Upload
others
View
12
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
SKEMA BEDA HINGGA TAK STANDAR UNTUK
PERSAMAAN KORTEWEG DE VRIES YANG
DIMODIFIKASI
SKRIPSI
Oleh
WAHYU HANDAYANI
155090400111002
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
MALANG
2018
SKEMA BEDA HINGGA TAK STANDAR UNTUK
PERSAMAAN KORTEWEG DE VRIES YANG
DIMODIFIKASI
SKRIPSI
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Matematika
Oleh
WAHYU HANDAYANI
155090400111002
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
MALANG
2018 A
iii
LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI
SKEMA BEDA HINGGA TAK STANDAR UNTUK
PERSAMAAN KORTEWEG DE VRIES YANG
DIMODIFIKASI
oleh:
Wahyu Handayani
155090400111002
Setelah dipertahankan di depan majelis penguji
pada tanggal 28 Desember 2018
dan dinyatakan memenuhi syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Matematika
Pembimbing
Prof. Dr. Agus Suryanto., M.Sc.
NIP. 196908071994121001
Mengetahui,
Ketua Jurusan Matematika
Fakultas MIPA Universitas Brawijaya
Ratno Bagus Edy Wibowo, S.Si., M.Si., Ph.D.
NIP. 197509082000031003
v
LEMBAR PERNYATAAN
Saya yang bertanda tangan di bawah ini:
Nama : Wahyu Handayani
NIM : 155090400111002
Jurusan : Matematika
Penulis Skripsi berjudul : Skema Beda Hingga Tak Standar
untuk Persamaan Korteweg de
Vries yang Dimodifikasi
dengan ini menyatakan bahwa:
1. Isi skripsi yang saya buat adalah hasil dari pemikiran saya,
bukan hasil menjiplak dari tulisan orang lain. Rujukan-
rujukan yang tercantum pada Daftar Pustaka hanya
digunakan sebagai acuan. 2. Apabila di kemudian hari skripsi yang saya tulis terbukti
hasil jiplakan, maka saya bersedia menanggung segala
resiko akibat dari keadaan tersebut.
Demikian pernyataan ini dibuat dengan segala kesadaran.
Malang, 28 Desember 2018
yang menyatakan,
Wahyu Handayani
NIM. 155090400111002
vii
SKEMA BEDA HINGGA TAK STANDAR UNTUK
PERSAMAAN KORTEWEG DE VRIES YANG
DIMODIFIKASI
ABSTRAK
Persamaan Korteweg de Vries yang dimodifikasi (mKdV) merupakan
salah satu persamaan diferensial parsial nonlinear yang
menggambarkan fenomena perambatan gelombang air. Pada Skripsi
ini dibahas penentuan solusi numerik persamaan mKdV menggunakan
skema beda hingga standar dan tak standar dengan metode theta.
Langkah pertama, dikonstruksi skema beda hingga standar dan tak
standar. Selanjutnya, ditentukan sifat kestabilan, kesalahan
pemotongan, dan kekonvergenan skema beda hingga tak standar.
Keakuratan skema beda hingga standar dan tak standar terhadap solusi
eksak diuji melalui simulasi numerik menggunakan ukuran langkah
yang berbeda-beda. Dengan melakukan simulasi numerik
menggunakan ukuran langkah tertentu, dapat ditunjukkan skema beda
hingga tak standar lebih akurat dibandingkan skema beda hingga
standar untuk ukuran langkah yang besar.
Kata Kunci: persamaan Korteweg de Vries yang dimodifikasi
(mKdV), skema beda hingga tak standar, metode theta.
ix
NONSTANDARD FINITE DIFFERENCE SCHEME FOR
MODIFIED KORTEWEG DE VRIES EQUATION
ABSTRACT
Modified Korteweg de Vries equation is one of nonlinear partial
differential equations which describes water wave propagation
phenomena. In this final project, numerical solution of mKdV
equation is determined using standard and nonstandard finite
difference with theta method. First, we construct the standard finite
and nonstandard finite difference scheme. Furthermore, stability
conditions, truncation error, and convergence of nonstandard finite
difference scheme are determined. The accuracy of the standard and
nonstandard finite difference scheme are compared with the exact
solution through numerical simulation using different step sizes. It can
be shown from numerical simulations that nonstandard finite
difference scheme is more accurate than standard finite difference
scheme for large step sizes.
Keywords: modified Korteweg de Vries equation, nonstandard finite
difference scheme, theta method.
xi
KATA PENGANTAR
Puji syukur ke hadirat Allah SWT atas segala rahmat, karunia,
serta taufik dan hidayahNya, sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi yang berjudul Skema Beda Hingga Tak Standar untuk
Persamaan Korteweg De Vries yang Dimodifikasi dengan baik
meskipun banyak kekurangan di dalamnya.
Skripsi ini tidak dapat diselesaikan dengan baik tanpa
bantuan, bimbingan, dan motivasi dari berbagai pihak. Oleh karena
itu, penulis menyampaikan terimakasih kepada
1. Prof. Dr. Agus Suryanto, M.Sc selaku dosen pembimbing skripsi
atas segala bimbingan, saran, dan ilmu yang diberikan kepada
penulis untuk menyelesaikan skripsi ini.
2. Nur Shofianah, S.Si., M.Si., Ph.D dan Dr. Isnani Darti, S.Si.,
M.Si selaku dosen penguji atas segala saran yang diberikan untuk
perbaikan skripsi ini.
3. Nur Shofianah, S.Si., M.Si., Ph.D selaku dosen pembimbing
akademik atas arahan dan dukungan selama penulis menempuh
pendidikan S1 Program Studi Matematika di Universitas
Brawijaya.
4. Ratno Bagus Edy Wibowo, S.Si., M.Si., Ph.D. selaku Ketua
Jurusan Matematika, Dr. Isnani Darti, S.Si., M.Si. selaku Ketua
Program Studi Matematika, Bapak dan Ibu Dosen Jurusan
Matematika atas segala bantuan yang telah diberikan.
5. Ayah (Hari Pantoko), Ibu (Yunani), adik (Dewi Isnaini Febrianti
Mandiri) dan seluruh keluarga tercinta yang selalu mendoakan,
menguatkan, dan memberi dukungan kepada penulis dalam
menyelesaikan skripsi ini.
6. Indira Kumaralalita, Cholida Usi Wardani, Rahilah, Rizka Abid
Fadhiilah, Rifka Anisa, dan Wahyu Khumairoh atas saran dan
motivasi dalam penulisan skripsi ini.
7. Keluarga Besar Matematika 2015 atas kebersamaan selama
menikmati proses perkuliahan.
8. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini masih
banyak kekurangan. Oleh karena itu, kritik dan saran yang
membangun sangat penulis harapkan. Kritik dan saran dapat dikirim
xii
melalui email [email protected] untuk perbaikan
dimasa yang akan datang. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi
semua pihak yang membutuhkan.
Malang, 28 Desember 2018
Penulis
xiii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN SAMPUL ....................................................................... i
LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI ............................................... iii
LEMBAR PERNYATAAN ............................................................... v
ABSTRAK ....................................................................................... vii
ABSTRACT ...................................................................................... ix
KATA PENGANTAR ...................................................................... xi
DAFTAR ISI ................................................................................... xiii
DAFTAR GAMBAR ....................................................................... xv
DAFTAR TABEL .......................................................................... xvii
DAFTAR LAMPIRAN ................................................................... xix
BAB I PENDAHULUAN .................................................................. 1
1.1 Latar Belakang ................................................................. 1
1.2 Rumusan Masalah ............................................................ 2
1.3 Tujuan............................................................................... 3
BAB II DASAR TEORI ..................................................................... 5
2.1 Persamaan Diferensial ...................................................... 5
2.1.1 Persamaan Diferensial Biasa ............................... 5
2.1.2 Persamaan Diferensial Parsial ............................. 6
2.2 Deret Taylor ..................................................................... 7
2.3 Diskretisasi Domain ......................................................... 8
2.4 Metode Beda Hingga ........................................................ 9
2.4.1 Metode Beda Hingga Standar .............................. 9
2.4.2 Metode Beda Hingga Tak Standar ..................... 12
2.5 Analisis Kestabilan von Neumann ................................. 14
2.6 Konsistensi ..................................................................... 15
2.7 Konvergensi ................................................................... 15
2.8 Persamaan KdV dan Modifikasi KdV ............................ 15
2.9 Solusi Analitik Persamaan mKdV .................................. 17
BAB III PEMBAHASAN ................................................................ 21
3.1 Penurunan Skema Numerik ............................................ 21
3.2 Analisis Kestabilan Skema Theta Tak Standar .............. 29
3.3 Kesalahan Pemotongan dan Kekonvergenan Skema Tta
Tak Standar ............................................................................... 31 Theta Tak Standar ..........................................................
xiv
3.4 Simulasi Numerik ........................................................... 35
BAB IV PENUTUP .......................................................................... 41
4.1 Kesimpulan ..................................................................... 41
4.2 Saran ............................................................................... 41
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................... 43
LAMPIRAN ..................................................................................... 47
xv
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 Diskretisasi domain 𝑥 .............................................. 8
Gambar 2.2 Diskretisasi domain (𝑥, 𝑡) ....................................... 9
Gambar 2.3 Penjalaran gelombang pada posisi 𝑥........................ 16
Gambar 3.1
Gambar 3.2
Gambar 3.3
Gambar 3.4
Solusi eksak dan NSFD dengan parameter 𝑞 = 0.3
dan 𝑟 = −0.05 serta ∆𝑥 = 0.5 dan ∆𝑡 = 0.001
pada domain −15 ≤ 𝑥 ≤ 15 dan 0 ≤ 𝑡 ≤ 1:
(a) Solusi eksak; (b) NSFD saat 𝜃 = 0; (c) NSFD
saat 𝜃 = 1/2; (d) NSFD saat 𝜃 = 1
Absolut error NSFD dan NSFD untuk 𝑞 = 0.3, 𝑟 = −0.05 dengan 𝜃 = 0 dan ∆𝑡 = 0.01: (a) SFD
dengan ∆𝑥 = 2; (b) NSFD dengan ∆𝑥 = 2; (c) SFD
dengan ∆𝑥 = 0.5; (d) NSFD dengan ∆𝑥 = 0.5
Absolut error NSFD dan SFD untuk 𝑞 = 0.3, 𝑟 = −0.05 dengan 𝜃 = 1/2 dan ∆𝑡 = 0.01: (a) SFD
dengan ∆𝑥 = 2; (b) NSFD dengan ∆𝑥 = 2; (c) SFD
dengan ∆𝑥 = 0.5; (d) NSFD dengan ∆𝑥 = 0.5
Absolut error NSFD dan SFD untuk 𝑞 = 0.3, 𝑟 = −0.05 dengan 𝜃 = 1 dan ∆𝑡 = 0.01: (a) SFD
dengan ∆𝑥 = 2; (b) NSFD dengan ∆𝑥 = 2; (c) SFD
dengan ∆𝑥 = 0.5; (d) NSFD dengan ∆𝑥 = 0.5
........................ 35
........ 36
......... 37
......... 37
Gambar 3.1
Gambar 3.2
Gambar 3.3
Gambar 3.4
xvii
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 3.1 Nilai error maksimum ketika ∆x = 2 dan ∆x = 0.5 pada
saat T = 1 ....................................................................... 38
Tabel 3.2 Absolut error SFD dan NSFD saat (x, t) yang berbeda
-beda dengan ∆𝑥=2 dan ∆𝑡=0.01 ..................................... 39
Tabel 3.3 Nilai error maksimum pada saat T yang berbeda-beda
dengan ∆𝑥=2 dan ∆𝑡=0.01 ............................................... 40
xix
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Lampiran 1 Fungsi Denominator Φ dalam Skema Beda Hingga
Tak Standar.................................................................. 47
Lampiran 2 Fungsi Deniminator Φ dengan 𝜃 = 0.......................... 49
Lampiran 3 Fungsi Deniminator Φ dengan 𝜃 = 1/2...................... 55
Lampiran 4 Fungsi Deniminator Φ dengan 𝜃 = 1.......................... 61
Lampiran 5 Faktor Amplifikasi Pada Skema Theta Tak Standar.... 66
Lampiran 6 Program Simulasi Numerik Skema Theta Standar dan
Tak Standar.................................................................. 69
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Gelombang merupakan salah satu bahasan yang banyak
dipelajari di bidang fisika yang dituliskan dalam model persamaan
gelombang. Model persamaan gelombang banyak membantu peneliti
mengatasi berbagai masalah. Sebagai contoh, Kurtze dan Hong (1995)
menggunakan persamaan gelombang Korteweg de Vries untuk
memodelkan kemacetan lalu lintas. Ginting dan Riyanto (2013)
menggunakan persamaan gelombang air dangkal untuk simulasi
propagasi aliran banjir akibat keruntuhan bendungan sebagai upaya
untuk mitigasi bencana banjir yang mereka khususkan pada studi
kasus tertentu. Jamhuri (2014) menggunakan persamaan gelombang
air dangkal dalam simulasi perambatan gelombang tsunami.
Salah satu persamaan gelombang yang sering dijumpai dalam
fenomena fisika adalah persamaan Korteweg de Vries (KdV).
Persamaan KdV diperkenalkan pertama kali oleh Korteweg dan de
Vries pada tahun 1895 yang mendeskripsikan tentang perambatan
gelombang soliter pada permukaan air dangkal (Allen, 1997).
Persamaan KdV dituliskan sebagai berikut
𝑢𝑡 + 𝑞𝑢𝑢𝑥 + 𝑟𝑢𝑥𝑥𝑥 = 0. (1.1)
Seiring berjalannya waktu, para peneliti menganalisis
persamaan KdV dalam model persamaan gelombang berikut
𝑢𝑡 + 𝑞𝑢2𝑢𝑥 + 𝑟𝑢𝑥𝑥𝑥 = 0. (1.2)
Persamaan (1.2) merupakan modifikasi persamaan KdV (1.1) atau
sering disebut mKdV. Banyak peneliti menganalisis solusi analitik
maupun solusi pendekatan secara numerik, karena persamaan mKdV
memainkan peranan penting dalam studi fisika nonlinear seperti fisika
fluida.
Salah satu metode yang dapat digunakan untuk membantu
menyelesaikan masalah persamaan diferensial biasa dan parsial secara
numerik adalah metode beda hingga tak standar. Skema beda hingga
tak standar telah terbukti menjadi salah satu pendekatan yang paling
efisien jika dibandingkan dengan skema beda hingga standar (Koroglu
dan Aydin, 2017). Penelitian tentang skema beda hingga tak standar
2
telah banyak dilakukan. Mickens (2003) menggunakan metode beda
hingga tak standar pada sistem Lotka-Volterra, ia menunjukkan bahwa
konstruksi skema beda hingga tak standar, konsisten terhadap
persamaan diferensial. Erdogan dan Ozis (2011) menggunakan skema
beda hingga tak standar untuk masalah kondisi batas nonlinear orde
dua. Hasil simulasi numerik mereka menunjukkan bahwa skema beda
hingga tak standar memberikan hasil yang lebih akurat ketika
dibandingkan dengan metode beda hingga standar. Hasil yang serupa
juga diperoleh Khalsaraei dan Khodadosti (2014) pada penelitian
skema beda hingga tak standar yang diterapkan pada persamaan
diferensial biasa dan parsial seperti model Predator-Prey dan
persamaan panas. Zhang, dkk. (2014) menggunakan skema beda
hingga eksak dan skema beda hingga tak standar untuk persamaan
Burgers dan Burgers-Fisher. Berdasarkan hasil simulasi numerik, nilai
error maksimum skema beda hingga tak standar lebih kecil
dibandingkan dengan nilai error maksimum pada metode
dekomposisi adomain.
Oleh karena itu, pada skripsi ini dikaji dan dianalisis kembali
tentang persamaan mKdV menggunakan skema beda hingga tak
standar dengan metode theta (Koroglu dan Aydin, 2017). Selanjutnya,
ditentukan orde kesalahan dari skema beda hingga tak standar dan
menganalisis kestabilan persamaan mKdV yang dilinearisasi. Pada
bagian akhir dibandingkan hasil simulasi numerik skema beda hingga
standar dan tak standar dengan solusi analitik persamaan mKdV.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian latar belakang, rumusan masalah yang
dibahas pada skripsi ini adalah sebagai berikut:
1. Bagaimana penurunan skema beda hingga standar dan tak
standar persamaan mKdV?
2. Bagaimana kestabilan skema beda hingga tak standar
persamaan mKdV?
3. Bagaimana kesalahan pemotongan dan kekonvergenan skema
beda hingga tak standar persamaan mKdV?
4. Bagaimana simulasi numerik skema beda hingga standar dan
tak standar persamaan mKdV?
5.
3
1.3 Tujuan
Berdasarkan rumusan masalah, tujuan penulisan skripsi ini
adalah:
1. Mengonstruksi skema beda hingga standar dan tak standar
persamaan mKdV.
2. Menentukan sifat kestabilan skema beda hingga tak standar
persamaan mKdV.
3. Menentukan kesalahan pemotongan dan kekonvergenan skema
beda hingga tak standar persamaan mKdV.
4. Membandingkan simulasi numerik skema beda hingga standar
dengan tak standar persamaan mKdV.
43
DAFTAR PUSTAKA
Allen, J. E. 1998. The Early History of Solitons (Solitary Waves).
Physica Scripta. Vol 57. Hal 436-441.
Bekir, A. 2009. On Traveling Wave Solutions to Combined KdV-
mKdV Equations and Modified Burgers-KdV Equations.
Communications in Nonlinear Science Numerical Simulation.
Vol 14. Hal 1038-1042.
Chapra, S. C. dan Canale, R. P. 2006. Numerical Methods for
Engineers, Fifth Edition. The McGraw-Hill Companies, Inc.
New York.
Debnath, L. 2005. Nonlinear Partial Differential Equations for
Scientists and Engineers Second Edition. Birkhvuser. Boston.
Erdogan, U. dan Ozis, T. 2011. A Smart Nonstandard Finite
Difference Scheme for Second Order Nonlinear Boundary
Value Problems. Journal of Computational Physics. Vol 230.
Hal 6464-6474.
Faires, J. D. dan Burden, R. L. 2002. Numerical Methods Third
Edition. Brooks Cole. Pacific Grove.
Finizio, N. dan Ladas, G. 1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan
Penerapan Modern Edisi Kedua. Erlangga. Jakarta.
Ginting, B. M dan Riyanto, B. A. 2013. Penerapan dan
Pengembangan Metode Volume Hingga untuk Pemodelan
Propagasi Aliran Banjir Akibat Keruntuhan Bendungan
Sebagai Salah Satu Upaya Dalam Mitigasi Bencana Studi
Kasus Situ Gintung [Laporan Akhir Penelitian]. Lembaga
Penelitian dan Pengabdian kepada Masyarakat, Universitas
Katolik Parahyangan. Bandung.
Holmes, M. H. 2007. Introduction to Numerical Methods in
Differential Equations. Springer. New York.
Jamhuri, M. 2014. Simulasi Perambatan Tsunami menggunakan
Persamaan Gelombang Air Dangkal [Laporan Akhir Penelitian
Penguatan Program Studi]. Fakultas Sains dan Teknologi,
Universitas Islam Negeri (UIN) Maliki. Malang.
44
Khalsaraei, M. M. dan Khodadosti, A. F. 2014. Nonstandard Finite
Difference Schemes for Differential Equations. Sahand
Communications in Mathematical Analysis (SCMA). Vol 1. No
2. Hal 47-54.
Konangi, S., Palakhurti, N. K., dan Ghia, U. 2017. Von Neumann
Stability Analysis of First-Order Accurate Discretization
Schemes for One-Dimensional (1D) and Two-Dimensional
(2D) Fluid Flow Equations. Computers and Mathematics with
Applications. Vol 75. Hal 643-665.
Koroglu, C. dan Aydin, A. 2017. An Unconventional Finite Difference
Scheme for Modified Korteweg-De Vries Equations. Advances
in Mathematical Physics. Vol 2017. Hal 1-9.
Kurtze, D. A dan Hong, D. C. 1995. Trafic Jams, Granular Flow, and
Soliton Selection. Physical Review E. Vol 52. Hal 218-221.
Lapidus, L. dan G. F. Pinder. 1999. Numerical Solution of Partial
Differential Equations in Science and Engineering. John Wiley
& Sons, Inc. New York.
Mickens, R. E. 1999. Applications of Nonstandard Finite Difference
Schemes. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. Singapore.
Mickens, R. E. 2003. A Nonstandard Finite-Difference Scheme for
The Lotka-Volterra System. Applied Numerical Mathematics.
Vol 45. Hal 309-314.
Mickens, R. E. 2005. Advances in the Applications of Nonstandard
Finite Difference Schemes. World Scientific Publishing Co. Pte.
Ltd. Singapore.
Nettel, S. 2009. Wave Physics Oscillations-Solitons-Chaos Fourth
Edition. Springer. Berlin.
Schvfer, M. 2006. Computational Engineering-Introduction to
Numerical Methods. Springer. Germany.
Suryanto, A. 2017. Metode Numerik untuk Persamaan Diferensial
Biasa dan Aplikasinya dengan Matlab. Universitas Negeri
Malang. Malang.
45
Wazwaz, A. M. 2009. Partial Differential Equations and Solitary
Waves Theory. Springer. Beijing.
Zhang, L., Wang, L., dan Ding, X. 2014. Exact Finite
Difference Scheme and Nonstandard Finite Difference Scheme for
Burgers and Burgers-Fisher Equations. Journal of Applied
Mathematics. Vol 2014. Hal 1-14.