DERIVACIJE

� problem brzine (Newton)

� problem tangente (Leibniz)

� infitezimalni računinfitezimalni račun

BRZINA

� Čelična kuglica, bačena s tornja, pasti će na udaljenosti od y

metara u x sekundi, što je približno opisano formulom:

Slika prikazuje poziciju kuglice na koordinatnom pravcu na kraju 0, 1, 2 i 3 sekundi.

( ) 216xxfy ==

a) Odredite prosječnu brzinu za vrijeme između 2 i 3 sekunde. (80)

b) Odredite i pojednostavite izraz za prosječnu brzinu za vrijeme između 2 sekunde i 2+h sekunde, (h≠0).

c) Odredite limes izraza iz b) kada h → 0, ako on postoji.

d) Razmotrite moguće interpretacije limesa iz c).

� Trenutačni iznos promjene:

Trenutačni iznos promjene funkcije u točki x = a je

ako taj limes postoji.

( ) ( )

h

afhaf

h

−+

→0lim

( )xfy =

NAGIB GRAFA

� Nagib sekante( ) ( )

h

afhafs

−+=

� Nagib grafa

Za dani graf, nagib grafa u točki (a, f(a)) dan je izrazom

pod pretpostavkom da taj izraz postoji. Nagib grafa ujedno je i nagib

tangente na graf u točki (a, f(a)) .

( ) ( )

h

afhaf

h

−+

→0lim

DERIVACIJA

� Definicija

Za , derivaciju od f u točki x, označenu s f’(x), definiramo kao limes

ako taj limes postoji. Ako f’(x) postoji za svaki x o otvorenom

( )( ) ( )

h

xfhxfxf

h

−+=

→ 0lim'

( )xfy =

ako taj limes postoji. Ako f’(x) postoji za svaki x o otvorenom intervalu , kaže se da je funkcija f diferencijabilna na tom intervalu

� Oznake:

� Primjer: Odredite derivaciju:

( )( )

dx

dy

dx

xdfxDfxf ,),(,'

ba ,

) ( )

) ( )x

xfb

xxfa

1

2

=

=

� Neka su f i g derivabilne na istom intervalu. Tada vrijede slijedeća svojstva:

1. Derivacija zbroja i razlike:

PRAVILA DERIVIRANJA

( ) '''

gfgf ±=±

2. Derivacija umnoška:

3. Derivacija kvocijenta:

( ) ''' gfgffg +=

2

'

''

g

gfgf

g

f −=

� Primjeri:

( )2352)( xxxf +=

( ) 713523

−−−= xxy

xxy sin32

= xxy sin32

=

xe

xxy

sincos +=

� Odredite derivacije funkcija:

1.

2.

3.

4.

πcos2)( += xxf

( ) 55555)(234

−+−+= xxxxxf

( )332 xy +=

1212=y

2:.Rj

( )2239:. +xRj

5.

6.

7.

8.

( ) xxxy 4132323

−−−=

1)( 3 ++= xxxf

12345623

1

3

4 34 3+−+= xxxy

xxxy

85132

−+=

8369:.2

+− xxRj

xxxRj

11:.

4

2−+

432

1528:.

xxxRj −−

6 7

3 2

6

32:.

x

xxRj

+

� Odredite derivacije funkcija:

1.

2.

3.

4.

xxy cos2=

xxy cossin=

322x −

xxy sin32

=

xy 2sin=

xxxyRj sin2cos2:. −=

xxyRj sincos2:. =

xxyRj 22sincos:. −=

( )xxxxyRj cossin23:. +=

244302 ++ xxx

5.

6.

7.

8.

2

3

5

22

x

xy

+

−=

1

24 33

+

++=

x

xxxy

32

1ln

x

xy

+=

1

sin

−

+=

xe

xxy

( )22

24

5

4302:.

+

++=

x

xxxyRj

( )( )363

1263624:.

23 2

233 2

++

+−++=

xxx

xxxxyRj

3 11

3

8

34:.

x

xyRj

−=

DERIVACIJE VIŠEG REDA

� Druga derivacija funkcije f derivacija je prve derivacije. označavamo je s f’’. Derivaciju trećeg reda označavamo f’’’.

Općenito derivaciju n-tog reda označavamo s f(n).

( )( ) ( )( )( ) '1

xfxfnn −

=

� Primjer: Odredite 5. derivaciju funkcije

( ) 1234

+−+= xxxxf

� Odredite prve tri derivacije funkcija:

1.

2.

3.

4.

xxf sin)( =

( ) xxxf sin=

( ) 15

2

3

1

4

1 34−+−= xxxxf 26:. −xRj

4 113 8564

63

27

203:.

xxxRj +−

xRj cos:. −

( ) 1823 34 −+−= xxxxf

xxxRj sin3cos:. −−4.

5.

6.

7.

xxxxf sin)(3

+=

( ) xxxf sin=

6cossin3:. +−− xxxRj

xxxRj sin3cos:. −−

( )2ln)( += xxf( )3

2

2:.

+xRj

( ) ( )2232

3

5

6

5

8:.

+−

+ x

x

x

xRj( )5ln)(

2+= xxf