Spektralna analiza

Spektralna analizaSpektralna analiza

12

jj jV e X e W e d

2

2j

kV k V e

N

21 knN

0

, 0,1, , 1N

n

V k v n e k N

Vremenski zavisna Furijeova transformacija

Real time spektralna analiza signala zapravo se bazira naReal-time spektralna analiza signala, zapravo se bazira na algoritmu vremenski zavisne Furijeove transformacije (Time Dependant Fourier Transform ili Short Time Fourier Transform STFT) koja je definisana formulom:Transform STFT) koja je definisana formulom:

m

j j mX n e x m w m nR e

gde je:

l i i l

,m

X n e x m w m nR e

x - ulazni signal,w - prozorska funkcija (konačne dužine), - frekvencija za koju se računa Furijeova transformacija frekvencija za koju se računa Furijeova transformacija,R – pomeraj početka dva sukcesivna prozora.

Vremenski zavisna Furijeova transformacija – parametar R

1 1

0

0.5

0

0.5

-0.5

0

-0.5

0

0.1 0.15 0.2-1

t0.1 0.15 0.2

-1

t

1 1

0.5

1

0.5

1

-0.5

0

-0.5

0

0.1 0.15 0.2-1

t0.1 0.15 0.2

-1

t

Vremenski zavisna Furijeova transformacija – parametar R

m

j j

w m nR

, j j m

n n m

X n e x m w m nR e

n

w m nR

R length w

j m

m n

x m e w m nR

1

trougaoni

1

pravougaoni

1,

nw m nR za svako m

jX e

0.50.5

0 2000 4000 6000

0

0 2000 4000 6000

0

Hamming-ov Hann-ov

0.5

1

0.5

1

0 2000 4000 6000

0

0 2000 4000 6000

0

Vremenski zavisna Furijeova transformacija – parametar R

1

trougaoni

2

pravougaoni

1n

w m nR

0.5

1

0 5

1

1.5

2

12

R length w

1.4

0 2000 4000 6000

0

0 2000 4000 60000

0.5

Hamming-ov Hann-ov

1

1.2

trouagaoniHamming-ovHann-ov

0.5

1

g

0.5

1

0.8

1

0 2000 4000 6000

0

0 2000 4000 6000

0

0.4

0.6

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

0.2

Vremenski zavisna Furijeova transformacija – parametar R

1

trougaoni

2

pravougaoni

n

w m nR

0.5

1

0 5

1

1.5

2

0.8R length w

1 trouagaoni

0 2000 4000 6000

0

0 2000 4000 60000

0.5

Hamming-ov Hann-ov

0.7

0.8

0.9trouagaoniHamming-ovHann-ov

0.5

1

g

0.5

1

0.5

0.6

0 2000 4000 6000

0

0 2000 4000 6000

0

0.2

0.3

0.4

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

0.1

Vremenski zavisna Furijeova transformacija - računanje

m

j j

,

0 0 0 0 1

j j m

mX n e x m w m nR e

x l l w l l L

1

0, 0, 0, 0 1/ 2

L

x l l w l l LR L

1

00, 0,

m Lj j m

mn X e x m w m e

3 12

1, 1,2

Lmj j m

L

Ln X e x m w m e

2

2 1

2

2 2 2

Lm

m Lj j mLn X e x m w m e

2, 2, 22m L

n X e x m w m e

Vremenski zavisna Furijeova transformacija – drugi oblik

, j j m

m

X n e x m w m nR e

k R

, j k nRj

k m nR

X n e x k nR w k e

,

,

k

j j nR j kX n e e x k nR w k e

,k

Kako se praktično računa?Kako se praktično računa?

• Vremenski zavisna Furijeova transformacija (prema definiciji) je kontinualna funkcija (p j ) j jučestanosti i diskretna funkcija “vremena”.

1

, j j nR j k

kL

X n e e x k nR w k e

1

0,

Lj j nR j k

kX n e e x k nR w k e

Kako se praktičnp računa?Kako se praktičnp računa?

• Za svako n, odgovarajući segment signala x se “spusti” u opseg [0 L-1] (ili [-L/2 L/2]), p p g [ ] ( [ ])odnosno, problem se svodi na računanje Furijeove transformacije diskretnog signalaFurijeove transformacije diskretnog signala konačne dužine

1

, ,L

j j nR j kX n e e x k nR w k e

0k

nx k x k nR

1

0,

Lj j nR j k

nk

X n e e x k w k e

Praktična implementacijaPraktična implementacija• Kao i u slučaju računanja Furijeove transformacijeKao i u slučaju računanja Furijeove transformacije

diskretnog signala, u praksi se, zapravo, računa DFT (diskretan niz) segmenta signala pomnoženog sa izabranom prozorskompomnoženog sa izabranom prozorskom funkcijom.

• U ulaznom baferu čuva se poslednjih L odbiraka p jsignala (L – dužina prozora), i posle svakih Rprihvaćenih odbiraka ulaznog signala startuje se FFT procedura L je dužina prozora a R zavisi odFFT procedura. L je dužina prozora a R zavisi od izbaranog preklapanja dva sukcesivna prozora. (recimo R=L/2).

STFT implementacijaSTFT implementacija

b d ži j k i i đIzbor dužine prozora je kompromis između željene rezolucije u frekvencijskom domenu i rezolucije u vremenskom domenu. Što je N veće, rezolucija u frekvencijskom j , j jdomenu je bolja, ali je utoliko manje moguće izdvojiti kratkotrajnu promenu signala, j j p g ,odnosno rezolucija u vremenu je lošija.

STFT inverzna transformacijaSTFT, inverzna transformacija

, j j nR j k

kX n e e x k nR w k e

j j k

ili

X k R k

2

,

1

j j k

kX n e x k nR w k e

0

2

1 , ,2

1

j j kx k nR w k X n e e d k

2

0

1 , , 0 02 0

jx nR X n e d ww

Primena prozorskih funkcijaPrimena prozorskih funkcija

v n x n w n

21

0, 0 1,

knN jkn kn NN N

nV k w n x n W k N W e

Pravougaona prozorska funkcijaPravougaona prozorska funkcija

1, 0 10R

n Nw n

d

0,R za drugo n

1

1 2sin 21 j NNj Nj j n Ne

1 2

0

11 sin 2

j Nj j nR j

n

eW e e ee

Trougaona prozorska funkcijaTrougaona prozorska funkcija

2 1 , 0 1 2,2 2 1 1 2 1

n N n Nw n n N N n N

2 2 1 , 1 2 1

0, za drugo Tw n n N N n N

n

2

2 1sin 42 j Nj NW e e

sin 4TW e eN

Hann ova prozorska funkcijaHann-ova prozorska funkcija2sin 0 1n n N

sin , 0 1,1

0, za druge vrednosti .H

n Nw n N

n

, g

1 21 cos , 0 1,2 1

n n NN

2 1

0, za druge vrednosti .N

n

2 21 11 , 0 1

2 2

n nj jN N

Hw n e e n N

2 2

2 2

0 5 0 25j j

j j N NW e W e W e W e

0.5 0.25j j

H R R RW e W e W e W e

Hamingov ova prozorska funkcijaHamingov-ova prozorska funkcija

21 cos , 0 1, 0.541HM

nw n a a n N aN

2 2

2 2

0.5 1j j

j j N NHM R R RW e aW e a W e W e

Blackman ova prozorska funkcijaBlackman-ova prozorska funkcija

0

21 cos , 0 11

Mm

B mm

mnw n a n NN

0

1M

mm

a

0

0 1 20.42, 0.50, 0.08m

a a a

Flat top prozorska funkcijaFlat-top prozorska funkcija

0

21 cos , 0 11

Mm

F mm

mnw n a n NN

0

1M

mm

a

0

0 1 2 3 41, 1.93, 1.29, 0.388, 0.028m

a a a a a

SpektrogramSpektrogram

• Pogodan način da se prikažu rezultati• Praktično se prikazuje matrica dobijenaPraktično se prikazuje matrica dobijena

primenom vremenski zavisne Furijeove transformacijetransformacije

Linearna i ciklična konvolucija

Linearna konvolucijaLinearna konvolucija1K

1

0

0 1 2

K

ky n h k x n k

h n h h h

0 , 1 , 2

0 , 1 , 2 , 3 , 4

0 0 0

h n h h h

x n x x x x x

y h x

0 0 0

1 0 1 0 0

2 0 2 1 1 2 0

y h x

y h x h x

y h x h x h x

2 0 2 1 1 2 0

3 0 3 1 2 2 1

4 0 4 1 3 2 2

y h x h x h x

y h x h x h x

y h x h x h x

4 0 4 1 3 2 2

5 1 4 2 3

6 2 4

y h x h x h x

y h x h x

y h x

6 2 4y h x

Ciklična konvolucijaCiklična konvolucija

1

0

0 , 1 , 2 ,0,0

K

Kk

y n h k x n k

h n h h h

0 , 1 , 2 ,0,0

0 , 1 , 2 , 3 , 4

0 0 0 1 4 2 3 0 2 0 1

h n h h h

x n x x x x x

y h x h x h x x x

1 0 1 1 0 2 4 0 3 0 2

2 0 2 1 1 2 0 0 4 0 3

3 0 3 1 2 2 1 0 0 0 4

y h x h x h x x x

y h x h x h x x x

y h x h x h x x x

3 0 3 1 2 2 1 0 0 0 4

4 0 4 1 3 2 2 0 1 0 0

5 0 0 1 4 2

y h x h x h x x x

y h x h x h x x x

y h x h x h x

3 0 2 0 1x x

6 0 1 1 0 2 4 0 3 0 2y h x h x h x x x

Ciklična konvolucijaCiklična konvolucija

1K

1K

0

0 , 1 , 2 ,0,0

Kk

y n h k x n k

h n h h h

0

0 , 1 , 2k

y n h k x n k

h n h h h

0 , 1 , 2 , 3 , 4

0 0 0 1 4 2 3 0 2 0 1

x n x x x x x

y h x h x h x x x

0 , 1 , 2 , 3 , 4

0 0 0

x n x x x x x

y h x

1 0 1 1 0 2 4 0 3 0 2

2 0 2 1 1 2 0 0 4 0 3

3 0 3 1 2 2 1 0 0 0 4

y h x h x h x x x

y h x h x h x x x

h h h

1 0 1 1 0

2 0 2 1 1 2 0

3 0 3 1 2 2 1

y h x h x

y h x h x h x

h h h

3 0 3 1 2 2 1 0 0 0 4

4 0 4 1 3 2 2 0 1 0 0

5 0 0 1 4 2

y h x h x h x x x

y h x h x h x x x

y h x h x h x

3 0 2 0 1x x

3 0 3 1 2 2 1

4 0 4 1 3 2 2

5 1 4 2 3

y h x h x h x

y h x h x h x

y h x h x

5 0 0 1 4 2y h x h x h x

3 0 2 0 1

6 0 1 1 0 2 4 0 3 0 2

x x

y h x h x h x x x

5 1 4 2 3

6 2 4

y h x h x

y h x

Ciklična konvolucija dopuna nulamaCiklična konvolucija – dopuna nulama

1K

Ky n h k x n k

0

0 , 1 , 2 ,0,0,0,0

0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,0,0

k

h n h h h

x n x x x x x

0 0 0 1 0 2 0 0 4 0 3 0 2 0 1

1 0 1 1 0 2 0 0 0 0 4 0 3 0 2

2 0 2 1 1 2 0 0 0 0 0 0 4 0 3

y h x h h x x x x

y h x h x h x x x

h h h

2 0 2 1 1 2 0 0 0 0 0 0 4 0 3

3 0 3 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 4

y h x h x h x x x

y h x h x h x x x

y

4 0 4 1 3 2 2 0 1 0 0 0 0 0 0h x h x h x x x 5 0 0 1 4 2 3 0 2 0 1 0 0 0 0

6 0 0 1 0 2 4 0 3 0 2 0 1 0 0

y h h x h x x x x

y h h h x x x x x

Ciklična konvolucija dopuna nulamaCiklična konvolucija – dopuna nulama

1

0

K

k

y n h k x n k

1

0

K

Kk

y n h k x n k

0

0 , 1 , 2

0 , 1 , 2 , 3 , 4

k

h n h h h

x n x x x x x

0

0 , 1 , 2 ,0,0,0,0

0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,0,0

k

h n h h h

x n x x x x x

0 0 0

1 0 1 1 0

2 0 2 1 1 2 0

y h x

y h x h x

y h x h x h x

0 0 0 1 0 2 0 0 4 0 3 0 2 0 1

1 0 1 1 0 2 0 0 0 0 4 0 3 0 2

2 0 2 1 1 2 0 0 0 0 0 0 4 0 3

y h x h h x x x x

y h x h x h x x x

y h x h x h x x x

3 0 3 1 2 2 1

4 0 4 1 3 2 2

y

y h x h x h x

y h x h x h x

h h

3 0 3 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 4

y

y h x h x h x x x

y

4 0 4 1 3 2 2 0 1 0 0 0 0 0 0h x h x h x x x

5 1 4 2 3

6 2 4

y h x h x

y h x

5 0 0 1 4 2 3 0 2 0 1 0 0 0 0

6 0 0 1 0 2 4 0 3 0 2 0 1 0 0

y h h x h x x x x

y h h h x x x x x

Linearna konvolucijaLinearna konvolucija

1K

y n h k x n k

0

0 , 1 , 2

0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7

k

h n h h h

x n x x x x x x x x

1 1

1 1 1

0 0 0

1 0 1 1 0

2 0 2 1 1 2 0

y h x

y h x h x

h h h

1

2

0 , 1 , 2 , 3

4 , 5 , 6 , 7

0 0 0

x n x x x x

x n x x x x

y h x

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1

2 0 2 1 1 2 0

3 0 3 1 2 2 1

4 1 3 2 2

y h x h x h x

y h x h x h x

y h x h x

0 0 0

1 0 1 1 0

2 0 2 1 1 2 0

y h x

y h x h x

y h x h x h x

1 1 1

1 1

2 2

4 1 3 2 2

5 2 3

0 0 0

y h x h x

y h x

y h x

3 0 3 1 2 2 1

4 0 4 1 3 2 2

5 0 5 1 4 2 3

y h x h x h x

y h x h x h x

y h x h x h x

2 2 2

2 2 2 2

1 0 1 1 0

2 0 2 1 1 2 0

3 0 3 1 2 2 1

y h x h x

y h x h x h x

h h h

5 0 5 1 4 2 3

6 0 6 1 5 2 4

7 0 7 1 6

y h x h x h x

y h x h x h x

y h x h x

2 5h x

2 2 2 2

2 2 2

2 2

3 0 3 1 2 2 1

4 1 3 2 2

5 2 3

y h x h x h x

y h x h x

y h x

8 1 7 2 6

9 2 7

y h x h x

y h x

2 2y

Linearna konvolucijaLinearna konvolucija

1

0

K

ky n h k x n k

1

1

0 0 0

1 0 1 1 0

2 0 2 1 1 2 0

y h x

y h x h x

h h h

0 , 1 , 2

0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7

0 1 2 3

h n h h h

x n x x x x x x x x

1

1

1

2 0 2 1 1 2 0

3 0 3 1 2 2 1

4 1 3 2 2

y h x h x h x

y h x h x h x

y h x h x

1

2

0 , 1 , 2 , 3

4 , 5 , 6 , 7

0 0 0

x n x x x x

x n x x x x

y h x

1

1

2

4 1 3 2 2

5 2 3

0 0 4

y h x h x

y h x

y h x

0 0 0

1 0 1 1 0

2 0 2 1 1 2 0

y h x

y h x h x

y h x h x h x

2

2

1 0 5 1 4

2 0 6 1 5 2 4

3 0 7 1 6 2 5

y h x h x

y h x h x h x

h h h

3 0 3 1 2 2 1

4 0 4 1 3 2 2

y h x h x h x

y h x h x h x

2

2

2

3 0 7 1 6 2 5

4 1 7 2 6

5 2 7

y h x h x h x

y h x h x

y h x

5 0 5 1 4 2 3

6 0 6 1 5 2 4

7 0 7 1 6

y h x h x h x

y h x h x h x

y h x h x

2 5h x 2y 7 0 7 1 6y h x h x

2 5

8 1 7 2 6

9 2 7

h x

y h x h x

y h x

Primena FFT algoritma u filtriranjusignala (overlap-and-add)

1,...,1,0,1

0

QLnnxnxQ

ii

n

LiniLnxnxi vrednostidruge za,0

11,

11 1 11 QN Q NQ

nymhmnxmhmnxnyh h

00 0 00 i

im i m

ii

i nymhmnxmhmnxny

1

0

hN

mii mhmnxny

Primena FFT algoritma u filtriranjusignala (overlap-and-save)

, 0 20, za druge vrednosti

hi

x n iL n L Nx n

n

1hN

0m

ii mhmnxny

1

, 1hN

i iy n h m x n iL m y n iL M n iL L M

0

,i im

y y

Goertzel ov algoritamGoertzel-ov algoritam

k n rk Ny n x r W u n r

r

k n NX k y n

111

zWzH k

Nk

N

Goertzel ov algoritamGoertzel-ov algoritam1k 1k

1

1

1 11

11

zWzW

zWzH k

N

kN

kN

k 21

1

2cos21

1

zzN

kzWzH

kN

k

N

x n yk n

-WNkk N

-

Goertzel ov algoritamGoertzel-ov algoritam

21 2cos 1 2kk N k k

ky n x n W x n y n y nN

22cos 1 2k k kkv n x n v n v n

N

Goertzel ov algoritamGoertzel-ov algoritam

1kk 1kk k N kX k y N v N W v N

R IX k X k jX k

2cos 1R k kkX k v N v N

N

2sin 1I kkX k v N

N

2 2 2R I

N

X k X k X k

2 2 222cos 1 1k k k kkX k v N v N v N v N

N

DTMF (Dual Tone Multi Frequency)DTMF (Dual Tone Multi Frequency)

DTMF (Dual Tone Multi Frequency)DTMF (Dual Tone Multi Frequency)

P i i k j d i l f• Pritiskom jednog tastera na tastaturi telefonagenerišu se dva tona (jedan niske i jedan visokefrekvenecije) i kao takvi šalju na linijufrekvenecije) i kao takvi šalju na liniju.

• DTMF ton predstavlja sumu dva sinusoidalna tonaodređenih učestanosti Frekvencije tonova su takoodređenih učestanosti. Frekvencije tonova su takoodabrane da harmonici i intermodulacioni proizvodineće prouzrokovati grešku (lažnu pozitivnuneće prouzrokovati grešku (lažnu pozitivnudetekciju).

• Nijedna frekvencija nije celobrojni umnožak druge,Nijedna frekvencija nije celobrojni umnožak druge,razlika između dve frekvencije nije jednaka bilo kojojfrekvenciji.j

DTMF (Dual Tone Multi Frequency)DTMF (Dual Tone Multi Frequency)

• Frekvencije ne mogu da variraju više od |Δf| =1.5% od svoje nominalne vrednosti.j

• Više frekvencije mogu imati istu ili većuamplitudu od nižih frekvencijaamplitudu od nižih frekvencija.

• Razlika u amplitudi viših i nižih frekvencijamože biti do 3dB.

DTMF (Dual Tone Multi Frequency)DTMF (Dual Tone Multi Frequency)

• U DTMF matrici frekvencija, par tonova se koristi za prezentiranje cifara 0-9 i znakova #, *, A, B, C i D.

• Iako ima 16 DTMF znakova telefonski aparati koriste samo 10 (ne koriste se tonovi iz četvrte kolone i specijalni znaci * i #).

• DTMF standard je propisao da minimalno trajanje s a da d je p op sao da a o aja jeDTMF tona iznosi 50ms, a isto tolika je i puaza između slanja dva DTMF tona.j