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Le funzioni reali di una variabile reale
Prof. Giovanni Ianne
Prof Giovanni Ianne
DEFINIZIONE DI FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE
• Dati due insiemi non vuoti A, B R, una funzione f da Ain B è una relazione fra A e B (cioè un insieme di coppie ordinate) tale che a ogni elemento x di A corrisponde uno ed un solo elemento y di B, ossia:
• A è detto dominio o campo di esistenza (C.E.)
ByAxf :
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Rappresentazione grafica del dominio e del codominio di una funzione
y
f(X)
y = f ( x )
X x
Legenda f ( X ) rappresenta il codominio della funzione
X rappresenta il dominio della funzione
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La classificazione delle funzioni
FUNZIONI
algebriche trascendenti
razionali irrazionali
intere fratte
Se una funzione non è algebrica, si dice trascendente.
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Funzioni algebriche
• La funzione algebrica razionale intera è espressamediante un polinomio di grado qualsiasi(Per esempio: )
• La funzione algebrica razionale fratta è espressamediante quozienti di polinomi di grado qualsiasiIn tal caso la x compare a denominatore
(Per esempio: )
• La funzione algebrica irrazionale è espressamediante un polinomio di grado qualsiasi sotto ilsegno di radice(Per esempio: )
75 xy
23
12
x
xy
1 xy
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Funzioni trascendenti
• Le funzioni trigonometriche
(Per esempio: )
• La funzione esponenziale
(Per esempio: )
• La funzione logaritmica
(Per esempio: )
senxy
xey
xy log
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Il dominio di una funzione o campo di esistenza
Il dominio di una funzione è l’insieme di tutti i valori x
per i quali esiste l’immagine.
Il codominio di una funzione è l’ insieme dei valori che la
funzione assume dove essa è definita.
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Terminologia della funzione
• Data la funzione
• Diremo che
– x è la variabile indipendente ed y è la variabile dipendente.
– x è detta controimmagine di y tramite f mentre y è
l’immagine di x tramite f
– f(x) è l’espressione analitica della funzione e serve, fissato il
valore per x, a determinarne l’immagine
– il codominio è l’insieme delle immagini
f: A Bx y=f(x)
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Esercizio: stabilire se il seguente grafico rappresenta una funzione e in caso affermativo individuare il
dominio e il codominio
È una funzione
X = {2} [5,9]
F (X) = [3, 7]
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Esercizio: stabilire se il seguente grafico rappresenta una funzione e in caso affermativo individuare il
dominio e il codominio
È una
funzione
9;2X
6;2Xf
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Esercizio: stabilire se il seguente grafico rappresenta una funzione e in caso affermativo individuare il
dominio e il codominio
È una funzione 9;5X 75;1)( Xf
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Esercizio: stabilire se il seguente grafico rappresenta una
funzione e in caso affermativo individuare il dominio e il codominio
Non è
una funzione
In quanto
l’elemento 4
del dominio
ha infinite
immagini, un
qualsiasi y
con 4<y<6Prof Giovanni Ianne
Esercizio: stabilire se il seguente grafico rappresenta una funzione e in caso affermativo individuare il
dominio e il codominio
È una funzione f(X) = {1, 3, 4, 5} 76;67 X
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Esercizio: individuare il dominio, il codominio, dove la funzione è positiva, negativa e nulla
f(x)>0 per -1<x<1
La funzione non è
mai negativa
f(x)=0 per x=-1
1;1X 2;0)( Xf
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Domini delle principali funzioni
Funzione Dominio
Funzioni algebriche razionali intere R
Funzioni algebriche razionali fratte R esclusi i valori che annullano il denominatore
Funzioni algebriche irrazionali se n è pari
se n è dispari
Funzioni logaritmiche
Funzioni esponenziali R
Funzioni goniometriche: senx e cosx R
Funzione goniometrica: tgx
0)( xf
RX
0)( xf
ZkkRX
2
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Alcune caratteristiche delle funzioni
• Funzioni a tratti
• Gli zeri di una funzione e il suo segno
• Funzioni pari e dispari
• Funzioni monotòne
• Punti estremanti
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Funzioni a tratti
• Osserva il seguente grafico y
1
0 x
-1
• È una funzione
•
•
• Qual’è potrebbe essere
l’espressione analitica?
• In questo caso la funzione
è definita tramite due
equazione cioè due
espressioni analitiche
0 RX
1;1)( Xf
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1 se x > 0=
-1 se x < 0x
xxf )(
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Gli zeri di una funzione e il suo segno
• Un numero reale è uno zero della funzione
se
Gli zeri di una funzione sono le ascisse dei punti di
intersezione del grafico della funzione con l’ asse x
• Gli zeri si determinano risolvendo il sistema:
• Di una funzione possiamo studiare il segno
risolvendo la disequazione f(x) > 0
a)(xfy 0)( af
0)(0
)(
xf
y
xfy
)(xfy
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y
zero
0 x y = f (x)
zero
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Funzioni pari e dispari
• La funzione
è pari se e solo se per
ogni xA f(-x)=f(x)
Il grafico è simmetrico rispetto all’
asse y
f: A Bx y=f(x)
-x x
f(-x)=f(x)
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Funzioni pari e dispari
• La funzione
è dispari se e solo se per
ogni xA f(-x)=-f(x)
Il grafico è simmetrico rispetto
all’ origine O
f: A Bx y=f(x)
-x
f(x)
x
-f(x)
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Funzioni monotòne
• La funzione si dice costante se per ogni xA f(x)=c con c numero reale.
In simbolo: f è costante se
Esempio: y=1 RccxfAx
f: A Bx y=f(x)
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Funzioni monotòne
• Una funzione y = f(x), definita in un intervallo [a,b], si dice crescente in [a,b] se e solo se
Esempio:
212121 :;, xfxfxxbaxx
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Funzioni monotòne
• Una funzione y = f(x), definita in un intervallo [a,b], si dice strettamente crescente in [a,b] se e solo se
Esempio: 212121 :;, xfxfxxbaxx
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Funzioni monotòne
• Una funzione y = f(x), definita in un intervallo [a,b], si dice decrescente in [a,b] se e solo se
Esempio:
212121 :;, xfxfxxbaxx
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Funzioni monotòne
• Una funzione y = f(x), definita in un intervallo [a,b], si dice strettamente decrescente in [a,b] se e solo se
Esempio: 212121 :;, xfxfxxbaxx
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Punti estremanti
• I punti estremanti sono i punti in cui possiamo avere un valore di massimo o di minimo relativo
• x0 è un punto di massimo relativo per la funzione f se esiste un intorno I di x0 tale che per ogni xϵI f(x)≤f(x0)
• x0 è un punto di minimo relativo per la funzione f se esiste un intorno I di x0 tale che per ogni xϵI f(x)≥f(x0)
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