Solucionario Ensayo MT - 024 2013 OK

SOLUCIONARIO

ENSAYO MT- 024

SS

ICA

NM

TA

070

24

V1

1. La alternativa correcta es D.

Unidad temática Conjuntos numéricos

Habilidad Aplicación

Primero se calcula:

3 ∙ (4 – 6) = – 6

(1 – 4) ∙ 5 = – 15

Luego, la diferencia es restar ambas cantidades: –6 – – 15 = – 6 + 15 = 9.

2. La alternativa correcta es B.



2

13

14

15 (Sumando)

2

7

14

15 (Dividiendo)

7

24

15 (Restando)

7

26

15 (Dividiendo)

26

137

26

7

26

130

26

75

3. La alternativa correcta es E.


Habilidad Análisis

La botella A contiene 4

3 de un litro de agua, la botella B

10

7 de un litro y la botella C

5

4

de un litro. Entonces:

I) Falsa, ya que la botella B contiene 10

7 y la botella C contiene

10

8

2

2

5

4 de un litro

de agua. Por lo tanto, comparando los numeradores, la botella C contiene más agua

que la botella B.

II) Verdadera, ya que la botella C contiene 20

16

4

4

5

4 de un litro de agua y la botella

A contiene 20

15

5

5

4

3 litro de agua. Por lo tanto, comparando los numeradores, la

botella C contiene más agua que la botella A.

III) Verdadera, ya que la botella A contiene 20

15

5

5

4

3 de un litro de agua y la botella

B contiene 20

14

2

2

10

7 litro de agua. Por lo tanto, comparando los numeradores, la

botella A contiene más agua que la botella B.

Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.



Habilidad Comprensión

De acuerdo a la información entregada, la secuencia aumenta de 4 en 4, por lo tanto cuando los

términos son números naturales (alternativas B, C, D y E), esta secuencia corresponde a los

múltiplos de 4. Por lo tanto, se debe verificar que los números sean divisibles por 4, es decir, que

sus dos últimas cifras sean ceros o múltiplos de 4.

A) 0, se obtiene al sumar 4 + 4 al – 8.

B) 388, el 88 es múltiplo de 4 (22 ∙ 4).

C) 524, el 24 es múltiplo de 4 (6 · 4).

D) 668, el 68 es múltiplo de 4 (17 ∙ 4).

E) 762 NO es un término de la secuencia, ya que el 62 no es un múltiplo de 4.


Unidad temática Proporcionalidad


Se establece la siguiente razón:

7

8

gasta no

gasta gasta = 8k y no gasta = 7k

Por otro lado, se sabe que el sueldo mensual de Pablo es de $ 600.000, por lo tanto:

8k + 7k =$ 600.000 15k = $ 600.000 k = 15

600.000 k = $40.000

Luego, lo que gastó Pablo corresponde a 8k = 8 ∙ $ 40.000 = $ 320.000



Habilidad Análisis

I) Verdadera, ya que el cuociente entre a y b, se mantiene constante. El valor de la

constante es 3, entonces:

3c

6

6 = 3c (Dividiendo por 3)

2 = c

II) Falsa, ya que en la tabla X, las variables a y b no tienen una relación de

proporcionalidad debido a que ni el producto ni el cuociente son constantes.

III) Verdadera, ya que el producto entre a y b, de la tabla Z, se mantiene constante. El valor

de la constante es 45.

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.


Unidad temática Porcentajes e interés


Si en total hay 35 alumnos y 7 de ellos van a buscar libros a la biblioteca, los alumnos

que quedan en la sala son 35 – 7 = 28. Aplicando proporción directa, se tiene:

%80x

35

28100x

x

100

28

35

(Despejando x)




Aplicando porcentajes, se tiene:

500.37P

24

1000900P

900P1000

24

900P10

3

10

2

10

4

900P100

30

100

20

100

40

9. La alternativa correcta es C.



En total hay 75 miembros que pertenecen al club, de los cuales 45 practican fútbol, por lo

tanto 75 – 45 = 30 practican básquetbol. Para conocer cuántos miembros se cambian de

deporte, se calcula el 20% correspondiente a cada uno de ellos:

6305

130 de 20% :Básquetbol

9455

145 de 20% :Fútbol

Luego del cambio, los deportes quedan integrados con la siguiente cantidad de miembros:

Fútbol: 45 – 9 + 6 = 42

Básquetbol: 30 – 6 + 9 = 33

Finalmente, utilizando proporcionalidad directa, se calcula el porcentaje de los miembros

del club que practica básquetbol:

%44x75

33100x

x

100

33

75

(Simplificando)

(Despejando P)


Unidad temática Potencias


3– 4

+ 10 – 2

– 9 – 2

(Aplicando propiedad potencia de una potencia)

3– 4

+ 10 – 2

– (32)

– 2

3– 4

+ 10 – 2

– 3– 4

(Restando potencias iguales con distinto signo)

10 – 2

(Aplicando propiedad de potencia con exponente negativo)

100

12

10

1


Unidad temática Ecuaciones de primer grado


Si P es la edad actual del padre, su edad hace diez años se expresa como: P – 10.

Si H es la edad actual del hijo, su edad hace diez años se expresa como: H – 10.

Por lo tanto, la ecuación que representa el enunciado es: P – 10 = 15 (H – 10).


Unidad temática Álgebra


Evaluando a = – 3 y b = 5 en la expresión, se tiene:

(ab – (a – b)) = (– 3 ∙ 5 – (– 3 – 5)) (Desarrollando)

= (– 15– (– 8)) (Reduciendo signos)

= (– 15 + 8) (Restando)

= – 7



Habilidad Análisis

I) Falsa, ya que reordenando y reduciendo términos semejantes en la expresión, se

tiene:

(2x – 2y) + (3y – 4x) = 2x – 4x + 3y – 2y = – 2x + y

II) Verdadera, ya que reordenando y reduciendo términos semejantes en la expresión,

se tiene:

x + x – x – x + x + x – y – y + y + y + y = 2x + y

III) Verdadera, ya que eliminado paréntesis y reduciendo términos semejantes en la

expresión, se tiene:

(x + 3y) – (3x – y) – (3y – 4x) = x + 3y – 3x + y – 3y + 4x = 2x + y





La ecuación 0,5x – 1 = 1,2 se puede reescribir como 0,5x = 2,2

La alternativa D) representa una ecuación equivalente ya que:

2

1

10

55,0 y

5

12

5

11

10

222,2

Por lo tanto 0,5x = 2,2 es equivalente a 5

12x

2

1.




De acuerdo a la figura, se pueden deducir las siguientes expresiones:

2

1

x

x x

x

Para obtener el área sombreada se resta el área del rectángulo con el área de los dos

cuadrados no sombreados.

Área rectángulo = largo ∙ ancho = (2x + 2) ∙ (x + 1)

= 2x2 + 2x + 2x + 2

= 2x2 + 4x + 2

Área cuadrado = x ∙ x = x2

Luego, al restar las áreas se obtiene:

Área sombreada = Área rectángulo – 2 (Área cuadrado)

Área sombreada = 2x2 + 4x + 2 – 2 x

2

Área sombreada = 4x + 2 = 2 (2x + 1)




3(2x – 5) = 6 (Distribuyendo)

6x – 15 = 6 (Despejando)

6x = 21

6

21x

Luego, el doble de x es .73

21

6

212




(x2 – 2xy + y

2 – (x – y)

2 ) (Desarrollando el cuadrado de binomio)

(x2 – 2xy + y

2 – (x

2 – 2xy + y

2) )

x2 – 2xy + y

2 – x

2 + 2xy – y

2 (Reduciendo términos semejantes)

0



Habilidad Análisis

I) Verdadera, ya que:

(4x + 4

–x)2 (Desarrollando el cuadrado de binomio)

(4x)2 + 2 ∙ 4

x ∙ 4

–x + (4

–x)2

42x

+ 2 + 4–2x

16x + 2 + 16

–x

II) Verdadera, ya que 3a + 3

a + 3

a = 3 ∙ 3

a = 3

a+1

III) Verdadera, ya que multiplicando por binomio con término común se tiene:

4x3x = x – x – 12

Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.



Habilidad Análisis

916

144

q

1p

14416q

1p

144q

1p

q

1p

144q

1pq

q

1pq

144q

1qp

2

22

(Factorizando por suma por diferencia)

(Descomponiendo las fracciones)

(Reemplazando el dato del enunciado)

(Despejando)




x3

1

)3x(

1

)3x)(3x(

)3x(

)3x(

x3

2



Habilidad Análisis

)yx(

y

)yx)(yx(

xy

x

yx

yx

xy

x

yx

xy

yx:

x

yx

x

y

y

x:

x

yx22

22

I) Verdadera, ya que anteriormente se obtuvo ese resultado.

II) Verdadera, ya que al factorizar la expresión por – 1, se tiene:

yx

y

)yx(

)y(

xy

y

III) Falsa, ya que )yx(

y

x

)yx(

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son equivalentes a la expresión dada.


Unidad temática Potencias

Habilidad Análisis

I) Falsa, ya que al dividir potencias de igual base, se mantiene la base y se restan los

exponentes. 73:7

2 = 7

1= 7

II) Verdadera, ya que 4m

+ 4m

+ 4m

+ 4m

= 4 ∙ 4m

= 4m+1

III) Falsa, ya que 5

4

5

22

, porque el exponente solo está elevando al numerador y no a

la fracción completa.

Por lo tanto, solo la afirmación II es verdadera.

(Factorizando el numerador por – 1)

(Simplificando)


Unidad temática Raíces


2

9

8

25 (Aplicando concepto de raíz)

2

3

8

5

(Descomponiendo la raíz)

2

2

2

3

22

5 (Igualando los denominadores)

22

6

22

5 (Restando)

4

2

2

2

22

1

22

1



Habilidad Análisis

I) Falsa, ya que descomponiendo las raíces, se tiene:

2422521685032

222524

27

II) Verdadera, ya que resolviendo se tiene:

2

21

22

2

21 (Aplicando propiedad exponente negativo)

2464242

2

1

22

2

21

22

2

21

21

21

2

(Racionalizando)

(Racionalizando dentro del paréntesis)

(Elevando al cuadrado)

III) Verdadera, ya que descomponiendo se tiene:

4 324 324 4444 434244 765 zyxxyzzyxzyxzzyyxxzyx





Si x corresponden a la cantidad de dulces, entonces la cantidad de dinero que tiene Ana,

se expresa como:

3x + 20 = 500 (Despejando x)

3x = 480

x = 160.

Luego, cada dulce cuesta $ 160, por lo tanto Luisa tiene en dinero:

2 ∙ 160 – 20 = 320 – 20 = $ 300.

Finalmente, ambas tenían 500 + 300 = $ 800 antes que Ana comprara.

26. La alternativa correcta es A.

Unidad temática Inecuaciones lineales


Como se deben calcular todos los valores que se encuentran, a lo más, a 15 unidades de

distancia de 8, se puede plantear la ecuación |x – 8| ≤ 15.

Al aplicar la propiedad del valor absoluto, se tienen las siguientes desigualdades:

x – 8 ≤ 15 x – 8 ≥ – 15

x ≤15 + 8 x ≥ – 15 + 8

x ≤ 23 x ≥ – 7

Intersectando las soluciones:

Por lo tanto, el intervalo es [– 7, 23].

0 – 7 23


Unidad temática Inecuaciones lineales


La solución de un sistema de inecuaciones corresponde a la intersección de los intervalos

solución de cada inecuación. Entonces, resolviendo cada inecuación:

(1) x + 3 < 1

x < 1 – 3

x < – 2

(2) 1 – x ≥ 2

1 – 2 ≥ x

– 1 ≥ x

Luego, la solución del sistema es la intersección de ambas soluciones:

Por lo tanto, el intervalo solución es ] – ∞, – 2[ representada en la alternativa C).


Unidad temática Relaciones y funciones


Calculando f(–2), se tiene:

f(x) = 3x + 5

f(– 2) = 3 · – 2 + 5 = – 6 + 5 = – 1

Calculando h(– 1), se tiene:

h(x) = 2x – 3

h(– 1) = 2 · –1 – 3 = – 2 – 3 = – 5

Calculando t(5), se tiene:

t(x) = x5

x

t(5) = 2

1

10

5

55

5

Luego, se calcula f(– 2) + h(– 1) – t(5) = – 1 – 5 – 2

13

2

1

– 2 – 1


Unidad temática Relaciones y funciones

Habilidad Análisis

El dominio corresponde a todos los valores que puede tomar x, entonces:

2x – 3 ≠ 0

2x ≠ 3

x ≠ 2

3

Por lo tanto, el dominio corresponde a todos los reales menos el 2

3.


Unidad temática Función afín y función lineal

Habilidad Análisis

I) Verdadera, ya que la función afín f(x) = 2x + 5, está expresada de la forma

y = mx + n, lo que corresponde a una ecuación principal de la recta. Luego, su

pendiente es positiva e igual a 2, por lo tanto la función es creciente.

II) Verdadera, ya que para calcular la intersección con el eje Y, se debe hacer cero la

coordenada x, entonces: f(0) = 2 ∙ 0 + 5 = 5. Por lo tanto, el punto de intersección

con el eje Y es (0, 5).

III) Falsa, ya que para calcular la intersección con el eje X, se debe hacer cero la

coordenada y, entonces:

0 = 2 ∙ x + 5

x2

5

Es decir, el punto de intersección con el eje X es (2

5, 0).

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.


Unidad temática Función parte entera y función valor absoluto

Habilidad Análisis

I) Falsa, ya que el gráfico corresponde a la función parte entera la que es representada

en forma de escalera.

II) Falsa, ya que por definición de función parte entera el dominio (o valores que

puede tomar la variable x) son todos los números reales.

III) Falsa, ya que f(0,1) = [2 ∙ 0,1 – 4] = [0,2 – 4] = [– 3,8] = – 4

Por lo tanto, ninguna de las afirmaciones es verdadera.


Unidad temática Función parte entera y función valor absoluto

Habilidad Análisis

De acuerdo a f(x) = 1 – |x|, el signo negativo delante del valor absoluto indica que las

ramas de la función valor absoluto se abren hacia abajo y el 1 positivo fuera del valor

absoluto indica que está trasladada una unidad hacia arriba en el eje Y. Por lo tanto, la

figura que representa esta situación es la alternativa A).


Unidad temática Función cuadrática

Habilidad Análisis

Para conocer la naturaleza de las soluciones de una ecuación cuadrática se debe calcular

el discriminante. En este caso, a = 1; b= – 2; c = 2k + 1, entonces:

b2 – 4ac = (– 2)

2 – 4 ∙ 1 ∙ (2k + 1) (Reemplazando)

= 4 – 8k – 4 (Desarrollando)

= – 8k

I) Falsa, ya que si k > 0 entonces el discriminante es negativo, por lo tanto las

soluciones son complejas y distintas. Luego, para que las raíces sean reales y

distintas debe suceder:

– 8k > 0 (Dividiendo por – 8, cambia el sentido de la desigualdad)

k < 0

II) Verdadera, ya que al ser las soluciones reales e iguales se cumple que el

discriminante, en este caso – 8k, es igual a 0, entonces:

– 8k = 0 (Despejando k)

k = 0

III) Falsa, ya que si k < 0 entonces el discriminante es positivo, por lo tanto las

soluciones son reales y distintas. Luego, para que las raíces sean complejas y

distintas debe suceder:

– 8k < 0 (Dividiendo por – 8, cambia el sentido de la desigualdad)

k > 0

Por lo tanto, solo la afirmación II es verdadera.


Unidad temática Función cuadrática

Habilidad Análisis

Si se tiene una función cuadrática de la forma: f(x) = Ax2 + Bx + C, al compararla con

f(x) = (a + 1)x2 + 5x + (c – 1), se obtienen los siguientes valores:

A = (a + 1); B = 5; C = c – 1

I) Falsa, ya que la parábola de la figura es cóncava hacia abajo, por lo tanto el factor

que acompaña a x2 es negativo, entonces:

a + 1 < 0 (Despejando a)

a < – 1

II) Verdadera, ya que según el gráfico de la parábola, esta corta al eje Y en una

coordenada positiva, por lo tanto el término libre es mayor que 0, entonces:

c – 1 > 0 (Despejando c)

c > 1

III) Verdadera, ya que el discriminante debe ser mayor que 0 porque la parábola

intersecta en dos puntos al eje X, calculando el discriminante se tiene:

B2 – 4AC > 0

52 – 4 ∙ (a + 1) ∙ (c – 1) > 0

25 – 4(a + 1)(c – 1) > 0





Si f(x) = 2x1 , entonces:

f 4

7

16

7

16

7

16

91

4

31

4

32


Unidad temática Función logarítmica

Habilidad Análisis

Todas las expresiones logarítmicas están en base 10, por lo tanto, aplicando la definición

de logaritmo, se tiene:

log a = 2 → 102 = a → 100 = a

log b = 2 → 103 = b → 1.000 = b

log c = 2 → 105 = c → 100.000 = c

I) Falsa, ya que:

log (a + b) = log c (Reemplazando los valores)

log (100 + 1.000) = log (100.000)

log (1.100) ≠ log (100.000)

II) Verdadera, ya que:

11

alog1

alog10log

alog10log

a

a3

000.1

a3

b

III) Verdadera, ya que:

00

0)1log(

0000.100

000.100log

0000.100

000.1100log

0logc

ab



Unidad temática Función exponencial


8x + 8

x+1 = 9 (Aplicando propiedad de las potencias)

8x + 8

x8

1 = 9 (Factorizando por 8

x)

8x(1 + 8 ) = 9

8x

9 = 9 (Dividiendo por 9)

8x = 1 (Aplicando logaritmo a ambos lados)

1log8log 88

x (Aplicando propiedad de logaritmo)

08logx 8

0x

(Reemplazando el valor de b)

(Aplicando la definición de logaritmo)

(Aplicando propiedad de logaritmo)

(Reemplazando los valores de a, b y c)

(Desarrollando)

(Aplicando propiedad de logaritmo)


Unidad temática Función exponencial

Habilidad Análisis

Dada la función exponencial

x

5

1)x(f

I) Falsa, ya que aplicando la propiedad del exponente negativo, la base se invierte y

el exponente queda positivo, entonces: x

x

55

1)x(f . Como se trata de una

función exponencial de base mayor que 1, entonces es creciente.

II) Falsa, ya que para obtener el punto de intersección con el eje Y se debe evaluar

x = 0, entonces:

0

5

1)0(f = 1. Por lo tanto el punto de intersección con el eje de

las ordenadas es el punto (0, 1).

III) Verdadera, ya que aplicando la propiedad del exponente negativo, la base se

invierte y el exponente queda positivo, entonces: x

x

55

1)x(f

Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera.


Unidad temática Triángulos


Planteando el enunciado, se tiene:

α = complemento de 30º = 90º − 30º = 60º

β = suplemento de 60º = 180º − 60º = 120º

De los ángulos interiores se sabe que α mide 60º y el ángulo interior adyacente a β

también mide 60º, por lo tanto el ángulo restante necesariamente debe ser 60º para que se

cumpla el teorema de los ángulos interiores en un triángulo. Por lo tanto, el triángulo de

la figura al tener sus tres ángulos interiores iguales se clasifica como equilátero.


Unidad temática Geometría de proporción

Habilidad Análisis

Según los datos de la figura, el triángulo ABC es isósceles de base AB y el triángulo

CBD es equilátero. Si º30PAD , entonces º30CBA y por lo tanto, el triángulo

ABD es rectángulo en B.

I) Verdadera, ya que si ABD = 90º , entonces PBD = 90º por ser ángulos

adyacentes.

II) Verdadera, ya que como PAD = 30º y el triángulo ABC es isósceles en C,

CBA = 30º, ya que es el otro ángulo basal.

III) Verdadera, ya que CB al ser un lado del triángulo isósceles y también un lado del

triángulo equilátero, por transitividad, los lados congruentes del triángulo isósceles

miden lo mismo que los lados del triángulo equilátero. Por lo tanto AC = CD.





Si ABCD es un rombo, sus cuatro lados son congruentes y sus diagonales tienen distinta

medida.

A B P

C

D

30º

60º

30º

60º

60º

120º

A B

C D

E

Entonces:

A) Verdadera, ya que los triángulos son congruentes por el criterio LLL debido a que

dos de sus lados son los que forman al rombo y el tercer lado es la diagonal AC que

es común para ambos triángulos.

B) Verdadera, ya que por propiedad de las diagonales de un rombo, estas son

perpendiculares.

C) Verdadera, ya que por propiedad de las diagonales de un rombo, estas se dimidian.

D) Verdadera, ya que por propiedad de las diagonales de un rombo, estas son

perpendiculares.

E) Falsa, ya que a diagonal AC no mide, necesariamente lo mismo que los lados del

rombo. Por lo tanto, se tiene que AD = DC pero la diagonal AC es distinta.


Unidad temática Transformaciones isométricas


Si al punto M se le aplican consecutivamente dos vectores traslación, el movimiento

puede resumirse en la suma vectorial de los movimientos, entonces:

T = (– 2, 3) + (1, – 1) = (– 1, 2).

Finalmente, las nuevas coordenadas del punto M se obtienen sumando su punto inicial y

el vector traslación, luego:

M` = M(3, – 2) + T(– 1, 2)

M` = (2, 0)




Se transforman los 150º en sentido antihorario, entonces:

Rotación de 150º sentido horario = Rotación de (360º – 150º) sentido antihorario.

Rotación de 150º sentido horario = Rotación de 210º sentido antihorario.

Sumando ambas rotaciones 210º + 60º = 270º en sentido antihorario, se obtiene la

rotación final que se le debe aplicar al punto (4, – 6). Luego, si (x, y) rotado en 270º

antihorario resulta (y, – x), entonces (4, – 6) rotado en 270º antihorario resulta (– 6, – 4).

Por lo tanto, si al punto (4, – 6) se le aplica una rotación de 270º antihorario se obtiene el

punto (– 6, – 4).




Al reflejar el triángulo ABC con respecto al eje Y, se genera un trapecio isósceles BPRC.

Calculando su área, se tiene:

ÁBPRC = mediana ∙ altura

ÁBPRC = 2

BPCR ∙ altura

ÁBPRC = 2

410∙ 4

ÁBPRC = 7 ∙ 4

ÁBPRC = 28

Por lo tanto, el área del trapecio es 28.



Habilidad Análisis

I) Falsa, ya que una rotación negativa de 270º, equivale a una rotación positiva de 90º

la cual corresponde al punto (– y, x). Entonces al aplicarle una rotación de 90º

positiva al punto P(– 5, – 3 ) se obtiene el punto P`(3, – 5).

II) Verdadera, ya que un simetría con respecto al eje de las ordenadas implica solo un

cambio de signo en la coordenada x, por lo tanto se obtiene el punto P`(5, – 3).

III) Verdadera, ya que la traslación del punto P (– 5, – 3) en 6 unidades a la derecha y 2

hacia abajo, corresponde al vector traslación (6, – 2). Aplicando la traslación, se

tiene: P (– 5, – 3) + T (6, – 2) = P`(1, – 5).

Por lo tanto, solo la afirmación I es falsa.




La teselación corresponde a poder “cubrir” completamente el plano con figuras

geométricas. Por lo tanto, el pentágono no es capaz de teselar el plano por sí solo, pues

dependiendo de sus ángulos interiores, podrían quedar lugares del plano sin cubrir.


Unidad temática Cuadriláteros

Habilidad Análisis

Ambos triángulos sombreados comparten la misma altura y además, AB – EF = 10.

Entonces al juntar los triángulos sombreados, se forma un triángulo de lados 6, 8 y 10 y

estos valores, a su vez, forman el trío pitagórico 3k, 4k y 5k, con k = 2. Por lo tanto, el

triángulo formado es rectángulo y su área es:

Área = 242

48

2

86

Por lo tanto, la suma de las áreas de los triángulos sombreados es 24 cm2.

Otra forma de resolución es:

Como AB = 20 cm, entonces (x + y) = 10 cm.

Área sombreada = 2

hy

2

hx (Sumando)

Área sombreada = 2

yhxh (Factorizando)

6 8

10

x y

h h

Área sombreada = 2

)yx(h (Reemplazando (x + y))

Área sombreada = 2

10h (Simplificando)

Área sombreada = 5h

Para determinar h, planteamos un sistema de ecuaciones:

(1) x2 + h

2 = 6

2 (Despejando h

2 en ambas ecuaciones)

(2) y2 + h

2 = 8

2

h2 = 36 – x

2 (Aplicando método de igualación)

h2 = 64 – y

2

36 – x2 = 64 – y

2 (Reemplazando y por (10 – x))

36 – x2 = 64 – (10 – x)

2 (Desarrollando)

36 – x2 = 64 – 100 + 20x – x

2

36 = – 36 + 20x

72 = 20x (Despejando x)

20

72 = x (Simplificando)

5

18 = x

Reemplazando x en la ecuación (1):

x2 + h

2 = 36

2

5

18+ h

2 = 36 (Despejando h

2)

h2 = 36 –

25

324 (Desarrollando)

h2 =

25

324900

h2 =

25

576 (Extrayendo raíz cuadrada)

h = 5

24

Por lo tanto:

Área sombreada = 5h (Reemplazando h)

Área sombreada = 5 ∙ 5

24 (Simplificando)

Área sombreada = 24 cm2



Habilidad Análisis

En el triángulo de la figura se observa un triángulo ABC rectángulo en C y con altura

CD, por lo tanto:

I) Verdadera, ya que los triángulos BDC y ADC son semejantes, por lo cual la razón

entre sus perímetros es la misma que la razón de semejanza. Dado que los lados

homólogos correspondientes a sus hipotenusas tienen razón de semejanza 2 : 1,

entonces la razón entre sus perímetros es 2 : 1. Es decir, el perímetro del triángulo

BCD es el doble del perímetro del triángulo CAD.

II) Verdadera, ya que los triángulos BDC y ADC son semejantes, por lo cual la razón

entre sus áreas es igual al cuadrado de la razón de semejanza. Dado que los lados

homólogos correspondientes a sus hipotenusas tienen razón de semejanza 2 : 1,

entonces la razón entre sus áreas es (2 : 1)² = 4 : 1. Es decir, el área del triángulo

BCD es cuatro veces el área del triángulo CAD.

III) Verdadera, ya que ambos ángulos corresponden al complemento del ACD.





Ambos triángulos son rectángulos y uno de los ángulos mide 25º, con ello se deduce que

el ángulo faltante para ambos es 65º. Entonces por el criterio AA, los triángulos son

semejantes, por lo cual la razón entre sus áreas es igual al cuadrado de la razón de

semejanza. Las razones entre lados homólogos son las siguientes:

3

2

BC

BE

CD

AB

BD

AE

Como la razón de semejanza es 2 : 3 podemos calcular la razón entre las áreas de los

triángulos, conociendo el área de uno de ellos:

9

42

3

2

DBC triánguloÁrea

AEB triánguloÁrea, por lo tanto

9

4

DBC triánguloÁrea

20

Área triángulo DBC = 2cm45

4

920.




Usando teorema de Thales, se tiene:

ED

AE

CD

AB (Reemplazando los valores)

20

AE

18

12

AE = 18

1220= 3,13


Unidad temática Circunferencia y círculo


De acuerdo a los datos, se tiene:

Arco CD = 4

1de 360º = 90º

Arco AB = 15

2de 360º = 48º

Luego, el ángulo CPD es un ángulo exterior, entonces:

º21CPD

2

º42CPD

2

º48º90CPD

2

AB arco CD arcoCPD


Unidad temática Circunferencia y círculo


Aplicando el teorema de la secante y la tangente, se tiene:

PT2 = PA ∙ PB (Descomponiendo PA)

PT2 = (AB + BP) ∙ PB (Reemplazando valores)

152 = (AB + 9) ∙ 9

225 = 9AB + 81

225 – 81 = 9AB

144 = 9AB

16 = AB

Como AB es diámetro de la circunferencia, el radio será 8 cm. Por lo tanto, el perímetro

es:

Perímetro = 2 ∙ π ∙ r

Perímetro = 2 ∙ π ∙ 8

Perímetro = 16 π cm.


Unidad temática Geometría analítica


De acuerdo a la figura, los puntos que pertenecen a la recta son: (b, 0) y (0, a). Luego la

pendiente es:

b

a

b

a

b0

0a

xx

yym

12

12




Como el triángulo ACB es rectángulo en B y AC BD, se puede aplicar teorema de

Euclides para calcular el segmento BD que corresponde a la altura, entonces:

BD2 = 36 ∙ 9 (Aplicando raíz cuadrada)

BD = 6 ∙ 3

BD = 18

Por lo tanto, el segmento BD mide 18.

A

B

C 36 9 D



Habilidad Análisis

Como el triángulo ABC es rectángulo en C y sus catetos son 9 y 12, se puede aplicar el

trío pitagórico 3k, 4k y 5k con k = 3, por lo tanto AB = 15.

I) Verdadera, ya que p = AB – q = 15 – q.

II) Verdadera, ya que aplicando teorema de Euclides, se tiene:

BC2 = q ∙ AB

122 = q ∙ 15

144 = q ∙ 15

5

48= q

III) Verdadera, ya que aplicando teorema de Euclides, se tiene:

hc =

c

ba

hc =

15

129

hc =

5

36


A B

C

p q

hc 9 12


Unidad temática Trigonometría


Aplicando seno de 30º en el triángulo, se tiene:

sen 30º = x

800.2

x

800.2

2

1

2800.2x

600.5x

El avión se encuentra a 5.600 metros del punto de aterrizaje.


Unidad temática Volúmenes y superficie


Si el área de un cuadrado mide 16 cm2, entonces cada lado mide 4 cm.

Si el área de un rectángulo mide 32 cm2, entonces sus lados miden 4 y 8 cm.

Por lo tanto, el volumen del paralelepípedo es = largo ∙ ancho ∙ alto = 8 ∙ 4 ∙ 4 = 128 cm3.

2.800

30º

x

30º

4 4

4

4 8


Unidad temática Geometría analítica


El área de un cuadrado que forma al cubo es: 3 ∙ 3 = 9. Como el cubo está formado por 6

cuadrados, el área total será: 6 ∙ 9 = 54.


Unidad temática Probabilidad


La probabilidad de la negación de un suceso, es uno menos la probabilidad de que suceda,

entonces si la probabilidad de acierto es 0,20, la probabilidad de no acierto es:

1 – 0,20 = 0,80.




P(cuaderno tapa roja) = 8

1 . Expresando esta probabilidad, se tiene:

8

1

cuadernos total

6

8

1

cuadernos total

roja tapacuadernos cantidad

total cuadernos = 48




En total hay 5 + 3 + 4 = 12 lápices en la caja. Como hay 8 lápices entre negros y verdes, hay 4

que son de otro color, entonces:

P(otro color)posibles casos

favorables casos

P(otro color) 12

4

P(otro color) 3

1

(Reemplazando)

(Despejando)

(Reemplazando)

(Simplificando)



Habilidad Análisis

Se define como probabilidad de que un suceso fracase, a la probabilidad de que no

ocurra, entonces:

I) Verdadera, ya que la probabilidad de fracaso en este caso es que salga sello, lo cual

tiene la misma probabilidad de cara, es decir 0,5.

II) Verdadera, ya que la probabilidad de fracaso sería que salga un impar y como el

dado tiene la misma cantidad de números pares que de impares, entonces las

probabilidades de ambos sucesos son iguales.

III) Falsa, ya que una pregunta de la PSU tiene una alternativa correcta y cuatro

incorrectas, por lo tanto, la probabilidad de éxito es 0,2 y la de fracaso es 0,8.




Habilidad Análisis

El total de personas encuestadas es de 3 + 5 + 5 + 4 + 2 + 1 = 20 personas.

I) Verdadera, ya que cuatro frutas son consumidas por dos personas, por lo tanto la

probabilidad será: 10

1

20

2.

II) Verdadera, ya que la cantidad de personas que consumen una o dos frutas son

5 + 5 = 10 personas, por lo tanto la probabilidad será: 2

1

20

10.

III) Falsa, ya que la cantidad de personas que consumen tres o más frutas son

4 + 2 + 1 = 7 personas, por lo tanto la probabilidad será:20

7.




Habilidad Análisis

Si el 70% de los asistentes a una conferencia son mujeres, entonces el 30% corresponde a

los hombres. Dentro de ese 30%, el 40% de los hombres son menores de 25 años, por lo

tanto el 60 % de ese mismo grupo, corresponde a los hombres de 25 años o más.

Para calcular la probabilidad pedida, se debe calcular el 60 % del 30 %, desarrollando:

%18100

18

10

3

10

6

100

30

100

60




La ruleta está dividida en 4 sectores numerados del 1 al 4, por lo tanto hay 4 casos

posibles. Se define:

A: Obtener un 4 en un lanzamiento. Hay un caso posible {4}.

Según la ley de probabilidad compuesta, la probabilidad de obtener 4 en los tres

lanzamientos de la ruleta, está dada por:

P(A) ∙ P(A) ∙ P(A) = 64

1

4

1

4

1

4

1


Unidad temática Estadística


La moda es el dato que más se repite. En este caso, la frecuencia más alta corresponde al

color blanco, es decir este dato es la moda con una frecuencia de 11.




La mediana es el dato que se ubica en el centro de una muestra, en este caso como el total

de la muestra corresponden a 25 alumnos, el dato central estará ubicado en la posición 13.

De acuerdo a la tabla, los alumnos que tienen 17 años tiene una frecuencia de 10, luego

los alumnos que tiene 18 años tienen una frecuencia de 7, por lo tanto la mediana será 18

años, ya que en esta edad está contenida la posición 13, ya que este dato ocupa desde las

posición 11 hasta la 17.



Habilidad Análisis

I) Verdadera, ya que el intervalo modal será el que posea mayor frecuencia, en este

caso corresponde al intervalo [60, 80[ que tiene la frecuencia más alta igual a 11.

II) Verdadera, ya que para obtener el total de alumnos del curso se suman todas las

frecuencias de los intervalos, es decir 5 + 8 + 10 + 11 + 6 = 40. La frecuencia

correspondiente al intervalo [40, 60[ es 10, por lo tanto la comparación entre los

alumnos que pertenecen a ese intervalo con respecto al total es 4

1

40

10

III) Verdadera, ya que el total de alumnos que rindieron la evaluación se obtiene al

sumar todas las frecuencias de los intervalos, es decir 5 + 8 + 10 + 11 + 6 = 40.

Por lo tanto, todas las afirmaciones son verdaderas.



Habilidad Evaluación

(1) a y b son números positivos. Con esta información, no es posible determinar si el

resultado de (a – b) es positivo, ya que lo que se necesita saber es si a es mayor que

b, porque de esa forma la resta resultaría positiva.

(2) b – a < 0. Con esta información, es posible determinar si el resultado de (a – b) es

positivo, ya que al ser negativo (b – a) se deduce que a es mayor que b.

Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.




En una bolsa hay globos blancos, azules y 30 rojos.

(1) La razón entre globos azules y rojos es 2 : 3. Con esta información y la del

enunciado, no se puede determinar la cantidad total de globos que hay en una bolsa,

ya que con esta información solo se puede calcular la cantidad de globos azules

pero no hay forma de obtener la cantidad de globos blancos.

Calculando la cantidad de globos azules, se tiene:

203

230azules globos

3

2

30

azules globos

3

2

rojos globos

azules globos

(2) La razón entre globos blancos y rojos es 4 : 5. Con esta información y la del

enunciado, no se puede determinar la cantidad total de globos que hay en una bolsa,

ya que con esta información solo se puede calcular la cantidad de globos blancos

pero no hay forma de obtener la cantidad de globos azules.

Calculando la cantidad de globos azules, se tiene:

245

430blancos globos

5

4

30

blancos globos

5

4

rojos globos

blancos globos

Con ambas informaciones, es posible determinar la cantidad total de globos que hay en

una bolsa, ya que del enunciado se tiene la cantidad de globos rojos, y por otro lado, la

cantidad de globos azules y blancos se obtienen de las afirmaciones (1) y (2),

respectivamente.

Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.




(1) a = b. Con esta información, no se puede determinar es valor numérico de

abb

a, ya que reemplazando se tiene: 2b1bb

b

by este resultado

depende del valor de b que se desconoce.

(2) b = 1. Con esta información, es posible determinar es valor numérico de abb

a,

ya que reemplazando se tiene: 0aa1a1

a.



Unidad temática Función afín y función lineal


(1) Las gráficas f(x) y g (x) son perpendiculares entre sí. Con esta información y la del

enunciado, no es posible determinar el valor de n, ya que la perpendicularidad

depende únicamente de las pendientes de las funciones, por lo tanto los coeficientes

de posición no tienen relación alguna con la perpendicularidad de las funciones.

(2) Las gráficas f(x) y g (x) se intersectan en el eje de las ordenadas. Con esta

información y la del enunciado, es posible deducir que ambas funciones intersectan

al eje de las ordenadas en el mismo punto en donde se intersectan entre ellas, por lo

tanto si el coeficiente de posición de f(x) es – 2 , entonces n en g(x) es también – 2.

Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola




(1) AC = 8 cm y DB = 6cm. Con esta información, no es posible determinar CB, ya

que entregan los valores de un lado y un trazo, por lo tanto no se puede determinar

qué tipo de triángulo es ABC.

(2) AB = 10. Con esta información, no es posible determinar CB, ya que falta

información para determinar qué tipo de triángulo es ABC.

Con ambas informaciones aún no se puede establecer la medida del trazo CB ya que no

se tiene certeza de qué triángulo es.

Por lo tanto, la respuesta es: E se requiere información adicional.


Unidad temática Cuadriláteros


(1) ADC = 120º. Con esta información y la del enunciado, no es posible calcular α,

ya que solo se conoce que ABCD es un cuadrilátero pero no de qué tipo, por lo

tanto la medida de α cambia dependiendo del tipo de cuadrilátero.

(2) ABCD es un trapecio isósceles. Con esta información y la del enunciado, no es

posible calcular α, ya que solo se saben las propiedades de este tipo de cuadrilátero

pero no se conocen valores que permitan conocer α.

Con ambas informaciones no se puede determinar el valor de α, ya que es un ángulo

formado con la diagonal y el lado paralelo, para ello se necesitaría la medida de otro

ángulo, no la del ángulo ADC.

Por lo tanto, la respuesta es: E se requiere información adicional.




(1) El total de datos es 11. Con esta información, no es posible determinar la mediana

de la muestra, ya que solo se conoce el total de la muestra y se desconocen los datos

que la componen.

(2) La muestra corresponde a los números primos menores que 33. Con esta

información, es posible determinar la mediana de la muestra ya que los datos son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31. En total son 11 datos, por lo tanto el dato

central ocupa la posición 6 la que corresponde al número 13.


Documents

Solucionario Ensayo MT - 024 2013 OK