cyclic Block Jacobi Methods.Electronic transactions on numerical analysis 46, 107-147 (2017)Cleve Moler, Numerical Computing with MATLAB(ebook, www.mathworks.com/moler/chapters.html)

39

Mentor: Vjeran Hari

Relativna to£nost HZ metode




Opis: Ova tema je orijentirana prema ispitivanju to£nosti HZ metode za pozitivno de-nitni par simetri£nih matrica. Metoda ra£una vlastite vrijednosti i vektore za genera-lizirani problem vlastitih vrijednosti Ax = λBx, gdje su A i B simetri£ne, a B je pozi-tivno denitna. Metoda koristi transformacije kongruencije sa elementarnim ravninskimmatricama. Treba na£initi analizu gre²aka zaokruºivanja jednog koraka metode i zatimusporedno na£initi testiranje na ra£unalu. Pritom se moºe koristiti MATLAB i njegovSymbolic Toolbox koji ima funkciju vpa (variable precision arithmetic) s kojom se moºera£unati u aritmetici vi²estruke to£nosti. Cilj je otkriti slabe to£ke algoritma i uvjete podkojima je metoda to£na.

Literatura:

V. Hari, Globally convergent Jacobi methods for positive denite matrix pairs, DOI:10.1007/s11075-017-0435-5. Rad je prihva¢en za objavljivanje u £asopisu Numerical Al-gorithms.Cleve Moler, Numerical Computing with MATLAB,(ebook, www.mathworks.com/moler/chapters.html)

40

Mentor: Dijana Ili²evi¢

Hahn-Banachov teorem



Preduvjeti: Kolegij "Normirani prostori"

Opis: Hahn-Banachov teorem predstavlja jedan od temelja funkcionalne analize. Njegovaklasi£na verzija se odnosi na pro²irenje linearnih funkcionala. Zadatak ovog diplomskograda je predstaviti nekoliko formulacija Hahn-Banachovog teorema i pristupa njegovomdokazu.

Literatura:

S. K. Berberian, Lectures in functional analysis and operator theory, Springer-Verlag, NewYork-Heidelberg, 1974.S. Kurepa, Funkcionalna analiza, kolska knjiga, Zagreb, 1990.

41

Mentor: Mladen Jurak

Diskontinuirana metoda kona£nih elemenata

Podru£je: Primijenjena i numeri£ka matematika.

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Teorijska matematika, Ra£unarstvo imatematika.

Opis: Diskontinuirana metoda kona£nih elemenata je vrlo eksibilan na£in diskretizacijeparcijalnih diferencijalnih jednadºbi koji se intenzivno razvija zadnja dva desetlje¢a. Uovom je radu potrebno prou£iti osnovne metode diskretizacije za elipti£ke rubne zada¢ete implementirati i testirati metodu u paketu dune-pdelab.

Literatura:

1. V. Dolej²i, M. Feistauer: Discontinuous Galerkin Method, Analysis and Applicationsto Compressible Flow, Springer 2015.2. P. Bastian, F. Heimann, S. Marnach: Generic implementation of nite element methodsin the distributed and unied numerics environment (Dune), Kybernetika 46, no. 2 (2010)294315.3. Resursi na Internetu.

42

Mentor: Jadranka Kraljevi¢ Suvoditelj: Andrej Dujella

Teoremi o ksnoj to£ki

Podru£je: matemati£ka analiza

Prikladno za studij:

Preduvjeti:

Opis: Pojam ksne to£ke. Fundamentalni principi o ksnim to£kama. Banachov Teoremo ksnoj to£ki i iterativne metode. Primjene i zna£ajnost teorema.Schauderov teorem o ksnoj to£ki i kompaktnost. Brouwerov teorem o ksnoj to£ki ikompaktni operatori. Primjene.

Literatura:

1. E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications, I: Fixed-Point The-orems.2. S. Marde²i¢, Matemati£ka analiza 1 dio, kolska knjiga, Zagreb, 1979.3. W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Mc Graw-Hill,1964.4. W. A. Sutherland, Introduction to metric and topological spaces, Claredon Press,Oxford,1975.5. D. Mitrovi¢, D. ubrini¢, Fundamentals of Applied Functional Analysis, Pitman Mono-graphs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 91, Langman Sientic & Technical,Horlov, 1998.

43

Mentor: Miljenko Maru²i¢

Eksponencijalno prilagoene diferencijske sheme


Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Ra£unarstvo i matematika

Opis: U diplomskom radu treba prikazati i usporediti nekoliko diferencijskih shema kojese primjenjuju za numeri£ko rje²avanje singularno perturbiranog rubnog problema za ODJ.Singularno perturbirani problem je rubni problem za diferencijalnu jednadºbu oblika εy′′+by′ + cy = f , gdje je ε jako mali realni broj.

Literatura:

J. J. H. Miller, E. O'Riordan, G. I. Shishkin, Fitted Numerical Methods for SingularPerturbation Problems, World Scientic, Singapore, 1996.

44


Splajn kolokacija za singularno perturbirane rubne probleme



Preduvjeti: Numeri£ka analiza 2

Opis: U diplomskom radu treba opisati i usporediti nekoliko metoda koje koriste splajnfunkcije za numeri£ko rje²avanje singularno perturbiranog rubnog problema za ODJ.Singularno perturbirani problem je rubni problem za diferencijalnu jednadºbu oblikaεy′′ + by′ + cy = f , gdje je ε jako mali realni broj.

Literatura:

J. J. H. Miller, E. O'Riordan, G. I. Shishkin, Fitted Numerical Methods for SingularPerturbation Problems, World Scientic, Singapore, 1996.

45


Matemati£ki modeli rasta tumora

Podru£je: Primijenjena matematika


Opis: Cilj diplomskog rada je prikazati nekoliko modela tumora i usporediti ih na ekspe-rimentalnim podacima. Izbor modela obavio bi se u dogovoru s mentorom.

Literatura:

T. Roose, S. J. Chapman, P. K. Maini, Mathematical Models of Avascular Tumor Growth,SIAM Review, 49 (2007) 179208

46


Eksponencijalni integratori



Opis: U diplomskom radu treba prikazati i usporediti nekoliko eksponencijalno prilago-enih metoda koje se primjenjuju za numeri£ko rje²avanje inicijalnog problema za obi£nediferencijalne jednadºbe. Od posebnog je interesa primjena na krute probleme.

Literatura:

M. Hochbruck, A. Ostermann. Exponential integrators. Acta Numerica, 19:209286,2010.

47

Mentor: Eduard Maru²i¢-Paloka

Idealni nestla£ivi uid



Preduvjeti: Matemati£ka analiza 3 i 4 ili Dir 2 i Primijenjena matemati£ka analiza

Opis: Osnovni pojmovi. Eulerova jednadºbe. Potencijalni bezvrtloºni tok. TeoremKutta-ukovskog. D'Alambertov paradoks.

Literatura:

Malchioro Pulvirenti, Mathematical theory of incompressible nonviscous uids, Springer,1994.A.J.Chorin, J.E.Marsden, A mathematical introduction to uid mechanics, Springer,2000.

48


Perturbacije diferencijalnih jednadºbi

Podru£je: Matemati£ka analiza


Preduvjeti: Obi£ne diferencijalne jednadºbe ili Primijenjena matemati£ka analiza

Opis: Regularna i singularne perturbacija za obi£nu diferencijalnu jednadºbu. Poincaré-Linsdtedtova metoda. Asimptoti£ki razvoj. Rubni sloj. Primjeri.

Literatura:

J.D.Logan, Applied mathematics, Wiley, 2006.

49


Krivuljni integrali

Podru£je: Matemati£ka analiza

Prikladno za studij: Nastavni£ki smjer matematike i matematike-fzike

Preduvjeti: Diferencijalni i integralni ra£un 2

Opis: Krivulje u ravnini i prostoru. Parametrizacija. Krivuljni integral skalarne ivektorske funkcije. Greenov teorem.

Literatura:

J.E.Marsden, A.J.Tromba, Vector calculus, Freeman, 1996.S.Kurepa, Matemati£ka analiza 3, Tehni£ka knjiga, 1979.

50

Mentor: Boris Muha

Kompaktni skupovi u Lp(0, T ;B) prostorima


Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Teorijska matematika

Preduvjeti: Normirani prostori, Mjera i integral

Opis: Cilj radnje je dokazati neke kriterije kompaktnosti u Lp(0, T ;B) prostorima, pri£emu je B Banachov prostor.

Literatura:

Roubi£ek, T. Nonlinear Partial Dierential Equations with Applications (2nd ed.), Basel:Birkhäuser, 2013.Simon, J. Compact sets in the space Lp(O, T ;B), Annali di Matematica Pura ed Applicata146. pp. 65-96 1986.

51

Mentor: Boris Muha

Nash-Kuiperov teorem

Podru£je: Diferencijalna geometrija, Parcijalne diferencijalne jednadºbe


Preduvjeti: Diferencijalna geometrija

Opis: Cilj radnje je dokazati Nash-Kuiperov teorem o C1 izometri£kim ulaganjima m-dimenzonalne mnogostrukosti M u Rn, n ≥ m+ 1.

Literatura:

Nash, J. C1 isometric imbeddings, Ann. of Math. (2), 60:383396, 1954.

52

Mentor: Boris Muha

Lie-Trotterova produktna formula

Podru£je: Funckionalna analiza



Opis: Cilj radnje je dokazati generalizaciju Lie-ove produktne formule za matrice:

eA+B = limN→∞

(eAN e

BN )N .

Promatrat ¢e se slu£aj kada suA iB odreeni neograni£eni operatori koji su innitezimalnigeneratori polugrupa. U drugom dijelu radnje promatrat ¢e se primjene produktne formulena rje²avanje evolucijskih diferencijalnih jednadºbi.

Literatura:

R. Dautray, J.-L. Lions, Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science andTechnology. (Vol. 5) Evolution Problems I, Springer-Verlag, Berlin, 2000

53

Mentor: Goran Mui¢

Konstruktivni dokaz Hilbertovog teorema o nulama

Podru£je: algebra

Prikladno za studij: nastavni£ki, teorijska matematika


Opis: Hilbertov teorem o nulama je osnovni teorem algebarske geometrije. U radu dati¢e se elementaran dokaz temeljen na teoriji eliminacije varijabli.

Literatura:

D. A. Cox, J. Little, D. O'Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction toComputational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Undergraduate Texts inMathematics, Springer, 2015.

54

Mentor: Goran Mui¢

Projektivna algebarska geometrija

Podru£je: algebra

Prikladno za studij: nastavni£ki, teorijska matematika


Opis: Projektivni prostori su univerzalni objekti algebarske geometrije. Rad prou£avaosnovne rezultate o algebarskim skupovima u projektivnom prostoru.

Literatura:

D. A. Cox, J. Little, D. O'Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction toComputational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Undergraduate Texts inMathematics, Springer, 2015.

55

Mentor: Damir Paji¢

Mjerenje feroelektri£nih svojstava materijala

Podru£je: Fizika, kondenzirana materija, eksperimentalno

Prikladno za studij: Matematika i zika; smjer nastavni£ki

Preduvjeti: nema

Opis: Student ¢e izraditi mjerni postav za mjerenje feroelektri£nih svojstava matarijala,uklju£uju¢i ili mjerenje piroelektri£ne struje koja se pojavi prilikom prelaska materijala uferoelektri£no stanje £ime se proizvede struja mjerljiva femtoampermetrom, ili mjerenjedielektri£ne konstante LCR-metrom u ovisnosti o temperaturi, ili mjerenje feroelektri£nehistereze pomo¢u digitalnog osciloskopa. Prilagodit ¢e uzorak mjernoj metodi, te pove-zati instrumente s ra£unalom i u programskom jeziku python isprogramirati upravljanjeureajem i mjerenje. Analizirat ¢e podatke i dati njihovo tuma£enje u svijetlu novijeznanstvene literature. Pritom ¢e nau£iti o elektri£nim svojstvima materijala, upravljanjuprofesionalnim mjernim ureajima pomo¢u ra£unala, analiti podataka, te znanstvenojraspravi dobivenih rezultata.

Literatura:

Udºbenici iz op¢e zike i £vrstog stanja, priru£nici za kori²tene ureaje, znanstveni radovi.

56

Mentor: Damir Paji¢

Mjerenje magnetskih svojstava odabranog materijala

Podru£je: Fizika, kondenzirana materija, eksperimentalno


Preduvjeti: nema

Opis: Student ¢e mjeriti magnetizaciju odabranog matarijala koriste¢i SQUID magneto-metar. Uo£eno magnetsko pona²anje objasnit ¢e u svjetlu novije znanstvene literature.

Literatura:

Udºbenici iz op¢e zike i £vrstog stanja, priru£nici za kori²tene ureaje, znanstveni radovi.

57

Mentor: Pavle Pandºi¢

Reprezentacije kona£nih grupa

Podru£je: algebra

Prikladno za studij: za sve studije

Preduvjeti: nema

Opis: U ovoj se temi obrauju osnove teorije kona£nodimenzionalnih reprezentacija ikaraktera u primjeru kona£nih grupa. Uklju£ene su i standardne konstrukcije kao induci-ranje i tenzorski produkti reprezentacija. Sve je ilustrirano konkretnim primjerima.

Literatura:

J.-P.Serre, Linear representations of nite groups, Springer, 1977.W. Fulton, J.Harris, Representation theory. A rst course., Springer, 1991.

58


Proste kompleksne Liejeve algebre

Podru£je: algebra


Preduvjeti: nema

Opis: U ovoj se temi obrauju osnove teorije Liejevih algebri te klasikacija kompleksnihprostih Liejevih algebri pomo¢u njihovih sistema korijena.

Literatura:

J.Humphreys, Introduction to Lie algebras and Representation Theory, Springer, 1997.W. Fulton, J.Harris, Representation theory. A rst course., Springer, 1991.

59


Realne forme prostih Liejevih algebri

Podru£je: algebra


Preduvjeti: nema

Opis: U ovoj se temi pretpostavlja klasikacija kompleksnih prostih Liejevih algebri ina osnovu nje se dobiva klasikacija realnih prostih Liejevih algebri. Osnovna metoda jekori²tenje tzv. Voganovih dijagrama.

Literatura:

A.W. Knapp, Lie groups: beyond an introduction, Birkhäuser, Boston, 1996.W. Fulton, J.Harris, Representation theory. A rst course., Springer, 1991.

60


Kona£ne grupe reeksija

Podru£je: algebra


Preduvjeti: nema

Opis: U ovoj se temi obrauju osnove teorije kona£nih grupa reeksija. Osnovni su pri-mjeri Weylove grupe sistema korijena.

Literatura:

L.C. Grove, T.C. Benson, Finite reection groups, Springer, 1985.J. Humphreys, Introduction to Lie algebras and Representation Theory, Springer, 1997.W. Soergel, Spiegelungsgruppen und Wurzelsysteme, http://home.mathematik.uni-

freiburg.de/soergel/Skripten/XXSPIEG.pdf

61

Mentor: Tin Perkov Suvoditelj: Mladen Vukovi¢

Metoda tableauxa za modalnu logiku

Podru£je: Matemati£ka logika

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Ra£unarstvo i matematika

Preduvjeti: Poºeljno predznanje je obuhva¢eno kolegijem Matemati£ka logika, te manjimdijelom kolegijem Izra£unljivost (poloºen kolegij Izra£unljivost nije formalni uvjet).

Opis: Modalna logika motivirana je potrebom da se formaliziraju nuºnost i mogu¢nost,znanje i vjerovanje, dokazivost i mnoga druga svojstva koja se mogu smatrati operatorimana logi£kim sudovima. Unato£ jednostavnoj sintaksi koja osigurava odlu£ivost, modalnalogika svojom izraºajno²¢u predstavlja vrlo jako sredstvo za opis relacijskih struktura.

Tradicionalno izlaganje logi£kih formalizama obuhva¢a denicije sintakse i semantike, tenjihovo povezivanje putem teorema adekvatnosti i potpunosti odgovaraju¢eg hilbertovskogaksiomatskog sistema. Radi ekonomi£nosti dokaza klju£nih teorema, aksiomatski sistemisu minimalni, odnosno koriste vrlo malo pravila zaklju£ivanja. Zbog toga su formalnidokazi takvih sistema intuitivno vrlo te²ko razumljivi.

Metoda tableauxa ili semanti£kih stabala jedna je metoda testiranja ispunjivosti logi£-kih formula (tzv. glavni test). Ako je adekvatan i potpun, test metodom semanti£kogstabla predstavlja alternativni sistem dokazivanja, jer se glavni test za valjanu formulumoºe smatrati njenim dokazom. Semanti£ka stabla intuitivno su jasnija od dokaza uhilbertovskim aksiomatskim sistemima.

Glavni cilj rada je opisati metodu tableauxa za osnovni modalni jezik i dokazati odgova-raju¢e teoreme adekvatnosti i potpunosti. Dodatni ciljevi, vode¢i ra£una o primjerenomopsegu diplomskog rada, bit ¢e pitanje odlu£ivosti, te metoda tableauxa za op¢enitijemodalne jezike.

Literatura:

P. Blackburn, M. de Rijke, Y. Venema: Modal Logic, Cambridge University Press, 2001.M. Fitting: Modal proof theory, u P. Blackburn i dr. (ur.), Handbook of Modal Logic,Elsevier, 2006, str. 85138.R. Goré: Tableau methods for modal and temporal logics, u M. D'Agostino i dr. (ur.),Handbook of Tableau Methods 13 (1972) 297396.R. M. Smullyan: First-order logic, SpringerVerlag, 1968.M. Vukovi¢: Matemati£ka logika, Element, 2009.

62

Mentor: Tin Perkov Suvoditelj: Mladen Vukovi¢

Prirodna dedukcija za modalnu logiku

Podru£je: Matemati£ka logika

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Ra£unarstvo i matematika

Preduvjeti: Poºeljno predznanje je obuhva¢eno kolegijem Matemati£ka logika.

Opis: Modalna logika motivirana je potrebom da se formaliziraju nuºnost i mogu¢nost,znanje i vjerovanje, dokazivost i mnoga druga svojstva koja se mogu smatrati operatorimana logi£kim sudovima. Unato£ jednostavnoj sintaksi koja osigurava odlu£ivost, modalnalogika svojom izraºajno²¢u predstavlja vrlo jako sredstvo za opis relacijskih struktura.

Tradicionalno izlaganje logi£kih formalizama obuhva¢a denicije sintakse i semantike, tenjihovo povezivanje putem teorema adekvatnosti i potpunosti odgovaraju¢eg hilbertovskogaksiomatskog sistema. Radi ekonomi£nosti dokaza klju£nih teorema, aksiomatski sistemisu minimalni, odnosno koriste vrlo malo pravila zaklju£ivanja. Zbog toga su formalnidokazi takvih sistema intuitivno vrlo te²ko razumljivi.

Prirodna dedukcija je alternativni sistem dokazivanja, u kojem se dopu²ta ve¢i broj pravilazaklju£ivanja. Pravila odgovaraju uobi£ajenim metodama dokaza u neformalnom (iakostrogom) izlaganju matemati£kih teorija. Zbog toga su dokazi prirodnom dedukcijomintuitivno jasniji od dokaza u hilbertovskim aksiomatskim sistemima.

Glavni cilj rada je opisati prirodnu dedukciju za osnovni modalni jezik i dokazati odgova-raju¢e teoreme adekvatnosti i potpunosti. Dodatni ciljevi, vode¢i ra£una o primjerenomopsegu diplomskog rada, bit ¢e pitanje normalizacije, te prirodna dedukcija za op¢enitijemodalne jezike.

Literatura:

P. Blackburn, M. de Rijke, Y. Venema: Modal Logic, Cambridge University Press, 2001.M. Fitting: Modal proof theory, u P. Blackburn i dr. (ur.), Handbook of Modal Logic,Elsevier, 2006, str. 85138.J. Hawthorn: Natural deduction in normal modal logic, Notre Dame Journal of FormalLogic 31 (1990) 263273.D. Prawitz: Natural Deduction: A Proof-Theoretical Study, Almqvist & Wicksell, 1965.M. Vukovi¢: Matemati£ka logika, Element, 2009.

63

Mentor: Ozren Per²e

Poluproste Liejeve algebre

Podru£je: Algebra

Prikladno za studij: Teorijska matematika

Preduvjeti: Dobro poznavanje gradiva kolegija "Vektorski prostori" i "Algebra"

Opis: U ovom radu planiraju se obraditi neke osnovne teme iz strukturne teorije polupros-tih Liejevih algebri i njihovih reprezentacija, kao ²to su Cartanova podalgebra, korijenskadekompozicija, moduli najve¢e teºine i sl.

Literatura:

J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, GraduateTexts in Mathematics, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1972.

64


Poincaré-Birkho-Wittov teorem

Podru£je: Algebra



Opis: Univerzalna omota£ka algebra je vaºan alat u prou£avanju reprezentacija Liejevealgebre. U ovom radu planira se obraditi fundamentalni PBW teorem o bazi te omota£kealgebre.

Literatura:

J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, GraduateTexts in Mathematics, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1972.

65


Jordanove algebre

Podru£je: Algebra



Opis: U ovom radu se planira prou£avati strukturna teorija Jordanovih algebri.

Literatura:

K. McCrimmon, A Taste of Jordan algebras, Springer, 2004.

66


Liejeve grupe i Liejeve algebre

Podru£je: Algebra



Opis: U ovom radu se planiraju prou£avati pojmovi Liejeve grupe i Liejeve algebre, tenjihove meusobne veze.

Literatura:

J. S. Milne, Lie Algebras, Algebraic Groups, and Lie Groups, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/LAG.pdf

N. Bourbaki, Elements of Mathematics, Lie Groups and Lie Algebras, Chapters 7-9,Springer 2005.

67

Mentor: Sonja Radas

Stroga pravila ishoda

Podru£je: Vjerojatnost i statistika


Preduvjeti: Vjerojatnost i statistika

Opis: Stroga pravila ishoda (proper scoring rules) koriste se u statistici, teoriji infor-macija i teoriji igara. Stroga pravila ishoda imaju za cilj motivirati sudionike da govoreistinu, jer takvim odabirom dobivaju maksimalnu nagradu. Diplomski rad se bavi pregle-dom takvih pravila i njihovim svojstvima.

Literatura:

T. Gneiting, A.E. Raftery, M. Guillot, Strictly proper Scoring Rules, Prediction and Es-timation , Journal of the American Statistical Association March 2007, Vol. 102, No.477

68

Mentor: Sonja Radas

Bayesovski serum istine

Podru£je: Vjerojatnost i statistika


Preduvjeti: Vjerojatnost i statistika

Opis: Bayesovski serum istine (Bayesian Truth Serum) je metodologija kojom se motiviraispitanike da daju istinite odgovore na postavljena pitanja. Korisnik metode ne treba imatinikakve nezavisne mogu¢nosti provjeravanja iskrenosti ispitanika i ispravnosti odgovora.Diplomski rad se bavi predstavljanjem metode.

Literatura:

D. Prelec, A Bayesian truth serum for subjective data. Science, 2004, 306, 462-466.D. Prelec, H.S. Seung, J. McCoy, A solution to the single-question crowd wisdomproblem. Nature, 2017, 541, 532-535.

69

Mentor: Maja Resman

Cookie cutter skupovi i pridruºeni dinami£ki sustavi

Podru£je: Analiza, mjera i integral

Prikladno za studij: Matemati£ka statistika, Primijenjena matematika, Ra£unarstvo imatematika, Teorijska matematika

Preduvjeti:

Opis: Cookie-cutter skupovi su fraktalni (sebi-sli£ni) skupovi na intervalu [0, 1] koji sugeneralizacije Cantorovog skupa. Dobiveni su kao invarijantni skupovi za iteracije nekogpo dijelovima linearnog preslikavanja f na intervalu. Funkcijom f deniran je tako pri-rodno dinami£ki sustav na skupu C, pri £emu je jedna orbita sustava dana iteracijamaneke po£etne to£ke iz skupa.

Temeljena je na analizi preglednog znanstvenog rada T. Bedford: Applications of dynami-cal systems to theory of fractals - a study of cookie-cutter Cantor sets, u kojem se prou£avapostoji li veza fraktalne dimenzije (mjere 'gusto¢e akumulacije' fraktalnog cookie-cutterskupa) i entropije preslikavanja f .

Literatura:

Bedford, T., Applications of dynamical systems to theory of fractals - a study of cookie-cutter Cantor sets. In: Bélair J., Dubuc S. (eds) Fractal Geometry and Analysis. NATOASI Series (Series C: Mathematical and Physical Sciences), vol 346. Springer, Dordrecht(1991)Samuel, T., Cookie Cutter Sets and the Thermodynamic Formalism, lecture notes (2016Summer School on Fractal Geometry and Complex Dimensions, San Luis Obispo, USA).

70

Mentor: Maja Resman

Dinamika FitzHugh-Nagumo modela

Podru£je: Diferencijalne jednadºbe, dinami£ki sustavi


Preduvjeti:

Opis: Radi se o modelu ²irenja impulsa kroz neuron. Model je dan parcijalnom dife-rencijalnom jednadºbom. Diskretizacijom se prelazi na diskretni model te na taj na£indobivamo diskretni dinami£ki sustav u dvije dimenzije, ovisan o nekim parametrima. Uovisnosti o parametru, procjenjuje se pona²anje trajektorija sustava u vremenu te analizirakako se ono mijenja promjenom parametra. Cilj je pokriti ²to ve¢i spektar parametara.Kroz model se uvode osnovni pojmovi i fenomeni u teoriji dinami£kih sustava, teorijabifurkacija, pojava kaosa.

Literatura:

Pesin, Y., Climenhaga, V., Lectures on fractal geometry and dynamical systems, AMSStudent Mathematical Library, vol. 52 (2009)Perko, L., Dierential Equations and Dynamical Systems (Texts in Applied Mathematics)3rd Edition, Springer (2006)Devaney, R., An introduction to chaotic dynamical systems, 2nd edition, Westview press(2008).

71

Mentor: Maja Resman

Fundamentalna teorija rje²ivosti nelinearnih sustava obi£nihdiferencijalnih jednadºbi

Podru£je: Analiza (normirani prostori), obi£ne diferencijalne jednadºbe

Prikladno za studij: nastavni£ki smjerovi

Preduvjeti:

Opis: Promatraju se nelinearni sustavi obi£nih diferencijalnih jednadºbi te se u detaljedokazuje fundamentalni teorem lokalne egzistencije i jedinstvenosti rje²enja. Egzistencijase pokazuje na dva na£ina, sukcesivnim Picardovim iteracijama i pomo¢u Banachovogteorema o ksnoj to£ki. Dokazuje se i neprekidnost i diferencijabilnost rje²enja u ovisnostio po£etnom uvjetu i o parametru, te prou£ava maksimalni interval egzistencije rje²enja.Na osnovu dobivenih rezultata denira se tok sustava kao preslikavanje koje po£etnomuvjetu pridruºuje stanje sustava u trenutku t.

Literatura:

Perko, L., Dierential Equations and Dynamical Systems (Texts in Applied Mathematics)3rd Edition, Springer (2006),Hirsch, M.W., Smale, S., Dierential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra,Academic Press (1974).

72

Mentor: Maja Resman

Iteracije kompleksnih funkcija

Podru£je: Kompleksna analiza, dinami£ki sustavi


Preduvjeti:

Opis: Promatramo holomorfne kompleksne funkcije f : C → C te opisujemo pona²anjediskretnog dinami£kog sustava generiranog iteracijama funkcije f . Orbitama sustava sma-tramo iteracije svake po£etne to£ke z ∈ C, skupove z, f(z), f 2(z), f 3(z), . . .. Zanimljivapitanja su npr. ostaju li orbite iteracijama ograni£ene, pribliºavaju li se nekom skupu ilibjeºe u beskona£nost.

Razvija se lokalna i/ili globalna teorija. Lokalna teorija bavi se opisom dinamike u ne-posrednoj okolini ksnih to£aka. U globalnoj teoriji prou£avaju se topolo²ka svojstvaskupova u kompleksnoj ravnini koji se sastoje od to£aka £ije trajektorije ostaju omeeneza neka jednostavna kompleksna preslikavanja kao ²to su polinomi (tzv. Julia skupovi).

Literatura:

Carleson, L., Gamelin, T.W., Complex dynamics (Universitext). Springer, New York(1993)Falconer, K., Fractal Geometry, Math. Foundations and Applications, 3rd edition. Wiley,Chichester (1993)Blanchard P., Chiu A., Complex dynamics: an informal discussion. In: Bélair J., DubucS. (eds) Fractal Geometry and Analysis. NATO ASI Series (Series C: Mathematical andPhysical Sciences), vol 346. Springer, Dordrecht (1991)Milnor, J., Dynamics in one complex variable, 3rd edition, Princeton University Press(2011).

73

Mentor: Sini²a Slijep£evi¢

Postojanje rje²enja Navier-Stokes jednadºbe

Podru£je: Parcijalne diferencijalne jednadºbe

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, teorijska matematika

Opis: Diplomski rad ¢e obraditi postojanje slabih i jakih rje²enja za 2D Navier-Stokesovujednadºbu na torusu te u cijeloj ravnini.

Literatura:

P. Pola£ik, Parabolic equations: asymptotic behavior and dynamics on invariant mani-folds, 835-884, u Handbook of Dynamical Systems 2, B. Fiedler (Ed.), North-Holland,2002.

74

Mentor: Sini²a Slijep£evi¢

Morse-Smale svojstvo paraboli£kih semilinearnih parcijalnihdiferencijalnih jednadºbi

Podru£je: Parcijalne diferencijalne jednadºbe

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, teorijska matematika

Opis: Diplomski rad ¢e obraditi Morse-Smale svojstvo dinami£kih sustava. Zatim ¢e sefokusirati na Morse-Smale svojstvo jednodimenzionalih paraboli£kih semilinearnih parci-jalnih diferencijalnih jednadºbi.

Literatura:

C. Bardos and B. Nicolaenko, Navier-Stokes equations and dynamical systems, 503-598,u Handbook of Dynamical Systems 2, B. Fiedler (Ed.), North-Holland, 2002.

75

Mentor: Boris irola

Realna kvadratna pro²irenja

Podru£je: Teorija brojeva


Preduvjeti: Poznavanje materije iz preddiplomskih kolegija Algebarske strukture iTeorija brojeva.

Opis: Predloºeni rad bavio bi se kvadratnim pro²irenjima polja racionalnih brojeva,i to prvenstveno tzv. realnim kvadratnim pro²irenjima. U prstenu cijelih kvadratnogpro²irenja dobro je deniran pojam tzv. poretka. Cilj rada bio bi dobiti neke strukturnerezultate za prsten cijelih, te za op¢eniti poredak u njemu (jedinice, ideali, prosti ideali,faktorizacija,...) Zavisno o volji kandidata, rad bi pretstavljao manje ili vi²e temeljit uvodu algebarsku teoriju brojeva; tako ²to bi se bolje razumijele neke osnovne ideje te bogatei vaºne matemati£ke discipline.

Literatura:

M. J. Jacobson, Jr. and H. C. Williams; Solving the Pell equation, CMS Books in Math.,Canadian Math. Soc., Springer, New York, 2009.

76

Mentor: Boris irola

Harmonijske funkcije

Podru£je: Analiza

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika.

Preduvjeti: Poznavanje materije iz preddiplomskog kolegija Kompleksna analiza.

Opis: Realni dio u(x, y) i imaginarni dio v(x, y), holomorfne funkcije f(z) = u+ ıv jednekompleksne varijable z = x+ ıy, zadovoljavaju tzv. Laplaceovu diferencijalnu jednadºbu;tj. vrijedi ∆u = ∆v = 0, gdje je operator ∆ = ∂2/∂x2 + ∂2/∂y2. Takve funkcije, klaseC2, zovu se harmonijske funkcije. Harmonijske funkcije su najklasi£nija i najosnovnijarje²enja u klasi tzv. elipti£kih parcijalnih diferencijalnih jednadºbi. Tema ovog rada jeprou£iti harmonijske funkcije metodama kompleksne analize.

Literatura:

R. E. Greene and S. G. Krantz, Function theory of one complex variable, Graduate Studiesin Math., Vol. 40, Amer. Math. Soc., Providence 2006.

77

Mentor: Boris irola

Neprekidne funkcije na kompaktima: Stone-Weierstrassov iAscolijev teorem

Podru£je: Analiza


Preduvjeti: Poznavanje materije iz kolegija Metri£ki prostori i Vektorski prostori.

Opis: Neka je K konmpaktan podskup od Rn. Tada je svaku realnu neprekidnu funkcijuna K mogu¢e uniformno aproksimirati polinomima od n varijabli; to je klasi£na formaslavnog Stone-Weierstrassovog teorema. U ovom se radu dokazuje generalizirana formaspomenutog teorema, i to kako za realne tako i za kompleksne neprekidne funkcije nakompaktima. U nastavku rada daje se jedan vrlo koristan kriterij kompaktnosti za pod-skupove tzv. funkcijskih prostora za neprekidne funkcije na kompaktnim skupovima. Toje predmet jednog drugog vaºnog rezultata; tzv. Ascolijevog teorema.

Literatura:

S. Lang, Real and functional analysis. Third Ed., Graduate Texts in Math., Vol. 142,Springer, New York, 1993.

78

Mentor: Zoran koda

Kvazideterminante i kvaziminori

Podru£je: algebra

Prikladno za studij: Primjenjena matematika, Teorijska matematika

Preduvjeti:

Opis: Determinanta matrice je polinom u £lanovima matrice koji je koristan koncept uko-liko su £lanovi matrice brojevi ili, op¢enitije, elementi komutativnog prstena s jedinicom.Vaºne su veze s vanjskom algebrom, s problemom rje²avanja linearnih jednadºbi (Crame-rovo pravilo) i problemom inverza matrice. Ukoliko promatramo linearne jednadºbe nadnekomutativnim prstenom (npr. tijelom) Gaussova metoda eliminacije i dalje funkcionira²to ukazuje na mogu¢nost razvoja teorije i u tom slu£aju. Meutim, poku²aj rje²avanjaCramerovim pravilom ne radi ukoliko se denicija determinante naivno pro²iri na taj slu-£aj. Oko 1989. Izrael Geljfand i Vladimir Retah nalaze da je u nekomutativnom slu£ajubolje promatrati neke racionalne izraze £iji umno²ci u komutativnom slu£aju imaju vezes determinantama, a op¢enito odgovaraju inverzima £lanova transponirane inverzne ma-trice. Standardna denicija kvazideterminanti je preko rekurzivnih formula poznatih izpromatranja Schurovog komplementa u numeri£koj analizi, a standardna domena u kojojse kvazideterminante promatraju je slobodno tijelo prema Amitsuru i Cohnu. Kvazide-terminante imaju jako dobra svojstva, ponekad i jednostavnija nego determinante. Npr.nasljedivost je svojstvo da kvazideterminante moºemo ra£unati i tako da matricu podi-jelimo na blok podmatrice i ra£unamo najprije njihove kvazideterminante ²to reduciraveli£inu matrice, a poslije toga kvazideterminante dobivenih izraza. Inºenjeri znaju tajtrik u vidu formula za inverz 2× 2 blok matrice.

Diplomski ¢e izloºiti osnovne koncepte o kvazideterminantama s dokazima. Ova tema jedosta direktna (ve¢inom elegantni ra£uni i indukcija) pa samim time nije te²ka. Ambici-ozniji student moºe diplomski znatno pro²iriti primjerima i primjenama kojih u literaturiima jako mnogo. Ukoliko student ima aniteta prema kombinatorici mogu¢a je i diskusijaveza s teorijom (nekomutativnih) simetri£nih funkcija.

Literatura:

V. Retakh, R. L. Wilson, Advanced course on quasideterminants and universal localiza-tion, Notes of the course, 124 str., CRM, Barcelona, 2007 http://citeseerx.ist.psu.

edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.123.3499&rep=rep1&type=pdf

79

Mentor: Sonja timac

Dinamika unimodalnih funkcija

Podru£je: Dinami£ki sustavi


Preduvjeti:

Opis: Dinami£ki sustavi su zanimljivo i vaºno podru£je matematika. Ova tema je namje-njena studentima koji se ºele upoznati s osnovama tog podru£ja. Unimodalne funkcije sufunkcije f : I → R, gdje je I ⊂ R segment, koje imaju jednu to£ku ekstrema. Mada sena prvi pogled £ine jednostavne, njihova dinamika je veoma zanimljiva i bogata. Posebnapaºnja bila bi posve¢ena dinamici ²atorske i kvadratne familije funkcija.

Literatura:

R. L. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, The Benjamin/CummingsPublishing Co., 1986.

80

Mentor: Sonja timac

Kaos u jednodimenzionalnoj dinamici



Preduvjeti:

Opis: Dinami£ki sustavi su zanimljivo i vaºno podru£je matematika. Ova tema je na-mjenjena studentima koji se ºele upoznati s osnovama tog podru£ja. Posebna paºnja bilabi posve¢ena teoriji kaosa u jednodimenzionalnoj dinamici.

Literatura:


81

Mentor: Sonja timac

Dinamika Hénonovih preslikavanja



Preduvjeti:

Opis: Cilj ove teme bio bi upoznavanje dinamike Hénonovih preslikavanja. Hénonovapreslikavanja Ha,b : R2 → R2 su dvoparametarska familija preslikavanja ravnine dana saHa,b(x, y) = (a− by − x2, x), a, b ∈ R. Njena dinamika posjeduje mnoga svojstva koja sepojavljuju u vi²edimenzionalnoj dinamici kao ²to su hiperboli£ki skupovi, homoklini£keto£ke, bifurkacije, potkove, £udni atraktori i jo² puno vi²e. Hénonova familija preslikavanjaje takoer vaºna tema istraºivanja, jer postoje mnogi parametric za koje se dinamikaslabo razumije. Zato je ova diplomska tema ujedno i dobar po£etak budu¢eg istraºivanjau dinami£kim sustavima.

Literatura:


82

Mentor: Marko Tadi¢

Prosti brojevi u aritmeti£kim nizovima

Podru£je: analiti£ka teorija brojeva

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Matematika; smjer: nastavni£ki

Preduvjeti: Algebra 1 i Algebra 2

Opis: Dokazati da u nizu prirodnih brojeva ima beskona£no prostih brojeva je vrlojednostavno (dokaz je napisao jo² Euklid, oko 300 godine prije na²e ere). Za podniz an+b, n ∈ N, niza prirodnih brojeva, gdje su a, b ∈ N relativno prosti, dugo se pretpostavljaloda sadrºi beskona£no prostih brojeva. No to je dokazano tek koncem devetnaestogastolje¢a.Cilj radnje je izloºiti netrivijalni dokaz ove £injenice, te formulirati generalizaciju ovogarezultata u poljima algebarskih brojeva.

Literatura:

J.-P. Serre: A Course in Arithmetic, Springer Verlag, New York, 1996.L. J. Goldstein, Analytic Number Theory, Prentice-Hall, Englewood Clis, 1971

83


Prokona£ne grupe

Podru£je: algebra, algebarska teorija brojeva

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Matematika; smjer: nastavni£ki

Preduvjeti: Algebra 1 i Algebra 2

Opis: Prokona£ne grupe su kompaktne totalno nepovezane grupe. One su od posebnevaºnosti u teoriji brojeva i algebri (Galoisove grupe, ne-arhimedska lokalna polja, Tateovimoduli itd.).Cilj radnje je izloºiti najosnovnije rezultate o topolo²kim grupama, a zatim se usmjeritina prokona£ne grupe i njihove druge opise. Na kraju bi se naveli neki primjer prokona£nihgrupa koje se pojavljuju u algebri i teoriji brojeva.

Literatura:

D. Ramakrishnan, R. J. Valenza, Fourier Analysis on Number Fields, Graduate Texts inMathematics 186, Springer, New York, 1999.S. Lang, Algebraic number theory, Graduate Texts in Mathematics 110, Springer-Verlag,New York, 1994

84


Modularne forme

Podru£je: analiti£ka teorija brojeva, kompleksna analiza


Preduvjeti: Teorija brojeva

Opis: Modularne forme su od iznimne vaºnosti u teoriji brojeva (dovoljno je da pod-sjetimo na Shimura-Tanyaminu slutnju i njenu ulogu u rje²enju velikog Fermatovog pro-blema). Danas se intenzivno radi na njihovoj generalizaciji.

Cilj radnje je izloºiti osnovne rezultate klasi£ne teorije modularnih formi za punu modu-larnu grupu SL(2,Z).

Literatura:

J.-P. Serre: A Course in Arithmetic, Springer Verlag, New York, 1996.A. Robert, Elliptic curves, Lecture Notes in Math. 326, Springer-Verlag, New York 1973

85


Reprezentacije kona£nih grupa

Podru£je: algebra


Preduvjeti: Algebra 1, Algebra 2, Odabrana poglavlja teorije reprezentacija

Opis: U radnji bi se napravile osnove teorije reprezentacija kona£nih grupa, posebnoteorija induciranih reprezentacija i rezultata vezanih uz njih. Posebna bi se pozornostobratila teoriji reprezentacija nekih specijalnih kona£nih grupa.

Literatura:

J.-P. Serre, Linear Representations of Finite Groups (Graduate Texts in Mathematics)(v. 42) Springer Verlag, Berlin, 1977

86

Mentor: Emil Tafra

Kaoti£ne oscilacije u nelinearnom elektri£nom titrajnom krugu

Podru£je: zika, matematika, ra£unarstvo


Opis: Uvoenjem nelinearnog elementa (npr. diode) u elektri£ni titrajni krug, mogu¢ega je dovesti u reºim kaoti£nih oscilacija. U ovom radu predvia se slaganje elektri£nogtitrajnog kruga na plo£i i izbor optimalnih elemenata za postizanje kaoti£nih oscilacija.Takoer se predvia sastavljanje programa za mjerenje i kontrolu eksperimenta (unutarpostoje¢eg programskog paketa s gra£kim su£eljem), vr²enje mjerenja, prikupljanje po-dataka s digitalnog osciloskopa, analiza eksperimentalnih podataka kori²tenjem FFT-a,te teorijsko obja²njenje opaºenih pojava.

Literatura:

K. T. Alligood, T. D. Sauer, J. A. Yorke; Chaos: An introduction to dynamical systems;Springer, 1996

87

Mentor: Josip Tamba£a

C++ implementacija metode kona£nih elemenata za Naghdijevmodel elasti£ne ljuske



Opis: Zadatak je implementirati u C++ metodu kona£nih elemenata (FEM) za problemravnoteºe Naghdijevog modela elasti£ne ljuske. Elemeti koje treba implementirati su po-linomijalni na triangulaciji poligonalne domene na trokute.

Literatura:

1. M. Jurak, Praktikum primijenje matematike II. Metoda kona£nih elemenata, PMF-MO, 2006, skripta.2. A. Valli, A. Quarteroni, Numerical Approximation of Partial Di erential Equations,volume 23 of Springer Series in Computational Mathematics. Springer, Berlin, 1997.3. T. Petrina, Implementacija metode kona£nih elemenata za zada¢u linearizirane elas-ti£nosti u 3D, PMF-MO, 2010, diplomski rad.4. J. Tamba£a, Z. Tutek, A new linear Naghdi type shell model for shells with littleregularity, Applied Mathematical Modelling 40 (2016), 23-24, 10549-10562.

88


Varijacijske nejednakosti


Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Teorijska matematika, Matemati£kastatistika

Opis: Varijacijske nejednakosti od velikog su interesa kod problema mehanike kontinuumas uvjetima. U okviru ove teme zadatak je dati osnovne teorijske rezultate vezane zaegzistenciju, jedinstvenost, te aproksimaciju rje²enja varijacijskih nejednakosti.

Literatura:

D. Kinderlehrer and G. Stampacchia, An Introduction to Variational Inequalities andTheir Applications. Academic Press, New York (1980).R. Glowinski, Numerical Methods for Nonlinear Variational Problems. Springer Verlag,New York (1984).

89


Optimizacija forme zakrivljenog ²tapa

Podru£je: Matemati£ko modeliranje, PDJ, numerika

Prikladno za studij: Primijenjena matematika

Opis: Zadatak je metodama optimizacije formulirati algoritam za nalaºenje optimalneforme ²tapa kako bi ²tap za zadanu silu imao minimalnu energiju.

Literatura:

1. P. Neittaanmaki, J. Sprekels, D. Tiba. Optimization of elliptic systems. Theory andapplications, Springer, 2006.2. Betts J.T. Practical methods for optimal control using nonlinear programming, SIAM,2001.3. Kirk D.E. Optimal control theory. An introduction, Dover, 2004.4. M. Jurak, Praktikum primijenje matematike II. Metoda kona£nih elemenata, PMF-MO, 2006, skripta.

90


Usporedba rje²enja modela elasti£ne ljuske i rje²enja 3djednadºbi linearizirane elasti£nosti

Podru£je: Matemati£ko modeliranje, PDJ, numerika

Prikladno za studij: Primijenjena matematika

Opis: Zadatak je usporediti numeri£ke aproksimacije rje²enja modela elasti£ne ljuskeNaghdijevog tipa i zada¢e trodimenzionalne elasti£nosti za odgovaraju¢u tanku domenu.Posebno napraviti analizu kada domena postaje sve tanja.

Literatura:

1. J. Tambaca, Z. Tutek, A new linear Naghdi type shell model for shells with littleregularity, Applied Mathematical Modelling 40 (2016), 23-24, 10549-10562.2. P.G. Ciarlet, Mathematical elasticity. Vol. I. Three-dimensional elasticity. Studies inMathematics and its Applications, 20. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1988.3. M. Jurak, Praktikum primijenje matematike II. Metoda kona£nih elemenata, PMF-MO, 2006, skripta.

91

Mentor: Zvonimir Tutek

Evolucijske varijacijske nejednakosti



Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe

Opis: Rad bi se sastojao od dva dijela. U prvom dijelu bi se razvila apstraktna teorijaevolucijskih varijacijskih nejednadºbi, uklju£uju¢i osnovne teoreme o egzistenciji rje²enja.U drugom dijelu bi se razvijena teorija primijenila na netrivijalan problem oscilacija tijelauz prisutnost prepreke.

Literatura:

1. M. Schatzman, A Hyperbolic Problem of Second Order with Unilateral Constraints:The Vibrating String with a Concave Obstacle, Journal of mathematical analysis andapplications 73, 138-191 (1980).2. M. Schatzman, M. Bercovier, Numerical Approximation of a Wave Equation withUnilateral Constraints, Mathematics of computation, Vol. 53, No. 187, 1989, 5579.

92

Mentor: Zvonimir Tutek

Gibanje krutog tijela

Podru£je: Primijenjena matematika, Mehanika


Preduvjeti: Obi£ne diferencijalne jednadºbe

Opis: U radu bi se izvele jednadºbe gibanja krutog tijela. Dobiveni Cauchyjev problemza sustav obi£nih diferencijalnih jednadºbi bi se numeri£ki rije²io. Time bi se omogu¢ilaanimacija gibanja krutog tijela.

Literatura:

1. V.I. Arnold, Mathematical methods of classical mechanics, Second edition, Springer,1989.2. H. Goldstein, C. Poole, J. Safko, Classical Mechanics, Third edition, AddisonWesley,2000.

93

Documents

Kona£ne grupe - PMF...Preduvjeti : Parcijalne diferencijalne jednadºbe, Normirani prostori i Operatori na nor-miranim prostorima, Mjera i integral Opis: Razlomljene derivacije se