SOT2-Parametarski testovi[1]

Predavač: docent Mirko SavićPredavač: docent Mirko Savić[email protected]

Str. 532;176;112

TestiranjeTestiranjestatističkih hipotezastatističkih hipoteza

Članak iz Blic-a (31.03.2004.):

PAMET ČAK I NA USTA ULAZI

Ujedinjene nacije – Nedostatak vitamina i korisnih sastojaka u ishrani utiče na smanjenje kapaciteta mozga (...)

Najveća razlika među stanovnicima zemalja koje imaju lošu i dobru ishranu je u intelektualnoj sposobnosti.

Podela testova:•Parametarski testovi.•Neparametarski testovi.

Definicija:

Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće naučnim ili iskustvenim).

Jednom formirana hipoteza se koristi za izvođenje zaključaka o posmatranom problemu uz pomoć odgovarajućeg statističkog metoda.

Postupak testiranja hipoteze se izvodi u nekoliko koraka:1. Definišu se nulta i alternativna hipoteza.2. Izbor modela teorijskog rasporeda.3. Određuje se nivo značajnosti testa α odnosno verovatnoća (1−α).4. Definisanje uzorka.5. Izračunavanje statistike testa na osnovu uzorka.6. Iz tablice teorijskog rasporeda očitava se tablična vrednost (kriterijum).7. Upoređivanje statistike testa sa tabličnom vrednošću.8. Odluka o prihvatanju ili odbacivanju formulisane hipoteze.

Definisanje nulte i alternativne hipoteze

Nulta hipoteza može biti prosta ili složena.

Str. 533;176;113

Nulta hipoteza H0 - tvrdnja o vrednosti nekog parametra osnovnog skupa koja se testira. Cilj je da se ta pretpostavka statistički potvrdi ili ospori.

Nasuprot nulte hipoteze H0, je alternativna hipoteza H1, koja sadrži sve ostale vrednosti parametra osnovnog skupa koje nisu obuhvaćene nultom hipotezom H0.

1. prosta H0 i složena H1 (dvosmerni test):

H0: μ = μ0, H1: μ ≠ μ 0.

2. složena H0 i složena H1 (jednosmerni test):

H0: μ ≤ μ 0, H1: μ > μ0.

3. složena H0 i složena H1 (jednosmerni test):

H0: μ ≥ μ 0, H1: μ < μ0.

Na primer:

Primeri za hipoteze:

1.Dvosmerni testH0: Prosečan iznos koji studenti imaju u džepu je 1000 dinara. H0: μ = μ0

H1: Prosečan iznos koji studenti imaju u džepu nije 1000 dinara. H1: μ ≠ μ0 2.Jednosmerni testH0: Prosečan iznos koji studenti imaju u džepu nije veći od 1200 dinara. H0: μ ≤ μ0

H1: Prosečan iznos koji studenti imaju u džepu je veći od 1200 dinara. H1: μ > μ0

3.Jednosmerni testH0: Prosečan iznos koji studenti imaju u džepu nije manji od 500 dinara. H0: μ ≥ μ0

H1: Prosečan iznos koji studenti imaju u džepu je manji od 500 dinara. H1:μ < μ0

Hipoteza mora da bude nedvosmislena! Raskrsnica na kojoj stoje dva čoveka…

1.Dvosmerni test: H0: μ = μ0; H1: μ ≠ μ0.

0

(u)

u

2

2

Oblasti prihvatanja i odbacivanja nulte hipoteze H0

Prihvatanje H0 Odbacivanje H0

uu 02

Odbacivanje H0

uu 02

u2

u2

uuu202

Testiranje primenom normalnog rasporeda:

Područja prihvatanja i odbacivanja hipoteza Str. 536;176;114

2.Jednosmerni test: H0: μ ≤ μ0; H1: μ > μ0.

0

(u)

u

u



uu 0 uu 0

3.Jednosmerni test: H0: μ ≥ μ0; H1:μ < μ0

0

(u)

u


Prihvatanje H0

uu 0

Odbacivanje H0

-uuu 0

Testiranje primenom Studentovog t-rasporeda na isti način!

0


2f

Odbacivanje H0Prihvatanje H0

2

;r

20

2; r

20

2; r

Testiranje primenom 2 rasporeda:

F

f(F)

0



F rr 2;1; FF rr 02;1; FF rr 02;1;

Testiranje primenom Snedekorovog F-rasporeda:

Rizici greške kod testiranja hipoteza

- Testiranjem H0 se prihvata Testiranjem H0 se odbacuje

H0 je istinita u osnovnom skupu Dobra odluka,

uz verovatnoću 1−α Greška prve vrste, uz verovatnoću α

H0 je neistinita u osnovnom skupu Greška druge vrste,

uz uslovnu verovatnoću β

Dobra odluka, uz verovatnoću 1−β

(verovatnoća 1−β se zove ''jačina testa'' ili ''moć testa'')

Str. 540;182;117

Testiranje hipoteza primenom ''p'' vrednosti

(ne radi se)

α≥p H0 se odbacuje!

α<p H0 se prihvata!

Str. 554;;117

“p” vrednost- realizovani nivo rizika greške α.

Uvod u parametarske testove

Str. 558;176;118

•Koriste se za proveru hipoteza o nepoznatoj vrednosti parametara osnovnog skupa.•Primena zavisi od ispunjenja unapred određenih, strogih pretpostavki o osnovnom skupu.

Parametarski testovi se vrše na osnovu nekog od teorijskih rasporeda:•normalnog rasporeda,•Studentovog t-rasporeda,•Snedekorovog F-rasporeda,•binomnog rasporeda.

Testiranje na osnovu normalnog rasporeda

n≥30 Uslov:

Str. 565;;118

Kada nije poznata varijansa osnovnog skupa: s

xu

x

00

,

gde je:

x– hipotetička vrednost aritmetičke sredine osnovnog skupa,

sx – ocena standardne devijacije osnovnog skupa.

Izračunavanje statistike testa:

μ0

– aritmetička sredina uzorka,

Testiranje aritmetičke sredine Str. 565;183;118

Dvosmerni test:

0

(u)

u

2

2



uu 02

Odbacivanje H0

uu 02

u2

u2

uuu202

1. prosta H0 i složena H1 (dvosmerni test): H0: μ = μ0; H1: μ ≠ μ0.

Jednosmerni test:

2. složena H0 i složena H1 (jednosmerni test): H0: μ ≤ μ0; H1: μ > μ0.

0

(u)

u

u



uu 0 uu 0

Jednosmerni test:

3. složena H0 i složena H1 (jednosmerni test): H0: μ ≥ μ0; H1: μ < μ0.

0

(u)

u


Prihvatanje H0

uu 0

Odbacivanje H0

-uuu 0

Primer 231 (strana 568) – Testiranje razlike a.s. osnovnog skupa i a.s. uzorka

SOT-026 K:4-7 Testiranje aritmetičke sredine, intervalna serija, veliki uzorak, bez ponavljanja

Testiranje proporcije

sPp

up

0

0

gde je:p' – proporcija u uzorku,P0 – hipotetička vrednost proporcije u osnovnom skupu,sp' – ocena srednje mere odstupanja proporcija u uzorcima od proporcije u osnovnom skupu.

Primer 232 (strana 571) – Testiranje razlike proporcija osnovnog skupa i uzorka (postoji nekakva greška)

n≥50 Uslov:

Str. 570;186;122

SOT-057 K:4-8Testiranje proporcije, bez ponavljanja

Testiranje razlikearitmetičkih sredina dva uzorka

n1≥30; n2≥30

s

xxu

xx 21

02121

0

Primer 233 (strana 575) – Testiranje razlike a.s. dva uzorka

Primer 234 (strana 579) – Testiranje razlike a.s. dva uzorka

Uslov:

Str. 575;189;124

SOT-027 K:4-9Testiranje razlike a.s. dva uzorka, veliki uzorci

Testiranje razlike proporcija dva uzorka

n1≥50; n2≥50

s

PPppu

pp 21

021210

Primer 235 (strana 582) – Testiranje razlike proporcija dva uzorka

Uslov:

Str. 582;193;126

SOT-065 K:4-10Testiranje razlike proporcija dva uzorka

Testiranje na osnovuStudentovog t-rasporeda

n<30

t(α;r)

Goset (Gosset) početkom XX veka

Uslov:

Str. 585;197;127

Testiranje aritmetičke sredine

s

xt

x

00

Str. 585;197;128

1. prosta H0 i složena H1 (dvosmerni test): H0: μ = μ0; H1: μ ≠ μ0.

0

f(t)

t

2

2


Prihvatanje H0 Odbacivanje H0Odbacivanje H0

t r;2 t r;2

ttt rr ;20;2

tt r;20 tt r;20

2. složena H0 i složena H1 (jednosmerni test): H0: μ ≤ μ0; H1: μ > μ0.

0

t

t(2a;r)



tt r;20

f(t)

t0>t(2a;r)

3. složena H0 i složena H1 (jednosmerni test): H0: μ ≥ μ0; H1: μ < μ0.

0

t


Prihvatanje H0Odbacivanje H0

f(t)

-t(2a;r) tt r;20 tt r;20

Primer 236 (strana 588)Testiranje razlike a.s. osnovnog skupa i a.s. uzorka – mali uzorak

SOT-049 K:4-11Testiranje aritmetičke sredine, negrupisani podaci, mali uzorak

Testiranje razlikearitmetičkih sredina dva uzorka

s

xxt

xx 21

02121

0

Primer 237 (strana 591)Testiranje razlike a.s. dva uzorka – mali uzorci

Str. 590;200;131

SOT-063 K:4-12Testiranje razlike a.s. dva uzorka, grupisani podaci, mali uzorci

Analiza varijanse(disperziona analiza; ANOVA)

Matematičko-statistički postupak pomoću kojeg se testira značajnost razlike između aritmetičkih sredina iz tri i više uzoraka.

Definicija:

Str. 594;202;132

Može se ispitivati uticaj:•jednog faktora varijabiliteta,•dva faktora varijabiliteta,•dva faktora varijabiliteta sa više opservacija (posmatranja).

Analiza varijansejednog faktora varijabiliteta

Formulisanje hipoteza:H0: μ1= μ2=...= μi=...= μm= μ,H1: Aritmetičke sredine bar dva podskupa se među sobom razlikuju.

Str. 595;203;133

Suma kvadrata

odstupanja

Broj stepeni slobode

Ocena varijanse

Odnos varijansi

Tablična vrednost

1 2 3 4 5

SA r1=m−1 VA F0

SR r2=n−m VR -

ST r=n− 1 VT -

F rr 21;;

ili F rr 12;;

Tabela za analizu varijanse:

F

f(F)

0



F rr 2;1; FF rr 02;1; FF rr 02;1;

Grafički prikaz (Snedekorov F-raspored):

Testiranje kod analize varijansejednog faktora varijabiliteta

Tri testa:•t-test,•testiranje najmanje značajne razlike (NZR),•Takijev test (Tukey).

Radi se samo ako je H0 odbačena!

Str. 601;205;135

stNZR xixir 12,

xx ii 1 <NZR; Razlika nije statistički značajna.

xx ii 1 ≥NZR; Razlika je statistički značajna.

Statistički značajna razlika =5% (*). Visoko statistički značajna razlika =1% (**).

Test najmanje značajne razlike:

Primer 239 (strana 610)ANOVA – jedan faktor varijabiliteta

SOT-013 K:4-13ANOVA jednog faktora varijabiliteta

Analiza varijansedva faktora varijabiliteta

Str. 617;208;139

Suma kvadrata odstupanja

Broj stepeni slobode

Ocena varijanse

Odnos varijansi

Tablična vrednost

1 2 3 4 5

SA r1=m−1 VA F0(A) F rr 21;;

SB r3=s−1 VB F0(B) F rr 21;;

SR r2=(m−1) (s−1) VR - -

ST r=n−1 VT - -

Tabela za analizu varijanse:

F

f(F)

0



F rr 3;1;

FF Arr 03;1; FF Arr 03;1;

Grafički prikaz za faktor A:

F

f(F)

0



F rr 3;2; FF Brr 03;2; FF Brr 03;2;

Grafički prikaz za faktor B:

Testiranje kod analize varijanse dva faktora varijabiliteta

Tri testa:•t-test,•testiranje najmanje značajne razlike (NZR),•Takijev test (Tukey).

Radi se samo ako je H0 odbačena za neki od faktora!

Str. 621;209;141

Na isti način kao i za jedan faktor varijabiliteta!

VS

VmSR

RT

RAA

1

VS

VsSR

RT

RBB

1

Primer 240 (strana 622)ANOVA dva faktora varijabiliteta

Samo u slučaju ako je nulta hipoteza H0 odbačena za oba faktora!

Izračunavanje relativnog uticaja faktora:

SOT-074 K:4-14ANOVA dva faktora varijabiliteta

Documents

SOT2-Parametarski testovi[1]