of 13 /13
DERIVACIJE

derivacije - vup.hra) Odredite prosječnu brzinu za vrijeme između 2 i 3 sekunde. (80) b) Odredite i pojednostavite izraz za prosječnu brzinu za vrijeme između 2 sekunde i 2+h sekunde,

  • Author
    others

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of derivacije - vup.hra) Odredite prosječnu brzinu za vrijeme između 2 i 3 sekunde. (80) b) Odredite...

  • DERIVACIJE

  • � problem brzine (Newton)

    � problem tangente (Leibniz)

    � infitezimalni računinfitezimalni račun

  • BRZINA

    � Čelična kuglica, bačena s tornja, pasti će na udaljenosti od y metara u x sekundi, što je približno opisano formulom:

    Slika prikazuje poziciju kuglice na koordinatnom pravcu na kraju 0, 1, 2 i 3 sekundi.

    ( ) 216xxfy ==

  • a) Odredite prosječnu brzinu za vrijeme između 2 i 3 sekunde. (80)

    b) Odredite i pojednostavite izraz za prosječnu brzinu za vrijeme između 2 sekunde i 2+h sekunde, (h≠0).

    c) Odredite limes izraza iz b) kada h → 0, ako on postoji.

    d) Razmotrite moguće interpretacije limesa iz c).

    � Trenutačni iznos promjene:

    Trenutačni iznos promjene funkcije u točki x = a je

    ako taj limes postoji.

    ( ) ( )

    h

    afhaf

    h

    −+

    →0lim

    ( )xfy =

  • NAGIB GRAFA

    � Nagib sekante( ) ( )

    h

    afhafs

    −+=

    � Nagib grafa

    Za dani graf, nagib grafa u točki (a, f(a)) dan je izrazom

    pod pretpostavkom da taj izraz postoji. Nagib grafa ujedno je i nagib

    tangente na graf u točki (a, f(a)) .

    ( ) ( )

    h

    afhaf

    h

    −+

    →0lim

  • DERIVACIJA

    � Definicija

    Za , derivaciju od f u točki x, označenu s f’(x), definiramo kao limes

    ako taj limes postoji. Ako f’(x) postoji za svaki x o otvorenom

    ( )( ) ( )

    h

    xfhxfxf

    h

    −+=

    → 0lim'

    ( )xfy =

    ako taj limes postoji. Ako f’(x) postoji za svaki x o otvorenom intervalu , kaže se da je funkcija f diferencijabilna na tom intervalu

    � Oznake:

    � Primjer: Odredite derivaciju:

    ( )( )

    dx

    dy

    dx

    xdfxDfxf ,),(,'

    ba ,

    ) ( )

    ) ( )x

    xfb

    xxfa

    1

    2

    =

    =

  • � Neka su f i g derivabilne na istom intervalu. Tada vrijede slijedeća svojstva:

    1. Derivacija zbroja i razlike:

    PRAVILA DERIVIRANJA

    ( ) ''' gfgf ±=±

    2. Derivacija umnoška:

    3. Derivacija kvocijenta:

    ( ) ''' gfgffg +=

    2

    '

    ''

    g

    gfgf

    g

    f −=

  • � Primjeri:

    ( )23 52)( xxxf +=

    ( ) 7135 23 −−−= xxy

    xxy sin32

    = xxy sin32

    =

    xe

    xxy

    sincos +=

  • � Odredite derivacije funkcija:

    1.

    2.

    3.

    4.

    πcos2)( += xxf

    ( ) 55555)( 234 −+−+= xxxxxf

    ( )332 xy +=

    1212=y

    2:.Rj

    ( )2239:. +xRj

    5.

    6.

    7.

    8.

    ( ) xxxy 41323 23 −−−=

    1)( 3 ++= xxxf

    12345623

    1

    3

    4 34 3+−+= xxxy

    xxxy

    85132

    −+=

    8369:.2

    +− xxRj

    xxxRj

    11:.

    4

    2−+

    432

    1528:.

    xxxRj −−

    6 7

    3 2

    6

    32:.

    x

    xxRj

    +

  • � Odredite derivacije funkcija:

    1.

    2.

    3.

    4.

    xxy cos2=

    xxy cossin=

    322x −

    xxy sin3 2=

    xy 2sin=

    xxxyRj sin2cos2:. −=

    xxyRj sincos2:. =

    xxyRj 22 sincos:. −=

    ( )xxxxyRj cossin23:. +=

    244302 ++ xxx

    5.

    6.

    7.

    8.

    2

    3

    5

    22

    x

    xy

    +

    −=

    1

    24 33

    +

    ++=

    x

    xxxy

    32

    1ln

    x

    xy

    +=

    1

    sin

    +=

    xe

    xxy

    ( )2224

    5

    4302:.

    +

    ++=

    x

    xxxyRj

    ( )( )363

    1263624:.

    23 2

    233 2

    ++

    +−++=

    xxx

    xxxxyRj

    3 11

    3

    8

    34:.

    x

    xyRj

    −=

  • DERIVACIJE VIŠEG REDA

    � Druga derivacija funkcije f derivacija je prve derivacije. označavamo je s f’’. Derivaciju trećeg reda označavamo f’’’.Općenito derivaciju n-tog reda označavamo s f(n).

    ( )( ) ( )( )( ) '1 xfxf nn −=

    � Primjer: Odredite 5. derivaciju funkcije

    ( ) 12 34 +−+= xxxxf

  • � Odredite prve tri derivacije funkcija:

    1.

    2.

    3.

    4.

    xxf sin)( =

    ( ) xxxf sin=

    ( ) 15

    2

    3

    1

    4

    1 34−+−= xxxxf 26:. −xRj

    4 113 8564

    63

    27

    203:.

    xxxRj +−

    xRj cos:. −

    ( ) 1823 34 −+−= xxxxf

    xxxRj sin3cos:. −−4.

    5.

    6.

    7.

    xxxxf sin)(3

    +=

    ( ) xxxf sin=

    6cossin3:. +−− xxxRj

    xxxRj sin3cos:. −−

    ( )2ln)( += xxf( )32

    2:.

    +xRj

    ( ) ( )22323

    5

    6

    5

    8:.

    +−

    + x

    x

    x

    xRj( )5ln)( 2 += xxf