13

Sliding Window - New York University · UhXVU pDXaSadNUhj%fgU W^Uh YdrjvdkWDXvp c]_Xadkj] *)! s pcfpc] # +, Ã Tz[i^UlXadk dkSAXaiTdk`CS oCP `nmkUho¯jvP cdkoG ]uiTP RTon dq¦ tToCPY`bXAXVicde¢P

  • Upload
    others

  • View
    1

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Sliding Window - New York University · UhXVU pDXaSadNUhj%fgU W^Uh YdrjvdkWDXvp c]_Xadkj] *)! s pcfpc] # +, Ã Tz[i^UlXadk dkSAXaiTdk`CS oCP `nmkUho¯jvP cdkoG ]uiTP RTon dq¦ tToCPY`bXAXVicde¢P

��������������� � ��������������������� ��� ��������������! �#"%$'&!��(��)� ��*!�+�#"%,-����������.� � �/��� 01�� ��$'��� 32

46587:9;58< =?>:5A@CB�<D7878EGFIHJ>LKMFN>LKOQP�RTSVU�WYX[Z\W^]_Xa`bXaRcXad�P�eLfgUhXaiTdkj�UlXa`nmkUhoJpcmq`CdkW^mrdk]

s dkt^UhSuXajvdkWDXAP�ewOQPYjxtTRcXadkS�pcmr`CdrW^mrdy dkz|{wP�SV}�~�WT`C��dkSV]u`bX_�

� �DRTW���Rcd�� ]ui^UY]ui^U����)mk]r� W��DR:� dN�cR

���)�Y���T�L�M�

OQPYW^]u`n�cdrS�XaiTd�tTSaP��ToCdkj�Phe�jvP�WT`bXaP�SV`CWT��XadkW^]�P�eXViTP�R^]aU�WT�T]vP�e)Xa`Cjvdg]adrSV`Cdk]��TUhXVU ]_XaSVdkU�j�]v`CW�UhWPYWToC`CWTd�e�UY]uiT`CP�W.UhW^�Ij�U�}D`CWT���cdNmr`n]u`CP�W^]A�^U�]udN�IP�WXViTdrj��'Z\W�U��T�c`bXa`CP�W�XaP!]u`CWT��oCd�]_XaSadNU�j�]uXVUlXa`n]_�XV`nmr]x]uR^m�i�UY]6U��YdkSVUh�Yd�UhW^��]_X�UhW^�TUhSV���cdk�D`nUhXa`CP�W:�z?dxUhon]uP�zAUhWDX�XaP��^W^�giT`C��i�mrP�SaSVdronUhXa`CP�W^]�UhjvPYWT�U�oCo[tTU�`CSV]vP�e�]_XaSadNUhj�]k����]_XaPcmV}�j�UhSa}YdrX�XaS�U��cdkSjv`C�YiYXwR^]ad�]aR^mVi�U)XVPDPYocXaP]ut�P�XQUhSV�T`bXaSVUh�YdQPYtTt�P�Su�XVRTWc`bXV`bdN]r�I AiT`n]�t^U�t�dkS�tTSaPYt�PY]udN])dr¡�mr`CdkWYX6jxdrXaic�Pc�T]8e¢PYSw]uPYoC�D`CWT�)XaiT`n]wtcSVP��ToCdkj��^UY]udN�xP�W s `n]amrSadrXad£ P�RTSa`CdkS� JSVUhW^]_e�P�Saj�][UhW^�gUvXaiTSadkd�oCdk��dko;Xa`Cjvd`CWc�XVdrSV�lUho�iT`CdrS�UhSVm�iD���¥¤L¦�XadkW^]u`C��d�dq¦ct�dkSa`CjvdkWDXV]gP�W]a�DWDXaiTdrXa`nm��TUhXVUgU�W^� SadNUho§zQPYSaon���^W^UhW^mr`nUho§XaSVU����`CWT���TUhXVU)]uiTPlz#Xai^UlXLPYRcS8U�oC��P�SV`bXaiTj!��dNUhXV]JXaiTdA�c`b�SVdkmqXxmrP�jvtTRcXVUlXa`CPYW�UhtTtTSaPDU�m�i��D� ]adr�YdkSVUhoLPYSV�cdkSV]P�e�j�Uh�YWT`bXaR^�cdh�¨Z©XIU�on]uP�`CjvtTSaPl�YdN]vP�W�tTSadk�D`CPYR^]£ P�RTSa`CdkSw JSVUhW^]ue¢P�SajªU�tctTSVPYU�m�iTdN];���xUhoCoCPlz[`CWT�)XaiTddr¡�mr`CdkWYX)mrP�jvtTRcXVUhXa`CP�WgPhe«Xa`Cjvdr�©�cdkonU���dN�.mqPYSaSadkonUl�XV`CP�WPh��dkSJU�W���]u`C¬kdQ]uoC`n�c`CWT��z[`CW^�cPlz#UhW^�6UhW��)Xa`Cjvd�cdkonU�����OQP�SVSadkonUlXa`CPYW­U�on]uPIoCdkW^�T]�`bXV]adrobeQXaP.U�W�dq¡v�mr`CdkWDX��YSa`n���©�^U�]udN���TUhXVU�]_XaSVRTmqXaRTSVdh�� ?iTd6SadN]uRTobX�`n]XViTdw�^SV]_X«UhoC�YP�Sa`bXaiTj®XViTUhX;z?dw}�WTPlz Phe�XaP�mrP�jvtTRcXadmrPYSaSadkonUlXa`CPYW^]«Pl��dkS«XaiTP�R^]VUhW^�T]8Phe¯�TUhXVU�]_XVSadNUhj�]8`CWSVdkU�o8Xa`Cjvd��� AiTd�UhoC�YP�Sa`bXaiTj�`n]�`CWTmrSVdrjvdkWDXVUhoG�Ji^UY]�T¦cdN��SadN]ut�P�W^]adwXa`Cjvd��DUhW^�xmkUhW�jxPYWT`bXaP�S«XaiTdAt^Uh`CSu�z[`n]ud�mrP�SVSadkonUlXa`CPYWT]LPhe8°�±c� ±�±Y±)]_XaSVdkU�j�]LP�W�U6]u`CWT��oCd² O��[ ?iTd U�oC��PYSa`bXaiTj³`n]�drj��^UhSaS�U�]a]a`CWT��oC��tTU�SVU�o´�oCdkoC`C¬NUh�ToCd��

µ ¶Y· ���T¸[¹�º����T»_¸ ·f­UhW���UhtTtToC`nmkUlXa`CPYWT]ImqPYW^]u`n]_X�P�ej�RTobXa`CtToCd��cUhXVU#]uXaSadNUhj�]r�£ PYSAdr¦TUhjvtToCd��¼½6¾q¿GÀ�ÁÃÂ�Ä�Äh¾q¿�ÅÃÆ_ÇIÈ É�ÄlÊV¿GÅ�ËrÌ�ÍLÎ ÏhίÐ8ÏkÑ Ò�¿©ÊVÉrÅÃÁ[ÓGÓ�ÏrÔ¢ÕqÕ�ÖqÖ�×�ØqÙÊ�É�Ç�ЫÚ�ÛNÜuÛNÝ ÛNÜ�ÜaÙ�ÙqÖ�ÞNÎ

Ð;ßLÍ�à_¾qáAÄ�ÂNÅÃÆ_¿^ÁGà_È Æ_É�à_Æ;Ç�Æ_ÄlÊV¿GÅGá[Æ_ÉrÅ^ÅGÆ_à©â�É�È à_ãl¿GÆ_Ä�¾�¿GÅ^ä;åJÚ�ÛqÛ�ÚVÔ¢Ö�ÚrærçèqÂ�É�ÆLÚ�ÛqÛ�ÚNÎMéJÉ)Ê�Ë�Ë�¿GÆ\êNÈ´ÊaÅÃÆ_Ç�êqÆ_¿ÃÁÃÈ ¾qÉ[¾�ëcÅGâ�È Á¯¿ÃÆ_Äh¾q¿�Å:ì;È ã ãYÊVÄ�ÄhÆuÊ�¿;È Éí¯îGïuð©ñÃñ©òqó´ô�õ�öwïÃ÷;øCùNñwúkûqøCùvüDýcþ8ÿ��^ïqôa÷\ñuî�ñuô�ðÃñ����8ïqôNõ��Qï�ôNõ���cùkó´ô���ú� � Vú

� Z\W�jv`n]a]a`CP�W P�t�dkSVUhXa`CP�W^]ge¢PYS y �)pc��� ]#p�tTUYmrd�p�i�RcXu�XaoCd��TUhtTtTSVP�¦�`Cj�UhXadkob����±c� ±Y±�±]adrW^]aP�SV]?UhSad�XadkoCdkjvdrXadrSVdk�P�W^mrdgt�drSI]udNmqPYW^��XaP�fg`n]a]u`CPYW®OQPYWYXaSVP�o�UlX��YP�iTW^]uPYWp�t^U�mrd6OQdkWYXadkSk����P�R^]_XaPYW��´°����Ã�

�  AicdkSadIUhSad�U���P�RcX��h±c� ±Y±�±.]udNmrRcSV`bXa`Cdk]�XaSVUY�c`CWT�.`CW#XaiTd~�WT`bXadN�¨pDXVUlXadN]r�)UhW^�®dk�YdrSV��]adkmrP�W^��RTt|XaP|°�±�±T� ±�±�± RTP�XadN]AU�W^��XaS�U��cdN]"! XV`Cm�}c]�#AUhSad���dkWTdrS�UlXadN�¯�

~�Wce¢PYSuXaRTW^UlXVdroC�®`bXg`n]­��`b¡�mrRTobXgXaP�tcSVP�mrdN]a].]uR^mVi!�TUlXVU`CW�]udrXu�©P�Sa`CdkWDXadN�|�TUlXVU�j�UhW^U���dkjvdrWDX.]a��]uXadrj�]k��U�obXaiTP�RT�YiPY�%$udkmqXu�©SadkonUlXa`CPYW^UhoMXV`Cjxd�]udkSa`CdN]Adq¦�XadkW^]u`CP�W^][i^U��Yd���dk��RTW.XaP�^oCoTXaiTd��DUht&� ��°'�Ã� £ PYSwXaiTd�t�dkSue¢PYSaj�UhW^mrd[XaP�Md�]aRc¡�mq`CdkWDXaoC��YP�P��#iTPlzQdk��dkSk��( s UhXVU�pDXaSadNUhj%fgU�W^Uh�YdrjvdkWDXvp��c]_Xadkj�]*)! s pcf­pc]�#�� +,�Ã�Tz[i^UlXadk��dkSAXaiTdk`CS�oCP���`nmkUho¯jvP��cdkoG��]uiTP�RTon��dq¦��tToCPY`bXAXVicd�e¢P�oCoCPhzA`CWT�vmVi^U�SVU�mqXadkSa`n]_XV`nmr]?PheJXaiTdU�tTtToC`nmrUhXa`CP�W-

� ~�tM�TUlXadN]�U�Sad�XaiTSaPYRT��i�`CWT]adrSaXa`CP�W^]xPhe�WTdkz dkoCdkjvdrWDXV]!¢z[`bXai�SVdronUhXa`C��dkoC��SVU�Sad�mrP�SaSVdkmqXa`CPYW^]§Phe8PYon�cdrS��TUlXVU.#��

�0/ RTdkSa`CdN]1!¢jvPl�D`CWT�®U��YdkSVUh�Ydk]k��]uXVUhW^�TU�SV�¨�cdk��`nUlXa`CP�W^]k�UhW^� mrP�SVSadkonUlXa`CPYW�#�XaSadNUlXXaiTd��TUlXVUgU�]]ud RTdkW^mrdk]WTPhX]udrXV]r�

� p�`CW^mqd�U�e¢RToCow]_XaSadNU�j `n]�WTdr�YdkS)j�UlXadkSa`nU�ob`C¬kdN�¯� RTdrSV`Cdk]XaSadNUlXAXaiTd�TUhXVUvU�][UxWTdr�YdkSu�ÃdkW^�c`CWT���TUlXVUv]_XaSVdkU�j��

�02 WTd�t^U�]a]�U�oC��P�SV`bXaiTj�]�UhSad��cdk]a`CSVUh�ToCd���dNmrU�R^]ud�XaiTd�TUlXVUx`n][�lU�]uXk�

� Z\WYXadkSatTSVdqX�UlXa`CP�WI`n]?jvPD]_XaoC� R^UhoC`bXVUlXV`b�Yd��c]uP�]aUYmqSV`b��mq`CWT�U�mkmrRTSVU�mr�ve¢PYS[]at�dkdk��`n][U�mkmrdrtcXVU��ToCdh�

 AiT`n]�t^U�t�dkS�tTSadN]udkWDXV]�XaiTd�U�oC��P�SV`bXaiTj�]�UhW^�®U�SVmViT`bXadNmq�XVRcSVd)PheLpDXVUlX�pDXVSadNUhj��cUx�TUlXVUx]_XaSVdkU�j jvP�WT`bXaPYSa`CWT�x]u��]uXadkjI� AiTd]a��]uXadrj mrP�jvtTRcXadN]�Uv�lUhSa`CdrX_��P�e8]a`CWc�YoCdU�W^��j�RTobXa`CtToCd]uXaSadNUhj ]_XVUhXa`n]_Xa`nmk]�`CW�P�WTdvt^U�]a]�zA`bXai#mqPYW^]_XVUhWDX)Xa`Cjvd3!¢t�dkS`CWTtTRcX�#�U�W^�I��PYRTW^��dN�.jvdkjxPYSa���? JP�]uiTPlz `bXV]�R^]ud�e¢P�S�PYWTdtTS�U�mqXa`nmkUhoMU�tTtcoC`nmkUhXa`CP�W:�Dz?d)`CW^mqoCR^�cd)jvPD]_XQP�e:XaiTd�]_X�UlXa`n]_Xa`nmk]XViTUhXQU�]adkmrRTSa`bXa`CdN]8XVSVU��cdkSwjv`C��iDXw��d�`CWDXadkSadN]_XadN�x`CW¯�w AiTd�Uhob��YP�SV`´XVicj�]k��iTPlzQdk�YdrSN��UhSad�UhtTtToC`nmkUh�ToCd)XaPvPhXVicdkS[�c`n]amr`CtToC`CWcdN]r�

Page 2: Sliding Window - New York University · UhXVU pDXaSadNUhj%fgU W^Uh YdrjvdkWDXvp c]_Xadkj] *)! s pcfpc] # +, Ã Tz[i^UlXadk dkSAXaiTdk`CS oCP `nmkUho¯jvP cdkoG ]uiTP RTon dq¦ tToCPY`bXAXVicde¢P

������������� ��������������������������������������� �!�����"�#�����$%&���'�(*)�+����*�������,����� �-���#(�.+���,�����/����01�+���������"�2��34�#51�"�6�������7��������)���"89��� �:�������;3<� =>�"�����+�?��3@����?�A=4�B$DCE��1��.1�"�������F���+��)������G��������+������+���/3<��������������(H����I��(���+���*�����-�"��$;JK���3<������)�����+����(B�#�+�+������G������*�+���4�����LM $4CE�-�#�+�-�������-�'��(*���*)N�6���������O�6���A���"�6���"� �;�������E��,��01��)�������+������K��;=:� (�(?��K�����-��)N��� ("�P0���I�#������#("��������I�����.��������Q�������#��)R��������������������#�+�+�����1������4���(������23S�����)����B$-%&���"�T�-�������T�����A�;�*34�U�6���A���"�6���"�!���+(����,�A�T���*�-�V�W �����A� �6���A���������"�7=&��(�(KGX�I���#�Y��������Z�A�[�����-� V&\^]�W=&��� ��� ] �"�&�'�#�+���6�����9�:������� �X� �����#�9�4��3@�����T����_ �T������1�����A�����+�[��3H�����2�6���������U$

` $Qa���:��90!�������b��3@������������� W ���+������������)R=4�"���Q�6�������"�6���"�4�"����+�-���1��� � ���I��� ���������#�-� �9����(@3S���������������[��� 89������������+���6�����9�2�����-�[�X� �2���c�������$d%&���"�'�"�2���+���/���������I�e �"���#���#���;a���������#�Q%f�������3<����g���������P5������A�����+�B$

h $Q%F���;��������P5������A����������+�F�!�����(�(Y� �����+�:������� �F���A����)����(@��������-�������+���#$

i $Qj?.� �'=&��� �!=:�&�-����*���+�H�����&���A���K�6�����������H�A.+� �H��(��"�1)�����k=4�����1��=4� W ���l���#.1�"���*�������l��3;�������#5������������k��������6�����������&�"�&���#�������c$

m $Q%F������#�F��� ����(*�F�"�?�������F�+�/�2no� �9������� i nFp W =:�� ����������(�� M�q W qqq �6����� ����:������/�����������#�����-�������2� .+�#��0�������+���/=4�*��� �-��� ("�P0�=4�������A= ] �3H�+��(�0 ` �-���9�������#$J��� ��(��+����*�����-�"�I�#��9������G�����������[��������(�0Z���P.�7���r���

=4�*���I�#������ ("��������U�����A���"�����"�#� $4aH�����6� W =F�2���"�6�������+���"���U�������#������-�,�X�#�����1���#Ls �����-�#�X�+���+�Tt[������������(�(����6�K�����*�;�3?�����-�-�A.� �=4���"��������,��0��6��� �u�#�+(*(��������4���A��� W �$ ��$?�����#����c$

s G��+���"�D=4�������A=ItT��#��������#������.�?����G���� 89��� �����b��3������-�#)�X����9���;��.� �T=4���"���E�����/��01�����#�O������+��������,� ��������6������#��� �-� �9����(�(�0 W �$ ��$ W �'3<� =v�-���9�������#$

s ��(��"�������U=4�������A=^tI�[�����#��)w���#x��������#�+��������������.+�!����G�)����8+��� ���#�E��3'G��+���"�I=4�������A=4�[�A.� �U=&���"���y�����d����� �=F���9�����6���A���"�6���"� � W ��$ ��$z��r������ $z%F��������� ���-����9����{ WH| =4���"������������?�3@�����1��{1�:=:� ����#������ ("�A�����!=4�}���/�.A��(����;�3f�A.+� � q $ ~23S��&�����;("�+�6�&���+�������%&�����������3F�����/���9��� ���-�����"�A���������-�����9��� ��.A�(?�����A�'=:�

� ��(�(BG�����"�T=&�������A=z01��� ("���F������� �;���.A��+�������#LM $Q�&������(*���Q�3D����� �8+��� �������4���#���U�����GX�2��� ("�P0+� �U�-�����������U�����;G�����"�T=&�������A=z�����-��$b�N�[�+���&�#5����-��(�� W ����������#�?=&��(�(�GX�&���+(��!�GX����b�#������ ("�A�����+���fGX�#�6=F�#� � ` nb������ h nb��G90 h L q+` n:�������d�#������ ("�A��������GY���6=F�#� �` L q+` nb������� h L q+` nb��G90 h L q i nb��$

` $Q�7����+������������z�6������������������6����G��+�����^�+�������kG�����"�=&�������A=���(�(��A=Q�7�����Z�#��-�������A�����+���3[�#������#("�����������A.� �T=4�������A=4�,��34����G��*��������0�����_ � W �����2��� �#������������(�0���2��(*������(��d�32G�����"�I=&�������A=O����_ � W ��/=F� (�(;��[�����-�#)�1� ("�P0+���[�#������#("����������:=&�*��� ������ �� ��������#0$

h $4�^�����+���&G��+���"�=4�������A=y���.+�Q3S����&�������Y������Q�����-�TG����3<� =:� �&�����-�,��� �������4� ���/����� � GX�;�������(����c$�y��� �#�+�����(���+���*�����-�"�F�#�+�+�����*G��������+���"�D�����Q����"���6��������)

������� W � �+���!��3c=&���9���&�#� (�("�?�6���+�����H�����4������!3<������������-.A�(�����3D���6��������[$:%&���2�����������������;�*�����#(*3D�"�4����������������(@G����Q����������+�-�����#��� ����02=:�4�+G1�������'3<���+���*�?�"�b�1���&���;�����F3�����D�����A�=F�!�����2�-� �+�����������/�#������ ("�A������7�����7���P.+�2������2�����'�����-������#��-�X�9���*������U�-�#�9�����+��� � ��GX��.�$%&���U���#����������#���3�����"�������X� ��=4��(�(QGX� �+���9������_ � �k��

3S�(�(��A=Q�#$U%&���/���A��� =:���#�+�����"���#�'�����d�����A���"�6����� �2=:��������)�����#�4�����&��������� �+��� �2�����1���������+� ` $D�1���������� h ��������� �9���H�����(���+���*�������b3S��4�-����*����������-�����+� ���Y�#���[�����-�,��� �������4���A����������������#$I�9���������� i ���"����������� �,�����/��01�6���#���+���A���9��������[$�1���������� m ��������� �+���F����&�#51�X� �����-� �9����(c��������(*���#$:�1� �������+�[��������4�+���&=F���{����U�����,�#��9���#51�&�3H��� (��������/=F���{Y$

� �Z�H�����Z����k�Q�@�� 6�@¡¢B£S¤ ¥2¦S§l¨�©@¨9ªA¦S¨1«!¬[­�®�­¯©B® ªA¨9­�§l«CE�-�#������"�1� �K��������� �+��� �������/�+�K�-�����-�!������ �����7��� �������Q��3��������(�� �F°S�����������-� e W �����!� �X�+���+� W .A�(����P±�$Hjb�+���2�6�����������#���)���"�6���?�3B��(�(������+���Q�����*��(����?���A.9�����T�����K�����-��6��������!� e $Y°S�w�x��������� W �K�6����� ��-� e ���P0,GX�4�K�6������{ W 3<��H�#5���-��(���$ ±2%&����������������4�����;��09�������������_ ���c$j:����,�6����� ��^����H���� =�.A�(����F�P.A���("��G�(��b���H� .+�#��0K�X� ���*)

�����"�D�����-�F���+��� ��.���( W ��$ ��$f� .� ��0T��� �#����c$HCE�:� ��(�(+�����:���9��� ��).A�(X�������#5!����� ®�¦�§¯¨9²b³X¦�´Y® $fa��+�:�#5���-��(�� W �}3B������X� ���������"������!����9��� ��.A�(��"�:�,��� �#���������!�������������� �+�?���*�-� �X�+���+�:3<���(�(o�������6��������-�T�"�Tµ W �A3<���#�,����������#���� W �(�(o�������6�����������=4��(�(X���P.+�4�2��� =r.A��(����=4�*���������-� �X����9�:µ \ M $F°S¶Q����Q�����A��*3Q���6��������·����,���7.A��(����[�A�'�U�����-� �X����9� W �U.A�(�����=4�*(�(GY�'�+�������+�����[�����������4���*�-� �X�+���+�TG��+�����U�+� ���9��� ���X�+("�A�����+�B$�w3b�����#���!����!��� .� ����(H.A�(���� �K����������� �������-� �X����9� W ����� �E������!�����0�.A�(����;=&��(�(@GX�,�+�������+��� �����-�����A�4�����-� �X����9� $ ±¸ �#�T¹�ºD��K¹9» µR¼o�1� ������;�����2.A��(����,�3?�6��������½¹'�A�Q�����-�#)

�Y����9��µ�$z¹9» µ�¾�¾ ¿¼K��� ���������!����������G�����89���#���#� ��3T�6����� ���¹3S����������-� �X����9����µ2����������+�d¿������#(�������.�$v¹ º ��� ����������������������À=&�*���Á�6���������-� e µ�$��Q("���Z=F�¯����� V ���v�1� ������������("�������6�T�����-� �X�+�*�9� W ��$ ��$ W ����=T$�%F�����6���A���"�6���"� �T=F�-=4�*(�(�-�+���*����b=4��(�(XGX�K��� ������� �/¹ V6Â9V °�¹ ºÄÃÅ2Æ ¹ º*ÇÅ,Æ ¾�¾�¾ Æ ¹ º"ÈÅ�Æ ¿�ɯ» Ê Æ�Ë ¼<± W=4��� ���D�����b���+��� ��.A�(X» Ê Æ�Ë ¼9�"�H�F=4�������A=d�31���9��� �����6� $fCE�:=4�*(�(���"���������:�����,�-� ��������-�3o=&�������A=Q�&���/�����;���#51������������+�B$¢B£Ä¢ ¥F¨9§¯²b³�ªA­�Ì4©B²H­�´H«�N� �����2���������*���3o�����2=:���{����¯» MPq W MM ¼ W =F�;�� ��� ���(��*_ �;������������#�2{1�������K��3D��� �-�X�����(H���������43<�+�=4���"��� �����'�6���A���"�6���"� ��3H�����-�,��� �������&�����;� �("����("�������Y$M $4Í ­�´HÎH§¯­�ªPÏOÐ�¦S´HÎH³1Ð�«Ñ �N�^�����"�����#�-�X�+����('������ W�6�������"�6���"� ������� �#��-���������lG��+�����¯�+�l����� .A��(������-GX�#)�6=:� � �y�¯���X���#�*xX�7�����-�#�Y����9�U� ��(�(����Z("������������{k���������E��������� �+��$�¹ V6Â+V °�¹ Æ�Ò Â+Ó@ÔÕ Â+Ö�× ° × ±�±�=4��(�(KGX�d�#��!)���������2�+�,�����4����G�����89���#���#�F��3������-�&���#����� �o¹9» µR¼ Æ µDØ × $�Q�v���������6�����"�������y=4�������A=��"�7�l���X���#�"��(,�#�+���E=4���#�× Ù M $Ta��+�;��7���������6�����"����� �7=4�������A=^�����-�6���A���"�6���"� ������;G�������/�+�U�(�(Y�����,�A.A����("��G�(��;��������$

Page 3: Sliding Window - New York University · UhXVU pDXaSadNUhj%fgU W^Uh YdrjvdkWDXvp c]_Xadkj] *)! s pcfpc] # +, Ã Tz[i^UlXadk dkSAXaiTdk`CS oCP `nmkUho¯jvP cdkoG ]uiTP RTon dq¦ tToCPY`bXAXVicde¢P

�������������� ��������������������������� "!#��$%��&'&'$(!# )�+*,!(-.��/"01�+*$(2)�./3*)01�4/5$(!#67!(�'849:!(��67-+9<;�-7672)$=!#/>;�-�?,2@��&'&'?,-.&'?,!BA�+*,2DCE-.?F6'��*G�H/3*,?,2I��;�/)�KJ�!(L�2)�M*GN'2O$(2)�78�*,N�-�CP*,N'2/5$(!#67!(�'8Q9%!(��67-+9SRT����6U*,N'2� WV'?G?,2)�.*F*,!(;�2"&X-�!(�Y*[Z\0] Z_^YZ"` ]�a\]IbEc_d.cfehg `ER�i5ij9%!($($lkm2@ W-.;�&'V�*G2)6n!(�O*,N'2o/,V'k7A/52Ip.V'2)�� "2 ]Yq Z�rsRutwv�x(x Z�yf�

z7�|{o}'~O�1��s�����������~n������3���_��*,N'!#/�;�-7672)$�0�?,2I "2"�Y*/5$(!#67!(�'8%9%!(��67-+9|/���?,2�;�-�?G2�!(;�&m-�?,*G���Y*�*,N�����&'?,2)L�!(-�V�/-��'2I/"�1�'-�?%2"�7��;�&'$(2�0'!(�o*,N'2> W-.;�&'V�*\�+*,!(-��@-�C���;�-+LYA!(�78>��L�2)?G��8�2�0��j/,$(!#6�!(�'8P9%!B��67-+9H;�-7672)$�9:!($($X "-.;�&'V7*,2*,N'2���L�2)?G��8�2%��/1^Y� g����>��B� �E�.�Y���.� �� ���l�� "-��Y*,?G�./3*)0Y!(���6'��;�&m2I6[9:!(��67-+9�;�-�672)$�*,N'2>9l2)!(8�NY*G/%-�C16'��*G��672"A W?G2)�./52>2W�7&m-.�'2"�Y*,!#��$($(�[!(�Y*,-o*,N'2�&��./3*)���'-.?�2"�7��;�&'$B2�0��;�-+L�!(�'8j��L.2"?\��8�2=!(����6'��;�&X2)6�9%!(��67-+9Q;�-�672)$m )���km2j "-�;�&'V7*,2I6@�./=CE-�$($(-+9|/"�^Y� g���� � � ^Y� g. 3¡(¢l£�¤ t ])¥�£ `_v%r ¤ i aG¦>§D¤[§ v

¨ *,N'2)?P/3*\�+*,!#/3*,!# )/j!(�n�[6'��;�&m2I6s9%!(��67-+9©;�-�672)$1 )���km2j672"���'2)6F/5!(;�!($#��?G$(����_�4*,N'!#/�&���&m2)?)0�9=2>9%!($($�CE-7 "V�/�-���*GN72�/,$(!#67!B�'8F9%!(��6�-�9;�-7672"$�0.kX2) )��V'/,2=!B*1!#/�*,N'2:-.�'2:V�/,2)6�;�-./5*�-�Cª*,2)������6�!#/�*GN72;�-Y/3*:8.2)�72)?G��$��

«h¬ª­ ��®I}7®)���)®I�¯���°=�O±²�m���E®I��³´ -���/,!(672)?|*,N'2�/3*,?,2I��; ]Iµ5a,cl� v a x(x(x a Rj��¶:N72�/3*G��*,!#/3*,!# )/|9l29%!($($�;�-.�'!B*,-�?|��?G2v��¸·�!B�'8.$(2:/5*,?,2I��;²/3*G�+*G!#/3*,!# )/"0�/5V� GN��./��+L�2)?G��8.2�0�/3*\����6'��?G6672"L�!#�+*,!(-.��0=km2I/3*��'*¹/5$(-.&m2��M¶:N'2I/52���?,2[/3*,?G��!(8�NY*5CE-.?5A9=��?\6h���� ´ -.?,?,2)$#�+*,!(-.�o "-�2Wº� "!(2)�.*G/

»"¼�½�½ ` ]�a,½ i � ¾��¿ �µ(À ¾]Iµ½Iµ r ] ½Á ¿ �µ(À ¾

` ]Iµ r ] i3 Á ¿ �µ(À ¾` ½)µ r ½ i3Â

z7�|Ã|V7*,-� "-�?G?,2)$#�+*,!(-.�h��*,N'2% "-.?,?,2)$#�+*,!(-.�j-�C�*,N'2%/,2"?G!(2)/�9:!B*,N!B*G/52)$BC���*¸���o2I��?,$(!(2)?l*,!(;�2��Ä �|�l2"*G�'�j*,N'2�/52)��/5!B*,!(L�!B*_�4-�Cl*,N'2�L+��$(V'2)/j-�C%�F/5*,?,2I��; ]*,-n*,N'2DL+��$(V'2)/¹-�C����'-�*,N'2)?o/5*,?,2I��; ½ `E-.?o9=2)!B8.NY*,2)6 W-.$($(2) W*,!(-.�s-�C|/3*,?,2I��;�/Gi\�F�'-�?P2"�7��;�&'$B2�0�!(�O�������� "!#��$��&'&'$(!# )�+*,!(-���/�*GN72%km2"*G��;�2I�./5V'?,2I/�*,N'2:?G!#/5Åj-�Ch��/3*G-� \Åm�Ã�/3*G-� \ÅO9%!B*,Nu�4kX2W*\�4-�CPv�� ÆF*,-4*,N'2@;���?,Å.2W*�!(��672"�2W�7&m2)?,!(2)�� "2)/�Æ ¦ &m2)?G "2)�.*�;�-.?,2@;�-+L.2);�2)�Y*�!(�H&7?G!# W2*,N����@*,N'2�;���?GÅ�2"*)�

ÇWÈ Z3^X` ]�a,½ i � ¾�[¿ �µ(À ¾] µ ½ µ r ] ½

¿ �µ(À ¾` ½Iµ r ½ i Â

É Ê=Ë7Ì�Ë'Í5Î.Ë'Í5ÏhÎnÐnÑ1Ò�ÓMÊ%Ô5Í5Õ¸Í5Ö|ײØÙÍ5Ö¸Õ|Ú�Ûuζ�-s "-�;�&'V7*,2o*,N'2F/3*G��*,!#/3*,!# )/>-+L�2)?��D/5$(!#67!(�'8D9%!(�'67-�9�0�9l29%!($($X;���!(�Y*G��!(�o��/5���7-.&�/5!#/l6'��*G��/3*,?,V� W*,V'?,2¸C-�?1*GN72j/3*,?,2I��;*,-� W-.;�&'V7*,2²*,N'2Ü/5*G�+*,!#/5*,!# "/M?G��&'!#67$(��� ¶�-�/3*G��?5*)0O-�V'?CE?\��;�2)9l-.?,Å�/5V'kX67!(L�!#672I/�*,N'2%/,$(!#67!(�78�9:!(��67-+9|/�2Ip.V���$($(��!(�Y*,-

Basic WindowS[0]

Sliding Window

Basic WindowS[k−1]

...Digests Digests Digests

New Basic WindowS[k]

��!(8�V'?,2�v.�l·Y$(!#67!(�'8�9%!(��67-+9%/%����6ok���/,!# �9%!B��67-+9|/

¶���k7$(2�v��l·��Y;>km-.$#/R *,N'2j/,!(Ý"2�-�C���/5$(!#67!(�'8�9:!(��67-+9Ç *,N'2j/5!(Ý)2�-�C���k��./5!# �9%!(��67-+9Þ *,N'2���V';Pkm2)?|-�C�k���/,!# �9%!(�'67-+9|/9%!ß*GN'!B�[��/5$(!#67!(�'8�9%!(�'67-�9e *,N'2���V';>km2)?:-�C�à���¶� "-Y2"º� "!(2"�Y*G/:V�/52I6@�./=67!(8.2)/5*G/á�

*,N'2���V';Pkm2)?|-�C�6'�+*\��/5*,?,2I��;�//5N'-�?5*,2)?�9%!(��67-+9|/"0:9%N'!# GNw9=2[ )��$($¸â�}'�I��¯U������������0%!(�-�?G672)?:*,-�C�� "!($(!B*G��*,2�*,N'2P2"º� "!(2)�Y*|2)$(!(;�!(���+*,!(-.�F-�C�-�$#6[6'�+*G�����6�*,N'2=!(�� "-�?,&m-.?G�+*G!B-.��-�C'�'2)9n6'��*G�7��ãD2lÅ.2"2)&>6�!(8.2I/3*G/�CE-�?km-�*,Nnk'�./5!# �9%!(��6�-�9%/P����6s/,$(!(67!(�'8[9%!(��6�-�9%/)�¹�'-.?j2"�'��;�A&7$(2�0�*GN72�?GV7�'�'!(�'8F/5V';ä-�C1*GN'2>*G!B;�2�/52)?G!B2I/�L+��$(V'2I/�9:!B*GN7!(��>k��./5!# �9%!(��67-+9�����6¹*,N'2�?GV'�'�7!(�'8�/5V';�9%!B*,N'!(�[���@2)�Y*,!(?,2/5$(!#67!(�'8o9%!(��6�-�9�km2)$(-.�'8¹*,-¹*GN72�*39=-¹Å�!(�'6'/�-�Cl67!(8.2)/5*G/�?,2"A/5&m2I \*G!(L�2)$(������!(8�V'?,2�v%/5N'-�9%/�*,N'2%?,2)$#�+*,!(-.��km2"*_9=2)2"��/5$(!#67!(�'89:!(��67-+9|/%����6¹k��./5!# �9%!(��67-+9|/"�å 2"*¸*,N'2>6'��*G��9%!B*,N'!(�D�¹/5$(!#67!(�'8¹9%!(��67-+9ækX2 ]Yq Z�rnRQtv�x(x Z�yf��·�V'&'&m-Y/52�R � Þ'Ç 079%N'2)?,2 Ç !#/=*,N'2�$(2)�'8�*,No-�C���k��./5!# 9:!(��67-+9�����6 Þ !#/|*,N'2P��V7;>km2)?�-�C�k��./5!# j9:!(��67-+9|/%9:!B*GN7!(��@/5$(!#67!(�'8o9%!(��67-+9�� å 2"*Pç q ¦ y a ç q v)y a x(x(x a ç q Þ rUv"y1672)�'-�*,2��/52Ip.V'2)�� "2�-�C=k��./5!# �9%!(��67-+9%/)0�9%N'2"?G2¹ç q c y �è]Yq `EZ1ruR�i�tc Ç tMv.x(xª`EZ�rnR�i�té` c tUv+i Ç yf�>ç q Þ y�9:!($($�km2>*,N'2��'2)9�k��./5!# 9:!(��67-+9ê����6uç q ¦ y=!#/>*,N'2@2W�7&'!(?,!(�'84k���/,!( o9%!(�'67-�9��n¶:N'2ë�A�*,NQL+��$(V'2F!(�Q*,N'2@k���/,!# ¹9%!(��67-+9�ç q c y|!#/�ç q cGì ë�yf�H¶���k'$(2v�672W���'2I/|*,N'2�/5��;>km-�$#/%*,N��+*���?,2>V�/52I6F!(�[*,N'2�?,2I/3*�-�C�*,N'2&'��&m2)?)�¶:N'2l/,!(Ý"2l-�C'*,N'2=k'�./5!# �9%!(��67-+9O!#/�!(;�&m-.?5*G���Y*�km2I )��V�/521!B*;PV�/3*¸km2P&m-./G/5!(k'$(2�*,-�?G2"&X-�?5*¸��$($�/3*G��*,!#/3*,!# )/%CE-.?%k��./5!# �9%!(�7A6�-�9 c *,->*,N'2�V�/52)?=kX2WC-�?,2�k��./5!# |9%!(��6�-�9 c tuv� W-.;�&'$(2W*,2I/`�+*�9:N'!# \Nj&X-�!(�Y*�!B*�9%!($($YkX21�'2I W2I/,/G��?,�¸*,-¸kX2"8.!(�P "-�;�&'V7*,!(�'8*,N'2j/3*G��*,!#/3*,!# )/=CE-�?%9%!(��6�-�9 c twv�i\�­�¬í ������ m��4��®"³+��}'~î��®I}7®I��)®I�¯.�¶=N'24/5!(�'8�$(2�/3*,?G2)��;ï/3*G�+*G!#/3*,!# )/¹/5V� \NH�./�;�-+L�!(�78���L�2)?G��8�2����6w;�-+L�!(�'8�/3*G����6'��?G6w672)LY!#��*,!(-��M��?,24 "-�;�&'V7*G�+*,!(-.����$($(�!B�'2"�7&m2)��/5!(L�2��é�_�w*,N'!#/¹/,2) W*,!(-.��0%9l2�67!#/, "V�/,/�;�-+L�!(�'8n��LYA2"?\��8�2I/hð5V�/3*l*,-�672);�-���/3*,?\�+*,2|*,N'2� "-��� "2)&7*l-�C�;���!(�Y*G��!(�'!(�'86�!(8.2I/3*�!B�7C-�?,;���*,!(-���k��./52I6�-.��k���/,!# �9%!(�'67-�9%/)� ¨ k�LY!(-.V�/5$(��0*,N'2¸!(��C-�?,;���*,!(-���*,-Pkm2¸;���!(�Y*G��!(�'2I6�CE-�?�*,N'2¸;�-+LY!(�'8P��L�2)?5A��8�2�!#/ ¿ ` ]Yq Z�rsRQtUv.x(x Z�yEi\�=�'-.?|2)�. GNFk���/5!# �9%!B��67-+9�ç q c yf09l2>;���!(�Y*G��!(�[*,N'2>67!(8.2I/3* ¿ `�ç q c yEi � ¿�ñò À ¾

ç q cGì ë�yf��Ã%Cª*,2)?Ç �'2)9©6'�+*G�o&m-�!(�Y*G/¸CE?G-�;K*,N'2�/3*,?,2I��;KkX2) "-�;�2���L+��!($#��k'$(2�09l2� "-�;�&'V7*,2�*,N'2j/5V';�-+L�2)?1*GN72j�'2)9�k���/5!# �9:!(��67-+9æç q Þ yf�¶=N'2:/5V';é-�L�2)?�*GN72:/5$(!#67!(�'8�9%!(��6�-�9O!#/�V'&X6'�+*,2I6>��/�CE-.$($(-+9%/)�¿ ��� � ` ] i � ¿  3¡(¢ ` ] i�t ¿ ç q Þ y�r ¿ ç q ¦ yf�

Page 4: Sliding Window - New York University · UhXVU pDXaSadNUhj%fgU W^Uh YdrjvdkWDXvp c]_Xadkj] *)! s pcfpc] # +, Ã Tz[i^UlXadk dkSAXaiTdk`CS oCP `nmkUho¯jvP cdkoG ]uiTP RTon dq¦ tToCPY`bXAXVicde¢P

����� �������� ������������������������������� �"!#!%$�&('�)%*+�",.-/)0'�)%*(-/)%*(1�-2'"!%$3*+4657�"!8)0'9,:)2*+,;4<'9,�=>'"5?5?&+*+1�'9@)%*+��,-BADC�"!E$BF�'"465?&G$"H�IJ'"*+!#-LKM!0'"N�*+,?O?H�'9&(-%�QP:,?��RS,T'"-L)%U?$1B�"!#!%$�&('�)%*+�",D)%!#'"N�*+,?OL-/)%!#'9)%$�O"="H�*(-MRS*(N�$B&+=2$B465?&+��=�$�N2V:=D4<'9@W ��!YXZ'9&+&�[:)#!%$�$\)Y]!#4<-BA^K_U?*(-`-/)#!#'�)%$�O"=ba���1Bc-8$�-J�",6)%!0'"N�*+,?O5'"*G!0-2�9aS$�d�c?*G)%*+$�-e)%U'�)3'9!%$<1B�"!#!%$�&('�)%$�N�AfKgU?$Q1B�"!#!%$�&('�)%*+�",V7$B)/R $�$�,h)iRg�Q-/)%!#$�'"4<-kjl-/)%��1#P�-#mg*(-E'�n�$�1\)%$�NoV�=f-8��46$ea�'�1\@)%��!#-g)%U'�)D'9!#$2,?�9)LP�,��9R_,h'65?!%*+�"!#*�A`pL,�=q5'9*+!S�"a^-8)%!%$�'94<-1B�"c?&(NrV7$s1\��!%!%$�&('�)%$�Nt'�)h-8�"46$T)%*+46$"Avu>c10U�$Bn��"!8)oU'"-V7$�$�,.4<'"N�$e)#�Q],N.-8c1#U.1B�"!%!#$B&('9)%*+�",-S*+,T�"!0N�$�!L)%�f$B, W �9='"!%V?*G)%!#'9O�$q5?!%�"]?)#-BAwK_U?$�-%$h'"5?5�&+*(1�'9)%*+�",-3*+465?&+=s)%U'�)6)%U?$'"V?*G&+*G)/=.)%�T-857�")�1B��!%!%$�&('�)%*+��,-e'946��,?O>'h&('9!%O�$<,�c�4�V7$�!b�9a-/)#!%$�'94<-k*+,x!%$�'9& )%*+46$qRS*+&+&g5?!%�9y:*(N�$q1B�"4657$B)%*G)%*+y�$f'"N�y�'",�@)#'"O"$�-BAeKz�q4<'9P�$k��c�!D)#'"-8Ph$�y"$�,T43��!%$31#U'"&+&G$�,?O�*+,�OH�-8c1#U1B�"!#!%$�&('�)%*+�",-E10U'9,?O�$���y�$�!E)%*+46$<'9,NTR $6U'y�$k)%�hc?5�N?'�)%$)%U?$k43�9y:*+,?O<1B�"!%!#$B&('9)%*+�",-`a�!%$�d:c�$�,:)%&+="AK_U?${$B|Q1B*+$B,:)v*(N�$�,�)%*G]71�'9)%*+�",}�9a�U?*+O"U?&+=}1B�"!%!%$�&('9)%$�N-/)#!%$�'94<-T57�9)%$�,:)%*('9&+&+=~!%$�d�c?*+!#$�->)%U?$�1B�"465?c�)#'�)%*+��,��"aq'9&+&5'"*G!#R_*(-%$D1\��!%!%$�&('�)#*G��,-Y'9,Nf1\��c?&(NQV7$D5?!%��57�"!%)%*+�",'9&?)#�b)%U?$)%�")#'9&3,�c?4bV7$�!;�"a<)%*+46$B57��*+,�)0-.*+,�$�'"10U�-8&+*(N�*+,?O�RS*+,?N��9R)%*+46$�-L'9&+&�5?'"*+!#-g�9aJ-/)%!#$�'"4<-BA�X;$k4<'9P"$2)%U?*(-_1B�"465?c�)#'9)%*+�",46�"!#$L$\|Q1B*+$�,�) V:=>ji��m^c-8*+,?Ob'�N�*(-%1B!%$B)%$Sa��"c?!#*+$B!Y)%!#'9,-8a��"!%4�"a�V'"-%*(1_RS*+,N���RL-^)%�31B�"465?c�)%$L)%U?$D1B�"!%!%$�&('9)%*+�",3�9az-/)%!%$�'945'"*G!0-J'95?5?!%�F�*+4<'�)%$�&+=��7jl�"m^c-%*+,?Oe'2O�!%*(N6N?'�)#'e-8)%!%c1\)%c?!%$g)%�'y��"*(N<)%U?$b'95?5?!%�F�*+4<'�)%$e1\��465?c�)0'�)%*+�",fa��"!S46��-8)S5'"*+!#-BAX;$.-/)#'"!8)QV�=�'�d�c?*(10Pw!#$By�*+$�R{�"ak�DC^K2A X;$>RS*+&+&D$BF�@5?&('9*+,.U?��R�)%�h1\��465?c�)%$3)%U?$�y�$�1\)%��!D*+,?,?$B!%@�5?!%��N�c1\)2RSU�$�,)%U?$b)/R �f-%$B!#*+$�-L'"!%$b'"&+*+O",?$�N>*+,>V'�-8*(1eRS*+,N���RL-BA2KgU?*(-D'"5�@5?!%�:'"10Uq*(-_$\F�)%$�,N�$�NQ)%�6)%U?$2O�$B,?$�!#'"&�1�'"-%$2R_U?$�,f)%U?$eV'"-%*(1RS*+,N���RL-2'9!%$3,?�")k'9&+*+O�,�$�N�A�K_U?$�,;R $6RS*+&+&Y-8U?��R��"c?!e'"5�@5?!%�:'"10Uea���!^!%$�57�"!%)%*+,?OE)%U?$gU?*+O�U?&G=�1B�"!%!#$B&('9)%$�Nk-/)%!#$�'"4~5'"*+!#-*+,>'9,f��,?&+*+,?$2a�'�-8U?*+�",�A����� �q�:���l�:�{�7�`�����q�o�����"�������Q�z�7�z�����:�3�`���?����������X;$vRS*+&+&Za���&+&+��R�)%U?$�1B�",�y"$�,:)%*+�",�*+,�� ���A K_U?$��E*(-8@1B!%$B)%$�C?�"c?!%*+$�!�Kz!#'",?-8a��"!#4��"as'v)%*+46$�-8$�d�c?$�,1B$~���� �¡%��¢¡B£+£+£+¡%�7¤^¥�¢e*(-E'Q-8$�d:c?$B,1B$b¦§�¨¦6 "¡%¦q¢�¡�£+£+£+¡%¦<¤�¥�¢E�©Qªe« j���m �"a^1\��465�&+$BFq,�c?4�V7$B!0-SO"*+y"$�,qV�=¦<¬s� �­ ®

¤�¥�¢¯ ° ±   �°�² ¥�³%´%µ ¬ °(¶ ¤ ª �¸·�¡��"¡�£+£+£+¡ ®�¹ �

RSU?$�!%$Dºh� ­ ¹ �"AbKgU?$3*+,�y"$�!#-8$�C?�"c?!#*G$�!E)%!0'9,-/a��"!%4»�9a ¦*(-_O"*+y�$B,oV:=� ° � �­ ®

¤^¥�¢¯¬ ±   ¦<¬² ³%´%µ ¬ °(¶ ¤ ¼ �r·�¡���¡B£+£+£+¡ ®�¹ �

K_U?$qa���&+&+��RS*G,?O;5?!#�"57$�!8)%*+$�-��9a2�DC^K{1B'",xV�$fa���c?,Nx*+,'",:=<)#$\F�)%V7���"PQ��,h�DC^K2A½ KgU?$s�DC^K¾5?!%$�-8$�!%y"$�-f)%U?$s¿Yc1B&+*(N�$�'",ÀN�*(-/)#'",1\$sV7$B@)iRg$�$B,f)/R �<-8$�d:c?$B,1B$2�T'9,NoÁ7A

 j��M¡8Á?m`�  j�¦>¡#Ã3m

½ jl[�=�4346$B)%!%=6IY!#�"57$�!8)/=?mMÄ�a��Q*(-Y'e!%$�'9&-8$�d:c�$�,1B$"H")%U?$B,¦wj ¼ mJ�¸¦;Å9j ®¸¹ ¼ m0¡ ¼ �~��¡0��¡�£+£+£+¡ ®�¹ �

¦ Å *(-_)%U?$k1B�"465?&+$BFf1B�", W c?O:'�)%$2�"az¦�A[�*+,1B$_a��"!J46�:-/)Y!%$�'9&�)%*+46$E-8$�!%*+$�-�)%U?$_]!#-/)Ja�$�Rt�DC^Kt1B�9@$B|Q1B*+$�,�)#-L1B�",:)#'"*+,f46��-/)S�9a�)%U?$k$B,?$�!%O�=�j�ÆÇ� ´° m0HRg$eR ��c?&(N)#U?$B,3$BF�5�$�1\)^)%U?�:-8$g1B��$\|Q1B*+$�,�)0-z)%�21�'95�)%c?!%$ )%U?$g!#'�R�-8U'95�$�"a�)%U?$L)%*+46$D-%$B!#*G$�-L� ��H�È��AYC?�"! $\F?'9465?&+$"H�)%U?$E$�,?$�!%O"=3-857$�1\@)#!%c?4Éa��"!2)%U?$hÊ#ËÌ�Í"Î�ÏÑÐ Ë�Ò Ó6-%$B!#*+$�-�H�R_U?*(10U;46��N�$�&(-e-8)%��10P46��y�$�46$B,:)#-BH:N�$�1B&+*+,?$�-`R_*G)#Uq'e57�9R $�!Y�9az�2RS*G)%UQ*+,1B!%$�'"-8*+,?O1B��$B|Q1\*+$�,:)#-BAÀpL,N�a��"!;Ô\Ò(Ë"Õ#ÓxÌ�ÎÖ(×�Ø0HLRSU�*(10U¸-8c1�1B$�-#-/a�c?&+&+=46��N�$�&(-g-8$�!%*+$�-g&+*+P"$E)%U?$DR_'�)%$�!_&+$By�$�&7�9a^'�!%*+y"$�!g'�-`*G)Sy�'9!#*+$�-�9y"$�!<)%*+46$"HL)%U?$.$�,?$�!%O"=t-857$�1\)%!%c?4ÙN�$�1B&+*+,?$�-q$By�$B,¸a�'"-/)#$B!RS*G)%Uh*+,1\!#$�'�-8*+,?O3,:c?4�V7$�!L�9a^1B�:$B|Q1B*+$B,:)#-BA�M�+Ú ÛB��������Ü%Ý����MÞ����9�<ßÉ�����tàq ��lá7����ÞwßÉ�l�zÞ����<�K_U?$f1B��!%!%$�&('�)%*+��,Z'9,NsV�$\)#'T1�'9,xV7$f1B�"465?c�)%$�N;a�!%�"4â)%U?$y�$�10)#�"!o*+,?,?$�!8@�5?!%��N�c10)�A»KgU?$Zy�$�1\)%��!o*+,?,?$�!8@�5?!%��N�c1\)ha��"!)/Rg��-8$�!%*+$�-<����j���¢�¡�£+£+£+¡%�7¤Jm0¡%ÁÀ��j�Á�¢�¡B£+£+£+¡%Á"¤^m0HEN�$B,?�")%$�N'�-Yã2j��M¡8Á?m0H�*(- W c-/)g)%U?$D-8c?4ä�9a�)%U?$E5?!%��N�c1\)#-`�9a�)#U�$�*+!g1\��!8@!#$�-%57�",N�*+,?O6$�&+$B46$�,:)#-Bå

ãDj��M¡%Á?m`� ¤¯ ° ± ¢ �° Á °

æ2*+y"$�,s)/Rg�;-8$�!%*+$�-�ç�è;'",Nxç�é:HYRSU?$B,x)%U?$q)/Rg�;-8$�!%*+$�-b'"!%$'"&+*+O",?$�N�Hã2jlç è ¡0ç é mY�ëê¯ ° ± ¢ ãDjlì è �

¼ ��¡#ì é � ¼ ��m[��H9R $`4�c-/)^$BF�5?&('"*+,kU?��Rs)%�D1\��465?c�)%$`)%U?$g*+,�,?$�!8@�5?!%��N�c10)�"a�)/R �3V'"-8*(12R_*+,N���RL-BåY��¢¡8��´9¡�£+£+£ ��íS'9,NoÁ:¢¡%Á"´9¡B£+£+£ Á:í\Aî $B)tïðå�ï"¢9j���m0¡0ï�´:j���m\¡B£+£+£<V7$¨'~a�'946*+&+=v�"aT1B��,�)%*+,�c�@��c-Ta�c?,1\)%*+�",-BAðX;$t'95?5?!%��F�*+4<'�)#$s)%U?$w)%*+46$r-8$�!%*+$�-.*G,$�'�1#U�V'"-8*(1hRS*+,N���R2HSìYè?� ¼ ���Ñ� ¢ ¡%� ´ ¡�£+£+£ � í '9,NrìJé�� ¼ �b�Á ¢ ¡%Á ´ ¡�£+£+£ Á í H_R_*G)%U¸'.a�c?,10)%*+��,�a�'946*+&+=tïzAäj�X;$>R_*+&+&LO"*+y�$-%57$�1\*G]71e$\F?'9465?&+$�-_&('�)%$�!�A m

� °^ñvò ¥�¢¯ó ±  7ô èó ï ó j¼ m0¡%Á °Mñ�ò ¥�¢¯ó ±  7ô éó ï ó j

¼ m¼ �~��¡�£+£+£+¡#õ

ô èó ¡ ô éó ¡8ö÷�v·?¡B£+£+£+¡%ø ¹ �q'"!%$6ø�1B��$B|<1B*+$�,:)#-D)%�T'95?5?!%�F�*G@4<'9)%$2)%U?$e)%*+46$k-8$�!%*+$�-gR_*G)%Uo)%U?$2a�c?,1\)%*+��,fa�'"46*+&+=oïzAK_U?$¨*+,?,?$�!8@�5?!%��N�c1\)��9aT)%U?$�)/Rg��V'�-8*(1¸RS*+,N���RL-x*(-)#U?$B!#$\a���!%$ í¯ ° ± ¢ �° Á °Mñ í¯ ° ± ¢Eù

ò ¥�¢¯ó ±  ô èó ï ó j¼ m ò ¥�¢¯ú ±  Mô éú ï ú j

¼ m8û� ò ¥�¢¯ó ±  

ò ¥�¢¯ú ±  Mô èó ô éú ùí¯ ° ± ¢ ï ó j

¼ m8ï ú j ¼ m û

Page 5: Sliding Window - New York University · UhXVU pDXaSadNUhj%fgU W^Uh YdrjvdkWDXvp c]_Xadkj] *)! s pcfpc] # +, Ã Tz[i^UlXadk dkSAXaiTdk`CS oCP `nmkUho¯jvP cdkoG ]uiTP RTon dq¦ tToCPY`bXAXVicde¢P

� ��������� ��������� ����� �����������������! #"%$&" ����������� �('*)+ ��� , � ��-.� , � ��-.�0/%13254 "76#$&" /�8:9<;6#=�>&"@?�ACBED�>& #"FDG= 2#/ >&H 8:2 D 1I9 HKJKL , HNM 8 $O>& 8IP:8I2Q1 J�R��S"F 1UT "����������� �WVYX �[Z� �\ ���]�^Z� X � � �_ `=QM�R )� + ��� a +�bI+�c �`� ���S� � �� � �� \ ���]�d He>& f>& #HNM / =#$ T "�g�>&>&H 2#P >&" / 2 HNh:=#"IRi�j"k$&"@?�= / "l>& #"MO6 1:/ " 132 ?m>&H 9 "n$o"%h�=#HK$&"@?p> 8q/�8I9 6#=�>&"nH 2#2 "%$ ; 6#$ 8 ?�= / >oMD�$ 8I9sr > 8ut AvBw>xMO 8 =#JN? 1 JNM 8u4 " 2#8 >&"%?y>& 1 > 4 "@MOHN?�"@M? 1 > 1/�8I9 6#$&"@M&M&H 8I2 Rz>& #" / =#$ T "{g#>O>&H 2#P|1 6#6#$ 8�1I/ /%132<4 "!=QMO"@?|> 8gQJKJ}H 2]9 HNM&M&H 2�P ? 1 > 1 A _ #HNM!� 8 $&~`M 2Q1 >&=#$ 1 JKJKL�D 8 $ /�8:9 6#=`> ;H 2#P0/�8 $&$&"%J 1 >&H 8I2 M 1I9�8I2#P MO>&$&" 139 M��He>& 9 HNM&MOH 2#P ? 1 > 1�1 >M 8:9 "F>&H 9 "%6 8 H 2 >oM�A_ #"�MOH 2 " ;w/�8 M&H 2 "pD�= 2Q/ >oH 8I2 D 139 HKJKHK"%M7 1UT "p>& #"�$&H P :>6#$ 8 6�"%$O>&HK"@M�A d "�6�"�$&D 8 $ 9 >& #"��^HNM / $&"�>&"�� 8 =#$&HK"%$ _ $ 1I2 M ;D 8 $ 9 MFD 8 $F>& #"�>&H 9 "�MO"%$&HK"@M 8zT "%$F>& #" 4Q1 MOH / �!H 2 ? 8 �xM�R " 2�;1I4 JeH 2#P�1y/�8:2 M.> 132 >!>&H 9 " /�8:9 6#=�> 1 >&H 8I2]8 D /�8 "�� / HK" 2 >oM!D 8 $" 1I/ 4#1 MOH / �H 2 ? 8 �iA�� 8 JKJ 8 �!H 2#P >& #" 8I4 MO"%$ Tz1 >&H 8I2 MxH 27� �U� R�S" /%132u8I4 > 1 H 2|1xPI8`8 ? 1 6#6#$ 8U� H 9�1 >&H 8I2 D 8 $�>& #"MO"%$&HK"@M}�!He>& 8:2 JeL�>& #"�gQ$oM.> t �F� _ /�8 "�� / HK" 2 >oM�R

a +�c�� � r ������� � Q� �v���&�&� � +N� ) - � � �������K�K�K��r� ��� ������ �¡@¢&£�¡z¤}¥�¦�§I¨�©«ªG¨@¬®­¯��°#±Gª�²��� �¥®©³ªG��¥�¤`´�µ¶ 9 = / f 1 $o?�"%$]6#$ 8:4 JK" 9 HNM]> 8m/�8:9 6#=�>&" /�8 $&$o"�J 1 >&H 8I2 M�!He>& y>oH 9 "FJ 1IP M�A _ #"^>&H 9 "iMO"%$&HK"@M{�!HKJKJ 2#8 > 2 " / "%MoM 1 $&HKJKL 4 "1 JKH PI2 "@? 1 >�>& #"%HK$ 4Q1 MOH / �!H 2 ? 8 �!M�A�· 8 �j" T "�$@R�>& #"�?�H P "@M.>oM�S"�~I"%"%6 1 $&"�" 2#8 = P y> 8�/�8I9 6#=�>&"�M&= / /�8 $&$&"%J 1 >&H 8:2 M�Ad He>& 8 =�><J 8 MoM 8 D P " 2 "�$ 1 JKHe>.L3R¸�j"¹�HKJKJMO 8 �º>& #" /�8:9<;6#=�> 1 >&H 8I2�8 D�>& #" 2�;»1 6#6#$ 8z� H 9�1 >o"�J 1IPIP "%?pH 2#2 "%$ ; 6#$ 8 ?`= / >8 Dl>.� 8 M.>&$o" 1I9 Mq�He>& «>&H 9 "¼J 13P MqJK"%MoMq>& 132 >& #"¼M&HK½�"8 D 1¾4Q1 MOH / �!H 2 ? 8 ��AÀ¿FH T " 2 >»� 8 M&= / �MO"%$&HK"@M�R¹Á � �Á � � ���K�K�K� Á � ��à � � � �E�%�K�K�K� à � � Ä��j1I2 ?nÁ � � Á � Å�Æ � �%�K�K�K� Á � Å�Æ Â �à � � X �E� à � � � �E�%�K�K�K� à � � Ä�Ç � �E� à � � Ä:� Rz�! #"�$o"¸D 8 $}>& #" 4Q1 MOH / �!H 2�;? 8 �xM à � � X �j1I2 ? à � � Ä�� R 8I2 JKL�>& #"�J 1 M.>|È Tz1 JK=#"@MiH 2 à � � X �1I2 ?<>& #"xg#$�M.> r Ç È Tz1 JK=#"@MCH 2 à � � Ä���1 $&"!H 2Q/ JK=Q?`"@? � È�É r�� Ad "� 1UT " Ê � Á � � Á � � � Â� + ��� � Á �+ Á � Å�Æ + ��ÌË�� ���jÍ�Î � à � � ÏI�E� à � � Ï�Ç � ��� È �UÐ Î � à � � ÏI�E� à � � ÏI�E��r`Ç È �OÑ�! #"%$&" Î � à � � �#�E� à � � Ò@�E�oÓ�� � '*Ô+ ��� à � � �}Õ&-E� à � � Ò�Õ�r<ǾӯÐ-E� AÖ� 8 $ à � � �#� � a � �%�K�K�K� a ) 1I2 ? à � � Ò@� � b � �%�K�K�K� b ) RÎ � à � � �#�E� à � � Ò@�E�oÓ�� HNMC>& #"^H 2#2 "%$ ; 6#$ 8 ?�= / > 8 D�>& #"xgQ$oM.> Ó|Tz1 J ;=#"@M 8 D à � � �Q� �!He>& <>& #"J 1 M.> ÓiTz1 JK=#"@M 8 D à � � Ò@� A _ #HNM /%132<4 "

1 6#6#$ 8U� H 9�1 >&"@?i=QM&H 2�P�8I2 JKL�>& #"%HK$�gQ$oM.> t �F� _ /�8 "�� / HK" 2 >oM�AÔ� + ���}a +�b ) � Ô Æ +�c Ô� + ��� Í �`� ������� �� , � ��-.� �`� �������� �� , � ��rjÇkÓFÐk-.� Ñ� �`� ����� �`� ����� }���� ���� Í Ô� + ��� , � ��-.� , � ��r{ÇkÓ�Ðk-.�OÑ� �������� �`� ����� ����� ����:���������}�oÓ`�_ #HNM!H 9 6#JKHK"%MS>& 1 >!HeD¸�j"�6#$&" /�8I9 6#=�>&"F>& #"�> 134 JK" 8 D

�����l�G���&Ó`� � Ô� + ��� , � ��-.� , � ��r{ÇkÓ�Ð×-»��l�G� � X �K�K�K�&t¹Ç � ÕoÓ � � �%�K�e�K�`Ø�r%Ù3�UÚ�S" /%1I2u/�8I9 6#=�>&"S>& #"SH 2#2 "%$ ; 6#$ 8 ?�= / >¸=QMOH 2#PF8:2 JKL�>& #"!�F� _/�8 "�� / HK" 2 >oM��!He>& 8 =�>y$&"@h�=#HK$&H 2#P >& #" 1 JKH PI2#9 " 2 > 8 D 4Q1 MOH /�!H 2 ? 8 �xM�H 2 >&H 9 "¯Û ��t � � D 8 $u" 1I/ 4Q1 M&H / �!H 2 ? 8 �iAlÜC$&" ;/�8:9 6�=�> 1 >&H 8I2 >&H 9 "0D 8 $ 132 LqMO6�" / Heg / ?�HNMO6#J 1:/ " 9 " 2 > Ó HNMÛ ��t � Ó`� AÝ ¬� �¤�¡z �Þàßâá�ã#ä<åQæ&çoèIè�éoê%ëIìîí�çUï.ä<ðNç�ñ@ñ�äoò¹ìîåQå�ä�é�æKè�éoê@òUó�ô�ïê.õiïEöjê�ïEìîí�ä�÷@ä�é�ì�ä�÷|ó`÷�ìîå`ñ�ïGã#ä�ìîéjøCéo÷�ï túù�û áqôoê@äGüqô�ì�ä�åQï�÷ô�çUå×ý�ä�ôoêUí^è�ó`ï.äoò�ìîålïEìîí�ä Û ��Ä`t}� ì õ�ïGã#ä|ïEöjê�÷@ä�é�ì�ä�÷�ã#çzþzäçzðÿìeñ3å�äoò�ýoçU÷�ì�ô^övìîå�òIêzö¸÷��{êUïGã#ä�é�övìN÷@ä^ìîï¸ï.ç��:ä�÷xï�ìîí�ä Û ��Ä`t � � �ö¸ã#ä�éoä Ä ìî÷iï�ãQä�åQó`í�ý�ä�éuê»õuý�ç@÷�ìEôiövì�å�òIêzö¸÷��Bw>�HNM 2#8 >� 1 $�?k> 8 MO 8 ��>& 1 >�>& #HNM 1 6#6#$ 8:1:/ /�1I274 "" � >&" 2 ?�"%?®> 87/�8I9 6#=�>&"�>& #"�H 2#2 "%$ ; 6#$ 8 ?�= / > 8 DF>.� 8 >&H 9 "M&"�$oHK"%M 8zT "�$MOJKHN?�H 2#P �!H 2 ? 8 �!M 8 D 1I2 LyM&HK½�"IA� ¤�¡z¤�±G±�°�¡��mßâá�ãQä�ìîåQå ä�é�æNè�éoê@òUó�ô�ï×ê.õpïEöjê¾ïEìîí�äp÷%ä�é�ì�ä�÷êzþ3ä�é�÷�ðÿì�òUì�å`ñ0övìîå�ò:êUö¸÷¹ê.õ¹çUå�¹÷�ì�@ä�övìîïGãúçUå��ï�ì�í�ä¹òIä�ðNç��ô�çUåmýoä�ç&è:è�éoê%ëIìîí�çUï.äoò�ó`÷�ì�å`ñnêzåQð �0ïGã#ä�ýoçU÷�ì�ô¹övìîå�ò:êUö�òUìîæñ�ä�÷�ïG÷uê.õ�ïGã#ä<òIçzï»ç�÷�ï�éoä�çUíu÷���}� � �����^ �¡��w¤Q¡zÞ×°#��§: Bw> 9 H P �> 4 "¹?�"@MOHK$ 134 JK"�> 8 MO> 8 $&"�>& #"¹MO= 9�9�1 $&Ll? 1 > 1 D 8 $DG=�>&=#$&" 132Q1 JKL�MOHNM�A��`H 2Q/ "u>& #"<MO= 9�9�1 $&L]? 1 > 1 �S"u~I"%"�6 1 $&"M&=�� / HK" 2 >�> 8F/�8:9 6#=`>o" 1 JKJ:>& #"SMO> 1 >&HNMO>&H / M��S" 1 $o"CH 2 >o"�$o"%MO>&"@?H 2 RI>o �"%$&"HNM 2#8i2 "%"@?|> 8 M.> 8 $&"S>& #"$ 1 �ú? 1 > 1 M.>&$&" 1I9 M%A _ #"M&= 9�9�1 $&LF? 1 > 1 �!HKJKJ 4 "{M.> 8 $&"@? 8I2 ?`HNM&~�MO"@h:=#" 2 >&H 1 JKJKL^H 2 >& #"8 $o?�"%$ 8 D 4Q1 MOH / �!H 2 ? 8 �xM�A� "�>���� 4 "j>& #" 2 = 9u4 "%$ 8 D�MO>&$&" 139 M 132 ? ty4 "j>& #" 2 = 9<;4 "�$ 8 Dx�F� _ /�8 "�� / HK" 2 >oMu�j"�=QMO" ���3t $&" 1 J 2 = 9u4 "%$ � Rv>& #"B���� /�8 M.><> 8n1I/%/ "@M&M|>& #"]? 1 > 1 D 8 $ 1 JKJM.>o$&" 139 Mu�He>& #H 2q1M&6�" / Heg / 6�"%$&H 8 ?¹�!HKJKJ 4 "

��� Ä Ã -! ��" , � ,$# " È�% �����Ð7�zt}�& È(' � à -) �� #HKJK"i>& #"iB��(� /�8 M.>!D 8 $S>& #"�" ��1:/ > /�8I9 6#=�> 1 >&H 8:2 HNM��� Ä Ã -) ��" , � ,$# " È�% �Or& È(' � à -) �

Page 6: Sliding Window - New York University · UhXVU pDXaSadNUhj%fgU W^Uh YdrjvdkWDXvp c]_Xadkj] *)! s pcfpc] # +, Ã Tz[i^UlXadk dkSAXaiTdk`CS oCP `nmkUho¯jvP cdkoG ]uiTP RTon dq¦ tToCPY`bXAXVicde¢P

����������� �������������������� ����������� � �!" �#%$ �����'&()�*�,+�-.���/��0�12���(3��4���5�764��������/78�9:�;��<��.�����=� �����>�1?����@���A�3���� ��B�����C�1?��D����3���������?��E���F�����,� G�?(����0�H���"�������������,�1������0����C����- ��I(���1��->6J���(3���6 $LK <��1�J�����NM�O�PQ-.�=�*� �F��IR�����%��� �1?�����1�0G=?�����������<�3����1S,��-�-T�0��� $ �������F���F�U��0�������(��I�<��%�����1?�����������V ���������������������T/W��)3X����03Y�(����?���Z���>3���� ���*�� �����@� $[]\_^ `baRcLd_e0a(f�dgcLhji'a(fkf�lXmon�e0doaRcLprq5l=e s'l=lXcut�n�e0nv e�f�l=n�wxp�����y��IR�����x-.?�����x&��1����� V ���0-)������G�?��y-����zIR�{?(�1�03|�o��-.�����?������ V ��������1/W� �X3�?(-T� �5���(3}-.������<����������(�C������5�1<���3X/��� V 6J���(3���6U�:���]���XAC�1��~��������:64�.<�<(���:6J�����@���XA,�������U3���<��kA��-T �����4�*����0����� $>K �_��0G=?��.�=� V ����<2���4���@3�����-.������4�1����0���@�6J�����'��� V �,-.�� ���<������������ $ �F��3�������<������N���������������� V ���(�1AX��/-)���������~��03��*����0���@�Z������Z��&����03��1��~������4��<���3���� V 6J���(3X��66J������-T������<���� ��������IR�����C�@�1R�0-.��&R-Z������0�1����<�3��(64�,?(���,������� ����- �ZI(���1�03����C8�9:�Q���(3,�J�(���������0-)������G=?��%���(���:6���<�<���R��1�U�1?(- ���*����0����(���� �JG=?���- SX<�A $9L�� �1����64�����=�����3�?�-.��� ���Q������@��<���~����������;���5�y�1������0����������<���3���� V 6����(3���6U�������1��~����,�J���k��� ���������1�R�H�U���5�_��<�/<���6U� $ ��R�L� �R�]� ��(� � �:�����)+X���������1�6J������

� � � ���� �� ���L�=� �R�]� �2  K �F�����H�_��<�<���6J��� V <����5�@����? V�V �0�*� ���0� ����-.��� �.<����������C-T��/�.¡Y-.���.�=�Z���>�764�Y�������@�1������0��-�����IR�5��03�?(-.��3����������5¢N?�/-.<���3��0����3����1� ���(-.��IR�.�*6H��������������U������@��<���~.�03����. �����k£ +�¤0¥ $¦ l=wxwQn¨§D©�ª�«�¬)­k®)® «T¯�°k±³²g­�´x¬ ­0«oµy¬T²³«)´(±�­7¶,±g·H­Y±g²_¸@«�¹�«Tº®T²g«)¹ � � ���������1� � °�´�»�¼ � ��������� ¼ � ²½¹

¾.¿kÀkÀ � �"� ¼  H����� �+]Á � ��"� �¼  ·Lª(«T® « Á � ��F� �¼   ²�¹'±_ª(«ZÂ4Ã(¬T¯Ä²g»�« °k´}»k²�¹T±7°�´�¬ «�Å «T±³·H« «T´ �� °�´�»�¼"ÆÇ f�a]aRÈ 9L��)�*����64�Z����� ��-T�����(����� ���F� �� � ��� ���L� �¼ � �|�

¾.¿kÀkÀ � �"� ¼  H� É ����L� � � � � �]  � ¼ � � ¼  Ê É ����F� � � � � ��  Ê É ����F� � ¼ � � ¼   ��� ���L� ��R� �¼ �

Á � ��"� �¼  %��� ���F� � �� � � �¼ �   �

�� ���L� �� �HË�� ���L� �¼ � �Q+

�� ���L� �� � �¼ ��;+��¨+ ¾T¿�ÀkÀ � �"� ¼  Ì4AC ��3�?(-.��� V ������-.�� ���<����������5-.�X�T¡Y-.�����=�%���C¢N?(-T<���3��0���8����1� ���(-.����6H�,-.��������<�AY���������0- ������G=?��������Q£ +k¥]���� �.2��1��1�0G=?�����-.�0��6J�����Í-T������<���� �����x-.�X�T¡Y-.�����=� ����� V ��������(���y��12��-.��&R-����� ��������<�3 $

¦ l=wxwQn�Î|ÏF«T±]±oª�«HÐZÑZ©�­7¶�±_ª(«�´�­k®T¸Y°k¯Ä²�Ò0«)»%¶�­k®T¸Ó­*¶4±³·H­±³²½¸Y«�¹�«T®T²g«)¹ � °k´�»C¼¨Å « �Ô °k´�» �Õ ® «)¹³Ö(« ¬T±³²½×�«T¯ Ø�Ù¾T¿kÀkÀ � �"� ¼  �ÚÛ���¨Ü UÝ Á # �

�ÔQ� �ÕC �Þ{Ü·:ª�«T® « Á # �

�Ô�� �Õ5  ²�¹5±_ª(«CÂHÃR¬T¯ ²³»�« °�´{»�²�¹)±*°k´�¬)«YÅ «T±³·H« «T´�¹0«Tº®T²g«)¹ �Ô��k� �Ô ��������� �Ô # °�´�» �Õ���� �Õ ��������� �Õ # ÆÇ f�a]a2È K �N8�9:�{���0�1������0�:¢%?(-.<���3��0���@3����*� ���(-T����64���(�k���Á ��ÔQ� �Õ5 %� Á � ��F� �¼  ß������ V ����<�A;�����¨&()�*��àá���(3â<����*��à:� � àäã�ãå�� �8Z9:�-.�X�.¡Y-T�����=� �0£ +=��+�æk¥³�ç�_����è� �����1AX�����T�� AÓ����R�.��*AÓ���8Z9:���(6H�,�(�k���#� ���L� �

�Ô � � �Õ �   Ë #� ���F� ��Ô �Lé # � �Õ �Lé #  

�ê+ #� ���F�=��Ô@�]� �ÕR�³  �ê+ Á # �

�Ô¨� �Õ5 HÞ Á ��ÔQ� �Õ' 

¾.¿kÀkÀ � �"� ¼  �Úâ�J�¨Ü Ý Á � ��F� �¼  HÞÍ+�Ü Ý Á ��ÔQ� �ÕC 4Þy+�Ü Ý Á # �

�ÔQ� �Õ' HÞÍÜ9� ���Û�����4��I2�����H<������@����64�4-����'�.�����������%�����4-.������<���/�������(�"��������<�A������=�1�N�*�� �����â(���� �2�o��F6�����-)� Á # �

�Ô¨� �Õ' 4Þ{Ü����<�3�� $äë �Q6J��<�< V �.���Í��?�R�.)�1�.��������� V ��<�AÛ-.�� ���<������03����� �'���(3����������6���<�<HIR�������o��<����Y��� V ���������0� $ �����@�o��<����R���1���������0��-����zIR�{�_?�1�������&(<�������03z��?��¨����6H�{�.�X�<������<������� $êì ���.)�� -)�=A�í�-����F£Ä�0î�¥���<��1��?(�1�0�Y-.�� ���<����������{-.�=�.¡�/-T�����=� �@��������������<�������*A¨���0���1?� ���_��'� �������1������0� $ ������A?�����ï é��0ð �Ô�ñ� �ÕR�*ò¨�������Û���� �k�X���@���������Í�_��������¨-T�����./<����������Í-.�X�T¡Y-.������� $ Ì4�0-.��?(�1�ç�1?(- �Í���� �k�X���@���������(�56J��<�<������IR�y��<�64��AX����IR�����Q�����Q�� ?��}����<�?������5�1���5�{�*�� ���������� ��-.��?�<�3ÍI2��3X��� -.�� 3��03yI(���1�03Í���{� �������������k�����@��/�������(�.���.���������Y������������?��{-.��� �.<����������(���� �}��IR�����Q�����������0�1����<�3 $ ������? V � ì ���.)�� -)�=A�í�-������ ��R�=�1�0�������������1/��-���<Z���.�����X3Í� �{�1��<��0-T��<�������<�/73��.R���(3�������������0�1����<�3����_���C?�<�����/W��0�1��<�?�����������-����������:����G=?����(-T�0�.�(����-.��������� V ?(�� ����/���.�������,��I(�1����-.�Z���F�o��<��1����� V ����������� $ë �b-����ó�.�=�����(3E�����Û� ��-)������G�?��0�Í��IR�����ê�������R�����*����0���D(���� �4���:��� V ������������� V ��/W����<�?���-.������<����������(� $¦ lXwQwQn�[�ÏF«T±]±oª�«HÐZÑZ©�­*¶4±oª�«�´�­k®T¸Y°k¯Ä²�Ò0«)»%¶�­k®T¸�­7¶4±³·H­±g²½¸Y«�¹�«T®T²g«)¹ � °k´�»C¼¨Å)« �Ô °k´�» �Õ Æ¾.¿kÀkÀ � �"� ¼  JÞê�,� Ë Ü Ý Á # � �

�Ô�� �Õ5 HÞyÜÇ f�a]a2È ë ���(�k��� ôYõZö� �U�2 %�Û�

ô�õZö� �2 ¾.¿kÀkÀ � �"� ¼  JÞê�,� Ë Ü Ý

�� ���F� ��R� �¼ �:Þâ��� Ë Ü Ý �� ���L� � � �� �   �¼ � Úâ�J�¨Ü Ý Á # � �

�Ô¨� �Õ' HÞÍÜ

Page 7: Sliding Window - New York University · UhXVU pDXaSadNUhj%fgU W^Uh YdrjvdkWDXvp c]_Xadkj] *)! s pcfpc] # +, Ã Tz[i^UlXadk dkSAXaiTdk`CS oCP `nmkUho¯jvP cdkoG ]uiTP RTon dq¦ tToCPY`bXAXVicde¢P

����������� ���������������������������������������� �"!#�$�%��&�'��(�*)+�,�.-/01)���2��*���*)+�4365(5(7�89!:���;� �"!#���%�$&<��(�*)+�4�=-/0�6>�����)���2,��3�5((?*�*�@�A�CBD����)�����*36)FEG�H�������������C�I>J2����K������ �"!L�$�%��&<�$(�*)D�,�M/.�6>N�����O��2�(P+1)�3�5Q�A�CBD����)�����8R�SDTUT�VW9XZY$[@-/#\^]<_a`cb -dfe4g /=\h]<_a`cb dfe4ikj Y l�mon6Yp -/rq \Fs-/�tZ\vuNwxoy{z�|\hs};� �*36)<��3�()+�,3�()~� �"!h���D��&<��(�*)+�,�������*2���5( �%()�Pc��()�'�������M()��$2,�����*)D�,365(5(7����C�C��8R�SDTUT�V;�LXZY$[a/;���(�� � Y�[�l�Y��H��[JlU�a�a���,�CY��F�4��Y$��[<���[�l�Y �*Y$ 4��Y4�a�¡�¢�4£��¥¤o�J�%¦ j �¡��¤�� j�d q g�dQ§�g*¨(¨1¨(g�dG©"ªQ§ mo�Q¤ /H«�¬ ©�� Y­[�l�m�[��4�*Y��F�$�¥Y$��[����a[Jl�Y­�*Y$ 4��Y,� d § gAdf®�g*¨(¨(¨(g�d © i/ «�¬ ©� \h¯f°�±�²$³´ bJ/ ���(��¶µ d ©�· d q¸ ¹ e��\L� g�¨(¨(¨(g�º!M�� �­�*36)»Ef���$¼%���*)����C�H���¢3¢E�3��,�4�;���f��3����<E�3+�A�C�H��)�����OE�3��A � ��()���������8R�SDTUT�VH½¾XNY4[U/;���(�� � Y¿[�l�Y9�H��[�l#�a�a�À�,�CY��@�$��Y4��[���À[�l�YÀ�*Y$ 4��Y4�À�¡�Á�4£��¥¤��¡�%¦ j �¡�Q¤+� jÂd q g�dG®�g*¨(¨(¨(gAd ©"ªQ§m��Q¤Â/ «�¬ ©� � Y{[�l�mo[Ã�4�CYJ�F�$�¥Y$��[Ã���{[Jl�YÂ�*Y$ $�¥Y4�dfÄ*gAdfÄ�ÅN§�g�¨(¨(¨(g�dG©�g�dG©QÅN§og�¨(¨(¨(g�dG©�ÅÆÄAª�§*i

/ «�¬ ©� \h¯ °¥±¥²�³ZÇ´ / ���(��µ �¸ ¹IÈ Ä�ª�§É t(Ê q ¯ °�±�²$³NË�Ç¥Ì w(Í´ d ©QÅ t · Ä�ª�§É t(Ê q ¯ °�±�²�³ZË�Ç¥Ì w(Í´ d tÏÎ

��\L� g�¨(¨(¨(g�º!M��������2��+5(5 362�7¢�A��P�P+�*�A�,������3��a�,�����f��3��,�c������� �"!Ð���%�$>J'Ñ ��(�*)+�,� ()���2��*���*)+�4365(5(7�ÒQ���c�A������5 ��Ó��*�*�������Ô>���5(5(����()�P º��(P+�*�A�,��>���2M�����­E�3��� � ��()��%�6���*8Õ � \ ÄAª�§É t(Ê q ¯ °¥±¥²�³ZË�Ç�Ì w(Í´ d t g ��\¾� g*¨(¨(¨(gAº

Ö:7×���A()�P@�����I� �"!Ø�+)¾)���2,��365((?*�*�¾�A�CBD���*)����C��ÒO���3�5 �A�H��36�Ù�����Ú�+2�(P�()�3�5:�A�CBD����)����C�c()+���Û3;EG����)����C��>��*36'����2,�­�A��3�����8R�SDTUT�V;ÜLXZY$[�-/ q g -/ § g*¨(¨(¨(g -/ ©Nª�§ � Y [Jl�YM�a�a�����amÔ�Q�� 4�Ý mo£��(ÞoY,¤��CY,ß$àGY$�Q�,Y d § g�dG®6g*¨(¨(¨(g�d © ikj Yal�m�n�Yá -/�t áDâ ¸ ãã g z \9� g*¨(¨(¨(gAºäg�ºå ¹aæ ãç­è�é�éGê ©"ªQ§É t(Ê § b -/ t e ® \

©É t(Ê § b -d t e ® \9�ë ã «É t(Ê § -/ ®t \

«É t(Ê § b�-/ ®t µ -/ ®©Nª t e â �ë á -/ t áDâ ¸ ãã g z \¾� g�¨(¨(¨(g�º

��2,���ì����� 36Ef�����M5(������3�ÒD�C3��,��� �"!F���%�$&<���*)D��2,36)�P+�C�>J2���� ·Úí ®® ��� í ®® Ò��,���*2���>J�+2��:�����M� �"!U>J�C3��,��2,�M����3+���Mî ® « �:3c�$��Ef�a�6>N�� 36�������*2 ¸ ã 8ä};�­�*36)~�����a3OP+2� �~�A��2����$����2��� ï6�Q���<2��*�G��2A��)��C362M)���(P+�DEf��2,�M��&<�$(�*)D��5(768};����(5(5ä���A�r����� Ñ 2,��� -º Ò -º â ã º ÒÆ��(�r�*)��A(�+)��a�6>������� �"!ì>J�C3�����2����A��3+�$�r>���2­()�����¼�()�P�8�};�������f��2,(���G�+�A��3�)-º '���1���*)��A(�+)�365D��2A�����+P���)�3�562��*P���5 3�2ÆP+2� �O��)Ô�����:� �"!�>J�C3�'����2��a�A��3+�$� 3�)��<��362A�,1��(��)<�����a����EG�­�6>Z�� 3����$�,��2 ¸ ã ()D����$�*5(5 �Æ�M1�,�O�����:��36������1?*��3�)��O����3��G��8N!M���*2���362,��b ãÆð í ®®,ñQò e�ó«�$�*5(5 �ä��>Q����EG�*���6>Q�� 3����$���*2�ôC8"õ�3��,�����,2��C36�ì �k��36���G�C�c���3Ô���*5(5GE�3��A�C���+)<1�,� Ñ 2,�A� -º )���2���3�5((?��C��� �"!F���D��&<��(�*)+�,�*8ö �����f�+�A�÷3Ô����2��C36� d ����3��A���C�r���c�$�*5(5Nb�ø §og ø ® g*¨(¨1¨(g ø ó« e 8ä!Z�2��*�G��2A�������c����2��C36���������+���O����2�2,��5 36��(��)¢�$�%��&<�$(�*)D�,����1���d �­3�EG�����c����������2��C�A���+5 �U� · ô ® ÒZ�+)�5(7H����2��C36��� ��3+�A���C����O���*5(5 �k3��oùA3+�$�*)D�ä���O���*5(5Zb�ø § g ø ®6g�¨(¨(¨(g ø ó« e )��*�C�c���­Ef����¼�36�r'()��*�Q8 ö (��(5 362,5(76Òf���,2��C36�����M���D�A�Ô���+2�2��*5 3���(�+)����D��&<��(�*)+�,��M1��� d 3�2���5(�C���O����36)�����������2��C�A����5 � · � µ ô ® Ò"�c�����rEG���3��A���C�Ô���O���*5(5 �ä3��oùA3+�$�*)D�"���O���*5(5Zb · ø §Cg · ø ® g*¨(¨(¨(g · ø ó« e 8kú�>¡'���*2���3�����()�PO����� ����2��C3����ä���r�$�*5(5 ��Ò%�����÷)D���cEG�*2���>Æ����2,�*3����36(2,�:����EG�­��¼�36��()��C�~ ��P�2,�*36��5(7�2��C�����$�C�Q8ä};�O�*36)Ú�����*)�$�+����������������(2cõk����5( ���C36)Û�� ���,3�)��$��Ò"3��a�:��5(5�3��­���+2�2��*5 3�'��(��)�Ò�E�3��A�C�~�+)~����� Ñ 24��� º � �"!×���D��&<��(��)D�,�*8!M���HP�2, �F����2����$����2��H�*36)hEG�H��3�()+�,3�()��*�h3+��>J�+5(5(������8}F1����������5(�+���:�6>ZP��*)��*2,365(1��7�Ò%�:�­�� �����������,���­���$�,�*�$��(�+)��6>��)�5(7Û�G�D�A1��(���¢��(P���'Ï��365(���¢�$�+2�2��*5 3���(�+)���8U!M����2,�Ú362,�~�����ÓD()������6>"����2�2,��5 36��(��)��������­���A�*2���(P��D��Ef�­()D����2,�*�A���C�~()�8ûUü*ý�þNÿ�� è�é þ���� S�� ÿ é�èoè�S���V � é þ�� >�����3�2���()D���*2��C�����C���)�5(7»()I�A7%)��,��2��+)�(?��C���$�+2�2��*5 3���(�+)�ÒN�����ÚP�2� �U����2����$'����2��c � ��5(�*3�2��C��3��÷�����r��)�����>k���+�*2�7�E�3+�A �O��()������­8ú:�Ú�����»�*)��^��>c�C3+�,�hE�3+�A �H�M()������­Ò­365(5­�����Û��3��,3��1����()������÷�$��2�2,��)D�äE�3��� �:��()������@362���3o��3�15 3�E�5(�M3�)�������a��(P��C���4��362,� �$�+���������*�Q8 ö �����G�+��������3�������2��C36� d �"��3������*�Ô���Ô�$�*5(5�øoÒ��,����) d ��(5(5�EG�����+����3�2��C�Ô���­36)%7����2,�*3��ì����3�����3+�äEG�*��)���3+�A���C�c���a������)��*(P��%EG��2,���%����6>äø�8û ��V� � GS�� ÿ é�èoè�S���V � é þ�� >����Û3�5 �A�@�:36)D�¢���F2��*�G��2��5 36P+P��C�Ú���+2�2��*5 3���(�+)�Ò�()���5(����()�P�36����������2�2,��5 36��(��)�Ò��������36()D���*)�36)�����6>a�����P�2, �F����2����$����2�����15(5aEG�H3Û5(1�A'��5(������2,�����+����5( �*36���*�Q8��Æ���O`�� EG�<3¢���A�*2A'Ï��� Ñ )��C���362436��������2��A�f�*��1>J7%()�P������­5 3�2�P��C����5 36Pr����3��� �M�6>"()�'���*2��C���*8äõ�3��4������5(5�()�������P�2, ��3��ä�:��5(5�3+�"�����÷����2��C3������3������C�����H�����¢P�2� �U�M(5(5M��3o���Ú3��(���*�A�,36����8I!M�����(���C���,36���U`��H3��,�A���$ 36���C�»��1���Û�����Ú��3+�A�Û��3�5(���~�6>�����c����2��C36� d �M�����O��(���O�����*) d ����3��A���C�~���������P�2, �Q8H!M���~��(���C���,36���U`��Ô�6>÷3H����5(5Mø� �Ô�����~5 3����C�����(���C���,36���������*)r�����÷�$�*5(5�ø:(�k���f��3����C�Q8k!:����P�2, �Ô ����f��3��,�*�~���+��2,7�E�3��A ����()������@��(��� E����:)��*���*2�P+5(��E�'365(5(7Û��5(�C362,�*�Q8��Æ����� � EG���,���¢�A�����6>÷����5(5 �c����36��3�2��3��où�3�����)D�����UøoÒM()���5(����()�P�ø�8����*2��� ����������A�*�����6'���%���a�������Q��3����a�,���aP�2� ���M���*)¢����2��C36� d ��3+�A���*��������*515Zø��

Page 8: Sliding Window - New York University · UhXVU pDXaSadNUhj%fgU W^Uh YdrjvdkWDXvp c]_Xadkj] *)! s pcfpc] # +, Ã Tz[i^UlXadk dkSAXaiTdk`CS oCP `nmkUho¯jvP cdkoG ]uiTP RTon dq¦ tToCPY`bXAXVicde¢P

����������� ����������������������! #"$�%�'&)(*�%+-,.,/�%�'&10��32546�7280�9:�;�<2>=?9A@CBED1� �<FG H�I>J/K�L � �NM ,E,?=?���O2546�P�<25Q5�;=E9A��0�RS� � =EQ5�#BETU2�BEDWV6=?25�EFX#�3Y�XZ���\[A]*� "$� �'&)^ � +

,E,?�_B.9:�`�<25Q5�;=?9��30�Ra� � =?Q8�7BETU2�B?Db2546�cV6=?25�EF�3���d���)�e�_25Q5�;=?9gf��S���� �\�! 7"h�%ic(*�%+kj I H�I l<I�L f MX#�3Y�X I_mnJpo:qsr!I G8tpK>K8I H�J/luqvt/rwLyx�z f MX#��Y%X{,E,p� c| � �'&

�3���d���)�e�_25Q5�;=?9gf��S� �I5mnJ/o:qsr!I G8tpK>K8I H�J/luqvt/rwL}x�z f M�%�'& | �% �,.,;25B:0�R~VU0��=p25�`254~=p2�� �W0��W�<T~�_2�T6@wV6=?25�;V

�P�����~�p�n����� qs�?I r�JcG8t/HyH�I>G>luqvtprCtN�)luqso�I��I K qvI>�)�>luK8I8Jpo��8��n�>qyrn�$tpr~H ��l}�6I j q��.I>� l}�at<��ly�~I�� lvK8I>J/o��8�Ptp�UKCJ/H ��t/K qsly�no��G>J/r���r j l}�6t;�;I)�>luK8I8J/o*�~J/qsK>�)���6t/��I�G>t/K>K8I H�J/luqvtpr6���u���~I ly�~I K� �pr!G8��K8t/rOq��;I j tpK�H�J�����I j8� J/K8I�J. 8tp�pI�JCly�nK8I8�8�6tpH j �1qsl}�6tp�Ul��JpH ��IPr!Iu��Jplvqs�?I>��¡¢��_0�R6£A2546�c25�;846R60�¤�TU�;��0�Ra25460����_�; 250�BER%¥O¦�P�=ERS�5��=EQ8>4

DyB.Q)460�£E4U§'¨p=?��T6����=?£.£E�;V��BEQ5Q8����=?250�BER~�1=E9ABER6£PV6=?28=c�_25Q5�;=?9��¨.��Q8©ªDv=E�<2�F¬«�46��250�9A�$��=?£ª9�T6�_2C­O�$=®9PT6�¯250�@6���$BEDc2546��_0�°��PB?D)=�­~=.�_0�`¦�0�R~VUBp¦±0�RS25460��#�=E�5�?F�«�4U��B.Q5��9³²:�_28=p25�;�254~=?2�¦3���=?R´=E@6@UQ8B/µU0¯9�=?25���BEQ5Q8����=?250�BERhBED�=ER�©�250�9A����=E£��¶��0���R�25��©EF#«�46�:=?@6@6Q5B/µU0�9�=p250�B.RC9A��2546BUV6�#=?Q5�cT~�_�;VS=.��=@OB��<2A@6Q5BU �;�5�50�R6£��_25��@*=pDy25��Q:2546�C4~=E�_460�R6£�9A��2546BnV6�A�_@wB?22546B��_�[email protected]��_0�R6£��<25Q5�;=?9·@~=?0�Q8��F¸%¹sº »�¼ � ¼6½}½ � ½ � �´¾ ½ ���®��¿!À ¼ À;Áv�O¿Â TUQ�DyQ8=E9A��¦3BEQ8ÃÄD}=. 0���0¯28=?25�;�C=®@~=?Q8=E��������0�9A@6����9A��R.28=?250�BER­n©ÄT~�_0�R6£$=´�<25Q8=E0�£E4�2_DyBEQ8¦3=?Q>V´VU�; B.9A@OB.�50¯250�BER%F�ÅBER~�_0�VU��Q=�R6��2<¦B.Q5ÃhB?D7Æ��_��Q5¨E��Q8�c25Bh9ABER60¯25B.Q�Ç�È��<25Q5�;=?9���FÄÉh�=.�5�_T69A�12546�;�_�)�5��Q8¨E��Q8�w4~=p¨E���_0�9A0���=?Q��BE9A@6TU250�R6£�Q5�;�_B.TUQ> �;��F«�46�7¦B.Q5ÃA25B�9ABER60¯25B.Q�2546�c�<25Q8��=E9��4~=.�2<¦3B��<28=?£.����F²EF#Å)B.9A@6Tn28��284U��VU0�£.���_28�#=?R~Vh�_0�R6£.���:�_25Q5�;=?9Ê�<28=?250��<250���DyBEQ2546�7V6=p28=��<25Q5�;=E9���FW«�46�#Ç È �_25Q5�;=?9��)=EQ5���;¤.T~=E����©Vn0�¨n0�VU�;VC0�R�25B�Æd£EQ5B.T6@~��F3«�46�P�_��Q5¨.��Q�Ë L Ë | ² z�Ì�Ì�Ì�z Æ M¦�0����AQ5�;=.VÍ2546B��_�*�<25Q5�;=?9���0�R{2546�*Ëu§v254{£.Q5BET6@{=?R~V B.9A@6Tn28�2546��0�Q�VU0�£E�;�<28��¥.�_0�R6£E�����<25Q5�;=?9{�<28=?250��<250���W=?R~V46=.�_4C¨p=?��T6�;��F

Î F�Ï���@OB.Q_2�460�£E46��©Ð�BEQ5Q8����=?25�;Vª�_25Q5�;=?9Ñ@~=?0�Q>��­~=E�_�;V*BER2546��£.Q50�V��<25Q5T~ 25T6Q5�EF7«346�:£.Q50�Va�_25Q5T~ 25T6Q5��0��7=?���_B�£E��§BE9A��25Q50��=?����©�=?R~V���¨E��R6��©�@6=EQ_250¯250�B.R6��V�0�R�25BCÆÑ@~=EQ_28��FÒ �_��Q5¨.��Q3Ó³¦�0¯���!Q5�;=EV�0�R�0¯28�@~=EQ_2�¥U=:�_��2�B?Db����������!ÔPFÕ ��Q8¨E��Q`ÓѦ�0����)=?���_BaQ5�;=EVh=S�_��2cBED���������P�1ÖÔ 0�R~���T~Vn§0�RU£*����¯���C=EV/�_=.���R�2�25B®2546��­OBET6R~V6=EQ5©� ��������0�RÍ� Ô FÕ ��Q8¨E��Q#ÓѦ�0����1Q8��@wBEQ_2#2546B��_�A�<25Q5�;=E9×@~=E0�Q8��254~=?2c=?Q8�4U0�£.46��©®�BEQ8Q5����=p25�;V´¦�0¯25460�RÐ �������A0�R��!ÔPFÐØ�B?25�C254~=p2BER6��©A2546�#Ù~Q8�_2�Ú�R6BEQ89�=?��0�°���V�Û7ÜW«\�B���¶��0���R�28�3R6���;V25B�­w�`�BE9A9�TUR60��=p28��V�­O��2N¦3����RC�_��Q5¨E��Q8��¥E254�T~��Q5�;VUT~ §0�RU£:2546�cBp¨E��Q546�;=EV�DyBEQ��BE9A9�T6R60��=?250�BER%F

Ý Þ3ßnà�ßOÞ3ßUá6â%à1ãäÞ3å�æEßUâ�ãÕ 28=?2 Õ 25Q5�;=?9çQ5T6R~��0�Rè=e4U0�£.4Í@w��Q5DyBEQ59�=ER~ �®0�R.28��Q8@UQ8� 28��V��Rn¨�0�Q8BER69A��R�2C�=E���¯�;Veé�êë² ìuF  T6QC�5©n�_25��9í9�=?ÃE�;��T~�5�hB?D

28460��:��=ER6£ET~=?£.�Eî ��@OB?¦��Q_DyT6��=?Q5Q>=/©.§'­~=E�5��V$�B.9A@UTU28=?250�BER®25B=.8460���¨E�3460�£E4A�_@O���;V:0�RP2846���<28Q5�;=?9A0�R6£7V6=p28=7��Rn¨n0�Q5BER69A��R.2;F«�46���_©U�<25��9kDyBE����Bp¦��:2546��=?��£EB.Q50¯25469A0��0�VU�;=.��=?­OBp¨.�C=ER~V9�=EÃE�;��T~�_�7B?D�2546�`DyBE����Bp¦�0�R6£:@~=?Q8=E9A� 25��Q8��ï

ð*ñ �~�/�p� ½}¼ À;Á}�O¿ò�P�b�p��ó;��� ½vô  R6��©ç�<28Q5�;=?9 @~=?0�Q8�¦�4UB��_�Ð=?­~�_B.��TU25�®¨p=E��T6�*BED��BEQ5Q8����=?250�BERè�B���¶��0���R�28���=?Q5£.��Q�254~=?R�=P�_@w���0¯Ù~�;V�2546Q5�;�_46B.��V�¦�0����!­O�#Q5��@OB.Q_25�;V!F«�4U��460�£E46��Q�25460���2546Q5�;�_46B.��V!¥p2846�Ù~R6��Q�2546��£.Q50�V��<25Q5T~ §25T6Q5�E¥%=?R~VS2546��Dy��¦��Q7�<28Q5�;=?9���¦�4UB��_��� µ6=.>27�BEQ8Q5����=p§250�BER~��9�T~�<2�­w�c�BE9A@6TU25�;V!F

ð Y ½ Á ô Áv¿�õ´öÊÁ}¿ ô �n÷ Y Á}ø.� «�460���0���2546�P250�9A��0�R�25��Q5¨p=E�Bp¨E��Q#¦�460�84h�_28=p250��<250���c=?Q5��Q5��@OBEQ525�;Va28B�2546�AT~�_��Q�F�ù'D2546�$�_��0�VU0�R6£®¦�0�R~VUBp¦³�_0�°���0���²h46BET6Q�¥�2546��Re2546�hQ5��§@OBEQ525�;V��BEQ5Q8����=?250�BER~��=?Q5��2846B.�_�cBp¨E��Q)2546�c@~=E�<2�46BET6Q;F

ð®ú�û � ¼ À;Á}�O¿´��üO�����c�b�p�nó���� ½vô Õ B.9A�3T~�5��Q>��9:0�£.4.2�­w�0�R.28��Q8���_25��V�0�R�B.RU��©A284UB��_�#@~=E0¯Q>�¦�0¯254��B.Q5Q5����=p250�B.R��B?§��¶��0���R�28�1=?­OB?¨E�)284U��2546Q5�;�_46B.��VPDyBEQ1=#@6Q5��§NVU��Ù6R6�;V�@O��§Q50�BUV!FCÜ6BEQ`��µ6=?9A@6���E¥W=�25Q8=EVU��QP9A0¯£.4�2P=E�5Ã�ý8þ�=E�`2546�BER6�)46B.T6QW B.Q5Q5����=p250�B.R`­O��2<¦����R`2<¦3B#�<25BU8ÃU�b­O����R�Bp¨.��Q[UF ÿ��#VUT6Q50�R6£72546����=E�_2�²;[`9:0�RnTU25�;������«�460���@~=?Q>=?9A��25��Q@6Q5Bp¨n0�VU���A�5T6>4*T~�_��Q8�A¦�0¯254Ð=ER*BE@U250�BERª25BÄ�5@O�; 0¯D}©®=9A0�R60�9PT69�VUT6Q8=?250�BER%F Ò ��BER6£.��Q`VUT6Q8=p250�B.Rh@O��Q50�BUVhB?D460�£E46��©��BEQ8Q5����=p25�;V��<28Q5�;=?9���0�R6VU0��=?25����=��<28Q5BER6£.��Q�Q5��§��=p250�B.R~�_460�@`­O��2<¦����R#2546��_25Q5�;=?9��!¦�460����)=��_46B.Q_25��Q!B.R6�9A0�£E4�2#0�R~VU0��=?25�A=?R�=E��0�VU��R�28=?�W�BEQ8Q5����=p250�B.R!F#Ü6BEQ7� µn§=?9A@6���E¥6=:��BER6£.��Q�VUT6Q8=?250�BER�9A0�£.4.2�£E0�¨.�`=:�<25BU8Ã�9�=EQ_§ÃE��2�25Q8=EVU��Q�9:B.Q5�)�BERUÙOVU��R~���¦�46��R`28=?Ãn0�R6£�=EVU¨p=?R�28=E£E�B?D~�_T~>4c@OBE25��R.250�=E�.B.@6@OBEQ_28T6RU0¯280¯�;��F Ò �¯B.R6£E��Q�VUTUQ>=p250�B.R=?���_B�£E0�¨.�;�)­O��2_25��Q�@O��Q_DyB.Q59�=?R~���­O�;�=ET~�_�#¦3�#�=ER�T6@U§V6=p25�`2546�c�BEQ5Q8����=?250�BER~������8�D}Q5�;¤.T6��R�25��©?F

ð � ¼ ¿�õO� ��� � ¼ õOõO� ô ñ �~�/�p� ½v¼ À;Á}�O¿�ó ùNRZ=EV6VU0¯250�B.R25B:�_©�R~>46Q5BER60�°��;VA�BEQ5Q5����=?250�BER~��¥ Õ 28=?2 Õ 25Q5�;=?9g�=ER�=?���_BVU��25�� 2a4U0�£.4U§u¨p=E��T6����=?£E£.�;Ve B.Q5Q5����=p250�B.R~��FZ«3460��C@~=p§Q8=?9A��25��Q�¥E0vF �EF���+Z0�RA�_�;>280�BER�UF��¥.�5@O�; 0¯Ù~�;�W2546��Q8=?R6£.�B?Dc2546�h��=?£E£.�;V� B.Q5Q5����=p250�B.R~��F Ü~BEQ���µ6=?9A@6���E¥�0¯DP2546�Q8=?R6£.�10���²;[�9A0�R�TU25�;��=?R~V72546�)­~=E�50�1¦�0�R~VUBp¦´0�� Î 9A0�RU§TU25�;��¥�2546�h�_©U�<25��9 ¦�0����#��µU=E9:0�R6���Q5B.�8�<§'�B.Q5Q5����=p250�B.R~�=?R~V�=?TU25BU�BEQ5Q8����=?250�BER~�%DyBEQ1�_25Q5�;=?9���¦�0¯254:��=E£.�bB?D Î ¥ �6¥ =?R~V�²;[:9A0�R�TU25�;��F

� �Sã����<á����wà��:Þ3ß�����å T6Q)��9A@60�Q50��=?�O�<25T~VU0��;�=?2_25��9A@U225B:=?R~�_¦3��Q12546��DyBE����B?¦�0�R6£¤�T6�;�<250�B.R6��F

ð þ�Bp¦·£.Q5�;=p2A=?Q8��2546�a250�9A�a�5=/¨n0�R6£.�:¦�46��RªT~�50�RU£$2546�Û#ÜW«·=E@6@6Q5B/µU0�9�=p25�C=E��£EB.Q50¯25469���=.�A�BE9A@~=?Q5�;V®¦�0¯284��µU=.>2�=E��£EBEQ80¯25469A���³þ�Bp¦·9�=ER�©®�<25Q5�;=?9��A�=?R®2546��©4~=?R~VU���`0�RCQ5�;=?�!250�9:���

ð É�4~=p2�î �)2546�#=?@6@6Q5B/µU0�9�=p250�B.RA��Q8Q5BEQ�¦�46��R�T~�_0�R6£�Û#ÜW«¦�0¯25460�R:�;=.84�­~=E�_0�3¦�0¯R~VUBp¦®25B7�;�<280¯9�=?25���B.Q5Q5����=p250�B.R��þ�Bp¦×VnBn�;��0¯2�>4~=?R6£E��=E��BEQ>VU0�RU£$25B´2546��­~=E�50�a=ER~V�_��0�VU0�R6£A¦�0�R~VUBp¦Í�_0�°������

Page 9: Sliding Window - New York University · UhXVU pDXaSadNUhj%fgU W^Uh YdrjvdkWDXvp c]_Xadkj] *)! s pcfpc] # +, Ã Tz[i^UlXadk dkSAXaiTdk`CS oCP `nmkUho¯jvP cdkoG ]uiTP RTon dq¦ tToCPY`bXAXVicde¢P

����������� �������������������������� ���!"�����#�$���%&�'������()���������*%�� ���+(,��-���.����$�*( �/�����10������+%2������,��34�5�����#��6����������1( ��7��$��3�&�8���1�7!9�$��:;�����8� :#������(1�/0 �'����%�<*�$�������=!9�/0�0����>�����'���?%������$�7� ���@�/�A��B/C D$EGFIHIJK�1�$�����:MLNJ�OP�>Q����BSR�T?U8V�/!W:��/��X:#�1:#�/��</C�ZY\[^]`_+aWb$_+ced?fhg�_1gjik���"���:#�k�7�1����+�^�'�����+��:��l�����m�/�1��n� �,�����+%o���7����j�����G�,����%��/:p���/0�q�:j��%��10eCsr��$�I�'�����+��:t/u

t+vWwxB+y$y>z v{|7}W~��9� |k� y�� D/�,� �Kw�B$��R��1�����

�k���1��� � | ��"�N�7� �m��!�����Q!��/��:��,����%��/:����+�/0�����:6���1������� y��1B1��C�ZY\_+�^d+�����^dSaWg�]l�`bjfhg�_1g6ik�����I�1�2�s�$��q?������(�q?�@��n(��������$� � �>����m�^il���/%��m����%6� ������� � iW���G�^%����,�����/������������%��+�=��������/%��S<5�����/%��*����%x ��������*%�������!��/�.��0�0�'����(�q��A0���'���+%5�$�5�>����Iuk��U8�s¡Nuk��� ��¢I�I�6uk����%��:��/0�09Om�/�h����7���1�1Csik���?%����������$�7�G�/�����I�����������N���������!ABSy$EV£�`� ��:#�/������Cpi����&����'���/���(1��0G%������P�����()�B+¤/¤$¥8���S�/�X�$(1()��:6��0������+%�����D�y$y$EGV CKik���=%������8�m������k����$���@� �����1���:#�1���"�����������>���(�qj%����,�G��!������>:���n¦ �/���'����(�q��@��o� ���,�/%�����N%���<�C@i�����¥$y/y�7����(,q��@���������%������/���)�N�����#���+�S���0�<����,�/%��+%&����>����>CW¢���������h��������1�/q?���$����� u������1���I�����k�7�1�/�1���/0$�����/%��+�W!9�$�@�1�$(��#�'����(,q��A��7�+( �/��%\CW�&�I���7�k�����I�����( �>�m�1��/�����+%j��<6�/�$0���:#��/�j�����=�����( �h��!G�������A�'����(�q*�����������o�7�+()�$��%\C�§¨����7�+()�$��%��>���1�*�����1���h��#���&�����$%�������/()�����-����+�j!9�$������/�7���( ��0����G�7����(,q`u`���j���7�6�����60��$�'� ���,�/%�����o�����( �#�/�-���K�����( ��CW§¨�N������K�k�S</u/��0�0������k�'����(,q?�'�����1�/:��W����������n%������+%6� �$� ��<�7�+( �/��%\u/()�$�����+�7�`�/��%�����I���G�I���:#�1���/����1Ci������70��%������>���%����Z�k�0�0����/��<?!9���/:����/0-!����#���/���s����¨���G���/���,� � B/u T/y$yI���6©�u R�y$y>���:#� ���$��������,C@§ª�#���,�/()���( ������k�$(,�����/0�(,���/�( �m�/!������>�70��%�����G�k���%����I�W�>�0�0�����������?����� ����� �+C@ik��� 0��1���������"�/!\����� ���$�7�(I�>���%����>����������/0-!�2:#��������=�����7�1�/�1���/0�:#��������+� u>%��1���1��%�������/������A����:6���1�N�/!>�7�����+��:�������`�o:#�/��-���$���+%2����%&�����()�$:#����������A(1�/���/( -�'<�C

«\¬e­ Y�®"b�b�¯5°±b�g�²+³^´�b�µPb�]\_�����������7���������@�����I�'�����+�/:#�@�����/�k��� ��%������G� �$�1��<N���1( �/��%\Cik�������7�1��/!��o��-:#�A��� ����1�?�'�����+��:¶��<��7���1:¶�/�7q��G���:��7�10-!�����!9�/0�0����>����� $���+�'����$��� ·B/CIFI���2:�����<G�'�����1�/:��^(1���N§����,�/(�q���l�/��( �"��N�/��$��0-����!��/�7����$��3 ��¸ ��0�����s:#�+�/���\�������l�1�/�1�-!������"%����,�>( �$:#���6!��/���1�/�1�1u�§K(1���#( �/:#�������m�����I�'�,������'���(1�K�/!������>%�������k-���=�6¹����+%�%�� 0��S<A!9���/:4�����1��>��(1( �������1��()�/C �R�CIFI���º0��/������������N%��10��S<A��� �'��� �1�=�#(��������$�G���( �$����� n0�������/������%X�����G���:#��>���1�h§��7�1� �����?(,�������/�S3¸ ���>�7<��'���1:»�>�0�0�( �/:#�������?()�$�����10�������$���m���������G�1��%X��!�+�/(,�h���$�7�(G�>���%����C����I�������+%��/�����$��u������N( �/:#������������/�

rl��$������R�·O"�$:#��������7�$�8��!s�����#����:N�`� � �/!��'�����+��:��I������������?¢ rKi¼�/��%h�s���$(,�k:#�)������%�( �/�h���/��%�0-�!9�/�s���$�7�(k�k���%����Z�l:N���'�s¹����������<N�����I�1��%#�/!`���/���(��>���n%����½�"zMB8��5�$��%��1��!9�/�X�/���o�7<��'���1:;���P���&()�$���7�%��1���+%�/��n�0�����/C ¸ �����1���>�����u"-�A���/��0�%P0����&!��/�7�����1������%P!���������� ���� �����%=���$� �k���:#�/Ckik��� ���)!��/���/u��7�/:#��/!K�����N( �/�����10�������$���:#��<���>()�$:#�������1%?�����k����%��^�����k�1��%?�/!����������$�7�("�>���%�����\zZB$Csik���G���7�1�>���1��( �1-�$�+�m�����?�7�H1�G��!W��������$�7�( �>���%�����/�W�����k:������:N��:�%��10���<?��� �'�m�1�1�6��������-:#�k�������@�(����/���$�-�X()�$�����10�������/�j����q$�1�"��0��/( ������%#�����I���:#��-�m���( �/:#�������+%\Cik���6���)� ���1����0Q����I�������������#�����7��� �,�����X ����+�'����/��� � BS�����% � R$�6�����A��� 0������+%\C&�&�h( �/�����( ���+�/�7�A�����X����:N���1�j��!�'�����+��:��@���K�����>( ���'�@��!`���( ���+�/������������>%��10��S<?��j��� �`�/�7������()�$�����10�������$��CrW��$�����GR6�7�����I�"����� ����:6���1���/!W�'�����+��:��"��� CK�����G:#���n-:6��:½�7�H �?��!W��������$�7�(G�>���%����¾!9�$���j�����������( �+���7�$�k�/��%�k-���x%�-¿\� ��� ���h�/0��/�/��-����:�� C�§¨�¾�����&¢ rKiÀ:#� ������%\u����(������$�7�������?����:6���1�I��!K( ��� ÁA( �� ��������������B+Â�Cà ������������.� ���$(,�X:j� ������%\u �/��/�1�Z�����.���/�7�(8�>���%�����7�H1��ÄSu������I���:#�I���j( �/:#�������>�����G( �/����� 0�������/���@�/:#�/���NÅjÆ�'�����+��:��@�>-���oÄ����1�*���:j�1���$��$���m��sǾw¾È/É�Ä,Å8ÊÆ C@V��+( �/���7������X��0��$�/��-����:Ë:N���'�j¹�����7��������N���Ä#�7�+( �/��%�� us�m�A���S�$�È�ÉSÄ,Å8ÊÆ wºÄkÌÍÅ6ÆkwÏÎ ~Ð�Ñ C�5-���P�����h¢GrKimnª�/���%�:#� ������%\us�����X���/��q.���&:#�/��-���/�()�$�����10�������$���>���/�I�'�m�o���/�7��� · � BS� à �\%���������X%���/�+�'�,�I����q$�1����:#�hÇ ~ w¶È ~ Ä)Å Æ1Ò � R/�'¢�� ���+()�������( �/�����10�������/�����$�7�+%��$������o�/���%�����q$�+����:#�oÇ Ê wÓÈ Ê Å ÊÆ C&il�8¹�����7�������1���A�'�m�()�$:#�����,������/���G��� !9�/���j���������$�7�(6�k���%����±�1��%�� ul���6���S�$�Ç ~ z=Ç Ê w¾ÄSC"�����( ��Ç Ê ��"����� %��/:#�����������N���1��:hu����>���S�$�Å6Æ6Ô Î ÕÐ�Ö Co�I�����j�������N���+( �/���7�#��!m�������/���%&�7������()�������/uÈ Ê&×× È É C��I0��7��uK������( �/:#������������$���>-����%������.%���/�+�'�����?:6��(��P:j�$���A§ ¸ � ÁA()��1���N�����/�2�����o� ���/()�N:#� ������%��$������ ���S���'�����+�/:#�1CKr����$:M����� �+ ���������/�A�/�����/�/u�����( �/�A���n()���1�$�7�>����� ����:N���1�k��!l�'�����+��:��m:#�/��-���/���1%A��<����( ���+�/�7�������������/�7�(j�>���%����M�7�H �/uWeC ��C�uK%��10��S<=���:#�/Coi����������/%��1��¿���)�'���1� �#���+�7�`�/���7�����:#������%6�������$���$�������s��s( �/��¹���:#�+%j��������¹��$�����/CWik���k����:N�`� �@�/!`�'�����1�/:��K������%�0��+%N��<?�$���s�7<��'n��� :p���()���1�$�7�+�s�>-���o�����?�7�H1����!l����� ���/�7�(��>���%����u��>���0������� ���>��"���?���1��( �1�������0��I(����/���/�k!9�/�"�������)���$(,�"�/0��/�$��-����:hCik���M���/0�0�( 0���(,qÓ���:#�M���£¹���%Ë()�$�����10�������/���¾���7���������h¢ rKi�n��$���%P:j� ������%���j:6��(��P!��/�7���1�N�����/��������� ���$()�:j� ������% � rW��$�����2¥/���,CÓik���&���:#����=%�����%��+%º������Z�'�m����/�7��� ·X%�� ���+()������2()�$�����10�����-�$�P�/��%����`%���������.�����h%���/�+�'�

Page 10: Sliding Window - New York University · UhXVU pDXaSadNUhj%fgU W^Uh YdrjvdkWDXvp c]_Xadkj] *)! s pcfpc] # +, Ã Tz[i^UlXadk dkSAXaiTdk`CS oCP `nmkUho¯jvP cdkoG ]uiTP RTon dq¦ tToCPY`bXAXVicde¢P

������������ ����������������������� �"!#�$���%�%'&(%���&)*�"����+ �������#�"���,.-0/12!#3(4��.5�"����(�6��7���8�"!#9�#�"��&(:�"�����#�;�"����9�<���7�"!#

=>�?1�@A���"��BC��(�"!#�DB7��%������#�"��E6��B�F��������B�5%����#F���7!#�G$H�"�&0!#�6�6��I�"!#F�"��J(K���L�"!#K,�������&K$2����B��G$�/IM>��E�(�N�O���.:&P�RQ.&&(�����#���"���#�F&(������&(�R�TS�U�Q����#�"WVF��!#�G$X�"!#>�#�"��&(:�"�����#������F�<���WB��RYZ(�(�6�W,����"��&�$[����B��G$\����J5:�(U.$2!#5�]�"!#^�D�#�I,Z(�0�[����T��":���*�����"�_�U `�`�` + �������#�aV��6-L���#B7b:`#U `�`�` + �������#�aV�,.-0/cd���"e�"!��G� �"!#�$���%�%6&(%R��&0)W�"����e�"�>B�(�":&0�?&(����"5%��G�"������BD�D:��#���?&0!����#���$[�R�"!^�"!#[����J5����#�"!#�,����"��&L$[����B��G$�Uf$[!#��%���"!#$2��%�%Z&(%���&)K�"����W�"�K�#�ZB#�G�"W�"!#aB�����5�������L�#����.�����"��������%��"��"!#>����J5d���'�"!#W,�������&[$[����B��G$�/?12!#5�"(�<���"[�"!#W�#�"��&(:�"�����#��"����W����%��R�#:���e�"�I�"!#>����J5W���g�!�W,�������&d$[����BD��$a/ih�:&5�����"�"!#7�#�"��&(5������#�j�"����N�K���T�O,Z7�"!#�����"5�k�!#���;�"!#N,����"��&$[����B��G$l�"����K�m���a���#����S��T�"5�n�"�O,ZF���#%����#�U $��&5���NB�(@&(��B�[�"!#W���������K�#�o,����"��&2$[����B��G$;����J5�/i�#����pQ����#�"[V^�"������#�R�"���e_DU `�`�`W�T�"�5���*� �"!#������#���K���p,�������&L$[����B��G$3�"��J(����q�_a�"5&(����B#�5/irD������%����"%�S�U��"!#d,����"��&2$[����B��G$s�"����W��!#���#%�B,.^�#��%R:����"!����NbG_�`F��:&(����B#���m����b:`#U `�`�`K�T�"�5���*�(/

tgu<v wax�y6z�{m|:{m}Z~;�lyD�#|:� xGy6�3y6~g�h�:&(������j�"!#s���#�#�"�G4D���*�G��&(���"�(%����"�������C���"3,�����:BH���=>�?1�&(�#�"E�CQ#���"���#�9���\5��&!�,�������&C$[�R��B��G$�UW�"!#��#�":&(�R@�������;���^�"!#�&P�����#�D�0�G�"������B�5�.5��B#�����;�"!#N����J57�����"!#,�������&^$[����B��G$�/F�W�#�>(4��.(�����(�6��>�����"!#K�T$��OB#�G�0����(��+ �������#�"K_�-[��!#�G$��"!����>(��"���0������&(�":���"�$[�R�"!]%����"��5�d,����"��&$[����B��G$o����J5*����B�B�:&(�":�����$[�R�"!j%����"��5���"%R��B����#��$[���#B���$����J5�U�,#���i�"5�������K�"�*��%�%6�"!#�"���#��!������5/�12!#�������?���������&(�#%����"%�S�#���"($����"�"!6S�UD,Z5&5�����"�$������:BO����%�Sk�"!#�Q�����dqF=>�?1H&P��@(�k&(��(�6��2����:��&0!O,�������&>$[����B��G$�/�N2��%����W�.5���m���"��:B�(4��.5�"����5������"�W�5��� �"!#�(YZ:&0�"��E�(@

�#:�"�������"!#>���"��B��T�"�"��&P�"�#�"�/e1�!#>���"��Bk�T�"���&0�"�#�>����=>�?1�<:���"�#�"7������&(C�#�"�#�#:�*�����O���6�T�������"!#7%R��$�@�&(���"�(%����":B�����R�0�'�������"�":���*�(/�1�!#�����#�#�����d�.��$�5����bG�5�D���g�!���6�#�K,.5�

� �����#�"dV# L�L���������"���"�������g�"!#W$���%�%.&(%���&)I�"����d�<����B��RYZ5��@(�6�d,�������&>$[����B��G$��"��J(:�

� �����#�"�_� �dE�5�����e���#����f4��������"�����^(��"���0�Z�<���?&P���"�"5%��G�"�����&P�D(�k&P��5�6���$[�R�"!�B��RYZ5�"5�6�O,����"��&:����%���B����#��$[����B��G$�����J55��<���d��SD���!�(�"��& + ��,.�GE�f-�����B��5��% + ,.5%��G$W-�B#�������(��

Page 11: Sliding Window - New York University · UhXVU pDXaSadNUhj%fgU W^Uh YdrjvdkWDXvp c]_Xadkj] *)! s pcfpc] # +, Ã Tz[i^UlXadk dkSAXaiTdk`CS oCP `nmkUho¯jvP cdkoG ]uiTP RTon dq¦ tToCPY`bXAXVicde¢P

������������ ��������������������������! "�������������#�$�&%���'�!�������( )�+*-,*-.��.�0/1�2��3�45��6�7��*8���0�9#������0/��:0/������������;� ������! # ��&/�<���/�

����4�;�>=) 7?@��������������A�&*B/�.�C�$�<��/C�����)������������DE�&/�<���/ FHG)I J<K FHG)I J0K FHG�I L FHG)I L M)G)I J<K�N�<;�.����!�� G)I G<G)O G)I G<G�G<K G)I G<G)O G)I G<G�G<K G�I G�G<G<K?@�������������� G�I L�L�P<P G)I L<L�Q2R G�I L0R&�0K G)I L<J��<K G�I L�L<P)OF���.��;�; O<I G G)I L<L�L<K O<I G G)I L<L�J0R O<I G

��*1�!������S��.�$����/�. T42U"/���V������ W:8 )��X2�� ). Y40U"/���V�0��3�4$.���*@��;�;Z�5��/�.�0/�����;8�!������.ICM2������������'��U)�[/�.3\���!���6���0/��������*]��;���C����0�&/���X<.�.:�/���H��.�$����/�� ^�!�����6�_���!��;+�! )'��;�;2/�)'�����<�),�������.;��&/�� E�!�����6�N���! >���<3V@*]��;���7�$�0���+/���X����I8`Y���;����H3^���,�����a/���(b0����;��+/[UY��*�/���(��U)�[/�.3c42UY����������������Z:d%������6�e���/���H���/����f��*5/���H�0��3�4$.�7��*5�!������@%����0��'�g�<����.;��&/�����!�d������4$�&X�a/�)A/�����������<;� h���! i��.�$����/�� e42UhM0/�&/6M0/��.��3A:@/��/���>�0��3�4$.�H��*d�!�������/��!��/H����S��.�$�<��/�� (42UAM0/��/6M0/������3AI�����������#���)��%C��/����������g���������T���! "�����������)�(�$�&%1.�C*-��<�g,/����<�A�!�������# )�+j5.��.�0/C�2��3�4$.��C��*_���0�9#������0/�H���� kX&��;�������*S/������������;� ��V*]���( )�+j5.��.�0/k ��&/�<���/��ImlSG�n J<Ko���! )���.�&/���/���>�����;W ���/�����/C%��+/�k/�����������<;� (��*_G�n J<K2:!p_G)n L����! )���.�&/���/���"��U2�</����/����k ���/����g/^%C�+/��h/����.������;� h��*'G)n L): �/��Ih����;�.����/��"��*8/���>��;��� 2�����a%C���! )�&%q��������S���<���.I����4�;��=V�����&%H�1/��!��/'�������;�;N�.���"4$>/���� )� A��jY���0�����!�[/

����������������q�+�r�$�<��/k�����)�g��������)�!Is����Y�!��.�A3V�&Ut���$��g�+*-U�o/��<;�.����!��(u^���!��v/��!��/^/��"��U)�[/�.3w%���;�;C��.�$�<��/^/����<���!���+�6�f%C�+/��i���������yx)��3a�&/�#�������.;���/������z���2�9a����.�0/�>;�������.�/��!���Au�{�|&}&~y{!���]�f�zuI

� �t�N�[���)�N�����@�������.��_���N����������<�����������0/�.����[/8���> ��&/�C�[/�����3a��IN���S/��_/����,�<���/�������;8;+�+/��6�&/������:WDE�&/���'�/.IE��;�� R.�_�[/��! )Uk/�)^�����<4�;��3��*N3a�����0/�����)�����^ ��&/�^�[/�����3s�[/��/����[/����.���&X�.�1��;��� )�����^%C���),

)��%C��I�����.���N*-�)�g�!�N���8��������;�7��/������3r��/�&/����[/���.�.I����).UE�����,�5�<�����������;�����> ���/�a�[/����!�g/������:!gx)�$�<����0/�����;N�����[/��<�����3A:/����/#�.���i45"�< ����)/�� h/�Y��.�$����/a�[/6�&/����[/����.�^�&X<��V��;��� )�����%C���! )�&%H�1��/�.X�.��U^/���3V.�$�<�+�0/.I7�����U#�<�����.X�H/�������%C�+/��k�;���3V�+/�� ^3V.3^�<��U����! ^�H/���� ).��j#��*5���.������<�gU�Id�E�����<��;�����4!�<������%����! )�&%���U2�����!�����_�[/���!�g/�������.�������5����/d/���C�������������������;�'�[/������3���/�&/�����/������@*-���@/����<��C/���3V.�$���0/�7/��!�&/@*]��;�;$�&/4!�<�����(%C���! )�&%�45�����! ���������^%C�+/����z 2.;��yUh��*H/���"������A��*�z4!�������k%����! )�&%f:�4��)/a�����a3���;+/��+,���/������3w�[/�&/�����/����.�a��;����/��� )f�<�.�g����<��U#���<�����!�[/�3V.3V���U(���! k/���3V�I� �������g/���;�IA��O<Og�7��;����A�[/��! )U�/���V������4�;�.3���*�3V���),

�+/�����������[/�&/�����/������h�&X�.�z3���;+/�����;�  ��&/�¡�[/������3a�.I¢������/�&/�����/�������/�).U^�������0/�.����[/�� ��+�a����C )��jW����0/_*-���3£������.I����.U����<3^���)/�H��������;���/�� ������<��.�<�&/.�8%C�����/���C�2��3�4$.���*$�[/������3V�8/��S4$�3V�<���+/������ ����_��3a��;�;�Id¤i/[U2��������;)b<��.��U>�+������<��H�.��;�;!����g�<� V�[/��.��3a�_���_/���'�$.���.�</6����C��*W���</���!�&,/�����!��;���������'�.��;�;���/��!��/1����;��<����.�d/��!���V/���H�yX<��6����� )�),�6�&/����<�A��*_�( )��3V��[/����f�����<����.��;�;�IC����.Uk�!��������[/����<���3V��<�7����3V3a����Ua ��&/���[/����!�g/�������_*-�<�7/���E���������yx)��3V��/�'����3^,���)/������a��*����<����.;��&/�� (�����<��.�<�&/����IFC�����0/�;�U�:1/���T ��&/�Y3V���������h����3V3������+/[Ui�!�<�^/�������.

�+/6�f�&/�/��0/������T/��� ��&/�A�[/������3V�.I�¤¥ )��3a�����2,����$����+¦$��;����),�<�!���<�:>§'���!�g�)��Z� �y�¨:��!�<��4$�.�£ )���������� m��/o¤@��©>�ª/���x2/���<�6/^�����<����/�������f*]����3«3a��������X<a/�����!�����g/������h�[/������3a�.I¤H;��<�����+/�)3a�7*-���������!�[/�����g/������� ).���������<�a/���.���� Jy�W���! #��;��!�[,/�����)�z��OyK��d*]���f ��&/6�(�[/������3a�'�!�yX��4$.��Y������$�0��� 5IfFC�,��.�0/k%1�<������*�¬T�����0� �/"��;�IB� =�G��¨: � ��..�2%���;� ��/A��;�IB��O.Q&��!�&X�f*]�2���!��� ����"/���^������4�;�.3���*7���������&x2��3a�&/>b0�!���0/���;����<3^���)/��/������(*-�������! )��X0�� )�!��;Z ��&/�^�[/��.��3a��I7�E���1%������V������<3^��;�.3V.�</6����Ue/��Y/���" ���/�Y3V���������z����������6�h45.�.���!���<���H/���������b0��.�C*-�<�H¦!�! )���)�k�g�<����.;��&/�����!�C������45>�!��� T����������)/��/��V/��������3V��;������+/[U0,¨4!�<��� #��;��!�[/�.�������a��;����<���+/���3a��I����C%1�<���f42U>­E���/1��;�IB� =�J��!*-�<�d/���H����;�����C )��/�S3V���������

��*S����,��X<��;�X2�����"/��3^����b0����!����^���a��;����Y����3V��;�.3V��0/����U/���<���>%������5I"�'�������������yx)��3a�&/����<�z��;����<���+/���3c�.���e���$��/���<����.;��&/����<�!�d��3V�������S;��������0��3�4$.�7��*Z�g��,¨.X<��;�X2���)�S/���3V��.b0��.�!�g��db0������2;�U�I���������_3V�/����) W:<¬�®EM!¯�°8±1M��.����/�����45������);���� �/��'/����0��������<��;�U>��������;���/�� >�[/��.��3a�8*-���d;������������<����������<�),¨4!�<��� ^*-������.����/���������*d���%mX&��;������I����3VT��.������a������4�;�.3a�V���t/���T ���/��4!�<��"���<3^3������+/[U

�!�&X�'*-�)���!��� k�<�A )�������&X�.��������/���>���+3V��;������+/[U#4$�/[%1..�A����<��;��������.b0��.�!�g����! £�������! )�x2� � ��&/��4!����i��*(����X2�+,�<�!��;�Ut��4)/������. q��.b0��.�!��Y���2*]����3a��/������ZI��8��� )�+/����<����;�;�U�:/�)T±@�!��;��� )���������3V��;������+/[Ui3^��<������k���V�!��. WI ������������,���!��;�%������e40Ui¤H����y%���;1g/#��;�I � =&���)/���;����.��^/���ADE�d��/��/����!�[*]����3² ���/�k*]����3ª/���V/�+3V( )�<3a�����z���0/��"*-���b0�).�!��U )�<3a�����o���! ��!����H3���;+/��� )��3V.�!�������!��;����� )�xo�[/����!�g/�����>/�����! )�xv/���A¦!���/a*-.%\DE�d�³���0�9#����.�</�.I´���t/���.���a%1�<���5:/�)"*-�)���!�a���V���t%C����;�����b<��.�!��A3a�&/6���������I �������a%�����<.����6��;����.. k/��k��;�;��&%¡����4!��.b0��.�!�g�3a�&/�6�������o� L&�¨I'FH��¦!�����! t¬".�! ).;����<�8� =&Qy�'��3V�����&X<(/������V/���6���)��b0���40U���;�;��&%�,�����r/�����!��*-����3a��/������!��:^���!�g;��! )�����¡�����+*B/�������:#���.��;������r���� 3V�&X2�����e�yX<��6���<�:7�<�v/����/���3Vo��.������V4$�*-��������3^��;������+/[Ub0��.�������Iµ����Y )���[/���!�g��#45g/[%��.�q��.b0��.�!�g��k����T3V��&,������� e42UY/���A±7�!�g;��� )����v )���[/���!��(��;��!��/���A���0�[/�^��������,������/�. v%C�+/���/������A/����!�[*]����3a��/������!��I´�E���a%1�<���h )�+j5.��*]����3\/���.3����"/�!�&/a¶�O&·����i� =):5L�:Z=&Q):dOyLy�¨:5/����/���3V^������.�

Page 12: Sliding Window - New York University · UhXVU pDXaSadNUhj%fgU W^Uh YdrjvdkWDXvp c]_Xadkj] *)! s pcfpc] # +, Ã Tz[i^UlXadk dkSAXaiTdk`CS oCP `nmkUho¯jvP cdkoG ]uiTP RTon dq¦ tToCPY`bXAXVicde¢P

�������������� ������������������������������������ �"!��# $�%�&�'�( �)* ��$���� ��,+- !��.�� ��.�/��0&�� ����,�1���(� - !��"���"����������2��&�(�%���435 ���0���6����7���&� 8�,����!��9���.�: ���� �";=<?>1!��A@����B���� �"!��(�7�C�&�D�� �)* ������� ��,+�� �"���7��8�� ��&�* ��E)%!����� �6����F������ ����A�,�����7��)E�G ��E���.���5�� �)���<AHJI�KMLN�F!��(������E�"�������.������ ������"�O��P��" ��.�&���Q���/�R� $�,�������"�*)*�7���(!����#�� �B��SUT4V4W <YXZ���Q�"�&�����.�$���� ��&��)*�.�&�(!����1 $�C ��O3����� $���&�C!���� �"�A�(�� ��[��8 ���0\�����]���.���� ���0^���������,�_����)E���� ������"<a`Y�&�����.�$���� ��&�b)*��B��7� ��E6c�5���( �2����������"�&���,����!����E���d��P��" ��.�&�*0&�� $�'�(����!�����!����� ��2c�&!���� �.��e/fGXg���7����!�������6��&�"��<�XC�� $�Q $�h@C�����h�.����2����E!�����N0& �3������.���Y�� �)*�R���7�(!������"< SUT7V�W ��������@F�%�_���$�(�����.0&���� �3��7�"i@F���.���7���Z��!��F)*������� �:�O�O�7�F�����.<

>A��� �.�%���7������ - !��.�#�(!��9�'���#e? $���"���"����L���3��.���"�#Xj�������(8���&��)kH_eFLlXFK S m iZI�nOiI�I i T I W iFoO ���0�!��$���Epq����!��De?�.�"�&)�86c�5�( ��� ����lHJoOp1e/K SUT7r�W �����^sq ��7���.@F $�(��`�����,�����&�#tA6�6����4; �8)E���� ����uHJsZ`Zt1K S I&vOi T v W �����h���$�(�*6����&6c�&�(�7�������?�( �)* ��$���� ��,+�(�7�������w<:xQ�"�&0����"�*���J< SUT v W �"��)*6������7�/�����7�(�E���7�9���� - !��7����&�A�� �)*�#���"�� ��.�A�( �)* ��$���� ��,+ - !��"�� ��.�.<FXC���%6c�.�(�_����)E�����"�h��������7�(�h���7������ - ! �7�A3����� ��7�R� �.6c�.��� �� 0����R�����#�9�������&�����"�� $�,8�� $�.�%���C�������������&�(�"���"iG2c�7�"��!��(�E�����( ���0����E���9�����,���&��)y�.���2c�?�&6 �� �)E���c�&�������c�����9���(�"���"<qXC���.���C���.�9���� - !��7�Y2��&�(�7�*����"!���3&�Z��(�� ���0#�����A�������"�������� �3��F@C�4+O�z���w�"��)*6�! �� ���0#� �0&�7�,��������#�"��!��$�#2c�F!��(�7�# ����&!��q�(�� $� ���0/@F ���� ��@?{�2����( $�@F ���� ��@���9��)*�.@�&��Bc<

| }N~Y�?�w�(�?�O�,~Y�� �� ��5���� ��� ���0D)#! ���� �8��,�����.��)��������� �)*��8M� �.�$�4+��7�N�,������ $�,�� $�.� ��E�Q�"�&�&�� ��O!���!��G�&���� �� �Z�_�&�(�� ����* $�q�/�� �0��� �c�.���5�q�����������.��0&� ����������?)E������0��.)*�.�&�7<G>?!���6���6c�.�z�(�&��3��7�w���� $�j6�����2����.)� ���R���.���$��2����%@Z�4+R�������/0& �3��7�1��0&!��������&���.�7�D���7�(6c�&���(�h�� �)*�@F ����:� �0&�:�&�"�"!����&�"+�<

XC���Ee? $���"���"����f���!��� ��.�hXj�9�����,���&��)����7������ - !��E���7� !��"�7�������"���&��)*��!������4@u�������A�,�����7��)E�� ��5���1�F)*������0&�.��2����Y�(+O� 8�&6 �� $�/���������,����!��9��!����Q������0& �3��7�Z0��O�O���({&>�6c�"��������)*�����"��<f��&�Z���5+*6��� ��Z���j�,�����7��)E�.i&�����16��� ��(8�@F $�(�1�,������ $�,�� $�A $�C���&)�86�! ���7�� ��:���� ����"���.)*�"�5�������_������ ��&����������� - !� ����7�Z���&���,�����5��� �)*�#6c�.�?!�6=�������%!��( ���0���e1fGX���6�6����4; �)E���� ��&�w<Ct����� $�O8 ���0O{�2����( $�D@F ���� ��@�������)��.@Z����B\ $�R ��5�����O� !��"�7�b���^�_�&�" ��� �8�������D�����D�"P��" ��.�&��)E������0��.)*�.�&�����h�,�����.��)* ���0^�������^� �80&�.�(���"<�LN�����7� !����:�������"�������.�$���� ����b�"�5�"P��" ��"�5���( �)* ��$����8 ��,+D)*�.�&�(!����#���R�R�q!��"�� $� �.����)*�.�&�(!����*������)E��B&��!��(������d0��� ����,����!�����!��������b� �"���.�������&�����.�$���� ���������)*�&��0^�����&! 8���������*���/�� �0��]��6c�"�7�b�������u�,�����7��)E�* ��b���7���Z�� �)*��<��z;O86c�.�� �)*�.�5�����"����� !������.�g!��� ���0��(+O�&��� �"�� $�\���������7���*��������(����@���������o5�����9o5�����7��)�� �"���7�9�9�����&�����.�$���� ������#��P��" ��.�&����+������6����7�" $�(�.��+�<

�b�����w��� �?� � �SUT"W �5�(��6w�U{�{�@C@F@Q< B5;=< �"��)R<

S I Wh� <OtA0&���4@Z���Ji `?<Of������&! ���(�&�.iO������th<O�h<�oO@Z��)* J<j�qP*8�" ��.�&�YoO �)* ��$���� ��M+�oO�7�����9�%�M�EoO� - !��.���"�Ce1������2��&�(�7�"< �M�����7 9¡�¡�¢�£[¤O¥�¦��M§D¨�©�¡�ª ¨_©'«�¤�¨M¡���¤­¬4¨®£J�4¤­¬�¯#°q��¤7§"¡���¡�¤­ �¡�,§�±j��²O¤­¢&¬4¨®£J�4¤�¦N�M§�³�¬4¨,¬\´C�®¥5¬4¤�£�µ4¬4¨®£J�4¤�¬4¤­¢N¶A¯ ¥5�4·��£[¨_©5¸#¦E¹_±C´q³�´Gº iO6���0��7�Cn V4» r�¼ i T7V�V&½ <

S ½�W o=<=¾C��2�!������D¿�<cL] $� ��)R<?`���5�� ��O!���!�� - !��"�� ��7�F��3&�"����������,�����.��)E�"<�À «�ÁÂu´Y³yÃ?¡� 9�4��¢ i ½�Ä H ½ K9� T4Ä�V4»=T I Ä iI Ä�Ä�T <

S ¼�W ¿�<=Åz<­¾Z�.�&�����.+�i=¾?<=L�<=LN�" $� ��iw�����Dth<�`?<�ÆY����</>?6 8�� �)*����"; 6c�7�9���.�O8®�� �)*������0&���� ���� )E�Q�����*�"���&���.�(�%6c�& ��&�6�����2����.)E�"< ¶#°jÂÈÇ ��¬4¤�¦7¬� �¨®£J�4¤�¦u��¤�Â�¬�¨�©�¡�¸E¬�¨J£® �¬4¯À �,§�¨®É¬4��¡�¹"ÇY´Â À º icn�H ¼ K9� m n ½�» m�r�Ä i T7V�r&Ä <

S m4W x*< 8�sG<�`�����u�����uth<�L�< 8,`?<jf�!w<R�zP��" ��.�&�h�� �)*���(�"8�� ��.�/)E�����9� ���0R25+D@C�43��.���"���"<h�M� ����7 �¡9¡�¢4£�¤O¥�¦��,§*¨�©�¡Ê&Ë ¨_©*«9¤�¨,¡��9¤­¬4¨®£J��¤­¬4¯�°Y�4¤7§.¡���¡�¤­ 9¡h��¤�³�¬�¨M¬QÌZ¤O¥�£[¤­¡�¡���·£�¤O¥�Í ÀcÎ ¢4¤­¡ Î Íq¶A²O¦9¨®��¬4¯U£J¬ i�6���0��7� T I�n »cT7½&½ i T4V�V&V <

S n W `?<&`���(���7�"i�x�<�f� $�(���.�.i&e%<�sq���"0& �2c���wi�������th< � ��0��.���.<Ï �����"�O�9Bc�g�l�$����0�!���0��^�����N�";O���������� ���0��� �0�������!����.��_����)Ð�������%�(�����7��)E�"<j��� ¶%°� À «�ÁYÑ/³1³�«�¤�¨J¯$Òq°q��¤7§"Ò��¤�Ñ%¤­�4ÉC¯�¡9¢"¥5¡1³h£$¦7 ��4Ó�¡�� Î ¬4¤­¢h³�¬�¨M¬#ÂD£[¤�£[¤O¥ i�6���0&�.�V�»cT v5i I Ä�Ä�Ä <

S v W � <­e1�������.i­th<�Ô1 ��&�� $�"i­s�<=�M��� +5B=iw����� � < � ���,@Z���� J<� �� ��&���� ��� ���0��,�����7��)Õ�(������ $�,�� ��.�u��3��.���(�� $� ���0�@F �� 8� ��@F�"<z�M��À ´Y³A¶ i�6���0&�?������6�6c�7���.i�I Ä�Ä I <

S r�W sG<�e?��)* ���0&�&�Q������Ô#< Ï !������.�w< � ��� ���0:�� �0�� 8M�(6c�.�.����������,�����7��)E�.<D�M� ¶#°j À «�ÁqÑ/³/³Ö«9¤�¨®¯$Ò/°q��¤7§"Ò1�4¤Ñ#¤­�4ÉC¯�¡9¢"¥5¡/³h£$¦7 ��4Ó�¡�� Î ¬4¤­¢#³�¬4¨,¬�ÂD£[¤�£[¤O¥ i�6���0��7�?v T»�r&Ä icI Ä�Ä&Ä <

S V�W `?< f�������! �����&�"i � < � ����05�������������wi �����Æ#< � �����&����6c�&!����&�"< f����,�Ð��!�2���� - !��.�����Ö)E�����9� 8 ���0× ��Ö�� �)*�"8M�(�.�� ��7�]��������2��&�(�7�"<Ø��� ����7 7Ò�¶%°�ÂÀ «�ÁÂu´Y³�«9¤�¨,¡��9¤w¬4¨®£J�4¤­¬�¯z°Y�4¤7§"ÒG��¤:ÂN¬4¤­¬.¥5¡�¸E¡�¤�¨F�M§³*¬4¨,¬ i�6���0��7� ¼�T7V�»5¼ I V i T7V�V�¼ <

SUT4Ä�W p%<wÔQ���5�� Ji­¿�<­Ô1�.����B&��i­����� � < � ��)E��BO�� $�(�������w<Ae?�"8)*�&�w��e1�����Q�.3��&��! �� ����*�����*)*���� ����&�� ���0�<c�M� ����7 �¡9¡�¢�·£�¤O¥�¦A�M§Z¨�©�¡ Ê&Ù ¨�©%«9¤�¨,¡9��¤­¬4¨®£J��¤­¬4¯w°q��¤7§"¡���¡�¤­ �¡?��¤�³�¬4¨,¬ÌZ¤O¥�£[¤­¡�¡���£[¤O¥�Í À ¬4¤R³h£®¡®¥5�7Í?°Y¬4¯U£ §.�4�9¤c£J¬ i�I Ä�Ä�Ä <

SUT&T"W ¿�<­Ô1�.����B���i=f<­x/�����wic�����:e%<woO�� �3��&�,���43���<?>?���"��)�86�! �� ���0D�"�������.�$�����.����0�0&���.0&�����.�A��3&�.�/���&�5�� ��5!����q��������(�����7��)E�"<��M� ����7 7Ò¶#°j À «�ÁÂu´Y³Ö«�¤�¨M¡���¤­¬4¨®£J�4¤­¬�¯°Y�4¤7§.Òq�4¤�ÂN¬4¤­¬.¥5¡9¸�¡�¤�¨A�M§?³�¬�¨M¬ i�I Ä�Ä T <

SUT I W th<�`A<EÔ1 ���2c�.�(�.i�Æ#<Ex/���� $�O $�.i:oc< � !O���5!�BO�� $�(�������­i����� � <ho5������!����"<�oO!��(���0�@C�43��.���"���D�����,�����7��)E�.�>1����8�6��������(!�)*)E���� ��.�R���&�:��6 6����4;O �)E��������0&0����.0&�����- !��.�� ��7�"<z����Ú­Û ³/Ü i�6���0��7�Av V�»Or�r i�I Ä&Ä T <

SUT4½�W e#<%Ý#<hÔ1���$� ��g������s�<%`?<hxQ�����.���$��BO $�"<Þ>?�g�( �)�8 ��$���� ��,+ - !��.�� ��7�D�����N�� �)*�"8M�(�.�� ��7��� ����� �Ð`Y�&���,������ ��&���6c�7�� �c�.���� ����ß�����g �)*6����.)��.�5������ ��&�w<à�M� ����7 �¡9¡�¢�·£�¤O¥�¦h�M§/¨_©�¡ Ê ¦9¨G«9¤�¨M¡���¤­¬4¨®£J�4¤­¬�¯z°Y�4¤7§.¡9��¡�¤­ 9¡%��¤:��9£[¤c· �£ ác¯$¡9¦d¬4¤­¢d�Z��¬� �¨J£® �¡b�M§b°Y�4¤�¦�¨J��¬�£[¤�¨E�����¥���¬�¸#¸�£[¤O¥¹9°��Eâ ã Ë º <­oO6��� ���0��.�Fpz�"���$��0�i T7V&V&m <

SUT7¼�W � <OÔ/���.�"�O@C���$�E������o=<OxQ��������� <�oO6����"�"8���P��" ��.�&���� 8�� ����/�"�&)�6�! ������ �������� - !����5�� ����/�(!�)*)E���� ��.�.<��M� ����7 7Ò¶#°� À «�ÁÂ^´q³×«9¤�¨,¡��9¤­¬�¨J£®�4¤­¬4¯C°Y�4¤7§.ÒC��¤uÂN¬4¤­¬.¥5¡9·¸�¡�¤�¨C�,§A³�¬4¨,¬ i�6���0&�7� m�r4» n&n i I Ä�Ä�T <

Page 13: Sliding Window - New York University · UhXVU pDXaSadNUhj%fgU W^Uh YdrjvdkWDXvp c]_Xadkj] *)! s pcfpc] # +, Ã Tz[i^UlXadk dkSAXaiTdk`CS oCP `nmkUho¯jvP cdkoG ]uiTP RTon dq¦ tToCPY`bXAXVicde¢P

������������ ����������������������� �!���"$#&%'�$(��)�*�$(,+- /.�0�12�$343��$56�,�$(781934 ,�&#;:<�;�4(�5=+��$#>�=�&#>�;:?�$@A�BDCE(GFIH�JKDL,L,MON�P7QOR�SDT,U?V�WXMYSZU�L\[]U�M�L_^`N F WaU�L�VbU&cAdeU�SDTOM F&JgfQ7hgW J L_h J�i4j;klklk2�m`n`n`n�

����o���pq$r!:B"65`�b�$(,+bstu�Y@wvu#;�7,xzy��;"6{,�${��434���&#;��|'�$y�y��;"u�`|>�#;"�}I�`��#ey,��#�#;:<�;(=@~�$#>|>���4(�5��4(A#;�4@~:8��:<�;�4:?�l+���#>�`{,�`��:?�BC�(�FXH,J�FXH W f ^�h>U�L?c Jgf>J L_h J U�L���L_U��'P J ^B� J=� W�V?h>U�� Jgf RW�L � N F N6�>N?V J VbN�L_^ � N F Nb��W�L,W�LY� �]�?�6�u�u

���$�?��pq��,�r!:B"65`�7�9rb919�,�$�Y�>�${,�`��#;�)�9�l��:<���;"$#>�>���e�$(,+��e��ls��$�<�?�$(��) - "�|B�`3434vG�`+��`y�#;�4�`:�+��4@~:<(,���4"`(,�`34��#&v�;:?+� ,|g#;�4"`(�}X"`�t�4(,+�:B�Y�4(�583��`�;5`:l#;�4@~:'��:<�;�4:?�]+���#>�`{,�`��:?�BC�(��2f U<h?�9Kwdt��Q j�� �G� ��j L F�Jgf L_N F W)U�L_N�PDdeU�L?c<�8U�L��N�L_N<� J S J L F U�c � N F N �Om`n`n��6

���������9_r�"6�;(7���O �_�u�$5u�`+������7��$(,+�1D�,�`34"` �#>��"u�Bqpl¡~¢|B�4:<(6#;34v��� �y�yO"`�;#;�4(�5q�6+!��"�|e£u �:<�;�4:?�/�4(�3��$�;56:e+���#>�6��:B#>�"`}¤#;�4@~:¥�;:<£u �:<(,|g:?�B¦C�(§�9f U?h J�J ^�WXLY��V�Kwd]� Q j��2¨�G� �©j L F&Jgf L_N F W)U�L_N�P!dlU�L?c Jgf>J L_h J U�Lz�ªN�L7NB� J S J L FU&c � N F N �,y,�$5`:?�qm$�6��«�¬`n`n��,�?�6�u�u

�������w1D ¢�� - �)��s­A�b®l 7���$(,+¯ �°12�`�&#;:<3434�)��q�4:<�>�`��¢|��uv��;|<�$(7±²x����4:<�>�`�>|>����|<�$3w���4@~�43��$�>��#�v²��:?�$��|>�³�$345`"`¢�;��#>��@�}X"6�8+���#>�`{,�`��:?�q"$}l34"6(�5=��:?£u �:<(,|B:?�BqC�(´j d ��k9�y,�`5`:?�'�$µ6o�«��`�`¬��,���`�`o�

� m`n����b_�7�\�$(��Y 7�/�_�¶�$·��$56"`y,�$3��`(7�/�7�`(,+�¸8/�w - �4(,+Y¢�;��v$~�¶�`(,+�"`@Z�;�`@~y�34��(�5�#;:?|>��(���£u �:<��}X"`����y,�`|B:b:B¡~¢|B�4:<(6#;"6(�34�4(�:l|g"6@~y� �#>��#;�4"6(!"$}�"`��+�:B�]�&#>�$#;���&#;��|<�/"$}u3��`�;5`:+��$#>�`��:B#>�BbC�(G�9f U?h?��Kwdt��Q j�� ��� �¹j L F&Jgf L_N F WaU�L_N�PdeU�L?cB�wU�Lº�ªN�L_NB� J S J L F U�c � N F N �8y,�$56:<��m`���g«�m`o6m�����`�`��

� m��B� - ���"`34:?���Yv²�`(,+»�´b12�$�> ,��"�¼�\�`(��`5`�4(�5¾½,(,�`(�¢|B���$3'#;�4@~:ª��:<�;�4:?�A+���#>��±´.D{�·&:?|g#�¢a�>:B3��$#;�4"`(,�`3'�`(,+�"6{�¢·&:?|g#�+���#>�`{,�`��:w��v��&#;:<@A�B¶C�(³¿_À/��Á¤Â Ã6Ä�i2�9f U?h J�J ^�WXLY��VU&c=Å?Æ f ^ j L F&J�f L_N F W)U�L_N�P!dlU�L?c Jgf>J L_h J U�L ¿OJgf R À N f � J� N F N Á N?V J V �]�?�`�6��

� m6m��!C�]s­"6y��4���$(�"����$(,+´�!]�,]���43434:B�?=�Y�4@~�43��$�>��#�v��;:<�`�>|>�"��6:<��#;�4@~:\��:<�;�4:?�~+���#>�� ,���4(�5�%'���`:<34:B#>�B�C�(¾j d ��k9�m`n`n6m�

� m`¬���Ç�2�q�$½�:<�)³.8(z�;�4@b�43��`�;��#&v6¢E{,�`�;:<+¥£u �:B�>�4:<�A}X"`�¤#>��@~:��:<�;�4:?�'+���#>��­C�(\j d ��k2��y,�$56:?�2µ,�?n�«uµ��$�u�,���`�`��

� m$µ$��Ç�!�q��½,:<�b�$(,+²x!!��:<(,+�:B34�<"6(_È�Y�4@b�43��`�;��#&vu¢a{,�`�;:<+£u �:<�;�4:?��}I"`�z#;�4@~:³��:<�;�4:?�z+��$#>��ÉCE(Z�9f U?h?��Kwdt�Q j�� ��� �³j L F&Jgf L_N F WaU�L_N�PldlU�L?cB�­U�L���N�L_N<� J S J L F U&c� N F N ��y,�`5`:?�D��¬�«�m`�Y��?�`�Y�u

� m6����Ç���¶�$½,:<�_�$(,+¤x����:<(,+�:<34�B"6(7tp�¡¤|B�4:<(6#2�;:B#;�;�4:<���$3"$}���4@~�43��`�9#;�4@~:!�;:<£u �:<(,|g:?�' ,���4(�5~+Y}�#<lC�(��9f U?h?�7['� � �deU�L?c Jgf>J L_h J�i �~U`� J�i9Ê N>T,N�L �/�?�6�`��

� m`o���®w ¢ - qË� 7��Ç�Dxq56�>��%'�$3)�!�$(,+Ìx�8p¶Dxq{�{,�6+��)©x|B"`@~y,�`�;����"`(�"$}+Y}X#e�$(,+b+�%2#l{,�6��:?+��;�4@b�43��`�;��#&v��;:<�`�>|>��4(\#;�4@~:B¢E�;:B�>�4:<�!+���#>�${,�6��:?�B�C�(G�9f U?h J�J ^�W�LY��V¤U&c FIH�J=ÃFIHªj L F&J�f L_N F W)U�L_N�PDdeU�L�c Jgf>J L_h J U�L j L?cBU f S¤N F W)U�L�N�L_^��L_U��2P J ^B� J �ªN�L_NB� J S J L F)�m$n6n`n�

� mu�?��¸8 ¢�rb­®8�¶�`(,+z1De�,�$34"6 Y#���"6�B¥�,�`�&#~#;�4@~:\��:?£6 �:<(,|B:�4(,+�:B���4(�5ª}X"`�~�$�>{���#>�>�$�>v�34y�(�"6�;@A�B�C�(z�9f U?h J>J ^�W�LY��VU&c=Å�Í FXHGj L F&J�f L_N F W)U�L_N�P!dlU�L?c Jgf>J L_h J U�L ¿Jgf R À N f � J� N F N Á N�V J V �Oy,�$56:<�¶¬6�6�?«�¬`�`µ��Ym$n6n`n�

� m`����¸8 ¢�rb�®8�I�_��_�Y��+��4�;"`y"` �34"6�B�Î��`"6��(,�;"`(7�O�! ��u��¢5u�`+������7�71DO�,�`34"` �#>�;"6�B��$(,+\x�¸9�434�4�;���<8.D(�34�4(�:b+���#>�@~�4(��4(�5´}I"`�¤|B"$¢E:<�`"`34�Y�4(�5ª#;�4@~:ª��:?£6 �:<(,|B:<�<ÏC�(��9f U ¨h J>J ^�W�LY��V¤U�c FXH,JAÐ Í FXH�j L F&Jgf L_N F W)U�L_N�P'deU�L?c Jgf>J L_h J U�L� N F N k LY�$W�L J>Jgf W�LY� �Oy,�$5`:?�8�?¬�«�m`m���m`n`n`n�