Solved Problems for Students

Karadeniz Teknik Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü Doç. Dr. İsmail H. ALTAŞ

ELKE 405 Otomatik Kontrol Sistemleri PROBLEMLER VE ÇÖZÜMLERİ

SSOORRUU 11.. Yanda verilen iki transfer fonksiyonu için; (a). Bir tane simülasyon diyagramı çiziniz

)7)(3)(2()5)(1(

)()(

+++++=

sssss

sUsY

(b). Çizdiğiniz simülasyon diyagramını kullanarak bu sistemin durum uzayı denklemlerini elde ediniz.

(c). Transfer fonksiyonu verilen bu sisteme ilişkin durum uzayı denklemlerini elde edebileceğiniz bir MATLABTM yazılımı gerçekleştiriniz.

(d). (b) şıkkında elde ettiğiniz durum uzayı denklemlerini kullanarak bu sistemin karakteristik denklemini ve köklerini bulunuz.

ÇÖZÜM 1:



SORU 2 Biri denetim, diğeri bozucu olmak üzere iki giriş, bir çıkışa sahip denetlenecek iki sistem Şekil (a) ve (b) de blok diyagramları ile verilmektedir.

2s +6s+22

s+31

++U(s)

W(s)

Y(s)

(a)

2s +3s+22

s-11

++U(s)

W(s)

Y(s)

(b)

Bozucu girişi ölçülebilen bu sistemler için ileri beslemeli birer denetleyici tasarlayınız. Öğle ki: Sabit referans ve bozucu giriş işaretleri uygulandığında sürekli çalışma hatası sıfır olsun.

ÇÖZÜM 2:



SSOORRUU 33.. Transfer fonksiyonu yanda verilen sistem için öğle bir denetleyici tasarlayınız ki;

(a). Sürekli hale geçiş süresi ≤ 2 saniye, )5)(2(

1)()()(

++==

sssUsYsG

(b). Yüzde aşma (yüzde overshoot) ≤ %15 olsun. (c). Tasarladığınız denetleyici sisteme eklendiğinde birim basamak giriş için sürekli

çalışma hatasının ne olduğunu bulup, denetimsiz durumda meydana gelen sürekli çalışma hatası ile kıyaslayınız.

ÇÖZÜM 3:



SSOORRUU 44 .. Bir sistemin açık çevrim transfer fonksiyonu

51)(+

=S

SG olarak verilmektedir. Bu sistemin,

(a). % aşamasını bulunuz. (b). Sürekli hale geçiş süresini bulunuz. (c). Bu sistem için bir PI denetleyici tasarlayınız. Öyle ki, birim geri beslemeli

kapalı çevrim sistemin kutupları şekilde gösterilen S-düzleminin taralı kısmında yer alsın.

Re s

Im s

-2

45o

ÇÖZÜM 4:



SSOORRUU 55 .. Fiziksel bir sistemin transfer fonksiyonu 2

1s

sG =)( olarak verilmektedir.

(a). Bu sistemin durum denklemlerini elde ediniz. (b). Bu sistem için durum geri beslemeli bir denetleyici (u=-kx) tasarlayınız. Öğle ki denetleyici ile birlikte

komple sistemin kökleri –2 nin solunda yer alsın.

ÇÖZÜM 5:



SSOORRUU 66.. Yanda verilen iki transfer fonksiyonu için; (a). En az birer tane simülasyon diyagramı çiziniz (b). Bu simülasyon diyagramlarından birer takım durum denklemi

elde ediniz. (c). Elde ettiğiniz durum denklemlerinden herhangi birini sayısal

olarak nasıl çözebileceğinizi bir akış diyagramı ile gösteriniz. NOT: Runge-Kutta algoritmasının runge isimli bir alt

programdan çağrıldığını varsayınız.

6168682

23

2

+++++=sss

sssRsY)()(

330

210

520

++

+−+

+−=

ssssRsY)()(

ÇÖZÜM 6. (a). (i).

s +8s +16s+63 22s +8s+62R(s) Y(s)

Şekil. 1a

s +8s +16s+63 21

2s +8s+62R(s) Z(s) Y(s)

Şekil. 1b

Başlangıç koşulları sıfır alınırsa; zzszszsR 6168 23 +++=

zzzztr 6168)( +++= &&&&&&

)(6168 trzzzz +−−−= &&&&&&

zzszsY 682 2 ++=

zzzty 682)( ++= &&&

2

6+

+ +R(s) Y(s)

Z 1Z 2Z 3

1s

1s

1s

8

16

8

+ x1

x2x3

x1.x2

.x3.

6 Şekil. 1c

(ii).

+

+

+

s+5-20

s+2-10

s+330

R(s)

Y(s)

Şekil. 1d

s+51

s+21

s+31

-20

-10

30

+

+

+

R(s)

Y(s)

Y (s)1

Y (s)2

Y (s)3

Z (s)1

Z (s)2

Z (s)3

Şekil. 1e

11

11

11

11

20)(5

5)(5

zytrzz

zztrzszR

−=+−=

+=+=

&

&

22

22

22

22

20)(5

5)(5

zytrzz

zztrzszR

−=+−=

+=+=

&

&

22

22

22

22

20)(5

5)(5

zytrzz

zztrzszR

−=+−=

+=+=

&

&

321)( yyyty ++=

-20

-10

30

+

+

+

R(s)

Y(s)

Y (s)1

Y (s)2

Y (s)3

Z (s)1

Z (s)2

Z (s)3

1s

1s

1s

5

2

3

+

+

+

x1

x2

x3

x1.

x2.

x3.

Şekil. 1f



ÇÖZÜM 6.(b). (i). Şekil 1c den:

)(100

8166100010

3

2

1

3

2

1

trxxx

xxx

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

&

&

&

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3

2

1

286xxx

y

(ii). Şekil 1f den:

)(111

300020005

3

2

1

3

2

1

trxxx

xxx

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

&

&

&

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−=

3

2

1

301020xxx

y

(c). Durum denklemlerinin sayısal çözüm algoritması

Sistem çıkışını hesaplay=Cx

Program dursun mu?t > tson

runge alt programını kullan ve

durum denklemlerini k iterasyon adımı için çöz.

x=runge(A,B,R,x0,dt)

Hesaplanan değerleri yeni başlangıç değerleri

olarak alıp yeni bir iterasyona başla

x0=xt=t+dtk=k+1

Veriler ve

başlangıç değerleri : A, B, C, R, x0, dt, k, tson

H

E



SSOORRUU 77.. Transfer fonksiyonu yanda verilen sistem için

sssC

10

10)(ααββ

+++= )2s)(1s(

1)s(U)s(Y)s(G

++==

yapısına sahip bir denetleyici tasarlayınız öğle ki; a. Sürekli hale geçiş süresi ≤ 1.333 saniye, b. Yüzde aşma (yüzde overshoot) ≤ %16.3 olsun. c. Tasarladığınız denetleyici sisteme eklendiğinde birim basamak giriş için sürekli çalışma hatasının ne

olduğunu bulup, denetimsiz durumda meydana gelen sürekli çalışma hatası ile kıyaslayınız. ÇÖZÜM 7. +

-R(s) Y(s)1

(s+1)(s+2)C(s)E(s) U(s)

(a) ve (b). sn. 333.144 ≤==n

st ζωτ αζω =>⇒⇒ 3 n

%aşma= 3.16%21 ≤= −

−ζ

πζ

eM

( )( ) 0.5 ln

ln22

22 ≥⇒⇒

+≥ ζ

πζ

MM

o60 5.0cos ≤⇒⇒≥= βζβ

Hatırlatma: b=ea ise a=ln(b)

DENETLEYİCİ :

sssC

10

10)(ααββ

+++= alınırsa;

( ) ( ) ( ) 02233)( 001102

103

1 =+++++++= βαβαααααφ ssss Yeni kutupların taralı bölgede yer alabilmesi için, 3321 −=== sss alalım. Böylece istenilen karakteristik denklem:

( ) 0272793)( 233 =+++=+= sssssiφ

olur )()( ss iφφ = eşitliğinden; ⇒⇒⇒

61

0

1

==

αα

157

0

1

==

ββ

Böylece denetleyici transfer fonksiyonu: sssC

++=

6715)(

- = -3τβ=60o τ

jω



(c).

+

-R(s) Y(s)1

(s+1)(s+2)

C(s)E(s) U(s)15+7s

6+s

)()()( sYsRsE −= ( )( )( )

( )( )( ) ( ) )(157216

216)( sRssss

ssssE+++++

+++=

ssR 1)( = için,

( )( )( )( )( )( ) ( ) s

1 157216

216)(+++++

+++=ssss

ssssE

94

2712)(lim

0===

→ssEe

sSS 94=SSe

Denetimsiz iken;

s1

)2)(1(11

1)()(1

1)(

+++

=+

=

ss

sRsG

sE

( )( )( )( ) s

1 121

21)(+++

++=ss

sssE

64

1)2)(1()2)(1()(lim

01 =+++

++==→ ss

ssssEesSS

64

94

1 =<= SSSS ee



SSOORRUU 88.. Şekilde bir hız debetim sisteminin blok şeması verilmektedir. Bu blok diyagramından da görüleceği gibi Ω(s) çıkış hızı, denetimsiz D(s) momeninden etkilenmektedir. Bu sistemde D(s)=0 iken referans hız çıkış hızına eşittir [ yani R(s)= Ω(s) ve dolayısıyla sürekli çalışma hatası ess=0 dır].

(a). Referans hız R(s)=0 iken, denetimsiz moment girişine birim basamak işareti uygulanırsa bu sistemin davranışı nasıl olur? Sürekli çalışma hatasını bularak yorumlayınız.

(b). (a) şıkkındaki duruma devam ederek, bu sisteme bir denetleyici tasarlayınız. Öyle ki ω(∞)=ess=0 olsun.

( c). (b) şıkkında belirlediğiniz denetleyici yerine bir PI denetleyici kullanılsaydı ω(∞)=ess=0 sağlanabilir miydi?

E(S)R(S) (S)+

-K Js

1++ D(s)

Ω(s)

ÇÖZÜM 8:



ÇÖZÜM 8.b:



ÇÖZÜM 8.c:





SSOORRUU 99.. Bir fotovoltaik panelden maksimum güç alabilmek için, kapalı çevrim bir sistem kullanılarak güneş izlenmektedir. Bu izleme sistemi şekildeki gibi temsil edilebilmektedir.

100τs+1

E(S)R(S) +

-

Y(s)G(s)=

Burada nominal olarak τ=3 saniyedir.

(a). Bu sistemin duyarlılığını τ değerinde meydana gelecek küçük değişiklikler için belirleyiniz.

(b). Kapalı çevrim sistem tepkesinin zaman sabitini bulunuz.

ÇÖZÜM 9:



SSOORRUU 1100.. Şekilde gösterilen birim geri beslemeli sistemin (a). Sürekli çalışma hatasını

i. Birim basamak giriş için bulunuz. ii. Birim rampa giriş için bulunuz.

(b). Sisteme G(S) den hemen önce bir integral (I denetleyici) ekleyerek (a) şıkkında istenenleri tekrarlayınız.

E(S)R(S) +

-

Y(s)10s +14s+502G(s)=



SSOORRUU 1111.. Transfer fonksiyonu )5.0(

1)()()(

+==

sssUsYsG olan bir sistem için, kutuplar –1, -2 ve –3

de yer alacak şekilde (a) Bir PI denetleyici tasarlayınız. (b) Bir lead/lag (Faz ilerletici/ faz geriletici) denetleyici tasarlayınız.

PI denetleyici

sKsKKsC I

DP ++=)(

Birim geribeslemeli kapalı çevrim sistemin karakteristik denklemi:

0)5.0(s

05.0s)(23

232

=++++=

=++++=

IPD

IPD

KsKKssKsKKssφ

İstenen karakteristik denklem:

6116s

)3)(2)(1()(23 +++=

+++=

ssssssDφ

)()( ss Dφφ = eşitliğinden;

611

5.5 65.0

==

=⇒⇒=+

I

P

DD

KK

KK

PID denetleyici



Çözüm 11.b. lead/lag (Faz ilerletici/ faz geriletici) denetleyici

)1()1()(

2

1

ττ

ssKsC

++= olduğu hatırlanırsa;

Birim geribeslemeli kapalı çevrim sistemin karakteristik denklemi:

0)1)(5.0()1()( 21 =++++= ττφ ssssKs 0)5.0()5.01()( 1

22

32 =+++++= KsKsss τττφ

05.05.01)(22

12

2

23 =+++++=ττ

ττ

τφ KsKsss

İstenen karakteristik denklem:

6116s

)3)(2)(1()(23 +++=

+++=

ssssssDφ

)()( ss Dφφ = eşitliğinden;

375.1625.8)5.011(1 115.0

091.15.5

66K 6

182.05.5

1 65.01

212

1

22

22

2

==−=⇒⇒=+

===⇒⇒=

==⇒⇒=+

τττ

τ

ττ

ττ

τ

KK

K

Documents

Solved Problems for Students