SPAZI DI HARDY IN Rn

1. Funzioni test e operatori massimali in Rn

Scopo di questo capitolo e studiare la limitatezza L1 di operatori massimali e introdurrelo spazio di Hardy H1(Rn) attraverso di essi.

Il punto di partenza (negativo) e la Proposizione 15.3 in [AE]1: l’unica funzione f la cuifunzione massimale di Hardy-Littlewood sia integrabile su Rn e la funzione identicamentenulla.

Per ottenere risultati positivi, e necessario ricorrere a funzioni massimali piu “blande”,sostituendo alle medie di |f | sulle palle,

(1.1)1

|B|

∫B

|f(y)| dy ,

medie di f pesate con una densita ϕ dotata di un certo grado di regolarita, e opportunamentetraslata e riscalata per adattarsi alla palla in considerazione. Supponendo inizialmente chesuppϕ ⊂ B(0, 1), la media che prenderemo in considerazione sulla palla B = B(x, t) sara

(1.2)

∫f(y)t−nϕ

(y − xt

)dy =

∫f(y)ϕt(y − x) dy = f ∗ ϕt(x) .

Per evidenziare analogie e differenze tra (1.1) e (1.2), si noti che la media (1.1) puo essereespressa come ∫

|f(x)|ϕt(x− x0) dx , con ϕ(x) =1

|B(0, 1)|χB(0,1) .

In realta considereremo medie (1.2) anche con funzioni ϕ che non sono a supporto compatto(e non necessariamente positive). In generale, se ϕ ∈ L1(Rn) e

∫Rn ϕ(x) dx 6= 0, poniamo

(1.3) Mϕf(x) = supt>0

∣∣f ∗ ϕt(x)| .

La condizione∫ϕ 6= 0 e ovviamento un rilassamento della normalizzazione

∫ϕ = 1, carat-

teristica delle identita approssimate. Tenendo conto della relazione Mλϕf = |λ|Mϕf perλ ∈ C, questo rilassamento e inessenziale.

Il Teorema 15.10 si [AE] afferma che, se

ϕ∗(x) = sup|y|≥|x|

|ϕ(y)| ∈ L1(Rn) ,

allora

Mϕf(x) ≤ ‖ϕ∗‖1Mf(x) ,

1Indicheremo cosı i riferimenti agli appunti “Analisi Armonica su Spazi Euclidei”.1

2

dove M e l’operatore massimale di Hardy-Littlewood. Ovviamente questa condizione non epero sufficiente a garantire l’esistenza di funzioni f non nulle tali che Mϕf sia integrabile.

Mostriamo con un esempio che una tale f esiste se ϕ ha un minimo di regolarita.Esempio. Prendiamo ϕ con supporto nella palla unitaria e Holderiana di ordine δ > 0. Siprenda f limitata, con supp f ⊂ B(0, R) e con

∫Rn f(x) dx = 0. Allora

f ∗ ϕt(x) =

∫Rnf(y)ϕt(x− y) dy =

∫Rnf(y)

(ϕt(x− y)− ϕt(x)

)dy .

Ma ∣∣ϕt(x− y)− ϕt(x)∣∣ = t−n

∣∣∣ϕ(x− yt

)− ϕ

(xt

)∣∣∣ ≤ C|y|δ

tn+δ,

per cui ∣∣f ∗ ϕt(x)∣∣ ≤ Ct−n−δ

∫Rn|f(y)||y|δ dy = C ′t−n−δ .

D’altro canto, se |x| > R, f ∗ ϕt puo essere non nullo solo a condizione che (supp f) ∩B(x, t) 6= ∅, e dunque che t > |x| −R. Quindi, per |x| > R,

Mϕf(x) = C ′ supt>|x|−R

t−n−δ = C ′(|x| −R)−n−δ .

In particolare, se |x| > 2R, si ha |x| −R > |x|/2, e dunque∫|x|>2R

Mϕf(x) dx ≤ C ′′∫|x|>2R

|x|−n dx <∞ .

Per |x| < 2R vale la maggiorazione |f ∗ ϕt(x)| ≤ ‖f‖∞‖ϕ‖1, per cui Mϕf e limitata.Dunque Mϕf ∈ L1(Rn).

Nel seguito dovremo utilizzare diversi tipi di operatori massimali, che iniziamo a classificareper grandi linee.

1. Operatori massimali definiti da un’unica funzione ϕ.Questi si diversificano ulteriormente come segue:(i) operatori massimali “centrati”, ossia gli Mϕ in (1.3);(ii) operatori massimali “non centrati”,

Mϕ,bf(x) = supt>0 , |y−x|<bt

|f ∗ ϕt(y)| ,

per b > 0;(iii) operatori massimali “estremamente non centrati”,

M∗ϕ,Nf(x) = sup

t>0 , y∈Rn

(1 +|y − x|t

)−N |f ∗ ϕt(y)| ,

per N > 0.

3

2. “Grand maximal operators”Si considera una famiglia Φ di funzioni ϕ con date condizioni di regolarita e oppor-tunamente normalizzate, e si pone

MΦf(x) = supϕ∈Φ

Mϕf(x) , MΦ,bf(x) = supϕ∈Φ

Mϕ,bf(x) , M∗Φ.Nf(x) = sup

ϕ∈ΦM∗

ϕ,Nf(x) .

Negli operatori del primo tipo si impone la condizione che∫ϕ 6= 0, mentre in quelli del

secondo tipo le limitazioni imposte sugli elementi di Φ devono consentire la presenza difunzioni con integrale diverso da zero.

Con riferimento agli operatori del primo tipo, e utile avere una visualizzazione grafica dellediverse condizioni di variazione dei parametri t, y rispetto ai quali si prende il sup.

Sul semispazio Rn+1+ = Rn × (0,+∞) ⊂ Rn+1, si consideri la funzione u = uϕ data da

u(x, t) = f ∗ ϕt(x) .

Fissato x ∈ Rn, consideriamo la semiretta verticale Rx = {x} × (0,+∞) e i coni diapertura b, con vertice in x,

(1.4) Γx,b = {(y, t) : |x− y| < bt} .Allora

Mϕf(x) = supRx

|u| , Mϕ,bf(x) = supΓx,b

|u| ,

mentre

M∗ϕ,Nf(x) = sup

Rn+1+

(1 +|x− y|t

)−N|u(y, t)| ,

in cui i valori di u sulle varie semirette uscenti da x sono pesati in modo diverso.Con riferimento a questa rappresentazione, gli operatori della forma Mϕ,b si chiamano

anche “non tangenziali”.

Un caso particolarmente interessante e quello in cui ϕ = P ,

P (x) =cn(

1 + |x|2)n+1

2

,

dove la costante cn =Γ(n+1

2

)πn+1

2e scelta in modo che

∫Rn P (x) dx = 1.

Le funzioni

Pt(x) = cnt(

t2 + |x|2)n+1

2

formano il nucleo di Poisson che interviene nella soluzione del problema di Dirichlet

(1.5)

{∆u = 0 in Rn+1

+

u|t=0 = f .

Per f ∈ (L1 + L∞)(Rn), u(x, t) = f ∗ Pt(x) e l’unica soluzione del problema (1.5) che sialimitata nei sotto-semispazi t ≥ t0 > 0.

4

Un caso ugualmente interessante e legato all’equazione del calore

(1.6)

{∂tu = ∆xu in Rn+1

+

u|t=0 = f .

In questo caso, per f ∈ (L1+L∞)(Rn), l’unica soluzione del problema (1.5) che sia limitatanei sotto-semispazi t ≥ t0 > 0 e data da u(x, t) = f ∗W√t, dove il nucleo di Weierstrass W√te ottenuto a partire dalla funzione

W (x) =1

(4π)n2

e−|x|24 .

Si noti che W ∈ S(Rn), mentre P non ha decadimento rapido.

2. Confronti tra “grand maximal functions”

Ci sono alcune ovvie relazioni tra le funzioni massimali sopra introdotte. Per esempio,

(2.1) Mϕf(x) ≤ Mϕ,bf(x) , Mϕf(x) ≤M∗ϕ,Nf(x) , Mϕ,bf(x) ≤ (1 + b)NM∗

ϕ,Nf(x) .

Le stesse relazioni valgono per le corrispondenti “grand maximal functions”. Per partico-lari famiglie Φ, si hanno anche relazioni inverse. Prendiamo per esempio

(2.2) Φm ={ϕ ∈ Cm : suppϕ ⊂ B(0, 1) , ‖ϕ‖Cm ≤ 1

}.

Proposizione 2.1. Valgono le relazioni

MΦmf(x) ≤ MΦm,bf(x) ≤ (1 + b)n+mMΦmf(x)

MΦmf(x) =M∗Φm,n+mf(x) .

Dimostrazione. Le disuguaglianze MΦmf(x) ≤ · · · sono ovvie. Prendiamo ora ϕ ∈ Φm ey ∈ Rn. Se y = x+ tv, poniamo ψ(x) = ϕ(x+ v). Allora

f ∗ ϕt(y) =

∫Rnf(z)t−nϕ

(x− zt

+ v)dz

=

∫Rnf(z)t−nψ

(x− zt

)dz

= f ∗ ψt(x) .

Ora, ψ ha supporto nella palla B(0, 1 + |v|) e ‖ψ‖Cm ≤ 1. Posto ψ(x) = (1 + |v|)nψ((1 +

|v|)x), si ha supp ψ ⊂ B(0, 1) e ‖ψ‖Cm ≤ (1 + |v|)n+m. Dunque ψ ∈ (1 + |v|)n+mΦm.

Poiche ψt = ψt(1+|v|)−n per ogni t > 0, si ha allora

|f ∗ ϕt(y)| ≤ (1 + |v|)n+mMΦmf(x) =(1 +|y − x|t

)n+mMΦmf(x) ,

e questo da la tesi in entrambi i casi. �

5

Relazioni analoghe si possono ottenere per famiglie di funzioni Holderiane di ordine δ ∈(0, 1],

(2.3) Φδ = {ϕ : suppϕ ⊂ B(0, 1) , ‖ϕ‖Λδ ≤ 1} ,dove

‖ϕ‖Λδ = ‖ϕ‖∞ + supx,y|x− y|−δ

∣∣ϕ(x)− ϕ(y)∣∣ .

Prendiamo ora

Φ∞m ={ϕ ∈ C∞ : suppϕ ⊂ B(0, 1) , ‖ϕ‖Cm ≤ 1

}.

Si noti che, nonostante si prendano funzioni C∞, la normalizzazione e data in termini dellanorma Cm.

Proposizione 2.2. Vale l’uguaglianza

(2.4) MΦ∞m f(x) =MΦmf(x) .

Dimostrazione. Essendo la disuguaglianza ≤ ovvia, basta verificare che, dati ϕ ∈ Φm e t > 0,

(2.5)∣∣f ∗ ϕt(x)

∣∣ ≤ supψ∈Φ∞m , t>0

∣∣f ∗ ψt(x)∣∣ .

Sia {ηs}s>0 un’identita approssimata, con η ≥ 0 di classe C∞, supp η ⊂ B(0, 1) e∫η = 1.

Sia δ > 0 tale che suppϕ ⊂ B(0, 1− δ). Se s < δ, ϕ ∗ ηs ha supporto in B(0, 1), ϕ ∗ ηs ∈ C∞e ‖ϕ ∗ ηs‖Cm ≤ ‖ϕ‖Cm‖ηs‖1 ≤ 1. Quindi ϕ ∗ ηs ∈ Φ∞m e dunque∣∣f ∗ (ϕ ∗ ηs)t(x)

∣∣ ≤MΦ∞m f(x) .

Ma allora∣∣f ∗ ϕt(x)∣∣ = lim

s→0

∣∣f ∗ ϕt ∗ ηst(x)∣∣ = lim

s→0

∣∣f ∗ ϕt ∗ ηst(x)∣∣ ≤MΦ∞m f(x) ,

da cui segue la (2.5). �

In modo analogo si dimostra che, per 0 < δ ≤ 1,

MΦ∞δf(x) =MΦδf(x) .

Naturalmente la normalizzazione del supporto delle ϕ alla palla unitaria non e essenziale.Infatti, se ϕ ha supporto nella palla B(0, R), con R > 1, la funzione ϕR−1(x) = Rnϕ(Rx) hasupporto nella palla unitaria e (ϕR−1)t = ϕR−1t. Pertanto,

Mϕf(x) = MϕR−1f(x) .

A partire da questa osservazione, possiamo giungere a confronti che coinvolgono ϕ non asupporto compatto.

Introduciamo le norme di Schwartz

‖ϕ‖(m,s) =∑|α|≤m

supx∈Rn

(1 + |x|

)s+|α||∂αf(x)| ,

in cui m ∈ N e s > 0.

6

Lemma 2.3. Sia ϕ ∈ S(Rn). Allora, per ogni m, s con s > n,

Mϕf(x) ≤ Cm,s‖ϕ‖(m,s)MΦmf(x) .

Dimostrazione. Scomponiamo ϕ in una serie di funzioni a supporto compatto nel modoseguente. Sia η una funzione C∞, tale che 0 ≤ η ≤ 1, supp η ⊂ B(0, 1) e η = 1 su B(0, 1

2).

Per ogni x ∈ Rn,

1 = limk→+∞

η(2−kx) = η(x) +∞∑k=1

(η(2−kx)− η(2−k+1x)

).

Poniamo η(x) = η(x)− η(2x). Allora

ϕ(x) = ϕ(x)η(x) +∞∑k=1

ϕ(x)η(2−kx) .

Abbiamo suppϕη ⊂ B(0, 1) e, per k ≥ 1, suppϕη(2−k·) ⊂ B(0, 2k)\B(0, 2k−2). Per k ≥ 1,riscaliamo di un fattore 2k, ponendo

ψk(x) = 2nkϕ(2kx)η(x) ,

e fissiamo α con |α| ≤ m. Siccome ψk ha supporto dove 14≤ |x| ≤ 1,∣∣∂αψk(x)| ≤ Cm

∑β≤α

2k(n+|β|)|∂βϕ(2kx)||∂α−β η(x)| ≤ C ′m‖ϕ‖(m,s)2−k(s−n) .

Lo stesso tipo di stima vale ovviamente anche per ψ0 = ϕη. Quindi

Mϕf(x) ≤∞∑k=0

Mψkf(x) ≤ C ′m

∞∑k=0

2−k(s−n)‖ϕ‖(m,s) . �

Corollario 2.4. Sia2

(2.6) Sm,s = {ϕ ∈ S(Rn) : ‖ϕ‖(m,s) ≤ 1} ,con s > n. Allora

MSm,sf(x) ≤ Cm,sMΦmf(x) .

3. Confronti tra “grand maximal functions”e funzioni massimali del primo tipo

Vediamo ora come una singola funzione massimale “estremamente non centrata” M∗ϕ,Nf

(con ϕ opportuna) possa controllare puntualmente una “grand maximal function”.Iniziamo col supporre ϕ ∈ S(Rn) e imponiamo le seguenti normalizzazioni3:

(i)∫

Rn ϕ(x) dx = 1;

2Se m = s scriviamo semplicemente Sm.3Data una qualunque ϕ ∈ S con

∫ϕ 6= 0, esistono λ 6= 0 e t > 0 tali che λϕt soddisfi (i) e (ii). Ai fini

dello studio di operatori masismali, questa restrizione non e dunque sostanziale.

7

(ii) ‖ϕ‖(1) ≤ 1.

La chiave del metodo sta nel seguente lemma.

Lemma 3.1. Esistono ψ0, ψ1 ∈ S(Rn), con supp ψ0 ⊂ B(0, 12), supp ψ1 ⊂ B(0, 1

2) \ B(0, 1

8),

tali che

(3.1) ψ0 ∗ ϕ+∞∑k=1

(ψ1)2−k ∗ ϕ2−k = δ0 ,

nel senso delle distribuzioni.

Dimostrazione. Passando alla trasformata di Fourier, abbiamo, per la (i), ϕ(0) = 1 e∣∣ϕ(ξ)− 1∣∣ =

∣∣∣ ∫Rnϕ(x)(e−iξ·x − 1) dx

∣∣∣ ≤ |ξ|∫Rn|ϕ(x)||x| dx ≤ |ξ| .

Quindi |ϕ(ξ)| ≥ 12

se |ξ| ≤ 12.

Sia u una funzione C∞ con supporto nella palla B(0, 12), tale che 0 ≤ u(ξ) ≤ 1 per ogni ξ

e u(ξ) = 1 per |ξ| ≤ 14. Per ogni ξ ∈ Rn,

1 = limm→∞

u(2−mξ)

= limk→∞

(u(ξ) +

m∑k=1

(u(2−kξ)− u(2−k+1ξ)

))= u(ξ) +

∞∑k=1

(u(2−kξ)− u(2−k+1ξ)

)= u(ξ) +

∞∑k=1

v(2−kξ) ,

dove si e posto v(ξ) = u(ξ) − u(2ξ). Notiamo che supp v ⊂ {ξ : 18≤ |ξ| ≤ 1

2}, per cui in

ogni punto ci sono al massimo tre addendi della serie che sono diversi da 0. Notiamo ancheche sia u che v hanno supporto dove |ϕ| ≥ 1

2. ne consegue che u

ϕ, vϕ

sono C∞ a supporto

compatto. Esistono dunque ψ0, ψ1 ∈ S(Rn) tali che

ψ0 =u

ϕ, ψ1 =

v

ϕ.

Quindi

ψ0(ξ)ϕ(ξ) +∞∑k=1

ψ1(2−kξ)ϕ(2−kξ) = 1

puntualmente e nel senso delle distribuzioni. Invertendo la trasformata di Fourier si ha latesi. �

Corollario 3.2. Siano ϕ, ψ0, ψ1 come nel Lemma 3.1. Data η ∈ S(Rn), vale l’identita

(3.2) η = (η ∗ ψ0) ∗ ϕ+∞∑k=1

(η ∗ (ψ1)2−k

)∗ ϕ2−k ,

8

dove, per ogni norma di Schwartz ‖ ‖(m) e ogni N ∈ N, esiste N ′ tale che

(3.3)∥∥η ∗ (ψ1)2−k

∥∥(m)≤ Cm,N2−Nk‖η‖(N ′) .

In particolare la serie converge in ogni norma di Schwartz.

Dimostrazione. Iniziamo dimostrando la (3.3). Poiche la trasformata di Fourier e un isomor-fismo di S(Rn), basta dimostrare la (3.3) con F

((η ∗ (ψ1)2−k

)al posto di η ∗ (ψ1)2−k .

La trasformata di Fourier di η ∗ (ψ1)2−k e η(ξ)ψ1(2−kξ), quindi ha supporto dove 2k−3 ≤|ξ| ≤ 2k−1. Si ha dunque, per |α| ≤ m,∣∣∂α(η(ξ)ψ1(2−kξ)

)∣∣ ≤∑β≤α

cα,β2−k|β|∣∣∂α−β η(ξ)

∣∣∣∣(∂βψ1(2−kξ)∣∣

≤ ‖ψ1‖Cm∑β≤α

cα,β2−k|β|‖η‖(m+N)

(1 + |ξ|

)−m−N≤ C‖ψ1‖Cm‖η‖(m+N)2

−Nk(1 + |ξ|)−m

.

Quindi

‖η ψ1(2−k·)‖(m) ≤ C‖ψ1‖Cm2−Nk‖η‖(m+N) .

Il resto segue facilmente. �

Il Corollario 3.2 consente di “trasferire” stime per operatori massimali definiti in terminidi ϕ ad altri definiti in termini di altre funzioni test.

Teorema 3.3. Siano ϕ, η come nel Corollario 3.2. Per ogni t > 0 e N ∈ N, esiste N ′ percui ∣∣f ∗ ηt(x)

∣∣ ≤ C‖η‖(N ′)M∗ϕ,Nf(x) .

Dimostrazione. Per la (3.2),∣∣f ∗ ηt(x)∣∣ ≤ ∣∣f ∗ (η ∗ ψ0)t ∗ ϕt(x)

∣∣+∞∑k=1

∣∣f ∗ (η ∗ (ψ1)2−k)t∗ ϕ2−kt(x)

∣∣ .Usando la disuguaglianza f ∗ ϕt(y) ≤

(1 + |x−y|

t

)NM∗

ϕ,Nf(x), valida per ogni x, y ∈ Rn,si ha∣∣f ∗ (η ∗ (ψ1)2−k

)t∗ ϕ2−kt(x)

∣∣ ≤ ∫Rn|f ∗ ϕt(y)|

∣∣(η ∗ (ψ1)2−k)t(x− y)

∣∣ dy≤M∗

ϕ,Nf(x)

∫Rn

(1 +|x− y|t

)N ∣∣(η ∗ (ψ1)2−k)t(x− y)

∣∣ dy= M∗

ϕ,Nf(x)

∫Rn

(1 +|y|t

)N ∣∣(η ∗ (ψ1)2−k)t(y)∣∣ dy

= M∗ϕ,Nf(x)

∫Rn

(1 + |y|)N∣∣(η ∗ (ψ1)2−k

)(y)∣∣ dy .

9

Per la (3.3) con m = n+ 1, segue che esiste N ′ per cui∣∣f ∗ (η ∗ (ψ1)2−k)t∗ ϕ2−kt(x)

∣∣ ≤ CN2−k‖η‖(N ′)M∗ϕ,Nf(x)

∫Rn

(1 + |y|)−n−1 dy

≤ C ′N2−k‖η‖(N ′)M∗ϕ,Nf(x) .

Sommando in k e valutando il termine contenente ψ0 alla stessa maniera, si ha la tesi. �

Corollario 3.4. Sia ϕ ∈ S(Rn) con∣∣ ∫

Rn ϕ(x) dx∣∣ = λ > 0. Per ogni N esiste N ′ tale che

MSN′f(x) ≤ Cλ−1M∗ϕ,Nf(x) .

L’ultima relazione che vogliamo introdurre riguarda il confronto tra la funzione massimale“estremamente non centrata” M∗

ϕ,Nf e le corrispondenti funzioni massimali non centrate

Mϕ,bf . In questo caso, tuttavia, non otterremo delle maggiorazioni puntuali, ma solo innorma Lp.

Dobbiamo premettere alcune considerazioni riguardanti una generica funzione misurabileu(x, t) ≥ 0 definita sul semispazio Rn+1

+ . Esse saranno poi applicate a u(x, t) = |f ∗ ϕt(x)|.Indicando con Γx,b ⊂ Rn+1

+ il cono di vertice x e apertura b > 0, definito nella (1.4),poniamo

u∗b(x) = sup(y,t)∈Γx,b

u(y, t) .

Lemma 3.5. Dato b > 0, sia

Aαb = {x ∈ Rn : u∗b(x) > α} .

Se 0 < b < b′, valgono le disuguaglianze

|Aαb | ≤ |Aαb′| ≤ C(

1 +b′

b

)n|Aαb | .

Dimostrazione. Essendo u∗b ≤ u∗b′ , Aαb ⊂ Aαb′ e la prima disuguaglianza e ovvia.

Sia ora x ∈ Aαb′ . Vuol dire che esiste (y, t) ∈ Γx,b′ tale che u(y, t) > α. Quindi, se|z − y| < bt, (y, t) ∈ Γz,b e dunque u∗b(z) > α. Cio significa che B(y, bt) ⊂ Aαb .

Poiche |y − x| < b′t, si ha anche B(y, bt) ⊂ B(x, (b+ b′)t

). Abbiamo dunque

1∣∣B(x, (b+ b′)t)∣∣ ∫

B(x,(b+b′)t

) χAαb′

(z) dz =

∣∣Aαb′ ∩B(x, (b+ b′)t)∣∣B(x, (b+ b′)t

)∣∣≥ |B(y, bt)|∣∣B(x, (b+ b′)t

)∣∣=( b

b+ b′

)n.

Indicando con M la funzione massimale di Hardy-Littlewood, si ha percio

MχAαb′

(x) ≥( b

b+ b′

)n,

10

e dunque

Aαb′ ⊂{x : MχAα

b′(x) ≥

( b

b+ b′

)n}.

Per il Teorema 15.5 di [AE],

|Aαb′| ≤∣∣∣{x : MχAα

b′(x) ≥

( b

b+ b′

)n}∣∣∣≤ C

(1 +

b′

b

)n‖χAα

b′‖1

= C(

1 +b′

b

)n|Aαb | . �

Proposizione 3.6. Vale la disuguaglianza∫Rnu∗b′(x) dx ≤ C

(1 +

b′

b

)n ∫Rnu∗b(x) dx .

Dimostrazione. Segue direttamente dal Teorema 8.1 in [AE]. �

Corollario 3.7. Sia ϕ ∈ S(Rn). Le norme∥∥Mϕ,bf

∥∥1

sono equivalenti fra loro al variare dib.

Se N > n, ∥∥M∗ϕ,Nf

∥∥p≤ CN

∥∥Mϕ,1f∥∥p.

Dimostrazione. Si ha

M∗ϕ,Nf(x) ≤ sup

j≥02−Nj sup

2jt≤|y−x|<2j+1t

|f ∗ ϕt(y)|

≤∞∑j=0

2−NjMϕ,2jf(x) .

Per la Proposizione 3.6, ∥∥M∗ϕ,Nf

∥∥1≤

∞∑j=0

2−Nj∥∥Mϕ,2jf

∥∥1

≤ C∞∑j=0

2−(N−n)j∥∥Mϕ,1f

∥∥1

≤ C∥∥Mϕ,1f

∥∥1. �

A conclusione di tutto quanto visto sui vari operatori massimali4, diamo un risultatoriassuntivo sulla equivalenza delle norme L1. Si noti che per p > 1 le equivalenze sono con-seguenze ovvie del fatto che ‖f‖p e equivalente a ‖Mf‖p per l’operatore di Hardy-LittlewoodM , e che ciascuna degli operatori massimali introdotti e dominato, a meno di costanti molti-plicatice, da M .

4Si rinvia al libro di E. M. Stein, Harmonic Analysis. Real-variable methods, orthogonality, and oscillatoryintegrals per l’ampliamento di questa serie di equivalenze agli operatori massimali centrati Mϕ con ϕ ∈ S eMP , dove P indica il nucleo di Poisson.

11

Teorema 3.8. Le seguenti proprieta sono equivalenti:

(i) MΦf ∈ L1, con Φ una delle famiglie (2.2), (2.3), ø(2.6) con s > n;(ii) MΦ,bf ∈ L1, con Φ come sopra;

(iii) M∗Φ,Nf ∈ L1, con Φ come sopra;

(iv) Mϕ,bf ∈ L1, con ϕ ∈ S(Rn) e b > 0;(v) M∗

ϕ,Nf ∈ L1, con ϕ ∈ S(Rn) e N > n;

Le norme L1 di tali funzioni massimali, quando sono finite, sono equivalenti fra loro.

4. Lo spazio H1(Rn) e la sua struttura atomica

Definizione 4.1. Si indica con H1(Rn) lo spazio delle funzioni f ∈ L1loc(Rn) tali che una

qualunque delle sue funzioni massimali indicate nel Teorem 3.8 sia integrabile.

Fissato, per es., un operatore “grand maximal” MΦ, poniamo

‖f‖H1 = ‖MΦf‖1 .

Lemma 4.2. H1(Rn) ⊂ L1(Rn) con inclusione continua. H1(Rn) e completo.

Dimostrazione. Sia f ∈ H1(Rn). Si prenda ϕ ∈ Φ, con∫

Rn ϕ = a > 0. Per ogni t > 0,|f ∗ ϕt| ≤ MΦf e limt→0 f ∗ ϕt(x) = af(x) quasi ovunque. Quindi |f(x)| ≤ MΦf(x) quasiovunque, per cui f ∈ L1(Rn) e ‖f‖1 ≤ ‖f‖H1 .

Sia {fm} una successione di Cauchy in H1(Rn). Esiste allora limm→∞ fm = f in norma L1.Data ϕ ∈ Φ,∣∣(f − fm) ∗ ϕt(x)

∣∣ = limk→∞

∣∣(fk − fm) ∗ ϕt(x)∣∣ ≤ sup

k>mMΦ(fk − fm)(x) .

Quindi,MΦ(f − fm)(x) ≤ sup

k>mMΦ(fk − fm)(x) .

Da cio segue che f − fm ∈ H1(Rn), e dunque f ∈ H1(Rn). Inoltre

‖f − fm‖H1 ≤ supk>m‖fk − fm‖H1 ,

per cui limm→∞ ‖f − fm‖H1 = 0. �

Individuiamo ora una speciale famiglia di elementi di H1(Rn), detti atomi.

Definizione 4.3. Sia 1 < q ≤ ∞. Si chiama (1, q)-atomo una funzione a(x), con supportoin una palla B e tale che

(i) ‖a‖q ≤ |B|−1+ 1q ;

(ii)∫Ba(x) dx = 0 .

Lemma 4.4. Un (1, q) atomo a e in H1(Rn) e ‖a‖H1 e limitata da una costante indipendenteda a.

12

(La dimostrazione ricalca l’Esempio nel paragrafo 1.)

Dimostrazione. Sia ϕ ∈ S(Rn) con supporto in B(0, 1),∫ϕ 6= 0. Allora

Mϕa(x) ≤ CϕMa(x) ,

dove Ma e la funzione massimale di Hardy-Littlewood. Per il Teorema 16.3 in [AE],

‖Mϕa‖q ≤ Cϕ,n,q‖a‖q ≤ Cϕ,n,q|B|−1+ 1q .

Se B = B(x0, r), poniamo B∗ = B(x0, 2r). Per la disuguaglianza di Holder,∫B∗Mϕa(x) dx ≤ |B∗|

1q′ ‖Mϕa‖q ≤ Cϕ,n,q2

nq′ .

Se x 6∈ B∗, occorre che t > |x− x0| − r per poter avere a ∗ϕt(x) 6= 0. Usando la proprieta(ii) di media nulla di a, si ha

a ∗ ϕt(x) =

∫B

a(y)t−nϕ(x− y

t

)dt

=

∫B

a(y)t−n(ϕ(x− y

t

)− ϕ

(x− x0

t

))dy .

Per il Teorema del valor medio,∣∣∣ϕ(x− yt

)− ϕ

(x− x0

t

)∣∣∣ ≤ Cϕ|y − x0|

t≤ Cϕ

r

t,

per cui, tenendo conto che t > |x− x0| − r > |x−x0|2

,∣∣a ∗ ϕt(x)∣∣ ≤ 2n+1Cϕ

r

|x− x0|n+1

∫B

|a(y)| dy

≤ 2n+1Cϕr

|x− x0|n+1|B|

1q′ ‖a‖q

≤ 2n+1Cϕr

|x− x0|n+1.

Di conseguenza, Mϕa(x) ≤ 2n+1Cnr|x− x0|−n−1 per x 6∈ B∗, e dunque∫Rn\B∗

Mϕa(x) dx ≤ 2n+1Cϕ

∫|x−x0|>2r

r

|x− x0|n+1dx ≤ Cn,ϕ ,

come si verifica facilmente integrando in coordinate polari con polo in x0. �

Dimostriamo ora il seguente risultato fondamentale.

Teorema 4.5. Sia f ∈ H1(Rn). Esiste allora una successione {aj} di (1,∞)-atomi e unasuccessione di scalari {λj} ∈ `1 tali che

(i) f =∑∞

j=0 λjaj ;

(ii)∑∞

j=0 |λj| ≤ Cn‖f‖H1 .

13

La dimostrazione e basata su un adattamento della decomposizione di Calderon-Zygmund(v. Teorema 16.5 in [AE]), e il suo punto di partenza e la decomposizione di Whitney delLemma 16.4.

Dimostrazione. Siano k, k′ come nell’enunciato del Lemma 16.4 in [AE], e data una pallaB = B(x0, r), siano B∗ = B(x0, kr), B

∗∗ = B(x0, k′r). Consideriamo la funzione massimale

MΦ1,b = MΦ∞1 ,b, dove b sara determinato piu avanti.

La funzione MΦ1,bf e semicontinua inferiormente. Infatti, se MΦ1,bf(x) > α, esistonoϕ ∈ Φ1, t > 0 e y con |x− y| < k′t tali che |f ∗ ϕt(y)| > α. Per la continuita di f ∗ ϕt, esisteδ > 0 tale che |f ∗ ϕt(y′)| > α per ogni y′ con |y′ − y| < δ. Di conseguenza, MΦ1,bf(x′) > αse |x− x′| < δ.

Fissato α > 0, l’insieme Aα = {x : MΦ1,bf(x) > α} e dunque aperto, e ammette perciouna decomposizione di Whitney {Bj = B(xj, rj)}, dove, posto Fα = Rn \ Aα,

(i) le palle Bj sono aperte e a due a due disgiunte;(ii)

⋃j B∗j = Aα e il raggio krj di B∗j e uguale a 1

2d(xj, Fα);

(iii) B∗∗j ∩ Fα 6= ∅.

Introduciamo anche le palle Bj = B(xj,

32krj), in modo che B∗j ⊂ Bj ⊂ Aα, e d(Bj, Fα) =

14d(xj, Fα).

Per ogni j, sia ψj una funzione C∞ con supporto in Bj, con 0 ≤ ψj ≤ 1, uguale a 1 su un

intorno di B∗j , e con |∂αψj| ≤ Cαr−|α|j per ogni α. La funzione

Ψ(x) =∑j

ψj(x)

e ben definita e C∞ in Aα perche nell’intorno di ogni punto solo un numero finito di addendi

e diverso da zero. Infatti, per la (ii) e sufficiente vedere che solo un numero finito di Bj

intersecano una data palla Bj0 . Se B(xj,

32krj)∩B(xj0 ,

32krj0) 6= ∅, devono valere le seguenti

condizioni:

d(xj, Fα) = 2krj , d(xj0 .Fα) = 2krj0 , |xj − xj0| <3

2k(rj + rj0) .

Quindi 2krj ≤ 32krj + 7

2krj0 e 2krj0 ≤ 7

2krj + 3

2krj0 , ossia 1

7rj0 ≤ rj ≤ 7rj0 . Inoltre

|xj − xj0 | ≤ 12krj0 . Ma allora la palla B = B(xj0 , (12k + 7)rj0

)contiene l’intera palla Bj.

Questa ha volume non inferiore a 7−n|Bj0| =(7(12k + 7)

)−n|B|. Siccome tali palle sono a

due a due disgiunte, il loro numero non puo superare(7(12k + 7)

)n= N .

Siccome ogni punto di Aα appartiene ad almeno una palla B∗j , abbiamo dunque 1 ≤Ψ(x) ≤ N su Aα. Ovviamente, Ψ = 0 su Fα. Poniamo

ψj(x) =ψj(x)

Ψ(x).

14

Ovviamente, supp ψj ⊂ Bj, 0 ≤ ψj ≤ 1 e∑

j ψj = χAα . Fissato j0, e indicando con Ej0

l’insieme dei j per cui Bj ∩ Bj0 6= ∅,∣∣∂αψj0∣∣ =1

Ψ2

∣∣∣Ψ∇ψj0 − ψj0 ∑j∈Ej0

∇ψj∣∣∣ ≤ ∣∣∇ψj0∣∣+

∑j∈Ej0

∣∣∇ψj∣∣ .Siccome rj ∼ rj0 per j ∈ Ej0 , esiste una costante C1 per cui

∣∣∇ψj0∣∣ ≤ C1r−1j0

.

Esprimendo la generica ψj(x) come ϕj(x−xj

tj

), con tj = 3

2krj, il raggio di Bj, vediamo che

suppϕj ⊂ B(0, 1), ‖ϕj‖∞ ≤ 1 e ‖∇ϕj‖∞ ≤ 32kC1. Quindi ϕj ∈

(1 + 3

2kC1

)Φ∞1 .

Scomponiamo dunque f come

(4.1) f = fχFα +∑j

fψj .

Ovviamente, |f(x)| ≤ MΦ∞1 ,bf(x) ≤ α per x ∈ Fα. Scomponiamo ora

fψj = (f − cj)ψj + cjψj ,

in modo tale che∫

(f − cj)ψj = 0. Posto µj =∫ψj, cio vuol dire porre

(4.2) cj =1

µj

∫Rnf(x)ψj(x) dx .

Siccome ψj = 1 su B∗j , si ha

µj ≥|B∗j |N

= C2rnj .

Quindi

|cj| ≤ C−12 r−nj

∣∣∣ ∫Rnf(x)ϕj

(x− xjtj

)dx∣∣∣

= C−12

( tjrj

)n∣∣f ∗ (ϕj)tj(xj)∣∣

= C3

∣∣f ∗ (ϕj)tj(xj)∣∣ .

Siccome B∗∗j ∩ Fα 6= ∅, esiste y ∈ Fα tale che |y − xj| < k′rj = 2k′

3ktj. Se quindi poniamo

b = 2k′

3k, possiamo dire che

(4.3) |cj| ≤ C3

∣∣f ∗ (ϕj)tj(xj)∣∣ ≤ C3MΦ1,bf(y) ≤ C3α .

Riscriviamo dunque la scomposizione (4.1) come

(4.4)

f =(fχFα +

∑j

cjψj

)+∑j

(f − cj)ψj

= g +∑j

(f − cj)ψj ,

dove|g| ≤ Cα ,∫

(f − cj)ψj = 0 , supp (f − cj)ψj ⊂ Bj .

15

La scomposizione (4.4) dipende ovviamente da α. Poiche vogliamo ora prendere in consi-derazione valori diversi di α, precisamente α = 2m con m ∈ Z, introduciamo opportuni apici:

g(m), c(m)j , ψ

(m)j , ecc., notando che le costanti C1, C2, . . . intervenute nelle disuguaglianze non

dipendono da m.Osserviamo che

limm→−∞

g(m) = 0 , limm→+∞

g(m) = f

quasi ovunque, nel primo caso perche |g(m)| ≤ 2m, nel secondo perche∑

j b(m)j ha supporto

su A2m , e |A2m| ≤ 2−m‖MΦ1,b‖1 per la disuguaglianza di Chebichev. Quindi

(4.5) f = limm→+∞

g(m) − limm→−∞

g(m) =+∞∑−∞

(g(m+1) − g(m)) .

Per la (4.4),

g(m+1) − g(m) =∑j

(f − c(m)j )ψ

(m)j −

∑j′

(f − c(m+1)j′ )ψ

(m+1)j′ .

Lavorando sui termini a secondo membro arriveremo a costruire gli (1,∞)-atomi che com-pongono la funzione f . Osserviamo che ciascun addendo ha supporto in una palla e ha medianulla. Tuttavia non e, in generale, una funzione limitata.

Osserviamo che (f − c(m+1)j′ )ψ

(m+1)j′ ha supporto in A2m+1 ⊂ A2m . Pertanto,

(f − c(m+1)j′ )ψ

(m+1)j′ =

∑j

(f − c(m+1)j′ )ψ

(m)j ψ

(m+1)j′ ,

e dunque

g(m+1) − g(m) =∑j

(f − c(m)j )ψ

(m)j −

∑j,j′

(f − c(m+1)j′ )ψ

(m)j ψ

(m+1)j′ .

Gli addendi dell’ultima serie non hanno tuttavia media nulla, che tuttavia possiamoripristinare ponendo, in analogia con (4.2),

(4.6) d(m)j,j′ =

1

µ(m+1)j′

∫ (f(x)− c(m+1)

j′

)ψ

(m)j (x)ψ

(m+1)j′ (x) dx ,

di modo che ∫ ((f(x)− c(m+1)

j′

)ψ

(m)j (x)− d(m)

j,j′

)ψ

(m+1)j′ (x) dx = 0 .

Notiamo che, per la (4.6),∑j

d(m)j,j′ =

1

µ(m+1)j′

∫ (f(x)− c(m+1)

j′

)ψ

(m+1)j′ (x) dx = 0 .

16

Pertanto,

(4.7)

g(m+1) − g(m) =∑j

(f − c(m)j )ψ

(m)j −

∑j,j′

((f − c(m+1)

j′ )ψ(m)j − d(m)

j,j′

)ψ

(m+1)j′

=∑j

((f − c(m)

j )ψ(m)j −

∑j′

((f − c(m+1)

j′ )ψ(m)j − d(m)

j,j′

)ψ

(m+1)j′

)=∑j

b(m)j .

Vediamo ora le proprieta dei singoli termini

(4.8) b(m)j = (f − c(m)

j )ψ(m)j −

∑j′

((f − c(m+1)

j′ )ψ(m)j − d(m)

j,j′

)ψ

(m+1)j′ .

Per cominciare,∫b

(m)j = 0. Osserviamo poi che la somma e estesa ai soli j′ ∈ E(m)

j per

cui B(m)j ∩ B(m+1)

j′ 6= ∅, perche altrimenti ψ(m)j ψ

(m+1)j′ = 0 e d

(m)j,j′ = 0. Quindi

supp b(m)j ⊂ B

(m)j ∪

⋃j′∈E(m)

j

B(m+1)j′ .

Come visto sopra, i raggi r(m)j e r

(m+1)j′ delle palle B

(m)j e B

(m+1)j′ soddisfano le condizioni

2kr(m)j = d(x

(m)j , F2m) , 2kr

(m+1)j′ = d(x

(m+1)j′ , F2m+1) ≤ d(x

(m+1)j′ , F2m) .

Essendo d(x(m+1)j′ , F2m) ≤ |x(m+1)

j′ − x(m)j |+ d(x

(m)j , F2m), segue che

2kr(m+1)j′ ≤ 3

2k(r

(m+1)j′ + r

(m)j ) + 2kr

(m)j ,

e dunque che r(m+1)j′ ≤ 7r

(m)j . In conclusione,

supp b(m)j ⊂ B(x

(m)j , 15r

(m)j ) .

Mostriamo ora che b(m)j e limitata. Raggruppando i termini contenenti f nella (4.8), si ha

b(m)j = f

(1−

∑j′

ψ(m+1)j′

)ψ

(m)j − c(m)

j ψ(m)j +

∑j′

(c

(m+1)j′ ψ

(m)j + d

(m)j,j′

)ψ

(m+1)j′

= fχF2m+1 ψ(m)j − c(m)

j ψ(m)j +

∑j′

(c

(m+1)j′ ψ

(m)j + d

(m)j,j′

)ψ

(m+1)j′ .

Su F2m+1 , |f | ≤ 2m+1. Per la (4.3), |c(m)j | ≤ C32m e |c(m+1)

j′ | ≤ C32m+1. Quanto a d(m)j,j′ , si

ha, per la (4.6),

|d(m)j,j′ | ≤

1

µ(m+1)j′

∣∣∣ ∫ f(x)ψ(m)j (x)ψ

(m+1)j′ (x) dx

∣∣∣+ |c(m+1)j′ | .

17

Per stimare l’integrale, possiamo ripetere l’argomento usato per dimostrare la (4.3), con

µ(m+1)j′ , ψ

(m)j ψ

(m+1)j′ e B

(m+1)j′ al posto di µj, ψj e Bj rispettivamente. Cio e possibile perche,

per la regola di Leibniz,∣∣∇(ψ(m)j ψ

(m+1)j′ )

∣∣ ≤ C1

r(m)j

+C1

r(m+1)j′

≤ 8C1

r(m+1)j′

.

In questo modo si ottiene che |d(m)j,j′ | ≤ C42m. Pertanto,∣∣∣∑

j′

(c

(m+1)j′ ψ

(m)j + d

(m)j,j′

)ψ

(m+1)j′

∣∣∣ ≤∑j′

(2C32m + C42m)ψ(m+1)j′ ≤ (2C3 + C4)2m .

In conclusione, |b(m)j | ≤ C52m, e dunque

b(m)j = C52m

∣∣B(m)j

∣∣ a(m)j ,

dove a(m)j e un (1,∞)-atomo.

Per la (4.5) e la (4.7),

f =∑m∈Z

∑j

λ(m)j a

(m)j ,

con λ(m)j = C52m

∣∣B(m)j

∣∣.Poiche, per m fissato, le palle B

(m)j sono a due a due disgiunte e contenute in A2m ,∑

j,m

λ(m)j ≤ C5

∑m∈Z

2m|A2m |

≤ 2C5

∑m∈Z

∫ 2m

2m−1

|Aα| dα

= 2C5

∫ ∞0

|Aα| dα

= 2C5

∫RnMΦ1,bf(x) dx

≤ C6‖f‖H1 . �

Si noti che la scomposizione atomica di una funzione f ∈ H1(Rn) fornita dal Teorema 4.5non e unica. Tenendo conto di cio, si ottiene il seguente corollario.

Corollario 4.6. Per q ∈ (1,∞], sia H1,q(Rn) lo spazio delle funzioni f ∈ L1(Rn) rappre-sentabili come somme di (1, q)-atomi

(4.9) f(x) =∞∑j=0

λj aj(x) ,

con∑∞

j=0 |λj| <∞. Si ponga su H1,q(Rn) la norma

‖f‖H1,q = inf{ ∞∑

j=0

|λj| : f =∞∑j=0

λj aj , aj (1, q)-atomi}.

18

Allora H1,q(Rn) = H1(Rn) per ogni q e le rispettive norme sono equivalenti.

Dimostrazione. Poiche gli (1,∞)-atomi sono anche (1, q)-atomi per 1 < q < ∞, si ha evi-dentemente che H1,∞ ⊂ H1,q e ‖f‖H1,q ≤ ‖f‖H1,∞ . Il Lemma 4.4 implica che H1,q ⊂ H1 e‖f‖H1 ≤ Cn,q‖f‖H1,q . Il Teorema 4.5 implica che H1 ⊂ H1,∞ e ‖f‖H1,∞ ≤ C6‖f‖H1 . �

Osserviamo infine che la serie (4.9) converge a f in norma H1. Infatti, essendo

f(x)−N∑j=0

λj aj(x) =∞∑

j=N+1

λj aj(x) ,

si ha

(4.10)∥∥∥f − N∑

j=0

λj aj

∥∥∥H1,q≤

∞∑j=N+1

|λj| .

5. BMO(Rn) come spazio duale di H1(Rn)

Siccome ogni singolo atomo ha media nulla,

f ∈ H1(Rn) =⇒∫

Rnf(x) dx = 0 .

Tuttavia l’implicazione inversa non vale. Si possono esibire esempi espliciti, ma si puoanche osservare che se fosse H1(Rn) = L1

0(Rn) = {f ∈ L1 :∫f = 0}, allora lo spazio duale

di H1(Rn) sarebbe L∞(Rn)/{costanti}.Vediamo ora che invece lo spazio duale consiste delle funzioni con oscillazione media limi-

tata.Sia f ∈ L1

loc(Rn). Se B e una palla, indichiamo con fB la media di F su B,

fb =1

|B|

∫B

f(x) dx .

Si chiama oscillazione media di ordine q di f su una palla B il numero

moq(f,B) =( 1

|B|

∫B

∣∣f(x)− fB∣∣q dx) 1

q.

Definizione 5.1. Dato q, 1 ≤ q <∞, si pone

‖f‖BMOq = supB

moq(f,B) .

Si chiama BMOq(Rn) lo spazio delle classi di equivalenza, modulo funzioni costanti, difunzioni tali che ‖f‖BMOq <∞.

Per q = ∞, la condizione supB mo∞(f,B) < ∞ equivale alla limitatezza di f . Invece,per q < ∞, BMOq contiene (classi di equivalenza di) funzioni illimitate. Premettiamo unlemma.

19

Lemma 5.2. Sia f ∈ Lqloc(Rn), 1 ≤ q < ∞. Supponiamo che per ogni palla B esista unacostante cB tale che

supB

( 1

|B|

∫B

∣∣f(x)− cB∣∣q dx) 1

q<∞ .

Allora f ∈ BMOq(Rn) e ‖f‖BMOq ≤ 2 supB

(1|B|

∫B

∣∣f(x)− cB∣∣q dx) 1

q.

Dimostrazione. Per ogni palla B ha

|fB − cB| =∣∣∣ 1

|B|

∫B

f(x) dx− cB∣∣∣

=∣∣∣ 1

|B|

∫B

(f(x)− cb

)dx∣∣∣

≤( 1

|B|

∫B

∣∣f(x)− cB∣∣q dx) 1

q.

Quindi

moq(f,B) ≤ 2( 1

|B|

∫B

∣∣f(x)− cB∣∣q dx) 1

q. �

Esempio.La funzione f(x) = log |x| ha norma BMO1 finita. Sia B = B(x0, r) una palla. Se|x0| > 2r, si ha 1

2|x0| ≤ |x| ≤ 3

2|x0| per ogni x ∈ B, e dunque

∣∣ log |x| − log |x0|∣∣ ≤ log 2.

Posto cB = log |x0|, si ha dunque

mo1(f,B) ≤ 2

|B|

∫B

∣∣ log |x| − log |x0|∣∣ dx ≤ C .

Se |x0| ≤ 2r, B ⊂ B′ = B(0, |x0| + r) e |B′| ≤ 3n|B|. Quindi, con cB = log(|x0| + r

), il

cambio di variabile x =(|x0|+ r

)y da

mo1(f,B) ≤ 2 3n

|B′|

∫B′

∣∣ log |x| − log(|x0|+ r

)∣∣ dx= C

∫|y|<1

∣∣ log |y|∣∣ dy .

Teorema 5.3. Siano q ∈ [1,∞), f ∈ H1(Rn) e f =∑

j λj aj una sua decomposizione in

(1, q′)-atomi. Data b ∈ BMOq, la serie

(5.1)∑j

λj

∫Rnaj(x)b(x) dx

e assolutamente convergente e il suo valore non dipende ne dalla scelta del rappresentantedella classe di equivalenza b ∈ BMOq, ne dalla decomposizione atomica di f . Chiamando`(f) tale valore, ` e un funzionale lineare continuo su H1(Rn) e

(5.2) |`(f)| ≤ ‖b‖BMOq‖f‖H1,q′ .

20

Viceversa, dati ` funzionale lineare continuo su H1 e q ∈ [1,∞), esiste una e una solab ∈ BMOq con ‖b‖BMOq ≤ Cq‖`‖ per cui valga (5.1).

Come immediata conseguenza si ha:

Corollario 5.4. Gli spazi BMOq(Rn), con q ∈ [1,∞), coincidono tra loro, con equivalenzadelle rispettive norme.

Indicheremo tale spazio con BMO(Rn).

Dobbiamo premettere un lemma alla dimostrazione del Teorema 5.3. Si noti che l’enunciatocontiene un abuso di notazione: le funzioni |b| e bα sono diverse a seconda del particolarerappresentante scelto nella classe di equivalenza in BMOq.

Lemma 5.5. Se b ∈ BMOq, anche |b| ∈ BMOq e∥∥ |b|∥∥

BMOq≤ 2‖b‖BMOq . Dato α > 0,

bα(x) =

b(x) se |b(x)| ≤ α

αb(x)

|b(x)|se |b(x)| > α

e in BMOq e ‖bα‖BMOq ≤ 2‖b‖BMOq .

Dimostrazione. La prima parte dell’enunciato segue dalla disuguaglianza( 1

|B|

∫B

∣∣|b(x)| − |bB|∣∣q dx) 1

q ≤( 1

|B|

∫B

∣∣b(x)− bB∣∣q dx) 1

q,

e dal Lemma 5.2.Per quanto riguarda bα, sia B una palla. Se |bB| ≤ α, vale la disuguaglianza( 1

|B|

∫B

∣∣bα(x)− bB∣∣q dx) 1

q ≤( 1

|B|

∫B

∣∣b(x)− bB∣∣q dx) 1

q,

perche, se |b(x)| > α, una semplice considerazione geometrica mostra che∣∣bα(x) − bB

∣∣ <∣∣b(x)− bB∣∣, essendo bα(x) la proeizione di b(x) sul cerchio di raggio α.

Se |bB| > α, vale la disuguaglianza( 1

|B|

∫B

∣∣∣bα(x)− α bB|bB|

∣∣∣q dx) 1q ≤

( 1

|B|

∫B

∣∣b(x)− bB∣∣q dx) 1

q,

come pure segue da semplici considerazioni geometriche. �

Dimostrazione del Teorema 5.3. Se a e un (1, q′)-atomo con supporto in una palla B, si ha

(5.3)

∣∣∣ ∫Rna(x)b(x) dx

∣∣∣ =∣∣∣ ∫

Rna(x)

(b(x)− bB) dx

∣∣∣≤ ‖a‖q′

(∫Rn

∣∣b(x)− bB|q dx) 1q

≤( 1

|B|

∫Rn

∣∣b(x)− bB|q dx) 1q

≤ ‖b‖BMOq .

21

Quindi la serie (5.1) e assolutamente convergente e

(5.4)∑j

|λj|∣∣∣ ∫

Rnaj(x)b(x) dx

∣∣∣ ≤ (∑j

|λj|)‖b‖BMOq .

Per dimostrare che la sua somma non dipende dalla decomposizione atomica di f , bastadimostrare che se

∑j λj aj = 0, allora la somma (5.1) da 0.

Cio e vero se b e limitata. Infatti, essendo g =∑

j |λj| |aj| ∈ L1(Rn), per il teorema diconvergenza dominata si ha∑

j

λj

∫Rnaj(x)b(x) dx =

∫Rn

(∑j

λj aj(x))b(x) dx = 0 .

Per una generica b ∈ BMOq, le funzioni bα introdotte nel Lemma 5.5 sono limitate edunque ∑

j

λj

∫Rnaj(x)bα(x) dx = 0 ,

per ogni α. Per ogni j, detta Bj la palla su cui ha supporto aj, si ha

limα→=∞

∫Rnaj(x)bα(x) dx =

∫Rnaj(x)b(x) dx ,

perche bα → b in Lq(Bj). Inoltre,∣∣ ∫Rnaj(x)bα(x) dx

∣∣ ≤ ‖bα‖BMOq ≤ 2‖b‖BMOq ,

per la (5.3) e per il Lemma 5.5. Applicando dunque il teorema di convergenza dominata allaserie, ∑

j

λj

∫Rnaj(x)b(x) dx = lim

α→+∞

∑j

λj

∫Rnaj(x)bα(x) dx = 0 .

Il funzionale ` e dunque ben definito. Dalla (5.4), passando all’inf sulle decomposizioni in(1, q′)-atomi di f , si ottiene la (5.2).

Sia ora ` un funzionale lineare continuo su H1(Rn), e sia 1 < q < ∞ (il caso q = 1 saradiscusso dopo).

Fissata una palla B, consideriamo lo spazio Lq′

0 (B) delle funzioni g ∈ Lq′(B) con∫Bg = 0.

Esso e ovviamente un sottospazio chiuso di Lq′(B) di codimensione 1 (uno spazio comple-

mentare essendo costituito dalle funzioni costanti su B). Se 0 6= g ∈ Lq′

0 (B), la funzione

a(x) =1

|B|1q ‖g‖q′

g(x)

e un (1, q′)-atomo. Quindi g ∈ H1(Rn) e ‖g‖H1,q′ ≤ |B|1q ‖g‖q′ . Di conseguenza, ` definisce

un funzionale lineare continuo `q′,B su Lq′

0 (B), con norma

(5.5) ‖`q′,B‖ ≤ |B|1q ‖`‖ .

22

Essendo q′ <∞, (stiamo supponendo q > 1), lo spazio duale di Lq′

0 (B) si identifica con ilquoziente Lq(B)/{costanti}, nel senso che

(i) esiste b(B) ∈ Lq(B) tale che `q′,B(g) =∫Bg(x)b(B)(x) dx per ogni g ∈ Lq

′

0 (B);

(ii) tale funzione b(B) e unica a meno di costanti additive;(iii) infc∈C ‖b(B) − c‖q = ‖`q′,B‖ .

Per la (5.5), la (iii) equivale a

infc∈C

( 1

|B|

∫B

∣∣b(B)(x)− c∣∣ dx) 1

q ≤ ‖`‖ .

Sia ora B′ un’altra palla, contenente B. Esiste allora b(B′) ∈ Lq(B′) soddisfacente (i), (ii),

(iii). Siccome Lq′

0 (B) ⊂ Lq′

0 (B′) e `q′,B e la restrizione di `q′,B′ , segue dall’unicita di b(B) che

{b(B) − c : c ∈ C} ={

(b(B′) − c)|B : c ∈ C}.

Consideriamo allora la successione di palle Bk di centro l’origine e raggio k. Fissata b(B1)

che rappresenti il funzionale `q′,B1 , possiamo induttivamente determinare rappresentanti b(Bk)

dei funzionali `q′,Bk in modo che b(Bk)|Bk−1

= b(Bk−1).

Si ottiene cosı un’unica funzione b ∈ Lqloc(Rn) tale che

(i) `(a) =∫

Rn a(x)b(x) dx per ogni (1, q′)-atomo a;(ii) per ogni palla B ⊂ Rn,

infc∈C

( 1

|B|

∫B

∣∣b(B)(x)− c∣∣ dx) 1

q ≤ ‖`‖ .

Per il Lemma 5.2, la (ii) equivale a dire che b ∈ BMOq(Rn) e ‖b‖BMOq ≤ 2‖`‖.Rimane da dimostrare che, per una generica f ∈ H1(Rn), f =

∑j λj aj con aj (1, q′)-atomi,

`(f) e dato dalla (5.1).Per la (4.10), f = limN→∞

∑j≤N λj aj in norma H1, per cui

`(f) = limN→∞

∑j≤N

λj

∫Rnaj(x)b(x) dx ,

dove la serie converge per la (5.4).Abbiamo dunque dimostrato che per ogni q ∈ (1,∞), la corrispondenza

(5.6) b 7−→ `(f) =∑j

λj

∫Rnaj(x)b(x) dx

e biunivoca tra BMOq(Rn) e H1(Rn)∗ e che ‖b‖BMOq∼= ‖`‖. Siccome la funzione b a secondo

membro della (5.6) e unica a meno di costanti additive, si conclude che, per 1 < q < ∞,BMOq(Rn) non dipende da q e che le norme ‖ ‖BMOq sono tra loro equivalenti.

Rimane da discutere il caso q = 1. Segue immediatamente dalla definizione di BMOq cheBMOq ⊂ BMO1 per ogni q > 1 e che ‖b‖BMO1 ≤ ‖b‖BMOq . Inoltre la prima parte delladimostrazione (che vale anche per q = 1) mostra che ogni b ∈ BMO1 induce un funzionale` ∈ H1(Rn)∗ attraverso la (5.6), e che ‖`‖ ≤ ‖b‖BMO1 per la (5.4). Si ha dunque l’inclusionecontinua BMO1(Rn) ⊂ BMOq(Rn) per 1 < q <∞. �