EXAMEN ORDINARIO

Academia

SIGMATH

1 1

PREGUNTA N.º 01Dadas las premisas:

Si todos los varones son fieles y algunos honestos son varones, entonces se concluye que:

A) Todos los honestos son fieles.B) Todos los fieles son honestos.C) Algunos varones son fieles.D) Algunos honestos son fieles.E) Todos los honestos son varones.

Resolución

Tema: Lógica de clases

*

FV

Todos los varones son fieles

VF

* H V

Algunos honestos son varones

x

H V

De ambas gráficas podemos indicar lo siguiente:

FV

H

x

Algunos honestos son fieles

Respuesta:

Por lo tanto, de las premisas concluimos que: Algunos honestos son fieles.

Alternativa D

PREGUNTA N.º 02Se tiene las premisas:

- Todos los que son políticos son honestos.- Todos los políticos faltan a la verdad.

Entonces, podemos concluir que:

A) Todos los honestos faltan a la verdad.B) Todos los que faltan a la verdad son honestos.C) Todos los políticos faltan a la verdad.D) Todos los políticos son deshonestos.E) Todos los deshonestos faltan a la verdad.

Resolución

Tema: Lógica de clases

* HP

Todos los que son políticos son honestos

PH

* FVP

Todos los políticos faltan a la verdad

PFV

Razonamiento Matemático

ACADEMIA

Solucionario del Examende admisión UNASAM 2010 - II

EXAMEN ORDINARIO

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2

EXAMEN ORDINARIO

3

Entonces:

PFV

H

Respuesta:Por lo tanto, todos los que faltan a la verdad son honestos

Alternativa B

PREGUNTA N.º 03En una familia Aijina hay 5 hermanos:Manuel, Carmen, Cristian, Raúl y Federico. Se sabe que:

- Carmen no es la menor.

- Federico es menor que Cristian pero mayor que Raúl.

- Manuel es menor que Raúl.

- Carmen le lleva 4 años a Raúl, pero es menor en 2 años que Federico.

¿Quién es mayor de todos?

A) Federico B) ManuelC) Cristian D) CarmenE) Raúl

Resolución

Tema: Ordenamiento lineal

Identificando con una inicial a cada hermano:Sea Carmen (Ca), Federico (F), Cristian (Cr), Raúl (R) y Manuel (M)Ahora, según los datos que nos dan, las relaciones son las siguientes:

, , , , F Cr R F M R R Ca Ca F< < < < <

Luego: M R Ca F Cr< < < <

Respuesta:Por lo tanto, el mayor de los hermanos es Cristian.

Alternativa C

PREGUNTA N.º 04

Si 777ABC BCA CAB+ + = , determine ( )7 A B C+ + .

A) 35 B) 14 C) 21D) 28 E) 49

Resolución

Tema: Habilidad operativa

Piden calcular ( )7 A B C+ +

Como dato se tiene:

777ABC BCA CAB+ + =

100 10 100 10 100 10 777A B C B C A C A B+ + + + + + + + =

111 111 111 777A B C+ + =

( )111 777A B C+ + =

7A B C+ + =

De donde: ( ) ( )7 7 7 49A B C+ + = =

Respuesta:

Por lo tanto, ( )7 49A B C+ + =Alternativa E

PREGUNTA N.º 05¿Cuántas tatarabuelas tuvo mi abuela?

A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 10

Resolución

Tema: Parentescos

• Cualquier persona tendrá:

2 padres 4 8 16< > < > < >

abuelos bisabuelos tatarabuelos

• Así que, mis tatarabuelos son en total 16, por lo tanto la mitad (8) serán mis tatarabuelas, luego como esto ocurre para cualquier persona, entonces mi abuela también tendrá 8 tatarabuelas.

EXAMEN ORDINARIO

2

EXAMEN ORDINARIO

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3 3

Respuesta:Por lo tanto, mi abuela tuvo 8 tatarabuelas.

Alternativa D

PREGUNTA N.º 06En una oficina se escuchó cierta conversación:

“Ten en cuenta que mi madre es la suegra de tu padre”. ¿Qué parentesco une a las dos personas?

A) Tío – sobrino B) Abuelo – nietoC) Primos D) HermanosE) Suegro – yerno

Resolución

Tema: Parentescos

Suponiendo que las personas que hablan son “A” y “B”, y considerando que “A” le dice a “B”:

madre de A abuela de B padre de B

Mi madre es la suegra de tu padre

Si la madre de “A” es abuela de “B”, entonces se tiene dos posibilidades: que “A” sea padre de “B” ó que “A” sea tío de “B”

Respuesta:Por lo tanto, según las alternativas, el parentesco famil-iar que une a las dos personas es el de Tío – Sobrino.

Alternativa A

PREGUNTA N.º 07¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la pal-abra UNASAM?

A) 81 B) 243 C) 27D) 729 E) 36

Resolución

Tema: Inducción

Como se puede apreciar en el gráfico, la palabra UNASAM se puede leer de muchas maneras, demasia-das como para contarlas una por una, ya que sería un trabajo muy laborioso y correríamos el riesgo de obviar algunas, y dar alguna respuesta equivocada. Por lo tan-to, aplicaremos el método inductivo.

• Digamos que la palabra a leer sea “U”

U 1 letra ⇒forma

1 3=1 1−

• Ahora que la palabra sea “UN”

2 letras ⇒formas

3 3=2 1−

UN

UN N N

• Ahora que la palabra sea “UNA”

3 letras ⇒formas

9 3=3 1−

UNA

UN N N

A A A A A

• Ahora que la palabra sea “UNAS”

4 letras ⇒formas

27 3=4 1−

UNAS

UN N N

A A A A AS S S S S S S

En el problema:

M M M M M M M M M M MA A A A A A A A A

S S S S S S SA A A A A

N N NU

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4

EXAMEN ORDINARIO

5

6 letras ⇒

6 1−

UNASAM

5Total de maneras 3 3 243= = =

Respuesta:Por lo tanto, la palabra UNASAM se puede leer de 243 maneras diferentes.

Alternativa B

PREGUNTA N.º 082 4

2

x xy y

x−

=−

1 3

Si , calcular el valor de

A) 2 B) 3 C) – 1D) 0 E) – 2

Resolución

Tema: Operaciones Matemáticas

Simplificando la definición

( ) ( )2 2 24

2x x xx

y yx

+ −−= =

− ( )2x− − ; 2x ≠

2xy y x= − −

Piden calcular0

1 3 3 3=

Aplicando la definición:

03 3 0 2 2= − − = −

Respuesta:1 3 2= −Por lo tanto,

Alternativa E

PREGUNTA N.º 09Hallar la suma de cifras del término que sigue en la sucesión:

1 ; 5 ; 19 ; 49 ; 101,

A) 7 B) 8 C) 10D) 12 E) 13

Resolución

Tema: Sucesiones

Calculando el término que sigue en la sucesión, el tér-

mino 6 ( 6t )

1 ; 5 ; 19 ; 49 ; 101 ;

4 14 30 52 80

10 16 22 28

6 6 6

→

1 1 1 10 1 2 3 1C 4C 10C 6C n n n n

nt− − − −= + + +

5 5 5 56 0 1 2 31C 4C 10C 6Ct = + + +

( ) ( ) ( ) ( )6 1 1 4 5 10 10 6 10t = + + +

6 1 20 100 60t = + + +

6 181t =

Respuesta:Por lo tanto, la suma de cifras del sexto término es 10

Alternativa C

PREGUNTA N.º 10Se vende 2 USB en 60 soles cada una. En una se ganó el 20% y en la otra se perdió el 20%. ¿Se ganó o se perdió en total y cuánto?

A) Se ganó S/. 8 B) Se perdió S/. 10C) Se perdió S/. 6 D) Se ganó S/. 9E) Se perdió S/. 5

Resolución

Tema: Tanto por ciento

Para el primer USB

Pv Pc Ganancia= +

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4

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5 5

60 20%x x= +50x =

Para el segundo USB

Pv Pc Pérdida= −

60 20%y y= −

75y =

Luego:

El costo total será: 50 75 125x y+ = + =

La venta total es: 60 60 120+ =

De acá se que deduce que ha existido una pérdida de:

125 120 5− =

Respuesta:Por lo tanto, se perdió un total de 5 soles

Alternativa E

PREGUNTA N.º 11Si dos estudiantes pueden resolver 2 preguntas en 2 minutos, ¿Cuántos estudiantes se necesitarán para re-solver 4 preguntas en 4 minutos?

A) 4 B) 8 C) 16D) 2 E) 6

Resolución

Tema: Regla de tres

# estudiantes # preguntas # minutos

D.P.I.P.

2x

24

24

La magnitud incógnita la comparamos con cada una de las otras:

2 42 2

4 2x = ⋅ ⋅ =

Respuesta:Por lo tanto, se necesitaran 2 estudiantes

Alternativa D

PREGUNTA N.º 12Tres futbolistas patean tiros de penal. La probabilidad de que sólo dos de ellos no conviertan gol, es:

A) 38

B) 58

C) 13

D) 23

E) 78

Resolución

Tema: Probabilidades

El espacio muestral tendrá 8 elementos, veamos:

Sea G (cuando convierte el gol) y F (cuando falla), en-tonces las posibles situaciones que se darán los registra-mos de la siguiente manera:

Luego: ( ) 8n Ω =

Consideremos ahora el evento A:

A: Sólo dos de ellos no convierten gol (fallan)

A GFF , FGF , FFG= , Luego

( )A 3n =

Calculando la probabilidad se tiene:

( ) ( )( )

38

n AP A

n= =

Ω

Respuesta:Por lo tanto, de los tres amigos, la probabilidad de que

sólo 2 de ellos fallen el penal es 38

Alternativa A

PREGUNTA N.º 13

Al calcular 200 100

1 1 3

x x= =∑ ∑ , dar como respuesta la suma de las

cifras del resultado.

GGG FGG GGF FGF GFG FFG GFF FFF

Ω =

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6

EXAMEN ORDINARIO

7

A) 8 B) 10 C) 6D) 9 E) 1

Resolución

Tema: Sumatorias

Piden calcular la suma de cifras del resultado de

200 100

1 13 ( )

x x= =∗∑ ∑

Operando la sumatoria interna:

( )100

1 100

3 3 3 3 3 3 100 300x veces=

= + + + + = =∑

Reemplazando en ( )∗

( )200

1300 300 200 60000

x== =∑

Respuesta: Por lo tanto, la suma de cifras del resul-

tado de 200 100

1 13

x x= =∑ ∑ es 6

Alternativa C

PREGUNTA N.º 14Miguel tiene 2 años más que su hermano José y la edad del padre es el cuádruplo de la edad de su hijo José. Si hace 5 años la suma de las edades de los tres era 77 años, ¿Cuántos años tiene actualmente José?

A) 15 años B) 12 años C) 21 añosD) 17 años E) 14 años

ResoluciónTema: Edades

Al plantear los datos del problema obtenemos:

PresentePasado

Miguel

José

Padre

Hace 5 años

3x −

5x −

4 5x −

2x +

x

4x

Por condición:

Hace 5 años la suma de las edades de los tres era 77 años:

3 5 4 5 77x x x− + − + − =6 90x =

15x =

Luego:

La edad de José actualmente es 15 años

Respuesta:Por lo tanto, José, actualmente tiene 15 años.

Alternativa A

PREGUNTA N.º 15En el estadio Rosas Pampa de la ciudad de Huaraz un hincha de la Amenaza Verde subió las gradas de 2 en 2 y bajo de 3 en 3; dando un total de 90 pasos. ¿Cuántos pasos empleo en la subida?

A) 12 B) 36 C) 54D) 90 E) 81

Resolución

Tema: Planteo de ecuaciones

2

2

3

3

x gradas x gradas

# pasos subida # pasos bajada2x

=3x

=

El número total de pasos, tanto en la subida como en la bajada es 90 (dato), por lo tanto

902 3x x

+ =

590

6x

=

108x = Reemplazando:

108#pasos subida 54

2 2x

= = =

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6

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7 7

Respuesta:

Por lo tanto, el hincha en la subida empleo 54 pasos

Alternativa C

PREGUNTA N.º 16

En el acondicionamiento de las aulas en la ciudad uni-versitaria (Shancayán), el número de carpinteros du-plica al número de electricistas. Al mes, cada carpintero gana S/. 1 400 y cada electricista S/. 1 200. Si en un mes la suma de los sueldos de todos ellos es S/. 48 000, ¿Cuántos carpinteros hay?

A) 12 B) 6 C) 36D) 24 E) 48

Resolución

Tema: Planteo de ecuaciones

Ordenando adecuadamente los datos:

Sueldo c/u al mes

# Total

Carpinteros

Electricistas

2x

x

/ . 1 400S

/ . 1 200S

Por condición del problema:

Si en un mes la suma de los sueldos de todos ellos es S/. 48 000.

( ) ( )2 1400 1200 48000x x+ =

4000 48000x =

12x =

El número de carpinteros es: (ver cuadro)

( )#Carpinteros 2 2 12 24x= = =

Respuesta:

Por lo tanto, hay 24 carpinteros

Alternativa D

PREGUNTA N.º 17Un número natural es tal que la sexta parte del núme-ro anterior es menor que 6; además la sexta parte del número natural siguiente es más que 6. ¿Cuál será la raíz cuadrada del número natural, disminuido en 1?

A) 6 B) 5 C) 4D) 12 E) 36

Resolución

Tema: Planteo de inecuaciones

Sea “x” el número natural:

Según condiciones del problema se tiene

1 16

6 6x x

operando− +

< <

1 16 6

6 6x x− +

< ∧ <

37 35x x< ∧ >

35 37 x< < →

36x =

Piden la raíz cuadrada del número, disminuido en uno:

36 1 6 1 5− = − =

Respuesta:Por lo tanto, la raíz cuadrada del número, disminuido en uno es 5

Alternativa B

PREGUNTA N.º 18

Al resolver 2 8 15 0x x− + ≥ , indicar el menor valor en-tero positivo que satisface la inecuación.

A) 6 B) 5 C) 3D) 4 E) 1

Resolución

Tema: Inecuaciones

2 8 15 0 x x factorizando− + ≥

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8

EXAMEN ORDINARIO

9

( )( )3 5 0x x− − ≥

3 5 cosx x puntos críti= ∧ =

53

+−+

2101−

]. . ;3 5;C S = −∞ ∪ +∞

Respuesta:Por lo tanto, el menor valor entero positivo que satis-face la inecuación es 1

Alternativa E

PREGUNTA N.º 19Dos estudiantes, parten en bicicleta al mismo tiempo del local central – UNASAM y de la Facultad de Cien-cias (FC), distantes 800 m: uno, del local central con dirección a la FC y el otro, de la FC al local central. El primero recorrió 40 m más por minuto que el segundo ciclista y el número de minutos que tardarían en en-contrarse está representado por la mitad del número de metros que el segundo ciclista recorrió en un minuto. ¿Cuál es la distancia recorrida por cada ciclista en el momento de encontrarse?

A) 600 y 200 B) 400 y 400C) 300 y 500 D) 700 y 100E) 450 y 350

Resolución

Tema: Móviles

1 40v v= + 2v v=

t t

UNASAM FC800

800 e−e

Por condición del problema:

(1)2v

t =

• Analizando el recorrido del primer alumno (del UNASAM a la FC)

e vt=

( )40 (2)e v t= +

• Analizando el recorrido del segundo alumno (de la FC al UNASAM)

e vt=

800 e vt− =

800 (3)e vt= −

Reemplazando (2) en (3)

40 800vt t vt+ = −

2 40 800 0vt t+ − =

( )20 400 0 de (1)t v + − =

( )20 400 02v

v + − =

2 20 800 0 v v de donde+ − =

2010

vt

= =

Reemplazando estos valores en (2)

( )( ) ( )( )20 40 10 60 10 600e = + = =

Respuesta:Por lo tanto, la distancia recorrida por ambos estudi-antes son respectivamente 600 y 200

Alternativa A

PREGUNTA N.º 20

El dominio de la función ( ) 21 9f x x= + − es el in-

tervalo [ ] ; a b , hallar a b+ .

A) 6 B) 0 C) 10D) 7 E) 9

Resolución

Tema: Funciones

Piden calcular a b+ , donde el dominio de ( )f x es de

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8

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9 9

la forma [ ];a b

La función ( )f x , existirá en los reales ( ) si y sólo si:

2 21 9 0 9 0x x+ − ≥ ∧ − ≥

2 29 1 9 0x x− ≥ − ∧ − ≤

[ ]1 2. . . . 3;3C S C S= ∧ = −

( ) 1 2. . . .Df x C S C S= ∩

( ) [ ] [ ]3;3 ; Df x a b= − ≅ →

3 3 0a b+ = − + =

Respuesta:Por lo tanto, 0a b+ =

Alternativa B

PREGUNTA N.º 21¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

A) 26 B) 33 C) 29D) 34 E) 36

Resolución

Tema: Conteo de figuras

Se pide la cantidad total de triángulos que hay en el gráfico

A

B

C

D

(1) Comenzamos contando triángulos en el ABC∆ ,

para ello aplicaremos directamente la fórmula ( )12

n n +

(para 6n = )

A

B

C1 2 3 4 5 6

El total de triángulos es:

( ) ( )1 6 721

2 2n n +

= =

(2) Ahora contamos triángulos en el BCD∆ , para ello

aplicaremos directamente la fórmula ( )12

n n + (para

5n = )B

C

D1

23

4

5

El total de triángulos es:

( ) ( )1 5 615

2 2n n +

= =

El total de triángulos será la suma de (1) y (2)

(1) (2) 21 15 36+ = + =

Respuesta:Por lo tanto, el total de triángulos que hay en la figura es 36

Alternativa E

PREGUNTA N.º 22Hallar el perímetro de la región sombreada.

6

6

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10

EXAMEN ORDINARIO

11

A) 6 3+ π B) ( )2 6 3+ π

C) ( )2 4 3+ π D) ( )3 4 + π

E) ( )4 3π +

Resolución

Tema: Perímetro de regiones planas

Se pide el perímetro de la región sombreada.En el gráfico del problema:

6

6

3

A B

C

D

3

3 3

• La longitud de los lados AB y BC forman parte del perímetro de la región sombreada.

• Además, la longitud de los arcos (cuadrantes) AD y DC completan el perímetro de la región sombreada.

Luego, el perímetro (2P) de la región sombreada será:

2P 6 6 2= + +32π

2P 12 3= + π

( )2P 3 4= + π

Respuesta:Por lo tanto, el perímetro de la región sombreada es

( )3 4 + πAlternativa D

PREGUNTA N.º 23Hallar el número de segmentos en la figura:

A) 19 B) 15 C) 14D) 20 E) 18

Resolución

Tema: Conteo de figuras

Identificando los segmentos de la figura:

1

1

3

3

3 3

1

1

1

1

1

Ahora, el número total de segmentos, por el que está compuesta la figura es:

( )1 1 3 3 5 3 19+ + + + =

Respuesta:Por lo tanto, el número total de segmentos que hay en la figura es 19

Alternativa A

PREGUNTA N.º 24Determinar el área de la región sombreada:

a

a

A) 2

3a B)

223a C)

234a

D) 22

5a E)

237a

Resolución

Tema: Área de regiones planas

EXAMEN ORDINARIO

10

EXAMEN ORDINARIO

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11 11

Para simplificar los cálculos, trazaremos la diagonal

AD y la línea vertical BE que une los puntos medios del cuadrado, para luego trasladar las áreas adecuada-mente.

a

a

AB

C

DE

FG

Luego de trasladar el área queda:

a

a

AB

C

DE

FG

2a

2a

Como podemos ver, el área sombreada está compuesta por tres cuadrados de iguales dimensiones, así que

23 3

2 2 4a a a

Área Sombreada = × =

Respuesta:

Por lo tanto, el área de la región sombreada es 23

4a

Alternativa C

PREGUNTA N.º 25

Una persona debe recorrer todas las calles de la ciudad mostrada, de una sola intensión pasando solo una vez por cada calle. ¿Por cuál de las cinco salidas egresará al terminar el recorrido?

B

D

C

E

A

A) A B) B C) CD) D E) E

Resolución

Tema: Trazo de figuras

Haciendo el trayecto que debe seguir

Impar

(Par)A

Par

(Par)E

ParPar

(Impar)B

(Par)D

(Par)C

Observación.- si una figura, presenta dos puntos im-pares, se podrá dibujar (recorrer) de un solo trazo, siem-pre y cuando se empiece en uno de los puntos impares y se termine en el otro.

En nuestro ejercicio, como la persona comienza el recor-rido desde un punto impar, entonces necesariamente deberá terminar en un punto impar, es decir en “B”

Respuesta:Por lo tanto, la persona, luego de terminar su recorrido egresará por la puerta “B”

Alternativa B