Dispense Di Geometria Da Spazi Affini Amici Casciaro CdL MATEMATICA

  • View
    227

  • Download
    3

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Dispensa di Algebra e Geometria del Cordo di Laurea in Fisica

Text of Dispense Di Geometria Da Spazi Affini Amici Casciaro CdL MATEMATICA

  • Spazi Affini

    O. M. Amici and B. C. Casciaro

    Dipartimento di Matematica

    Universita` di Bari

    Campus Universitario

    Via Orabona 4, 70125 Bari, Italy

    amici@dm.uniba.it

    casciaro@dm.uniba.it

    May 17, 2011

    1

  • 1 Geometria Affine

    1.1 Generalita sugli Spazi Affini

    Con K denoteremo sempre un campo, con 0 denoteremo lelemento neutrodi K rispetto alla somma e con 1 quello rispetto al prodotto.

    Dora in poi, salvo avviso contrario, V denotera uno spazio vettoriale didimensione n 0 sul campo K.

    Le leggi di composizione interna ed esterna di V saranno denotate additi-vamente e moltiplicativamente, rispettivamente e lelemento neutro rispettoalla somma con 0V .

    Definizione 1.1. Sia 6= un insieme.Si dice che e uno spazio affine su V , se esiste una applicazione f :

    V che verifica i seguenti assiomi:

    f(P,R) = f(P,Q) + f(Q,R) , P,Q,R ; (1.1)

    e

    O , v V ,|P tale che f(O,P ) = v (1.2)

    Se K = R, lo spazio affine e detto reale.Se K = C, lo spazio affine e detto complesso.Lassioma (1.1) e detto identita di Chasles.

    Nel seguito, saremo interessati solo agli spazi affini reali e a quelli comp-lessi. Utilizzeremo un campo qualsiasi, solo per studiare le proprieta comuniai due, che sono parecchie.

    Definizione 1.2. Se e uno spazio affine su V , gli elementi di si di-cono punti. Inoltre, si dice che n, dimensione di V , e la dimensione di escriveremo n invece di scrivere semplicemente .

    Dora in poi, salvo avviso contrario, n denotera sempre uno spazio affinesullo spazio vettoriale V fissato allinizio del paragrafo e f : n n Vdenotera sempre lapplicazione che munisce n della struttura di spazio affine.

    In molti libri si pone f(P,Q) =PQ e la coppia ordinata (P,

    PQ) e detta

    vettore applicato in P , mentrePQ e detto vettore libero, per ogni P,Q n.

    Alcune conseguenze dellassioma (1.1) sono:

    2

  • Teorema 1.1. Si ha

    f(P, P ) = 0V , P n (1.3)e

    f(P,Q) = f(Q,P ) , P,Q n (1.4)Dimostrazione.Lassioma (1.1) puo essere considerato per P = Q = R n e in questo

    caso diventa f(P, P ) + f(P, P ) = f(P, P ). Poiche (V,+) e un gruppo, laprecedente implica che f(P, P ) = 0, per ogni P n.

    Per ogni P,Q n lassioma (1.1) implica f(P,Q)+f(Q,P ) = f(P, P ) =0V , avendo considerato P = R. Di nuovo lasserto segue dal fatto che (V,+)e un gruppo. Teorema 1.2. Si ha

    P,Q n : f(P,Q) = 0V P = Q (1.5)Dimostrazione.Infatti, siano P,Q n. Se P = Q per la (1.3) risulta f(P,Q) = 0V . Se

    f(P,Q) = 0V , essendo per la (1.3) anche f(P, P ) = 0V segue P = Q, percheper lassioma (1.2)

    per O = P e v = 0 il punto Q n tale che f(O,Q) = v e unico. Dallassioma (1.2) segue

    Teorema 1.3. Sia O n.i).Lapplicazione fO : n V , definita ponendo fO(P ) = f(O,P ), per ogni

    P n, e una bigezione.ii).Lapplicazione +O : n n n, definita ponendo

    P +O Q = f1O (fO(P ) + fO(Q)) , P,Q n ;

    e una legge di composizione interna che munisce n della struttura di gruppoabeliano, di cui O e lelemento neutro.

    Lapplicazione O : K n n definita da O P = f1O ( fO(P )) , K , P n ;

    3

  • e una legge di composizione esterna.iii).La struttura algebrica (n,+O, O) e uno spazio vettoriale su K.iv).Lapplicazione fO : n V e un isomorfismo lineare rispetto alle strut-

    ture di spazio vettoriale precedente.

    Dimostrazione.Fissato O n, lassioma (1.2) diventa:

    v V , |P n tale che fO(P ) = f(O,P ) = v

    La precedente e una caratterizzazione delle applicazioni bigettive.La parte rimanente del teorema e un facile esercizio di algebra lineare.Mettiamo solo in evidenza che O e lelememto neutro rispetto alla somma.Infatti, si ha

    P+OO = f1O (fO(P )+fO(O)) = f

    1O (fO(P )+0V ) = P = O+OP , P n .

    Il teorema precedente afferma che ogni spazio affine, una volta fissatoun suo punto qualsiasi, ha le stesse proprieta dello spazio vettoriale su cui ecostruito, essendo ad esso isomorfo. Questo giustifica la necessita dello studiodi tante proprieta degli spazi vettoriali.

    Definizione 1.3. Lo spazio vettoriale (n,+O, O) sul campo K sara dettospazio puntato ( in O).

    Se la famiglia (Pi)1ir, con r 1, di elementi di n e libera rispetto allastruttura di spazio vettoriale precedente, diremo che i punti della famiglia(Pi)0ir sono affinemente indipendenti, avendo posto P0 = O.

    Per n = 0, si ha V = {0V } e quindi 0 = {P} e un insieme che contieneun unico punto.

    Teorema 1.4. Sia 6= un insieme.Linsieme ha una struttura di spazio affine su V , se e solo se esiste una

    bigezione h : V .In ogni caso, la struttura di spazio affine su V di e determinata dalla

    applicazione f : V definita da

    P,Q : f(P,Q) = h(Q) h(P ) .

    4

  • Dimostrazione.Se ha una struttura di spazio affine su V , esiste unapplicazione f :

    V che verifica gli assiomi (1.1) e (1.2).Allora, fissato O , lapplicazione fO : V definita nel teorema 1.3

    e una bigezione e si ha:

    P,Q : f(P,Q) = f(P,O) + f(O,Q) = fO(Q) fO(P ) .

    Quindi la prima implicazione e vera, considerando h = fO.Viceversa, sia h : V una bigezione dellinsieme sullo spazio vetto-

    riale V .Denotiamo con f : V lapplicazione definita da

    P,Q : f(P,Q) = h(Q) h(P ) .

    Lapplicazione f verifica gli assiomi (1.1) e (1.2). Infatti, si ha

    P,Q, T : f(P,Q)+f(Q, T ) = h(Q)h(P )+h(T )h(Q) = h(T )h(P ) = f(P, T ) .

    Quindi, vale lassioma (1.1) Per lassioma (1.2), consideriamo O ev V .

    Esiste un unico P tale che f(O,P ) = v, se e solo se

    h(P ) h(O) = v h(P ) = v h(O) P = h1(v h(O)) ;

    essendo h bigettiva.Per la genericita di O e di v V , vale lassioma (1.2).

    Osservazione 1.1. Il teorema precedente implica che su V esiste una strut-tura di spazio affine, detta canonica, ottenuta mediante lapplicazione iden-tica di V in se.

    Lapplicazione f : V V V che determina tale struttura e data daf(u, v) = v u, per ogni u, v V .Definizione 1.4. Consideriamo O n. Ogni sottospazio vettoriale dellospazio puntato (n,+O, O) sara detto sottospazio affine di n passante perO, oppure sottovarieta lineare di n (passante per O).

    Inoltre, se WO e un sottospazio affine di n passante per O, la dimensionedel sottospazio vettoriale WO dello spazio vettoriale puntato n, denotata condimKWO, e detta dimensione del sottospazio affine WO.

    5

  • Nelle ipotesi della definizione precedente, si ha WO 6= , in quanto O WO, essendo lelemento neutro rispetto a +O.

    Sia WO un sottospazio affine di n passante per O. Allora, W = fO(WO)e un sottospazio vettoriale di V avente la stessa dimensione di WO, essendofO : n V un isomorfismo lineare. Il sottospazio vettoriale W = fO(WO)di V e detto giacitura di WO, oppure spazio direttore di WO.

    Per questo porremo anche WO = (O,W ).Ricordiamo che

    W = fO(WO) = {v V |P WO t.c. fO(P ) = f(O,P ) = v} .Per questo, vale la seguente caratterizzazione dei punti di WO

    P n : P WO f(O,P ) W . (1.6)Teorema 1.5. Per ogni O n e per ogni W sottospazio vettoriale di Vesiste un sottospazio affine WO di n, passante per O e avente W comegiacitura.

    Dimostrazione.Siano O un punto di n e W un sottospazio vettoriale di V . Poniamo

    WO = f1O (W ). WO e un sottospazio vettoriale di (n,+O, O) e quindi e un

    sottospazio affine di n passsante per O.Inoltre, risulta fO(WO) = fO(f

    1O (W )) = W , essendo fO una bigezione e

    quindi W e la giacitura di WO.Pertanto il sottospazio di n passante per O e avente W come giacitura

    esiste. Teorema 1.6. Siano WO = (O,W ) un sottospazio affine di n passanteper O e avente giacitura W . Allora, per ogni T WO il sottospazio affineWT = (T,W ) coincide con WO.

    Dimostrazione.Consideriamo T WO. Per il teorema precedente il sottospazio affine

    WT = (T,W ) di n, passante per T e avente giacitura W esiste.Siccome T WO, per (1.6) risulta f(O, T ) W .Allora, se consideriamo un qualsiasi punto P n, per lassioma (1.1)

    risulta f(T, P ) = f(T,O) + f(O,P ) = f(O,P ) f(O, T ) dove lultimauguaglianza segue per lidentita (1.4). Essendo f(O, T ) W , sara, per leproprieta dei sottogruppi, f(T, P ) W , se e solo se e f(O,P ) W .

    6

  • In conclusione si ha:

    P WO f(O,P ) W f(T, P ) W P WT .

    Lunico sottospazio di n di dimensione n e n stesso.Infatti, se WT = (T,W ) e un sottospazio di dimensione n, passante per

    T n e avente giacitura W , risulta che W e un sottospazio vettoriale di V ,avente la stessa sua dimensione.

    Da cio segue che W = V e quindi WT = n.Gli unici sottospazi di dimensione 0 di n sono gli insiemi che contengono

    un unico punto.I sottospazi di n di dimensione 1 sono detti rette. I punti che apparten-

    gono ad una stessa retta si dicono allineati o collineari.I sottospazi di n di dimensione 2, se esistono, sono detti piani. Le rette

    che appartengono ad uno stesso piano si dicono complanari.I sottospazi di n di dimensione n 1, con n 2, sono detti iperpiani.Osserviamo che una retta di un piano affine e un iperpiano, cos pure un

    piano in uno spazio affine di dimensione tre e un iperpiano.

    Teorema 1.7. Sia WO = (O,W ) un sottospazio affine di n passante perO e avente giacitura W . Consideriamo lapplicazione g : WO WO Wdefinita da g(P,Q) = f(P,Q), per ogni P,Q W0. Lapplicazione g munisceWO della struttura di spazio affine.

    Dimostrazione.La prima cosa da provare e che g e una applicazione. Per questo basta

    dimostrare che g(P,Q) W , per ogni P,Q WO.Infatti, essendo g definita tramite lapplicazione f , si ha

    g(P,Q) = f(P,Q) = f(P,O) + f(O,Q) = f(O,Q) f(O,P ) W ;

    per ogni P,Q WO, essendo f(O,P ) e f(O,Q) elementi di W .E banale verificare che g soddisfa i due assiomi degli spazi affini.

    Osservazione 1.2. Nelle ipotesi