Solucionario solemne #2 - FMF-144Mayo 2014

1- Un condensador aislado de capacidad desconocida ha sido cargado auna diferencia de potencial de 100V. Cuando el condensador cargado esluego conectado en paralelo a un condensador descargado de C = 10.0F,la diferencia de potencial, a travs de la combinacin de condensadores,es de 30V. Calcular la capacidad desconocida.

Solucin: Sea Vi el potencial inicial y Vf el potencial final, entoncessi Cx es la capacidad desconocida, la carga en ese condensador es

Qx = CxVi

Despus de conectar el otro condensador en paralelo, la nueva capacidaddel sistema es

Ceq = Cx +C

Como la carga no cambia (no se ha conectado ninguna fuente de voltaje),debe cumplirse

Qeq = Qx

es decirVfCeq = ViCx

Vf (Cx +C) = ViCx

Cx =VfC

Vi Vf=

(30V)(10.0F)100V 30V = 4.29F

Si C = 10.0F, Cx = 4.29F.Si C = 15.0F, Cx = 6.43F.Si C = 17.0F, Cx = 7.29F.

2- Cuntos condensadores de 1.00F se necesitan conectar en paralelopara almacenar una carga de 1.00C con un potencial de 110V a travsde los condensadores?

Solucin: Puesto que los n condensadores estn en paralelo, la capacidadequivalente del sistema es

Ceq = nC

donde C = 1.00F es la capacidad de un solo condensador. Ya que loscondensadores estn en paralelo, cada condensador est sometido a lamisma diferencia de potencial V = 110V. De este modo, la carga totalalmacenada en los n condensadores es

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Qtot = V Ceq = V nC n = QtotV C

n =1.00C

(110V)(1.00 106 F) 9090

Entonces se necesitaran conectar 9090 condensadores en paralelo paraalmacenar una carga de 1.00C.

Si V = 110V, n = 9090.Si V = 120V, n = 8833.Si V = 220V, n = 4545.

3- Los dos condensadores de placas paralelas estn conectados en para-lelo. Cada uno tiene una rea de placa A y la separacin entre ellos es d.Cada condensador tiene carga Q = 10.0C. Se introduce, en uno de loscondensadores, un bloque de dielctrico de constante = 2, espesor d yrea A. Calcular la nueva carga del condensador con dielctrico.

Solucin: Despus que se ha introducido el dielctrico ocurre una dis-tribucin de cargas en el sistema, pero la carga total no vara. Sea Qvacla carga del condensador con vaco y Q la carga del condensador condielctrico. La conservacin de la carga nos permite escribir

Qvac +Q = 2Q (?)

La capacidad, C, del condensador vaco no vara pero la capacidad delconservador con dielctrico es C = C. Ya que los dos condensadoresestn en paralelo, ellos tienen la misma diferencia de potencial

QvacC

=QC

Q = Qvac (??)

De (?) y (??) se obtiene

Qvac =2Q1+ ; Q =

2Q1+

Si = 2; Qvac = 6.7C; Q = 13.3CSi = 3; Qvac = 5.0C; Q = 15.0C

4- Para el circuito con resistencias de la figura, encontrar (a) R3 si Rab =R1, (b) R2 si Rab = R3, y (c) R1 si Rab = R1.

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Solucin: Primero encontramos la resistencia equivalente entre a y b

Rab =R1R2R1 +R2

+R3

(a) Encontrar R3 si Rab = R1

R1R2R1 +R2

+R3 = R1 R3 = R21

R1 +R2

Si R1 = 2.0 y R2 = 3.0, R3 = 0.8Si R1 = 4.0 y R2 = 1.0, R3 = 3.2

(b) Encontrar R2 si Rab = R3R1R2R1 +R2

+R3 = R3 R2 = 0

(c) Encontrar R1 si Rab = R1

R1R2R1 +R2

+R3 = R1 R1 =R3 +

R23 + 4R2R32

Si R2 = 2.0 y R3 = 3.0, R1 = 4.4Si R2 = 3.0 y R3 = 2.0, R1 = 3.6Si R2 = 7.0 y R3 = 2.0, R1 = 4.9Si R2 = 5.0 y R3 = 4.0, R1 = 6.9

5a- Dos esferas metlicas cargadas son conectadas por un alambre me-tlico. La esfera A es ms grande que la esfera B. Respecto al potencialelectrosttico en la superficie de la esfera A y en la superficie de la esferaB:(a) El potencial en A es mayor que en B.(b) El potencial en A es menor que en B.(c) El potencial en A es igual al de B.(d) El potencial depende del radio de las esferas.(e) El potencial depende de las cargas de las esferas.

A B

Solucin: Cuando las dos esferas son conectadas por el alambre metlico,las cargas fluyen y se distribuyen entre las dos esferas, hasta que el sistemaest en equilibrio electrosttico. En ese momento el sistema ser unasuperficie equipotencial. As que las dos esferas estn al mismo potencial.

5b- Dos esferas metlicas cargadas son conectadas por un alambre me-tlico. La esfera A es hueca y la esfera B est adentro de la esfera A.Respecto al potencial electrosttico en la superficie de la esfera A y en lasuperficie de la esfera B:

A

B

Alambre

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(a) El potencial en A es mayor que en B.(b) El potencial en A es menor que en B.(c) El potencial en A es igual al de B.(d) El potencial depende del radio de las esferas.(e) El potencial depende de las cargas de las esferas.

Solucin: Cuando las dos esferas son conectadas por el alambre metlico,las cargas fluyen y se distribuyen entre las dos esferas, hasta que el sistemaest en equilibrio electrosttico. En ese momento el sistema ser unasuperficie equipotencial. As que las dos esferas estn al mismo potencial.

6- Una varilla de plstico ha sido doblada para formar un anillo de radioR = 8.20 cm. El anillo tiene una carga Q1 = 4.20pC uniformementedistribuida a lo largo de un cuarto de su circunferencia, y una cargaQ2 = 6Q1 a lo largo del resto de su circunferencia. Suponga que V = 0en el infinito, Cul el el potencial elctrico en un punto P sobre el eje auna distancia h = 6.71 cm desde el centro del anillo?

Solucin: La frmula que nos permite encontrar el potencial para unanillo completo con carga Q es (ver formulario):

V (z) =keQz2 +R2

Esta expresin es equivalente a la de una carga Q puntual a una distanciaz2 +R2 del punto P . Esto es debido a que cada punto del anillo est

a la misma distancia del punto P , es decir, no importa si el anillo estcompleto o no, lo que importa es la carga total. El potencial en el puntoP ser la suma de los potenciales de los dos segmentos de anillo:

VP =keQ1h2 +R2

+keQ2h2 +R2

= =keQ1z2 +R2

+ke(6Q1)z2 +R2

= 5keQ1z2 +R2

Con los datos suministrados:

VP = 5(9 109Nm2/C2)(4.20 1012 C)

(0.0671m)2 + (0.082m)2= 1.78V

Si h = 6.71 cm, VP = 1.78V

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Si h = 9.71 cm, VP = 1.49VSi h = 3.71 cm, VP = 2.10V

7- Un disco plstico de radio R = 64.0 cm est cargado con una densidaduniforme de carga = 7.73 fC/m2. Se quita una fraccin del disco originalpara quedar con un sector definido por el ngulo = 90. Si V = 0en el infinito, Cual es el potencial, debido al sector, en el punto P sih = 25.9 cm?

Solucin: Para un disco entero, el potencial se calcula con

V =

20(R2 + h2 h)

Entonces el potencial debido a un sector ser proporcional al ngulo .En este caso = 90 representa un cuarto del disco total (90/360 = 1/4)

Vsec =14

[

20(R2 + h2 h)

]=

(7.73 1015 C/m2)((0.64m)2 + (0.259m)2 0.259m)8(8.85 1012 C2/N.m2)

= 4.71 105V

Si = 90, Vsec = 4.71 105VSi = 60, Vsec = 3.14 105VSi = 45, Vsec = 2.36 105V

8- La figura muestra un arreglo rectangular de partculas fijas con unadistancia a = 39.0 cm y las cargas son mltiplos enteros de q1 = 3.40pCy q2 = 6.00pC. Con V = 0 en el infinito. Cul es el potencial neto en elcentro del rectngulo?

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Solucin: Todas las partculas de las esquinas son equidistantes del cen-tro del rectngulo y la suma total de las cargas es

+2q1 3q1 q1 + 2q1 = 0

por lo tanto no contribuyen al potencial. As que nos quedamos con lasdos partculas +4q2 que estn a una distancia a/2 del centro

V = 2ke4q2a/2 =

4(9 109N.m2/C2)(4 6.00 1012 C)0.39m

= 2.22V

Si a = 39 cm, V = 2.22VSi a = 31 cm, V = 2.79VSi a = 25 cm, V = 3.46V

9- Durante cuatro minutos se establece una corriente de 5.0A en unalambre, Cuntos electrones pasan a travs de la seccin transversal delalambre?Solucin: Primero calculamos la carga total que pasa a travs de alambredurante los cuatro minutos (240 s). Como la corriente se define comoI = q/t, entonces

q = (5.0A)(240 s) = 1200C

El nmero electrones (N) est relacionado con la carga mediante q = Ne,donde e es la carga elemental. Luego

N =1200C

1.6 1019 C = 7.5 1021 electrones

Si I = 3.0A, N = 4.5 1021Si I = 5.0A, N = 7.5 1021Si I = 6.4A, N = 9.6 1021

10- Un alambre de cobre (Cu = 1.7 108.m) de longitud 4.00mlleva una corriente de 2.00A uniformemente distribuida a travs de surea transversal de 2.00 106m2. Cuanta energa elctrica se transfierea energa trmica en 30 minutos?Solucin: Primero calculamos la resistencia del alambre

R =CuL

A=

(1.7 108.m)(4.00m)2.00 106m2 = 0.034

Luego calculamos la potencia disipada

P = I2R = (2.00A)2(0.034) = 0.136W

como la potencia se define como P = W/t, entonces

W = (0.136W)(1800 s) 245 J

Si I = 2.00A, W = 245 J

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Si I = 2.50A, W = 383 JSi I = 3.00A, W = 551 J

11- Un circuito tiene una resistencia R. Cuando se agrega una resistenciade 500, en paralelo a la resistencia del circuito, la corriente en el circuitose triplica. Encontrar la resistencia R.Solucin:

La resistencia equivalente (despus de conectar la resistencia de 500)es Req = 500R/(500+ R). Consideremos que lo nico que no cambia,despus de conectar la resistencia de 500, es el voltaje.

IR = 3I(

500R500+R

) 500+R = 1500 R = 1000

Si la corriente se triplica R = 1000Si la corriente se cuadruplica R = 1500Si la corriente se quintuplica R = 2000