Upload
others
View
12
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
KUMPULAN SOAL & JAWABAN
ALJABAR LINIER II
D
I
S
U
S
U
N
OLEH :
DARNAH SUANDI D
01 3104 006
MATEMATIKA (A)
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
2005
SOLUSI LATIHAN 4.3 HALAMAN 119
1. a) Semua vektor yang berbentuk (a, 0, 0)
Misal V1 = (a1, 0, 0) V2 = (a2, 0, 0)
W = V1 + V2 = (a1 + a2, 0, 0) terletak dalam W
- kV = terletak pada W
Jadi W sub ruang dalam R3
b) Vektor yang berbentuk (a, 1, 1)
Misal dan
bukan vektor dalamW
Jadi vektor yang berbentuk (a, 0, 0) bukan sub ruang R3
c) (a,b,c), dimana b = a + c
Jadi vektornya baru bisa ditulis (a, a+c, c)
ambil U = (a1, a1 + c1, c1) dan V = (a2, a2+c2, c2)
U + V = (a1 + a2 , a1 + c1 + a2+c2, c1 + c2 ) memenuhi
Ambil k skalar k U = k (a1, a1 + c1, c1)
= ( k a1, k(a1 + c1), k c1) memenuhi
Jadi sub ruang R3
d) Semua vektor yang berbentuk (a,b,c) ; b = a + c + 1
Jadi bisa ditulis (a, (a + c + 1), c)
ambil (a, ( a1+c1+1), c1)
Ternyata b = a1 + a2 +c1 + c2 + 2 tidak memenuhi, jadi bukan sub ruang.
Adalah vektor (a, b, c)
2. a) Semua matriks yang berbentuk ; a, b, c, d
Ambil untuk k bilangan bulat , ,
,
bukan sub ruang
b) Semua matriks yang berbentuk ; a + d = 0
Ambil
=
= 0 + 0 = 0 memenuhi
=
= k (0) = 0 memenuhi
Jadi merupakan sub ruang dari M22
c) Semua matriks berbentuk 2 x 2
, supaya
Ambil dimana
dimana
=
memenuhi
Jadi merupakan sub ruang M22
d) Semua matriks 2 x 2
Misal
dcba
, supaya
Ambil dan
=
=
=
= 0 + 0 = 0
= (tidak memenuhi)
Jadi bukan sub ruang dari M22
3. a) Semua polinomial
Ambil p dan q merupakan polinom-polinom yang terletak pada W
dimana
memenuhi
memenuhi
Jadi merupakan sub ruang dari P3
b)
Ambil dan xq pada W
33
2210 xbxbxbbxp
Kita selidiki
memenuhi
Ambil skalar k
Akan diselidiki apakah
memenuhi
Jadi merupakan sub ruang P3 (W)
c)
Ambil k = bilangan pecahan
sehingga diperoleh tidak semuanya
d) Polinomial
Ambil ,
,
; Rqb 00
,
Jadi merupakan sub ruang
4. a) Semua sehingga
,
,
tidak semuanya , ambil k = negatif
Maka 0 tidak memenuhi
b) Semua
Merupakan sub ruang
c) Semua
tidak memenuhi
Jadi bukan sub ruang
d) Semua fungsi konstan: , c = konstant
konstan
konstan
Jadi merupakan sub ruang
e) Semua yang berbentuk , adalah bilangan riil
= memenuhi
= , adalah bilangan Riil
Jadi merupakan sub ruang
5. Tentukan kombinasi linier dan
a)
Ambil
........(1)
........ (2)
............. (3)
subtitusi pada 2)
VU 3,3,3
b)
subtitusi pada
c)
Karena memberi nilai yang berbeda maka tidak dapat ditulis
sebagai kombinasi linier dengan dan
d)
Karena baris ketiga nol, maka tidak ada solusi jadi bukan kombinasi linier.
6. Ungkaplah bilangan berikut sebagai kombinasi
3,1,1 V , 5,2,3W
Ambil P adalah konstanta
a) dalam bentuk matriks
, ,
b) P2 = (2, 0, 6)
, ,
c) P3 = (0, 0, 0)
, ,
d) P4 = (2, 2, 3)
, ,
7. Nyatakan sebagai kombinasi linier dari
a)
Diperoleh tiga persamaan
Dalam matriks diperluas diperoleh;
dari soal (6) diperoleh matriks tereduksi
, ,
Jadi
b)
Diperoleh tiga persamaan
dalam bentuk matriks
dari soal 6a diperoleh matriks eselon tereduksi
, ,
c) dari soal 6c diperoleh
Jadi
d) diperoleh 3 persamaan:
Dari soal 6d diperoleh , ,
Jadi
8. A = B = C =
Nyatakan vektor tersebut di atas sebagai kombinasi linier dari
a)
dalam matriks
, ,
Jadi
b)
Dalam matriks diperluas
Karena , bertentangan pada garis 3 & 4 maka tidak ada nilai
yang memenuhi Jadi Q bukan kombinasi linier dari A, B, C
c)
d) dalam matriks ditulis
Jadi , ,
9 a)
Ambil
Jadi merentang R3
Apakah konsisten ? , maka harus diselidiki bahwa
mempunyai invers, kita lihat Det (B) = 1(0)+2(0)+3(-2) .
Jadi ada invers B konsisten akibat dari itu
merentang R3.
b)
Ambil
Pada baris 3 diperoleh;
(mustahil)
tidak merentang R3
c)
3 persamaan dengan 4 anu
Dalam bentuk matriks
Karena baris ke 3 diperoleh mustahil
Jadi tidak merentang R3
10. dan
a)
dan merentang
b)
Tidak ada k1 dan k2 yang memenuhi, jadi
dan merentang
c)
untuk k1 = 1 , k2 = 1
Jadi dan merentang
d)
Tidak ada k1 dan k2 yang memenuhi
Jadi dan tidak merentang.
11. Apakah polinom-polinom berikut P2
Ambil
matriks utamanya adalah
Karena baris terakhir pada matriks utama yang telah direduksi semuanya nol
Jadi tidak merentang P2
12.
Yang mana vektor berikut berada lin
a)
Dalam matriks
, ,
Jadi U 1 berada dalam lin
b)
berada dalam lin
c)
Dari bagian a dapat diperoleh matriks diperbesar
Dari barisan dan dari baris (4) bertentangan. Jadi tidak ada
dengan demikian tidak berada dalam lin
.
d)
Dari bagian a dapat diperoleh matriks diperbesar
, ,
Jadi dengan demikian maka berada dalam lin
13. Cari sebuah persamaan untuk bidang yang direntang oleh vektor-vektor :
dan
Misalkan persmaan tersebut adalah
Direntang oleh
Subtitusi pada persamaan
kalikan dimana
merupakan persamaan bidang yang direntang oleh
dan .
14. Cari persamaan parametrik untuk garis yang direntang oleh vektor =
Jawab:
, , dimana
15. Perhatikan vektor-vektor pemecahan dari sebuah sistem konsisten tak
homogen terdiri m persamaan linier n bilangan tak diketahui tidak membentuk
sub grup dari Rn
Atau dalam notasi matriks, . Kita misalkan solusi dari persamaan ini
adalah
pada Rn
Solusi vektor pada S memenuhi , ,
Misalkan W himpunan vektor pemecahan dan , adalah vektor-vektor
padaW
Kalau W subruang dari Rn maka harus diperlihatkan bahwa + , k
merupakan vektor-vektor pada W. Karena dan merupakan vektor
pemecahan maka kita peroleh
dan
Dimana tidak pada W.
Jadi W bukan sub ruang dari Rn
16. Dari contoh 8
V adalah himpunan semua fungsi bernilai riil yang didefenisikan pada seluruh
garis riil, dan adalah dua fungsi pada V ke sebarang bilangan
riil dan didefinisikan
Seperti pada gambar
Perhatikan bahwa himpunan fungsi-fungsi berikut adalah sub ruang dari
vektor di atas
a) Semua fungsi kontinu di semua titik
Ambil fungsi kontinu pada V
fungsi kontinu pada V
juga kontinu di v
; kontinu di V juga kontinu
Jadi fungsi kontinu merupakan sub ruang pada V
b) Semua fungsi-fungsi terdefenisikan disemua titik
Ambil ada
ada
ada
ada
Jadi fungsi terdeferensialkan merupakan sub ruang V
c) Fungsi terdeferensial yang memenuhi
Ambil dimana
dimana
dan
memenuhi
memenuhi
Jadi merupakan sub ruang V
SOLUSI LATIHAN 4.4 HALAMAN 156
1. a) dan pada R2
Tak bebas linear karena (U hasil kali skalar V1)
b) , , pada R2
Karena k1, k2 dan k3 tidak semuanya nol maka tak bebas linier.
c) dan
Tak bebas linear karena diperoleh dari perkalian skalar yaitu
d) pada M22
Tak bebas linear karena B merupakan perkalian skalar dari A yaitu B = -A
2. Tunjukkan yang tak bebas linear dari himpunan vektor berikut:
a) , ,
maka bebas linear.
b) , ,
Jadi bebas linear
c) ,
bebas linear
d) , , , karena pada R3, sedang banyak vektor ada
4 sehingga vektor tersebut tidak bebas linear (teorema 8)
3. c) , ,
Jadi bebas linear
d) , , ,
4. a) , ,
04240201220232
dari soal (2) a
Jadi bebas linear.
b) , ,
dari 2.b diperoleh
Jadi bebas linear.
c) ,
Jadi bebas linear.
d) , , ,
dari 2d akan diperoleh (teorema 8) vektor
tersebut tak bebas linear.
5. a)
Jadi tak bebas linear karena salah satu vektor dapat diperoleh dari 2 vektor
b)
bebas linear
c)
bebas linear
d)
dipenuhi jadi tidak bebas linear
e) , xx 22 , 3
31
tidak bebas linear.
f) tak bebas linear karena salah satu vektor ada nol.
6. a)
Terletak dalam satu bidang jika vector tersebut dapat di nyatakan sebagai
kombinasi linear
Karena 3 vektor tersebut bebas linear vector itu tidak terletak dalam satu
bidang
b)
,
Jadi, sebidang.
7. a)
dan segaris tapi tidak jadi tidak segaris.
b)
tidak segaris karena ketiganya tidak ada yang berkelipatan.
c)
Karena ketiganya berkelipatan (dapat diperoleh 2 vektor dengan mengalikan
skalar pada salah satu vector yang lain). Jadi segaris.
8.
21,
21,V1
21,,
21V2
Tak bebas jika
Tak bebas jika
9. a).
Tak bebas linear pada R4 jika salah satu vector dapat diperoleh dari dua
vector yang lain
.
Tidak bebas linear
b)
10. himpunan vector bebas linear
Jadi
hanya dipenuhi untuk
Jadi
bebas linear
bebas linear
bebas linear
bebas linear
bebas linear
11. himpunan vector bebas linear, perlihatkan bahwa masing-
masing sub himpunan S dengan satu atau lebih vector yang bebas linear
Jawab :
Dik : S himpunan vector bebas linear maka,
dipenuhi untuk
Ditunjukkan bahwa atau juga dipenuhi
untuk dimana subset dari S
Bukti:
Andaikan himpunan bagian itu bergantung linear (tidak bebas linear). Menurut
teorema maka keseluruhan vector dari himpunan S tak bebas linear. Suatu
kontradiksi, pengandaian di atas benar, jadi haruslah himpunan bagian dari S
bebas linear.
12. himpunan vector tak bebas linear pada ruang vector V1. Buktikan
bahwa juga tak bebas linear dimana V4 sebarang. Vektor lain
di dalam V.
Bukti:
tak bebas linear
dimana tidak semuanya nol
adalah vektor lain di dalam V
Jadi karena tidak semua nol maka bisa
diambil
Misal:
Terpenuhi dengan:
Terbukti bahwa skalar-skalar tersebut tidak semuanya nol.
Jadi tak bebas linear.
13. himpunan vektor tak bebas linear pada ruang vektor V,
buktikan juga tak bebas linear, dimana
juga dalam V
Bukti;
tak bebas linear, maka terdapat skalar yang tidak
semuanya nol, sedemikian sehingga:
Kemudian kita ambil skalar : maka kita dapatkan
persamaan:
Dimana terdapat;
( antara )
Jadi n vektor tersebut tak bebas linear.
15. bebas linear dan V3 tidak terletak pada lin maka
bebas linear. Buktikan!
Dik: bebas linear, maka terdapat skalar yang semuanya nol,
sehingga;
adalah vektor yang tidak terletak pada lin dengan demikian
tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari V1 dan V2.
Jadi
jika maka = 0
Terbukti bahwa hanya dipenuhi dalam
untuk . Jadi bebas linear.
16. u, v, w adalah vektor sebarang, maka ada skalar sehingga,
tak bebas linear.
Demikian juga dengan dan
21. Himpunan S dua vektor atau lebih adalah bebas linear tidak ada vektor s yang
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dalam vektor S lainnya.
Bukti: misal S = V1, V2, . . . , Vr adalah sebuah himpunan dengan dua vektor
atau lebih.
Andaikan S tak bebas linear berdasarkan teorema 6a paling tidak satu
vektor S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear kontradiksi dengan
pernyataan semula.
Andaikan S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear S tak bebas linear
(kontradiksi dengan S bebas linear).
SOLUSI LATIHAN 4.5 HALAMAN 163
1. a) , , untuk R2
Karena pada R2 besarnya hanya bisa dua vektor. Jadi bukan basis
untuk R2
b) R3
Pada R3 harus tiga vektor didalamnya.
bukan basis pada R3.
c) , untuk P2
Sebuah basis pada P2 mempunyai 3 vektor,
bukan basis pada P2.
d) untuk M22.
Sebuah basis pada M22 mempunyai 4 vektor .
bukan basis pada M22
2. a) , pada R2
Ambil
tunggal kombinasi linear (membangun R2)
Ambil
jadi bebas linear
Kesimpulannya basis pada R2.
b)
Ambil pada R2
Matriks diperbesar
Karena dan tunggal
Jadi membangun R2
sebarang pada R2
Ambil
; bebas linear
Jadi basis pada R2.
c) V1 = V2 = pada R2
Ambil pada R2
mustahil
Jadi tidak membangun R2
Dengan demikian bukan basis pada R2.
d) V1 = V2 =
Ambil sebarang pada R2
Karena
Merupakan kombinasi linear atau tak bebas linear.
Jadi bukan basis pada R2.
3. Basis pada R3
a) V1 = , V2 = V3 =
Ambil sebarang pada R3
Akan ditunjukkan bahwa sebagai kombinasi linear dan
, (bebas linear)
Dalam matriks diperbesar
jadi
membangun R3
Ambil
hanya dipenuhi : jadi
bebas linear. Dengan demikian merupakan basis
pada R3.
b) , ,
Ambil sebarang pada
Dalam matriks diperoleh;
Matriks koefisien A =
Det
Det A A mempunyai invers. Dengan demikian
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear, dan
bebas linear dengan demikian merupakan basis pada R3
c) , ,
Matriks koefisien
det A = 2(8) + (4)(-4)
=16-16
= 0
Karena Det A = 0 maka A tidak mempunyai invers dengan demikian
tidak bebas linear.
Bukan basis pada R2.
d) , ,
Ambil sebarang pada R3
Dalam matriks diperoleh
selidiki matriks koefisiennya
A =
Karena det A = 0 maka A tidak mempunyai invers oleh karena itu
tidak bebas linear.
Jadi bukan basis pada R3
4. Basis pada P2
a) , ,
, ,
Ambil sebarang pada P2
Misal 2cxbxa
Dalam matriks yang diperbesar
selidiki matriks koefisiennya
A = Det A
Karena det A = 0 maka tidak mempunyai invers, Jadi tidak bebas
linear dengan demikian bukan basis pada P2.
b) , ,
, ,
Dari soal 3d
Menunjukkan bahwa bukan basis pada P2.
c) , ,
; ,
Dari 3a maka basis pada P2
d) , ,
; ,
Dari 3b basis pada P2
5.
Ambil P pada M22 sebarang sehingga:
a, b, c, d skalar
Untuk melihat apakah bebas linear, anggaplah;
Yakni:
SPL
Dalam matriks diperbesar
bebas linear
A, b, c, d = tunggal maka mb V dengan demikian, merupakan
basis pada M22.
6. V1 = cos2x ,
a) jadi tidak bebas linear
Dengan demikian bukan basis untuk V
b) Ambil 2 vektor sebarang pada
P vektor sebarang pada V
V1, V2 membangun V
Ambil P = 0
Hanya memenuhi jadi V1, V2 bebas linear. Dengan demikian V1, V2
basis pada V.
7. Mencari basis dan Dimensi
Misal
, t dan u parameter
Basisnya dimensinya = 1
8.
Misal
Basisnya ,
Dimensinya = 2
9.
ambil
p,q,r skalar
Basis
Dimensinya = 3
10.
parameter
Dimensinya : ;
Dimensinya = 2
11.
Jadi tidak ada basisnya dan dimensinya.
12.
ambil z = t t = parameter
Basisnya dimensinya = 1
13. Tentukan baris sub ruang R3
a) Bidang
misal , t , p parameter
Basisnya = , dimensinya = 2
b) x – y = 0 misal y = p z = q
x = y
x = p
y = p
z = q
Basisnya: ,
Dimensinya = 2
c) Garis , ,
41
2
4
2t
ttt
zyx
Basisnya
Dimensinya = 2
d) Vektor berbentuk dimana b = a + c
Besarnya = , dimensinya = 2
14. Tentukan dimensi sub ruang berikut; R4
a) vektor berbentuk
Dimensinya = 3
b) dimana d = a + b dan c = a – b
Dimensinya = 2
c) ; a = b = c = d
Dimensinya = 1
15. P3 yang terdiri polinomial
Dimensinya = 3
16. Dik adalah basis untuk ruang vektor V, perlihatkan adalah
juga sebuah basis, dimana , , dan
Karena basis juga salah satu basis.
17. Perlihatkan bahwa ruang vektor semua fungsi bernilai riil yang didefenisikan
pada garis riil adalah ruang vektor berdimensi tak berhingga.
Bukti:
Andaikan ruang vektor berdimensi berhingga yaitu n. .
bebas linear karena merupakan basis pada V
Ambil n+1 adalah vektor bebas linier menurut
teorema 9. V1 tidak bebas linear.
kontradiksi dengan n+1 vektor bebas linear.
Kesimpulan : dimensinya tak berhingga.
18. Buktikan sub ruang dari ruang vektor berdimensi berhingga adalah ruang vektor
berdimensi berhingga.
Bukti :
Defenisi: dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga
didefenisikan sebagai banyaknya vektor pada basis untuk V.
Misal ruang vektor berdimensi berhingga, dimensinya = n
Ambil s1 dengan demikian s1 juga berhingga, oleh karena itu ruang vektor s1
juga berdimensi berhingga.
Ambil: , karena S . S berhingga berhingga.
S berdimensi berhingga berdimensi berhingga
19. V adalah ruang dari ruang vektor W berdimensi berhingga . Buktikan dimensi
(V) dim (W)
Bukti:
Misal: dimensinya = n (berhingga)
Ambil dim (W) = n
karena V W
. Dimensinya juga berhingga yaitu dim (V) =P
Dari dim (V) dim (W). (terbukti)
20. Buktikan bahwa sub ruang R3 hanyalah garis-garis melalui titik asal, bidang-
bidang melalui titik asal, sub ruang nol, dan R3 itu sendiri.
Bukti:
sub ruang R3 yaitu:
berdimensi satu hanya garis melalui titik asal
berdimensi dua bidang melalui titik asal
berdimensi nol sub ruang nol
berdimensi tiga = R3 itu sendiri
17. Misal ruang vektor tersebut berdimensi berhingga pada V.
dengan dimensi V = 2
S bebas linear. Karena S adalah basis ambil n+1 vektor bebas linear
adalah bebas linear dari himpunan V, tapi dimensi
, kontradiksi dengan