E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 1

SISTEMI DISCRETI LINEARI[Cap. 3]

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 2

Esempi di segnali discreti (sequenze)

[ ]⎩⎨⎧

≠=

=0 00 1

nn

nδ impulso unitario(o sequenza campione)

Alcuni esempi di segnali discreti

Per semplicità : x[n] = x(nT), T passo di campionamento costante

0 1 2 n

[ ]nδ

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 3

[ ]⎩⎨⎧

<≥

=0 00 1

nn

nu sequenza gradino

[ ]∑+∞

=

−=0k

knδ

0 1 2 n

u[n]

La sequenza

ha un numero finito (N) di campioni non nulli (sequenza di durata finita)

[ ] [ ] [ ]Nnununx −−=

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 4

[ ] nang = sequenza geometrica

0 1 2 3 n

… …reale , 1 aa <

Caso particolare:

2 Fjea π= esponenziale complesso alla frequenza normalizzata F

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 5

Segnale periodico (periodo L ) :

[ ] [ ] minimo il e LnLnxnx ∀+=

Da notare che un segnale continuo periodico di periodo P non necessariamente generaun segnale digitale con periodo L=P/T !!

EsempioUna sinusoide a frequenza 30Hz campionata a 90Hz ha un periodo L=3=P/T.Campionata a 91Hz ha un periodo L=91.Campionata a 92Hz ha un periodo L=46.Che periodo ha se campionata a 70Hz?

Per esempio è periodica di periodo L se F=i/L (interi primi) [ ] Fnnx π2cos=

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 6

In generale, per un qualunque segnale x[n], si può scrivere:

[ ] [ ] [ ]∑+∞

−∞=

−=k

knkxnx δ

Interpretabile come la combinazione lineare di impulsi unitari traslati pesati da coefficienti costanti

[ ]kn −δ[ ]kx

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 7

Sistemadiscreto

[ ]nx [ ] [ ]{ }nxTrny =

[ ] [ ],2 nxny = s.d. non lineare senza memoria

[ ] [ ] [ ],123 −+= nxnxny s.d. non lineare con memoria (finita)

Esempi di sistemi discreti (s.d.)

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 8

[ ] [ ] [ ]

∑=

=

−−

+=

n

kkx

n

nyn

nnxn

ny

1][1

111 s.d. lineare tempo-variante (con memoria infinita)calcolo ricorsivo del valore medio dei valori di una sequenza da 1 a n

[ ] [ ]( ) [ ],1log −−= nynxny s.d. non lineare con memoria (infinita)

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 9

Definizione

Dati [ ] [ ]{ }nxTrny 11 =

e [ ] [ ]{ }nxTrny 22 =

si ha

SISTEMI DISCRETI LINEARI

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 10

a1 , a2 costanti (reali o complesse) Si estende ad una combinazione lineare di un numero qualunque (anche infinito) di termini.

[ ] [ ] [ ]{ }=+= nxanxaTrny 2211

[ ]{ } [ ]{ }=+= nxTranxTra 2211

[ ] [ ]nyanya 2211 +=

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 11

Risposta impulsiva o indice

[ ] [ ]{ }knTrnhk −= δ

risposta del sistema all’impulso applicato all’istante k.In generale è una famiglia di sequenze, una per ogni k

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 12

Proprietà fondamentale

[ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ }∑+∞

−∞=

−==k

knTrkxnxTrny δ

[ ] [ ]∑+∞

−∞=

=k

k nhkx

L’uscita è una combinazione lineare degli ingressi con coefficienti (generalmente) tempo varianti.

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 13

SISTEMI DISCRETI LINEARI TEMPO INVARIANTI(LTI)

Definizione ( x e k)

[ ]{ } [ ]knyknxTr −=−

[ ] [ ] [ ]knhknhnhk −≡−= 0

quindi

∀

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 14

L’uscita è data da:

[ ] [ ] [ ] =−=∑+∞

−∞=kknhkxny

[ ] [ ]∑+∞

−∞=

−=k

knxkh

[ ] [ ]nhnx ∗= (Convoluzione discreta)

Notare la proprietà commutativa della convoluzione discreta

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 15

Seq. 1 Seq. 2

Convoluzione

Esempio di convoluzione discreta di sequenzeLa sequenza mostrata nella parte inferiore è il risultatodella convoluzione discreta delle due sequenze mostrate nella parte superiore.

N L

M = N + L- 1

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 16

Sistema discreto lineare tempo-invariante (LTI)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

−=−=∗=kk

knhkxknxkhnhnxny

h[n] risposta impulsiva del sistema [ risposta all’impulso unitario ].

caratterizza completamente il sistema[ ]nδ

h[n]y[n]x[n]

LTI

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 17

Causalità

L’uscita al tempo m dipende solo dagli ingressi passati e presente, cioè per n m.

Equivale a:

Quindi:

[ ] 0,0 <= nnh

[ ] [ ] [ ]∑∞

=

−=0k

knxkhny

≤

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 18

Due classi di sistemi discreti causali LTI

IIR (risposta impulsiva infinita)

[ ] [ ] [ ]∑∞

=

−=0k

knxkhny

FIR (risposta impulsiva finita)

[ ] [ ] [ ]∑−

=

−=1

0

N

kknxkhny

durata della risposta impulsiva: N campioni.

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 19

Da notare che un sistema FIR non causale

[ ] [ ] [ ]∑−

−=

−=1N

Mkknxkhny

può essere sempre trasformato in un sistema FIR causale (della stessa durata) ritardando l’uscita di M campioni e traslando di Mcampioni la risposta impulsiva:

[ ] [ ] [ ] [ ]∑−+

=

−−=−=′1

0

MN

kknxMkhMnyny

[ ] [ ]∑−+

=

−′=1

0

MN

kknxkh

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 20

Stabilità (BIBO = Bounded Input Bounded Output)

Ogni ingresso limitato in ampiezza genera una uscita limitata in ampiezza.

Condizione necessaria e sufficiente:

[ ] ∞<∑∞

−∞=kkh ||

FIR: sempre stabili

IIR: stabilità da verificare

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 21

EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE FINITE[Cap. 3.5]

Modo alternativo di definire un sistema LTI

Sistema di ordine N (causale)

[ ] [ ] [ ] 0,10

≥−−−= ∑∑==

nknyaknxbnyN

kk

M

kk

ak , bk coefficienti (costanti) del sistema e condizioni inizialiyi = y[i] , i = - N, ..., -1

FIR : tutti gli IIR : alcuni (salvo casi particolari, v. esempi)0≠ka

0=ka

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 22

Esempio: sistema LTI, causale, stabile,

[ ] [ ] [ ] [ ] 01,1 =−+−= ynxnyany

che ha una risposta impulsiva (tipo IIR)

[ ] [ ]nuanh n=

[ ]||1

1||0 a

nhn −

=∑∞

=stabilea 1|| <

stabilenona 1|| ≥

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 23

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

[ ] ,)( ∑+∞

−∞=

−=k

kzkhzH funzione di trasferimento del sistema (ROC)

x[n]

X(z)

h[n]

H(z) Y(z) = X(z) H(z)

[ ] [ ] [ ]nhnxny ∗=

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 24

Sistemi causali(per sistemi non causali Cap. 3.6)

FIR

[ ]∑−

=

−=1

0

)(N

k

kzkhzH

IIR

∏

∏

∑

∑

=

−

=

−

=

−

=

−

−

−=

+= N

kk

M

kk

N

k

kk

M

k

kk

zP

zZb

za

zbzH

1

1

1

1

0

1

0

)1(

)1(

1)(

[ ]∑∞

=

−=0k

kzkh

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 25

Ordine del sistema: N

Zk : zeri del sistema

Pk : poli del sistema

Stabilità : poli interni al cerchio unitario nel piano z.

Sistemi reali : zeri e poli reali o complessi coniugati

H(z) è la trasformata Z di h[n]h[n] è la trasformata Z inversa di H(z)[ modo alternativo di ottenere h[n]rispetto al calcolo diretto ]

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 26

RISPOSTA IN FREQUENZA[Cap. 3.7-3.8]

Sistema discreto LTI

Ingresso: esponenziale complesso alla frequenza normalizzata F

[ ] nFjenx π2=

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 27

[ ] [ ]∑+∞

−∞=

−=k

knFjekhny )(2π

[ ]∑+∞

−∞=

−=k

FkjFnj ekhe ππ 22

FjezFnj zHe π

π2|)(2

==

)(2 FHe Fnj π=

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 28

La funzione complessa

della frequenza normalizzata F

è la risposta in frequenza del sistema

H(F) è la trasformata di Fourier della sequenza h[n]

[ ]∑+∞

−∞=

−=k

FkjekhFH π2)(

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 29

Risposta di ampiezza:

| H(F ) | simmetrica

Risposta di fase:H(F ) antisimmetrica

Ritardo di fase:

FFFf π

ϕτ2

)()( −= (campioni)

Per sistemi reali [ sequenze h[n] reali ]

H (-F ) = H* (F )

∠=)(Fϕ

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 30

Ritardo di gruppo:

dFFdFg

)(21)( ϕπ

τ −= (campioni)

Sistemi non distorcenti in ampiezza (o passa-tutto)

| H (F ) | = costante

Sistemi non distorcenti in fase (o a fase lineare)

cost)()( == FF gf ττ

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 31

Esempio: sistema reale ingresso sinusoide reale

Verificare per esercizio:

[ ] Fnnx π2cos=

[ ] [ ])(2cos|)(| FFnFHny ϕπ +=

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 32

Connessione in serie e in parallelo di sistemi LTI [Cap. 3.3]

Serie x[n] y[n]

h1[n] h2[n]

[ ] [ ] [ ]

)()()()()()(

21

21

21

FHFHFHzHzHzH

nhnhnh

==

∗=

x[n] y[n]h1[n]

h2[n]

[ ] [ ] [ ]

)()()()()()(

21

21

21

FHFHFHzHzHzH

nhnhnh

+=+=

+=

Parallelo

Ne consegue la proprietà associativa della convoluzione discreta

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 33

Realizzazione ricorsiva di un sistema FIR

Normalmente un sistema FIR ha una realizzazione non ricorsiva (convoluzione discreta)Esistono alcuni casi in cui può essere realizzato ricorsivamente:es. somma degli ultimi N campioni (finestra mobile)

1

1

0

)1(21

1

0

11....1)(

10,1][

]1[][][][][

−

−−

=

−−−−−

−

=

−−

==++++=

−≤≤=

−+−−=−=

∑

∑

zzzzzzzH

Nnnh

nyNnxnxknxny

NN

n

nN

N

k

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 34

Calcolo grafico della risposta in frequenza

Esempio: sistema reale con 2 poli e 1 zero

Im z

Re zZ1

Fπje 2

1

P1

P2

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 35

Abbiamo visto per sistemi IIR:

con

Definiamo:

, rispettivamente frequenza naturale dello zero e del polo k-simo

MNN

kk

M

kk

N

kk

M

kk

N

k

kk

M

k

kk

zPz

Zzb

zP

zZb

za

zbzH

−

=

=

=

−

=

−

=

−

=

−

∏

∏

∏

∏

∑

∑

−

−=

−

−=

+=

1

10

1

1

1

1

0

1

0

)(

)(

)1(

)1(

1)(

k

k

jkk

jkk

ePP

eZZθ

φ

=

=

πθ

πφ

2e

2kk

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 36

Poli vicini al cerchio unitario: Max relativi (picchi) della risposta di ampiezza in corrispondenza delle frequenze naturali dei poli

Zeri vicini al cerchio unitario: Min relativi (bassi valori) della risposta di ampiezza in corrispondenza delle frequenze naturali degli zeri

A meno di un fattore costante (b0) la risposta del sistema alla frequenza F si può calcolare dai vettori che congiungono il punto con i poli e gli zeri.

Fje π2

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 37

Esempio di Risposta in frequenza del sistema

( ) 2

2

9011

−

−

+−

=z.

zzH

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 38

Descrizione di un sistema discreto LTI

Nel dominio temporaleh[n], risposta impulsivaEquazione alle differenze finite

Nel dominio trasformato

H(z) , funzione di trasferimentoH(F) , risposta in frequenza

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 39

NotaPer semplicità di notazione, per una stessa sequenza h[n] usiamo lo stesso simbolo H per denotare la sua trasformata Z H(z) e la sua trasformata di Fourier H(F).

Le due trasformate sono distinte da:

- variabile indipendente complessa ( z ) per la trasformata Z

- variabile indipendente reale ( F ) per la trasformata di Fourier

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 40

Esercitazioni di Laboratorio di MATLAB( reperibili a: http://lenst.det.unifi.it/node/379)

• Funz trasf

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 41

ALCUNE PROPRIETA’

Stabilità:

[ ] ∞<∑+∞

−∞=nnh ||

[ ]∑+∞

−∞=

−=⇒n

nznhzH )(

La ROC include la circonferenza unitaria

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 42

Poli:i) solo interni (sequenza infinita positiva o monolatera dx) ii) solo esterni (sequenza infinita negativa o monolatera sx)iii) interni e esterni (sequenza doppiamente infinita o bilatera)

1

Piano z

1

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 43

Causalità: h[n] = 0 per n < 0

⇒ ROC esterna a | z | > R0

Poli interni al cerchio di raggio R0

Piano z

R0

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 44

Sistemi causali e stabili

⇒ Poli interni al cerchio unitario

Zeri possono essere dovunque

Piano z

1

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 45

Sistemi a fase lineare[Cap. 3.9]

Hanno una risposta in fase lineare.Non introducono distorsione di fase:

Ritardo di fase = Ritardo di gruppo = costante

⇒ Sistemi a fase lineare stabili e causali non hanno poli: FIR.

⇒ Sistemi IIR a fase lineare sono necessariamente non causali: non realizzabili in tempo reale.

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 46

A. (tipo 1 e 2)

h[n] = h[N - 1 – n], risposta simmetrica

Condizione per la fase lineare (FIR reali)

0 1 2 3 4 5 6 n

N=7 (dispari)

0 1 2 3 4 5 n

N=6 (pari)

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 47

Sfruttando la condizione di simmetria nell’espressione

[ ]∑−

=

−=1

0

2)(N

n

nFjenhFH π

isoliamo i termini simmetrici ( N pari)

[ ] [ ]∑∑−

=

−−−

−

=

− −−+=1

2

0

)1(21

2

0

2 1)(

N

n

nNFj

N

n

nFj enNhenhFH ππ

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 48

[ ]∑−

=

−− −

−=1

2

0

212

)2

1(2cos2

N

n

NFj NnFnhe ππ

[ ] =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=∑

−

=

−−

−−−

−−

12

0

)2

1(2)2

1(22

12

N

n

NnFjNnFjNFjeeenh

πππ

Analogamente per N dispari

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 49

[ ]

[ ]⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=

∑

∑

−

=

−−

−

=

−−

12

0

212

23

0

212

212cos2

212cos2

21

)( N

n

NFj

N

n

NFj

NnFnhe

NnFnhNhe

FH

π

π

π

π

)(Fje ϕ A_(F)

Ndispari

Npari

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 50

la fase è esattamente lineare e vale)(Fϕ

212)( −

−=NFF πϕ

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 51

212

)_()(−

−=

NFjeFAFH

π

)_(FA funzione reale

Es.:

Passa basso Passa altoPassa banda Multi-banda

⎧⎨⎪

⎩⎪

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 52

Ritardo

21)()( −

==NFF gf ττ intero (N dispari)

intero + 1/2 (N pari)

N dispariUscita (ritardata) generata in corrispondenza degli istanti di campionamento dell’ingresso (stesso pettine di campionamento)

N pariUscita (ritardata) generata in corrispondenza di istanti di campionamento traslati di T/2 rispetto all’ingresso (pettine di campionamento traslato di T/2 )

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 53

B. (tipo 3 e 4)

h[n] = - h[N - 1 – n], risposta antisimmetrica

0 1 2 3 4 5 6 n

0 1 2 3 4 5 n

N=7 (dispari)

N=6 (pari)

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 54

Procedendo analogamente al caso A:

[ ]

[ ]⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−−

=

∑

∑

−

=

−−

−

=

−−

12

0

212

21

0

212

2122

2122

)( N

n

NFj

N

n

NFj

NnFsennhje

NnFsennhje

FH

π

π

π

π

)(Fje ϕ A_(F)

Ndispari

Npari

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 55

la fase vale)(Fϕ

212

2)( −

−−=NFF ππϕ

lineare a meno del fattore costante -π/2 ( fase lineare generalizzata)

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 56

212

)_()(−

−=

NFjeFAjFH

π

)_(FA reale

Es.:derivatori

⎩⎨⎧

−==

FFAcFFAsgn)_(

)(_

tr. Hilbert5.0≤F

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 57

Ritardo

Come nel caso precedente è uguale a

21−N campioni

In più è introdotta una rotazione di fase di 90° [ a seconda del segno di A_(F) ] per ogni componente spettrale.

±

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 58

Zeri dei FIR (reali) a fase lineare

Dalle condizioni di simmetria della h[n], segue che se z0 è uno zero, cioè

[ ] 0)(1

000 == ∑

−

=

−N

n

nznhzH

anche z0-1 è uno zero. Per filtri con h[n] reale

(filtri reali) le posizioni degli zeri sono del tipo:

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 59

Im z

b-1ba

a

a-1

a -1∗

∗Re1d

c

c∗Nei sistemi FIR reali gli zeri si presentano in quadruple (se complessi) o in coppie (se reali ≠ ± 1 ).

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 60

Configurazione degli zeri nel piano complessoRisposta di ampiezza e fase di un filtro FIR passa-basso a fase lineare.F1= 0.23 fine banda passante, F2= 0.27 inizio banda attenuata N = 30 lunghezza del filtro (equiripple)

61E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Sistemi passa - tutto (2° ordine)[Cap. 3.10]

)()(

)()(

1)(

12

22

11

2112

zDzDz

zDzN

zazazzaazH p

−−

−−

−−

==++++

=

1 reali coeff. )()(

)( 2

2

===−

Fj

Fj

p eDeD

FH π

π

0)( ≤Fϕ

N(z) e D(z) sono polinomi speculari

62E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Poli :

Zeri :

∗PP e

11 e −∗− PP

Proprietà che si può estendere a filtri passa tutto di ordine N qualunque ( > 2 ).

x

x

P

P*

1/P*

1/P

Im

Re

63E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Filtro Passa-TuttoRisposta in frequenza di un filtro Passa-Tutto del 2° ordine. Poli: modulo 0.9, fase ± 0.25 π,Zeri sono definiti come il reciproco dei poli

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 64

Sistemi a fase minima[Cap. 3.10]

Def.: Sono quelli che hanno tutti i poli e tutti gli zeri di H(z) interni al cerchio unitario

⇒ Hanno un ritardo di fase minimo fra tutti i sistemi che hanno la stessa risposta in ampiezza

NOTA: il sistema inverso)(

1)(zH

zH I =

è ancora un sistema a fase minima (oltre ad essere stabile e causale)

65E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Consideriamo la seguente operazione:

poichè )()(0)( 132 FFF ϕϕϕ ≤⇒≤

Im

Re

H1 (z) H2 (z) H3 (z)

x

x

Im

Re

x

x

Im

Re

x

x

=

=

passa tutto

×

×

66E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

I sistemi lineari H1(z) e H3(z) hanno la stessa risposta di ampiezza. Differiscono per la posizione degli zeri che sono invertiti in modulo rispetto alle circonferenza unitaria sul piano zeta.

67E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Ritardo di fase:

FFF

FFF ff π

ϕτπ

ϕτ2

)()(2

)()( 11

33 −=≥−=

H1(z): sistema a ritardo di fase minimo(brevemente a fase minima) fra tutti quelli che hanno la stessa risposta in ampiezza

Nota: generalizzazione possibile a IIR di qualunque ordine e ai FIR

68E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Sistemi IIR a fase minima.Il sistema descritto da poli/zeri di colore rosso dà origine al corrispondente sistema a fase minima descritto dai poli/zeri di colore azzurro. Poli: modulo 0.9, fase ± 0.25π; Zeri del sistema a fase non minima: modulo 1.5, fase ± 0.5π

Si noti la concentrazione della risposta impulsiva del sistema a fase minima verso l’origine:

[ ] [ ] mnhnhm

n

m

n

∀≥ ∑∑== 0

22

0

21

[ ]nh1

[ ]nh2

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 69

Ribaltamento della risposta in frequenzaDato un sistema H(z) con risposta in frequenza (es. di ampiezza)

F1 F2 0.5 F

|H(F)|

operando la sostituzione H’(z) = H(-z) si ottiene H’(F) = H(F-0.5)

0.5-F2 0.5-F1 0.5 F

|H’(F)|

trasformando così un filtro, per esempio, da passa-basso a passa-alto.Nota: la sostituzione H’(z) = H(-z) corrisponde alla modifica della risposta impulsiva

ottenuta cambiando il segno alternativamente ai campioni della risposta impulsiva originaria.

[ ] [ ]nhnh n)1(' −=

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 70

Ripetizione periodica della risposta in frequenza[Cap. 3.11]

Dato un sistema H(z) con risposta in frequenza (es. di ampiezza)

F1 F2 0.5 F

|H(F)|

operando la sostituzione H’(z) = H(zL) si ottiene H’(F ) = H(LF )

ottenendo così una ripetizione di L repliche della risposta in frequenza nella banda utile del sistema.Nota: la sostituzione H’(z) = H(zL) corrisponde alla modifica della risposta impulsiva

ottenuta inserendo L-1 valori nulli ogni due campioni consecutivi della risposta impulsiva originaria.

F1/2 F2/2 0.5 F

|H’(F)|

L = 2

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=pLn

ppLnLnh

nh0

intero'

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 71

Esempio

Dato H(z) = 1- z-1 , cui corrisponde una H(F) = 2 j sen 2πF e-jπF

che annulla le componenti alle frequenze F = 0 e F = 0.5, operando la sostituzione H’(z) = H(zL) = 1 – z-L ovvero

inserendo L-1 zeri tra i due campioni, si ottiene un sistema che elimina tutte le armoniche F = i/2L con i intero (nella figura L = 5) : filtro a pettine o comb filter.

[ ] [ ] [ ] [ ]10.....010

intero' −=−−=⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

= LnnpLn

ppLnLnh

nh δδ

|H'(F)|

-0.5 -0.45 -0.4 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

1

2

F

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 72

FILTRI FIR “HALF - BAND”(convenienti in alcune applicazioni)

[Cap. 9.6]

1)5.0()( =−+ FHFH

1

0.5

F1 F241

21 F

|H(F)|

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 73

Proprietà utile (filtri a fase lineare)

N = dispari

In corrispondenza di multipli pari dal campione centrale la risposta impulsiva è nulla.

0 N-1 n2

1−N

~ metà coefficienti uguali a zero

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 74

semplificazione realizzativase N = 4P + 1, solo 2P + 1 coefficienti sono 0

Per ogni campione d’uscita: 2P + 1 moltiplicazioni

(senza sfruttare la simmetria) P + 1 moltiplicazioni

(sfruttando la simmetria)

≠

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 75

Segnale analitico discreto[ ] [ ] [ ] [ ]nx j n xnx nx ˆ +=→reale segnaleunAd

[ ] [ ]nxnx ˆ diHilbertdidiscretaatrasformat

[ ] discretoanaliticosegnale nx

( )( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<<−

<<=

021 , 0

210 , 2

F

FFXFX

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 76

F

F

F

X ( F )

j X ( F )

X ( F )

1

1

2

0.5

0.5

0.5

- 0.5

- 0.5

- 0.5

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 77

H2(F)

x [ n ]

H1(F) x [n - α]

x [n - α]

Generazione del segnale analitico(con FIR a fase lineare)

dispariN-N= ,2

1α

H1(F) = e-j2πFα , ritardo αH2(F) = -jsgn(F) e-j2πFα , filtro trasformatore di Hilbert FIR (N) (a larga banda)|F| ≤ 0.5

F1 F2

F 0.5

Y( F )

-0.5

Generalizzazione (segnale analitico a banda stretta)H1(F) = e-j2πFα , passa banda (N) F1 ≤ |F| ≤ F2

H2(F) = -jsgn(F) e-j2πFα, trasformatore di Hilbertpassa banda (N) F1 ≤ |F| ≤ F2 [ ]ny

[ ]ny

[ ] [ ] [ ] )(ˆ FYnyjnyny ⎯→←+=

0 10 20 30 40 50-2

0

2x 10

-3

Segnale Analitico

-0.5 0 0.5-1

0

1

F freq. normalizzata

Am

piez

za

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 78

0 20 40 60 80 100-2

0

2x 10

-3 Segnale originale

-0.5 0 0.5-1

0

1Am

piez

za

F freq. normalizzata

Segnale analitico:campioni reali blucampioni immaginari rossi

Spettro del segnale analitico

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 79

Esercitazioni di Laboratorio di MATLAB( reperibili a: http://lenst.det.unifi.it/node/379)

• FIR fase lineare• IIR-fase min• Segnale analitico

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 80

SEGNALI ALEATORI[App. A]

x[n] segnale aleatorio stazionario in senso lato

[ ]{ } ,nxEmx = valor medio

[ ] [ ] [ ]{ } ,mnxnxEmrxx += autocorrelazione

h[n]H(z)

y[n]x[n]LTI

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 81

[ ]{ } [ ] [ ]

[ ] 01 |)(|)( == ===

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

∑

∑

Fxzxk

x

k

FHmzHmkhm

knxkhEnyE

Per semplicità mx = 0

Definizioni: [ ]mrzR xxxx ⇔)(

Spettro di potenza: Fjezxxx zRFG π2|)()(=

=

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 82

Segnale di uscitaSpettro di potenza

)(|)(|)( 2 FGFHFG xy =Potenza

∫−

==21

21

22 )(|)(| dFFGFHS xyy σ

Potenza del segnale di ingresso

∫−

==21

21

2 )( dFFGS xxx σ

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 83

Esempio: x[n] processo bianco

0)( NFGx =

si ha

0NSx=

[ ]∑∫ ==−

ky khNdFFHNS 2

0

21

21

20 |||)(|

L’ultima uguaglianza segue dal Teorema di Parseval

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 84

Esempio: Calcolo del rapporto segnale-rumore in uscita dal sistema

Note le caratteristiche del convertitore A/D e noto x(t) si possono calcolare la potenza Sxdel segnale x[n] e la densità spettrale di potenza (bianca) di eq[n]

x(t)A/D

x[n]

eq[n]

H(F)y[n]+eu[n]

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 85

In ingresso:q

xi N

SSNR =

In uscita:

∫−

=21

21

2|)(| dFFHNN qu

∫−

=21

21

2dF||H(F)(F)GSxy

u

yu N

SSNR =

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 86

Correlazione temporale di sequenzeLa correlazione fra due sequenze può definirsi anche nel tempo ed è lo strumento per la stima della correlazione di processi aleatori ergodici.È usata in molti contesti: p.e. essa fornisce una indicazione sulla loro ‘somiglianza’; la autocorrelazione (correlazione di una sequenza con se stessa) può evidenziare periodicità nascoste in segnali affetti da rumore; …

Date due sequenze (reali) x[n] e y[n], si definisce correlazione temporale la sequenza

Per sequenze di durata finita gli indici k e n sono limitati ai valori significativi.È immediato verificare (per esercizio) che

la correlazione corrisponde alla convoluzione di una sequenza invertita nel tempo con l’altra.Da notare che per l’autocorrelazione vale

[ ] [ ] [ ]nkykxnrk

xy += ∑∞

−∞=

[ ] [ ] [ ]nynxnrxy ∗−=

[ ] [ ] [ ]nxErnr xxxxx segnale del energia , 0 =≤

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 87

È facile, sfruttando le proprietà della convoluzione discreta, ottenere le espressioni delle correlazioni e autocorrelazioni delle sequenze di ingresso e uscita di un sistema LTI.

h[n]x[n]

LTI[ ] [ ] [ ]nhnxny ∗=

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nhnrnhnxnxnynxnr xxxy ∗=∗∗−=∗−=

La correlazione fra l’ingresso e l’uscita di un sistema LTI è data dalla convoluzionedella autocorrelazione dell’ingresso con la risposta impulsiva. Nel dominio trasformato:

La autocorrelazione dell’uscita

è data dalla convoluzione delle autocorrelazioni dell’ingresso e della risposta impulsiva. Nel dominio trasformato

La autocorrelazione della risposta impulsiva esiste se il sistema è stabile.

)()()( zHzRzR xxxy =

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nrnrnhnxnhnxnynynr hhxxyy ∗=∗∗−∗−=∗−=

)()()()( 1−= zHzHzRzR xxyy

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 88

h[n]H(z)

x[n]LTI

[ ] [ ] [ ]nhnxny ∗=

X(z) Y(z)=X(z)H(z)

Sistemi inversi, identificazione di sistemi e deconvoluzione

In molte applicazioni nota l’uscita y[n] : a. (Sistema inverso) si vuole determinare l’ingresso x[n] , conoscendo il sistema LTI:

p.e. nelle trasmissioni numeriche (equalizzatori)b. (Identificazione) si vuole determinare il sistema LTI attraverso la h[n] o la H(z) ,

conoscendo l’ingresso: p.e. in geofisica per la caratterizzazione degli strati terrestri, in acustica per caratterizzare l’ambiente di riproduzione, nelle telecomunicazioni per stimare il canale di comunicazione (specialmente nel caso di canale radio)

In linea di principio si tratta in entrambi i casi di un problema di ‘deconvoluzione’.In pratica le soluzioni per questi due problemi sono diverse:a. In questo caso spesso si può supporre nota h[n] o H(z) b. In questo caso x[n] e y[n] sono generalmente sequenze sperimentali e non è

possibile ottenere le rispettive X(z) e Y(z)

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 89

a. Sistema inverso

h[n]H(z)

x[n] [ ] [ ] [ ]nhnxny ∗=

X(z) Y(z)=X(z)H(z) )(1)(

zHzH I =

x[n]Sistema inverso

Occorre specificare la ROC di HI (z) Esempi

1) [ ] [ ] )stabile sist. 1(,1

1)( 1 <>=↔−

= − azROCnuanhaz

zH n

[ ] [ ] [ ] 0,11)( 1 ≠−−=↔−= − zROCnannhazzH II δδ

Il sistema inverso è del tipo FIR.

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 90

2) [ ] [ ] [ ] 0,11)( 1 ≠−−=↔−= − zROCnbnnhbzzH δδ

Il sistema inverso può avere diverse ROC :

i) ROC

Sistema causale e stabile se |b| < 1

ii) ROC

Sistema non causale e stabile se |b| > 1

Proprietà generale: se H(z) è un sistema a fase minima anche HI(z) è a fase minima.

111)( −−

=bz

zH I

bz >

[ ] [ ]nubnh nI =

bz <

[ ] [ ]1)( −−−= nubnh nI

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 91

b. Identificazione di sistema

h[n]H(z)

x[n] [ ] [ ] [ ]nhnxny ∗=

X(z) Y(z)=X(z)H(z) Algoritmoh[n]

Identificazione

Supponiamo il sistema causale descritto da

si può stimare h[n] ricorsivamente:

Ovviamente l’algoritmo si applica anche alla realizzazione del sistema inverso scambiando i ruoli di x[n] e h[n].L’algoritmo può presentare problemi di precisione numerica al crescere di n.

[ ] [ ] [ ] [ ] 000

<∀=−= ∑=

nnxeknxkhnyn

k

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ][ ] [ ] [ ]

[ ] 1,0

00,000

1

0 ≥−−

=

≠=

∑−

= nx

knxkhnynh

xxyh

n

k

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 92

EQUIVALENZA FRA FILTRAGGIO ANALOGICO E NUMERICO

Analogico

Ha(f )xa(t) ya(t)

ff1

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 93

Numerico

Filtroantialiasing A/D H(F)

D/AFiltroricostr.

21c

tfff << tc ff 2≥

Fcf

fF 11 =

xa(t) x(t) x[n] y[n] y(t)

|H(F)|

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 94

)()( tyty a≅

L’approssimazione dipende da:

Caratteristiche spettro di xa(t)Risposta filtro antialiasingCampionatore non idealeQuantizzazioneFiltro numerico non idealeRisposta D/A e filtro ricostruzione