Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632

8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632

1/294

EXERCÍCIOS DE

SISTEMASHIPERESTÁTICOS II

VOLUME 2

LUIZ CARLOS MENDES

2009


2/294

340

CAPÍTULO 10

PROJETOS DE SISTEMAS HIPERESTÁTICOS

10.1 CÁLCULO MATRICIAL

Montar a matriz de rigidez para a barra segundo as

coordenadas de referência indicadas e seção transversal da barra.

Figura 10.1 – Barra com coordenadas de referência.

E = 2 x 103 kN/cm2

L = 8 m

3

1

2

4

20

20

cm


3/294

341

a) Deslocamento unitário ao longo da coordenada 1

Figura 10.2 – Deslocamento ao longo da coordenada 1.

b) Deslocamento unitário ao longo da coordenada 2


12EJ/L3 6EJ/L2

6EJ/L2

12EJ/L3

2EJ/L3

6EJ/L2

6EJ/L2

12EJ/L3


4/294

342

c) Rotação unitária ao longo da coordenada 3


d) Rotação unitária ao longo da coordenada 4


4EJ/L

6EJ/L2 2EJ/L

6EJ/L

6EJ/L2

2EJ/L

4EJ/L

6EJ/L2


5/294

343

1 2 3 4

L = 800 cm

J = 13.333,3 cm4

E = 2 x 103 kN/cm

EJ = 26,67 x 106 kN.cm

2

Então:

1 2 3 4

0,625 -0,625 250 -250

-o,625 0,625 -250 250

250 -250 133.350 -66.675

250 250 -66.675 133.350

12EJ/L3 -12EJ/L3 6EJ/L2 -6EJ/L2

-12EJ/L3 12EJ/L3 -6EJ/L2 6EJ/L2

6EJ/L2

-6EJ/L2 4EJ/L -2EJ/L

-6EJ/L2 6EJ/L

2 -2EJ/L 4EJ/L


6/294

344


Montar a matriz de flexibilidade para o quadro segundo as

coordenadas de referência indicadas.

Figura 10.6 – Quadro com as coordenadas de referência.

5

43

6

12

4

4

6

8 m 8 m m


7/294

345

Ação de R1 = 1

Figura 10.7 – Ação do esforço unitário ao longo da coordenada 1.

Ação de R2 = 1


1

1


8/294

346

Ação de R3 = 1


Ação de R4 = 1


1

1

1

4 4

6


9/294

347

Ação de R5 = 1


Ação de R6 = 1


8

8

8

8

8


10/294

348

Expressão de EJf 11

( )( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )[ ]( )

EJ

67,1042

EJ6

98,5359

EJ

128

EJ3

64f

104814144286

1

8444443

1EJf

11

11

=++=

=−−−+−−−+

+−−+−−=


( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )

EJ

22

EJ

10

EJ

8

EJ

4f

1011811411EJf

22

22

=++=

=++=


11/294

349


( )( )( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( )( )( )

EJ

67,242

EJ3

280

EJ

128

EJ3

64f

6663

1444

3

1

8444443

1EJf

33

33

=++=

=++

+−−+−−=


( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )

EJ

22

EJ

10

EJ

8

EJ

4f

1011811411EJf

44

44

=++=

=−−++=


12/294

350


( )( )( ) ( )( )( )

EJ67,810

EJ640

EJ67,170f

10888883

1EJf

55

55

=+=

=+−−=

EJf 66 = EJf 55 =EJ

67,810


( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )

EJ

130

EJ

90

EJ

8

EJ

32f

1014412

1414

2

1814EJf

12

12

−=

−+

−+

−=

=−−+−+−=


13/294

351


( )( ) ( )( )[ ]

( )[ ]EJ

33,173108112

6

1f

10486144126

1EJf

13

13

=−=

=−+−+−+−=


( )( )( )

EJ

90f

104141

2

1EJf

14

14

=

=−−−=


14/294

352


( )( )( )

EJ

720f

1041482

1EJf

15

15

−=

=−−=


( )( )( ) ( )( )( )

EJ848

EJ720

EJ128f

1041482

1884

2

1EJf

16

16

−=−−−=

=−−+−=


15/294

353


( )( )( )

EJ

10f

104612

1EJf

23

23

−=

=+−=


( )( )( )

EJ10f

1011EJf

24

24

−=

=−=


16/294

354


( )( )( )

EJ

80f

1081EJf

25

25

=

==


( )( )( ) ( )( )( )

EJ

112

EJ

80

EJ

32f

10818812

1EJf

26

26

=+=

=+=


17/294

355


( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )

EJ

30

EJ

10

EJ

32

EJ

8f

104612

1814414

2

1EJf

34

34

−=+

−+

−=

=+−−+−+−=


( )( )( ) ( )( )( )

EJ

48

EJ

80

EJ

128f

10468

2

1884

2

1EJf

35

35

=−

+=

=+−+−−=


18/294

356


( )( )( )

EJ

80f

104682

1EJf

36

36

−=

=+−=


( )( )( ) ( )( )( )

EJ112

EJ80

EJ32f

10818812

1EJf

45

45

−=−+−=

=−+−=


19/294

357


( )( )( )

EJ

80f

1081EJf

46

46

−=

=−=


( )( )( )

EJ

640f

1088EJf

56

56

=

==


20/294

358

[ ]EJ

1x

67,8106408080112848

64067,8101124880720

8011222301090

80483067,2421033,173

11280101022130

8487209033,17313067,1042

F

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

−−−−

−−−

−−−

−−−

=

EJ = 2 x 103

kN/cm2

x 100 cm4

= 2 x 105

kN x cm2

EJ = 20 kN x m

2

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−−−

−−

−−−−

−−−

−−−

−−−

=

53,4032446,54,42

3253,406,54,2436

46,51,15,15,05,4

44,25,113,125,067,8

6,545,05,01,15,6

4,42365,467,85,613,52

F


Montar a matriz de rigidez para o quadro com vigas de rigidez

infinita segundo as coordenadas de referência indicadas.

Tomar E = 2 x 103 kN/cm

2

Seção transversal dos pilares: 30 x 20 cm. A dimensão de 30

cm é na direção da flambagem.


21/294

359


Ação do deslocamento u1 =1 ao longo da coordenada 1

Figura 10.14 – Ação do deslocamento unitário na coordenada 1.

1

2

4m

6m

8m

J=∞

J=∞

J=∞

3

1

2

3

4m

6m

8m

J=∞

J=∞

J=∞


22/294

360

Ação do deslocamento u2 =1 ao longo da coordenada 2

Figura 10.15 – Ação do deslocamento unitário na coordenada 2. Ação do deslocamento u3 =1 ao longo da coordenada 3

Figura 10.16 – Ação do deslocamento unitário na coordenada 3.

1

2

3

4m

6m

8m

J=∞

J=∞

J=∞

1

2

3

4m

6m

8m

J=∞

J=∞

J=∞


23/294

361

Seção transversal do pilar

J =

4333

cm10x4512

30x20

12

h.b

==

Rigidez das colunas do primeiro andar L = 8 m

m/kN210cm/kN1,2800

10x45x10x2x12

L

EJ12K

3

33

3 ====

Rigidez das colunas do segundo andar L = 6 m

m/kN500cm/kN5600

10x45x10x2x12

L

EJ12K

3

33

3 ====

Rigidez das colunas do terceiro andar L = 6 m

m/kN5,1687cm/kN875,16400

10x45x10x2x12K

3

33===

30 cm

20 cm


24/294

362

Ação do deslocamento ao longo da coordenada 1

K11 = 3 x (1687,5) = 5062,5

K21 = -3 x (1687,5) = -5062,5

K31 = 0


K12 = -3 x (1687,5) = - 5062,5

K22 = 3 x (1687,5) + 4 x (500) = 7062,5

K32 = -4 x (500) = -2000


K13 = 0

K23 = -4 x (500) = -2000

K33 = 4 x (500) + 5 x (210) = 3050

Matriz de Rigidez

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=333231

232221

131211

KKKKKK

KKK

K

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

=

305020000

20005,70625,5062

05,50625,5062

K


25/294

363

10.4 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS

Figura 10.17 – Quadro com carregamentos externos.

a) Formação do sistema principal h = 3

Figura 10.18 – Quadro com formação do sistema principal.

5 kN

5 kN

2 kN/m

2 kN/m

2 m

2 m

2 m

9 m

D

C

B

A

E

F


26/294

364

b) Determinação dos fatores de forma. EJ = 1

Haste AD

Figura 10.18a

667,06

4a ==

333,06

2b ==

167,06

6c

2 ==

Haste DE

Figura 10.18b

444,09

4a ==

222,09

2b ==

A

D

DE


27/294

365

Haste EF

Figura 10.18c

667,06

4a ==

333,06

2b ==

167,06

6c

2 ==

c) Cálculo dos fatores de carga

Haste AD

Figura 10.18d

A

D

F

E


28/294

366

44,46

4x2x5

L

PabM

2

2

2

2

A −=−=−=

22,26

4x2x5L

bPaM2

2

2

2

D +=+=+=

( ) ( )7,3

6

2x264x5

L

a2LPbR

3

2

3

2

A −=+

−=+

−=

( ) ( )3,1

6

4x262x5

L

b2LPaR

3

2

3

2

D −=+

−=+

−=

Figura 10.18e

22,2

6

2x4x5

L

PabM

2

2

2

2

A −=−=−=

44,46

2x4x5

L

bPaM

2

2

2

2

D +=+=+=

( ) ( )3,1

6

4x262x5

L

a2LPbR

3

2

3

2

A −=+

−=+

−=

( ) ( )7,3

6

2x264x5

L

b2LPaR

3

2

3

2

D −=+−=+−=

A

D


29/294

367

Haste DE

1,820

9x2

20

qLM

22

D −=−=−=

4,530

9x2

30

qLM22

E +=+=+=

Haste EF

612

6x2

12

qLM

22E −=−=−=

612

6x2

12

qLM

22

F +=+=+=

62

6x2

2

qLRE +=+=+=

62

6x2

2

qLRF +=+=+=

F

E

DE


30/294

368

d) Resumo dos fatores de carga e dos fatores de forma

Fatores de carga

Figura 10.19 – Resumo dos fatores de carga.

Ação de φ1 = 1

Figura 10.20 – Resumo dos fatores de forma gerados por φ1 = 1 .

0,4440,222

0,667

0,333

0,167

0,167

-8,1 5,4

+6,66

-6,66

-6

+6

-5 +6

-5 +6


31/294

369

Ação de φ2 = 1

Figura 10.21 – Resumo dos fatores de forma gerados por φ2 = 1.

Ação de ∆3 = 1

Figura 10.22 – Resumo dos fatores de forma gerados por ∆3 = 1.

0,167

0,167

0,056

0,056

0,167

0,167

0,056

0,056

0,667

0,333

0,444

0,222

0,167

0,167


32/294

370

Equação de coerência

(6,66 - 8,1) + (0,444 + 0,667)φ1 + 0,222φ2 - 0,167∆3 = 0

(5,4 - 6) + 0,222φ1 + (0,444 + 0,667) φ2 - 0,167∆3 = 0

(-5 + 6) - 0,167φ1 - 0,167φ2 + (0,056 + 0,056)∆3 = 0

-1,44 + 1,111φ1 + 0,222φ2 - 0,167∆3 = 0

- 0,6 + 0,222φ1 + 1,111φ2 - 0,167∆3 = 0

1 - 0,167φ1 - 0,167φ2 + 0,112∆3 = 0

φ1 = - 0,10

φ2 = - 1,06

∆3 = - 10,6

Determinação dos momentos fletores

M A = -6,66 + 0,333φ1 - 0,167∆3 = -4,9

MDinf = +6,66 + 0,667φ1 - 0,167∆3 = 8,37

MDdir = - 8,1 + 0,444φ1 + 0,222φ2 = -8,37

MEesq = +5,4 + 0,222φ1 + 0,444φ2 = 4,9

MEinf = -6 + 0,667φ2 - 0,167∆3 = -4,9

MF = +6 + 0,333φ2 - 0,167∆3 = 7,4


33/294

371

Diagrama dos momentos fletores (kN.m).

Figura 10.23 – Diagramas de momentos fletores.

4,9

8,37

4,9 7,4


34/294

372

10.5 ANÁLISE MATRICIAL

Determinar a matriz de flexibilidade das hastes segundo as

coordenadas de referência indicadas. EJ = 2 x 102 kNm2

a) Viga

Figura 10.24 – Viga com coordenadas de referência.

Ação de R1 = 1

Figura 10.25 – Ação de R1 = 1. Ação de R2 = 1

Figura 10.26 – Ação de R2 = 1.

6

2 m 4 m 2 m

12

3

2


35/294

373

Ação de R3 = 1


Cálculo das flexibilidades

( )( )( )EJ3

8222

3

1f 11 =−−=

( )( )( ) ( )( )( )[ ]EJ3

32224

2

1222

3

1f f 2112 =−−+−−==

( )( )( )EJ

2212

2

1f f 3113

−=−==

( )( )( )EJ72666

31f 22 =−−=

( )( )( )EJ

18616

2

1f f 3223 =−==

( )( )( ) EJ8

811f 33 ==

1


36/294

374

Matriz de flexibilidade

[ ]EJ1

8182

1872332

23

32

3

8

F

⎥⎥⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−−

−

−

=

[ ] 210

491

93633,5

133,533,1

F −

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−

=

b) Pilar EJ = 2 x 102 kNm

2

Figura 10.28 – Pilar com coordenadas de referência.

1

2

5m

5m


37/294

375

Ação de R1 = 1


Ação de R2 = 1


2

5m

5m

1

1

5m

5m


38/294

376

( )( )( )EJ

67,41555

3

1f 11 ==

( )( )( )EJ

5,12551

2

1f f 2112

−=−==

( )( )( )EJ

101011f 22 =−=

[ ]EJ

1

105,12

5,1267,41F ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

[ ] 210525,6

25,683,20F −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

c) Quadro

Figura 10.31 – Quadro com coordenadas de referência.

12

3

10m

6 m 6 m


39/294

377

Ação de R1 = 1



12

3

10m

6 m 6 m

12

3

10m

6 m 6 m


40/294

378

Ação de R3 = 1


( )( )( ) ( )( )( )( )EJ

43210661666

3

1f 11 =+−−=

( )( )( )( )EJ

6010161f 12 ==

( )( )( )EJ

30010106

2

1f 13 ==

( )( )( )( ) ( )( )( )( )EJ

16611110111f 22 =+=

( )( )( )EJ

5010101

2

1f 23 ==

( )( )( ) EJ33,333

1010103

1

f 33 ==

12

3

10m

6 m 6 m


41/294

379

EJ = 2 x 10

2 kNm

2

[ ] 21067,16625150

2583015030216

F −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

d) Quadro

EJ = 4 x 104 kNm

2 Desprezar a ação dos esforços normais.


10 m

1 23

4

8m


42/294

380

Ação de R1 = 1



10 m

12

4

8m

10 m

1 23

4

8m

8


43/294

381

Ação de R3 = 1


Ação de R4 = 1


10 m

1

4

8m

88

10 m

1 23

4

8m


44/294

382

( )( )( ) ( )( )( )EJ

3841088

3

1888

3

1f 11 =+=

( )( )( )EJ

33,131018

6

1f 12

−=−=

f 13 = f 31 = f 23 = f 32 = f 33 = f 34 = f 43 = 0

( )( )( ) ( )( )( )EJ

67,4901088

2

1888

3

1f 14

−=−+−=

( )( )( )EJ

33,31011

3

1f 22 =−−=

( )( )( )EJ

401081

2

1f 24 =−−=

( )( )( ) ( )( )( )EJ

33,9811088888

3

12f 44 =−−+−−=

[ ] 410

33,24501067,122

0000

10083,033,367,122033,396

F −

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

=


45/294

383


Determinar a matriz de rigidez segundo as coordenadas de referência

indicadas para o quadro com deslocabilidade linear apenas para os pilares

uma vez que as vigas são de rigidez infinita J =∞. E = 4 x 104 kNm2


Seção transversal dos pilares

Figura 10.41 – Seção transversal.

1

2

3

4

5

5

5

5

5

5

0,40 m

0,20 m


46/294

384

Ação de u1 = 1 ao longo da coordenada de referência 1

Figura 10.42 – Deslocamento unitário ao longo da coordenada 1.



1

2

3

4

5

1

2

3

4

5


47/294

385





1

2

3

4

5

1

2

3

4

5


48/294

386



4433

y m10x67,1012

40,0x20,0

12

hxbJ −===

EJ = 4 x 104 x 10,67 x 10-4 = 42,68 kNm2.

Para andares de L = 5m

m/kN10,45

68,42x12

L

EJ12K33

===

1

2

3

4

5


49/294

387

K11 = 2k = 8,20

K21 = -2k = - 8,20

K22 = 4k = 16,40

K32 = -2k = -8,20

K33 = 4k = 16,40

K43 = -2k = -8,20

K44 = 4k = 16,40

K54 = -2k = -8,20

K55 = 4k = 16,40

Matriz de rigidez

[ ] m/kN

40,1620,8000

20,840,1620,800

020,840,1620,80

0020,840,1620,8

00020,820,8

K

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−

−−

−

=



indicadas para o quadro com deslocabilidade linear apenas para os pilares

uma vez que as vigas são de rigidez infinita J =∞. E = 5 x 104 kNm

2


50/294

388


Deslocamento ao longo da coordenada 1


1

3m

4m

6m

J = ∞

J = ∞

J = ∞

1

2

3


51/294

389




Figura 10.50 – Deslocamento unitário ao longo da coordenada 3 .

3

2


52/294

390

Seção transversal dos pilares

Figura 10.51 – Seção transversal dos pilares.

4333

y m10x125,312

50,0x30,0

12

hxbJ −===

E = 5 x 104 kN/m2

EJ = 5 x 104 x 31,25 x 10

-4 = 156,25 kNm

2.


m/kN42,693

25,156x12

L

EJ12K

331 ===


m/kN30,294

25,156x12LEJ12K

332 ===

0,50 m

0,30 m


53/294

391


m/kN68,86

25,156x12LEJ12K

333 ===

K11 = 2 x 69,42 = 138,84

K21 = - 2 x 69,42 = - 138,84

K31 = 0

K12 = - 2 x 69,42 = - 138,84

K22 = 2 x 69,42 + 2 x 29,30 = 197,44

K32 = -2 x 29,30 = - 58,6

K13 = 0

K23 = -2 x 29,30 = - 58,6

K33 = 2 x 29,30 + 3 x 8,68 = 84,64

Matriz de rigidez

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

=

64,846,580

6,5844,19784,138

084,13884,138

K


54/294

392


Determinar a matriz de flexibilidade para o quadro abaixo segundo as

coordenadas de referência indicadas. Desprezar a ação do esforço normal.


Ação de R1 = 1

Figura 10.53 - Ação de R1 = 1

2 m 4 m

6 m

2R1=1

2

2

2 m 4 m

6 m

1

2

3

45

6


55/294

393

Ação de R2 = 1

Figura 10.54 - Ação de R2 = 1.

Ação de R3 = 1


2 m 4 m

6 m

4 R3=1

4

4

2 m 4 m

6 m

1

R2=1

1

1

1


56/294

394

Ação de R4 = 1


Ação de R5 = 1


2 m 4 m

1

1

R5 = 1

2 m 4 m

6 m

6

R4=1


57/294

395

Ação de R6 = 1


Tomar EJ = 1

67,266x2x2x12x2x2x

3

1f 11 =+=

146x1x2x12x1x2x2

1f 12 =+=

486x4x2f 13 −=−=

366x6x2x2

1f 14 −=−=

126x1x2x1f 15 ==

126x1x2x1f 16 ==

86x1x12x1x1f 22 =+=

246x4x1x1f 23 −=−=

186x6x1x2

1f 24 −=−=

66x1x1f 25 ==

66x1x1f 26 ==

2 m 4 m

6 m

1

1

R6=1


58/294

396

33,1174x4x4x3

16x4x4x1f 33 =+=

726x6x4x2

1

f 34 ==

324x1x4x2

16x1x4x1f 35 −=−−=

246x1x4x1f 36 −=−=

726x6x6x

3

1f 44 ==

186x1x6x2

1f 45 −=−=

186x1x6x2

1f 46 −=−=

104x1x16x1x1f 55 =+=

66x1x1f 56 ==

66x1x1f 66 ==

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−−−−−−−

−−

−−

=

661824612

6101832612

181872721836

24327233,1172448

661824814

121236481467,26

F


59/294

397



indicadas. Tomar E = 2 x 102 kN/m2..

Figura 10.59 – Pilar com as coordenadas de referência.

A coordenada 3 torce o eixo dos x.

A coordenada 4 torce o eixo dos y.

x

y

8m

1

4

3

2

0,30 m

0,60 m


60/294

398

Figura 10.60 – Coordenada1.

Figura 10.61 – Ação do deslocamento unitário ao longo da coordenada 1.

1

x

12EJx/L

12EJx/L3

6EJx/L2

6EJx/L2


61/294

399

Figura 10.62 – Coordenada 2.

Figura 10.63 - Ação do deslocamento unitário ao longo da coordenada 2.

2

y

12EJy/L

12EJy/L3

6EJy/L2

6EJy/L


62/294

400


Figura 10.65 – Rotação unitária ao longo da coordenada 3.

x

3

6EJx/L

6EJx/L

4EJx/L

2EJx/L


63/294

401


Figura 10.67 – Rotação unitária ao longo da coordenada 4.

4

6EJy/L2

6EJy/L

4EJy/L

2EJy/L


64/294

402

E = 2 X 102 kN/m2

2x

433

x kNm08,1J.Em10x4,512

60,0x30,0J =∴== −

2y

433

y kNm27,0J.Em10x35,112

30,0x60,0J =∴== −

[ ]

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

135,000253125,00

054,0010125,0

0253125,0000632812,00

010125,000253125,0

K


65/294

403


Determinar as matrizes de flexibilidade e de rigidez do pilar segundo as

coordenadas de referência indicadas. Tomar E = 2 x 102 kN/cm2.

Figura 10.68 – Pilar com coordenadas de referência.

E = 2 x 102 kN/cm

2 A = 1200 cm

2 EA = 24 x 10

4 kN

2226x

43

x kNm10x72kNcm10x72J.Ecm36000012

60x20J ==∴==

2226y

43y kNm10x8kNcm10x8J.Ecm40000

12

20x60J ==∴==

x

y

5m

3

1

2

0,20 m

0,60 m

5

4


66/294

404

1 - MATRIZ DE FLEXIBILIDADE

Ação de R1 = 1


0021,010x83,2010x24

500f 500500x1x1EAf 4

41111 ===∴== −

Ação de R2 = 1


2,510x8

10x67,41f 10x67,41500x500x500x31f EJ

6

6

226

22y ==∴==

500

1

1

1


67/294

405

Ação de R3 = 1


578,010x72

10x67,41f 10x67,41500x500x500x

3

1f EJ

6

6

336

33x ==∴==

Ação de R4 = 1


664444x

10x94,610x72

500f 500500x1x1f EJ −==∴==

1

1

500

1


68/294

406

Ação de R5 = 1


6565555y

10x5,6210x25,610x8

500f 500500x1x1f EJ −− ===∴==

26

4

344

43x34x 10x1736,010x72

10x5,12f 10x5,12500x1x500x

2

1f EJf EJ −==∴===

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−−

−−

−

−

−

62

62

2

2

4

10x5,620010x56,10

010x94,610x1736,000

010x1736,0578,000

10x56,1002,50

000010x83,20

F

1

1


69/294

407

2 – MATRIZ DE RIGIDEZ

Ação de u1 = 1

Figura 10.74 – Deslocamento unitário.

480500

10x24

L

EA 4==

Ação de u2 = 1

Figura 10.75 - Deslocamento unitário.

768,0500

10x8x12

L

EJ123

6

3

y==

u1=1

12EJy/L3

12EJy/L6EJy/L

6EJy/L


70/294

408

Ação de u3 = 1

912,6

500

10x72x12

L

EJ123

6

3x == Figura 10.76

Ação de u4 = 1

Figura 10.77

12EJx/L

12EJx/L

6EJx/L2

6EJx/L

6EJx/L2

6EJx/L2

4EJx/L

2EJx/L


71/294

409

576000500

10x72x4

L

EJ4 6x ==

Ação de u5 = 1

Figura 10.78 – Deslocamento angular unitário.

64000500

10x8x4L

EJ4 6y ==

1728500

10x72x6

L

EJ62

6

2x −=

−=

−

192500

10x8x6

L

EJ6

2

6

2

y−=

−=

−

Matriz de rigidez

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=

64000001920

0576000172800

01728912,600

19200768,00

0000480

K

6EJy/L2

6EJy/L4EJy/L

2EJy/L


72/294

410

10.11CÁLCULO MATRICIAL

Determinar a matriz de flexibilidade para o quadro de acordo com as

coordenadas de referência indicadas.

EJ = 200 kNm2


1

2

3

4m

4 m 2 m


73/294

411

Ação de R1 = 1


Ação de R2 = 1


1

4m

4 m 2 m

1

1

1

4m

4 m 2 m

2

2

6


74/294

412

Ação de R3 = 1


Cálculo de EJf 11

( ) ( ){ } ´xLMMx3

1´xLMMx´LMM2MMMM2

6

1EJf 22112111 +++++=

( ) ( ){ } 2x2x231

4x2x2422x26626x26

1

EJf 11 +++++=

EJf 11 = 69,33 + 16 + 2,67 = 88

1

4m

4 m 2 m

x

6 2 6 2

2 2

2

24 4

2


75/294

413

Cálculo de EJf 12

EJf 12 = 0,5 x 1 x [6+2]x4 + 2 x 1 x 4 + 0,5 x 2 x 1 x 2

EJf 12 = 16 + 8 + 2 = 26

EJf 22 = 1 x 1 x 4 + 1 x 1 x 4 + 1 x 1 x 2 = 10

EJf 23 =2

1 x 4 x 1 x 4 = 8

EJf 33 =

3

1x 4 x 4 x 4 = 21,33

EJf 13 =6

1(4) x [ 2(6) + (2) ] x (4) = 37,33

[ ]⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

106,004,0186,0

04,005,013,0

186,013,044,0

33,21833,37

81026

33,372688

EJ

1F

6 2 1 1

2 1

2 1


76/294

414


Determinar a matriz de rigidez para o quadro que apresenta

deslocabilidade linear para os pilares uma vez que as vigas apresentam

rigidez à flexão infinita de acordo com as coordenadas de referência

indicadas.

Tomar E = 2 x 102 kN/m2

J = 1 m4


3 m 3 m 4 m

1

2

3

J = ∞

J = ∞ J = ∞

J = ∞ J = ∞

2m

2m

4m


77/294

415

Ação de u1 = 1 ao longo da coordenada 1


33

2

3

2

3 L

2400

L

10x24

L

10x2x12

L

EJ12K ====

3002

2400Km2L

3 ==⇒=

11,116

2400Km6L

3 ==⇒=

5,374

2400Km4L3

==⇒=

3 m 3 m 4 m

J =∞

J = ∞ J = ∞

J = ∞ J = ∞

2m

2m

4m

600

-600

300 300

300300


78/294

416


Figura 10.85 - Deslocamento unitário ao longo da coordenada 2.

K11 = 2 x 300 = 600

K21 = - 2 x 300 = - 600

K31 = 0

K12 = - 2 x 300 = - 600

K22 = 4 x 300 + 1(11,11) = 1211,11

K32 = 2 x 300 = - 600

3 m 3 m 4 m

J =∞

J = ∞

J = ∞ J = ∞

2m

2m

4m

1211,11

300300

-600

-600


79/294

417


Figura 10.86 - Deslocamento unitário ao longo da coordenada 3.

K13 = 0

K23 = - 2 x 300 = - 600

K33 = 2 x 300 + 3 x 37,5 = 712,5

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

=5,7126000

60011,1211600

0600600

K

3 m 3 m 4 m

2

J =∞

J = ∞ J = ∞

2m

2m

4m

-600

712,5300 300

37,5 37,5

37,5


80/294

418

10.13 METODO DOS DESLOCAMENTOS

Determinar os momentos fletores pelo método dos deslocamentos nas

seções de apoio da viga contínua sujeita ao carregamento indicado. Tomar

EJ = 1.

2 kn 5 kn2 kn/m

4 kn

2,0 m 8,0 m 4,0 m 15,0 m 12,0 m 6,0 m 6,0 m

Figura 10.87 – Viga com o carregamento externo.EJ = 1

a) Formação do sistema principal

A B C D E

Figura 10.88 – Formação do sistema principal.


81/294

419

b) Cálculo dos fatores de forma

EJ = 1

Primeiro vão

a`= 3EJ/L

a`= 3/12 = 0,25

A B

Figura 10.89 – Fator de forma na haste AB.

Segundo vão

a= 4EJ/L

b= 2EJ/L

a = 4/15 = 0,27b = 2/15 = 0,13


82/294

420

B C

Figura 10.90 – Fatores de forma na haste BC.

Terceiro vão

a= 4/12 = 0,33b= 2/12 = 0,17

C D

Figura 10.91 - Fatores de forma na haste CD.


83/294

421

Quarto vão

a`= 3EJ/La`= 3/12 = 0,25

ED

Figura 10.92 - Fator de forma na haste DE.

c ) Cálculo dos fatores de carga

Carregamento do balanço

Ma = 2,0 x 2,0 = 4,0 kN . m

Mb = -4,0 x 0,5 = -2,0 kN . m

A B

2

4

2

Figura 10.93 – Fator de carga na haste AB.


84/294

422

Carregamento concentrado

Mb = Pab ( L+ b )/ 2L

2

Mb = 5 x 4 x 8 ( 12 + 8 ) / 2 ( 12 )2 = 11,11 kN. M

A B

5

a b

Figura 10.94 - Fator de carga na haste AB.

Carregamento uniformemente distribuído

Mb = - qL2 / 12

Mb = -2 ( 15 )2 / 12 = - 37,5 kN.m

Mc = - qL2 / 12

Mc = 2 ( 15 )2 / 12 = 37,5 kN.m


85/294

423

B C

2 kn/m

Figura 10.95 - Fatores de carga na haste BC.

Carregamento triangular

Mc = - qL2/ 20

Mc = -2 ( 12 )2 / 20 = - 14,4 kN.m

Mc = - qL2/ 30

Mc = 2 ( 12 )2 / 30 = 9,6 kN.m

CD

2 kn/m

Figura 10.96 - Fatores de carga na haste CD.


86/294

424

Carregamento concentrado

Md = - 3PL / 16

Md = - 3 x 4 x 12 / 16 = - 9 kN.m

ED

4

Figura 10.97 - Fator de carga na haste DE.

Resumo dos fatores de carga

A B C D E

9,11 -37,5 37,5 -14,4 9,6 -9

Figura 10.98 - Resumo dos fatores de carga.


87/294

425

Ação de ℓ1 = 1

A B C D E

a`= 0,25

a = 0,27

b = 0,17

Figura 10.99 – Ação da rotação unitária no nó B.

Ação de ℓ2 = 1

A B C D E

a = 0,27

b = 0,13 a = 0,33

b = 0,17

Figura 10.100 - Ação da rotação unitária no nó C.


88/294

426

Ação de ℓ3 = 1

A B C D Ea` = 0,25

a = 0,33

b = 0,17

Figura 10.101 - Ação da rotação unitária no nó D.


( 9,11 – 37,5 ) + ( 0,25 + 0,27 ) ℓ1 + 0,13 ℓ2 = 0

( 37,5 – 14,4 ) + 0,13 ℓ1 + ( 0,27 + 0,33 ) ℓ2 + 0,17 ℓ3 = 0

( 9,6 – 9 ) + 0,17 ℓ2 + ( 0,33 + 0,25 ) ℓ3 = 0

ℓ1 = 69,10

ℓ2 = - 58

ℓ3 = 16

Cálculo dos momentos fletores

Mb = 9,11 + 0,25 (ℓ1 ) + = 26,4 kN.m

Mb dir = - 37,5 + 0,27 (ℓ1 ) + 0,13 (ℓ2) = - 26,4 kN.m

Mc esq = 37,5 + 0,13 (ℓ1 ) + 0,27 (ℓ2) = 30,8 kN.m

Mc dir = -14,4 + 0,33(ℓ2 ) + 0,17(ℓ3 ) = - 30,8 kN.m

Md esq = 9,6 + 0,17(ℓ2) + 0,33(ℓ3) = 5,0 kN.m

Md dir = - 9,0 + 0,25(ℓ3 ) = - 5,0 kN.m


89/294

427

Diagrama do momento fletor

A B C D E

4,0

5,6

26,4

30,8

5,0

9,52

Figura 10.102 – Diagramas finais de momentos fletores.


90/294

428


Determinar os momentos fletores pelo método dos deslocamentos nas

seções de apoio e nós do quadro sujeito ao carregamento indicado. Tomar

EJ = 1.

Figura 10.103 – Quadro com carregamento externo.

Determinação dos fatores de forma

Haste AB = Haste CD → 5,06

3

L

EJ3´a ===

Haste BC → 333,012

4

L

EJ4a ===

167,0122

LEJ2b ===

2 kN

2 kN/m

3kN/m3kN/m

6 m 6 m 6 m 6 m

2 kN/m

A

B G C

D

E F


91/294

429

Haste EB = Haste CF → 444,09

4

L

EJ4a ===

222,09

2

L

EJ2

b ===

074,09

6

L

EJ6c

22 ===

Determinação do sistema principal


Determinação dos fatores de carga

Figura 10.105 – Fatores de carga nas hastes AB e CD.

h = 3

A 4,8 B C 4,8 D


92/294

430

Carregamentos triangulares

8,415

6x215qLM

22

B ===

8,415

6x2

15

qLM

22

C −=−

=−

=

Figura 10.106 - Fatores de carga na haste BC.

Carga uniformemente distribuída

2412

12x2

12

qLM

22

B −=−

=−

=

241212x2

12qLM 22C ===

Carga concentrada

38

12x2

8

PLMB −=

−=

−=

38

12x2

8

PLMC ===

B 24 24 C B 3 3 C

2 kN/m 2 kN


93/294

431

Carregamentos triangulares dos pilares

Figura 10.107- Fatores de carga nas hastes BE e CF.

10,830

9x3

30

qLM

22

B ===

10,830

9x3

30

qLM

22

C −=−

=−

=

15,1220

9x3

20

qLM

22

E −=−

=−

=

15,1220

9x3

20

qLM

22

F

===

05,420

9x3x3

20

qL3RB −=

−=

−=

05,420

9x3x3

20

qL3RC ===

45,920

9x3x7

20

qL7RE −=

−=

−=

45,920

9x3x7

20

qL7RF ===

8,108,10

4,05 4,05

9,45 9,45

12,15

12,15

BC

EF


94/294

432


Figura 10.108 - Resumo dos fatores de carga.

Resumo dos fatores de forma – Ação de φ1 = 1

Figura 10.109 - Ação de φ1 = 1.

0,5 0,333 0,167

0,444

0,222

-0,073

4,8 27

27 4,8

8,10

-4,05 4,05

-9,45 9,45-12,15

12,15


95/294

433

Resumo dos fatores de forma – Ação de φ2 = 1

Figura 10.110 - Ação de φ2 = 1.

Resumo dos fatores de forma – Ação de ∆3 = 1

Figura 10.111 - Ação de ∆3 = 1.

0,016 0,016

0,074 0,074

0,074 0,074

0,167 0,333 0,5

0,444

0,222

- 0,073


96/294

434


(4,8 - 27 + 8,1) + (0,5 + 0,333 + 0,444)φ1 + 0,167φ2 - 0,074∆3 = 0

(27 - 4,8 - 8,10) + 0,167φ1 + (0,5 + 0,333 + 0,444)φ2 - 0,074∆3 = 0

(4,05 - 4,05) - 0,073φ1 - 0,073φ2 + (0,016 + 0,016)∆3 = 0

-14,1 + 1,277φ1 + 0,167φ2 - 0,074∆3 = 0

14,1 + 0,167φ1 + 1,277φ2 - 0,074∆3 = 0

- 0,073φ1 - 0,073φ2 + 0,032∆3 = 0

φ1 = 12,7

φ2 = -12,7

∆3 = 0


24,9 24,9

11,511,5

13,75

9,35 9,35

13,75


97/294

435

10.15 MÉTODO DE CROSS EJ = 1

Figura 10.113 – Viga com o carregamento externo.

Fatores de forma

Haste BE → 3,010

3

L

EJ3´a ===

Haste EF → 333,012

4

L

EJ4a ===

167,012

2

L

EJ2b ===

Haste FG → 5,06

3

L

EJ3´a ===

2 kN/m

5 kN 7 kN1 kN

A B C D E F G

1 kN

2 3 4 3 12 m 6 1


98/294

436

Fatores de carga

Figura 10.114 – Fator de carga na haste BE.

MB = 1 x 2 = 2 kNm

ME = 2 x 0,5 = -1 kNm

Figura 10.115 - Fator de carga na haste BE.

( )=

+=

2E L2

bLbaPM

a = sempre do lado do engaste

b = sempre do lado do apoio

( ) ( )

kNm32,19495,12825,6

10x2

710x7x3x7

10x2

310x3x7x5M

22E

=+=

=+

++

=

B

E

5 kN 7 kN

B

E


99/294

437

Figura 10.116 - Fator de carga na haste EF.

kNm2412

12x2

12

LqM

22

E −=−

=−

=

kNm2412

12x2

12

LqM

22

F ===

Figura 10.117 - Fator de carga na haste FG.

kNm8,415

6x2

15

LqM22

F −=−

=−

=

GF

2 kN/m

FE

2 kN/m


100/294

438

Coeficientes de distribuição

474,0333,03,0

3,0

aá

á

EFBE

BEEB =+=+=µ

526,0333,03,0

333,0

aá

a

EFBE

EFEF

=+

=+

=µ

4,05,0333,0

333,0

áa

a

FGEF

EF

FE =

+=

+=µ

6,05,0333,0

5,0

áa

á

FGEF

FGFG

=+

=+

=µ

0,474 0,526 0,4 0,6

18,32 -24 24 -4,32,69 2,99 1,495

-4,239 -8,476 -12,7172,01 2,23 1,115

-0,223 -0,446 -0,6690,106 0,117 0,0585

-0,0117 -0,0234 -0,03510,00546 0,00615

23,13 -23,13 17,72 -17,72


101/294

439

Diagrama de momentos fletores


23,13

17,72

12


102/294

440


Calcular os momentos em cada ponto espaçados de 2m e os cortantes nos

pontos A, B, C, D, E e F.

Figura 10.119 – Carregamento externo.


Fatores de forma ( EJ = 1 )

• Barra AB

Figura 10.121 – Fatores de forma.

SP

h=2m

5,0L

JE3'a ==

φ=1

a'

2 2 4 8 4 4 3

5KN2KN 1KN 3KN

A B C D

2KN/m

( m )


103/294

441

• Barra BC

Figura 10.122 – Fatores de forma.

• Barra CD

Figura 10.123 – Fatores de forma

Fatores de Carga

• Barra BC

Figura 10.124

5,0L

JE4a ==

25,0L

JE2b ==

375,0L

JE3'a ==

φ=1

a b

a'

φ=1

m.KN67,1012

8.2

12

lqM

22

B −=−=−=

m.KN67,1012

8.2

12

lqM

22

C ===

2KN/m

B C

-10,67 KN.m 10,67 KN.m

B C


104/294

442

• Barra AB

Figura 10.125 – Fator de carga.


• Barra CD


m.KN42.2M A ==

m.KN44,4)26(.6.2

4.2.5MB =+=

2KN

A B

-2 KN.m

A B

4,44 KN.m

A B

3KN

C D

4,5 KN.m

C D

m.KN93.3MD ==


105/294

443


Resumo dos Fatores de Carga


Ação de φ1 = 1

Figura 10.130 – Rotação unitária no nó B.

Ação de φ2 = 1

Figura 10.131 – Rotação unitária no nó C.

1KN

C D

-1,5 KN.m

C D

m.KN5,116

8.1.3

16

L.P.3MC −=−=−=

2,44 -10,67 10,67 3,00

A B C D

0,5

0,5

0,5

A B C D

φ1

0,25 0,5

0,375

A B C D

φ2


106/294

444

Sistema: - 8,23 + φ1 + 0,25. φ2 = 0

13,67 + 0,25.φ1 + 0,875.φ2 = 0

φ1 = 13,07 e φ2 = -19,36

Momentos Fletores

m.KN975,807,13.5,044,2.5,044,2M 1esqB

=+=φ+=

m.KN975,8

)36,19(.25,007,13.5,067,10.25,0.5,067,10M 21dir B

−=

=−++−=φ+φ+−=

m.KN26,4

)36,19(.5,007,13.25,067,10.5,0.25,067,10M 21esqC

=

=−++=φ+φ+=

m.KN26,4)36,19(.375,00,3.375,00,3M 2dir C

−=−+=φ+=

Figura 10.132 – Diagramas de momentos com a continuidade quebrada.

• Suspensão dos Momentos Fletores no Primeiro Vão

Figura 10.133 – Suspensão no primeiro vão.

1 2 3 4

-8,975

-4

A B C D

A B C D

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x.83,0dxd

6975,4

=⇒↔

↔


107/294

445

Primeiro Vão Terceiro Vão

• Suspensão dos Momentos Fletores no Segundo Vão

Figura 10.134 – Suspensão no segundo vão.

• Suspensão dos Momentos Fletores no Terceiro Vão

Figura 10.135 – Suspensão no terceiro vão.

Figura 10.136 – Diagramas de momentos pelas cargas concentradas.

4 5 6 7 8

4,26

8,975

8 9 10 11 12

9

4,26

A B

1

2 3

4

5KN

3,33

6,66

+

C D

8 9

10

11 12

1KN

2

11+

z.59,0dzd

874,4

=⇒↔

↔

y.59,0dyd

8715,4

=⇒↔

↔


108/294

446

Figura 10.137 – Diagramas de momentos fletores.

Cálculo dos cortantes em formas programáveis

Figura 10.138 – Planilha para o cálculo de cortantes.

Ponto Wr 8

ql2LC Mt (KN.m)

1 0 0 - 4,0 - 4,0

2 0 0 - 4,0 - 1,66 = - 5,66 1,0

3 0 0 - 5,66 – 1,66 = - 7,32 - 3,994 0 0 - 7,32 – 1,66 = - 8,98 - 8,98

5 0,1875 12 - 8,98 + 1,18 = - 7,8 4,21

6 0,25 16 - 7,8 + 1,18 = - 6,62 9,38

7 0,1875 12 - 6,62 + 1,18 = -5,44 6,56

8 0 0 -5,44 + 1,18 = - 4,26 - 4,26

9 0 0 - 4,26 – 1,18 = - 5,44 - 4,44

10 0 0 - 5,44 – 1,18 = - 6,62 - 4,62

11 0 0 - 6,62 – 1,18 = -7,8 - 6,8

12 0 0 - 9,0 - 9,0

A B C D

DMF ( KN.m )

9,0

6,8

4,26

9,38

8,975

4

1,0

A B C D

4,0 4,0 8,975 8,975 4,26 4,26 9,0 9,0

2

3,33

0,83

1,67 8

0,590,83 0,59 0,59

8 0,5

0,59

0,5

3

4,50 11,09 7,32 3,09


109/294

447

Figura 10.139 – Diagramas finais de esforços cortantes.

A B C D

++

+

--

--

DEC ( KN )

2,5

2,5

8,59

7,41

0,091,09

3,0

2,0


110/294

448


Fazer diagramas de momentos fletores utilizando o método dos

deslocamentos.

Figura 10.140 – Quadro com deslocabilidade linear.

a) Fatores de forma ( EJ = 1 ) e h = 2

Figura 10.141 – Rotação unitária e deslocamento unitário.

C

4

6

4

3KN

3KN

A

E

6

B

2 KN.m

3

2

( m )

A

B

C

D

E

φ1

a'

a'

a

a

b

b

A

B

C

D

E

c

c

c

c


111/294

449

• Haste AB

• Haste BC

• Haste DB

• Haste BE

b) Fatores de carga

• Haste AB

Figura 10.142 - Fator de carga da haste AB.

75,04

1.3L

JE3'a ===

1L

JE4'a == 375,0L

JE6c2

==5,0L

JE2b ==

5,06

1.3

L

JE3'a ==−=

67,0L

JE4'a == 33,0

L

JE2b == 167,0

L

JE6c

2==

m.KN13,2

15

4.2

15

lqM

22

B ===

A B A B

2 KN.m 2,13 KN.m


112/294

450

• Haste BC

Figura 10.143 – Fator de carga da haste BC.

• Haste DB

Figura 10.144 – Fatores de carga da haste BD.

m.KN98

6.2

8

lqM

22

B −=−=−=

2 KN.m

C C

-9 KN.m

B B

B

D

B

D

3KN1,5 KN.m

-1,5 KN.m

m.KN5,1

8

4.3

8

LPMM BD ±==±==


113/294

451

3KN

B

E

B

E

2,25 KN.m

-2,25 KN.m

• Haste BE

Figura 10.145 – Fatores de carga da haste BE.

c) Resumo dos fatores de carga


m.KN25,28

6.3

8

LPMM EB ±==±==

A

B

C

D

E

-2,25

1,5

2,13 -9

2,25

-1,5

1,5

1,5

1,5

1,5


114/294

452

d) Resumo da ação dos hiperestáticos

Figura 10.147 – Resumo dos fatores de forma.

e) Equações de coerência

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∆++φ−+−−

=∆−+φ+++++−−

0.)0557,01875,0(.)167,0375,0()5,15,1(

0.)167,0375,0(.)67,05,0175,0()25,295,113,2(

31

21

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∆+φ+−

−=∆+φ+−

0.241,0.208,03

)15865,1(.0.208,0.92,212,6

31

31

31,11,29,10.17526,3091,4 211 =∆=φ⇒=φ−

f) Cálculo dos momentos fletores

m.KN10,313,2)29,1(.75,0MesqB

=+=

m.KN36,8)29,1(.5,09Mdir B

−=+−=

m.KN03,4)31,11(.375,0)29,1(.15,1MsupB

=++−=

m.KN22,1)31,11(.167,0)29,1(.67,025,2Minf B

=−+=

m.KN39,65,1)31,11(.375,0)29,1(.5,0MD

=++= m.KN72,325,2)31,11(.67,1)29,1(.33,0ME −=−−=

A

B

C

D

E

0,75

0,5

0,67

1

b

b

0,375

0,167

0,375

0,167

A

B

C

D

E

0,167

0,375

0,167

0,375

0,056

0,1875

0,1875

0,056


115/294


116/294

454

Linha de Chamada

Figura 10.150 – Diagrama de suspensão.

Trecho BE

Figura 10.151 – Diagrama de momentos pela carga concentrada.

Linha de Chamada


x.61,2dxd

4)04,440,6(

=⇒↔

↔+6,4

-4,04

y.417,0dyd

6)22,172,3(

=⇒↔

↔−

3KN

B E

DMF ( KN.m )

+

4,5

3,72

1,22


117/294

455

10.18 MÉTODO DE CROSS

Fazer diagramas de momentos fletores utilizando o método de Cross.

Figura 10.153 – Quadro com carregamentos externos.a) Determinação do SP

Figura 10.154 – Sistema principal.

b) Determinação dos fatores de forma ( EJ=1 )

Figura 10.155 – Ação das rotações unitárias nos nós B e C.

842 6 4

3 KN 4 KN

2 KN/m

A B C D

( m )

A B C D

h = 2

A B C D

φ1 = 1

b

a

a'

A B C D

φ2 = 1

a'

a

b


118/294

456

• Haste AB

• Haste BC

• Haste CD

c) Determinação dos fatores de carga

• Haste AB

Figura 10.156 – Fator de carga da haste AB.

5,06

3

L

JE3'a ===

m.KN67,2

)6(.2

)8(.2.4.3

L.2

)bL(.b.a.PM

22==

+=

3,0

10

3

L

JE3'a ===

25,08

2

L

JE2b ===5,0

8

4

L

JE4a ===

42

3 KN

A B A B

2,67 KN.m


119/294

457

• Haste BC

Figura 10.157 - Fatores de carga da haste BC.

• Haste CD

Figura 10.158 – Fator de carga da haste CD.

d) Cálculo dos coeficientes de distribuição

5,05,05,0

5,0

a'a

'a

MBCBA

BABA =+=+=

5,05,05,0

5,0

a'a

aM

BCBA

BCBC =

+=

+=

625,03,05,0

5,0

'aa

aM

CDCB

CBCB =

+=

+=

375,05,03,0

3,0a'a

'aMCBCD

CDCD =

+=

+=

m.KN67,1012

)8(.2

12

lqM

22

±=±=±=

m.KN72,6)10(.2

)14(.4.6.4

L.2

)bL(.b.a.PM

22−=−=

+−=

8

2 KN/m

B C B C

-10,67 10,67

6 4

4 K N

C D

- 6 , 7 2


120/294

458

e) Resumo dos fatores de carga


f) O Algorítimo de Cross

Trecho AB

Figura 10.160 – Diagrama de momento pela carga concentrada.

A B C D

2,67 -10,67 10,67 -6,72

0,5

A B C

0,5 0,625 0,375

D

-10,67

4

-1,86

0,93

-0,145

0,0725

-0,0113

0,0057

-7,687,68

0,0051

0,0725

0,93

4

2,67 6,72

-2,23

-0,17

-0,0135

-9,14

10,67

2

-3,72

0,465

-0,29

0,036

-0,0226

0,0283

9,14

-0,00106-0,0018

0,5

42

3 KN

A B+

DMF ( KN.m )

4


121/294

459

Linha de Chamada


Trecho CD

Figura 10.162 – Diagrama de momento pela carga concentrada.

Linha de Chamada


Figura 10.164 – Diagrama de momentos finais.

7,68

0

x.61,2dxd

668,7

=⇒↔

↔

6 4

4 KN

C D +

DMF ( KN.m )

9,6

9,14

0y.914,0dyd

1014,9

=⇒↔

↔

A B C D1,44

7,68

9,14

5,94

DMF ( KN.m )


122/294

460

10.19 QUADRO PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS TIRANDO

PARTIDO DA SIMETRIA

Figura 10.165 – Quadro com carregamento externo.

Passagem de cm para m ; J básico será o J maior .

Inércia de referência

6 KN

10 KN 12 KN

A B C

D E F

(m)

a

b c d

0,20

1,00

0,20

0,40

0,20

0,60

0,20

10

6

6

5 5

0,40

a

b c d

4 _3

a m601,012

1.2,0J == 43 _3

b m10.62,012

2,0.4,0J −==

433

c m10.4,012

02.6,0J −== 43

_3

d m10.62,012

2,0.4,0J −==

R

4 _

a

Jm601,0J ==


123/294

461

• Haste AD

• Haste BE

• Haste CF

• Haste DE = Haste EF

Sistema Principal

Figura 10.166 – Vínculos para tornar o quadro indeslocável.

m750'l12.

10.62,0

601,0

J

J'l

3 _

_

b

R =⇒==−

m50012.10.4,0

601,0

J

J'l

3

_

b

R ===−

m75012.

10.62,0

601,0

J

J'l

3 _

_

b

R ===−

m10l'l ==→

A C

D E F

a

a a

aa

b b b

h = 4


124/294

462

Cálculo dos fatores de forma

• Haste AD

• Haste BE

• Haste CF

• Haste DE (haste EF)

10.19.1 Primeira parte: Estudo do carregamento simétrico

Figura 10.167 – Carregamento simétrico.

0053,0750

4

'l

4

a === 0027,0'l2

b ==5

22 10.07,1750

6

'l

6

c

−

===

5

210.4,2

500

6c −==004,0

500

2b ==008,0

500

4

'l

4a ===

5

2210.07,1

750

6

'l

6c −===0027,0b =0053,0

750

4

'l

4a ===

2,0b4,010

4

'l

4a ====

A B C

D E F

3 KN

5 KN

3 KN

5 KN


125/294

463

Sistema principal


Cálculo dos fatores de carga

• Haste AD

Figura 10.169 – Fator de carga da haste AD.

• Haste DE

Figura 10.170 – Fatores de carga da haste DE.

A

DE

h = 1

m.KN5,78

12.5

8

L.PM ===

A

D

-7,5

7,5

m.KN75,3

8

10.3

8

L.PM ===

D E

-3,75 3,75


126/294

464

Resumo dos fatores de carga e de forma

Figura 10.171 – Resumo dos fatores de carga e forma.


Cálculo dos momentos (kN.m)

DE

-3,75 3,75

-7,5

7,5

A

DE

0,4

0,2

φ1 = 1

0,0027

0,0053

00.4053,075,3 11 =φ⇒=φ+

m.KN52,7)25,9(.0027,05,7M A −=−+−=

m.KN9,1)25,9(.2,075,3MesqE

=−+=

m.KN45,7)25,9(.4,075,3Mdir D

−=−+−=

m.KN45,7)25,9(.0053,05,7Minf D

=−+=


127/294

465

Figura 10.172 – Diagramas dos momentos fletores simétricos.

10.19.2 Segunda parte: Estudo do carregamento antimétrico

Figura 10.173 – Carregamento antimétrico.

7,515

7,45

7,45

2,825

1,90

2,825

7,45

7,515

7,45

7,52

DMF ( KN.m )

A B C

D E F

3 KN

5 KN

3 KN

5 KN12 KN


128/294

466

Sistema principal



• Haste AD

Figura 10.175 – Fatores de carga da haste AD.

• Haste EB

Figura 10.176 – Fatores de carga da haste EB.

A B C

D E F h = 4

m.KN188

12.12

8

L.PM ===

m.KN5,78

12.5

8

L.P

M ===

A

D

- 7 , 5

7 ,5

A

D

18

-1 8


129/294

467

• Haste DE

Figura 10.177 – Fatores de carga da haste DE.

Resumo dos fatores de carga e de forma

Ação de φ1 = 1

Figura 10.178 – Fatores de forma pela ação de φ1 = 1.

m.KN75,38

10.3

8

L.PM ===D E

3,75 3,75

B C

E

F

A

D

0,4

0,2

φ1 = 1

0,0027

0,0053

0,000667

0,000667


130/294

468

Ação de φ2 = 1

Figura 10.179 - Fatores de forma pela ação de φ2 = 1.

Ação de φ3 = 1

Figura 10.180 - Fatores de forma pela ação de φ3 = 1.

A B C

D E F

0,4

φ2 = 1

0,004

0,008

0,4

0,20,001

0,001

0,2

A B C

D E F

φ3 = 1

0,0027

0,00533

0,4

0,2

0,000667

0,000667


131/294


132/294

470

l) Equações de coerência

m) Cálculo dos momentos fletores

8,13361180,2232,2080,22 4321 −=∆−=φ=φ−=φ QQQ

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−φ−φ−φ−

=∆−φ+φ+

=∆−φ+φ+φ+−

=∆−φ+φ+

−−−

−

−

−

010.56,7.10.67,6.001,0.10.67,61

0.10.07,1.4053,0.2,075,3

0.10.4,2.2,0.808,0.2,05,10

0.10.07,1.2,0.4053,075,3

63

421

4

45

32

45

321

45

21

81,85,7)8,133611(.10.07,1)80,22(.0053,0M 5inf F

=+−−−= −81,875,3)80,22(.4,0)32,20(.2,0M

esqF

−=−−+=

32,775,3)80,22(.2,0)32,20(.4,0Mdir E

=+−+=

63,1418)8,133611(.10.4,2)32,20(.008,0M 5inf

E −=−−−= −

32,775,3)32,20(.4,0)80,22(.2,0MesqE

=++−=

81,875,3)32,20(.2,0)80,22(.4,0Mdir D

−=−+−=

81,85,7)8,133611(.10.07,1)80,22(.0053,0M 5inf D

=+−−−= −

13,65,7)8,133611(.10.07,1)80,22(.0027,0M 5C −=−−−−= −

29,2118)8,133611(.10.4,2)32,20(.004,0M 5B =+−−= −

13,65,7)8,133611(.10.07,1)80,22(.0027,0M 5 A −=−−−−= −


133/294

471

Figura 10.183 – Diagrama dos momentos fletores antimétricos.

Diagrama final

Figura 10.184 – Diagrama de momentos fletores finais pela soma dodiagrama simétrico com o diagrama antimétrico.

6,13

7,53

18,04

8,81

8,81

0,57

7,32

7,32

14,63

21,29 6,13

7,53

8,81

8,818,25

DMF ( KN.m )

13,65 21,291,39

1,36

1,36

5,42

14,63

18,04

15,05

2,26

9,22

16,26

16,26

DMF ( KN.m )


134/294

472


Montar a matriz de flexibilidade para o quadro segundo as coordenadas

de referência indicadas. E = 2 x 102 kN/m2 e J = 1 m4.

Figura 10.185 - Quadro com coordenadas de referência.

3

1

2

2

4

3 m 3 m m

4


135/294

473

Ação de R1 = 1


Ação de R2 = 1


3

R2=1

6

2

R1=1


136/294

474

Ação de R3 = 1


Ação de R4 = 1


2

2

6

2

R4=1

3

R3=1


137/294

475


( )( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )[ ]( )

EJ

84f

424662126

1

3222223

1EJf

11

11

=

=−−−+−−−+

+−−+−−=


( )( )( ) ( )( )( )( )

EJ45f

43313333

1EJf

22

22

=

=+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =


138/294

476


( )( )( ) ( )( )( )( )

EJ

45f

43313333

1EJf

33

33

=

=+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =


( )( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )[ ]( )

EJ

84f

42466212

6

1

3222223

1EJf

44

44

=

=−−−+−−−+

+−−+−−=


139/294

477


( )( )( ) ( )( )( )

EJ

57f

46232

1332

2

1EJf

12

12

=

=+++=


( )( ) ( )( )[ ]

EJ33,69f

422x26626x26

1EJf

14

14

−=

=+++−=


140/294


141/294

479


( )( )( )

EJ

48f

46232

1EJf

24

24

−=

=+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=


( )( )( ) ( )( )( )

EJ57f

3232

14623

2

1EJf

34

34

=

=++=


142/294

480

[ ]

⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−−

=

84574833,69

57453648

48364557

33,69485784

FEJ

Tomando-se EJ = 2 x 102 kN.m2 , tem-se:

[ ]

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

−−

=

42,0285,024,03466,0285,0225,018,024,0

24,018,0225,0285,0

3466,024,0285,042,0

F


Montar a matriz de rigidez para a barra segundo as coordenadas dereferência indicadas e seção transversal da barra. E = 2x102 kN/m2 e J=1m4.

Figura 10.190 – Barra com as coordenadas de referência.

L = 8 m

2

1

4

3


143/294

481

a) Deslocamento unitário ao longo da coordenada 1

Figura 10.191 – Ação do deslocamento unitário ao longo da coordenada 1.

b) Rotação unitária ao longo da coordenada 2

Figura 10.192 - Ação da rotação unitária ao longo da coordenada 2.

4EJ/L

6EJ/L2

2EJ/L

6EJ/L2

12EJ/L3 6EJ/L2

6EJ/L2

12EJ/L3


144/294

482

c) Rotação unitária ao longo da coordenada 3


d) Deslocamento unitário ao longo da coordenada 4


6EJ/L2

2EJ/L

4EJ/L

6EJ/L2

12EJ/L3

6EJ/L2

6EJ/L2

12EJ/L3


145/294

483

Matriz de rigidez

1 2 3 4

L = 10 m

J = 1m4

E = 2 x 102 kN/m2

EJ = 2 x 102 kN.m2

Então:

1 2 3 4

2,4 -12 12 -2,4

-12 80 -40 12

12 -40 80 -12

-2,4 12 -12 2,4

12EJ/L3 -6EJ/L2 6EJ/L2 -12EJ/L3

-6EJ/L2 4EJ/L -2EJ/L 6EJ/L2

6EJ/L2 -2EJ/L 4EJ/L -6EJ/L2

-12EJ/L3 6EJ/L2 -6EJ/L2 12EJ/L3


146/294

484



indicadas. Tomar E = 2 x 102 kN/cm2..

Figura 10.195 – Pilar com as coordenadas de referência indicadas.

A coordenada 4 torce o eixo dos x.

A coordenada 3 torce o eixo dos y.

x

y

4m

2

3

4

1

0,40 m

0,60 m


147/294

485

4433

x cm000.720m10x2,712

60,0x40,0J === −

4433

y cm000.320m10x2,312

40,0x60,0J === −

E.Jx = 21x102 x 720.000 = 15,12 x 108 kN.cm2

E.Jy = 21x102 x 320.000 = 6,72 x 108 kN.cm2



126400

320000x10x21x12

L

EJ12k

3

2

3

y11 ===

25200400

320000x10x21x6

L

EJ6k

2

2

2

y31 −=

−=

−=

K11 = 12EJy/L3

12EJy/L36EJy/L

2

K31 = 6EJy/L2


148/294

486



5,283400

720000x10x21x12

L

EJ12k

3

2

3x

22 ===

56700

400

720000x10x21x6

L

EJ6k

2

2

2x

42 −=−

=−

=

K22 = 12EJx/L3

12EJx/L3

K42 = 6EJx/L2

6EJx/L2


149/294

487



6720000400

320000x10x21x4

L

EJ4k

2y

33 ===

25200400

320000x10x21x6

L

EJ6k

2

2

2

y13 −=

−=

−=

6EJy/L2

6EJy/L2

4EJy/L

2EJy/L


150/294

488



15120000400

720000x10x21x4

L

EJ4k

2x

44 ===

56700

400

720000x10x21x6

L

EJ6k

2

2

2

x24 −=

−=

−=

K24 = 6EJx/L2

6EJx/L2

K44 = 4EJx/L

2EJx/L


151/294

489

[ ]

⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=

000.120.150700.560

0000.720.60200.25

700.5605,2830

0200.250126

K

10.23 TRABALHOS VIRTUAIS ENVOLVENDO DIAGRAMAS DE

TRAPÉZIOS.

a)

( ) ( )[ ] ´L.´M.M.2M´M.MM.26

1EJf 221121ij +++=

b)

( ) ´L.´M.2´M.M.6

1EJf 212ij +=

M1 M2 M1´ M2´

M1 M2 M1´ M2´


152/294

490

c)

( ) ´L.´M´M.2.M.6

1EJf 211ij +=

d)

( )´L.´M´M.M.

2

1EJf

211ij +=

10.24 MÓDULOS DE ELASTICIDADE LONGITUDINAL DO CONCRETO E

DO AÇO

Concreto

E = 210.000 kgf/cm2

= 2.100.000 N/cm2

= 2.100 kN/cm2

E = 2.100 kN/cm2 = 21 x 102 kN/cm2. = 210 tf/cm2.

E = 21.000 MPa

Aço

E = 2.050.000 kgf/cm2 = 205.000 MPa

M1 M1´ M2´

M1 M2 M1´ M2´


153/294

491

10.24 QUADRO COM DESLOCABILIDADE LINEAR E RÓTULAS


Formação do sistema principal


2 kN/m

2 kN/m2 kN/m

20 m 20 m

5m

A

B D

C

F

E


154/294

492

Cálculo dos fatores de forma. Tomar EJ = 1

Haste AB = EF

60,05

3

L

EJ3á ===

12,05

3

L

EJ3ć

22 ===

Haste CD

80,05

4

L

EJ4a ===

40,05

2

L

EJ2b ===

24,05

6

L

EJ6c 22 ===

Haste BD = DF

15,020

3

L

EJ3á ===


Haste AB = Haste EF

25,68

5x2

8

qL

M

22

A −=

−

=

−

=


155/294

493

25,68

5x2x5

8

qL5R A −=

−=

−=

75,38

5x2x3

8

qL3

RB −=

−

=

−

=

Figura 10.202 – Fatores de carga da haste AB.

Haste BD = Haste DF

1008

20x2

8

qLM

22

D ===

258

20x2x5

8

qL5RD ===

158

20x2x3

8

qL3RB ===

R A = - 6,25

RB = - 3,75

M A=-6,25

A

B


156/294


157/294

495

Ação de ∆2 = 1

Figura 10.205 – Ação do deslocamento unitário.

Equações de coerência

( 100 - 100) + (0,15 + 0,15 + 0,80).φ1 + (-0,24).∆2 = 0

( 3,75 - 3,75) + (-0,24).φ1 + (0,024 + 0,096 + 0,024).∆2 = 0

1,1.φ1 - 0,24.∆2 = 0

-0,24.φ1 + 0,144.∆2 = 0

0,024 0,096 0,024

0,12 0,240,12

0,24


158/294


159/294

497



Formação do sistema principal


8 m

2 kN/m

2 kN/m

2 kN

2 kN

2 m

2 m

2 m A

B C

D

E

F


160/294


161/294

499

Haste BC

Figura 10.211 - Fatores de forma da haste BC pela rotação.

Determinação dos fatores de carga

Haste AB

Figura 10.212 – Fatores de carga da haste AB.

a = 4/L = 4/8 = 0,5 b = 2/L = 2/8 = 0,25

MB = +qL2/12 = 2x6

2/12 = 6 kN.m

M A = -qL2/12 = -2x62/12 = -6 kN.m

RB = -6 kN

R A = -6 kN


162/294

500

Haste BC

Figura 10.213 - Fatores de carga da haste BC.

Haste CF

Figura 10.214 - Fatores de carga da haste CF.

2 kN/m

-10,67+10,67

-1,78

+0,89

2 kN

2 m

4 m

+1,48

+0,52


163/294

501


Somatório total da haste CF


- 2,67

+ 2,67

2 kN

2 m

2 m

+ 2

+ 2

2 m

2 kN

-0,89

+1,78

2 kN

4 m

2 m

+1,48

+0,52


164/294

502



Ação da rotação φ1 = 1

Figura 10.218 – Ação da rotação unitária φ1 = 1.

0,5 0,25

0,667

0,333

0,17

0,17

-10,67 +10,67

+6

-6

-2,67

+2,67

-6 +2

-6 +2


165/294

503

Ação da rotação φ2 = 1

Figura 10.219 - Ação da rotação unitária φ2 = 1.

Ação do deslocamento linear ∆3 = 1

Figura 10.220 – Ação do deslocamento linear ∆3 = 1.

+ 0,055 + 0,055

-0,055 -0,055

-0,167

-0,167 -0,167

-0,167

0,50,25

0,667

0,333

-0,17

+

Documents

Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632