Skysčių mechanika – hidrostatikos ir hidrodinamikos elementai

Skysčio judėjimo ir mechaninio poveikio charakteristikos:

1) Skysčio tūris, masė ir tankis.2) Skysčio mechaninio poveikio matas – slėgis.3) Skysčio tekėjimą nusako greičio vektorių laukas.4) Skysčio pernešimas – masės srautas.5) Skysčio energija - kinetinė ir potencinė.6) Skysčio klampa – dinaminis klampos koeficientas.7) Skysčio paviršiaus įtempimas.

Skysčių mechanika arba hidromechanika nagrinėja skysčių judėjimo dėsningumus.

Skysčio, kaip mechaninio objekto, savybės:

1) Skysčiai turi tik apibrėžtą tūrį, tačiau neturi apibrėžtos formos.2) Skysčiai kaip ir kietieji kūnai turi masę.3) Skysčiai veikiami išorinio poveikio pasižymi slėgiu.3) Skystis teka.4) Realūs skysčiai pasižymi vidine trintimi, vadinama klampa.5) Skysčiams būdingas laisvasis paviršius. 6) Skysčių judėjimas ir mechaninis poveikis pasižymi statiniais ir dinaminiais dėsningumais.

Skysčių mechanika

Viena iš svarbiausių skysčio savybių – slėgti sienelės paviršių. Jėga, veikdama skystį, dėl jo takumo persiskirsto per visą skysčio paviršiausveikiamą plotą. Šio poveikio kiekybinė charakteristika vadinama slėgiu.

Slėgis – jėga veikianti paviršiaus ploto vienetą statmena kryptimi.

daleiskim: , iš čia , o

jeigu jėga per visą plotą pasiskirsto tolygiai, tai: iš čia

slėgio matavimo vienetas:

Slėgis yra skaliarinis dydis.

Kai skysčiai slegiami išorine jėga, tai ji į visus skysčio taškus perduodamavienodai. Slėgio nepriklausomumas nuo veikiančios jėgos krypties išreiškiamas

Paskalio dėsniu, kuris teigia, kad nejudančio skysčio kiekviename jo taške slėgisvisomis kryptimis yra vienodas.

Skysčio dinaminis parametras - slėgis

,dS

dFp ,pdSdF ,

S

pdSF

,pSpdSFS

,S

Fp

222

1

1

11

ms

kgm

m

NPa

Skysčių mechanika

Inde esančio skysčio slėgis į dugną išreiškiamas:

Skysčio stulpelį slegia ir atmosferos slėgis, todėl sunkio jėga:

Hidrostatikos elementai – hidrostatinis slėgis

,S

Pp

SpmgP atm

stulpelio skysčio masė: ShVm

Tada slėgis:

ghpS

Pp atm

Kadangi skysčio tankis ir laisvojo kritimo pagreitis duotoje Žemės vietoje pastovūs, slėgis skystyje tiesiog proporcingas gyliui.

ghphs Dydis, vadinamas hidrostatiniu slėgiu.

Skysčių mechanika

Į indą panardintas ritinėlis. Slėgio jėgos, veikiančios į ritinėlio šonus, kompensuos viena kitą.Viršutinį ir apatinį ritinėlio pagrindą veiks hidrostatinė jėga:

Hidrostatikos elementai – Archimedo jėga

Šių jėgų atstojamoji bus lygi jų sumai:

FA vadinama Archimedo keliamoji jėga. Ji nukreipta priešinga laisvojo kritimopagreičio krypčiai.

Archimedo jėgos dydį nusakome dėsniu: į skystį (dujas) panardintą kūną veikiakeliamoji jėga, lygi išstumto skysčio (dujų) sunkiui.

Ritinėlį veikia ir sunkio jėga, nukreipta žemyn. Todėl atstojamoji jėga:

Galimi trys variantai:

Pirmu atveju kūnas plūduriuoja, antru “kybo” skystyje ir trečiu – skęsta.

ShgF 11

ShgF 22

)()( 122121 hhSghhSgFFFA

PFF A

PFirPFPF AAA

,

Skysčių mechanika

Skysčio tekėjimą nusako greičio vektorių laukas:kuris yra būti skysčio dalelės laiko ir padėties funkcija.

Jeigu greičio vektorių laukas laikui bėgant nesikeičia, skysčio tekėjimą vadinamestacionariuoju.

Skysčio tekėjimas vaizduojamas srovės linijomis, kurių liestinių kryptis sutampa su skysčio dalelių tekėjimo greičio vektoriais, o linijų tankis proporcingas skysčio tekėjimo greičio moduliui.

Uždarame paviršiuje tekantis skystis vaizduojamasvadinamame srovės vamzdelyje

Hidrodinamikos elementai – skysčio judėjimas

Skysčio kaip visumos judėjimą, dėl jo lengvos formos kaitos, vadiname tekėjimu.

),( trfv

Skysčių mechanika

Hidrodinamikos elementai – tolydumo lygtis

Tekant skysčiui erdvėje iš vienos vietos į kitą pernešamamedžiaga.Medžiagos pernešimui apibūdinti vartojama masės srauto sąvoka.

Masės srautas – fizikinis dydis, kurio skaitinė vertė lygi per įsivaizduojamopaviršiaus plotą ir per laiko vienetą perneštai masei:

dtvSddm

tada elementarus srautas: ,pilnas:vSddt

dmd m

S

m vSd

Pritaikykime masės srauto skaičiavimą pro uždarą paviršių. Tam reikia integruotmasės srautą per visą uždarą paviršių. Įtekančio skysčio srautas yra neigiamas, oIštekančio teigiamas. Stacionariai tekant skysčiui, uždaro paviršiaus ribojamametūryje skysčio masė nekinta. T.y. Masės srautas pro uždarą paviršių lygus nuliui.

SS

m vSdvSd 0

kadangi: , const S

vSd 0

Kadangi per srovės vamzdelio šonines sieneles masė nepernešama, tai:

02211 SvSv arba: , o tai reiškia, kad:

2211 SvSv .constSv

- Tolydumo lygtis

Skysčių mechanika

Hidrodinamikos elementai – Bernulio lygtis

Skysčio tūris vamzdelio dalyje BCDE pasislenka įB1C1D1E1. Tūriai V1=V2= V.

Tūryje B1C1DE mechaninė energija nesikeičia.Todėl pasislinkus iš BCDE į B1C1D1E1 bendras energijos pasikeitimas yra lygus V1 ir V2 tūriuoseesančio skysčio mechaninės energijos skirtumui.

Kinetinės energijos 1 ir 2 padėtyje skirtumui:

Potencinės energijos 1 ir 2 padėtyje skirtumui:

Pilnas energijos pokytis:

,22

21

211

1

VvvmWk

ir ,

22

22

222

2

VvvmWk

111 VhgmghWp ir 222 VhgmghWp

)()( 112212 pkpk WWWWWWW

Skysčių mechanika

Hidrodinamikos elementai – Bernulio lygtis

Pilnutinės mechaninės energijos pokytis:

1

21

2

22

22Vhg

VvVhg

VvW

Pagal energijos tvermės dėsnį bendras sistemos mechaninės energijos pokytis yralygus išorinių nepotencialinių jėgų atliktam darbui:

222111 SpFirSpF kadangi jėgos F2 kryptis yra priešinga judėjimui, ji atlieka neigiamą darbą. Tada darbai yra:

VpsSpsFA 1111111 ir , o suma:

VpsSpsFA 2222222

WVpVpAAA 2121 įstatę gauname:

VpVhgVv

VpVhgVv

22

22

11

21

22

ir

22

22

11

21

22pgh

vpgh

v

.2

2

constpghv

Skysčių mechanika

Hidrodinamikos elementai – Bernulio lygtis

Bernulio lygtis bendram atvejui.Jeigu vamzdelis yra horizontalioje padėtyje:

1 narys vadinamas dinaminiu slėgiu, 2 hidrostatiniu, 3 statiniu slėgiu.

Statinis slėgis yra skysčio slėgis į sienelės paviršių.

Tekant skysčiui vamzdžiu, susiaurėjimo vietoje jogreitis padidėja, padidėja ir dinaminis slėgis, tačiau pagal lygtį matyti, kad statinis slėgis turi sumažėti:

Parinkus atitinkamus matmenis ir išorinį slėgį, statinis slėgis gali pasidarytimažesnis už atmosferinį.

.2

2

constpghv

.2

2

constpv

Skysčių mechanika

Bernulio lygtis – Ištekančio skysčio greitis

Ištekant skysčiui, jis teka visame inde. Tekančiame skystyje išskiriame „srovės vamzdelį” (jis pavaizduotas punktyrine linija).

Skysčio paviršiuje visų dalelių greičiai v0 vienodi ir nukreipti žemyn.

Išoriniai slėgiai, veikiantys laisvą paviršių ir ištekantį skystį kiaurymėje, yravienodi ir lygūs p0.

Bernulio lygtis šiai sistemai bus:

Tačiau, kadangi:

Iš Bernulio lygties ištekėjimo greitis yra: Toričelio formulė

0

2

00

20

22pgh

vpgh

v

0vv)(2 0 hhgv

Iš Toričelio formulės matosi, ištekančio skysčio pro mažą angą greitis priklausotik nuo aukščių skirtumo, nepriklauso nuo tekėjimo krypties ir yra lygus laisvai krentančio iš h0-h aukščio kūno greičiui.

Skysčių mechanika

Tekančio skysčio reakcijos jėga

Reakcijos jėgos aprašymas paremtas skysčio judesio kiekio tvermės dėsniu: išorinių jėgų, veikiančiųtekančio skysčio daleles išskirtame tūryje, suma yra lygi tame tūryje esančio skysčio judesio kiekio kitimo greičiui.

Į uždarą paviršių įtekantis arba iš jo ištekantis masės srautas:

Masės srautas yra skysčio masė, pratekėjusi plotą, per laiko vienetą:Padauginus jį iš greičio, gausime iš tūrio ištekančio ir įtekančio skysčio impulsus:

Ištekančio ir įtekančio į uždarą tūrį pilnų impulsų skirtumas yra lygus uždarą tūrįveikiančių jėgų atstojamajai:

FpvSdvvSvdppSS

1111 coscos

Skysčių mechanika

Tekančio skysčio reakcijos jėga

Atstumas nuo kiaurymės iki skysčio paviršiaus h. Kai indas platus, o anga maža,pagal Bernulio lygtį skysčio tėkmės per kiaurymę greitis:

, o:

Pagal III Niutono dėsnį į čiaupą veikianti reakcijos jėga R bus priešinga skysčiotekėjimo krypčiai ir atliks darbą.

Ši jėga vadinama reaktyviąja jėga.

FR

Kai angos skerspjūvio plotas S0, tai per sekundę ištekančio skysčio judesio kiekio pokytis:

Skysčių mechanika

Tekančio skysčio reakcijos jėga

Impulsas yra vektorinis dydis. Kai į tūrio elementą įtekančio ir ištekančio skysčioimpulsai yra skirtingų krypčių, tai reiškia, kad impulsas kinta ir jo kitimas sukelia reakcijos jėgą.

Per skerspjūvį S į čiaupą įtekančio skysčio per vieną sekundę impulsas yra:

Per sekundę iš čiaupo ištekančio skysčio impulso pB vektoriaus kryptis sutampa su vB ir yra statmenas pA. Šių dviejų vektorių skirtumas yra lygus išorinių jėgų atstojamajai – F.

Skaliariškai:

Pagal III Niutono dėsnį į čiaupą veikianti reakcijos jėga R bus priešingos krypties ir eis per judesio kiekių krypties linijų susikirtimo tašką O.

FR

Skysčių mechanika

Skysčių vidinė trintis

Realūs skysčiai pasižymi klampa, dar vadinamavidine trintimi.

Vidinė trintis susidaro tarp tos pačios medžiagos sluoksnių, judančių skirtingais greičiais.

Vidinės trinties jėgos modulis yra proporcingassluoksnių greičio gradiento modulio ir sluoksniųlietimosi ploto sandaugai:

-vadinamas dinaminės klampos koeficientu. Jis skaitine verte lygus vidinės trinties jėgai, veikiančiai tarp skysčio sluoksnių, kurių lietimosi plotas lygus vienam kvadratiniam metrui, kai greičio gradientas lygus sekundei minus pirmuoju laipsniu.

– priklauso nuo skysčio prigimties ir temperatūros.

F

Sdz

vdF

Skysčių mechanika

Magnuso reiškinys

Skysčių mechanika

Skysčių tekėjimo tipai

Jeigu tekantį skystį galima suskirstyti į vienas kito atžvilgiu judančius ir tarpusavy nesimaišančius sluoksnius, tokį tekėjimą vadiname laminariniu.

Jeigu tekant skysčiui susidaro sūkuriai ir jis susimaišo, tokį tekėjimą vadiname turbulentiniu.

Tekėjimo pobūdis priklauso nuo nedimensinio dydžio,vadinamo Reinoldso skaičiumi:

Skiriamasis Reinoldso skaičius, skiriantis laminarinį tekėjimą nuo turbulentinio,vadinama kriziniu Reinoldso skaičiumi.

Jis priklauso nuo vamzdžio formos, sienelių šiurkštumo, sutiktų kliūčių formos.

vl

Re

Skysčių mechanika

Klampaus skysčio tekėjimas apvaliu vamzdžiu

Išskirkime vamzdyje, kuriame stacionariai teka skystis įsivaizduojamo cilindro tūrį. Stacionarumo sąlyga tūryje yra:

rldr

dvrpp 2)( 2

21 Kadangi greitis mažėja nuo centro:dr

dv

dr

dv

pertvarkius:

l

rpp

dr

dv

2

)( 21

rdrl

ppdv

2

)( 21

tada greitis: suintegravus:

Crl

ppdrr

l

ppv

r

221

0

21

4

)(

2

)(

konstantą parenkame pagal sąlygą:

0Rrv iš to:

221

4

)(R

l

ppC

tada greitis: )1(4

)()(

4

)()(

2

22212221

R

rR

l

pprR

l

pprv

Skysčių mechanika

Klampaus skysčio tekėjimas apvaliu vamzdžiu

Skysčio greitis vamzdžio centre:

221

4

)()0( R

l

ppv

)1(4

)()(

4

)()(

2

22212221

R

rR

l

pprR

l

pprv

)1()(2

2

0 R

rvrv

Kad gauti pilną srautą, pratekėjusį per skerspjūvio plotą reikia integruoti greitįper visą plotą:

002

02

2

0 2

1

2

12)1(2)( SvvRrdr

R

rrdrrvQ

RR

Įstačius v0 į prieš tai išraišką, gauname:

l

RppQ

8

)( 421

Įstačius v0 į pradinę išraišką, gauname:

tai per vamzdžio skerspjūvio plotą per vieną sekundępratekėjusio skysčio kiekis (debitas).Vadinama Puazeilio formulė.

Skysčių mechanika

Skysčio paviršiaus įtempis.

Skysčio viduje esančias molekules veikia jėgos iš visų pusių, todėl jos kompensuoja viena kitą.

Skysčio paviršiuje esančias molekules veikia nekompensuotos sąveikos jėgos.Jos yra nukreiptos į skysčio vidų ir paviršiaus liestinės kryptimi siekdamossumažinti paviršiaus plotą.

Šios jėgos vadinamos paviršinės įtempties jėgomis.

Dėl nekompensuotų jėgų (potencialinių jėgų) veikimo paviršinės molekulės turipadidintą potencinės energijos kiekį.

- vadinamas paviršinės įtempties koeficientu, yra lygus laisvojo paviršiaus 1 m2 potencinei energijai. Arba lygus jėgai, veikiančiai skysčio paviršių ribojančio kontūro ilgio vienetą

Skysčių mechanika

Skysčio paviršiaus įtempis.

Pažymėkim jėgą, veikiančią kontūro ilgio vienetą .

Pilna jėga:

Sakykime kontūro viena pusė pasislinko dydžiu atlikdama paviršiauspadidinimo darbą:

Tada pilnas darbas ištempiant paviršių per visą plotą.Kadangi paviršinės įtempties jėgos yra potencialinės, tai darbas, atliktasįveikiant potencialines jėgas yra lygus potencinės energijos pokyčiui:

dSldxdA 2

lF 2

dx

SWp

SdSAS

21 pp WWSA Jeigu prieš tai paviršiaus nebuvo: SWW pp ,02

Laisvojo paviršiaus potencinė energija yra lygi darbui, kurį reikiaatlikti, kad sukurti S ploto paviršių.

Skysčių mechanika

Menisko susidarymas

Priklausomai su kokiu kitu paviršiumi liečiasi skystis, galimi to susilietimoskirtingi variantai.

Dėl vidinių tarpmolekulinių sąveikos jėgų skirtingų paviršių sąveikos energija galibūti teigiama, neigiama arba lygi nuliui.

Tai lemia reiškinį, vadinamą drėkinimu. Jis vyksta, kai sąveikos energija yrateigiama.

Priklausomai nuo energijos ženklo skiriamos hidrofilinė ir hidrofobinė sąveika.

Abiem atvejais paviršius susilietimo riboje yra iškreivinamas – šis iškreivinimasvadinamas menisku.

Skysčių mechanika

Kapiliariniai reiškiniai

Paviršiaus laisvoji energijavisada siekia minimizuotis.

T.y. sumažinti iki minimumoplotą.

Paviršiaus iškreivinimas sukelia papildomą slėgį, kurio ženklas priklauso nuo drėkinimo ar nedrėkinimo.

Paviršinis papildomas slėgis išreiškiamas Laplaso lygtimi:

21

11

RRp

Jeigu skystis kapiliare pakyla iki aukščio h, o nusileidžia.

Kadangi kylant skysčiui susidaro hidrostatinis slėgis, nukreiptas priešinga kryptimi.Jis sustos, kai nusistovės pusiausvyra:

0p 0p

Rgh

2 tada pakilimo aukštis bus lygus:

gRh

2