5/26/2018 Solucion Metodo de Frobenius

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Solucion ecuacion diferencial

Solucion ecuacion diferencial

Camilo Andres Cruz Cardozo Cod 133630

Karen Fonseca

Matematicas especiales I

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Solucion ecuacion diferencial

Introduccion

Metodo de frobenius

El metodo de Frobenuis consiste en un procedimiento analitico

para encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias desegundo orden.

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Ecuacion diferencial

Con el fin de poder determinar soluciones regulares en x= 0 parala ecuacion diferencial lineal homogenea de segundo orden dadapor la expresion:

x2d2ydx2

3xdydx

+ (3 x)y= 0 (1)

y buscando reescribirla de la forma:

Ly=R(x)d2y

dx2 +1

xP(x)dy

dx + 1

x2 Q(x)y= 0 (2)

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Ecuacion diferencial

Obtenemos una expresion similar dada por:

d2

ydx2

3x

dydx

+(3 x)x2

y= 0 (3)

Donde:R(x) = 1 ; P(x) =3 ; Q(x) = (3 x)Regulares en x= 0, de donde suponemos:

P(x) =P0+P1x+P2x2 +... = 3 (4)

Q(x) =Q0+Q1x+Q2x2 +... = 3 x (5)

R(x) =R0+R1x+R2x2 +... = 1 (6)

Buscamos entonces soluciones analiticas, es decir, desarrollables enseries de potencias de la variable x.

y=xs

=

Anxn

=

=

Anxn

+s

=A0+A1xs

+1 +A2xs

+2 +... (7)

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Ecuacion diferencial

buscando determinar el valor de s en donde suponemos A0 = 0,calculamos las respectivas derivadas.

dy

dx =

n=1

(n+s)Anxn+s1 (8)

d2y

dx2 =

n=1

(n+s)(n+s 1)Anxn+s2

(9)

reemplazamos en la ec. 3.

n=1(n+s)(n+s 1)Anxn+s2 3

x

n=1(n+s)Anxn+s1 +

3xx2

n=1Anxn+s = 0

0 =

n=1(n+s)(n+s 1)Anxn+s2 3

n=1(n+s)Anx

n+s2 + (3 x)

n=1Anxn+s2

0 =

n=1(n+s)(n+s 1)Anxn+s2 3(n+s)Anx

n+s2 + (3 x)Anxn+s

0 =

n=1[(n+s)(n+s 1) 3(n+s) + (3 x)]Anxn+s2

reescribiendo los coeficientes:

S l i i dif i l

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Ecuacion diferencial

0 =

n=0

[(n+s)2 4(n+s) + 3 x]Anxn+s2 (10)

Como vemos, tenemos en la sumatoria una variable fuera de lasumatoria, por lo cual con un arreglo de indices obtenemos.

0 =

n=0

[(n+s)2 4(n+s) + 3]Anxn+s2

n=0

Anxn+s1 (11)

0 =

n=1[(n+s)2 4(n+s) + 3]An An1]x

n+s2

expresamos el primer termino de la sumatoria.

0 = (s24s+3)A0xs2+

n=1

[[(n+s)2 4(n+s) + 3]An An1]xn+s2

(12)es decir q podemos tener:

S l i i dif i l

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Ecuacion diferencial

(s24s+3)A0xs2 =

n=1

[An1 [(n+s)2 4(n+s) + 3]An]xn+s2

(13)Con el fin de anular la ecuacion diferencial, cada termino debeanularse asi como el termino independiente e igualando el primertermino a cero con el fin de encontrar sus raices en n.

0 =s2 4s+ 3 (14)

de donde sabemos que los dos valores para s seran:s0= 1 y s1= 3

0 = (s s1)(s s2) = (s 1)(s 3) (15)

Aplicando estas raices en busca de una solucion tenemos en cuentaque los terminos factores de la variable tienenquesercero.

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Ecuacion diferencial

[(n+s)2 4(n+s) + 3]An An1= 0 (16)

Donde la relacion de recurrencia sera:

[n(n+ 2)]An An1= 0 (17)

An = An1

n(n+ 2) (18)

Como vemos tenemos dos raices lo cual nos indica que existen dossoluciones posibles para la ecuacion diferencial. Usando la relacionde recurrencia y aplicando la raiz mas grande.

A1= A0

1 3

A2= A1 = A0

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Ecuacion diferencial

A3= A2

3 5=

A0

(1 2 3 4 5)(3)

A4= A3

4 6=

A0

(1 2 3 4 5 6)(3 4)

Es decir que podemos generalizar encontrando una nuevarecurrencia dada por:

An = 2A0

n!(n+ 2)!

lo que nos lleva directamente a una solucion de la ecuacion

diferencial dada por:

y1(x) = 2A0

n=0

xn+3

n!(n+ 2)! (19)

Vemos que la relacion de recurrencia inicial para la segunda raiz s2,estara dada por:

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Ecuacion diferencial

An = An1

n(n 2)

(20)

Notamos que la expresion no esta definida para n= 2, dondes1 s2=Ny teniendo en cuenta que x

s2+N =xs1 , por lo cual lasolucion buscada tendra la forma:

ys=

n=0

Anxn+s =

N

1

n=0

An(s)xn+s +

n=N

an(s)s s2

xn+s (21)

Buscando solucionar el problema para n= 2

y2(x) =

s[(s s2)ys(x)

s=s2(22)

y2(x) =N1

n=0

An(s2)xn+s2 +

n=N

an(s2)xn+s2 + ln(x)

n=N

an(s2)xn+s2

(23)

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Ecuacion diferencial

donde:

an = (s s2)An(s)

Para nN. Como An(s) y an se comportan de manera regular ens=s2, el primero para n

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Ecuacion diferencial

Donde esta relacion de recurrencia estara dada por:

an = s!A0(s)[(s+n 1)!](s+ 1)n1 (24)

Haciendo uso de la propiedad diferencial del logaritmo dada por:

df

ds =f

d(lnf)

ds

de donde obtenemos:

a

n(s) =an

(s)

d

ds(ln(n+s) + 2

n1

k=1 ln(s+k)) (25)

an(s) =an(s)( 1

s+n+ 2

n1

k=1

1

s+k) (26)

Sustituyendo por s=s2= 1 se deduce:

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Ecuacion diferencial

a

1(s) =a

1(s)(

1

n+ 1+ 2

n1

k=1

1

k+ 1) (27)

De donde encontramos la relacion:

a2(1) = A0

12

a3(1) =23A0

144

a

4(1) =

71A0

2880

donde

an(1) =A0(1 +

n=1

1n+1

+ 2

n=11

k+1

n!(n+ 2)! ) (28)

Donde la segunda solucion linealmente independientedelaforma:

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Ecuacion diferencial

y2(x) =

n=0

Bnxn+s2 +Cy1(x)lnx (29)

con b0 = 0 ;donde Ces una constante que puede o no ser cero.

y2(x) =

n=0

(A0(1 +

n=1

1n+1

+ 2

n=11

k+1

n!(n+ 2)! ))xn+1

+A0y1(x)lnx

(30)

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