BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM

GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR

MŰSZAKI MECHANIKAI TANSZÉK

A SMITH-PREDIKTOR

IDŐTARTOMÁNYBELI VIZSGÁLATA TDK DOLGOZAT

Készítette: Hajdu Dávid

2013

Konzulens: Insperger Tamás, egyetemi docens

Műszaki Mechanikai Tanszék

TARTALOMJEGYZÉK

1. BEVEZETŐ 1

2. IDŐKÉSÉS ZÁRT SZABÁLYOZÁSI KÖRÖKBEN 3

2.1. INGA ÉS INVERZ INGA ........................................................................ 3

2.2. IDEÁLIS INGA ÉS INVERZ INGA STABILITÁSA ...................................... 7

2.3. INSTABIL GYÖKÖK ............................................................................ 8

2.4. SZABÁLYOZÁS KÉSLELTETETT VISSZACSATOLÁSSAL ......................... 9

3. SMITH-PREDIKTOR 13

3.1. A HAGYOMÁNYOS SMITH-PREDIKTOR .............................................. 13

3.2. AZ ÁTVITELI FÜGGVÉNY MEGHATÁROZÁSA ..................................... 15

3.3. ELSŐRENDŰ RENDSZER .................................................................... 17

3.4. MÁSODRENDŰ RENDSZER ................................................................. 20

3.5. BIZONYTALAN RENDSZERPARAMÉTEREK ......................................... 25

3.6. ÁLLAPOTTÉR MODELL ..................................................................... 28

3.7. SZABÁLYOZÓERŐ IDŐFÜGGVÉNYE ................................................... 32

3.8. SZABÁLYOZÓERŐ DISZKRETIZÁLÁSA ................................................ 35

3.9. STABILITÁSVIZSGÁLAT A DISZKRETIZÁLT MOZGÁSEGYENLETTEL .... 40

3.10. SMITH-PREDIKTOR ÉS FSA SZABÁLYOZÓ ......................................... 47

4. ÖSSZEFOGLALÁS 51

4.1. ÖSSZEFOGLALÁS .............................................................................. 51

4.2. SUMMARY ........................................................................................ 52

5. FÜGGELÉK I

A. ROUTH-HURWITZ KRITÉRIUM ............................................................ I

B. MÁTRIX-EXPONENCIÁLIS .................................................................. II

6. IRODALOMJEGYZÉK V

1

1. BEVEZETŐ

A XX. században bekövetkezett technológiai robbanás az élet minden területét

befolyásolta. A technológia fejlődésével az elektromos rendszerek beszivárogtak a

hétköznapjaink minden területére, mára nemcsak az iparnak, de háztartásunknak is szinte

minden egyes terméke tartalmaz valamilyen integrált elektronikát. Ez meghatározza a

működésüket, mindemellett automatikussá, megbízhatóbbá, de gyorsabbá is váltak.

Az 1940-es években fejlődésnek indult irányításelmélet is drasztikusan megváltozott

napjainkra. Korábban a robosztus, stabil rendszerek domináltak, de mára az instabil

rendszerek szabályozása okoz nagyobb kihívást. Ennek oka, hogy az instabil rendszerek csak

szabályozással stabilizálhatók, ugyanakkor sokkal gyorsabban, kisebb energia-befektetéssel

képesek reagálni. Vegyük például az embert. Amikor fekszünk, felállunk, hosszú idő kell, mire

ki tudunk egyenesedni és elindulni, azonban már álló helyzetből sokkal gyorsabban tudunk

pozíciót változtatni. Azonban ez a pozíció egy instabil egyensúlyi helyzet, csak folyamatos

egyensúlyozással vagyunk képesek tartani azt, érzékszerveink nélkül egy helyben állni sem

tudnánk. Ez igaz más dinamikai rendszerekre is, például vadászgépekre, a hadipar egyéb

találmányaira vagy robotokra. Éppen ezért mára a fejlődés irányát az instabil rendszerek

szabályozása határozza meg [1].

Modellalkotás során bizonyos jelenségeket és paramétereket elhanyagolunk, és ideális

esetekkel foglalkozunk. De ezek gyakran nem írják le megfelelően a valóságot és nem

elegendőek. Ennek következményeként a modelleket lépésenként bonyolítjuk, kiegészítjük

újabb jelenségekkel, hogy megfelelően pontos eredményt kapjunk. Mikor egy szabályozókört

tervezünk nem elegendő a szabályozandó rendszert ismerni, hanem a teljes szabályozókör

elemeinek paramétereivel és tulajdonságaival is tisztában kell lennünk. Egy gyakran

elhanyagolt jelenség az időkésés, amely nemcsak ipari folyamatokban, de gazdasági és biológiai

rendszerekben is meghatározó lehet [2].

A rendszerek helyzeteinek mérésére szenzorokat használunk, ezek azonban a legkevésbé

sem ideálisak, nemlinearitásokkal és legtöbbször időkésésekkel terheltek. Az időkésés oka lehet

a véges információterjedési sebesség, illetve a digitális rendszerekben a mintavételezés. Az

emberi szervezet is hasonló, hiszen a szenzorjaink az érzékszerveink, amelyek reflexkésése

gyakran problémát okoz. Az időkésés a dinamikai rendszerek szabályozótervezését is

befolyásolja, ugyanis instabillá teheti azokat. Célunk, hogy az időkésés ellenére egy stabilan

működő, adott feladat számára optimális dinamikai tulajdonságokkal rendelkező rendszert

hozzunk létre.

A dinamikai rendszereink működését és a szabályozott rendszerekét is

differenciálegyenletek írják le, amelyeket késleltetett tagok terhelnek. Az első ilyen

matematikai modelleket már 1940-ben megalkották, bár azóta igencsak sokat fejlődtek. Az

első olyan szabályozási struktúrát, amely a késleltetett rendszereket hivatott stabilizálni,

2

O.J.M. Smith mutatta be 1957-ben (ld. 3.1 alfejezet) [3]. Feltalálója után ez a szabályozó

Smith-prediktor néven terjedt el, röviden SP. Szokás még Smith holtidős kompenzátornak is

nevezni (Smith dead-time compensator, DTC) [2], [4], [5]. Ennek a struktúrának az elmúlt

néhány évtizedben meghatározó szerepe volt az időkéséssel terhelt rendszerek problémáinak

megoldásában. Valójában ez az elmélet adott kezdeti lökést a tervezésnek és az ún. módosított

Smith-prediktorok megalkotásának, amelyek szélesebb körben alkalmazottak, mint elődjük [2],

[6].

Éppen ezért a mai napig gyakran vizsgált téma az eredeti Smith-prediktor működése is,

hiszen ennek ismeretében könnyebben érthetjük meg a modernebb szabályozók működését és

kereshetünk megoldást a felmerülő problémákra. Addig nem érthetjük meg az emberi

idegrendszer szabályozó mechanizmusát sem, amíg ezeket az egyszerű, idealizált modelleket

nem tudjuk matematikailag megfelelően kezelni és tárgyalni. A további felfedezésekhez az

alapok biztos és pontos ismeretére van szükség.

A SP mellett egy sokat vizsgált szabályozótípus az ún. FSA szabályozó (Finite Spectrum

Assignment) [7], [8], [9], amely hasonlóan időkésleltetett rendszerekre tervezett kontroller. Az

eredeti SP csak stabil rendszerekre alkalmazható, módosított változatai instabil szabályozandó

szakaszokra is kiterjednek. A legtöbb szakirodalomban a két kontroller külön-külön taglalt

téma, gyakran semmi párhuzamot nem vonnak közöttük. Valójában azonban az FSA

szabályozó és a módosított Smith-prediktor (generalized SP) struktúrája nagyon hasonló

egymáshoz. A kettő közötti kapcsolatról a [10]-es szakirodalomban olvashatunk többet, a kettő

rendszer obszerver-prediktor blokkdiagramja ugyanis a forrás szerint részben megfeleltethető

egymásnak.

A következőkben az eredeti Smith-prediktort vizsgáljuk. A 2-es fejezet a késleltetett

differenciálegyenletek stabilitásvizsgálatának egy módszerét és egy egyszerű szabályozót

ismertet, a prediktor működését pedig részletesebben a 3-as fejezetben találhatjuk meg. A

megismert matematikai módszereket alkalmazzuk a SP esetén is, miközben célunk a stabilitás

meghatározása nemideális esetben. A dolgozatban részletesebben bemutatjuk az analitikus

eredmények levezetését, melyeket numerikus módszerrel, például a semi-diszkretizáció

segítségével [11], és szimulációval is igazolunk.

3

2. IDŐKÉSÉS ZÁRT SZABÁLYOZÁSI KÖRÖKBEN

A jelen fejezet célja, hogy bemutassa az ideális, valamint időkésleltetett rendszerek

közötti különbségeket. Az időkéséssel terhelt szabályozókörök egyenleteit is késleltetett

differenciálegyenletekkel írhatjuk le, ezért első lépésben ezeket kell megismernünk. A

következőkben elvégzésre kerül egy egyszerű szabályozókör elemzése, amelyet megvizsgálunk

időkéséses és időkésés nélküli esetben is.

A feladatok könnyebb érthetősége és kezelhetősége végett egy egyszerű mechanikai

példával kezdődik a fejezet, amelyet demonstrációs célra használunk. Valójában a szabályozott

rendszer tetszőleges lehet, de egy példa könnyebben segíti a probléma megértését. Ez a

mechanikai modell egy inga illetve inverz inga lesz. Segítségével könnyebben tudjuk értelmezni

majd az ideális és késleltetett esetek közötti eltéréseket és a stabilitás kérdését is.

2.1. INGA ÉS INVERZ INGA

A stabilitás vizsgálatához a kiinduló modell egy inga lesz, ez az ún. pendulum-cart

model. Ehhez meghatározzuk az inga mozgásegyenletét, hogy annak a stabilitását

megvizsgálhassuk (2-1. ábra). Az ingát felfordítva inverz ingát kapunk, aminek a linearizált

mozgásegyenlete hasonló az ingáéhoz. A nemlineáris mozgásegyenletből levezethető mindkét

eset. Ehhez megtehetjük, hogy egyszerűen élünk a � � � � 180° helyettesítéssel, majd ez után

végezzük a linearizálást.

A mozgásegyenlet felírásához a Lagrange-egyenletet használhatjuk, amelynek általános

alakja a következőképpen írható fel [1]

��� � � ��� � ��� � � ��� � �∗. (2.1.)

2-1. ábra: Inga (bal) és inverz inga (jobb) sematikus ábrája

4

Mivel a szabályozáshoz szükséges egy beavatkozás, hogy a mechanikai rendszer stabil

maradjon, ezért egy motor segítségével hozzuk létre a szabályozó � erőt. Ez lesz az általános

erő, ami az egyenletben is szerepel.

A Lagrange-egyenlethez szükség van a kinetikus energia (�), a disszipációs energia (�)

és a helyzeti energia (�) függvényeire, továbbá a mozgásegyenlethez a általános koordinátát

is ki kell jelölnünk. Utóbbi jelen esetben egy két szabadságfokot tartalmazó koordinátavektor,

vagyis

� � �� �. (2.2.)

Mivel jelen esetben a viszkózus és a Coulomb-súrlódást elhanyagoljuk, ezért a Lagrange-

egyenletben a � disszipációs függvénytől eltekinthetünk. A mozgási- és potenciális energia

függvényeit a súlypontra írhatjuk fel, amelynek a pillanatnyi sebessége a koordináták

ismeretében megadható, mint

�� = �� + �� = � ��0 � +����

!2 ∙ cos � ∙ ��!2 ∙ sin � ∙ �� )***+ =

����

�� + !2 ∙ cos � ∙ ��!2 ∙ sin � ∙ �� )***+. (2.3.)

Az energiafüggvényekbe a súlypont sebességét helyettesítve a kinetikus energiára a (2.4.)-es,

a helyzeti energiára pedig a (2.5.)-ös összefüggés adódik.

� = 12 ∙ , ∙ |��|. + 12 ∙ Θ0 ∙ �� . (2.4.)

� = −, ∙ 1 ∙ !2 ∙ cos� (2.5.)

A két energiaegyenlet közül a kinetikus energia függvényét kell kicsit alakítanunk, hogy a

megfelelő formához jussunk. Ehhez át kell rendezni a súlyponti sebességre kapott

összefüggésünket a (2.3.)-as egyenletből kiindulva. A vektor abszolút értékét képezve,

eredményképpen adódnak

|��|. = 234�� + !2 ∙ cos � ∙ �� 5. + 4!2 ∙ sin � ∙ �� 5.6.

, (2.6.)

|��|. = ��. + ! ∙ �� ∙ �� ∙ cos � + !.2 ∙ �� .. (2.7.)

Az egyenletek linearizálása nélkül, a (2.4.)-es egyenletbe helyettesítve a fenti összefüggést,

majd átrendezve azt, a kinetikus energia függvénye

� = 12 ∙ , ∙ ��. + 12 ∙ , ∙ ! ∙ �� ∙ �� ∙ cos � + 16 ∙ , ∙ !. ∙ �� .. (2.8.)

A Lagrange-egyenlethez szükség van ezeknek az energiafüggvényeknek a megfelelő koordináta-

valamint idő szerinti parciális deriváltjaira, amelyet a következő egyenletek mutatnak.

5

���� = − 12 ∙ , ∙ ! ∙ �� ∙ �� ∙ sin � (2.9.)

����� = 12 ∙ , ∙ ! ∙ �� ∙ cos � + 13 ∙ , ∙ !. ∙ �� (2.10.)

dd ����� = 12 ∙ , ∙ ! ∙ �; ∙ cos � − 12 ∙ , ∙ ! ∙ �� ∙ sin � ∙ �� + 13 ∙ , ∙ !. ∙ �; (2.11.)

���� = , ∙ 1 ∙ !2 ∙ sin � (2.12.)

���� = 0 (2.13.)

����� = , ∙ �� + 12 ∙ , ∙ ! ∙ �� ∙ cos � (2.14.)

dd ����� = , ∙ �; + 12 ∙ , ∙ ! ∙ �; ∙ cos � − 12 ∙ , ∙ ! ∙ �� . ∙ sin � (2.15.)

���� = 0 (2.16.)

Mivel a beavatkozó erő teljesítménye csak a � koordinátától függ, ezért a

�∗ = � 0� � (2.17.)

általános erővektor könnyen megadható. Az energiafüggvények, valamint azok deriváltjainak

ismeretében felírható a két változó szerinti komponensegyenlet

dd ����� − ���� + ���� = 0, (2.18.)

dd ����� − ���� + ���� = �. (2.19.)

Így fenti egyenletekbe behelyezve a tagokra kapott részeredményeket, a két egyenlet

leegyszerűsítés után egyetlen mátrixegyenletbe rendezhető, vagyis

����

13 ∙ , ∙ !. 12 ∙ , ∙ ! ∙ cos � 12 ∙ , ∙ ! ∙ cos � , )**

*+ < � ;�; = +

����

12 ∙ , ∙ 1 ∙ ! ∙ sin �− 12 ∙ , ∙ ! ∙ sin � ∙ �� . )**

*+ = < 0 � =. (2.20.)

Az � koordináta ciklikus koordináta, ezért az egyenletrendszerből átrendezéssel kiejthető, ha

a második komponensegyenletet >. ∙ ! ∙ cos � -vel megszorozzuk, majd az első egyenletből

kivonjuk. A tagokat átrendezve kapjuk

?4 − 3 ∙ cos. �A ∙ �; + 6 ∙ 1! sin � − 3 ∙ sin � ∙ cos � ∙ �� . = − 6, ∙ ! ∙ cos � ∙ �. (2.21.)

6

A � beavatkozó erőt szabályozástechnikailag egy negatív visszacsatolással hozhatjuk

létre, amely közben mérjük a pillanatnyi szöghelyzetet és szögsebességet, ezt pozíció-

visszacsatolásnak (position feedback) nevezzük. A szabályozóerő ezek és egy PD szabályozó

segítségével valósítható meg, melyhez két paraméterre, egy B -re valamint � -re van

szükségünk. Előbbit proporcionális-, míg utóbbit derivatív erősítési tényezőnek nevezzük. Így

kapjuk az alábbi összefüggést

�?A = �?�, �� , A = B ∙ �?A + � ∙ �� ?A. (2.22.)

A következő lépésben linearizálhatjuk a (2.21.)-es mozgásegyenletet, ha csak kis

kitéréseket feltételezünk. Egyszerűsítések után a következő egyenlet adódik, amely a rendszer

mozgását írja le kis szögelfordulások esetén (|�CDE| ≤ 5°) �; ?A + 6 ∙ 1! �?A = − 6, ∙ ! ∙ B ∙ �?A − 6, ∙ ! ∙ � ∙ �� ?A. (2.23.)

A későbbi vizsgálatokhoz szükségünk van a mechanikai rendszer átviteli függvényére, amelyet

a rendszert leíró differenciálegyenlet Laplace transzformáltjából határozhatunk meg. Ez csak

a lineáris mozgásegyenletből adható meg. Ehhez először a könnyebb kezelhetőség érdekében

új paramétereket vezetünk be az együtthatók helyett, vagyis

�; ?A + H ∙ �?A = −I ∙ �?A − ∙ �� ?A, H = 6 ∙ 1! , I = 6, ∙ ! ∙ B, = 6, ∙ ! ∙ �, (2.24.)

majd a két oldalt transzformálva operátor tartományba, a (2.25.)-ös egyenlethez jutunk. A

jobb oldal a bemenetnek tekinthető szabályozóerő, ezt helyettesíthetjük egyetlen U?KA függvénnyel. Az átviteli függvény így a bemenet és kimenet Laplace transzformáltjának a

hányadosa.

s. ∙ Φ?KA + H ∙ Φ?KA = −I ∙ Φ?KA − ∙ K ∙ Φ?KA = U?KA (2.25.)

P?KA = Φ?KAU?KA = 1s. + H (2.26.)

A végső összefüggés a (2.24.)-es és (2.26.)-os egyenlet, amely az egyszerű szabályozott

inga linearizált mozgásegyenlete és átviteli függvénye. A fenti egyenletekben szereplő három

paraméter ( H , I és ) a rendszer stabilitása szempontjából lényeges. Cél ezeknek a

paramétereknek a függvényében megvizsgálni a teljes rendszer működését, a stabilitás

feltételeit és körülményeit.

A fentiekben levezett összefüggések az egyszerű ingára vonatkoznak. Abban az esetben,

ha megfordítjuk az ingát, inverz ingát kapunk, amelynek a stabilitása megváltozik, de a

mozgását leíró egyenletek hasonlók. Megmutatható, hogy ha � = � + 180°-ot vezetjük be új

változónak, a felső, instabil egyensúlyi helyzet körül linearizálva a mozgásegyenletet csak az H paraméter előjele változik meg, vagyis

�; ?A − H ∙ �?A = −I ∙ �?A − ∙ �� ?A → P?KA = 1s. − H (2.27.)

7

2.2. IDEÁLIS INGA ÉS INVERZ INGA STABILITÁSA

A 2.1-es alfejezetben levezetett összefüggések alapján a folytonos PD szabályozó esetére

könnyű a stabilitás feltételeit meghatározni [1], [11]. A jelen példára elkészíthető

blokkdiagramot a 2-2. ábra szemlélteti. A visszacsatolt ág nem tartalmaz időkésést,

mintavételezést, ezért a leíró egyenletek közönséges, jelen esetben másodrendű

differenciálegyenletek.

A vizsgálathoz a (2.24.) és a (2.27.)-es egyenletet használjuk (az előbbi az ingára, míg

utóbbi az inverz ingára vonatkozik). Rendezzük át az egyenlet tagjait egyetlen oldalra, majd

gyűjtsük egybe az együtthatókat. Az így kapott átrendezett (2.28.)-as alak láthatóan egy

másodrendű lineáris differenciálegyenlet, amire alkalmazható a Routh-Hurwitz kritérium

(A Függelék).

Jelen, másodrendű rendszer esetében egyszerűsödik a feltétel, és a Routh-Hurwitz

determináns helyett csak az együtthatók előjelét kell megvizsgálnunk.

�; ?A + ∙ �� ?A + ?I ± HA ∙ �?A = 0 (2.28.)

A fenti egyenlet két részre bontható, ha ingáról beszélünk, akkor a nulladrendű tag

együtthatója ?I + HA, ha inverz inga a modell, akkor pedig ?I − HA. Ezek alapján a stabilitás

feltételeit definiálja

> 0 → � > 0 , (2.29.)

I > ±H → B > ±, ∙ 1 . (2.30.)

Láthatóan az aszimptotikus stabilitáshoz szükséges egy tag is a szabályozóhoz, nem

elegendő egy egyszerű proporcionális tagot tartalmazó szabályozó. Éppen ezért minimálisan

szükséges a PD kontroller, amiben még nincs integráló tag. A PID-ben szereplő integrátor

lényegesen elbonyolítaná a számításokat, még egy paraméter figyelembevételét igényelné. A

jelen dolgozatban ezt az esetet nem kezeljük.

A könnyű grafikai megjelenítés érdekében szokás a stabil tartományokat síkban, egy

diagramon ábrázolni. A fenti példa egyszerű, a I - síkon kell a stabilitást kielégítő

tartományokat megjelölni. Ezt mutatja a 2-3. ábra. Vagyis bármilyen I - kombinációt

választva a stabil területen, a rendszer stabil marad, illetve stabilizálható, azon kívül pedig

instabillá válik. Láthatóan mindkét esetben van stabil tartomány, amely pontosabban egy

teljes negyedsík, de az inverz inga esetében a határ eltolva kezdődik.

2-2. ábra: Idealizált szabályozókör

8

2-3. ábra: Stabil tartományok az inga (bal) és inverz inga (jobb) esetében

2.3. INSTABIL GYÖKÖK

A legfontosabb stabilitáskritériumok alapja a karakterisztikus egyenlet gyökeire

vezethető vissza. Mennyiségük és „milyenségük” nemcsak a stabilitást befolyásolja, hanem a

rendszer működését, vagyis dinamikai viselkedését is. Ezek határozzák meg a rendszer

gyorsaságát, időállandóját, beállási pontosságát, túllendülését és a lengéseket is. Éppen ezért

fontos, hogy ismerjük azoknak a számát és értékét. Ahol az instabil gyökök száma nullára

adódik, ott a rendszer stabil, ha ez egy, vagy ennél nagyobb, akkor instabil.

Abban az esetben, ha a rendszer, vagyis az azt leíró differenciálegyenlet nem közönséges

differenciálegyenlet, hanem késleltetett típusú, úgy a karakterisztikus egyenlet sem lesz

polinom. Egy n-ed rendű polinomnak maximum n különböző gyöke lehet. Ez megfelel egy n

dimenziós rendszernek. Időkésleltetett rendszer esetén a gyököket csak numerikusan

határozhatjuk meg, számuk pedig végtelenre növekszik. Ezek a rendszerek végtelen dimenziós

rendszerek, amely tulajdonság lényegesen nehezíti a számításokat [12], [13].

Az instabil gyökök meghatározására szolgáló egyik formula az ún. Stépán formula [12].

Ehhez szükség van a rendszert leíró karakterisztikus egyenlet valós és képzetes részre bontott

alakjára, Q?RA és S?RA függvényekre. Ezt követően meg kell keresnünk ezen függvények

gyökeit, ami gyakran önmagában sem egy egyszerű feladat, mivel általában csak közelítéssel

oldhatók meg. Ezt követően a kapott gyököket a megfelelő formulába kell helyettesíteni, ennek

eredményeképpen adódik az instabil gyökök száma.

T � , � ?�1AC ∙ U?�1AVW> ∙ sgnSY?ZVA[\

V]> (2.31.)

T � , � 12 � ?�1AC ∙ ^12 ?�1A� ∙ sgnQ?0A � U?�1AVW> ∙ sgnQ?_VA�`>

V]>a (2.32.)

9

Abban az esetben, ha a rendszer b szabadságfoka páros, vagyis b � 2, , akkor a

(2.31.)-es összefüggés használható. A képlet használatához meg kell keresnünk az Q?RA = 0 egyenlet valamennyi pozitív valós 0 < Z\ ≤ ⋯ ≤ Z> gyökét. Ha ismerjük Z\ gyököket,

akkor ezeket kell visszahelyettesíteni S?RA függvénybe, R\ = Ze alapján. A képlet ezt követően

az instabil gyökszámot adja meg egyetlen zárt tartományra.

Ha a rendszer páratlan szabadságfokú, vagyis b = 2, + 1, a (2.32.)-es összefüggésre van

szükségünk. Hasonlóan az előzőekhez, most az S?RA = 0 egyenlet nemnegatív valós gyökeit kell

meghatároznunk. Az így kapott 0 = _� ≤ ⋯ ≤ _> gyököket pedig az Q?RA függvénybe kell

visszahelyettesíteni.

Problémát a gyökök meghatározása jelenthet, hiszen a karakterisztikus egyenlet nem

egyszerű polinom, analitikusan általában nem tudjuk megoldani. Egy megoldás az, hogy első

lépésben kirajzoljuk az S?RA és Q?RA függvényeket R függvényében. Ekkor, ha lehetőségünk

van, szemmel általában le tudjuk olvasni a gyökök helyét. Pontosabb megoldáshoz pedig

numerikusan kereshetjük meg azok értékét, ha a leolvasott pont környezetében indítunk

iterációs lépéseket. Különféle matematikai szoftverekben erre más-más parancsok állnak

rendelkezésre, de ezzel a módszerrel gyorsan meghatározhatók a szükséges értékek.

A Stépán formula egyszerre csak egy-egy területre ad megoldást. A D-görbékkel

feldarabolt stabilitási térképen minden felszabdalt területen ki kell választanunk egy pontot

és ezeket a paramétereket kell visszahelyettesíteni a karakterisztikus egyenletbe. Tehát minden

tartományra külön-külön, újra és újra el kell végeznünk ezeket a számításokat, amely igencsak

időigényes. A továbbiakban a gyökök meghatározásánál csak a módszerre hivatkozunk, annak

lépéseit nem tűntetjük fel, de a térképeken ábrázoljuk az instabil gyökök számát.

2.4. SZABÁLYOZÁS KÉSLELTETETT VISSZACSATOLÁSSAL

Az eddigiek során megnéztük az ideális, késleltetés nélküli szabályozó mozgásegyenletét

és megvizsgáltuk annak stabilitását az időtartománybeli alakjában. Abban az esetben, ha a

leíró egyenlet nem közönséges lineáris differenciálegyenlet, a Routh-Hurwitz kritérium nem

használható (A Függelék), a szükséges determináns ugyanis csak polinomok esetén

definiálható. A D-görbe módszerrel (D-subdivision method) azonban lehetőségünk van

meghatározni a határgörbéket, ahol a rendszer instabil exponenseinek számában változás

jelentkezik [11]. Ezzel a módszerrel könnyen körbehatárolható a stabil terület, ha a kapott

egyenletrendszer megoldható. Ehhez a f = g ± h ∙ R, R ≥ 0 helyettesítést kell elvégeznünk.

A következőkben egy egyszabadságfokú, másodrendű, visszacsatolt rendszer vizsgálata

kerül bemutatásra. A zárt szabályozási körbe egy PD-szabályozó van beépítve, amelynek

paraméterei most I és . Vegyük észre a hasonlóságot a 2.1-es alfejezet (2.27.)-es egyenletével.

10

j;?A � H> ∙ j� ?A � Hk ∙ j?A � �I ∙ j? � lA � ∙ j�? � lA (2.33.)

Abban az esetben, ha H> � 0, vagyis a rendszerben nincs csillapítás és az időkésés zérus

(l � 0), akkor a két egyenlet megfeleltethető egymásnak. A következőkben ezt az egyenletet

fogjuk megvizsgálni a csillapítás nélküli esetben, mivel a későbbiekben ez meghatározó lesz a

további eredmények értékelésében. A fenti megfontolásokkal a zárt rendszer a 2-4. ábra

szerinti blokkdiagramba írható át.

Fejezzük ki a karakterisztikus egyenletet (2.34.), majd bontsuk szét valós és képzetes

részre. Ha a korábban említettek alapján a rendszerben csillapítás nincs, H> együttható értéke

nulla. Ezzel szemben az ingához viszonyítva Hk � H egy olyan paraméter, ami csak a

geometriára jellemző konstansokat tartalmaz, vagyis értéke állandónak tekinthető. Így a két

paraméter, I- síkján ábrázolhatjuk a stabilitást. A karakterisztikus egyenlet

�?fA � f. � H � I ∙ m`n∙o � ∙ f ∙ m`n∙o. (2.34.)

Az f � g O h ∙ R, R i 0 helyettesítéssel tehát a következő egyenletek adódnak

Q?RA:g. � R. � H � Im`qo cos?RlA � gm`qo cos?RlA � Rm`qo sin?RlA � 0, (2.35.)

S?RA:2gR � Im`qo sin?RlA � Rm`qo cos?RlA � gm`qo sin?RlA � 0. (2.36.)

Abban az esetben, ha g � 0, a D-görbéket kapjuk meg.

haR � 0:I � �H, ∈ s (2.37.)

haR t 0:I � ?R2 � HA ∙ cos?RlA , � R2 � HR ∙ sin?RlA (2.38.)

A két paraméter ismeretében már elkészíthető a stabilitási térkép. Az instabil gyökök

száma a Stépán módszerrel meghatározható, az ábrákon azok száma látható. A 2-5. ábra

megfeleltethető az inga stabilitási térképének, míg a 2-6. ábra az inverz ingáénak. Látható,

hogy az inverz inga esetén a stabil tartomány jóval szűkebb, de jellegre a kettő hasonló. Ennek

az az oka, hogy a gravitáció az inga esetén stabilizálja az ingát, míg inverz ingánál éppen

ellenkezőleg hat. A statikus stabilitásvesztési határgörbe éppen ezért a I � �H pontokon

helyezkedik el. Az is látható a tartományokon, hogy a statikus határgörbe átlépésekor az

instabil gyökök száma mindig eggyel változik, míg dinamikus határgörbe esetén kettővel.

Utóbbi egy komplex instabil gyökpár átlépését jelenti a képzetes tengelyen.

2-4. ábra: Szabályozókör késleltetett visszacsatolással

11

2-5. ábra: Késleltetett visszacsatolású inga stabilitási tartománya (H � 0,5, l � 1)

2-6. ábra: Késleltetett visszacsatolású inverz inga stabilitási tartománya (H � �0,5, l � 1)

12

13

3. SMITH-PREDIKTOR

A következőkben a hagyományos Smith-prediktor kerül bemutatásra, amely a TDK

dolgozat témáját képezi. A legtöbb szakirodalomban megtalálható számítástól eltérően a

levezetések során a fentiekben bemutatott módszereket használjuk, vagyis az egyenleteket

elsősorban időtartományban kezeljük és vizsgáljuk.

Első lépésben bemutatjuk a Smith-prediktort, majd egy ilyen prediktív típusú szabályozót

tartalmazó, egyszerű, elsőrendű rendszeren alkalmazzuk a megismert módszereket és vizsgáljuk

a stabilitást. Későbbiekben a másodrendű rendszeren is bemutatjuk az eredményeket, de

részletesebben kielemezve azokat, különböző módszereket, többet között a szemi-diszkretizációt

is alkalmazva [11]. Végső soron pedig bemutatjuk a szabályozó ÁTM alakját, rámutatunk

néhány újszerű eredményre, valamint felfedjük kapcsolatát az FSA szabályozóval.

3.1. A HAGYOMÁNYOS SMITH-PREDIKTOR

A valós rendszerekben jelentkező időkésés hétköznapi probléma, minden rendszert

terhel, legyen az ipari, gazdasági vagy biológiai [2]. Folytonos rendszereknél gyakran

elhanyagoljuk ezt, mivel az információterjedés sebessége jóval nagyobb, minthogy az érdemi

befolyást jelentene. Vannak esetek, amikor azonban ez ténylegesen fontos lehet, például

bonyolultabb elektronikai rendszereknél, vagy digitális mintavételes rendszereknél, ahol a

mintavételezés időkéséshez hasonló jelenségeket okoz [11], [14].

A már korábban többször említett Smith-prediktor nevet kapott szabályozási struktúrát

O.J.M. Smith mutatta be 1957-ben [3]. Ez egy matematikai levezetése annak, hogyan lehetne

az időkésést a rendszerből kiemelni, majd az ideális szabályozóra visszavezetni azt. Az első

próbálkozások annak gyakorlatba ültetésére kevés sikerrel jártak, részletesebb elméleti

levezetésekre az 1970-es és 1980-as években került sor [2]. Ezek a levezetések sokban segítették

a Smith-prediktor működésének megértését, tulajdonságainak megismerését, de legnagyobb

előnye az azt követő években jelentkezett.

A Smith-prediktor olyan szabályozót tartalmaz, amely az időkésést ideális esetben

elméletileg képes kiemelni a zárt szabályozási körből [2]. Pontosabban a szabályozó tartalmaz

egy ún. prediktor tagot, amely a szabályozandó szakasz egy pontos matematikai modellje.

Ennek a prediktor modellnek az elkészítése analóg rendszerek esetén komoly nehézségekbe

ütközik, többek között az időkésés megvalósítása miatt. Gyakorlatba ültetésére a digitális

rendszerek elterjedése után került igazán sor, ahol az időkésés egyszerű shift-eléses utasítássá

vált, a modell pedig egy számítógépes algoritmussá [2]. Habár a gyakorlatban a mintavételes

SP az elterjedtebb, a dolgozat során a folytonos rendszert vizsgáljuk. Ennek oka, hogy úgy

14

tekintjük a mintavételezést, mint ami olyan nagy frekvencián történik, hogy az jó közelítéssel

folytonosnak tekinthető, a mintavételezési hatásokat pedig elhanyagoljuk.

A beavatkozás úgy történik, hogy a bemeneti jel hatására az eredeti visszacsatolt

jellemzők mellett megjelenik két másik visszacsatolt tag is, ezt szemlélteti a 3-1. ábra. Az

elmélet szerint, ha pontosan ismerjük a fizikai rendszert és el tudjuk készíteni annak a

matematikai modelljét, akkor ismerjük annak dinamikai viselkedését is. Pontosabban bármely

időpontban meg tudjuk határozni a rendszer állapotát a jelenlegi állapot ismeretében.

Jelöljük a rendszert terhelő időkésés l-val. Tehát, ha ismerjük a rendszer állapotát k időpontban és ismerjük a matematikai modell minden egyes paraméterét pontosan, akkor meg

tudjuk adni könnyen a k � l állapotot is. A Smith-prediktor esetében ez pontosabban úgy

működik, hogy a késleltetett valós visszacsatolást egy nem késleltetett, ideális visszacsatolással

cseréljük ki. Tehát ahelyett, hogy egy olyan jellel szabályoznánk a rendszert, amely „elkésett”,

pontosan egy akkora jelet kap, amely a jelen állapotra vonatkozik és nincs „elkésve”. Ez a

működésben úgy jelentkezik, hogy a késleltetett tagok ellentétes előjellel összeadódnak,

valamint kiegészül egy prediktált állapottal. Ha minden paraméter ideális és pontosan

ismerjük a rendszereket, akkor ezek a tagok valóban kiesnek és az időkésés kiemelhető.

A problémát az jelenti, hogy sem a rendszert, sem az időkésést nem ismerjük pontosan,

pedig a prediktor működésének alapja, hogy ezek teljesen megegyeznek. Már kis perturbáció

(paramétereltérés) esetén is ezek a tagok nem egyszerűsíthetők le és figyelembe kell vennünk

a hatásokat. A legtöbb szakirodalomban nem kezelik a valós és a prediktor rendszer eltéréseit,

csak az időkésés bizonytalanságát [2], [4], [13]. A probléma ezzel viszont az, hogy a dinamikai

rendszerek esetén a paramétereket a tömeg, csillapítás, súrlódás, hossz, tehetetlenségi

nyomaték stb. határozzák meg. Ezek közül egyiket sem ismerjük pontosan, ezért nem is

mondhatjuk azt, hogy a rendszer és a modell megegyezik. Az időkésés ismeretéről hasonlóan

ez állítható. Éppen ezért célunk, hogy a stabilitás vizsgálásánál minél több bizonytalanságot

figyelembe vegyünk, és így a valósághoz közelebb álló modellt készítsünk. A következőkben

ezt szem előtt tartva vizsgáljuk a Smith-prediktor működését és határozzuk meg a stabil

területeket elsősorban időtartománybeli vizsgálattal.

3-1. ábra: Smith-prediktor általános blokkdiagramja

15

3.2. AZ ÁTVITELI FÜGGVÉNY MEGHATÁROZÁSA

Az általános alakban megadott blokkdiagramot a 3-1. ábra mutatja, amelyen az átviteli

függvények vannak megadva. P?KA átviteli függvény a fizikai rendszer átviteli függvénye, Pu?KA a prediktor modellé, C?KA a szabályozókörbe épített szabályozóé, vagy más szóval controller-é.

A valós modell állapotát egy szenzorral mérjük, amely jelen esetben nem ideális. Ezt egy l időkéséssel vesszük figyelembe, amely alapján a mérőeszköz átviteli függvényét egyetlen

időkéséses tag, e`�o jellemzi. Láthatóan a modell is tartalmaz egy nem ideális, l időkéséssel

rendelkező tagot, ennek átviteli függvénye e`�oy . A szabályozókörben valamennyi tag visszacsatolva van jelen. Láthatóan a szenzor miatt

a valós x időfüggvény a rendszerben csak egy l időkéséssel van jelen, amelynek pontos értékét

nem ismerjük. A késleltetett tagot x{, mint delayed tag jelzi. Ehhez képest a rendszerben

visszacsatolva van a modell valós idejű xy és xy| késleltetett kimenete is. Abban az esetben, ha

tökéletesen pontosan ismerjük a fizikai modell paramétereit, valamint a rendszer időkésését és

ezt pontosan be is tudjuk állítani a prediktor modellen, akkor az időkésés kiküszöbölhető,

hiszen a két késleltetett tag ellentétes előjellel adódik össze (3.1.). Így ideális esetben a

beavatkozás a modell alapján történik, nem pedig a valós rendszer alapján.

Ez persze egy olyan ideális eset, amely csak matematikailag érhető el. A valóságban

viszont sem a fizikai rendszer paramétereit nem tudjuk pontosan lemérni, sem pedig a

prediktor modellen nem tudjuk azt pontosan beállítani. Éppen ezért a nem ideális eset kezelése

írja le jobban a valóságos működést. A következőkben cél ennek a megvizsgálása elsőrendű és

másodrendű rendszeren bemutatva.

A blokkdiagram ismeretében meghatározható a rendszer átviteli függvénye, vagyis a

bemenet és a kimenet közötti függvénykapcsolat. Ehhez ki kell fejeznünk a szükséges

összefüggéseket, majd azokat a megfelelő formára hozni.

e = xy − xy| + x| (3.1.)

u = C ∙ ?r − eA (3.2.)

x = u ∙ P (3.3.)

xy = u ∙ Pu (3.4.)

x| = x ∙ e`�o (3.5.)

xy| = xy ∙ e`�oy (3.6.)

A fenti összefüggésekből kifejezhető a rendszer W?KA átviteli függvénye. Ehhez az egyenleteket

kell kifejezni és a következő alakra hozni:

W?KA = xr (3.7.)

x = u ∙ P = r ∙ C ∙ P = C ∙ P ∙ ?r − xy + xy| − x|A (3.8.)

16

u � xP � xyPu → xy � PuP x (3.9.)

A következő lépésben az xy, xy| , x|elemeket kell kifejeznünkx segítségével, hogy az átviteli

függvény megadható legyen. Az így kapott egyenlet átrendezhető és kiemelhető mindkét

oldalról a keresett változó.

x � C ∙ P ∙ �r � PuP x � PuP ∙ e`�oy � x ∙ e`�o� (3.10.)

C ∙ P ∙ r � x � C ∙ Pu ∙ x � P ∙ C ∙ e`�o ∙ x � C ∙ Pu ∙ x ∙ e`�oy (3.11.)

W?sA � xr � C ∙ P1 � C ∙ Pu � C ∙ P ∙ e`�o � C ∙ Pu ∙ e`�oy (3.12.)

Az egyenletek helyes átrendezését követően a kapott (3.12.)-es alak a rendszer általános

esetben megadott átviteli függvénye. Ez azonban nem egyezik meg a stabilitásvizsgálathoz

szükséges karakterisztikus egyenlet formulával, ehhez a fenti átviteli függvényeket a megfelelő

formával helyettesíteni, majd átalakítani kell.

A legtöbb szakirodalomban szokás egy zavarójelet figyelembe venni a rendszer előtt,

amellyel valamiféle egyensúlyi megzavarást, vagy kezdeti feltételt vehetünk figyelembe [2],

[13]. Ezt szemlélteti a 3-2. ábra. Mivel az r-vel jelzett bemenet jelen esetben az egyensúlytartás

miatt nulla, ezért célszerű a d zavarást (disturbance) feltételezni külső bemenetnek, amelyet

a szabályozókör kompenzálni kényszerül. Ezzel a megfontolással az átviteli függvényt újra fel

kell írnunk a zavarójel és a kimenet között.

Ebben az esetben csak egy egyenletet kell újradefiniálnunk, a többi változatlan. Így a

(3.3.)-as összefüggést a (3.13.)-assal cserélhetjük ki. Ezt azért célszerű megtennünk, mert a

valóságos szemléletnek ez utóbbi ábra jobban megfelel. Így ugyanis a gerjesztés csak a valós

fizikai rendszert éri, a beavatkozás pedig a szenzor jele alapján történik. Ennek hatására a

prediktor modellbe is már a mért jel csatolódik vissza, a valós rendszer nem kerülhető meg.

x � ?u � dA ∙ P (3.13.)

3-2. ábra: Smith-prediktor általános blokkdiagramja zavarással kiegészítve

17

Ezen megfontolások alapján az átviteli függvényt könnyen felírhatjuk újra. Az

egyenleteket átrendezve és áthelyettesítve, ez előzőekhez hasonlóan, a következő összefüggés

adódik:

x − d ∙ P = C ∙ P ∙ �− �x ∙ PuP − d ∙ P� + �x ∙ PuP − d ∙ P� ∙ e`0�y − x ∙ e`0��. (3.14.)

Ebből könnyen kifejezhető a zavarójel és a kimenet közötti

W|?KA = xd = P − C ∙ P ∙ Pu ∙ e`0�y + C ∙ P ∙ Pu1 + C ∙ Pu + C ∙ P ∙ e`0� − C ∙ Pu ∙ e`0�y (3.15.)

átviteli függvény. Az így kapott átviteli függvények között láthatóan csak a számlálóban van

különbség, a rendszer karakterisztikus egyenlete, amely a nevezőből képezhető, változatlan. A

kettő között azonban van eltérés, ezt a 3.3-as alfejezetben vizsgáljuk meg részletesebben.

3.3. ELSŐRENDŰ RENDSZER

Elsőrendű rendszerről akkor beszélhetünk, ha a fizikai rendszer átviteli függvényének

karakterisztikus egyenlete elsőrendű. Mivel valós fizikai rendszereknél az átviteli függvény

számlálójának rendszáma maximum annyi lehet, mint a nevező rendszáma, az átviteli

függvény például

P = 1K − H (3.16.)

alakban írható. Ebben az esetben a magára hagyott rendszer instabil lenne, ha az H paraméter

értéke pozitív. Ebben az alfejezetben ennek az egyszerűsített rendszernek a példáján fogjuk

megvizsgálni a stabilitást. A következőkben csak az ideális esetet vizsgáljuk, a paraméterek

perturbációjával később foglalkozunk.

Az elsőrendű rendszer esetén elegendő a szabályozáshoz egyetlen I paraméter, vagyis a

szabályozót egyetlen proporcionális tag képezi:

C = I (3.17.)

A fenti egyenleteket behelyettesítetjük például a (3.12.)-es eredeti átviteli függvénybe, vagy a

(3.15.)-ös zavarással kiegészítettbe. Ezt követően rendezzük mind a számlálót, mind a nevezőt

kvázipolinom (exponenciális polinom) alakra, tehát

W?KA = I ∙ 1K − H1 + I ∙ 1K − Hy + I ∙ 1K − H ∙ e`�o − I ∙ 1K − Hy ∙ e`�oy , (3.18.)

W?KA = I ∙ ?K − HyA?K − HA ∙ ?K − HyA + I ∙ ?K − HA + I ∙ ?K − HyA ∙ e`�o − I ∙ ?K − HA ∙ e`�oy . (3.19.)

18

Hasonlóan a zavarással kiegészített átviteli függvény is megadható

W|?KA � ?K � HyA � I ∙ e`�oy + I?K − HA ∙ ?K − HyA + I ∙ ?K − HA + I ∙ ?K − HyA ∙ e`�o − I ∙ ?K − HA ∙ e`�oy . (3.20.)

A (3.19.)-es és (3.20.)-as összefüggés között csak a számlálóban van különbség. Az

átviteli függvényt képező nevező gyökeit nevezzük pólusoknak, a számláló gyökeit zérusoknak.

Ha egy zérus pontosan megegyezik egy pólussal, abban az esetben az átviteli függvény

egyszerűsíthető, hiszen egy gyök kiejthető. Ezt nevezzük pólus-zérus egyszerűsítésnek (pole-

zero cancellation). Ez csak abban az esetben állhat fent, ha például a számlálóból és a

nevezőből is egyszerűen kiemelhető ugyanaz a gyök. Jelen esetben az ideális esetet

tárgyalhatjuk egyszerűen, ezért tegyük meg azt az egyszerűsítést, miszerint H = Hy és l = l. Vagyis a rendszer és a prediktor modell minden paramétere megegyezik. Nézzük első esetben

a (3.19.)-es összefüggést. Látható, hogy az ?K − HA együttható kiemelhető mindkét esetben, a

késleltetett tagok pedig kiesnek. Eredményképpen az ideális, késleltetés nélküli P

szabályozóval szabályozott rendszer egyenletét kapjuk vissza:

W?KA = C ∙ P1 + C ∙ P = C1P + C = I?K − HA + I (3.21.)

Ez az egyszerűsítés nem végezhető el a (3.20.)-as egyenleten, mivel abból nem emelhető ki

ilyen együttható. Ennek következménye, hogy a két esetben két karakterisztikus egyenletet

vizsgálhatunk meg, az egyszerűsítettet és a teljeset.

Elsőként az eredeti karakterisztikus egyenletet vizsgáljuk meg az ideális esetben, amikor

a paraméterek megegyeznek. Ezt a következő egyenletek mutatják.

�?KA = ?K − HA ∙ ?K − HyA + I ∙ ?K − HA + I ∙ ?K − HyA ∙ e`�o − I ∙ ?K − HA ∙ e`�oy (3.22.)

�?KA = K. + ?I − H − HyAK + H?Hy − IA − Ie`�oy K + Ie`�oK + HIe`�oy − HyIe`0� (3.23.)

ha Hy = H és l = l: �?KA = K. + ?I − 2HAK + H?H − IA (3.24.)

A Smith-prediktor esetében általánosan igaz az, hogy ha a paraméterek nem egyeznek meg,

vagy átalakítás után nem egyszerűsítjük a karakterisztikus egyenletet, a rendszer fokszámát

kétszeresére növeli, vagyis jelen elsőrendű rendszer esetében másodfokú lesz a karakterisztikus

polinom. A fenti, (3.24.)-es összefüggés a Routh-Hurwitz kritériummal ellenőrizhető, amely

jelen esetben csak az együtthatók előjelének vizsgálatát jelenti.

I − 2H > 0 H?H − IA > 0 (3.25.)

A fenti két feltétel három további feltételre bontható szét.

I > 2H H < 0 és H < I H > 0 és H > � (3.26.)

19

Az így nyert feltételek egyértelműen meghatároznak egy stabilitási tartományt az H-I síkon,

ezt mutatja a 3-3. ábra jobb oldali képe. A bal oldali képen a pólus-zérussal leegyszerűsített

eset látható. A két térképen jól összehasonlíthatók a kapott eredmények, de ne felejtsük el,

hogy ez csak a rendszerparaméterek egyezése esetén áll fent így.

Látható, hogy abban az esetben, ha a bemenet és kimenet között felírt átviteli függvényt

a zérussal leegyszerűsítjük, egy gyök kieseik a rendszerből. Ez nem probléma akkor sem, ha ez

a gyök instabil, vagyis maga a szabályozandó rendszer instabil. Ebben az esetben is lesz stabil

tartomány, ezt mutatja a bal oldali ábrán a jobb oldali félsíkon megtalálható stabil terület.

Ha az átviteli függvényt nem egyszerűsítjük le, vagy a kimenet és a zavarás között írjuk fel és

így nem egyszerűsíthető, akkor a stabilitási tartományt a jobb oldalon látható ábra mutatja.

Ebben az esetben a jobb oldali félsík instabil tartománnyá válik.

A kiinduló példában instabil rendszert feltételeztünk, ezt mutatja a (3.16.)-os átviteli

függvény. Így minden H P 0 rendszerparaméter instabil nyitott rendszert eredményez. A

levezetés végeredményeképpen megmutatható, hogy a Smith-prediktor hagyományos esetben

nem alkalmas instabil rendszerek szabályozására, mivel H P 0 esetén a stabil tartomány

megszűnik. Valójában a bal oldali esetben is van egy instabilitást okozó gyökünk, de a speciális

paraméteregyezés miatt ez megegyezik egy zérussal, így az kiejthető.

A két eredmény azt mutatja, hogy pontosabb megoldáshoz a teljes karakterisztikus

egyenletet kell vizsgálunk, nem pedig annak a zérusokkal egyszerűsített alakját.

3-3. ábra: Elsőrendű rendszer stabilitási tartománya az eredeti átviteli függvény (bal)

és a zavarás figyelembevételével felírt átviteli függvény esetén (jobb)

20

3.4. MÁSODRENDŰ RENDSZER

A másodrendű rendszer példájának bemutatására a 2.1-es alfejezetben, az ingára illetve

inverz ingára levezetett átviteli függvényt fogjuk használni. Vagyis a Smith-prediktorral

próbáljuk meg a rendszer időkésés okozta instabilitását megoldani. A következőkben a stabil

nyitott rendszert vizsgáljuk, vagyis szorítkozzunk az H P 0 esetre. Ha ettől eltérünk, külön

felhívjuk a figyelmet.

A rendszer átviteli függvényéhez, amely jelen esetben az inga függvénye, a (3.27.)-es

egyenletet használjuk. A prediktor modell ez alapján hasonlóan másodrendű, paramétere H

helyett azonban Hy, amit a (3.28.)-as egyenlet mutat. Továbbá a szenzort jellemzi a l, valamint

a prediktor modellt a l időkésés.

P = 1K. + H (3.27.)

Pu = 1K. + Hy (3.28.)

A szabályozókörben ezek mellett egy PD szabályozó is szerepel, amelynek I és

paraméterei mellett határozzuk meg a stabilitási tartományokat. Mindeközben H és l értékét

lerögzítjük, további a prediktorra megadott eltérést engedünk meg Hy-ra és l-ra nézve. Vagyis

célunk a paraméterek eltérése melletti eset vizsgálata.

Jelen esetben tehát a beszerelt PD szabályozót nem időtartományban definiáljuk, hanem

operátortartományban, vagyis a Laplace transzformáltjával megadva.

ℒ?I ∙ x?A + ∙ x� ?AA → C?KA = I + K ∙ (3.29.)

Ezt követően, mivel minden átviteli függvényt ismerünk, a (3.12.)-es egyenletbe

visszahelyettesítve, megadhatjuk a másodrendű, Smith-prediktorral szabályozott rendszer

átviteli függvényét (3.30.). Hozzuk a kifejezést a következő alakra

W?KA = ?I + KA ∙ 1K. + H1 + ?I + KA ∙ 1K. + Hy + 1K. + H ∙ ?I + KA ∙ e`�o − ?I + KA ∙ 1K. + Hy ∙ e`�oy , (3.30.)

W?KA = ?I + KA?K. + HyA?K. + HyA?K. + HA + ?I + KAY?K. + HA + ?K. + HyA ∙ e`�o − ?K. + HA ∙ e`�oy [. (3.31.)

Az átviteli függvény nevezőjéből képezhető a karakterisztikus egyenlet, amelyet a

stabilitásvizsgálatra használhatunk itt is. Első lépésben bontsuk fel a (3.31.)-es tört nevezőinek

szorzatait, hogy a helyettesítést könnyebben elvégezhessük. Ezt követően a korábbi esethez

hasonlóan meghatározhatjuk a D-görbéket közvetlenül, ha jelen esetben K = h ∙ R, R ≥ 0

helyettesítéssel élünk. Szétválasztva az egyenletet valós és képzetes részre, tehát

21

Q?RA: HHy + HI − HR. − HyR. − IR. + R� + HyIcos?RlA − IR. cos?RlA − HIcos?RlA + IR. cos?RlA + HyR sin?RlA − R� sin?RlA − HR sin?RlA + R� sin?RlA = 0, (3.32.)

S?RA: HR − R� + HyR cos?RlA − R� cos?RlA − HR cos?RlA + R� cos?RlA − HyI sin?RlA + IR. sin?RlA + HI sin?RlA − IR. sin?RlA = 0, (3.33.)

egyenletek adódnak. A paraméteres D-görbék meghatározásához ezt a két egyenletet kell

megoldanunk I és paraméterekre (3.35.). Így a stabilitási tartományok megrajzolhatók a

szükséges H és l értékek megválasztását követően.

ha R = 0: I = −H, ∈ ℝ (3.34.)

ha R ≠ 0: I = �?H − R.A?Hy − R.AY?−Hy + R.A cos?RlA + ?H − R.A?−1 + cos?RlAA[� /?2H. +

Hy. − 4HR. − 2HyR. + 3R� + 2?H − R.A?Hy − R.Acos ?lRA +

2?H − R.A?−Hy + R.Acos ?R?l − lAA − 2H.cos ?RlA + 4HR.cos ?RlA −

2R�cos?RlAA = �?H − R.A?Hy − R.AY?−Hy + R.A sin?RlA + ?H − R.A sin?RlA[� /?R?2H. + Hy. −

4HR. − 2HyR. + 3R� + 2?H − R.A?Hy − R.A cos?RlA +

2?H − R.A?−Hy + R.A cosYR?l − lA[ − 2H. cos?RlA + 4HR. cos?RlA −

2R�cos ?RlAAA

(3.35.)

Abban az esetben, ha a prediktált és a valós paraméterek megegyeznek, az egyenletek

az ideális PD szabályozó egyenleteire egyszerűsödnek le (2.2-es alfejezet), ez a Smith-prediktor

működésének a lényege. Ha azonban a paraméterek nem ideálisak, a fenti egyenletek

érvényesek, így a következőkben ezt fogjuk vizsgálni.

A módszerrel csak a D-görbék határozhatók meg, a stabil tartomány ezen belül

közvetlenül nem. Ehhez a Stépán módszert használhatjuk itt is, amellyel minden tartományon

egyenként kell meghatározzuk az instabil gyökök számát. Ahol az instabil gyökök száma

nullára adódik, stabil tartományt kapunk. A 3-4. ábra és 3-5. ábra ezeket a gyököket is

mutatja. Látható, hogy jelen estben is, ha a statikus határgörbét lépjük át, az instabil

gyökszám eggyel változik, míg a dinamikus határgörbe esetén mindig kettővel.

A stabil tartományok ismeretében elkészíthető egy olyan diagram, amely a

paraméterérzékenységet mutatja (ld. 3-6. ábra és 3-7. ábra). Látható, hogy az időkésés

változása jóval kisebb hatással van a rendszerre, mint a rendszerparaméter. Ez utóbbi ugyanis

minőségi ugrást jelent a stabil tartományok változásában.

Ha az H paraméter értékét alábecsüljük, a stabil tartomány az ideálishoz képest elkezd

egy spirálhoz hasonló alakkal szűkülni. Mindenközben megjelenik egy apró hurok, amely

mindig az origóban metszi önmagát, és az alsó negatív félsíkból metsz ki egy darabot. Ha

azonban az H paraméter értékét felülbecsüljük, a hurok a felső tartományon jelenik meg.

Ebben az esetben a stabil tartomány a hurok által körbeölelt terület lesz. Ez egy hirtelen

méretváltozás, ugyanis ha a rendszerparaméter két oldalról tart a valóshoz, hirtelen ugrik

végtelenről nullára a stabil tartomány, majd kezd el újra növekedni.

22

3-4. ábra: Stabilitási térkép (H � 0,5, l � 1, Hy � 0,8H, l � 0,5l)

3-5. ábra: Stabilitási térkép (H � 0,5, l � 1, Hy � 1,2H, l � 0,5l)

A szabályozóparaméterek értéke az origóban ?I, A � ?0,0A, így a karakterisztikus egyenlet

(K � hR) helyettesítéssel

?K. � HyA?K. � HA � 0 → ?�R. � HyA?�R. � HA � 0 (3.36.)

alakra egyszerűsödik, amelynek egyértelmű megoldásai R> � √H és R. � √Hy. Tehát a görbe

ezeket a frekvenciákon metsződik, ami pontosan a két nyitott rendszer sajátkörfrekvenciája.

Az időkésés becslése is meghatározó, ha l értékét zérusra vesszük, az eredeti l időkéséses

stabilitást kapjuk vissza. Ez nem véletlen, hiszen ebben az esetben, a blokkdiagramon is

látható módon a prediktor önmagát egyszerűsíti le (3-2. ábra). Ehhez képest amíg l → l, a

stabilitási tartományok növekednek, mert a spirál kezdeti szakasza egyre inkább ellaposodik

és l → l esetén maximális. Ezt követően l → ∞ esetén drasztikusan leszűkül. Erre mutat

néhány példát a 3-6. ábra és 3-7. ábra. A kis hurok is jól megfigyelhető a lenti ábrákon.

Látható, hogy a görbék menete viszonylag hasonló, de az Hy paraméter eltérésének

növekedésével a hurok egyre dominánsabbá válik, és nagy eltérés esetén akár új területeket is

metszhet ki a már meglévő D-görbékkel.

23

3-6. ábra: Stabil tartományok változása paraméterek függvényében (kis eltérések)

3-7. ábra: Stabil tartományok változása paraméterek függvényében (nagy eltérések)

24

Valamennyi hivatkozott szakirodalom a rendszerparaméterek eltérését elhanyagolja, és

csak az időkésés eltérésével foglalkozik [2], [4], [5], [13]. Ez azt jelenti, hogy az Hy � H

egyszerűsítés következtében a karakterisztikus egyenlet egyetlen gyökpárja ismert, hiszen egy

?K. � HA együttható kiemelhető (3.31.). Ez az együttható megadja a rendszer egy komplex

póluspárját, amely

K � Oh ∙ √H. (3.37.)

A stabilitás feltétele, hogy a zárt szabályozási kör valamennyi pólusa a komplex sík

negatív valós térfelén helyezkedjen el. A jelen esetben kapott eredmény egy nulla valós értékű

komplex gyökpárat mutat, amely a stabilitás határára kényszeríti a rendszert. Vagyis ebben

az esetben nem instabil a zárt kör, de nem is aszimptotikusan stabil. Valójában a rendszer

állandó amplitúdójú csillapítatlan lengéseket végez állandósult állapotban. Ez azért fontos,

mert ha a rendszert úgy vizsgáljuk, hogy nincs zavarás, és a bemenet felöl szabályozzuk, ez a

gyök nem jelentkezik, mert egy pólus pont lefedi azt (3.3 alfejezet). Vagyis a Smith-prediktor

igencsak érzékeny a zavarásra (erről még a dolgozat végén szó lesz). Abban az esetben, ha a

zavarás téríti ki a rendszert, ez a pólus határhelyzetre kényszeríti azt. A későbbiekben

szimulációval is bemutatjuk a jelenséget.

Hasonlóan az előzőekhez, az instabil szabályozandó szakaszt tartalmazó rendszer

stabilitási térképe is elkészíthető. Ebben az esetben az eredeti rendszerparaméter előjelét

negatívra cserélhetjük (2.1. alfejezet, (2.27.)-es egyenlet). Az előző bekezdés megfontolása

alapján, ha a rendszerparaméter és a prediktor paramétere megegyezik, vagyis Hy = H, egy ?K. − HAtényező kiemelhető. Jelen esetben is ez két valós pólust eredményez.

K = ±√H (3.38.)

Ezek közül a negatív előjelű stabil, míg a pozitív instabil pólus. A vizsgált szakirodalmakban

ezzel magyarázzák a Smith-prediktor korlátait, miszerint az instabil rendszerekre nem

alkalmazható [2], [4], [5], [13]. Ez azonban csak speciális eset, a szakdolgozatban ezzel az Hy = H

egyszerűsítéssel nem éltünk általánosan, így a számítás is bonyolultabbá vált. A rendszer

instabil pólusainak meghatározása nem egyszerű feladat, erre azonban nekünk nincs is

szükségünk. Pontosabban nekünk nem az instabil gyökök pontos értéke a fontos, hanem azok

darabszáma. A Stépán módszerrel ezeket ebben az esetben is meg tudjuk határozni (3-8. ábra).

A kapott D-görbék nagyon hasonlók a stabil rendszerhez, ellenben nem alakul ki az

origóban a kis hurok, valamint minden tartományban eggyel növekszik az instabil gyökök

száma. A rendszert leíró késleltetett differenciálegyenletekről (RFDE) tudjuk, hogy kis

perturbációkra a gyökök folytonosan változnak [15]. Vagyis azt mondhatjuk, hogy kis eltérések

esetén, ha Hy ≅ H , a rendszernek továbbra is megmarad egy instabil gyöke √H + 0h környezetében. Ezzel is megmutatható az, miért nem alkalmas a Smith-prediktor instabil

rendszer stabilizálására, ha a paramétereket az ideálishoz közel próbáljuk megválasztani. Nagy

paraméterbizonytalanságok esetén azonban a helyzet bonyolultabb (3.5-ös alfejezet).

25

3-8. ábra: Stabilitási térkép (H � �0,5, l � 1, Hy � 0,8H, l � 0,5l)

(minden tartomány instabil)

3-9. ábra: Gyökök változása a paraméterek változásával instabil rendszer esetén

(H � �0,5, l � 1, l � 1,1l, I � 1, � 1)

Habár eltérő paraméterek mellett nem határozható meg az összes gyök analitikusan,

numerikusan különféle módszerek állnak rendelkezésünkre. A fenti elméleti levezetés

igazolására a DDE-BIFTOOL numerikus programot használtuk, eredményét mutatja a 3-9.

ábra. Látható, hogy a rendszerparaméter becslésével változik az instabil gyök helyzete, de

viszonylag nagy hiba esetén is kicsit mozdul csak el eredeti pontjából.

3.5. BIZONYTALAN RENDSZERPARAMÉTEREK

Az előbbiekben bemutattuk és megvizsgáltuk azt az esetet, amikor a rendszer

paramétereit, illetve az időkésést is viszonylag pontosan ismerjük, a bizonytalanság kicsi. Ez

azonban nem jelenti azt, hogy ez általánosságban igaz. Előfordulhat, hogy nem határozhatjuk

meg pontosan a paramétereket, vagy azok időközben nagymértékben változnak. A

23

1

23

1

4

4

5

3

26

következőkben vonatkoztassunk el a mechanikai példánktól és feltételezzünk egy egyszerű,

tetszőleges másodrendű rendszert, mely paramétereit széles határok között ismerjük csupán.

Ez a bizonytalanság legyen a valós érték akár több tízszerese (!). Elfogadva ezt a feltételezést,

megvizsgálhatjuk azt, hogy a rendszer stabilitási határai hogyan változnak, és részletesebb

betekintést nyerhetünk annak viselkedésére.

Láthattuk, hogy az időkésés bizonytalansága kevésbé befolyásolja a rendszer

stabilitását, mint a rendszerparaméteré (3-6. ábra és 3-7. ábra). Jelen alfejezetben rögzítsük a

becsült l időkésést, és feltételezzük azt, hogy ezt pontosan ismerjük, vagyis l � l . A

rendszerparaméter bizonytalanságát ezzel szemben növeljük meg lényegesen, olyannyira, hogy

annak előjele is megváltozhat. A mechanikai példánkon élve ez annyit jelent, hogy a valós

ingához képest a prediktor modell inverz ingát feltételez. Ily módon legyen �50H < Hy < 50H.

Korábbiakban a stabil nyitott rendszert vizsgáltuk elsődlegesen, tegyünk most is így

első lépésben. A 3-10. ábra ezt az esetet mutatja. A szélső esetekhez tartozó diagramokon a

Smith-prediktor mellett a késleltetett PD szabályozó stabilitási görbéit is megtalálhatjuk. A

második sor diagramjait figyelve (g)-től l)-ig) felfedezhetjük a már korábban, H = Hy (h)) körül

tapasztalt hirtelen ugrást. Az alábecsült rendszerparaméter jelentősen megnöveli a területet,

ezzel szemben viszont érdekes az, hogy a hiba növekedésével a stabil tartomány is növekszik

(i)-től l)-ig), a D-görbe pedig határesetben az egyszerű PD szabályozó görbéjéhez tart (a) és

l)). Vagyis a rendszerparaméter felülbecslése mellett annál nagyobb a stabil tartomány, minél

nagyobb a hiba. Ez azonban nem növelhető a PD szabályozó tartománya fölé (l)), vagyis

ebben az esetben a Smith-prediktor nem alkalmas a stabilitás növelésére. Látható az is, hogy

abban az esetben, ha a prediktor modell paramétere előjelet vált (a)-tól f)-ig), vagyis instabil

rendszert feltételezünk, nem kapunk stabil tartományt.

A következőkben nézzük az instabil nyitott rendszer esetét. Az előző alfejezetben

beláthattuk, hogy abban az esetben, ha a belső modell paraméterei pontosan ismertek

(időkésés nem kritérium), akkor a zárt rendszer végtelen sok gyöke közül egyetlen gyökpár

pontosan meghatározható, amely nem más, mint a nyitott rendszer gyökei. Kis perturbációk

esetén pedig √H környezetében marad egy instabil pólus. Nagy eltérés esetén már ez a

feltételezés azonban nem helytálló, ezt mutatja a 3-11. ábra. Tehát ha mindegy paraméter

pontos (h)) nincs stabil tartomány. Ez igaz mindvégig, amíg a prediktor modell is instabil

rendszert tartalmaz. Ha előjelet vált a modellparaméter (a)-tól f)-ig) ez bizonyos értéktől

kezdve, miközben a PD szabályozó görbéihez tartunk megjelenik egy apró stabil tartomány.

Ez a határérték meghatározható egyszerűen, ha keressük azt a kritikus értéket, melynél

a D-görbe ω = 0 frekvencián függőleges érintővel rendelkezik, vagyis

lim�→kddω ddω I → ∞, (3.39.)

27

3-10. ábra: Stabil nyitott rendszer (H P 0)

3-11. ábra: Instabil nyitott rendszer (H c 0)

ahol I és a már korábban meghatározott parametrikus görbék (3.35.). Ezt kifejtve

Hy�l?6 � Hl.A � 6H�l� � 6H.Hyl?1 � H?3l � lAlA � HHy.lY12 � H?12l. � 6ll � l.A[3HyYHy.?2 � Hl.A � 2H�l. � H.Hyl?�4l � lA[ → ∞ (3.40.)

adódik. Tehát a fenti összefüggés csak akkor tarthat végtelenhez, ha a nevező zérus, így

3HyYHy.?2 � Hl.A � 2H�l. � H.Hyl?�4l � lA[ � 0 (3.41.)

a végső feltétel.

28

3-12. ábra: Hy�\�� rendszerparaméter

Jelen formában a fenti összefüggés Hy-ra egy harmadfokú egyenlet, melyek egyik megoldása

nulla. A másik két megoldás közül

Hy�\�� � H l �H?4l � lA � ��16H � H.?8l. � 8ll � l.A�4 � 2Hl. (3.42.)

adja a keresett kritikus értéket. A 3-12. ábra Hy�\�� értékét mutatja H�\�� függvényében, vagyis

keressük azt a kritikus paramétert, amely fölött stabil tartományt találhatunk. Megmutatható

továbbá az is, hogy ha a nevező nullához tart, ez a határérték a végtelenségig növekszik,

vagyis

4 � 2Hl. � 0 → H�\�� � �2/l., (3.43.)

amely azt mutatja, hogy a H�\�� kritikus rendszerparaméter fölött nem létezik olyan Hy�\�� , amely mellett a rendszer stabil, vagyis a stabil tartomány teljesen megszűnik. Ez az érték

pedig pontosan megegyezik a késleltetett PD szabályozóhoz tartozó kritikus értékkel.

Ezzel az eredménnyel megmutatható, hogy a magyarázat, miszerint a Smith-prediktor

nem alkalmazható instabil rendszerekre, mert a nyitott rendszer gyökei a zárt rendszer gyökei

is egyben, nem helyes. Nagymértékben elhangolt paraméterek mellett található olyan érték a

belső modellhez, ahol a zárt rendszer még stabil marad. Ellenben be kell látnunk azt, hogy ez

esetben a Smith-prediktor egy PD szabályozóhoz tart, és instabil rendszerre alkalmazva

továbbra sem javítja a rendszer stabilitását.

3.6. ÁLLAPOTTÉR MODELL

A 3.2-es alfejezetben bemutatott blokkdiagramok nem, vagy rosszul kezelik a kezdeti

feltételek megadását. A 3-1. ábra nem is veszi figyelembe a külső beavatkozást, csak a

bemeneti jelet, amely az egyensúlytartás miatt konstans nulla. A stabilitást azonban a kezdeti

feltétel lineáris rendszer esetén nem befolyásolja. Jelen esetben azonban a kezdeti feltétel a

29

valós rendszeren egy olyan beavatkozás, amelyet célszerű megfelelően figyelembe venni, hiszen

ez felel meg egy külső ütközésnek, lökésnek, ami a rendszert kibillenti egyensúlyi állapotából.

Ez a kezdeti feltétel egy kezdeti pozíciót és kezdeti szögsebességet jelent.

�k � � �k�� k � (3.44.)

A korábban bemutatott 3-2. ábra sem kezeli megfelelően a kezdeti feltételt. Ez ugyanis

nem ír elő sem kezdeti szögsebességet, sem kezdeti pozíciót. Bár a rendszer stabilitása

szempontjából hasonló beavatkozást jelent a szabályozóerő megzavarása, a rendszer működése

tekintve azonban nem ekvivalensek egymással. A modell kiegészítését állapottér modell

átírásával érhetjük el. Az ÁTM modell időtartományban definiált állapot egyenlete (3.45.) és

kimeneti egyenlete (3.46.) a következő

��?A = � ∙ �?A + � ∙ u?A, (3.45.)

�?A = � ∙ �?A + � ∙ u?A. (3.46.)

Az állapotváltozó tetszőlegesen megválasztható, jelen esetben célszerű a szöghelyzet és a

szögsebesség időfüggvényét választani.

�?A = � �?A�� ?A � (3.47.)

Mind a valós rendszer, mind pedig a prediktor modell esetén felírható ez az alak, hiszen

mindkét esetben a bemenet az u?A szabályozóerő, ahogy azt a 3-1. ábra blokkdiagramja

mutatja. Az együtthatómátrixok felírásához csak a nyitott rendszer egyenletét kell ismerni,

amelyet a (2.24.)-es egyenlettel már levezettünk. A jobb oldal ez esetben az u?A szabályozóerővel helyettesítendő. Kimenetként a szöghelyzetet választjuk, hiszen az eredeti

Smith-prediktort egyetlen kimenetre írták fel, így egy egy bemenetű, egy kimenetű (SISO)

rendszert kapunk. Így az állapottér modell mátrixai a következő alakot nyerik:

� �?A�� ?A �� = � 0 1−H 0 � ∙ � �?A�� ?A � + � 01 � ∙ u?A , �?A = �1 0� ∙ � �?A�� ?A � (3.48.)

� = � 0 1−H 0 � , � = � 01 � , � = �1 0�, D = 0 (3.49.)

Hasonlóan a prediktor modell ÁTM egyenleteit is felírhatjuk, a különbség csak az, hogy a

megfelelő paramétereket a prediktált paraméterekre kell kicserélnünk.

�y�?A = �u ∙ �y?A + �u ∙ u?A , yy?A = �� ∙ �y?A (3.50.)

� �y?A�y� ?A  � = � 0 1−Hy 0 � ∙ � �y?A�y� ?A   + � 01 � ∙ u?A , �y?A = �1 0� ∙ � �y?A�y� ?A   (3.51.)

30

3-13. ábra: Általános ÁTM modell blokkdiagramja

3-14. ábra: Smith-prediktor ÁTM modellel kiegészített blokkdiagramja

Így helyettesíthető a korábban egyetlen blokkal jelzett átviteli függvény egy

bonyolultabb struktúrával, amely azonban egyenértékű azzal. A kezdeti feltételek megadását

az ÁTM egyenletek segítségével határozhatjuk meg. Vegyük a (3.45.) és (3.46.)-os egyenletek

Laplace transzformáltjait úgy, hogy a derivált tag esetén a kezdeti feltételt nem hagyjuk el.

Ez esetben az egyenlet a következő alakot ölti.

K ∙ ¡?KA � ¡k � � ∙ ¡?KA � � ∙ U?KA (3.52.)

¢?KA � � ∙ ¡?KA � � ∙ U?KA (3.53.)

Elegendő a (3.52.)-es összefüggést átrendeznünk, amelyben a kezdeti feltétel jól elkülöníthető.

Így látható, hogy a blokkdiagramon a bevezetésnek az integráló tag előtt kell lennie, a

bemenettel összegezve. A szimulációban lehetőségünk van az integrátor kezdeti feltételeként

is megadni ezt az ¡k vektort.

¡?£A � ?K ∙ ¤ � �A`> ∙ ?¡k � � ∙ U?KAA (3.54.)

Az így kapott ÁTM blokkstruktúrát mutatja a 3-13. ábra. Látható, hogy így már

megfelelő módon figyelembe tudjuk venni a rendszer kezdeti állapotát (az integrátor

bemenetén egy dirac-impulzussal), amit az egyszerű átviteli függvénnyel nem tudtunk volna.

Hasonlóan a fentiekhez a Smith-prediktor ekvivalens struktúrája is elkészíthető. A

különbség csak az, hogy nem kell kezdeti feltételt figyelembe vennünk a prediktor modellen,

csak a valós rendszeren. Ennek oka, hogy a prediktor kezdeti feltétele tekinthető az egyensúlyi

31

helyzetnek, ha pedig nem az, akkor stabil rendszer esetén véges időn belül is az egyensúlyi

pontba kell konvergálni. Célszerű tehát olyan rendszert feltételezni, ahol a t0 időpontban a

prediktor modell egyensúlyban van, vagyis �y?kA � ¥, de a valós rendszert egy hirtelen ütközés

kibillenti, tehát �?kA � �¥. Ezen felül a pontos kezdeti feltételt nem is ismerjük, így nem is

adhatunk neki értéket a modellben. Itt ismét megjegyezhetjük azt is, hogy bár ez a feltételezés

lényegesen jobban ír le egy valós helyzetet, a stabilitást a kezdeti feltételek nem befolyásolják.

A következőkben tegyünk egy új átalakítást. Az eredeti Smith-prediktort blokkdiagram

formájában mutatták be, elsősorban SISO rendszerekre. A korábbiakban mi egy PD

szabályozót alkalmaztunk, ahol a beavatkozás meghatározása a kimenet és a kimenet

érintőjével arányos módon történik. Modern szabályozások alapja azonban az ÁTM modell és

az állapotvisszacsatolás, ahol nem egyetlen kimenetet, hanem a rendszer teljes állapotvektorát

csatoljuk vissza. Jelent esetben tehát �?A � �?A , és a kimeneti mátrix megfelel egy

egységmátrixnak. Vegyük észre azonban, hogy jelen esetben, ha a teljes állapotot csatoljuk

vissza egy erősítési vektor segítségével, végső soron ugyanarra az eredményre jutunk, például

�?KA ∙ ?I + K ∙ A → ℒ`> → I ∙ �?A + ∙ �� ?A, és �I � ∙ � �?A�� ?A � → I ∙ �?A + ∙ �� ?A. (3.55.)

Meg kell azonban jegyezni azt, hogy ez általánosságban nem ilyen egyszerű.

Előfordulhat, hogy bizonyos elemei az állapotvektornak nem hozzáférhetők, nem mérhetők,

így visszacsatolni sem tudjuk azokat. Ilyen esetben azonban alkalmazható úgynevezett

megfigyelő (observer), amelynek lényege, hogy a kimenet és bemenet ismerete alapján a

rendszer matematikai modelljének ismeretében meghatározza az aktuális állapotvektort [16].

Ehhez azonban szükséges egy observer-struktúra felállítása és meghatározása, amely esetén

szintén beszélhetünk paraméterbizonytalanságokról. Ennek vizsgálata azonban nem képezi a

jelen dolgozat témáját, így ettől eltekintünk. Feltételezzük tehát a továbbiakban, hogy a

rendszer állapotvektora hozzáférhető, és ezt késleltetve vissza is csatolhatjuk. Ez alapján a

ÁTM modell a következő apró átalakításokkal írhatjuk át.

��?A = � ∙ �?A + � ∙ u?A, (3.56.)

�?A = � ∙ �?A, ahol � = ¤ (3.57.)

A szabályozó erő meghatározása a késleltetett és prediktált állapotok alapján történik, amely

könnyen levezethető a blokkdiagramból.

u?A = ¦ ∙ Y§?A − �? − lA − �y? − lA + �y?A[, ¦ = �−I −�, (3.58.)

ahol §?A a bemenet időfüggvénye, mivel jelen esetben az egyensúlyi állapotban tartás a cél,

így §?A ≡ ¥.

32

3-15. ábra: Smith-prediktor ÁTM modell állapotvisszacsatolással

3.7. SZABÁLYOZÓERŐ IDŐFÜGGVÉNYE

A szabályozóerő a motor szabályozóerejének időfüggvénye, amely a beavatkozás és

stabilitás miatt fontos. Ez a szabályozóerő fogja az ingát egyensúlyi helyzetben tartani.

Ismeretében egyben meghatározható az inga mozgásegyenlete is. Az így kapott megoldásokat

szimulációval is összehasonlíthatjuk.

Vegyük a 3-1. ábra egyenleteit és összefüggéseit. Az időfüggvény meghatározható, ha a

visszacsatolt állapotot és a szabályozó paramétereit ismerjük. Ehhez vegyük úgy a rendszert,

mintha bemeneti jel konstans nulla lenne. Amint már említettük, ez megfelel a valóságnak,

hiszen a célunk az egyensúlyi helyzetben tartás. Ebben az esetben a szögelfordulás és

szögsebesség is nulla, vagyis az állapotvektort a (3.59.)-es összefüggésnek megfelelően

definiálhatjuk

�?A � ��?A�� ?A � és �y?A � �

�y?A�y� ?A  . (3.59.)

Ezek alapján az időfüggvény a blokkdiagramból kifejezhető, ha a teljes egyenletet

időtartományban írjuk fel. Az időfüggvényben az is látszik, hogy a hullámmal jelzett

prediktált tagok is megjelennek a valós rendszer visszacsatolásán kívül. Ha minden paraméter

megegyezik, feltételezhető, hogy a késleltetett tagok kiesnek és az ideális visszacsatolást

kapjuk vissza. Az állapotváltozókkal leírt szabályozóerő időfüggvényének egyenlete

u?A � ¦ ∙ Y�? � lA � �y? � lA � �y?A[,¦ � ��I ��, (3.60.)

amely bármelyik korábban bemutatott blokkdiagramból könnyen levezethető.

A mellékletben megtalálható matematikai módszerrel megoldhatjuk az egyenletet, de

problémát jelent, hogy nem ismerjük az állapotváltozók időfüggvényeit, így ezzel a

megközelítéssel közvetlenül nem oldható meg a szabályozóerő időfüggvénye. Ehhez kiegészítő

33

egyenletekre van szükségünk. Ezeket az egyenleteket a rendszer állapottér modell leírásából

nyerhetünk, amely során korábban a valós rendszert és a prediktort két külön részre bontottuk

szét:

��?A � � ∙ �?A + � ∙ u?A, �?0A = �k (3.61.) �y�?A = �u ∙ �y?A + �u ∙ u?A, �y?0A = �yk

� = � 0 1−H 0 �, �u = � 0 1−Hy 0 � , � = �u = � 01 � (3.62.)

Ebből az alakból már kifejezhetők az állapotváltozót, felhasználva a mátrixexponenciális

módszert. Tehát a megoldást az együtthatók variálásnak módszerével keressük, vagyis a

megoldás keresett alakját mutatja

�?A = e�� ∙ ©?A. (3.63.)

Visszahelyettesítve az eredeti egyenletbe, majd leegyszerűsítve az összefüggést, a lenti alakhoz

jutunk:

©� ?A = e`�� ∙ � ∙ u?A (3.64.)

A kezdeti feltételek megfogalmazásával és a (3.64.)-es alak integrálásával és

áthelyettesítésével kapjuk a

�?A = e�?�`�ªA ∙ ��ª + « e�?�`�A ∙ � ∙ u?KAdK��ª (3.65.)

összefüggést. Megmutatható, hogy abban az esetben, ha a késleltetett állapotváltozóra oldjuk

meg az egyenletet, egyszerűen helyettesíthető − l -val, valamint a prediktor modell a

prediktált paraméterivel.

�? − lA = e�?�`o`�ªA ∙ ��ª + « e�?�`o`�A ∙ � ∙ u?KAdK�`o�ª (3.66.)

�y?A = e�u?�`�ªA ∙ �y�ª + « e�u?�`�A ∙ � ∙ u?KAdK��ª (3.67.)

�y? − lA = e�u?�`oy`�ªA ∙ �y�ª + « e�u?�`oy`�A ∙ � ∙ u?KAdK�`oy�ª (3.68.)

Ezt követően a fenti megoldásokat a (3.60.)-as kiinduló egyenletbe helyettesíthetjük

vissza. Látható, hogy a szabályozóerő időfüggvénye meghatározható a rendszer kezdeti

állapotából, valamint a korábbi szabályozóerőkből. Logikus választás k = 0 kezdeti feltétellel

számolni, így az összefüggés egyszerűsödik (ha k ≠ 0 , akkor koordináta-transzformációt

használhatunk).

34

u?A = ¦ ∙ ^�? − lA − �e�u?�`oyA ∙ �yk + « e�u?�`oy`�A ∙ � ∙ u?KAdK�`oyk �

+ �e�u� ∙ �yk + « e�u?�`�A ∙ � ∙ u?KAdK�k �a

(3.69.)

Megfigyelhető az is, hogy a szabályozóerő meghatározásánál szükség van a modell és a

valós rendszer kezdeti feltételeire (ez lehet zérus is), illetve a kezdeti időponttól történő

integrálásra. Egyensúlyi helyzetet feltételezve ezek a kezdeti feltételek (�yk = ¥) zérusnak

vehetők, ahogy már korábban említettük, vagyis

u?A = ¦ ∙ ��? − lA − « e�u?�`oy`�A ∙ � ∙ u?KAdK�`oyk + « e�u?�`�A ∙ � ∙ u?KAdK�

k � (3.70.)

Látható, hogy a szabályozóerő meghatározása így már csak a mért állapottól és a

prediktor modelltől függ. Az így kapott megoldás hasonlít a [17]-es forrásban publikálthoz, de

attól egy általánosabb alakot állapítottunk meg. Ebben jelentősen különbözik a Smith-

prediktor más szabályozóktól, például az FSA szabályozótól, ahol az integrálás csak egy adott

időre nyúlik vissza [9]. A különbségeket részletesebben a 3.10 alfejezetben mutatjuk be.

A szabályozóerő meghatározása a motor szempontjából lényeges, ellenben számunkra az

inga mozgása a fontos. Ez utóbbit a (3.65.)-ös egyenlet írja le. Vagyis a szabályozóerő

időfüggvényének ismeretében meghatározható az inga mozgásának is az időfüggvénye, amin

jól látható annak stabil vagy instabil viselkedése.

Az állapottérmodell egyenleteivel is lehetőségünk van az átviteli függvény

meghatározása, ha már a szabályozóerő időfüggvényét ismerjük, vagyis

��?A = � ∙ �?A + � ∙ u?A, (3.71.)

�y�?A = �u ∙ �y?A + � ∙ u?A, (3.72.)

u?A = ¦Y�? − lA − �y? − lA + �y?A[. (3.73.)

Helyettesítsük be a szabályozóerő függvényét az állapotegyenletekbe

��?A = ��?A + ��Y�? − lA − �y? − lA + �y?A[, (3.74.)

�y�?A = �u�y?A + �u�Y�? − lA − �y? − lA + �y?A[. (3.75.)

Ezt követő lépésben Laplace-transzformáljuk az összefüggéseket, valamint rendezzük mátrix

egyenletbe azokat, így

� K¤ − � − ��e`o� −��?1 − e`oy�A −�u�e`o� K¤ − �u − �u�?1 − e`oy�A   � ¡?sA¡u?sA   = � 00 �. (3.76.)

Ebben a formában a karakterisztikus egyenletet

det � K¤ − � − ��e`o� −��?1 − e`oy�A −�u�e`o� K¤ − �u − �u�?1 − e`oy�A   = 0 (3.77.)

35

összefüggés definiálja. Látható, hogy a Smith-prediktor ilyen módon mindenképpen

megduplázza a rendszer rendszámát, tehát ha az eredeti nyitott rendszer n-ed rendű, úgy a

zárt rendszer 2n rendűvé válik.

3.8. SZABÁLYOZÓERŐ DISZKRETIZÁLÁSA

A (3.69.)-es alakban meghatározott szabályozóerő a folytonos rendszer működését írja

le. Az egyenlet megoldásakor több probléma is felvetül. Például az integrál analitikus alakja

túlságosan bonyolult, ráadásul az integrálási tartomány egészen időpontig tart. Ennek

eredményeképpen az integrál implicit tartalmazza u?A szabályozóerő időpillanatbeli értéket.

Ez az egyenlet azonban numerikusan könnyen kezelhető.

A megoldásra szükségünk van, ehhez fix időlépésenként közelítjük az egyenletet. Egy

integrált a következő alakban közelíthetünk:

« ­?jAdj ≅ U ­?j�A ∙ ∆j,¯`>�]k

°k N = T∆j. (3.78.)

Ez a formula téglalapokkal közelíti a függvénygörbe alatti területet. Akkor ad pontosabb

megoldást, minél kisebb a ∆j lépés. A lépésszám növekedésével a megoldás tart a pontos

megoldáshoz, ellenben a számításigény lényegesen növekszik. Fontos, hogy akkora lépésközt

találjunk, amekkorával a hiba minél kisebb, ugyanakkor értékelhető eredményt kapunk

viszonylag rövid idő alatt. Ha túl nagy ez a lépésköz például egy differenciálegyenlet esetén, a

stabil megoldás instabillá is válhat, vagy túl kicsi esetén sok hiba halmozódhat fel, éppen ezért

lényeges kérdés annak megfelelő megválasztása.

A Smith-prediktor esetén az állapotváltozókra megoldott analitikus egyenleteteket kell

diszkretizálnunk. Ehhez az időkésést és az adott időt is diszkrét alakban kell

megfogalmaznunk:

e = l∆ , e = l∆ (3.79.)

� = h ∙ ∆, �`\ = ?h − eA ∙ ∆, �`\ = ?h − eA ∙ ∆ (3.80.)

A dimenziótlanított időlépésekkel felírható a szabályozóerő diszkrét időfüggvénye:

u?�A = ¦ ∙ Y�?�`\A − �y?�`\A + �y?�A[ (3.81.)

A megoldáshoz az állapotváltozók egyenleteit is meg kell oldanunk diszkrét alakban. Vagyis

a közelítés során valamennyi változót úgy keresünk, hogy a kezdeti értékektől a jelenbeli

értékekig ismert állapotváltozókból meghatározzuk a következő időbeli értéket. Vagyis k, >. … � időpontbeli értékekből határozzuk meg a �W> időbeli értéket. A közelítés

problémája, hogy a pontos megoldást elvileg csak a végtelenül kicsi időlépésekkel érnénk el.

36

Valójában viszont viszonylag gyorsan elvégezhetők a számítások numerikusan, így

számítógéppel gyorsan eredményt kaphatunk.

�?�W>A � e�∙�∙∆� ∙ �k + U e�∙?�`´A∙∆� ∙ � ∙ uY W>[ ∙ ∆�`>´]k (3.82.)

�y?�W>A = e�u∙�∙∆� ∙ �yk + U e�u∙?�`´A∙∆� ∙ � ∙ uY W>[ ∙ ∆�`>´]k (3.83.)

Fenti egyenletek a valós rendszer és a prediktált rendszer állapotváltozónak diszkrét

megoldási egyenletei. Könnyebbséget jelent, hogy a késleltetett tagot nem kell ismételten

kiszámítanunk, hiszen az a keresett állapotváltozó adott idővel korábbi értéke. A (3.81.)-es

összefüggésbe helyettesítve a fenti egyenleteket, a szabályozóerő időfüggvénye és egyben az

inga mozgásegyenlete is meghatározható, hiszen ez �?�A diszkrét időfüggvény az folytonos

megoldást közelíti.

Fontos azonban megjegyezni, hogy a rendszer indításakor egy tranziens jelenséghez

hasonló jelenséget kell figyelembe vennünk. Ez azért van, mert amíg az időkésés le nem telik,

a visszacsatolásban jel nem jelenik meg (ilyet mutat például a 3-19. ábra szabályozóerő

függvényének kezdeti szakasza). Vagyis a numerikus program elkészítésekor figyelembe kell

venni azt is, hogy kezdeti időponttól l és l időkésésig melyik jel ér vissza hamarabb. Tehát

ha például l < l, akkor l ideig nincs jel, majd �y jel ér vissza elsőként. Ha azonban l < l, akkor l ideig nincs jel, majd � jel után érkezik csak az �y visszacsatolt jel l − l idővel. Ilyen példát

mutat a 3-16. ábra. A 0 ≤ < l intervallumon nincs kimeneti jel, mivel a késleltetés a bemeneti

jelet l ideig tartja, hiába van bemenet. Ezt követően l ≤ < l tartományon csak �?A jel ér még vissza, �y?A jel csak l idő után jelentkezik. A pontos szabályozóerő meghatározásához ezt

a jelenséget kell megfelelően figyelembe venni. Egy másik megoldás lehet egy kezdeti függvény

figyelembe vétele kezdeti feltétel helyett, vagyis definiálhatunk egy ©?A függvényt, ahol ∈�−l, 0� vagy ∈ �−l, 0�, attól függően, hogy l nagyobb-e mint l. Ez numerikus esetben szintén

könnyen megvalósítható, ráadásul jelen esetben mivel egyensúlyi állapotot feltételezünk, így

ez a függvény konstans nulla (kivéve a = 0 időpont). A végeredmény természetesen

megegyezik azzal, mintha csak egy kezdeti feltételünk lett volna.

A numerikus számítás tovább egyszerűsíthető, illetve gyorsítható, ha már korábban

kiszámított értékeket nem számítunk ki újra. A fenti egyenletben látszik, hogy az összegképzés

a nulla időponttól kezdődik. Ez a számítás során minden egyes ciklusban újraszámítódna,

ezért érdemes az értékét tárolni, és csak a következő ciklusban történt változással számolni.

Vagyis jelen esetben a függvénygörbe alatti területet nem számítjuk ki minden lépésben újra

(hiszen az mindig adott), hanem csak a következő szakasz alatti területet adjuk hozzá. Ez

természetesen csak a számításban jelent egyszerűsítést, az időfüggvény esetén az integrálási

tartomány nem változik, csak a korábbi értékeket nem számítjuk ki újra, mivel értékük

változatlan.

37

3-16. ábra: Késleltetett visszacsatolás

�?�W>A � e�∙∆� ∙ ��µ � e�∙∆� ∙ � ∙ u?�A ∙ ∆ (3.84.)

�y?�W>A � e�u∙∆� ∙ �y�µ � e�u∙∆� ∙ � ∙ u?�A ∙ ∆ (3.85.)

A fenti levezetéseket az inga példájára mutattuk be, amely esetén a bemenetet zérusnak

feltételeztük az egyensúlytartás miatt. Hasonló megfontolásokkal, a blokkdiagramon

megmutatható, hogy a bemenet értéke is figyelembe vehető, ellenben ez a pozíció-

szabályozáshoz hasonló, nem egyensúlyozáshoz. Ez esetben a szabályozóerő kiegészül egy

bemeneti §?A jellel, amely könnyen hozzávehető a fenti egyenletekhez, tehát

u?�A � ¦ ∙ Y�?�`\A � �y?�`\A � �y?�A � §?�A[. (3.86.)

A 3-17. ábra egy stabil és instabil paraméterkombináció esetén történő megoldást mutat

be. A kezdeti feltétel lehet szögelfordulás vagy szögsebesség, jelen esetben ez utóbbinak adtunk

nullától eltérő értéket. A stabil paraméterkombináció hatására a rendszer lassú lecsengéssel

áll vissza az egyensúlyi helyzetébe. Instabil esetben az egyik domináns instabil gyök fogja

meghatározni a lengést. Ha a legnagyobb instabil gyök tisztán valós, lengések nem

jelentkeznek, a rendszer exponenciálisan elszáll. Ha ez a gyök egy komplex gyökpár, a

megoldás exponenciálisan növekvő lengésű.

Érdemes a szabályozóerő és a szöghelyzet időfüggvényét is megtekinteni (3-19. ábra).

Látható, hogy hiába van a Smith-prediktor szabályozó beépítve, ha nem mérjük külön

szenzorral a zavaró jellemzőt (vagy kezdeti feltételeket), a külső behatásra a szabályozóerő

mindig l idővel később jelentkezik. Ez azért van, mert ha egyetlen szenzort használunk, annak

időkésését így nem tudjuk megkerülni. Ha a rendszert az §?A bemenet felöl szabályozzuk, nem

ll

ll

ll

38

pedig a ¶?A zavarással, ahogy a 3-2. ábra mutatja, akkor ez az időkésés nem okoz problémát.

Ellenben ez nem felel meg az inga egyensúlyozásának, hiszen a bemenet az egyensúlyi helyzet,

ami konstans nulla értékű. Ha ezt ettől eltérőnek vesszük, az azt jelentené, hogy az ingát egy

egyensúlyi helyzettől eltérő pozícióba kívánjuk hozni, vagy pozíciószabályozás céljára kívánjuk

használni a szabályozót. Ezt az esetet nem vesszük figyelembe a jelen dolgozatban, de az

eddigiekkel analóg módon kezelendő. Eltérés csak az ideális esetben van, amit már

tárgyaltunk, amikor egy zérussal egy instabil gyök kiejthető.

Speciális esetként kezelendő tehát a korábban már levezetett Hy � H

paraméterkombináció. Ez esetben ugyanis jelentkezik egy nulla valós értékű komplex póluspár

(3.37.). Ennek eredményeképpen a rendszer állandósult állapotban nem cseng le, állandó

amplitúdójú lengéseket végez (Lyapunov értelemben stabil, nem aszimptotikusan). A 3-18.

ábra egy ilyen esetet mutat be. Habár a szabályozóerő exponenciálisan lecsökken, a rendszer

mozgása nem áll meg.

A rendszer pólusinak száma és milyensége határozza meg a beállást. A statikus

stabilitásvesztési görbe átlépésével eggyel növekszik az instabil gyökök száma. Ez azért van

mert itt egy tisztán valós gyök lépi át a képzetes tengelyt balról jobbra. Ennek

eredményeképpen az egy instabil gyököt tartalmazó tartományon az időfüggvény megoldása

exponenciálisan növekszik. Dinamikus stabilitásvesztés esetén a domináns instabil gyökpár

egy komplex konjugált pár. Így a megoldás exponenciálisan, lengésekkel elszáll. Ezt a két

példát mutatja a 3-20. ábra.

Az időfüggvényeket meghatározó numerikus programot MathWorks MATLAB®

programmal készítettem. Az eredményeket Simulink® szimulációs környezettel kapott

eredményekkel hasonlítottam össze. A két numerikus megoldás teljesen megegyező görbéket

adott, eltérés csak a numerikus sémák között volt. A szimulációban ugyanis a pontosabb

megoldás érdekében negyedrendű Runge-Kutta megoldót alkalmaztunk.

3-17. ábra: Számítási eredmények stabil (I � 0, � 8) és instabil (I � 0, � 11) esetre

(H � 0,5, l � 1, Hy � 0,8H, l � 0,5l)

39

Elkészítettük a rendszer állapottér modellje alapján felírható blokkdiagramját Simulink®

környezetben, majd ennek az eredményét vetettük össze. A 3-21. ábra az így kapott

szabályozóerők eltérését mutatja néhány pontban kinagyítva. A legnagyobb eltérések az

időintervallumok végén jelentkeznek, mivel a numerikus integrálok hibája az időlépések

növekedésével folyamatosan nő. Ez a növekvő eltérés látható a kinagyított pontokon. Ezzel

szemben viszont viszonylag kicsi időlépéssel, rövid idő alatt elég pontos eredményt kaphatunk.

3-18. ábra: Számítási eredmények paraméteregyezés esetén

(H � 0,5, l � 1, Hy � H, l � 0,5l, I � 3, � 3)

3-19. ábra: Számítási eredmények egy stabil példára

(H � 0,5, l � 1, Hy � 0,8H, l � 0,5l, I � 0, � 7)

40

3-20. ábra: Statikus és dinamikus stabilitásvesztés

3-21. ábra: Simulink és Diszkrét egyenlet eredményei (időlépés: ∆ � 0,005)

(Folytonos vonal a számítás, szaggatott a szimuláció eredménye)

3.9. STABILITÁSVIZSGÁLAT A DISZKRETIZÁLT MOZGÁSEGYENLETTEL

Korábbi fejezetekben levezettük a Smith-prediktor átviteli függvényét, amelyre a

(3.12.)-es egyenlet adódott. Ezt az alakot a (3.31.)-es összefüggésben polinomtört formára

tudtuk hozni, de a kifejezés továbbra is a bemenet és a kimenet kapcsolatát mutatja. A

nevezővel átszorozhatjuk az egyenletet, és az így kapott negyedrendű egyenlet a rendszer

egyenlete a bemenet és kimenet között. Abban az esetben, ha a bemenet zérus, vagyis jelen

esetben egyensúlyozásról beszélünk, a jobb oldal értéke nulla, hiszen az §?A bemenet is nulla.

Mivel a kimenet alap esetben a szögelfordulás, a blokkdiagramon jelezett x kimenetet most �

koordinátával helyettesíthetjük.

Simulink

Diszkrét egyenlet

Statikus stabilitásvesztés

Dinamikus stabilitásvesztés

41

3-22. ábra: Szemi-diszkretizáció miatt létrejövő időfüggő időkésés [18]

4?K. � HyA?K. � HA � ?I � KA �?K. � HA � ?K. � HyA ∙ e`�o � ?K. � HA ∙ e`�oy �5 ∙ �?KA � 0 (3.87.)

Ezt követően felbonthatjuk a zárójeleket és elvégezhetjük az inverz Laplace transzformációt.

Eredményképpen egy negyedrendű késleltetett differenciálegyenlet adódik, amely az

egyensúlyozás, vagy egyensúlyi pontban tartás esetén érvényes összefüggés. Az így kapott alak

az általános mozgásegyenlet:

�¸¹?A � �?H � HyA ∙ �; ?A � H ∙ Hy ∙ �?A � I ∙ �; ?A � H ∙ I ∙ �?A � ∙ �º?A � H ∙ ∙ �� ?A �I ∙ �; ? � lA � ∙ �º? � lA � Hy ∙ ∙ �� ? � lA � Hy ∙ I ∙ �? � lA �I ∙ �; ? � lA � ∙ �º? � lA � H ∙ ∙ �� ? � lA � H ∙ I ∙ �? � lA

(3.88.)

A fenti egyenleten is látható, hogy ha paraméterek megegyeznek, a késleltetett tagok egytől-

egyig kiesnek, ellenben az egyenlet továbbra is negyedrendű marad. Ha az egyszerűsítést már

az átviteli függvény törtalakján elvégeznénk, csak másodrendű egyenletet kapnánk (pole-zero

cancellation-re vezet vissza).

Ebben az alfejezetben megvizsgáljuk a mozgásegyenlet stabilitását a

szemidiszkretizációs módszer segítségével [11], amelynek végeredménye az analitikus

eredménnyel összevethető.

A (3.72.)-es egyenlet megoldásához is használhatjuk a mátrixexponenciális módszert,

ehhez viszont át kell alakítanunk az egyenletet, ilyen formában ugyanis ezt nem tehetjük meg.

Használjuk a Cauchy-átírást és rendezzük mátrixalakba a következő szerint:

��?A � » ∙ �?A � ¼ ∙ �? � lA � ½ ∙ �? � lA (3.89.)

���� �?A�� ?A�; ?A�º?A )*

**+��

���� 0 1 0 00 0 1 00 0 0 1�H ∙ Hy � I ∙ H � ∙ H �I � H � Hy � )*

**+ ∙

���� �?A�� ?A�; ?A�º?A )*

**+�

���� 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0�I ∙ Hy � ∙ Hy �I � )*

**+ ∙

���� �? � lA�� ? � lA�; ? � lA�º? � lA )*

**+�

���� 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0I ∙ H ∙ H I )*

**+ ∙

���� �? � lA�� ? � lA�; ? � lA�º? � lA )*

**+

(3.90.)

A szemi-diszkretizációs módszer lényege, hogy a késleltetett tagokat minden

diszkretizációs lépésben szakaszonként állandó értékkel közelítjük. Ennek következtében az

»

¼ ½

�?A��?A

�? � lA �? � lA

42

időkésés is olyan, mintha az diszkretizációs lépésenként szakaszonként periodikusan változna,

ezt mutatja a 3-22. ábra. Minél kisebb a diszkretizációs lépés, a diszkrét időkésés annál jobban

közelíti a folytonost, de csak végtelenül sűrű felbontásnál éri el azt [18].

A szemi-diszkretizációt alkalmazva az így kapott (3.89.)-os alakot megoldhatjuk az

eddigi módszerekhez hasonlóan, de attól kicsit eltérően. Keressük ismét a megoldást

�?A � e»� ∙ ©?A alakban, és helyettesítsük ezt be a függvénybe. A késleltetett tagokat viszont

ezzel szemben vegyük szakaszonként konstansnak (korábbi megfontolások alapján).

» ∙ e»� ∙ ©?A + e»� ∙ ©� ?A = » ∙ e»� ∙ ©?A + ¼ ∙ �? − lA + ½ ∙ �? − lA (3.91.)

Egyszerűsítsük le az egyenletet, majd integráljuk azt a megfelelő módon.

©� ?A = e`»� ∙ ¼ ∙ �? − lA + e`»� ∙ ½ ∙ �? − lA (3.92.)

©?A = « m`»� ∙ ¼ ∙ �?K − lA dK��ª + « m`»� ∙ ½ ∙ �?K − lA dK�

�ª + � (3.93.)

Az integrálási konstanst a kezdeti feltételből határozhatjuk meg, ©?A függvényt pedig a

kezdeti helyettesítésből.

©?A = e`»� ∙ �?A (3.94.)

� = e`»�ª��ª (3.95.)

Mivel a késleltetett tagokat szakaszonként konstansnak feltételeztük, ezért azok az

integrálásból kiemelhetők.

�?A = e»?�`�ªA��ª + « e»?�`�A ∙ ¼ dK ∙ �? − lA��ª + « e»?�`�A ∙ ½ dK ∙ �? − lA�

�ª (3.96.)

Ezt követően vegyük a = �W> és k = � időpontot, hasonlóan, ahogy a diszkretizációnál

vettük, korábban a (3.79.)-es összefüggések szerint. Így az integrálási tartományok is

átírhatók.

�?�W>A = e»∙∆� ∙ �?�A + « e»?∆�`�A ∙ ¼ dK ∙ �?�`\A∆�k + « e»?∆�`�A ∙ ½ dK ∙ �?�`\A∆�

k (3.97.)

A kapott együtthatók konstans mátrixok, vezessünk be új jelölést:

¾ = e»∙∆� , ¿ = « e»?∆�`�A ∙ ¼ dK∆�k , À = « e»?∆�`�A ∙ ½ dK∆�

k (3.98.)

Az így kapott (3.97.)-es egyenlet szerint bármelyik időpontbeli érték kiszámítható a korábbi

értékek ismeretében. Ez alapján felírható egy olyan együtthatómátrix, amely kapcsolatot

teremt bármely �W> időpillanatbeli érték és e vagy e darab korábbi értékek között.

¢�W> = Á� ∙ ¢� (3.99.)

43

�������

��W>�� ��`>��`.⋮��`\W>⋮��`\W> )******+

=������ ¾ ¥ … ¥ ¿ ¥ … ¥ À¤ ¥ … ¥ ¥ ¥ … ¥ ¥¥ ¤ … ¥ ¥ ¥ … ¥ ¥¥ ¥ … ¥ ¥ ¥ … ¥ ¥⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮¥ ¥ … ¥ ¥ ¥ … ¥ ¥¥ ¥ … ¥ ¥ ¥ … ¤ ¥ )*

****+

∙�������

�� ��`>��`.��`�⋮��`\⋮��`\ )******+ (3.100.)

Jelen esetben Á� együtthatómátrix minden eleme egyben egy 4x4-es almátrix is. A fenti felírás

olyan esetre vonatkozik, amikor l > l , de fordítva is felírható a mátrix. Ekkor a ¿ és À

almátrixok sorrendje, pontosabban helye felcserélődik. Az is előfordulhat, hogy l = l, vagyis

egyenlőség esetén a két almátrix összeadódik. Ha a paraméterek megegyeznek a két mátrix

éppen ellenkező előjellel adódik össze, összegük nulla lesz.

Ez a felírásmód mértani sorhoz hasonló, a stabilitásvizsgálatot ezen is el tudjuk végezni.

Egy mértani sor akkor konvergens, ha a kvóciens abszolút értékben kisebb, mint egy. Ez a

fenti példára úgy fogalmazható meg, hogy a megoldás akkor stabil, ha az együtthatómátrix

minden ô sajátértékének abszolút értéke kisebb, mint egy. Ezek közül a legnagyobb sajátérték

azt mutatja meg, hogy a megoldás egy diszkretizációs időlépés alatt az előzőhöz képest hányad

részére csökkent (vagy növekedett, ha nagyobb, mint egy). Ennek alapján megmutathatjuk,

hogy tetszőleges idő alatt a kezdeti állapothoz képest hányad részére csillapodott a rendszernek

a lengése. Például megnézhetjük, hogy egy másodperc után mennyire csillapodott a rendszer,

ha meghatározzuk, hogy egy másodpercet hány ∆ időlépésre osztottunk fel:

b = 1∆. (3.101.)

Ha belátjuk, hogy ÃCDE a rendszer egy időlépés alatti csillapítását jellemzi, akkor

összevethetjük a különböző paraméterkombinációkhoz tartozó csillapításokat, amelyeket b

időre képezünk le a következők alapján:

¢Ä = ÁÄ`> ∙ ÁÄ`. ∙ ÁÄ`� ∙ ⋯ Ák ∙ Åk. (3.102.)

Ha az átviteli mátrixok megegyeznek, akkor a ÃCDE sajátértékeik is. Az előző gondolatot

folytatva, az egy másodpercre definiált csillapítási arány megadható, mint

Æ = �ÇÃÈÇ ,Hj�b = �ÇÃÈÇ ,Hj� 1∆. (3.103.)

A fenti kritériummal elkészíthető egy diszktrét stabilitási térkép, ahol minden pontban

meghatározzuk az adott mátrix sajátértékeit. Ehhez a I- síkot diszkrét pontokra bontjuk,

megfelelő felbontással, hogy az analitikus eredményhez viszonyítható legyen. A vizsgálat során

a rendszerparaméter és az időkésés, valamint a prediktormodell paraméterei állandók, csak I

és értékét kell változtatni minden egyes pontban. Ehhez minden pontban újra és újra fel

kell írni és ki kell számítani a Á� mátrix ô sajátértékeit. Ha tehát a legnagyobb abszolút

értékű sajátérték kisebb, mint egy, a rendszer stabil, ahol nagyobb, mint egy, ott instabil.

44

Ezek alapján a térkép minden egyes pontjához rendelhető egy valós szám, amely a stabilitást

jellemzi.

Analitikus megoldás nem teszi lehetővé (illetve túlságosan bonyolult) a leggyorsabb

beállású pont megkeresését. Ez egy szabályozási cél lehet, hogy azt a paraméterkombinációt

állítsuk be, amely mellett a rendszer lefutása a leggyorsabb. Ez megfelel a teljes térképen a

legkisebb sajátértékű pontnak (stabil tartományon belül), amit a Æ csillapítás segítségével

határozhatunk meg. Vagyis ahol a sajátérték abszolút értéke a legkisebb, ott a rendszer

legnagyobb időállandója minimális lesz, a lehető leggyorsabban áll be a kívánt pontba az

összes paraméterkombináció közül. A szintvonalakkal jelölt térképen csak a stabil

tartományokat láthatók beszintezve, a leggyorsabb beállású pont így jól meghatározható. Ez

az a pont lesz, amelyet a szintvonalak elkezdenek körbeölelni. Láthatóan ez nem egyezik meg

a terület súlypontjával, attól általában eltolva jelentkezik.

A fentieknek megfelelően elkészített numerikus stabilitástérképek ezt mutatják

(3-23. ábra és 3-24. ábra). A diagramok paraméterei megfelelnek a 3.4-es alfejezetben található

ábrákéval, így azokkal jól összehasonlíthatók.

Láthatóan az analitikus eredmény (vékony görbe) jól körbeöleli a numerikusan számított

stabil pontokat (nagy pontok), míg az instabil pontok kívül esnek ezen (kis pontok). Eltérés

jellemzően a határgörbe széleinél jelentkezhet, de a numerikus ∆ lépésközök finomításával ez

az eltérés csökkenthető. Abban az esetben, ha éppen egy D-görbén találunk el egy pontot (pl.

statikus határgörbét könnyű beállítni), akkor a numerikus hiba miatt ott véletlenszerűen hol

stabil, hol instabil eredményt kapunk.

A 3-23. ábra egy lehetséges paraméterkombinációra elkészített numerikus térképet

mutat, rajta az analitikus D-görbékkel. Az eredmény hasonló, eltérés a határokon van csak.

A leggyorsabb beállású pont is megmutatható rajta, ellenben ezen a diagramon ez nehezen

értelmezhető. A 3-24. ábra ennél lényegesen szemléletesebb.

Külön ki kell emelnünk azokat az eseteket, amikor Hy = H. Korábban bemutatottakat a

jelen stabilitási térképek is bizonyítják. Ha a két paraméter megegyezik, a rendszernek egy

nulla valós értékű pólusa jelenik meg, ez pedig a stabilitás határára kényszerítik azt, állandó

amplitúdójú csillapítatlan lengést végez. A numerikus sajátérték-vizsgálat esetén ez megfelel

egy egy abszolút értékű sajátértéknek. A 3-26. ábra mutatja az így kapott stabilitási térképet.

A szintvonalakon jól látható a numerikus pontatlanság, mint valami numerikus zaj. Mivel a

sajátérték meghatározása numerikusan történik, ezért az egy valós értékű sajátérték csak

analitikusan lesz pontosan egy értékű. A közelítések miatt ez a szimulációban folyton egy

körül fog ugrálni, az időlépés nagyságától függetlenül.

45

3-23. ábra: Numerikusan számított stabilitási tartomány és leggyorsabb beállási pont,

alsó két ábrán egy részlet kinagyítva (H � 0,5, l = 1, Hy = 0,8H, l = 0,5l, ∆ = 0,01)

3-24. ábra: Numerikusan számított stabilitási tartomány és leggyorsabb beállási pont

(H = 0,5, l = 1, Hy = 1,2H, l = 0,5l, ∆ = 0,01)

46

3-25. ábra: Numerikusan számított stabilitási tartomány és leggyorsabb beállási pont

(H � 0,5, l = 1, Hy = H, l = l, ∆ = 0,01)

3-26. ábra: Numerikusan számított stabilitási tartomány és leggyorsabb beállási pont

(H = 0,5, l = 1, Hy = H, l = 1,8l, ∆ = 0,01)

3-27. ábra: Numerikusan számított stabilitási tartomány és leggyorsabb beállási pont

(H = −0,5, l = 1, Hy = H, l = l, ∆ = 0,01)

47

Megvizsgálhatjuk az instabil szabályozott szakasz stabilitási térképét is. Korábban már

megmutattuk és bebizonyítottuk, hogy a Smith-prediktor pontos paraméterek mellett nem

alkalmas instabil rendszerek szabályozására, ezt az eredményt a következő módszer is

bizonyítja. A numerikus számítás során kapott sajátértékek között megjelenik egy egynél

nagyobb abszolút értékű sajátérték, amely instabilitást okoz, és ez egyik tartományon sem

tűnik el (3-27. ábra).

Az analitikus eredményeket jól közelíti nemcsak a numerikus számítás, de a szimulációs

eredmények is. Azon paraméterek mellett, ahol a rendszernek stabilnak kell lennie, ott a

szimuláció és az időfüggvények is stabil eredményt adnak. Eltérés közvetlenül a határgörbéken

lehet, de attól távol valamennyi eredmény egyező.

3.10. SMITH-PREDIKTOR ÉS FSA SZABÁLYOZÓ

A korábbiakban bemutattuk a Smith-prediktor működését és megadtuk annak leíró

egyenleteit időtartományban. A szabályozóerőnek meghatározása így lehetővé teszi, hogy

összehasonlítsuk a SP működését a már sokszor emlegetett Finite Spectrum Assignment (FSA)

szabályozóval. Az FSA időtartománybeli egyenleteit számos forrás közli, amelyek

��?A � � ∙ �?A + � ∙ u?A, (3.104.)

u?A = ¦ �e�uoy ∙ �? − lA + « e`�u� ∙ � ∙ u?KAdKk`oy �. (3.105.)

de blokkdiagram formájában csak a [7]–es forrásban található meg. Ezt mutatja a 3-28. ábra.

Látható, hogy a Smith-prediktortól az FSA egyetlen e�uoy blokkal tér csak el, ennek azonban

elég fontos szerepe van, a működés teljesen eltérő. Ha felírjuk a teljes zárt kör egyenleteit a

SP-hoz hasonlóan (3.7. Alfejezet), és meghatározzuk a szabályozóerő függvényét, a következő

adódik

u?A = ¦ ^e�uoy ∙ �? − lA − e�uoy �e�u?�`oyA ∙ �yk + « e�u?�`oy`�A ∙ � ∙ u?KAdK�`oyk �

+ �e�u� ∙ �yk + « e�u?�`�A ∙ � ∙ u?KAdK�k �a. (3.106.)

Ha felbontjuk a zárójelet, és egyszerűsítjük az integrálokat, látható, hogy �yk kezdeti feltétel

kiesik, így

u?A = ¦ �e�uoy ∙ �? − lA − « e�u?�`�A ∙ � ∙ u?KAdK�`oyk + « e�u?�`�A ∙ � ∙ u?KAdK�

k � (3.107.)

marad. Ez után az integrálokat összevonhatjuk, és így könnyen megmutatható, hogy a belső

modell csak a � − ly, � intervallumon végez predikciót. Átírva az integrálási határokat, (3.105.)

adódik.

48

3-28. ábra: Finite Spectrum Assignment szabályozó

u?A � ¦�e�uoy ∙ �? � lA � « e�u?�`�A ∙ � ∙ u?KAdK��`oy � (3.108.)

A következőben helyettesítsük be �? � lAállapotra is a megoldás függvényét, tehát

u?A � ¦�e�uoy ∙ �e�?�`oA ∙ �k � « e�?�`o`�A ∙ � ∙ u?KAdK�`ok � � « e�u?�`�A ∙ � ∙ u?KAdK�

�`oy �. (3.109.)

Az egyszerűség kedvéért feltételezzük az ideális esetet, amikor minden paraméter ismert,

vagyis �u � �, l � l, és ez alapján alakítsuk át az egyenletet.

u?A � ¦ �e�� ∙ �k � « e�?�`�A ∙ � ∙ u?KAdK�`ok � « e�?�`�A ∙ � ∙ u?KAdK�

�`o �. (3.110.)

Innen már könnyen belátható, hogy

u?A � ¦ �e�� ∙ �k � « e�?�`�A ∙ � ∙ u?KAdK�k � � ¦ ∙ �?A. (3.111.)

ami nem más, mint az ideális, késleltetés nélküli eset. Részletesebben az FSA tulajdonságait

a [7]-es irodalom mutatja be.

Vegyük a következő lépesben a Smith-prediktor általunk meghatározott szabályozó

egyenletét (3.69.) és helyettesítsük be rögtön �? � lAmegoldásfüggvényét. Így

u?A � ¦ ∙ ^�e�?�`oA ∙ �k � « e�?�`o`�A ∙ � ∙ u?KAdK�`ok �

� �e�u?�`oyA ∙ �yk � « e�u?�`oy`�A ∙ � ∙ u?KAdK�`oyk �

� �e�u� ∙ �yk � « e�u?�`�A ∙ � ∙ u?KAdK�k �a.

(3.112.)

49

Feltételezzük itt is, hogy a rendszer valamennyi paraméterét ismerjük, vagyis �u � �, l � l. Ez

alapján egyszerűsíthető az összefüggés és a

u?A � ¦ ∙ �e�?�`oA ∙ �k � e�?�`oA ∙ �yk � e�� ∙ �yk � « e�?�`�A ∙ � ∙ u?KAdK�k � (3.113.)

alakhoz jutunk. Adjunk az egyenlethez és vonjuk is az e�� ∙ �k tagot. Átrendezve

u?A � ¦ ^e�� ∙ �k � « e�?�`�A ∙ � ∙ u?KAdK�k � Ye�?�`oA � e��[ ∙ ?�k � �ykAa (3.114.)

összefüggést kapjuk. Ha pontosabban szemügyre vesszük, látható, hogy ez is átalakítható,

vagyis

u?A � ¦ ��?A � Ye�?�`oA � e��[ ∙ ?�k � �ykA� , É?A � Ye�?�`oA � e��[ ∙ ?�k � �ykA, (3.115.)

amiből látható, hogy a Smith-prediktor ideális paraméterek mellett sem vezet vissza ideális

állapot-visszacsatolásra. Megjelenik egy plusz tag, É?A, amely a nyitott rendszer

tulajdonságait hordozza magában a kezdeti feltételektől függően. �k � �yk esetén megszűnne ez

a tag, ám ezt biztosítani semmilyen esetben sem tudjuk, ehhez ugyanis időkésés nélkül kellene

a kezdeti feltételt (és zavarásokat is) mérni. Mivel �k-ról nincs semmi tudomásunk, így a

legcélszerűbb �yk-t zérusra venni. Tehát

u?A � ¦Y�?A � Ye�?�`oA � e��[ ∙ �k[. (3.116.)

Ez alapján megmutatható, hogy ha � stabil, akkor u?A szabályozóerő is stabil marad.

Ellenben ha ez instabil, u?A is instabillá válik. Ez a tulajdonság magyarázza azt, hogy ideális

esetben miért nem alkalmazható a SP instabil rendszerekre (3-27. ábra), valamint stabil

rendszer esetén miért nem biztosítható az aszimptotikus stabilitás (3-25. ábra).

3-29. ábra: Smith-prediktor és FSA

50

A különbségeket másképpen is magyarázhatjuk, tekintsük ez esetben a 3-29. ábra két

egyszerű példáját. FSA szabályozó esetén prediktálás csak a � � l, � intervallumon történik,

ami jóval hatékonyabb. A SP a kezdeti időponttól futtat egy párhuzamos rendszert a valós

rendszerrel, amelynek becsli az állapotát. A becsült állapototokat matematikailag összegzi,

amelyeknek ideális esetben egyezniük kell, így az időkésés kiesik. Valójában azonban nem

egyezik a valós rendszer és a prediktor modell kezdeti feltétele, de az u?A beavatkozóerő

azonos, így a két rendszer soha sem lesz szinkronban, és a két állapot semmilyen esetben sem

ejti ki egymást. Tehát szigorúan véve azt mondhatjuk, hogy �? − lA biztosan nem egyezik

meg �y? − lA-val, ami pedig egy nagyon lényeges körülmény.

Bár a stabilitási tulajdonságokat a Smith-prediktor bizonyos esetekben lényegesen tudja

javítani, a dinamikai viselkedést leronthatja (például beállási sebesség). Ennek oka, hogy a

nyitott rendszer tulajdonságai egyértelműen megjelennek a visszacsatolásban, így a zárt

szabályozási körben is. A fentiekben levezetettek azt mutatják, hogy a SP nagyon érzékeny

nem csak a paraméterbizonytalanságokra, de a szabályozókört terhelő zavarásokra is,

amelyeket jelen esetben egyetlen kezdeti feltétellel helyettesítettünk.

51

4. ÖSSZEFOGLALÁS

4.1. ÖSSZEFOGLALÁS

A Smith-prediktor időkéséssel terhelt szabályozókörök számára tervezett speciális

kontroller, amely megfelelő paraméterek mellett képes a zárt szabályozási körből kiemelni az

időkésést és ideális stabilitási tulajdonságokra visszavezetni azt. A szabályozó ugyanis

tartalmaz egy modellt, ami a valós fizikai rendszer egy pontos matematikai modellje. Az ún.

prediktorban a paraméterek a valós rendszerhez igazítottak, amelyek ha teljesen pontosak,

megszűnik az időkésés okozta instabilitási probléma. Ez azonban egy olyan speciális eset,

amely csak tökéletes paraméteregyezéssel érhető el, de a valóság ennél jóval bonyolultabb.

A dolgozatban egy egyszerű másodrendű rendszer példáján élve levezettük az általános

eset egyenleteit idő- és frekvenciatartományban. Meghatároztuk a teljes zárt kör átviteli

függvényét mind a bemenet, mind pedig a zavarás felöl, valamint rámutattunk arra is, miként

alkalmazható a Smith-prediktor dinamikai rendszerek stabilizálására. Felírtuk az egyenleteket

állapottér modell segítségével is, amellyel már képesek voltunk a valós dinamikai kezdeti

feltételeket figyelembe venni. Az ÁTM modell felírásával meghatároztuk a szabályozó

egyenletét is, amely nagy segítségünkre volt a rendszer tulajdonságainak megértésében.

Meghatároztuk a rendszer analitikus stabilitási görbéit általános esetben, majd a Stépán

módszerrel az instabil gyökök számát is. Ezzel könnyen rámutathattunk a stabil

tartományokra, valamint megmutatattuk azt is, hogy a Smith-prediktor instabil rendszerek

esetén, pontos paraméterek mellett is elveszíti a stabilitását. Ez a szakirodalomban már

tapasztalt, azonban felületesen magyarázott jelenség.

Eredményeinket különféle módszerekkel igazoltunk, összehasonlítottuk szimulációkkal

és numerikus eredményekkel is, például a szemi-diszkretizációval. Megvizsgáltuk a különböző

speciális eseteket és kiértékeltük azokat. Az eredmények között sok különös jelenséget

tapasztaltunk, amelyre azonban jó magyarázatot tudtunk találni. A modellek minden lépésben

az előzőt bővítették ki és segítették az eredmények megértését.

Végső soron összehasonlítottuk a kapott eredményeket a Finite Spectrum Assignment

szabályozóval, amely segített magyarázatot találni speciális esetekre. Többet között arra is,

hogy miért is érzékeny a Smith-prediktor a paraméterek mellett a nyitott rendszer instabilitási

problémáira, a rendszert terhelő zavarásokra, és miért nem tud pontos paraméterek mellett

sem aszimptotikusan stabil zárt rendszert biztosítani.

Bár a Smith-prediktor egy több mint ötven éves találmány, a bemutatott eszközökkel

korábban még nem vizsgálták a tulajdonságait. A dolgozatban alkalmazott módszerek más

esetekre is alkalmazhatók és segíthet megérteni más szabályozók működését is.

52

4.2. SUMMARY

The Smith Predictor is a special controller, which was designed for control loops with

feedback delay. The controller contains a so-called predictor model, which is the mathematical

model of the open-loop system. If the predicted parameters are perfectly matched, the system

can reach optimal stability properties, taking out the time delay from the closed-loop system.

This is a special case, which only can be achieved with perfect parameter matching. In fact,

these optimal cases do not describe the real behavior, so in this work, the parameter

mismatches are also treated.

In this work, the general equations are presented in time- and frequency domain using

the example of a simple second-order system. The transfer function of the closed-loop from

the input and disturbance to the output are also defined, and the application of the Smith

predictor to stabilize dynamical systems is also presented. The equations were also determined

with the state space model, as a result, the initial conditions were able to be included. The

initial state has an important role in the dynamical behavior, furthermore, it helped us a lot

to understand the reasons behind some properties.

The analytical stability charts were determined, and the number of the unstable

characteristic exponents was also specified with the help of Stepan’s formulas. Therefore the

stable regions were found easily, and it was also shown that the Smith Predictor is unable to

stabilize unstable open-loop systems in case of perfect parameter matching. This fact can be

found in many paper in connection with the Smith Predictor, but the explanations are very

superficial.

In order to check the results, more methods were applied, but each of them verified the

previous ones. Simulations and numerical techniques, e.g. Semi-discretization method, were

also used. The special cases were also analyzed and explained. Many interesting phenomenon

were found, but each of them can be justified. Every model extended the former ones and

helped us to understand the operation of the controller.

Finally, the Finite Spectrum Assignment controller was also compared to the Smith

Predictor. The comparison helped us to reveal the differences between these controllers, and

it explains why the Smith Predictor is so sensitive to instabilities in the open-loop system,

how noise affects the stability properties and why it cannot stabilize the closed-loop system

in case of perfect parameters.

Although the Smith Predictor is more than fifty years old, the presented methods have

not been applied to this structure yet. This report may be able to help us to understand other

controllers and systems.

I

5. FÜGGELÉK

A. ROUTH-HURWITZ KRITÉRIUM

A Routh-Hurwitz stabilitási kritérium szükséges és elégséges feltétele a lineáris idő-

invariáns rendszereknek. A vizsgálat a rendszer karakterisztikus egyenletén történik, amely a

fent említett esetben a (5.1.)-es általános alakban írható fel egy b-ed fokú rendszer esetén.

p?KA � HÄ ∙ KÄ + HÄ`> ∙ KÄ`> + HÄ`. ∙ KÄ`. + ⋯ + H> ∙ K + Hk (5.1.)

A kritérium szerint a megoldás aszimptotikusan stabil, ha a karakterisztikus egyenlet minden

együtthatója pozitív (5.2.), valamint az együtthatókból képzett Routh-Hurwitz determináns

(5.3.) és annak minden főátló szerinti aldeterminánsa pozitív.

H > 0 È = 0,1,2 … b (5.2.)

Ë =���� H> HkH� H. 0 0 H> Hk … 0… 0HÌ H�⋮ ⋮ H� H.⋮ ⋮ … 0 ⋮H.Ä`> H.Ä`. H.Ä`� H.Ä`� … HÄ )*

**+ (5.3.)

Egy másodrendű rendszer esetén tehát a determináns a következőképpen nézni ki:

H. = det � H> Hk0 H. � > 0 (5.4.)

Kifejtve a determinánst, látható, hogy nem adódik új feltétel ((5.5.) és (5.6.)). Vagyis

másodrendű rendszernél szükséges és elégséges az együtthatókat megvizsgálni. Magasabb

rendű rendszer esetén már a determináns felírása és vizsgálata nem hagyható el.

Hk, H>, H. > 0 (5.5.)

H> ∙ H. > 0 (5.6.)

II

B. MÁTRIX-EXPONENCIÁLIS

Legyen adott egy homogén differenciálegyenlet-rendszer az

��?A � � ∙ �?A (5.7.)

mátrixegyenletben. Jelen esetben �?A és ��?A egy b elemű vektor (�?A ∈ ℝÄ), míg � egy b × b

elemű mátrix. Ezen egyenletrendszer megoldása az

�?A = e�� ∙ �k (5.8.)

kezdeti feltételekkel megadható. Az így kapott megoldásban e�� együttható, az ún. mátrix-

exponenciális, meghatározására különféle módszerek vannak. Kiszámítható a � mátrix

sajátértékeinek és sajátvektorainak meghatározásával, de a legtöbb matematikai szoftverben

erre előre definiált algoritmusok vannak. e�� kiszámítható az exponenciális függvény Taylor-

sorával is, vagyis

e�� = exp?�A ≔ U 1Ð!Ò

V]k �VV. (5.9.)

A következőkben nézzük meg egy lineáris inhomogén differenciálegyenlet-rendszer

megoldását. Legyen adott

��?A = � ∙ �?A + Ó?A, (5.10.)

egyenlet, ahol Ó?A ∈ ℝÄ. A megoldás során az állandók variálásának módszerét használjuk.

Keressük a megoldást az (5.11.)-es alakban megadott összefüggéssel, ahol ©?A ∈ ℝÄ

differenciálható függvény. Ennek a feltételnek a figyelembevételével deriváljuk a feltételezett

egyenletet.

�?A = e�� ∙ ©?A (5.11.)

��?A = � ∙ e�� ∙ ©?A + e�� ∙ ©� ?A (5.12.)

Visszahelyettesítve az (5.10.)-es egyenletbe, majd egyszerűsítve a kapott összefüggést, a

következő alak adódik

e�� ∙ ©� ?A = Ó?A. (5.13.)

Ezt a formát átrendezve, majd integrálva azt,

©?A = « e`��Ó?KAdK��ª + � (5.14.)

összefüggéshez jutunk, ahol � konstansvektor. Az így kapott megoldást a ©?A függvényre

visszahelyettesíthetjük az (5.11.)-es egyenletbe. A végső alak

�?A = e�� « e`��Ó?KAdK��ª + e���. (5.15.)

A kezdeti feltételek kielégítésével a � konstansvektort is meghatározhatjuk, ez alapján

III

� � e`��ª��ª . (5.16.)

A kezdeti feltétellel kapott általános megoldás

�?A = e�?�`�ªA��ª + « e�?�`�AÓ?KAdK��ª . (5.17.)

Ezt a módszert nem csak a közönséges differenciálegyenletek megoldásához, hanem a

késleltetett egyenletekhez is használhatjuk. Az időfüggvény meghatározásánál és állapottér

modellnél alkalmaztuk a módszert.

IV

V

6. IRODALOMJEGYZÉK

[1] G. Stépán, Robotok mechanikája, Előadás, BME, 2012.

[2] Z. J. Palmor, Time-delay compensation: Smith Predictor and its modifications, in W.S.

Levine, editor, The Control Handbook:224-237, Boca Raton, Fl, CRC and IEEE P., 2000.

[3] O.J.M. Smith, Closer control of loops with dead time, Chem. Engrg. Prog., 53(5): 217-

219, 1957.

[4] Z. J. Palmor, Stability properties of Smith dead-time compensator controllers., Int. J. Control, 1980, 32:937 949.

[5] D.H Owens, A. Raya, Robust stability of Smith predictor controllers for time-delay

systems, Control Theory and Applications, IEE Proceedings D, 1982, 129(6):298 304. [6] K. J. Astrom, A new Smith predictor for controlling a process with an integrator and

long dead-time, IEEE Transactions on Automatic Control, 1994, 39(2):343-345. [7] T. Molnar, T. Insperger, On the stabilizability of the delayed inverted pendulum controlled

by Finite Spectrum Assignment in case of parameter uncertainties. Proceedings of the ASME 2013 IDETC/CIE, 9th International Conference on Multibody Systems, Nonlinear Dynamics and Control, August 4-7, 2013, Portland, OR, USA.

[8] A. Z. Manitius, A. W. Olbrot, Finite spectrum assignment problem for systems with

delays, IEEE Trans. Automat. Control, 1979, AC-24:541–553. [9] Q. G. Wang, T. H. Lee, K. K. Tan, Finite Spectrum Assignment for Time Delay Systems,

Springer, 1999.

[10] Q. C. Zhong, Bridging Finite-Spectrum Assignment and Smith Predictor, 2003.

[11] T. Insperger and G. Stepan, Semi-Discretization for Time-Delay Systems,

Springer, New York, 2011.

[12] G. Stépán, Retarded dynamical systems, Longman, Harlow, 1989.

[13] W. Michiels and S.-I. Niculescu, On the delay sensitivity of Smith

Predictors, International Journal of Systems Science, 2003., 34(8-9): 543–551.

[14] J. Kovács, Számítógépes irányításelmélet, Jegyzet, BME, 2009.

[15] W. Michiels, S.-I. Niculescu. Stability and Stabilization of Time Delay Systems - An

Eigenvalue Based Approach, SIAM Publications, Philadelphia, 2007. [16] L. Mirkin, N. Raskin, Every stabilizing deadtime controller has an observerpredictor-based

structure. Automatica, 2003., 39(10), pp. 1747–1754. [17] M. Krstic, Delay compensation for nonlinear, adaptive, and PDE systems, Birkhäuser,

Boston, 2009.

[18] T. Insperger, G. Stépán, Semi-discretization method for delayed systems, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Int. J. Numer. Meth. Engng, 2002, 55:5003-518 (DOI: 10.1002/nme.505).