Spazi affini (Ciliberto)

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  • 8/16/2019 Spazi affini (Ciliberto)

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    Corso di Laurea in

    Matematica

    Appunti di

    Geometria

    Prof. Ciro Ciliberto

    (aa. 2005-06)

    11 novembre 2005

  • 8/16/2019 Spazi affini (Ciliberto)

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    Indice

    1 Spazi Affini 5

    1.1 La nozione di spazio affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.2 Proprietà elementari degli spazi affini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.3 Generalità sulle affinità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.4 Isomorfismi tra spazi affini. Riferimenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2 Sottospazi di uno spazio affine 17

    2.1 La nozione di sottospazio di uno spazio affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.2 Intersezioni di sottospazi affini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.3 Equazioni parametriche e cartesiane dei sottospazi. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2.4 Determinazione di un sistema di equazioni cartesiane di un sottospazio. . . . . . 30

    2.5 Condizioni di dipendenza e indipendenza di punti. Equazioni di sottospazi generati

    da punti indipendenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    2.6 Discussione di alcuni esempi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    2.7 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    3 Affinità e cambiamenti di riferimento. 49

    3.1 Composizione di affinità e il gruppo affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    3.2 Affinità tra spazi affini numerici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    3.3 Riferimenti e affinità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    3.4 Punti uniti e iperpiani uniti per una affinità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    4 Spazi Euclidei 61

    4.1 Definizione di spazio euclideo e generalità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    3

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    4   INDICE 

    4.2 Riferimenti cartesiani monometrici ortogonali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    4.3 Ortogonalit̀a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    4.4 Orientazioni, questioni angolari e distanze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    4.5 Isometrie e cambiamenti di riferimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    4.6 Similitudini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    4.7 Isometrie di un piano euclideo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    4.8 Isometrie in uno spazio euclideo di dimensione 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    4.9 Complessificazione di uno spazio affine reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    4.10 Complessificazione di uno spazio affine reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    4.11 Complessificazione del piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    4.12 Complessificazione dello spazio 3-dimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    4.13 Esercizi su forme bilineari e prodotti scalari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    4.14 Esercizi su spazi euclidei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    4.15 Esercizi nello spazio euclideo di dimensione 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    4.16 Diagonalizzabilità e forma canonica di Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    5 Spazi Proiettivi 111

    5.1 Considerazioni preliminari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

    5.2 Spazio proiettivo associato ad uno spazio vettoriale. . . . . . . . . . . . . . . . . 112

    5.3 Sottospazi di uno spazio proiettivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.4 Intersezione di sottospazi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

    5.5 Dipendenza e indipendenza di punti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

    5.6 Proiettività. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

    5.7 Riferimenti proiettivi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

    5.8 Geometria affine e geometria proiettiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

    5.9 Spazio proiettivo duale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

    5.10 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

    5.11 Esercizi su proiezioni e dualità per spazi vettoriali. . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

    6 Ipersuperficie affini 155

    6.1 Ipersuperficie affini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

    6.2 Esempi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

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    INDICE    5

    6.3 Equazione di una ipersuperficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

    6.4 Definizione generale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

    7 Ipersuperficie proiettive 171

    7.1 Ipersuperficie proiettive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

    7.2 Esempi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

    7.3 Definizione generale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

    7.4 Totalità delle ipersuperficie di grado  d  di  Pn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

    7.5 Ipersuperficie affini e proiettive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

    7.6 Ipersuperficie proiettive: intersezioni con i sottospazi. . . . . . . . . . . . . . . . . 182

    7.7 Ipersuperficie proiettive e affini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

    8 Quadriche 189

    8.1 Quadriche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

    8.2 Formule di cambiamento del riferimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

    8.3 Intersezione con una retta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

    8.4 Molteplicità di un punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

    8.5 Quadriche singolari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

    8.6 Studio delle quadriche affini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

    8.7 Sezioni con iperpiani tangenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

    8.8 Polarità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 8.9 Classificazione proiettiva delle quadriche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

    8.10 Classificazione affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

    8.11 Classificazione metrica delle quadriche reali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

    8.12 Esercizi ed esempi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

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    6   INDICE 

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    Capitolo 1

    Spazi Affini

    1.1 La nozione di spazio affine.

    Siano dati un insieme  A  non vuoto, i cui elementi si diranno punti , e uno spazio vettoriale  V   su

    un campo  K . Sia data inoltre una applicazione:

    f   :   A × A   →   V