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Luiz Medeiros de Araujo Lima FilhoLuiz Medeiros de Araujo Lima FilhoDepartamento de EstatsticaDepartamento de Estatstica

Distribuio AmostralDistribuio Amostral

INTRODUO

A Inferncia Estatstica um conjunto de tcnicas queobjetiva estudar a populao atravs de evidncias fornecidaspor uma amostra.

a amostra que contm os elementos que podem serobservados e, a partir da, quantidades de interesse podemser medidas.

x

A Distribuio Amostral retrata o comportamento de umaestatstica (mdia, proporo, entre outras), casoretirssemos todas as possveis amostras de tamanho nde uma populao.

Uma estatstica uma funo da amostra. Uma amostraconsiste de observaes de uma varivel aleatria. Assim,estatsticas tambm so variveis aleatrias e, por isso,possuem uma distribuio de probabilidade.

x

Considere uma populao de 5 elementos (N = 5): 2, 3, 6, 8 e11. Determine todas as amostras possveis com reposio ecalcule a mdia e a varincia

Soluo: Na populao, temos que =6 e 2=10,8.

DISTRIBUIO AMOSTRAL DA MDIA

Soluo: Na populao, temos que =6 e 2=10,8.

Amostra (2,2) (2,3) (2,6) (2,8) (2,11) (3,2) .... (11,11)

2 2,5 4 5 6,5 2,5 .... 11

0 0,5 8 18 40,5 0,5 .... 0

X2S

Seja X1, X2, ..., Xn uma a.a.s. retirada de uma populao X.Temos que X1, X2, ..., Xn so independentes, com E(Xi) = eVar(Xi) = 2. Assim, se X tem distribuio normal ou n > 30(Teorema Central do Limite), temos que

x

Suponha que podemos extrair todas as amostras de tamanho n(sem reposio) de uma populao finita de tamanho N, neste casotemos que:

X nN nN

= =

e X 1

A quantidade conhecida como o fator de correo amostralpara populao finita, ou simplesmente Fator de Correo.

N nN

1

x

Se o tamanho da populao for muito grande, infinito ou ainda aamostragem for feita com reposio, os resultados acima passam aser:

Obs: Uma populao que tem um limite superior definido chamadade finita. Em estatstica, considera-se como populao finita quando(n/N) > 0,05, ou seja, quando a frao amostral maior do que 5 %.

X n= = e X

para populao finita, ou simplesmente Fator de Correo.

Distribuio Amostral de quando a populao normalX

Distribuio Amostral de quando a populao no normal e amostra suficientemente grande

X

EXEMPLO 1A altura dos estudantes da turma de Estatstica temdistribuio normal com mdia 172 cm e desvio padro 9 cm.Uma amostra de 25 estudantes retirada.a) Qual a probabilidade de que a mdia amostral seja acima

de 175 cm?de 175 cm?b) Qual a probabilidade de que a mdia amostral esteja entre

170 e 176 cm?c) Qual deve ser a altura mdia dos estudantes que permita

que em 90% das vezes a mdia amostral seja inferior a estevalor.

DISTRIBUIO AMOSTRAL DA PROPOROConsidere uma populao em que cada elemento classificado de acordo com a presena ou ausncia dedeterminada caracterstica. Por exemplo, podemos pensar emeleitores escolhendo entre 2 candidatos, pessoasclassificadas de acordo com o sexo, e assim por diante.Vamosclassificadas de acordo com o sexo, e assim por diante.Vamosconsiderar uma populao em que a proporo de indivduoscom uma certa caracterstica p. Logo, podemos definir umav.a. X como

Retira-se uma a.a.s. de tamanho n dessa populao. Sejao nmero de indivduos com a caracterstica de

interesse na amostra, temos que Sn ~ Binomial(n, p).

A varivel aleatria Sn tem distribuio exata dada por uma

=

=

n

iin XS

1

A varivel aleatria Sn tem distribuio exata dada por umabinomial com parmetros n e p. Desta forma, probabilidadesenvolvendo a proporo amostral podem ser calculadas demodo exato usando esta distribuio.

Caso o valor de n seja muito grande, essas probabilidadesdaro algum trabalho para serem calculadas e torna-seconveniente utilizar a aproximao Normal.

A Distribuio Amostral de pode ser aproximadapor uma distribuio normal de probabilidadesempre que o tamanho da amostra for grande.

TEOREMA CENTRAL DO LIMITE

p

Pode-se utilizar essa aproximao se so satisfeitasas seguintes condies:

o np 5

o n(1-p) 5

Sabemos que tem distribuio normal para nsuficientemente grande. Seja , a proporo amostral,temos que:

n

SX n=

Xp =

Obs: conhecido como erro padro da proporo.p

Suponha que podemos extrair todas as amostras detamanho n (sem reposio) de uma populao finita detamanho N, neste caso temos que:

1)1(

==

NnN

n

ppp pp e

x

Se o tamanho da populao for muito grande, infinito ouainda a amostragem for feita com reposio, os resultadosacima passam a ser:

n

pppp)1(

== p e

A quantidade conhecida como o fator de correoamostral para populao finita, ou simplesmente Fator deCorreo.

N nN

1

Com base em dados histricos, uma companhia area estima em15% a taxa de desistncia entre seus clientes, isto , 15% dospassageiros com reserva no aparecem na hora do vo. Paraotimizar a ocupao de suas aeronaves, essa companhia decideaceitar 400 reservas para os vos em aeronaves que comportamapenas 350 passageiros.

Exemplo 2

apenas 350 passageiros.

a) Qual a probabilidade de que essa companhia no tenhaassentos suficientes em um desses vos. Essa probabilidade alta o suficiente para a companhia rever sua poltica de reserva?

x

De acordo com os estudos realizados pela Cagepa, no municpio de JooPessoa, o consumo mensal de gua por residncia tem distribuio normalcom mdia 20 m3 e varincia de 144 m3.

a) Em uma amostra de 36 residncias, qual a probabilidade de que a mdiaamostral no se afaste da verdadeira mdia populacional por mais de 2

Exemplo 3

amostral no se afaste da verdadeira mdia populacional por mais de 2m3?

b) Devida a escassez de gua nos reservatrios, a empresa deseja estipularum consumo mdio de forma que em 95% das vezes o consumo mdioamostral seja inferior a este valor. Qual deve ser o valor estipulado pelaCagepa?

Exemplo 4Com base em dados obtidos em uma pesquisa de mercado,observou-se a aceitao de um determinado sabonete de 70%. Aempresa entrevistou 100 consumidores.

a) Qual deveria ter sido o tamanho da amostra com nvel deconfiana de 95% e um erro amostral de no mximo 3%?confiana de 95% e um erro amostral de no mximo 3%?

b) Qual a probabilidade de que a proporo amostral deaceitao do sabonete esteja entre 65% e 78%?

c) Qual a probabilidade de que sejam encontradas 60 oumais consumidores que tenham aprovado o produto?