Institut Teknologi Sepuluh

Nopember - Surabaya

MATEMATIKA REKAYASA II

Seri: PENYELESAIAN PD

METODE FROBENIUS

Desain: Aulia Siti Aisjah

Pengantar

Pengantar

Materi

Contoh

Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Persamaan Diferensial Linear

Koefisien tidak konstan

0)(

')(

'' ym

tky

m

tcy

KlasifikasiPersamaan Diferensial

Deferensial

Biasa

(Xi, i=1)

Turunan Pertama

Linear

(derajat=1)

y’+p(x)y=r(x)

Homogeneous

r(x)=0

Non Homogeneous

r(x) 0

Non Linear

(derajat>1)

y’+p(x)y=g(x)ya

Turunan Kedua

y’’+p(x)y’+q(x)y=0

p,q (constant)

Turunan ke-n

Parsial

(Xi, i>1)

Pengantar

Materi

Contoh

Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Power Series (Deret Pangkat)

Latihan :

2

21

0

0 xaxaaxaym

m

m

2

32

1

1

1 32' xaxaaxmaym

m

m

2

432

2

2 3.42.32)1('' xaxaaxammym

m

m

…

Materi

Pengantar

Materi

Contoh

Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Frobenius Method

Kelebihan metoda ini adalah aplikasinya

yang lebih umum, dimana Metoda

Deret Pangkat tidak bisa lakukan

Materi

Pengantar

Materi

Contoh

Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Metode Frobenius

• TEOREMA 1:

Untuk semua jenis persamaan differensial yang memenuhipersamaan:

(1)

mempunyai sekurang-kurangnya satu solusi yang dapat diwakilioleh:

(2)

dimana pangkat adalah bilangan riil atau kompleks yang dipilihsehingga

0)(

')(

''2

yx

xcy

x

xby

)()( 2

21

0

0

xaxaaxxaxxym

rm

m

r

00 a

Pengantar

Materi

Contoh

Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Cotoh Soal

Pengantar

Materi

Contoh

Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Pengantar

Materi

Contoh

Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Pengantar

Materi

Contoh

Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Pengantar

Materi

Contoh

Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

• Contoh (A) :

• Selesaikan 4xy”+2y’ +y= 0

Pers. Indicial

4r(r1)+2r=0 r(2r1) =0 r =0 or r=1/2 (Kasus 1)

0

1)('m

rm

m xarmy

0

2)1)(("m

rm

m xarmrmy

00

1

0

2 0)(2)1)((4m

rm

m

m

rm

m

m

rm

m xaxarmxarmrmx

00

1

0

1 0)(2)1)((4m

rm

m

m

rm

m

m

rm

m xaxarmxarmrm

Pengantar

Materi

Contoh

Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

(saat r=0)

[4(s+1)s+2(s+1)]as+1 + as=0 recurrence

a1= a0/2! ; a2= a1/12=a0/4! ; a3= a2/30= a0/6! …

a0=1

00

1

0

1 02)1(4m

m

m

m

m

m

m

m

m xaxamxamm

00

1

0

1 0)1(2)1(4s

s

s

s

s

s

s

s

s xaxasxsas

ss ass

a)1)(24(

11

xxxxxa

xa

xa

axy cos...!6

1

!4

1

!2

11...)

!6!4!2( 3230200

0

0

1

Pengantar

Materi

Contoh

Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

(saat r=1/2)

[4(s+1)s+2(s+1)]as+1 + as=0 recurrence

a1= a0/3! (s=1/2); a2= a1/20=a0/5! (s=3/2); a3= a2/42=a0/7!(s=5/2); …

a0=1

0

2/1

0

2/1

0

2/1 0)2

1(2)

2

1)(

2

1(4

m

m

m

m

m

m

m

m

m xaxamxamm

0

2/1

0

2/1

0

2/1 0)1(2)1(4m

s

s

m

s

s

m

s

s xaxasxsas

2/12/1)1)(24(

1

ss a

ssa

xxxxxxa

xa

xa

axy sin...!7

1

!5

1

!3

1...)

!7!5!3( 2/72/52/32/130200

0

2/1

2

Frobenius Method. Basis of Solutions.

Three Cases(2)

THEOREM 2

Case 2. Double Root r1 = r2 = r. A basis is

(7)

(of the same general form as before) and

(8)

12

• Contoh (B) : Selesaikan:

• (x2x)y”+(3x1)y’ +y= 0

Dengan metode Frobenius

r(r1)r=0 r2=0 r = 0 (kasus 2.)

0

1)('m

rm

m xarmy

0

2)1)(("m

rm

m xarmrmy

00

1

0

22 0)()13()1)(()(m

rm

m

m

rm

m

m

rm

m xaxarmxxarmrmxx

0 0

1

0

)(3)1)(()1)((m

rm

m

m

rm

m

m

rm

m xarmxarmrmxarmrm

00

1 0)(m

rm

m

m

rm

m xaxarm

(saat r=0)

(s+1)2 as+1 + (s+1)2as=0 recurrence as+1 = as

a0= a1 = a2= a3 = a4= …

a0=1

03)1()1(00

1

0 0

1

0

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m xaxmaxamxammxamm

0)1(3)1()1(00

1

0 0

1

0

s

m

s

m

s

s

m

s

s

m

s

s

m

s

s xaxasxasxassxass

xxxxxaxaxaay

1

1...1...)( 323

0

2

0001

Metode Frobenius. Kasus ke 3

THEOREM 2

Case 3. akar berbeda - integer.

(9)

(sama dengan bentuk sebelumnya)

(10)

Akar – akar r1 – r2 > 0 dan k tidak sama 0

Sekian dan terimakasih