Problemas Isostaticos e Hiperestaticos

ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES

EN LOS MEDIOS CONTÍNUOS

PROBLEMAS ISOSTÁTICOS E HIPERESTÁTICOS

Julio Melián Pérez-Marín

2010

Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos

Julio Melián/2010

2


Julio Melián/2010

3

INTRODUCCIÓN

En la obra de este mismo autor sobre “Elasticidad Tensorial” se requiere una gran dosis

de asimilación práctica en forma de realización de múltiples ejercicios y problemas que

ayuden al alumno a fijar sus conceptos y, sobre todo, a lograr una clara y eficaz manera de

aplicarlos logrando así el rendimiento que su conocimiento y dominio debiera exigir.

Así que, como un complemento de dicha obra y continuación de la misma, se ofrece este

compendio de 113 problemas: unos resueltos con toda clase de detalles, otros tan solo con

la orientación de su enfoque y planteamiento, completando la colección con una serie de

enunciados que el alumno debe resolver por sí solo, adquiriendo así su propia autonomía y

completando su formación.

La extensión hacia el análisis elástico de las vigas cargadas transversalmente es el epílogo

adecuado de esta obra. Igualmente se han introducido una colección de problemas con el

planteamiento hiperestático de la casuística de pórticos simples que serán de aplicación e

interés para las asignaturas de cálculo de estructuras incluidas en el plan de estudios para

el Título de Grado de Arquitecto.

La práctica, como método para alcanzar el dominio de una materia, es el procedimiento

más adecuado para la preparación y éxito del estudiante. La entrada en el Espacio de

Educación Superior Europeo (EEES) de la Escuela de Arquitectura de la Universidad de

Las Palmas de Gran Canaria, exige la utilización de estos métodos para cumplir sus

objetivos con la aportación por la Universidad de los medios oportunos para el trabajo del

alumno.


Julio Melián/2010

4

Esta obra está dividida en capítulos en los que se agrupan problemas referentes a los

ejercicios propios de las siguientes materias:

Cálculo y prácticas de álgebra tensorial: cambios de coordenadas, obtención de

vectores transformados de otros por un tensor, obtención de valores propios y

direcciones principales de un tensor simétrico y determinación de componentes

intrínsecas del transformado de un vector. Todo ello como esencia conceptual de la

condición tensorial de los esfuerzos actuantes en el interior de un sólido sometido

a cargas externas.

Problemas específicos de Círculos de Mohr y aplicaciones concretas a tensores de

esfuerzos. Dentro de las mismas premisas citadas antes.

Casos isostáticos en problemas de deformaciones de estructuras articuladas con

elementos unidimensionales. Orientado a comenzar el ejercicio de la utilización de

la Ley de Hooke que relaciona esfuerzos con deformaciones.

Problemas de determinación de tensiones y esfuerzos en barras de estructuras

hiperestáticas articuladas. Problemas hiperestáticos de deformaciones. Con lo que

se pretende que el alumno organice su mente en la percepción de las condiciones

hiperestáticas de la estructura y así poder determinar incógnitas imposibles de

calcular por las ecuaciones deducidas de la Estática Analítica.

Problemas de esfuerzos y deformaciones elásticas en cuerpos tridimensionales en

situación isostática. Traspasando así la barrera de los elementos unidimensionales

para adentrarnos en las formas reales tridimensionales.

Problemas de esfuerzos y deformaciones elásticas en sistemas tridimensionales

hiperestáticos. Con lo que se desea completar y concluir la formación práctica

integral del contenido de esta materia.

Problemas de resolución de reacciones y determinación de diagramas de fuerzas

cortantes, momentos flectores y elásticas en vigas isostáticas e hiperestáticas. Ello

capacitará al alumno para abordar, en cursos sucesivos de Cálculo de Estructuras,

y el estudio de pórticos simples, y estructuras reticulares como soporte resistente

en la edificación, cuyo desarrollo práctico se aborda en un último capítulo como

iniciación en los pórticos isostáticos e hiperestáticos.

Desde aquí le deseo al lector el mejor aprovechamiento de este trabajo.

Las Palmas de Gran Canaria, enero de 2010

El Autor


Julio Melián/2010

5

ÍNDICE

Capítulo 1: Álgebra Tensorial

Capítulo 2: Círculos de Mohr

Capítulo 3: Problemas isostáticos unidimensionales

Capítulo 4: Sistemas y estructuras articuladas planas

Capítulo 5: Sistemas tridimensionales hiperestáticos

Capítulo 6: Elementos estructurales con carga transversal

Capítulo 7: Sistemas estructurales compuestos. Pórticos


Julio Melián/2010

6

Deseo dedicar este trabajo a los que

fueron mis alumnos en la primera

etapa de la Escuela de Arquitectura

de Las Palmas, sin cuyo apoyo esta

obra nunca hubiera visto la luz.


Julio Melián/2010

7

Capítulo Primero

Álgebra Tensorial


Julio Melián/2010

8


Julio Melián/2010

9

PROBLEMA nº I-1

Definido para unos ejes ;k;j;i

el siguiente Tensor simétrico:

201

021

113

, determinar:

a) Invariantes del Tensor.

b) Valores Propios.

c) Dirección principal correspondiente al mayor de los ejes del Elipsoide de Lamé.

d) Componentes normal y transversal del transformado por el Tensor, de aquel versor cuya

dirección viene dada por un vector: k6j2i3V

SOLUCIÓN

a) Los tres invariantes serán:

8211211223

201

021

113

ttt

ttt

ttt

ABC

1411322223tttttttttCABCAB

7223tttCBA

332313

232212

131211

22223

213

212113333222211

332211

b) La ecuación cúbica que nos determina los valores propios:

1C

2B

4A

1

4

2

045

02

02232022223

0

201

021

113

ttt

ttt

ttt

3

2

1

2

332313

232212

131211

c) El eje mayor del Elipsoide de Lamé corresponde al del valor propio 4A por lo que el

sistema de ecuaciones homogéneas a plantear sería:

32

321

31

21

321

31

21

32122

02

02

0

0A2

0A2

0A3

que, unidas a la condición de versor que define la dirección principal en cuestión :

123

22

21


Julio Melián/2010

10

obteniéndose:

6

6

6

6

3

6

3

2

1

; y resultando la dirección: k6

6j

6

6i

3

6uA

d) El versor de V

es k7

6j

7

2i

7

3

V

Vn

; por lo que su vector asociado mediante la

transformación del Tensor , será:

k7

15j

7

7i

7

17k2

7

60

7

21

7

3j0

7

62

7

21

7

3i1

7

61

7

23

7

3Tnw

resultando así que su componente normal es: 163,349

155

49

90

49

14

49

51 wn

; y la

transversal: 218,149

562.3

401.2

025.24587.27

401.2

025.24

49

56322

w

Reflexiónese acerca del resultado y los valores dados como componentes del tensor.


Julio Melián/2010

11

PROBLEMA nº I-2

Un tensor plano (T), transforma los versores 1n

y 2n

en los vectores 1v

y 2v

, siendo:

j2

3i

2

1n

j2

1i

2

3n

2

1

j2

26i

2

26v

j2

24i

2

24v

2

1

Hallar el tensor (T), referido a los ejes X e Y cuyos versores son i

y j

.

SOLUCIÓN

Si el tensor tiene por expresión

yyyx

xyxx

y

x

tt

tt

t

tT

)( , resultará que

)T(nv

)T(nv

22

11

;

es decir:

jttitttt

ttjijiv

jttitttt

ttjijiv

yyxyyxxx

yyyx

xyxx

yyxyyxxx

yyyx

xyxx

2

3

2

1

2

3

2

1

2

3

2

1

2

26

2

26

2

1

2

3

2

1

2

3

2

1

2

3

2

24

2

24

2

1

lo que, igualando los coeficientes de i

y de j

, en ambas ecuaciones, daría:

;2

24

2

1

2

3

;2

24

2

1

2

3

yyxy

yxxx

tt

tt

;2

26

2

3

2

1

;2

26

2

3

2

1

yyxy

yxxx

tt

tt

Sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas que, una vez resuelto, da respuesta al

problema:

;212

33t;21

2

33t

;22

33t;2

2

33t

yyyx

xyxx


Julio Melián/2010

12

PROBLEMA nº I-3

En un espacio de dos dimensiones, determinado por un sistema de ejes cartesianos X e Y, se

pide:

a) Hallar el tensor (T) de 2º Orden tal que transforma al vector jvivv yx

en el

jvivv yx

''' ; de tal manera que en el punto

;bv

;av

y

x el vector v

se transforma en sí

mismo. Y para

;bv

;nv

y

x (cuando n ), sean

;nv

;av

'

y

'

x

b) Hallar el lugar geométrico del extremo del 'v

, cuando el v

describe la recta bv y

SOLUCIÓN

Sustituyendo los valores dados de las componentes de v

y 'v

en las fórmulas de

transformación, se podrán calcular las componentes del Tensor solicitado en los ejes i

y j

.

Con él, haciendo la transformación de v

con su componente bv y constante, podrá

deducirse que dicha condición implica otro valor constante para '

xv , lo que, a su vez, obliga a

que ese lugar geométrico pedido sea otra recta perpendicular a la anterior.


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13

PROBLEMA nº I-4

Dado el tensor

21

24 en un espacio de dos dimensiones, referido a los ejes X e Y, determinar sus Valores

Propios y Direcciones Principales.

SOLUCIÓN

En general, las direcciones principales serán:

;cos

;cos

222

111

jisenjiu

jsenijiu

(expresiones que, en función del ángulo υ que forman iu1

con , cumplen las condiciones de

que 1u

y 2u

sean unitarios y perpendiculares) siendo sus asociados:

;cos22cos4

;2cos2cos4

0

0

jsenisenb

jsenisena

que deberán ser perpendiculares entre sí: 000 ba

(producto escalar nulo) por lo que:

0cos222cos2

cos4cos4

sensen

sensen

lo que, tras el correspondiente desarrollo analítico, resulta 0 ; es decir, iu

1 y ju

2

con lo que las direcciones principales resultarán

;j2ib

;j2i4a

0

0

siendo sus módulos los

valores propios A, B

521

522024

22

22

B

A;

Esto mismo puede ser razonado, entendiendo que si 1u

y 2u

coinciden con los ejes

originales, sus transformados serán las componentes xt

y yt

del Tensor dado, llegándose a la

misma conclusión.

X

Y

1u

1u

2u

υ

υ


Julio Melián/2010

14

PROBLEMA nº I-5

Considérese el Tensor que, expresado en los ejes X, Y, Z, es:

110

101

011

T

y determínense sus valores propios y direcciones principales, así como la forma que adquiere

al referirlo a dichas direcciones.

SOLUCIÓN

Para calcular sus valores propios resolveremos la ecuación:

1

2

1

02101210

110

11

011

3

2

122

Las direcciones principales vendrán dadas por aquel triedro 321 u;u;u

tal que multiplicado por

el Tensor T nos den tres vectores de direcciones coincidentes con el triedro y de módulos

3;2;1 .

Tras el planteamiento de las ecuaciones homogéneas y la independiente del módulo unidad

del versor de cada dirección, se obtienen como solución:

kj2i6

6u

kji3

3u

ki2

2u

1

2

1

El Tensor, referido a sus direcciones principales, queda:

100

020

001

T


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15

PROBLEMA nº I-6

Dado el Tensor simétrico referido a los ejes k;j;i

017

152

723

determínese:

a) Sus invariantes.

b) Valores Propios.

c) La dirección principal correspondiente al mayor de los ejes del Elipsoide de Lamé.

SOLUCIÓN

a) Invariantes:

27032451414

017

152

723

ttt

ttt

ttt

ABC

69149415tttttttttCABCAB

253tttCBA

332313

232212

131211

223

213

212113333222211

332211

b) Valores Propios:

6C

5B

9A

0965

0543502706920

17

152

723223

c) Dirección principal correspondiente al mayor valor propio 9A :

k42

4j

42

1i

42

5n

42

4n

42

1n

42

5n

1n16nn251nnn

n4n

n5n

0n9nn7

0nn14n2

0n7n2n6

A

3

2

1

22

22

22

23

22

21

23

21

321

321

321


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16

PROBLEMA nº I-7

Dado el Tensor que, referido a los ejes k;j;i

, tiene por expresión:

35

32

32

32

613

61

32

61

613

a) Compruébense que sus invariantes valen 6, 11 y 6.

b) Determínense sus valores propios.

c) Determínense sus direcciones principales

SOLUCIÓN

a) Invariantes:

6

35

32

32

32

613

61

32

61

613

ttt

ttt

ttt

ABC

1136

32

36

1

36

260

36

169tttttttttCABCAB

63

5

6

13

6

13tttCBA

332313

232212

131211

223

213

212113333222211

332211

b) Valores Propios:

1C

2B

3A

0231

065161160

35

32

32

32

613

61

32

61

613

223

c) Dirección principal correspondiente al mayor valor propio 3A :

k3

3j

3

3i

3

3n

3

3n

3

3n

3

3n

1n31nnn

nnn

0n8n4n4

0n4n5n

0n4nn5

A

3

2

1

22

23

22

21

321

321

321

321

El mismo proceso se seguirá con los otros dos valores propios, resultando:

;k6

62j

6

6i

6

6n;j

2

2i

2

2n CB


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17

PROBLEMA nº I-8

Dado el Tensor

312

141

213

T , referid aciertos ejes conocidos k;j;i

, hallar sus valores

propios y direcciones principales

PROBLEMA nº I-9

Determinar las componentes intrínsecas del transformado del versor j2

2i

2

2n

mediante un tensor plano que tiene un valor propio igual a -1 y que da, como

transformado de un versor a

, el vector de componentes intrínsecas 2;3 .

Se supone que jyi

son los versores de las direcciones principales.

PROBLEMA nº I-10

Dado el tensor

45

430

43

470

002

T . Determínese la posición de los vectores que al

transformarse por el Tensor no cambian de dirección y duplican su módulo.

PROBLEMA nº I-11

Un elemento de volumen de un sólido se encuentra sometido a los esfuerzos normales y

cortantes que indica la figura, medidos en Kg/cm2. Determinar los esfuerzos normales

máximos de tracción y de compresión.

220

20

20

20

220

20


Julio Melián/2010

18


Julio Melián/2010

19

Capítulo Segundo

Círculos de Mohr


Julio Melián/2010

20


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21

PROBLEMA nº II-1

El estado de esfuerzos en un punto del interior de un sólido elástico es el que se indica en la figura.

Determinar ζx, mediante el uso de los Círculos de Mohr, para que el esfuerzo cortante máximo sea

de 120 Kg/cm2. En caso de existir dos ó más soluciones, se deberá elegir el ζx de tracción.

Determinar también, gráficamente, los valores propios del tensor de esfuerzos.

Finalmente, calcúlense los esfuerzos normal y cortante sobre el plano que forma ángulos iguales con

los principales.

SOLUCIÓN

1. El esfuerzo cortante ηzy será igual al esfuerzo cortante ηyz= 340 ya que convergen en una

arista de corte de planos ortogonales.

2. Los planos perpendiculares a los ejes Y y Z son perpendiculares entre sí, y ambos pasan

por el eje X, que será Dirección Principal por no tener esfuerzo cortante asociado.

3. Los esfuerzos aplicados a los planos normales a Y y Z se encontrarán en uno de los tres

Círculos Principales de Mohr (los dos en el mismo círculo) ya que sus normales son

perpendiculares a una dirección principal y, además, diametralmente opuestos por ser

perpendiculares entre ellos.

40 Kg/cm2

40 Kg/cm2

ζx

340 Kg/cm2

ηzy

X

Z

Y


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22

4. Así, al dibujar las posiciones de los puntos Py y Pz, obtendremos el círculo de la figura:

5. Con lo que deducimos que el centro de ese círculo principal es el origen de ζ y η, que su

radio es de 80 y que los valores principales serán +80 Kg/cm2 y -80 Kg/cm

2. Por tanto,

para que se alcance un η max = 120 Kg/cm2, será preciso localizar un ζx situado bien a la

izquierda o la derecha de los valores propios encontrados.

6. Así que el esfuerzo pedido será: ζx=160 Kg/cm2

7. De otra parte, los valores propios serán los correspondientes al Tensor de Esfuerzos:

8000

0800

00160

Py(40, 340 )

Pz(- 40, 340 )

η

ζ

Py

Pz

η

ζ

η max = 120

80

ζ1x=160 ζ2x= -160


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23

8. Finalmente, el versor que forma ángulos iguales con los tres ejes coordenados será el

CBA u3

3u

3

3u

3

3n

por lo que su transformado será:

CBA u3

380u

3

380u

3

3160t

y sus componentes intrínsecas:

2cm/Kg

3

160

3

180

3

180

3

1160tn

2

2222

cm/Kg803

14

3

160

3

80

3

80

3

160

2222cm/Kg79.99cm/Kg

3

1480;cm/Kg33.53cm/Kg

3

160

valores que, con cierta aproximación, se comprueban mediante los Círculos de Mohr:

η

ζ

η max = 120 R=80

ζx=160 80z

ζZ=-80

54º 44’ 08”

53

100


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24

PROBLEMA II-2

Del estado de esfuerzos en un punto, se sabe que de los planos cuyas normales forman 60º

con la dirección principal del mayor valor propio, el que soporta mayor esfuerzo cortante

tiene asociado un esfuerzo normal de compresión de 40 Kg/cm2 y que la máxima

compresión que soporta esa familia de planos es de 60 Kg/cm2. De otra parte, la

compresión máxima absoluta del tensor de esfuerzos es de 100 Kg/cm2.

Determinar el esfuerzo máximo de tracción y el esfuerzo máximo cortante.

SOLUCIÓN

1. Para la familia de planos que forman 60º con la dirección principal X correspondiente al

valor propio mayor (A), sus esfuerzos ζ y η habrán de pertenecer, en la construcción

gráfica de Mohr, al arco perteneciente a ese ángulo con centro en OA.

2. De ese arco, el punto que corresponde a la máxima compresión, será el situado en la

posición extrema izquierda. (Este punto podría coincidir con el mayor esfuerzo η de los

existentes en dicho arco, en el caso de que este arco no llegara a alcanzar la vertical por su

centro). Esa compresión máxima es de 60 Kg/cm2 (P’).

3. Sin embargo, el enunciado advierte que el máximo η se alcanza con un valor menor, (de

2cm/Kg40 ). Lo que implica que el máximo η se produce sobre el centro OA, y que

este punto está en 2cm/Kg40 , desconociéndose, por el momento, el radio del arco.

4. Volviendo al apartado 2, el punto que represente a la compresión máxima de esa familia

tiene que estar sobre la vertical de P’, sobre el susodicho arco y en la circunferencia

exterior de los Círculos de Mohr (punto P).

40

η

ζ

60

100

OA C

arco de 60º con X P

P’


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25

5. De otra parte, el máximo absoluto de compresión es de 100 Kg/cm2. Así, el punto C

correspondiente al menor valor propio esta situado en esta coordenada. También

perteneciente a la circunferencia exterior, como el P.

6. Esto supone que la circunferencia con centro en OA y radio OAC será una de las interiores

de los Círculos de Mohr

7. Como se ha dicho en 4 y 5, por C y por P pasará la circunferencia exterior de los Círculos

de Mohr y, además, CP tendrá que formar con la vertical que pasa por C un ángulo de 30º,

con lo que puede trazarse la recta CP y así, en su intersección con P’P estará el punto P.

40

η

ζ

60

100

OA C

P

P’ B

40

η

ζ

60

100

OA C

P

P’

30º


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26

8. Así que la construcción de los Círculos de Mohr quedará:

9. Resultando que: 2

max cm/Kg80 ; y 2T

max cm/Kg60

η

ζ

η max = 80 RA=60

60A

60º

60 40 40

40 C

P

P’

OA

RB=80

OB


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27

PROBLEMA II-3

Del estado de esfuerzos en un punto se sabe lo siguiente:

1. En el plano donde se produce el esfuerzo cortante máximo absoluto, su esfuerzo

normal asociado es ζηmax = 10.

2. De su correspondiente tensor de esfuerzos, el valor propio intermedio vale B = 30.

3. En un cierto plano π cuya normal forma 45º con el eje principal correspondiente al

valor propio B, los esfuerzos que actúan en él son:

230

50

Determinar:

a) El esfuerzo máximo de tracción que se produce en ese punto.

b) El correspondiente esfuerzo máximo de compresión.

c) El máximo esfuerzo cortante absoluto.

d) El máximo esfuerzo cortante relativo a los planos que pasan por la dirección principal

correspondiente al esfuerzo normal máximo de tracción.

e) El máximo esfuerzo cortante relativo a los planos que pasan por la dirección principal

correspondiente al esfuerzo normal máximo de compresión.

SOLUCIÓN:

Según se establece en el punto 1 del enunciado, el centro de la circunferencia mayor de los

Círculos de Mohr (OB) se encuentra en 10 . Igualmente según el punto 3, un punto Pπ

de coordenadas ( 230,50 ) estará en un círculo de centro OB, por lo que el radio de ese

círculo será 341018001600230105022

.

230

50

Pπ

O OB

η

ζ

3410


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28

Esta circunferencia donde se encuentra Pπ se cortará con el círculo menor AB en el punto

M que se determina con la recta que forma 45º con BB’ trazada desde B (según el punto

3). El punto B se conoce por el punto 2. Así, en el corte de la recta BB” con el citado

círculo determinaremos M y su proyección sobre el eje ζ nos dará el centro OC, y se

determina fácilmente A:

Cálculo analítico:

;3400x2x404003410xx20MOMOOO

;3410MO

;xMOBO

;201030BO

22

222

B

2

C

2

CB

B

CC

B

;60xOBOO;304010150010010x;01500x20x C

2

;90xOOOO CA

El resto de la construcción de Mohr ya es fácil utilizando el centro OB y radio AOB para

determinar C:

Respuestas a las cuestiones planteadas:

a) 90tracmax ; b) 70

compmax ; c) 80

absmax ; d) 50

relAmax ; e) 30

ralCmax

OB

η

ζ OC B A=90 C = - 70

80 50

30

OA

O OB

η

ζ

3410

Circunferencia de Pπ

M

OC B

A

B’

B” 45º

x


Julio Melián/2010

29

PROBLEMA II-4

El estado de esfuerzos en un punto es tal como el que se expone en la figura

a) Determinar, utilizando los procedimientos gráficos de Mohr, los esfuerzos normales

máximos de tracción y de compresión, así como las direcciones en que estos se

manifiestan.

b) Calcular que esfuerzo normal habría que aplicar en la dirección del eje Z para que no

exista dilatación ni contracción volumétrica.

SOLUCIÓN:

a)

1. El eje Z es principal por no existir esfuerzos cortantes en el plano correspondiente.

Su valor propio sería B=0

2. Los planos que se indican en la figura (X e Y) pasan por el eje Z, así que en los

Círculos de Mohr, los puntos PX (4, 4) y PY (-2, 4) estarán sobre uno de los círculos

base del esquema de Mohr, y puede dibujarse como en la figura que sigue:

PX

PY

-2

4

η

ζ 4

4 B A C

O

B

θA

θC

4

X

Z

Y

2

4

4


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30

3. De manera que los máximos esfuerzos normales serán:

4C

6A

comp

max

trac

max

4. Y sus respectivas direcciones serán perpendiculares a Z y formando con X e Y,

respectivamente los ángulos dados por:

2

1tanarc

2

1tanarc

C

A

b) Si ζZ es el esfuerzo normal según Z, las deformaciones longitudinales unitarias en

cada eje serán:

;E

24

E

;E

2

E

4

;E

4

E

2

Zz

Zy

Zx

y si su suma debe ser nula: 0242 ZZ 2Z


Julio Melián/2010

31

PROBLEMA II-5

Sin determinar los valores propios por procedimientos analíticos, dibujar directamente los

círculos de Mohr del estado de esfuerzos indicado en la figura. Explíquese con toda

claridad la construcción seguida.

PROBLEMA II-6

El estado de esfuerzos en un punto queda representado por el esquema de la figura mediante

los esfuerzos normales y cortantes (expresados en Kg/cm2) que actúan en las seis caras de

un elemento de volumen tomado alrededor de dicho punto según los ejes X, Y y Z.

Se pide determinar los esfuerzos máximos de tracción y compresión sobre la familia de

planos cuyas normales forman 60º con el eje Y, así como el máximo esfuerzo cortante que se

ejerce sobre esa familia de planos.

X

Y

Z

30

50

50 3

50

50 3

7 7

3

2


Julio Melián/2010

32

PROBLEMA II-7

Un bloque de forma prismática tiene sus aristas paralelas a los ejes X, Y y Z. Las caras

perpendiculares al eje Z, están impedidas de cualquier desplazamiento en sentido alguno.

Y sobre las otras caras el prisma está sometido a los esfuerzos que señala la figura.

Determinar los esfuerzos máximos absolutos y la dilatación cúbica unitaria.

PROBLEMA II-8

El estado de esfuerzos en un punto del interior de un sólido elástico es el que se indica en

la figura, del cual no se conoce el esfuerzo normal ζZ (ni si es de tracción ó compresión).

Determinar ζZ, mediante el uso de los Círculos de Mohr, para que el esfuerzo cortante

máximo sea de 60 Kg/cm2, así como si ha de ser de tracción ó compresión. En caso de

existir dos ó más soluciones, se deberá elegir el menor valor absoluto de ζZ. Indicar, en

estas condiciones, cuales serán los valores propios del tensor de esfuerzos, y el esfuerzo

normal y cortante sobre el plano que forma ángulos iguales con los principales (este

último cálculo debe realizarse analíticamente basado en los resultados anteriores que se

obtuvieron gráficamente).

X

Y

Z

60

50

100

20 Kg/cm2

20 Kg/cm2

ζZ

20 3 Kg/cm2


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33

PROBLEMA II-9

El esquema de la figura representa el estado de esfuerzos de un punto.

Utilizando los procedimientos gráficos de Mohr, determinar:

1. Esfuerzos normales máximos de tracción, compresión y esfuerzo cortante máximo

absoluto.

2. Esfuerzo normal máximo de tracción y esfuerzo cortante máximo que se presentan

en el abanico de planos cuya normal forme el mismo ángulo que forma el eje Y con

la dirección principal correspondiente a la compresión normal máxima.

PROBLEMA II-10

Un cuerpo elástico sometido a ciertas tensiones externas, tiene un estado de esfuerzos en

un punto de su interior, tal que el eje “U” corresponde a una dirección principal de su

tensor de esfuerzos, y sobre dos de los planos que pasan por ese eje “U” (oblicuos entre

sí) actúan los esfuerzos normales y cortantes siguientes:

Sobre el plano π1:

o 221 cm/Kg321,17cm/Kg310

o 21 cm/Kg3

Sobre el plano π2:

o 222 cm/Kg125,15cm/Kg337

o 222 cm/Kg196,5cm/Kg33

Además, en ese tensor de esfuerzos, el máximo cortante absoluto es:

ηmax = 10 Kg/cm2

Determinar

X

15 Kg/cm2 10 3

Kg/cm2

35 3

Kg/cm2

Y

Z


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34

1. Cuantas soluciones pueden cumplir con las condiciones enunciadas

2. La expresión matricial del tensor de esfuerzos en cada caso, indicando si existen o no

esfuerzos de compresión en cada uno, y sus esfuerzos máximos de tracción y de

compresión (si lo hay)

3. Esfuerzo cortante puro máximo (si lo hay)

4. Valor del esfuerzo principal en la dirección “U”, según cada solución

NOTA: Resuélvase el problema mediante el uso de los círculos de Mohr y dense las explicaciones de las

correspondientes construcciones gráficas.

PROBLEMA II-11

El esquema de la figura representa el estado de esfuerzos de un punto, del que se desea

saber, utilizando exclusivamente los procedimientos gráficos de Mohr, que esfuerzo de

tracción ζT

x habría que aplicar en las caras frontal y posterior para lograr que el esfuerzo

cortante máximo absoluto fuera de 50 Kg/cm2. Igualmente, se desea saber con qué

esfuerzo de compresión se obtendría igual esfuerzo cortante máximo.

Determinar también el máximo esfuerzo de compresión en las condiciones anteriores.

X

10 3 Kg/cm2

20 Kg/cm2

ζx

Y

40 Kg/cm2

Z


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35

PROBLEMA nº II-12

El Tensor elástico en un punto de un sólido es:

XYZ120

202

021

Determinar

a) Los máximos esfuerzos normales, y las direcciones en que se producen.

b) En que sección se produce el máximo esfuerzo cortante puro.

c) En que sección se produce el máximo esfuerzo cortante.

PROBLEMA nº II-13

El estado de esfuerzos en un punto queda definido por los esfuerzos que se ejercen sobre

tres planos ortogonales entre sí cuyas normales son los ejes X, Y y Z.

a) Sobre el plano normal al eje Z se ejerce una tracción de 100 Kg/cm2.

b) Sobre los planos normales a X e Y actúan sendas compresiones de 400 Kg/cm2,

acompañadas de esfuerzos cortantes de 100 Kg/cm2.

Determinar:

Esfuerzo máximo cortante absoluto.

Máximos esfuerzos normal y cortante de la familia de planos que forman 60º con el eje

Z.

Que esfuerzo habría se sustituir al de 100 Kg/cm2 según el eje Z, para que según esta

dirección no se produzca dilatación ni contracción alguna

PROBLEMA nº II-14

El estado de esfuerzos en el interior de un sólido elástico es tal que, sobre los planos

normales a las generatrices de un cono de 45º de apertura con su eje de revolución, el

esfuerzo normal máximo que se presenta es una tracción de 100 Kg/cm2 y el mínimo,

también de tracción, es de 10 Kg/cm2 .

Igualmente, de la totalidad de los planos referidos, el que soporta mayor esfuerzo cortante

es cargado con un ζ=80 Kg/cm2.

El eje del cono al que se hace referencia es la dirección principal de valor propio

intermedio.

Determinar los esfuerzos máximos absolutos de tracción, compresión y cortante.


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36

PROBLEMA nº II-15


1. Los versores 1n

y 2n

forman un mismo ángulo (de valor desconocido) con la

dirección principal de valor propio mínimo.

2. Sobre los planos perpendiculares a 1n

y 2n

actúan los esfuerzos normales y

cortantes siguientes:

ζ1 = 30 Kg/cm2; η1 = 40 Kg/cm

2;

ζ2 = 0 Kg/cm2; η2 = 10 Kg/cm

2;

3. El esfuerzo normal máximo es: ζmax = 70 Kg/cm2;

4. Además, se sabe que la dirección 1n

forma 45º con la dirección principal de

mayor valor propio.

Determinar:

a) Expresión del Tensor de esfuerzos referida a sus direcciones principales.

b) Esfuerzo de compresión máximo.

c) Esfuerzo cortante máximo.

d) Ángulos que forma la dirección 1n

con las direcciones principales.

PROBLEMA nº II-16


1. Las direcciones principales son X, Y y Z, cuyos valores propios A, B y C son

desconocidos, aunque se sabe que A>B>C.

2. El plano YZ no soporta ningún esfuerzo normal.

3. De los planos cuyas normales forman 60º con el eje X, el que soporta mayor

esfuerzo normal de compresión está sometido a:

601 Kg/cm2; y 3201 Kg/cm

2;

mientras que el que soporta menor esfuerzo normal en compresión, tiene:

302 Kg/cm2; y 3102 Kg/cm

2;

Se desea saber:

a) El esfuerzo cortante máximo de la familia de planos que forman con el eje X el

ángulo citado en el punto 3.

b) El esfuerzo de compresión máximo.

c) El máximo esfuerzo cortante absoluto y el esfuerzo máximo de tracción.


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PROBLEMA nº II-17


1. Las direcciones principales son X, Y y Z, cuyos valores propios A, B y C son

desconocidos, aunque se sabe que A>B>C.

2. El valor propio A es de 60 Kg/cm2.

3. De la familia de planos cuyas normales forman 60º con el eje X, se saben los

esfuerzos normales y cortantes que soportan dos de ellos:

ζ1 = 10+5 3 = 18,66 Kg/cm2; η1 = 35 Kg/cm

2;

ζ2 = 10 Kg/cm2; η2 = 10 13 Kg/cm

2;

Se desea saber:

a) El esfuerzo cortante máximo de la familia de planos descrita en el punto 3.

b) Los esfuerzos normales máximo y mínimo de la citada familia de planos.

c) El esfuerzo de compresión máximo absoluto del estado de esfuerzos.

d) El máximo esfuerzo cortante absoluto y el esfuerzo cortante puro máximo.

PROBLEMA II-18

El estado de esfuerzos en un punto del interior de un sólido elástico es el que se indica en

la figura, del cual no se conoce el esfuerzo normal ζZ (ni si es de tracción ó compresión).

Determinar ζZ, mediante el uso de los Círculos de Mohr, para que el esfuerzo cortante

máximo sea de 150 Kg/cm2, así como si ha de ser de tracción ó compresión. En caso de

existir dos ó más soluciones, se deberá determinar cuales son. Indicar, en estas

condiciones, cuales serán los valores propios del tensor de esfuerzos, y el esfuerzo normal

y cortante sobre el plano que forma ángulos iguales con los principales.

50 Kg/cm2

50 Kg/cm2

ζZ

50 3 Kg/cm2


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38

PROBLEMA nº II-19

El estado de esfuerzos en un punto es el que se indica gráficamente.

Explicando razonadamente la solución mediante el uso de los círculos de Mohr,

determinar las siguientes características del tensor de esfuerzos:

1. Valores Propios del Tensor.

2. Esfuerzos máximos de tracción, compresión y cortante.

3. Esfuerzo cortante puro mínimo.

4. Deformación volumétrica unitaria.

Siguiendo procedimiento analítico, y siendo k;j;i

los versores de los ejes X; Y; Z;

indicados en la figura, determinar también

5. Esfuerzo normal perpendicular al versor: k2

2j

2

1i

2

1n

PROBLEMA II-20

Determinar la presión q vertical, distribuida uniformemente, que habría que aplicar en las

caras superior e inferior del paralelepípedo recto rectangular de la figura, de material

elástico de módulo de Young E y módulo de Poisson μ, sobre el que actúan las fuerzas

horizontales P, para que su volumen permanezca invariable. (A = área de caras laterales)

A

P

q

40

60

200

Y

Z

40

X

P

A

q


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39

PROBLEMA II-21

El paralelepípedo recto rectangular de la figura, de material elástico de módulo de Young E

y módulo de Poisson μ, se encuentra sometido a la acción de las fuerzas P horizontales, así

como a una compresión uniformemente distribuida sobre sus caras superior e inferior de

valor: q = P/2A

Determinar en función de los datos:

1. La orientación del plano sobre la que se manifiesta el esfuerzo cortante máximo, su

valor y el esfuerzo normal que lleva asociado.

2. Variación de su volumen. (Datos: E; μ; P; A = área de caras laterales; y L = longitud de la barra)

PROBLEMA II-22

Del estado de esfuerzos plano en un punto se sabe:

1. Para una cierta orientación 1n

, los esfuerzos normal y tangencial que actúan en

ese plano son 801 Kg/cm2 y 301 Kg/cm

2.

2. El esfuerzo cortante máximo absoluto corresponde a un plano desconocido y vale

50max Kg/cm2.

3. No existe ninguna orientación de plano en el que haya esfuerzo cortante puro.

Se pide determinar:

a) Esfuerzo normal máximo.

b) Orientación del plano donde actúa el esfuerzo normal máximo referido a 1n

.

c) Expresión del Tensor de Esfuerzos referido a los ejes 1n

y su perpendicular.

d) Expresar dicho tensor referido a las direcciones principales.

A

P

q

L

P

q


Julio Melián/2010

40

PROBLEMA nº II-23

Los ejes X; Y; Z ; son las direcciones principales de un tensor de esfuerzos, ordenados de

mayor a menor dimensión de sus valores propios respectivos.

Sobre el plano cuyo versor normal se encuentra sobre el Y-Z formando 30º con el eje Z,

actúa esfuerzo cortante puro de valor 2cm/Kg330 .

Se sabe también que el esfuerzo normal que actúa sobre el plano perpendicular al versor

k2

2j

2

1i

2

1n

; tiene un valor de 40 Kg/cm

2.

Calcular:

a) Esfuerzo máximo de tracción.

b) Esfuerzo máximo de compresión.

c) Esfuerzo máximo cortante.

PROBLEMA nº II-24

El estado de esfuerzos en un punto reúne las características siguientes:

a) El esfuerzo cortante puro máximo es igual a 2cm/Kg320 .

b) El esfuerzo cortante puro mínimo es igual a 2cm/Kg20 .

c) El esfuerzo cortante máximo absoluto es igual a 2cm/Kg40 .

Determinar:

1. Esfuerzos normales máximos absolutos de compresión y de tracción.

2. Esfuerzo cortante máximo en el haz de planos que forman 45º con el eje principal

de valor propio intermedio, así como esfuerzo normal asociado.

PROBLEMA nº II-25

Del estado de esfuerzos en un punto material se sabe lo siguiente:

a) Sobre la sección donde tiene lugar el “ absolutomax ”, actúan los esfuerzos:

;cm/Kg35;cm/Kg52

12

1

b) Además, se sabe que el esfuerzo normal que actúa sobre el plano que forma

ángulos iguales con los ejes principales, vale: ;cm/Kg102

2


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41

Determinar:

1º. El esfuerzo cortante que actúa en el plano mencionado en b) formando ángulos

iguales con los tres ejes principales.

2º. Las componentes escalares del tensor de esfuerzos referidas a las direcciones

principales.

3º. Comprobar los resultados obtenidos mediante comparación con los círculos de

Mohr.

PROBLEMA nº II-26

Del estado de esfuerzos en un punto se sabe:

a) El esfuerzo cortante máximo vale 2cm/Kg30 y en el plano en que actúa no

existe esfuerzo normal alguno.

b) La diferencia entre los esfuerzos principales de tracción es de 2cm/Kg20 .

Determinar:

1º. Esfuerzos normales máximos de tracción y compresión.

2º. Valor del esfuerzo cortante puro mínimo y orientación del plano sobre el que

actúa, referido a las direcciones principales.

3º. Esfuerzos normal y cortante en el plano que forma ángulos iguales con los tres

principales.


Julio Melián/2010

42

PROBLEMA II-27

Llamemos X ,Y y Z a los ejes principales del estado de esfuerzos en un punto. Sean A, B y

C sus correspondientes valores propios, siendo A>B>C.

De este estado de esfuerzos se sabe:

1. Del abanico de planos que forma un cierto ángulo θ con el eje X, existen dos planos

sometidos a los esfuerzos:

2

1

21

cm/Kg20

cm/Kg310

2

2

22

cm/Kg10

cm/Kg0

2. El esfuerzo cortante máximo absoluto es de 3110MAX

3. El esfuerzo cortante puro mínimo es nulo.

Determinar los esfuerzos máximo de tracción y de compresión.

SOLUCIÓN:

Los puntos P1 y P2 que representan los esfuerzos en los dos planos referidos en el enunciado,

deberán estar en un arco del gráfico de los Círculos de Mohr con centro en el punto OA, por

lo que, en el corte del eje ζ con la mediana del segmento 21 PP se encontrará OA.

P1

P2

OA

η

ζ


Julio Melián/2010

43

Si el esfuerzo cortante puro mínimo es cero, quiere decir que para 0 , existe un 0 .

O sea, que 0 es un valor propio tal que, dada la posición del arco

21 PP , no podrá ser ni

el mayor (ya que en este caso P1 y P2 quedarían fuera del área de existencia) ni,

evidentemente, el más pequeño, por lo que 0B .

Bajo tales condiciones, con centro en OA y radio OAB se trazará el círculo interior BC,

pudiéndose determinar la posición del valor propio C.

Finalmente al ser el esfuerzo cortante máximo absoluto: 3110MAX , este será el

radio del círculo máximo que deberá pasar por C, determinándose así el valor propio A.

Con los valores dados en el enunciado resultan:

;cm/Kg320;cm/Kg202C

MAX2T

MAX

P1

P2

OA

η

ζ B A C


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44

PROBLEMA II-28

El estado de esfuerzos de un punto se caracteriza por tener un esfuerzo cortante máximo

absoluto que alcanza un valor de 100 Kg/cm2, en un plano donde no existe esfuerzo

normal, ni en tracción, ni en compresión. Además, el esfuerzo cortante puro mínimo es de

50 Kg/cm2.

Si denominamos X, Y y Z a las Direcciones Principales del correspondiente Tensor de

Esfuerzos, y A, B y C, a sus correspondientes Valores Propios (siendo A>B>C), calcular:

Esfuerzos máximos de tracción y compresión.

Esfuerzos que se manifiestan en el plano cuya normal forma 60º con el eje X y 45º

con el eje Z.

En función de μ, determinar que esfuerzo debiera añadirse al existente en la

dirección del eje Z para que, en esa dirección, no se produjera deformación

longitudinal alguna.

¿Se podría obtener el mismo resultado si en vez de modificar el esfuerzo en el eje Z,

se hiciera sobre cualquiera de los otros ejes X ó Y? ¿Los resultados serían distintos

dependiendo del módulo de elasticidad E del material en cuestión?

e


Julio Melián/2010

45

SOLUCIÓN:

1. El punto P representa el esfuerzo máximo absoluto acompañado de ζ=0. Mientras que el Q

está marcando el esfuerzo cortante puro mínimo. Así se determina que el radio del círculo máximo es de 100, y su centro el origen de coordenadas. Con ello, quedan calculados los

valores propios A y C. Si se une C con Q y se traza por este punto la perpendicular a esa

recta CQ, se obtendrá B, para así completar los Círculos de Mohr.

El esfuerzo máximo de tracción será de 100 Kg/cm2.

El esfuerzo máximo de compresión será de -100 Kg/cm2.

Si en vez de unir C con Q, se uniera A con Q, aparecería otra solución simétrica a esta.

+25

+100

η

B (Y) A (X)

75

C (Z)

-100

OA

P (0; 100)

O

Q (0; 50)

ζ


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46

2. La intersección de los arcos MN a 60º con el eje X y MN a 45º con el eje Z permitirá

determinar los valores de ζ y η correspondientes al punto solución J (cruce de los arcos).

3. Si los esfuerzos principales según X e Y son respectivamente +100 Kg/cm2 y +25 Kg/cm

2,

para que no exista deformación según Z (εZ = 0), será preciso que:

1250E

25100

Ez

zz

con lo que el incremento al -100 Kg/cm2 existente, será de 100+125μ Kg/cm

2.

4. También es evidente que conservando el ζZ actual, será posible evitar la deformación en esa

dirección variando ζx ó ζY convenientemente en la fórmula:

0EE

100 yx

. El resultado es independiente de E.

ζ

+25

+100

η

B (Y) A (X)

75

C (Z)

-100

OA O

M60X

N60X

60º

M45Z

N45Z

45º

OC

J

η

ζ


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47

PROBLEMA II-29

Un elemento cúbico, de un material de módulo de elasticidad E y módulo de Poisson μ,

está sometido a una tracción de 68 Kg/cm2 según el eje Z vertical. En la dirección del eje

X, está sometido también a otra tracción de 18 Kg/cm2. Sobre ambas caras no actúan

esfuerzos cortantes.

Además, se sabe que existe un esfuerzo puro cortante de 60 Kg/cm2

que actúa sobre un

plano cuya normal forma con el eje Z un ángulo θ cuya tangente trigonométrica vale

4/3: ( º13,533

4tanarc ).

1. Determinar el esfuerzo cortante máximo absoluto existente en el estado de

esfuerzos que estamos estudiando.

2. Determinar la deformación cúbica unitaria en ese estado de esfuerzos.

NOTA: Los ejes X, Y y Z son ortogonales entre sí; y se desconocen las acciones de

los esfuerzos actuantes sobre la cara perpendicular al eje Y.

SOLUCIÓN: a) Del estado de esfuerzos indicado, los ejes X y Z son principales, ya que no existen esfuerzos

cortantes sobre los planos normales a ambos, siendo sus correspondientes valores propios (en el tensor de esfuerzos correspondiente) 18 y 68, respectivamente. El eje Y será la tercera

dirección principal.

b) Esto permite dibujar uno de los Círculos de Mohr de ese estado de esfuerzos, así como el comienzo del arco correspondiente a la familia de planos cuyas normales forman el referido

ángulo θ con el eje Z (punto M), ( º13,533

4tanarc ); e, indiscutiblemente, también es

posible señalar el punto P que representa al plano citado de coordenadas (0; 60):

e

ζ

θ=53,13º

18

68

η

P (0; 60)

M

B (X) A (Z) 50

OA O


Julio Melián/2010

48

c) Los puntos M y P pertenecen al círculo que representa a la familia de planos cuyas normales

forman 53,13º con el eje principal Z. Por tanto, como cuerda de ese arco, permiten determinar su centro sobre el eje horizontal ζ: el punto OA. Ya, con el centro OA se trazará, pasando por

B, el otro círculo menor BC, determinándose inequívocamente el Tensor de Esfuerzos

analizado.

ζ

18

68

η

P (0; 60)

M

B (X) A (Z) 50

C (Y)

-66

OA

N

O


Julio Melián/2010

49

d) La determinación analítico-geométrica de los valores deducidos gráficamente se obtiene por el

siguiente procedimiento:

En el triángulo ABM y puesto que la tangente del ángulo en B es conocida (4/3), la relación de

los lados AByMA,BM es 3, 4 y 5; con lo que 30MB . La misma relación existe en el

triángulo BMP, por lo que sus catetos valdrán 18BPy24MP .

Así, 36JMOPy24OJ ; precisamente resulta ser JPJM por lo que

AOOOJ resultando ser el radio de esta circunferencia 42COBO AA ; siendo así

finalmente el valor propio 66C y el esfuerzo cortante máximo absoluto

672

6668

.

18

68

η

P (0; 60)

M

B (X) A (Z) 50

C (Y)

-66

OA P

O

J

18

24 30 24

36

36

24 42


Julio Melián/2010

50

e) En cuanto a la deformación cúbica unitaria de este estado de esfuerzos, será necesario

determinar cada una de las deformaciones longitudinales unitarias según cada dirección

principal. Es decir:

E

4020e

E

8666

E

AB

E

CE

218

E

CA

E

BE

4868

E

CB

E

A

CBA

C

B

A

Al ser 3,0 resultaría una dilatación del orden de E

8e


Julio Melián/2010

51

PROBLEMA II-30

Referido a unos ciertos ejes X, Y y Z, el estado de esfuerzos en un punto queda expresado

por el tensor:

100310

050

310010

; en Kg/cm2

Razonando con los Círculos de Mohr, determinar:

1. Los valores propios del tensor (comprobar el resultado mediante cálculo

analítico) e indicar los esfuerzos máximos de tracción, cortante y de compresión.

2. La dirección principal en que se manifiesta ese esfuerzo normal de tracción.

3. El esfuerzo cortante máximo que aparece en la familia de planos cuyas normales

forman 60º con la dirección principal antes calculada.

SOLUCIÓN:

La expresión matricial del tensor, referida a X, Y y Z:

100310

050

310010

; indica

claramente que la dirección Y es principal, ya que no lleva acompañado esfuerzo

cortante alguno, y que el correspondiente valor propio es de 5 Kg/cm2.

Las direcciones X y Z, perpendiculares a Y, tendrán sus tensiones asociadas xt

y zt

con sus componentes intrínsecas ζ y η ocupando posiciones en los círculos de Mohr

PX y PZ sobre la circunferencia determinada por el ángulo θY = 90º.

Además, al ser X y Z perpendiculares entre sí, los puntos representativos PX y PZ

serán diametralmente opuestos en la circunferencia aludida.

Con todo lo anterior, podemos situar PX y PZ en el diagrama (ζ;η), unirlos como

diámetro y dibujar la circunferencia principal correspondiente, con centro en OY,

determinando los valores propios que serán de A = +20 y C = -20 Kg/cm2.


Julio Melián/2010

52

De este diagrama, ya se conocía que 5 Kg/cm2 era otro valor propio, por lo que el

esfuerzo máximo de tracción será2

max cm/Kg20 y el máximo esfuerzo cortante

de 2

max cm/Kg20 , también.

La dirección principal del ζmax vendrá determinada por el ángulo APX con la vertical

AA’ que, como puede apreciarse es de 30º. Así que esa dirección será expresada

referida a los ejes dados X, Y y Z mediante las expresión k2

1i

2

3uA

en la que

k,j,i

son los versores de esos ejes.

Respecto a la familia de planos cuyas normales forman los 60º con la dirección

calculada Au

, trazaremos la recta AMN y, con centro en OA, el arco MN,

determinando así el esfuerzo cortante máximo correspondiente:

2

35'NO'NNNO

3102

320º60senCN'NN

5,2'CNCO'NO5,122

CBCO25CB

102

120º60cosCN'CN20

2

140º60cosACCN

2

A

2

Aº60

maxAAA

2º60

maxcm

Kg50,17


Julio Melián/2010

53

+5

+20

η

B (Y) A

C

-20

OA

P (0; 20)

O=OY ζ

10

310

Px

-10

310

PZ

A’

30º M

N

º60max 60º

N’


Julio Melián/2010

54

PROBLEMA II-31

Del estado de esfuerzos en un punto, se sabe:

Que las Direcciones Principales son X, Y y Z: la X correspondiente al esfuerzo

máximo de tracción y la Z al máximo de compresión.

Que de los planos que pasan por el eje X, el que soporta el esfuerzo cortante

máximo, tiene 2cm/kg200 .

Que de los planos que pasan por el eje Z, el que soporta el esfuerzo cortante

máximo, tiene 2cm/kg400 .

Que existe una orientación de un plano en el que no existen esfuerzos cortantes ni

normales.

Determinar:

1. Esfuerzo normal máximo de tracción.

2. Esfuerzo normal máximo de compresión.

3. Esfuerzo cortante máximo absoluto y esfuerzo normal asociado a este.

4. Esfuerzo cortante puro máximo.

5. Máximo esfuerzo cortante de la familia de planos que forman 45º con el eje

principal Y.

SOLUCIÓN:

1. Los planos que pasan por el eje X (correspondiente al mayor valor propio A)

tienen sus normales perpendiculares a X, así que los esfuerzos σ y τ estarán en el

círculo de centro OA, y el mayor τ será su propio radio 200RA .

2. El mismo razonamiento cabe hacerse respecto a los planos que pasan por el eje

Z (correspondiente al menor valor propio C) y, entonces, 400RC .

3. Si existe un cierto plano sin esfuerzo cortante, ese será principal. Y si el normal

es nulo, este será Valor Propio intermedio, ya que los otros dos uno es tracción y el

otro, compresión.


Julio Melián/2010

55

4. Con lo anterior estamos en condiciones de dibujar los tres círculos de Mohr y

dar respuesta a las cuestiones planteadas:

0;cm/Kg600

;cm/Kg400;cm/Kg800

max2abs

max

2compmax

2traccmax

5. En cuanto a la determinación del esfuerzo cortante puro máximo, este se puede

deducirse del triángulo BDOB:

222

puro

2

B

2

B

2cm/Kg68,5652400200600BDBODOBD

6. El cortante máximo de la familia de planos que se pregunta se calculará como

el radio OBE en el triángulo OBOCE:

2222

C

2

BCB cm/Kg4485200400200EOOOEO

D

E

OA (-200)

η

ζ B A (800) C (-400)

OC (400) OB

(200)

ηma

x


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56

PROBLEMA II-32

Del estado de esfuerzos en un punto se sabe:

a) Que sobre un cierto plano, perpendicular a una dirección X, solamente actúa un

esfuerzo normal de tracción de .

b) Que del abanico de planos que pasan por dicho eje X, el que tiene por normal

no soporta esfuerzo normal alguno, mientras que .

c) Que el versor es perpendicular a X, y que los esfuerzos que actúan sobre el

plano normal a son .

1º.- Determinar el esfuerzo de tracción máximo a que se ve sometido el punto y el máximo

esfuerzo cortante.

2º.- De entre los esfuerzos cortantes que actúan en planos cuyas normales forman 45º con

el eje X, ¿cuánto vale el mayor de ellos?

SOLUCIÓN:

a) El eje X es dirección principal de esfuerzos y su valor propio es 30 Kg/cm2.

b) El abanico de planos que pasan por X están definidos por versores perpendiculares

a X por lo que, en los círculos de Mohr, su representación se situará sobre uno de los

círculos principales (el que sea asociado a la dirección principal X); al igual que la que

corresponde al versor , que

también es perpendicular a X.

c) Llevando las conclusiones

anteriores a los Círculos de

Mohr:

En el borrador que figura en el

dibujo de la izquierda, tras la

representación de los ejes ζ y η, se

posicionan los puntos P1 y P2 con

los valores de los esfuerzos dados

30

111,3

5

P1

80

60

P2

σ

τ


Julio Melián/2010

57

para n1 y n2, y en la mediana del segmento se hallará el centro del círculo

asociado al eje principal X. Así, el trazado del círculo en cuestión se determinará de

forma inmediata, obteniéndose dos de los valores propios que faltaban.

Tan solo queda posicionar el valor propio 30, para, con ello acabar así de trazar los tres

Círculos de Mohr.

d) Llevando la construcción deducida antes a un gráfico con la escala adecuada, resultará:

P2

P1

A = 93,14 B C = -133,14 OC OB

ηmax = 113,14

ζ

η


Julio Melián/2010

58

e) La consideración de los planos cuyas normales forman 45º con el eje X, al ser este

el principal de valor propio intermedio, obliga a analizar el arco que, con centro en

OB, identifica todos los esfuerzos normales y cortantes que actúan en los diferentes

planos de ese abanico.

f) El mayor esfuerzo cortante del arco en cuestión será entonces:

A C OC

OB

B OA

P N

M

η

ζ


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59

PROBLEMA II-33

Del estado de esfuerzos en un punto, se sabe:

Existen dos valores propios iguales y de signo contrario.

El esfuerzo cortante puro mínimo se presenta en un plano cuya normal sigue la

dirección W y vale .

El esfuerzo normal máximo absoluto de compresión actúa sobre un plano cuya

normal sigue la dirección X, y tiene un valor de .

1. Determinar los esfuerzos normal y cortante que actúan en un plano cuya

normal U forma el mismo ángulo que el eje W con la dirección X, y que,

además forma 60º con la dirección principal de mayor valor propio.

Considerando las familias de planos cuyas normales forman un ángulo θ común con la

dirección principal del valor propio máximo, ¿entre qué valores de θ ningún plano de

dichas familias presentará esfuerzos de compresión?

SOLUCIÓN

1. Existiendo dos valores propios iguales y de signo contrario, un círculo de Mohr que

pasa por esos valores propios tendrá su centro en el origen de coordenadas.

2. Si el = 200, quiere decir que el primer punto del eje η que pertenece al campo

de existencia del gráfico de los Círculos de Mohr será él mismo. De manera que,

además del centro mencionado en 1., sabremos que o el radio del círculo será de

200 (determinando así los dos valores propios de +/- 200 Kg/cm2 en caso de que

dicho círculo fuera uno de los interiores), o ese centro corresponderá al círculo

exterior. Por tanto existen dos vías para la solución del problema.

3. Si seguimos en primer lugar la primera, y tenemos en cuenta que, además, el

máximo esfuerzo de compresión es de 400, habremos definido otro valor propio no

coincidente con los anteriores, con lo que los tres círculos de Mohr quedarán

definidos.


Julio Melián/2010

60

4. Determinados ya los valores propios A, B y C; la dirección del eje X definirá la

dirección principal de C, y la W (correspondiente al plano de ) pertenecerá al

círculo de OC y, por tanto, perpendicular a X y, por tanto, uno de los

condicionantes para la dirección U es que el punto que represente los esfuerzos

asociados a él, esté sobre dicho círculo AB.

5. La otra condición, según expresa el primer apartado del enunciado, es que forma

60º con el eje principal del valor propio A. Por tanto habrá de trazarse en el sentido

correcto la línea de 60º citada y el arco correspondiente con centro en OA. La

intersección con el círculo AB dará la solución buscada: punto P. (Trazado en color

azul).

6. Analizando el 2º apartado, para todo ángulo θ comprendido entre 0º y el definido

θ0 (en marrón) no existirán esfuerzos de compresión sobre los planos que

representa.

OA (-300)

ζ B (-

200)

A (200) C (-400)

OC (0) OB (-100)

ηmax=300

(W)

(X)

60º

P

θ0 η


Julio Melián/2010

61

7. Volviendo a la otra consideración, de que el origen de coordenadas sea centro del

círculo mayor, el dato facilitado de que un valor propio es de –400 Kg/cm2, implica

que el otro sea de +400 Kg/cm2, resultando también fácil la construcción de los tres

círculos de Mohr y las respuestas a las cuestiones planteadas.

8. Existe también la solución simétrica respecto al eje η.

ζ B (-

100)

A (400) C (-400)

OB (0)

ηmax=400

(W)

(X)

60º

P

θ0 η


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62


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63

Capítulo Tercero

Problemas isostáticos unidimensionales


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64


Julio Melián/2010

65

PROBLEMA III-1

Dos barras de acero, idénticas, de longitud L y sección S, se encuentran articuladas en uno

de sus extremos C, y los otros (A y B) están articulados en puntos fijos a un techo horizontal.

El ángulo θ que forman las barras con el eje de simetría vertical, es conocido. Del extremo

común C se cuelga un peso P.

Se desea conocer el esfuerzo a que se ven sometidas las barras de acero, el alargamiento

total de su longitud y el desplazamiento vertical que sufrirá la articulación C.

SOLUCIÓN:

Como puede verse en esta figura, dicha estructura sería simétrica, por lo que con este único

razonamiento bastaría para deducir que las tensiones de las barras AC y BC deberán ser iguales. Sin

embargo, aún no asumiendo tal circunstancia, ello queda puesto de manifiesto en el análisis del

equilibrio de la articulación C. Si se efectúan los cortes M y N por dos planos normales a cada barra e

infinitamente próximos al nudo C [fig. b)], el equilibrio de este deberá producirse bajo la acción de la

carga exterior P y de las tensiones X e Y que actuarían en cada barra. Así, al proyectar las fuerzas X e

Y sobre ejes horizontal y vertical, resultará:

YXsenYsenX (como se dedujo por simetría)

y también:

cos2

PXPcosX2Pcos)YX(

Ello implica que si “S” fuera el área de la sección recta de las barras, el esfuerzo a que se verían

sometidas sería:

cosS2

P ;

y el alargamiento de cada barra:

cosSE2

LP

EL

;

θ θ

C

P

X Y

senX senY

cos)YX(

b)

θ θ

B

C

P

A

M N

a)

L θ θ

C

c) C’

δC

δ

θ--Δθ

L

B A D


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66

siendo el desplazamiento vertical del punto C:

2CcosSE2

LP

cos

1

Para la resolución del caso anterior se ha tenido en cuenta que, en virtud de la escasa magnitud de las

deformaciones de los materiales elásticos, el ángulo θ [fig. c)] variará también muy poco y su

incremento Δθ es imperceptible frente a los valores de origen ( ). No obstante, este

incremento puede determinarse con una precisión suficientemente alta [ver en la fig. c) el triángulo

DBC’ y el DBC]:

32C

cosSE2

P1

tan

cosSE2

PLcosL

Lsen

cosL

Lsen

'DC

DB)tan(

; y como:

tan1

tan

tan1

tan

tantan1

tantan)tan(

[donde se ha sustituido tan Δθ por Δθ (dado su valor tan pequeño) y despreciando Δθ frente a tan θ];

resulta finalmente:

sencosSE2

P

tagcosSE2

P

cosSE2

Ptan

233

y:

2sen

2

E2sencos

1

SE

P

de donde podemos concluir que el incremento del ángulo θ es independiente de la longitud L de las

barras, siendo directamente proporcional al esfuerzo ζ a que están sometidas y, por tanto, a la carga P

aplicada en C, e inversamente proporcional a la sección S de las barras.


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67

PROBLEMA III-2

Dos piezas prismáticas longitudinales, están dispuestas como muestra la figura: con sus

extremos articulados en una pared fija en A y B, y entre sí en su otro extremo C, del que

cuelga verticalmente una carga P. Supuesta la barra AC de acero y la horizontal BC de

madera, con módulos de elasticidad conocidos, así como las características geométricas L y

θ, determínese las secciones rectas de ambas barras para que sus esfuerzos de trabajo sean

respectivamente ζtA y ζtM. Determinar igualmente el desplazamiento que sufrirá su punto de

unión C.

SOLUCIÓN:

Es importante entender especialmente que aquí el desplazamiento del punto C no es vertical como en

otros casos, en los que las razones de simetría obligan a ello. Es más, siendo ahora los elementos

componentes de la estructura de diferente material (acero y madera: EA y EM) y de diferente sección

(SA y SM), el concepto de simetría no tiene ningún sentido.

Aislemos el nudo articulado C para establecer el equilibrio de todas las fuerzas que actúan sobre él.

Para ello, como es habitual, cortaremos las barras AC y BC por secciones rectas infinitamente

próximas al nudo C [fig b)]. Al plantear las ecuaciones de equilibrio para los ejes horizontal y

L

B

A

θ

P

EA

EM

C

L sen θ

L cos θ

m

n

a)

θ

P

C m

n

X

Y

Y sen θ

Y cos θ

b)

L

B

A

θ

P

EA

EM

C

L sen θ


Julio Melián/2010

68

vertical, resulta que la tensión en la barra de acero (AC) habrá de ser una tracción cuya componente

vertical llegue a equilibrar a la carga P, teniendo esta misma tensión una componente horizontal que

será a su vez equilibrada por la tensión de la barra de madera que, naturalmente, estará sometida a

compresión. Denominando por X e Y a estas fuerzas respectivas de tracción y compresión, las

ecuaciones de equilibrio nos darán:

XcosY

PsenY

tan

PX

sen

PY

Así, las tensiones de las barras quedan determinadas con la exclusiva aportación de las ecuaciones de

equilibrio de la Estática, como corresponde a un caso isostático.

Los correspondientes esfuerzos normales en las barras serían:

)compresión(;tanS

P

)tracción(;senS

P

M

M

A

A

Si la intención es que los elementos de acero y madera estén sometidos a los esfuerzos de trabajo que

requiere el enunciado, ζA y ζM deben coincidir con ζtA y ζtM y las secciones Sd con que deberían ser

diseñadas para tales barras serían:

tan

PS

sen

PS

tM

dM

tA

dA

Entrando ahora en la deformación de la estructura, determinaremos mediante la Ley de Hooke las

deformaciones de cada barra según las tensiones X e Y a las que son sometidas para, posteriormente,

situar el nudo articulado C en la nueva posición que le corresponde ante los giros libres que pueden

dar las barras AC y BC alrededor de sus articulaciones fijas en A y B, respectivamente. Así, podemos

ver en la figura c) como la barra AC se alarga en δA desplazándose el nudo C hasta CA y, por su parte,

la barra BC se acorta en δM desplazándose el nudo C hasta CM. Y dado que la articulación C deberá

ser única, las barras girarán alrededor de sus articulaciones fijas A y B para que sus extremos CA y

CM resulten coincidentes en C’, donde quedaría definitivamente el nudo C después de la deformación

de la estructura [fig. d)].


Julio Melián/2010

69

Las cuantías correspondientes a las deformaciones δA y δM de cada barra quedarán determinadas por

la Ley de Hooke:

cosLE

LE

M

MM

A

AA

2

MM

M

AA

A

cossen

L

ES

P

sen

L

ES

P

así [fig. III-7 b)], asumiendo ya conocidos las deformaciones δA y δM de las barras, el desplazamiento

total de C hasta C’ tendrá las componentes horizontal y vertical que se indican a continuación:

tan

)cos(sen

tan

JCsen'JCJCy:verticaldesplaz

x:horizontaldesplaz

AMA

AAMC

MC

sen

cosy

x

MAC

MC

; o bien:

2

3

MM2

AA

C

MM

C

sen

cos

ES

PL

sen

1

ES

PLy

tan

cos

ES

PLx

L

B

A

θ

P

EA

EM C

L sen θ

L cos θ

c)

CM

CA

C’

δA

δM

θ

EA

EM C

d)

CM

CA

C’

δA

δM

θ

J

xC

yC


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70

PROBLEMA III-3

Una pilastra de sección variable está compuesta de dos materiales diferentes: acero (de

Módulo de Elasticidad EA y sección SA) y de hormigón (de Módulo de Elasticidad EH y

sección SH). Se le somete a una tracción axial desde el exterior (W) y compresión en el

tramo central de hormigón con una carga P. Se desea saber los esfuerzos a que se ven

sometidos cada tramo de la pilastra y el alargamiento total de la misma.

SOLUCIÓN:

2a (EH; SH)

a

a

(EA; SA)

(EA; SA)

P

W

W

P

(a)

a (EA; SA)

P

W

ζH

SH

EH

ζH SH+P =W

(b)

EA

W

ζA

SA

ζASA=W

(c)

2a (EH; SH)

a

a

(EA; SA)

(EA; SA)

P

W

W

P

(a)


Julio Melián/2010

71

Como no puede ser menos, deberemos aislar una parte de la pilastra mediante un corte por una

sección recta, que ponga de manifiesto el esfuerzo ζ que se produce en uno de los tramos, para luego

repetir la operación con otra sección perteneciente al otro tramo. De esa manera, conocidos los

esfuerzos y las longitudes de cada uno se podrá determinar su incremento de longitud y así el

alargamiento total.

En la figura (a) se ha efectuado un corte por una sección correspondiente al tramo central de

hormigón sustituyendo las acciones del resto de la pilastra por el correspondiente esfuerzo normal ζH

que, al ser multiplicado por la superficie sobre la que actúa SH, nos dará la fuerza total que está

ejerciendo la parte inferior sobre la aislada. A esta fuerza le tendremos que agregar la carga P que

actúa en su mismo sentido, y a esta resultante se le tendrá que oponer la carga exterior W en el

correcto estado de equilibrio, tal como se indica al pié de la figura (b) que muestra esta situación.

De la misma manera, efectuando un corte en el tramo de acero del primer tercio de la pilastra [fig.

(c)], el esfuerzo normal ζA actuando sobre la superficie SA equilibra la fuerza W. El tramo inferior,

por simetría respecto al plano horizontal central, será exactamente igual que el primero de ellos.

Por tanto los valores de los esfuerzos serán:

;S

PW

;S

W

H

H

A

A

(nótese que si W P H ; y el hormigón estaría en compresión)

así, a través de la Ley de Hooke, podemos determinar las deformaciones longitudinales unitarias:

;SE

PW

E

;SE

W

E

HHH

HH

AAA

AA

y las deformaciones parciales de cada tramos serán:

;SE

a2)PW(a2

;SE

aWa

HH

HH

AA

AA

o sea, que el alargamiento total de la pilastra vendrá definido por la expresión:

;SE

a2)PW(

SE

aW22

HHAA

HATotal


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PROBLEMA III-4

Un anillo metálico cuyo Módulo de Elasticidad es “E”, tiene un radio “R” y un espesor

“e” (muy pequeño frente a R). se le somete a una presión interna uniforme de valor “p”.

¿Cuánto ha de valer “e” para que el esfuerzo que soporta el anillo sea “ζt”?.

SOLUCIÓN:

En el anillo resulta evidente su simetría respecto a cualquier diámetro y, por tanto, respecto a su

centro. Ello nos permite poder trabajar con una de sus mitades simétricas, sabiendo que la otra

mitad tendrá un comportamiento idéntico. Así, si imaginamos un corte por uno de los diámetros

(AB), la otra mitad del anillo actuará sobre esta con los esfuerzos normales y cortantes que

mutuamente se ejerzan, y que serán los mismos en cualquier sección diametral del anillo en

cuestión.

De estos esfuerzos, podemos asegurar que el cortante es nulo, dado que éste no existe en el plano

perpendicular a la sección recta (nos encontraríamos en el exterior del anillo donde ninguna acción

es ejercida). De manera que tan solo tendremos un esfuerzo normal que se transmite a lo largo de

toda la circunferencia del anillo, dando lugar a la extensión total del mismo (obtenida como suma

integral de los alargamientos de cada elemento de longitud de arco del anillo) y aumentando el

tamaño del radio. El anillo está, pues, sometido a una tracción lineal en la dirección tangente a su

arco.

Si fuerzas radiales uniformemente distribuidas actúan a lo largo del perímetro de un anillo delgado

circular, a modo de una presión interna p (fig. III-12), este sufrirá un estiramiento longitudinal

uniforme en todo él. Para su estudio, aún tratado como elemento unidimensional, consideraremos

su espesor e como una dimensión muy pequeña en comparación con el radio del anillo R, así como

la dimensión transversal a nuestro plano de trabajo, que podemos designar como b, de manera que

la sección recta del anillo, será ebS .

p

(a)

dθ

θ

fd

R

p

ζ ζ

e

(b)

A

B

C

O

θ

fd

ydf

(c)

p 2R

e


Julio Melián/2010

73

En el anillo resulta evidente su simetría respecto a cualquier diámetro y, por tanto, respecto a su

centro. Ello nos permite poder trabajar con una de sus mitades simétricas, sabiendo que la otra

mitad tendrá un comportamiento idéntico. Así, si imaginamos un corte por uno de los diámetros

(AB), la otra mitad del anillo actuará sobre esta con los esfuerzos normales y cortantes que

mutuamente se ejerzan, y que serán los mismos en cualquier sección diametral del anillo en

cuestión.

De estos esfuerzos, podemos asegurar que el cortante es nulo, dado que éste no existe en el plano

perpendicular a la sección recta, ya que nos encontramos con el exterior del anillo donde ninguna

acción es ejercida. De manera que tan solo tendremos un esfuerzo normal que se transmite a lo

largo de todo el perímetro del anillo, dando lugar a la extensión total del mismo, que se obtiene

como suma integral de los alargamientos de cada elemento de longitud de arco del anillo.

Ante éstos razonamientos, y volviendo a la figura III-12 (b), el corte diametral AB y la

consideración de simetría que persiste en el eje o diámetro perpendicular OC, nos permite afirmar,

no solo que los esfuerzos normales en A y B sean iguales, sino que la presión interna p dará como

resultante una fuerza de dirección vertical que habrá de ser contrarrestada por la que provoquen los

esfuerzos ζ en A y B, mientras que las componentes horizontales de las fuerzas debidas a la

presión se anularán entre sí por la simetría aludida respecto a OC.

Así que propongámonos determinar la fuerza que ejerce esta presión p sobre un elemento de anillo

de carácter genérico. Para ello, elijamos una sección del anillo situada en la posición que determina

un ángulo variable θ cuyo arco desde B habrá de ser Rl , y consideremos un incremento de

θ en “dθ”, que determinará un arco dRdl sobre el que se ejercerá, en dirección radial, la

fuerza infinitesimal dlbpfd

, formando con la horizontal el mismo ángulo θ.

Por ello, su componente vertical sería:

dsenRbpdlsenbpsendfdfy

Así, la suma de todas estas componentes desde que θ vale 0 hasta que alcanza los π radianes,

abarcando así la semicircunferencia de la figura, será:

Rbp20coscosRbpdsenRbpdsenRbpF

00

y

Esta fuerza, como se dijo antes, será equilibrada por la que producen los esfuerzos normales ζ en A

y B, es decir:

eb2F

de donde se deduce que: e

Rp


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74

Este esfuerzo dará lugar, en la fase elástica de dilatación del anillo, a la deformación longitudinal

unitaria Ee

pR

E

que afectará a la longitud del perímetro total del anillo, de manera que su

longitud original: R2L , pasará a ser:

'R2R12L1'L ;

es decir, el nuevo radio del anillo será:

R1'R

Como puede observarse los resultados son independientes la anchura b del anillo.


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75

PROBLEMA III-5

Las barras elásticas AB y AC de la figura tienen secciones respectivas 2S y S, con un mismo

módulo de elasticidad E.

Si en un momento determinado la articulación A sufriera una carga vertical de valor W,

determinar el esfuerzo normal ζ y la tensión T que tendría que soportar la barra AC, así

como la deformación longitudinal unitaria de la barra AB en función de los datos S, E, y la

longitud AC = L.

PROBLEMA III-6

Las barras elásticas AB y AC de la figura tienen secciones respectivas 2S y S, con un mismo

módulo de elasticidad E.

Si en un momento determinado la articulación A que une a ambas barras sufriera un

pequeño desplazamiento hacia la izquierda en una magnitud conocida 2δ. 3 , hasta la

posición A’, determinar el esfuerzo normal ζ y la tensión T que tendría que soportar la barra

AC, en función de los datos S, E, δ y la longitud AC = L.

30º A A’

B

C

2δ. 3

30º A B

C

W


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PROBLEMA III-7

La barra AB de la figura, de peso P, se encuentra en equilibrio formando un ángulo de 45º

con la horizontal. Además, está articulada en el suelo en su extremo A y amarrada desde el

otro extremo B al punto C por un cable CB=2L que forma un ángulo de 30º con el suelo.

Finalmente, también soporta en su extremo B una fuerza vertical igual a su propio peso P. Si

las respectivas secciones y materiales de la barra y cable son (Sb; Eb) y (Sc; Ec), determinar:

La fuerza que soporta la articulación A.

La tensión del cable BC.

Los esfuerzos de tracción y/o compresión en barra y cable.

Desplazamiento del punto B (horizontal y vertical).

45º 30º C

B

A

P 2L


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77

Capítulo Cuarto

Sistemas y estructuras planas articuladas hiperestáticas


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78


Julio Melián/2010

79

PROBLEMA IV-1

Tres barras dispuestas simétricamente según indica la figura (se supone que las dos

exteriores son de un material de Módulo de Elasticidad E1 y la central de módulo E2), con

secciones respectivas S1 y S2, están cargadas en su nudo común C con la fuerza vertical P.

Las características geométricas son las que se indican: L y θ.

Particularizar para:

21 E2E

21 S6S

º60

SOLUCIÓN:

Idealizaremos tres cortes (m, n y k) en las proximidades del nudo C sobre cada una de las barras, para

aislar el nudo C, sometido a la carga exterior y a las tensiones de cada barra, y así poder estudiar su

equilibrio.

Evidentemente, por razones de simetría, las tensiones de las barras inclinadas serán iguales y las

llamaremos X. Por su parte, la barra vertical CD tendrá una tensión diferente que denominamos Y.

Dado que ya habremos utilizado una ecuación de las de equilibrio (proyección según el eje

horizontal) al considerar la simetría, solo nos quedará la ecuación de equilibrio vertical que se

expresaría así:

PYcosX2 ( I )

θ θ

C

P

X X

senX senX

(b)

Y

θ θ

C

(c) C’

δY

δX

θ-Δθ

L

B A D

θ θ

B

C

P

A

m n

(a)

L

k

D

E1; S1

E2; S2

θ θ

B

C

P

A

L

D

E1; S1

E2; S2


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80

Si observamos la realidad geométrica de simetría de la figura (c) estaremos ante el hecho de que el

alargamiento δY y los dos alargamientos δX deberán ser tales que los tres den la confluencia de las

barras AC, BC y DC. Esto puede ser expresado de diversas formas, pero quizás sea la más clara

evidenciar que el triángulo DBC’ es rectángulo en D, lo mismo que lo era el DBC antes de la

deformación. Aplicando el Teorema de Pitágoras en ambos triángulos tenemos:

222222

2y

222x

2222

)cosL(BDLDCBDBC

)1()cosL(BD)1(L'DCBD'BC

La diferencia miembro a miembro de ambas expresiones permite escribir:

22y

222x

2 )cosL()1()cosL(L)1(L

o sea, dividiendo todo por L2 y desarrollando los cuadrados de los paréntesis:

22yy

22xx cos)21(cos1)21(

o lo que es lo mismo:

)2(cos2 2yy

22xx

y es aquí donde debemos aplicar los criterios de la Elasticidad en relación a los ínfimos valores de las

deformaciones de los materiales. Esto significará que si ε es muy pequeño, ε2 será despreciable frente

a su primera potencia y podremos deducir que:

2yx

2yx coscos22 ( II )

Esta última fórmula, que es la ecuación hiperestática de las deformaciones, debemos expresarla en

función de los respectivos esfuerzos ζ y, a su vez, de las fuerzas X e Y.

Así que, como:

222

y

y

111

xx

SE

Y

E

SE

X

E

al sustituirlo en la expresión ( II ) nos permitirá tener la ecuación hiperestática que se complementa

con la ( I ):

PYcosX2 ( I )

2

2211

cosSE

Y

SE

X ( III )


Julio Melián/2010

81

Así tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas, de las que podemos despejar X e Y. Obtenidos los

valores de estas fuerzas, tendremos los esfuerzos correspondientes (dividiendo por las áreas de la

secciones rectas sobre las que actúa) y finalmente, por la Ley de Hooke, las deformaciones δx y δy a

que dan lugar.

Particularizando para los las relaciones dadas entre E1 y E2; entre S1 y S2; y el ángulo θ, resultará:

P4

3X

P4

1Y

Y3X

PYX

4

1

SE

Y

S6E2

X

PYX

2222

Y, de otra parte,

22yy

22xx

2222y

2211x

SE8

LPº60cosL

SE48

LPL

SE4

P

SE

Y

SE48

P

SE

X


Julio Melián/2010

82

PROBLEMA IV-2

Un soporte vertical de sección constante S, de material cuyo Módulo de Elasticidad es E,

está construido de tal manera que su base y su capitel están atrapados por superficies (piso y

techo) fijos e inamovibles. Es decir, empotrados en ellos. La carga axial P se aplica en una

sección intermedia como se representa en la figura. Se desea conocer las reacciones en A y

B, así como los esfuerzos normales a que se encuentra sometido cada tramo del soporte y el

desplazamiento que sufre la sección C.

SOLUCIÓN:

Se establecerá la ecuación de equilibrio isostático: PRR BA (I), resultando precisa una

segunda ecuación (la hiperestática) para poder calcular las dos reacciones RA y RB.

ζA

A

ax

RA

(b)

AA RS

:axpara

ax

A

P

ζB

a

RA

C

(c) BAB

AB

RPRS

RPS

:axpara

A

L

b P

a

B

RA

RB

C

(a)

PRR BA

A

L

b P

a

B

C


Julio Melián/2010

83

La ecuación hiperestática se planteará, plasmando la condición de que la distancia entre A y B no

pueda variar: 0BA (II). Esta ecuación hay que expresarla en función de RA y RB tras la

aplicación de la Ley de Hooke:

Como se ve en la figura (b), al cortar por una sección recta perteneciente al primer tramo, el esfuerzo

normal será: S

RAA ; mientras que al cortar por la sección recta en el segundo tramo [fig. (c)],

el esfuerzo correspondiente será: S

RBB ; así, convirtiendo estos esfuerzos en sus

correspondientes alargamientos respectivos, tendremos:

;aSE

Ra

Ea AA

AA

y: ;bSE

Rb

Eb BB

BB

(el primero de alargamiento y el segundo un acortamiento); con lo que la ecuación (II) se transformará en la ecuación hiperestática deseada:

bRaR BA (II)

que en unión de la: PRR BA (I)

hará posible dar respuesta a las cuestiones planteadas:

SEL

Pab

LS

Pa

LS

Pb

L

PaR

L

PbR

A

B

A

B

A


Julio Melián/2010

84

PROBLEMA IV-3

Un bloque pesado indeformable cuelga de una superficie horizontal fija, suspendido por tres

cables de materiales diferentes (E1, E2 y E3), y de igual sección recta S y longitud a, tal

como se indica en la figura. Se pide determinar los esfuerzos a que se verán sometidos los

tres cables.

SOLUCIÓN:

En la figura (a) se plantea el equilibrio de las fuerzas exteriores, todas verticales, aunque por la falta

de simetría que supone la diferencia de materiales de los cables, habrá que suponer que las reacciones

en los tres articulaciones (A1, A2 y A3) serán distintas entre sí.

(a)

Sumatoria de fuerzas

verticales = 0 PRRR 321

A1

a

P

R1

A2

R2

A3

R3

B1 B2 B3

E3 E2 E1

Momentos respecto

al punto A2 = 0 0bRbR 31

o sea: 31 RR

b b

A1

R1

A2

R2

A3

R1

E3 E2 E1

ζ1 ζ2 ζ3

(b)

;S

R

;S

R

;S

R

13

22

11

A1

a

P

R1

A2

R2

A3

R3

B1

B3

E3 E2 E1

δ1 δ2 δ3

;SE

R

E

;SE

R

E

;SE

R

E

3

1

3

33

2

2

2

22

1

1

1

11

(c)

A1

a

P

A2 A3

B1 B2 B3

E3 E2 E1

b b

B2


Julio Melián/2010

85

Sin embargo, la otra ecuación isostática de equilibrio que habría de aplicarse en este caso, el

equilibrio de momentos, si se toman respecto al punto A2, resultan las dos fuerzas de reacción R1 y R3

iguales. No obstante, aunque hemos podido utilizar dos ecuaciones de la Estática, sigue existiendo

grado uno de hiperestaticidad, ya que son tres las incógnitas. Así se hace necesario establecer la

ecuación hiperestática en base a las deformaciones de los tres cables, conservando la condición

hipotética de partida de que el bloque que sustentan es indeformable, por lo que la línea B1B2B3

deberá permanecer recta después de la deformación, lo que conlleva una relación entre los

alargamientos δ1, δ2 y δ3.

Una vez determinados los esfuerzos normales, como muestra en la figura (b), así como las

deformaciones [fig. (c)], la relación entre los alargamientos se deducirían de la semejanza entre los

triángulos constituidos por los incrementos de unos respecto a los otros:

)(2 3231

o sea:

3

1

2

2

3

1

1

1

E

R

E

R2

E

R

E

R; que es la tercera ecuación buscada.

Resolviendo:

S

P

EEEEE4

EE2

S

P

EEEEE4

EEE

S

P

EEEEE4

EE2

PEEEEE4

EEER

PEEEEE4

EE2RR

REE2

EEE2RR2P;R

EE

EEER2

31231

313

31231

3122

31231

311

31231

3122

31231

3131

1

31

312211

31

3122


Julio Melián/2010

86

PROBLEMA IV-4

El esquema de la figura está compuesto por cuatro barras articuladas de acero cuyo módulo

de elasticidad es E, formando un rombo de lado “a”, cuyo semi-ángulo en las articulaciones

superior e inferior es de 30º. Las secciones de las barras perimetrales son iguales, e igual a

2S, mientras que las de las diagonales son: S, para la AA, y 4S para la BB.

Las cargas, como se indica en la figura, son W en la dirección de la diagonal vertical y 2W,

en la dirección de la diagonal horizontal.

Calcular:

Incremento total “δT” de la longitud de la diagonal AA.

Fuerza a que se ve sometida la diagonal horizontal.

Esfuerzo “ζp” a que se ven sometidas las barras perimetrales AB.

PROBLEMA IV-5

El esquema de la figura indica dos planchas rígidas indeformables atravesadas por cuatro

pernos roscados de acero de módulo de Elasticidad “EA”. Las planchas sujetan un bloque de

hormigón de módulo de elasticidad “EH” y módulo de Poisson “µ”, mediante un par de

tuercas colocadas en cada perno, sin ejercer ninguna presión sobre el bloque de hormigón.

Estando así las cosas (sin presión alguna entre ninguno de los elementos del sistema, se

procede a dar un giro completo de apriete de las cuatro turcas superiores, avanzando así un

paso de rosca cuya longitud es “e”. Produciendo así una tensión de estiramiento en los

pernos de acero y una compresión uniforme sobre el bloque de hormigón.

2w 2w

A

A

B B

30º

w

w


Julio Melián/2010

87

Las dimensiones del bloque de hormigón corresponden a un cubo de arista “a” y el área de

la sección recta de los pernos de acero es S = a2/10.

La relación entre los módulos de elasticidad de los materiales es EA = 10.EH.

Determinar:

1. El esfuerzo normal al que se ve sometido el acero.

2. El máximo esfuerzo cortante del hormigón.

3. La deformación longitudinal unitaria del hormigón en dirección horizontal.

PROBLEMA IV-6

La estructura de la figura, corresponde a un hexágono regular con barras perimetrales de

sección doble que las radiales. Calcular las tensiones en cada barra.

EH; µ EA; S e (paso de rosca)

P P

P P

P P


Julio Melián/2010

88

PROBLEMA IV-7

Tres barras de la misma sección e idéntico material, están dispuestas como muestra la

figura: dos con sus extremos articulados en una pared fija en A y B, y la tercera en C (en

el techo). Sus otros extremos están unidos entre sí mediante una articulación única D, de

la que cuelga verticalmente una carga P. Supuesto conocido el módulo E de elasticidad,

así como las características geométricas L (longitud de la barra AD) y el ángulo θ,

determínese la sección recta mínima que habría que dar a las barras para que sus

esfuerzos no superen a uno de trabajo dado ζT.

Determinar igualmente el desplazamiento que sufrirá la articulación D.

SOLUCIÓN:

Sea S la sección buscada de las barras.

Aislando el nudo D y

denominando X, Y y Z a las

tensiones que soporta cada

barra, resultarán las ecuaciones

isostáticas de equilibrio

siguientes:

;cosYX

;PYsenZ

B

θ

P

D

L sen θ

C A

B

θ

P

D

L sen θ

C A

X

Z Y


Julio Melián/2010

89

Problema hiperestático de primer orden que precisa de una ecuación más.

Las deformaciones que se

producen en cada barra serán:

;SE

ZLsen

;SE

YL

;SE

cosXL

Z

Y

X

debiendo ser tales que el

desplazamiento final de la

articulación D (que es extremo

de todas ellas) esté en un punto

único y común para todas las

barras (DA, DB y DC coincidan

en D’).

YXtanYZ

;sen

cos

YZ

YX

YsenZsen

cosYcosXtan

;sen

cos

'HD

HDtan

2

YZ

YXA

Obsérvese que se ha tomado para el cálculo

anterior el valor absoluto de δX.

De esta manera hemos planteado la ecuación

hiperestática que deberá ser unida a las dos

isostáticas obtenidas antes. Así, si sustituimos

X y Z en esta última, podremos determinar Y,

para luego obtener X y Z.

B

θ

D

L sen θ

C A

DB

DC

DA

D’

L cos θ

L

θ

D DB

DC

DA

D’

δX δY

δZ

δX

θ

δZ – δY .senθ

δX + δY .cosθ

H


Julio Melián/2010

90

Pcossen1

cos1Z

Pcossen1

cossenX

Pcossen1

senY

YcosYtanYYsenP

33

3

33

2

33

2

2

Haciendo un análisis comparativo de las tres fuerzas obtenidas, deducimos que Z es mayor que las

otras dos, por dar un resultado superior a 33

cossen1

P

, siendo inferiores a este valor las

otras dos fuerzas X e Y.

Por ello, la barra vertical CD será la que sufra mayor solicitación de carga, por lo que la sección que

precise definirá a las demás:

T33

3

T

P

cossen1

cos1ZS

Finalmente, el desplazamiento de la articulación D quedará definida por sus componentes horizontal y

vertical δX y δZ utilizando los valores obtenidos de X, Z y S.


Julio Melián/2010

91

PROBLEMA IV-8

Tres barras de la misma sección e idéntico material, están dispuestas como muestra la

figura, de manera que las tres tienen sus extremos articulados en una bóveda de forma

circular fija en A, B, y C. Sus otros extremos están unidos entre sí mediante una articulación

única D (justo en el centro geométrico de la bóveda), de la que cuelga verticalmente una

carga P. Supuesto conocido el módulo E de elasticidad, así como la longitud de las barras R

(radio de la bóveda), determínese la sección recta mínima que habría que dar a las barras

para que sus esfuerzos no superen a uno de trabajo dado ζT.

Determinar igualmente el desplazamiento que sufrirá la articulación D.

SOLUCIÓN: Sea S la sección buscada de las barras.

Aislando el nudo D y denominando X, Y y Z a las

tensiones que soporta cada

barra, resultarán las ecuaciones isostáticas de equilibrio

siguientes:

;2

2ZX

;PY2

2Z

Problema hiperestático de primer orden que precisa de una

ecuación más.

B

45º

P

D

R

C

A

B

45º

P

D

R

C

A

Y

X

Z


Julio Melián/2010

92

Las deformaciones que se

producen en cada barra serán:

;SE

ZRDD

;SE

YRDD

;SE

XRDD

BZ

CY

AX

debiendo ser tales que el

desplazamiento final de la

articulación D (que es extremo de todas ellas) esté en un punto

único y común para todas las

barras (DA, DB y DC coincidan en D’).

;2ZXY;2

;2

2

2

2

;

2

2

2

2

'HD

HD1º45tan

ZXY

ZYZX

ZY

ZXB

Obsérvese que se ha tomado para el cálculo

anterior el valor absoluto de δX

De esta manera hemos planteado la ecuación

hiperestática que deberá ser unida a las dos

isostáticas obtenidas antes. Así,

P4

2Z

P4

1X

P4

3Y

Haciendo un análisis comparativo de las tres fuerzas obtenidas, deducimos que Y es mayor que las otras dos fuerzas X y Z.

Por ello, la barra vertical CD será la que sufra mayor solicitación de carga, por lo que la sección que

precise definirá a las demás:

TT

P

4

3YS

Finalmente, el desplazamiento de la articulación D quedará expresada por sus componentes horizontal

y vertical δX y δZ utilizando los valores obtenidos de X, Z y S.

B

45º

D

R

C

A

DA

DB

DC D’

45º

δX

δY

45º

D DA

DB

DC D’

45º

δX

δY

δZ

H


Julio Melián/2010

93

PROBLEMA IV-9

Dos barras metálicas iguales, de longitudes “a” y de módulo de elasticidad “E”, están

articuladas entre sí, por uno de sus extremos (B), y a sendas articulaciones fijas A, en sus

otros extremos. En B actúa verticalmente una carga exterior “2P”.

Determinar la tensión a que se encuentran sometidas las barras y el desplazamiento vertical

del nudo B, cuando la sección de las barras es conocida y de valor “S”.

SOLUCIÓN:

g) La disposición de las barras y su carga presentan una simetría total respecto al eje vertical que

pasa por B, de forma que las reacciones en las articulaciones fijas A serán asimismo simétricas, con una componente vertical P (para equilibrar la carga exterior) y otra desconocida horizontal

que, unida a P se compondrá en la tensión axial X (cuya función será que los extremos A de

las barras, mediante su estiramiento longitudinal, no se aproximen entre sí).

h) La deformación de la estructura, bajo las condiciones establecidas para las articulaciones A fijas, junto con la simetría del problema, conlleva que el punto B deberá desplazarse

verticalmente hasta la posición B’, produciéndose un alargamiento de las barras en función de

la tensión X a que están sometidas, y resultando un pequeño ángulo θ entre la horizontal y la nueva posición de las barras.

Todo esto nos permite establecer la relación entre la tensión X y el alargamiento de AB, de una

parte, y la ecuación de equilibrio aplicada al nudo B’, de la otra:

SE

X

E

XX

aSE

X1'aa

SE

XX

P2senX2

2P

a a

A A B

2P

a a

A A B

B’

X X

P P

θ

B’

θ

2P

X X


Julio Melián/2010

94

Y como la relación entre a’ y a es el coseno de θ: ;1

1

'a

acos

X

resultará:

X

X

X2

X

2

21

2

21

11

1

11cos1sen

;0PSEXP2X2;P21

2X

2232

X

X2

de donde deberán

determinarse la solución real de X y, además, otras dos raíces imaginarias no válidas.

Por último, utilizando la solución de X, se tendrá también el valor de θ

X

Parcsen ,

siendo el desplazamiento vertical del nudo B:

tana'BB

PROBLEMA IV-10

Tres barras metálicas iguales, de módulo de elasticidad “E”, de sección recta “S”, y de

longitudes “a”, están articuladas entre sí en los puntos B (como indica la figura), y a

sendas articulaciones fijas A. En B actúan verticalmente unas cargas exteriores “P”.

Plantear las ecuaciones isostática e hiperestática que permitan determinar las tensiones a

que se encuentran sometidas las barras. Plantear igualmente las ecuaciones que permitan

calcular el desplazamiento de los nudos B.

SOLUCIÓN:

a) La disposición geométrica de las barras y su carga presentan simetría vertical, de forma que las reacciones en las articulaciones fijas A serán asimismo simétricas, con una componente

vertical P (para equilibrar la carga exterior) y otra desconocida horizontal X que, unida a P, se

compondrá en la tensión axial inclinada Y que, transmitida hasta el nudo B, se volverá a descomponer para equilibrar la carga exterior sometiendo a la barra central a la tensión X.

P

a a

A A B

P

B

a

A A

X X

P P

Y Y

P

a a

B

P

B

a

B’ B’

θ


Julio Melián/2010

95

b) La deformación de la estructura, bajo las condiciones establecidas para las articulaciones A fijas, junto con la simetría del problema, conlleva que los puntos B deberán desplazarse

horizontal y verticalmente hasta las posiciones B’, produciéndose un alargamiento de las

barras en función de las tensiones Y (las de AB) y X (la de BB) a que estarán sometidas.

Resultando un pequeño ángulo θ entre la horizontal y la nueva posición de las barras AB

(ahora AB’).

c) El equilibrio de los nudos A y B, nos permitirá expresar las tensiones desconocidas X e Y en función de un único parámetro: θ.

tan

PX

sen

PY

tanXP

YsenP (ecuaciones isostáticas)

d) Todo esto nos permite, conocido el área de la sección recta de las barras S, establecer la

relación entre el alargamiento de AB y la tensión Y. Lo mismo que entre el alargamiento de

BB y la tensión X.

SEsen

Paa

tanSE

Paa

;SEsen

P

SE

Y

E

;tanSE

P

SE

X

E

YY

XX

YY

XX

e) Si observamos la relación geométrica que ha de existir entre ambos alargamientos, deduciremos la ecuación hiperestática que permite resolver el problema:

A

X

Y

Y

B’

P

P

B’ X

θ

A A B B

B’ B’

3a

A

B’ B’ Ya Xa

A

Ya

θ

θ


Julio Melián/2010

96

;sentanSE

P

2

3

);cos1(a2SE

Pa

tan

3

);cos1(a2SE

Pa

tan

1

SE

Pa

sen

cos2

);cos1(a2cos2

;a2cos)a(2

;a3cos)a()a(cos)a(

xY

xY

YxY

Una vez conocido el ángulo θ, las ecuaciones siguientes permitirán calcular las tensiones X e Y:

tanXP

YsenP

En forma análoga se determinaría las deformaciones de cada barra:

SEsen

Paa

tanSE

Paa

YY

XX

pudiendo así calcular los desplazamientos vertical y horizontal de los nudos B.


Julio Melián/2010

97

PROBLEMA IV-11

La figura representa un marco rígido indeformable que contiene en su interior una

probeta de hormigón cilíndrica de sección AH y módulo de elasticidad EH. La probeta se

encuentra sujeta, sin ejercer presión alguna, por un plato de prensa (también rígido e

indeformable) accionado por el vástago de acero de sección Aa y módulo de elasticidad

Ea, que va roscado a la parte superior del marco exterior citado.

a) Determínese el esfuerzo de compresión en el vástago de acero cuando el volante

de la prensa se la gira un cuarto de vuelta, siendo “p” el paso de rosca.

b) Calcular, asimismo, el esfuerzo cortante máximo en el hormigón y la orientación

del plano en que actúa.

La

LH


Julio Melián/2010

98

PROBLEMA IV-12

Entre dos superficies horizontales inamovibles (techo y suelo) se encuentra

encajada una columna de material de módulo de elasticidad “E” y de sección

variable en tres tramos. El primer tramo tiene de sección recta S; el segundo, 2S;

y el tercero, 3S. Los tres tramos tienen la misma longitud “a”; de forma que la

altura total será de “3a”.

En las secciones de separación de cada tramo actúan sendas cargas exteriores

“P”, y no se tiene en cuenta para nada el peso propio de la columna.

Determinar las Reacciones en A y B y la deformación longitudinal del tramo

central.

a 2 S

a

a

S

3 S

P

P

A

B


Julio Melián/2010

99

SOLUCIÓN

1. Las reacciones en A y B serán ambas de dirección ascendente por cuanto las cargas

externas tienden a empotrar en el suelo la pilastra y simultáneamente a

desprenderla del techo:

P2RR BA

única ecuación isostática de equilibrio que puede considerarse.

2. La longitud 3a que separa A de B no puede ser variada, por lo que el incremento

total de longitudes de los tres tramos sumados deberá ser nulo.

3. Considerando secciones en cada tramo, los esfuerzos a que se verán sometidos

serán:

S3

P2RS2

PRS

R

A3

A2

A1

a

2 S

a

a

S

3 S

P

P

RA

Sección 3-3

Sección 2-2

Sección 1-1

RB


Julio Melián/2010

100

4. Y los alargamientos correspondientes:

aSE3

P2Ra

aSE2

PRa

aSE

Ra

A33

A22

A11

5. Con lo cual la ecuación hiperestática nos permite escribir:

03

P2R

2

PRR;0 AA

A321

;P11

15R;P

11

7R BA

6. En cuanto a la deformación del tramo central, será preciso calcular previamente el

esfuerzo a que se halla sometido:

;S

P

11

2

S2

PRA2

(compresión)

dando lugar a una contracción longitudinal de:

;SE

Pa

11

22

Para comprobar estos resultados, deberá verificarse que la suma de las reacciones

da 2P y que la suma de las deformaciones es nula.


Julio Melián/2010

101

PROBLEMA IV-13

La figura muestra cinco barras metálicas, del mismo material y la misma sección recta,

que se encuentran articuladas entre sí en sus extremos A, B, C y D. Como se indica, las

articulaciones C y D están fijadas a unas paredes inamovibles. Y de su articulación A

cuelga una carga conocida P.

Se debe calcular lo siguiente:

1. Las fuerzas de tensión a que se verán sometidas cada barra (X, Y y Z); indicando

las que se vean sometidas atracción y las que estén en compresión.

2. El desplazamiento que sufre el nudo A (supuesto conocidos el módulo de

elasticidad del material E, la sección de las barras S, y la longitud de la barra

aAB ).

3. Las componentes horizontal y vertical de las reacciones en C y D.

4. La sección mínima que deberían tener las barras para que el esfuerzo de trabajo

no superara un valor predefinido ζt.

P

C

A

B

D

Z

Y

X X

Z

60º

60º

60º

60º


Julio Melián/2010

102

SOLUCIÓN:

a) La disposición geométrica de las barras y su carga, presentan simetría vertical, de

forma que las reacciones en las articulaciones fijas C y D serán asimismo

simétricas, con una componente vertical P/2 (para equilibrar la carga exterior) y

otra desconocida horizontal H. En todo caso, estas fuerzas horizontales no podrán

determinarse hasta no haber calculado las tensiones de las barra inclinadas X y Z.

b) Los ángulos que forman las barras, demuestran que los triángulos que forman son

equiláteros.

c) La deformación de la estructura, bajo las condiciones establecidas para las

articulaciones C y D fijas, junto con la simetría del problema, conlleva que los

puntos A y B deberán desplazarse verticalmente hasta las posiciones A’ y B’,

produciéndose un alargamiento de las barras en función de las tensiones, X (las de

AC y AD) e Y (la de AB), a que estarán sometidas. A su vez las barras BC y BD

sufrirán una compresión Z que tendrá como efecto final el desplazamiento vertical

del nudo B hasta B’, al que llamaremos dB. En la siguiente figura se detalla en

esquema de desplazamientos (dA y dB). Todo ello provocará la extensión de la

barra AB hasta A’B’, con un alargamiento:

BAY dd

P

C

A

B

D

Z

Y

X X

Z

A’

B’

dA

dB


Julio Melián/2010

103

d) El equilibrio de los nudos A y B, nos permitirá expresar las tensiones desconocidas

X e Y en función de P.

PYXPYº60cosX2

YZYº60cosZ2

(ecuaciones isostáticas)

e) La caída dA del nudo A, estará directamente relacionada con la deformación δX de

las barras AC y AD, simétricas; como también el descenso dB del nudo B lo estará

con la deformación de las barras BC y BD.

;2

1dº60cosd AAX

XA 2d

;2

1dº60cosd BBZ

ZB 2d

X X

Y

P

A

60º 60º

60º 60º

Z Z

Y

B

C

A

D

A’

60º

δX

dA

C

B

D

B’

dB

60º

δZ


Julio Melián/2010

104

f) De acuerdo a lo expresado en el apartado c):

)(2dd ZXBAY

g) Y, conforme a la Ley de Hooke,

)ZX(2Y

aSE

Ya

aSE

Ya

aSE

Xa

;SE

Z

E

;SE

Y

E

;SE

X

E

YY

YY

XX

ZZ

YY

XX

h) Lo que, junto a las ecuaciones isostáticas expresadas en el apartado d) da el

resultado:

;P5

2Z;P

5

2Y;P

5

3X

X e Y en tracción; Z en compresión

i) Así pués, el desplazamiento sufrido por el nudo A será:

SE

Pa

5

6a

SE

X22d XA

j) El Estudio del nudo articulado D, nos muestra la figura siguiente:

;P10

3P

10

32P

10

33º30cosZº30cosXR

;P2

1P

10

2P

10

3º30senZº30senXR

H

V

con lo que la reacción resultante sería:

P10

10R

D

P5

2Z

P5

3X

30º

30º

RV

RH


Julio Melián/2010

105

k) Como la tensión más alta se presenta en las barras AC y AD, con una fuerza de

tracción de P5

3, el máximo esfuerzo que aparecería en la estructura sería de

;S

P

5

3 por lo que si no se desea sobrepasar un esfuerzo de trabajo dado t la

sección mínima que admiten estas barras sería de:

t

min

P

5

3S

PROBLEMA IV-14

Un tablón rígido e indeformable A-A, de peso “P”, cuyo centro de gravedad está situado

en su punto medio G, se encuentra colgado de dos puntos B y C del techo, por dos parejas

de cables de acero AB y AC de igual sección, en la disposición geométrica que se indica

en la figura.

Determinar el desplazamiento vertical de la barra y las tensiones de los cables.

Se suponen conocidos el módulo de elasticidad del acero (E), la sección de los cables (S)

y la longitud del cable AB (LX ), además del peso P.

Calcular, también la sección SM que deberá tener el tablón de madera si el esfuerzo de

trabajo al que se desea someter la madera es un valor predeterminado conocido ζM.

(Suponer que este tablón sólo trabajara en tracción y no en flexión, que sería la

aproximación más real al caso en que la longitud A-A del tablón no fuera muy grande).

A

30º

B B C C

P

G

30º

A


Julio Melián/2010

106

SOLUCIÓN:

a) La simetría y la indeformabilidad de la barra AA conllevan que, después del

alargamiento de los cables AB y AC, la distancia entre los puntos A no habrá

variado, por lo que sus desplazamientos serán verticales, manteniéndose la

simetría de la figura una vez deformada, con idénticas tensiones en las barras

correspondientes.

b) La figura siguiente muestra la deformación producida por los cables en su posición

final:

El ángulo que forman ahora los cables sería ligeramente inferior a los 30º pero, ante

las pequeñas deformaciones que se producen, en primera aproximación

conservaremos el valor de 30º.

c) Una observación detallada de las tensiones y alargamientos de una y otra barra, se

nos presentará bajo el aspecto siguiente (donde T sería la tensión horizontal

originada en el bloque indeformable A-A):

La componente horizontal de Y se equilibrará

con T.

La componente vertical de Y lo hará con X y

P/2.

A

30º

B B C C

P

G

30º

A

30º δx δy

P/2

Y X

T A


Julio Melián/2010

107

De otra parte, los alargamientos son cateto e hipotenusa de un triángulo rectángulo:

Por lo tanto, procede utilizar la Ley de Hooke para establecer las relaciones entre

tensiones y deformaciones (denominamos “S” a la sección de los cables y al

módulo de elasticidad del acero “E”):

;

Y como quiera que las longitudes de los cables también están en la relación

trigonométrica:

; resultará: ; o sea: ;

por lo que al sustituir en la ecuación de equilibrio:

; ;

Por su parte, el desplazamiento vertical será: ; para el que será

conocido S, E y LX .

En cuanto a la sección del tablón de madera, si está sometida a una tracción T, el

esfuerzo a que se someterá será:

Por lo que la sección solicitada, para un esfuerzo de trabajo ζM, será:


Julio Melián/2010

108

PROBLEMA IV-15

Cuatro cables de acero están enganchados al techo y unidos en su extremo inferior del

que cuelga una carga W constituyendo el esquema simétrico que muestra la figura.

1º.- Determinar el desplazamiento vertical del punto P y las tensiones de los cables.

Se suponen conocidos el módulo de elasticidad del acero (E), la sección de los cables (S)

y la longitud del cable AP (L), además de la carga W.

2º.- Si quisiéramos dimensionar la sección de los cables para no sobrepasar un cierto

esfuerzo de trabajo ζT, hacer el cálculo para determinar dicha sección.

SOLUCIÓN:

a) La simetría del problema conlleva que las tensiones de los cables simétricos sean

iguales y que su deformación concluya con un desplazamiento vertical del punto P.

b) Un corte de los cables por secciones infinitamente próximas a P, nos aislarían este

nudo con las tensiones de los cables y la carga:

A B

W

P

30º

B A 60º 60º

30º


Julio Melián/2010

109

El equilibrio vertical de fuerzas nos da:

o sea:

Que significará la ecuación isostática entre las tensiones

de los cables.

c) De otra parte, el alargamiento de los cables tiene que confluir en un punto único P’

que deberá estar situado bajo la vertical de P.

El ángulo que forman ahora los cables sería

ligeramente inferior a los primitivos pero,

ante las pequeñas deformaciones que se

producen, en primera aproximación

conservaremos el valor de 30º y 60º,

respectivamente, para P’A y P’B con la

vertical:

Ecuación hiperestática que, ahora, debemos expresarla en función de las tensiones

X e Y.

d) Las longitudes originales de los cables, partiendo del conocimiento del AP igual a

L y de relaciones geométricas simples, resulta:

Con lo que la aplicación de la Ley de Hooke para determinar los alargamientos y

nos relacionarán las tensiones X e Y:

W

P

30º

30º 30º

30º

X X

Y Y

P’

P

30º 30º

B A

δB

δA δ


Julio Melián/2010

110

e) De esta forma, tras haber deducido la ecuación hiperestática podemos ya dar los

valores de las tensiones de los cables:

f)

Resultando el desplazamiento vertical del nudo P:

g) En cuanto al cálculo de la sección de los cables, habremos de elegir aquella que

resulte mayor de los dos, correspondiendo, por tanto, a la que haya de soportar mayor

tensión; en este caso el cable AP, cuya tensión X es tres veces la otra.

Resultando así:


Julio Melián/2010

111

PROBLEMA IV-16

La figura representa el conjunto de tres barras de acero de igual sección articuladas cada

una a puntos fijos de paredes y techo (A, B y C), y entre sí en una articulación única (P).

Sus longitudes quedan indicadas en el dibujo. Del punto P se cuelga una carga W

produciendo las correspondientes tensiones en las barras. Se trata de calcular dichas

tensiones en función de W, a las que llamaremos X, Y y Z.

SOLUCIÓN:

El equilibrio del nudo P conlleva el planteamiento de las dos ecuaciones de la Estática

del Punto:

Lo que requiere la utilización de la ecuación hiperestática que

exprese que las tres barras, tras su deformación longitudinal,

deberán confluir en un mismo punto que corresponda a la nueva

situación de P, la que vamos a denominar P’.

Para ello, analizamos cada una de las posiciones que adquiriría P si tan solo

dependiera de una sola barra con la tensión que esta le proporciona: en el caso de

AP, la posición PX; en el caso de la BP, la posición sería PY; y en la de la barra CP,

la PZ.

B

C

A (X)

(Z)

(Y)

P

W

30º

a

2a

X

Z

Y

P

W

30º


Julio Melián/2010

112

Resulta evidente que las perpendiculares

(arcos desde el otro extremo) trazadas

por PX, PY y PZ a sus respectivas barras,

coincidirán en P’.

Puesto que vamos a establecer una relación geométrica los alargamientos y

acortamientos de las barras estarán considerados en valores absolutos:

Así, podemos establecer la siguiente identidad geométrica:

Es decir:

Ecuación que, unida a las isostáticas inicialmente obtenidas permitirán el cálculo de

las tensiones X, Y y Z (en las que el valor obtenido de Z sabemos que será de

compresión, mientras que las X e Y serán tracciones).

B

C

A (X)

(Z)

(Y)

30º

a

2a

P PX

PZ

PY P’

P PX

PZ

PY P’

H

30º


Julio Melián/2010

113

Capítulo Quinto

Sistemas tridimensionales hiperestáticos


Julio Melián/2010

114


Julio Melián/2010

115

PROBLEMA V-1

En el esquema de la figura, aparece (como cuerpo sólido elástico principal) un cubo de

hormigón que está encajado en una canaleta rígida NN, indeformable, fija y no desplazable

de su posición, quedando las caras anterior y posterior del sólido elástico libres y sin

contacto alguno con otro cuerpo. Sobre su parte superior se apoya una placa indeformable y

pesada “JJ” (de peso “W”) sobre la que actúa una fuerza de magnitud “9W”.

El bloque de hormigón tiene un módulo de elasticidad “E” y módulo de Poisson “µ”.

La arista del cubo de hormigón tiene una longitud conocida “a”.

Determinar:

1. El esfuerzo normal y cortante que se ejerce sobre el hormigón en un plano que forme 30º

con el plano horizontal y 90º con la cara frontal del bloque (plano π-π).

2. El volumen total del bloque tras la deformación que sufrirá.

9W

E; µ

N

N

N

N

J J

a

π

π 30º

W

X

Y

Z


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116

SOLUCIÓN:

Ecuación isostática:

p . a2

= 10W; p = 10W/a2

Estado de esfuerzos en el bloque de hormigón:

ζx = 0 εx =? εx = μ . q/E + μ . p/E

ζy = - q εy = 0 εy = - q/E + μ . p/E = 0; q = μ . p = 10μ . W/a2

ζz = - p = - 10W/a2

εz =? εz = - p/E + μ . q/E = - (1 - μ2) p/E = - 10(1 - μ

2) . W/Ea

2

εx = μ2 . p/E + μ . p/E = (μ+ μ

2) . p/E = 10(μ+ μ

2) . W/Ea

2

Esfuerzos Principales del hormigón:

ζx = 0 ζy = - q = - 10μ x W/a2 ζz = - p = - 10W/a

2

1.- Círculos de Mohr y cálculo solicitado:

Radio del círculo:

R = (p - μp)/2 = (1 - μ) p/2

Esfuerzo cortante:

ηπ = R.sen 60º = (1 - μ) p.√3/4 =

=(1 - μ) 10√3W/4a2

Esfuerzo normal:

ζπ = - [(1+ μ)p/2 + R.cos 60º] =

= - [1/2 + μ /2 + 1/4 - μ /4]p;

ζπ = - [3 + μ]p/4 = - [3 + μ] 10W/4a2

2.- Volumen final:

e = εx + εy + εz = [10(μ+ μ2) . W/Ea

2] + [- 10(1 - μ

2) . W/Ea

2];

e = 10 . W/Ea2 [ - 1 + μ + 2μ

2] = -10(1 - μ - 2μ

2) . W/Ea

2;

V’ = V (1 + e) = {1 - 10(1 - μ - 2μ2).W/Ea

2} a

3

ζZ = -p

ζy = -q ζy = -q

J J

10W

σ

- p

30º

τπ

σπ

R

- μp

τ


Julio Melián/2010

117

PROBLEMA V-2

Una columna de hormigón de altura “10a”, con módulos de Elasticidad EH y de

Poisson μ, tiene una sección recta cuadrada de lado “3a”. Dicha columna resulta

encajada por un encofrado indeformable, a modo de zuncho, que se le adapta casi

perfectamente, resultando una ranura de ajuste cuyo ancho es “e” (muy pequeño

frente a “a”).

A lo largo de la pestaña del encofrado (ver figura) quedan distribuidos un total de

diez bulones roscados de acero, de módulo de elasticidad EA y secciones S.

Los bulones llevan sendas tuercas en sus extremos que son apretadas a tope hasta

unir ambos encofrados y cerrar completamente este zuncho, quedando la longitud

de los bulones igual a “a”.

Bajo estas condiciones, la columna es sometida a una compresión de valor “p” en

la dirección del eje Z. Tómense como direcciones de referencia los indicados.

Se desea saber:

1º.- Si el esfuerzo de rotura del acero de los bulones es “ζr”, ¿con qué presión “p”

se llegaría al límite de rotura de ellos?

2º.- En estas condiciones, ¿qué esfuerzo cortante máximo se habrá producido en la

columna de hormigón?

e

e

Ranura de ajuste y apriete

Bulones de acero

resistentes:

EA=10EH

Tuercas de

apriete

p

p

EH ; μ

Encofrados

indeformables

Z

X

Y

Y

X

a


Julio Melián/2010

118

SOLUCIÓN

1. Al proceder al ajuste total del encofrado venciendo la pequeña distancia “e”

mediante el apriete de las tuercas de los bulones, se habrá producido una cierta

tracción en ellos acompañado de la compresión correspondiente en la dirección Y

de la sección de hormigón, la que, a su vez, provocará otra transversal, en dirección

X, como efecto de Poisson. En esta última, la deformación será nula. Pero en la

dirección Y el acercamiento “e” se verá aliviado por la extensión que se produzca

en los bulones. Es decir, que según el eje Y, el acortamiento de la arista “3a” del

hormigón, más el alargamiento de los bulones será igual a “e”.

a

e3;eaa3;e

AHY

AHY

AH

Y (1)

2. El hecho de actuar la compresión “p” según el eje Z de la columna, solamente hace

incrementar las compresiones transversales del hormigón (por el efecto de Poisson)

y, por añadidura, elevar las tensiones de los bulones. Pero la relación (1) entre las

deformaciones antes indicada, seguirá siendo la misma.

3. Por otra parte, deberemos analizar que condiciones de equilibrio deberán existir

entre las acciones que sigan la dirección del eje Y, ya que según el cual actuarán

esfuerzos sobre los bulones y sobre la columna. Para ello haremos una sección

imaginaria según el plano vertical paralelo al XZ que pasa por la ranura de ajuste

del encofrado:

2H

YA

a30S10 (2)

4. Ante todo lo anterior, analicemos separadamente el comportamiento elástico de los

bulones de acero y el de la columna de hormigón:

a. Bulones de acero

A

AA

E

(3)

b. Columna de hormigón

H

HY

H

2

H

HY

H

HY

H

HX

H

HYH

Y

HY

HX

H

HY

H

HXH

X

HZ

HY

HX

HZ

HY

HX

E

p1

E

1

E

pp

EE

p

E

p0E

p

E

?

?

0

p

?

?

(4)

HY

A

A

3ax10

a


Julio Melián/2010

119

5. Los resultados obtenidos de A y HY en las ecuaciones (3) y (4), habrán de ser

reemplazados en la ecuación hiperestática (1), y así resultarán dos ecuaciones con

dos incógnitas al tratarla conjuntamente con la isostática (2):

a

e

EE

p1

E

13

a

e3;e

A

A

H

HY

H

2AH

YAH

Y

HA2

HA

HY

AA

2

2A

2

AHY

E10a

ep1302E10Econ,que

;30;30a30

a

a3

S

6. Es decir, que:

2

HA

2

p130E10a

e

; o bien:

130

2E10a

e

p

A2H

; (5)

7. De modo que si lo deseado es conocer la presión “p” que produce un rA ,

solo habrá que sustituir este valor en la ecuación (5) que determina “p”.

8. Para calcular el esfuerzo cortante en el hormigón, será preciso comparar los tres

esfuerzos principales HZ

HY

HX ;; para saber cual es el máximo y cual el

mínimo, cuya semidiferencia dará el ηmax.


Julio Melián/2010

120

PROBLEMA V-3

Un cubo de arista “a”, construido de un material de módulo de elasticidad “E” y

módulo de Poisson “μ”, está sometido a una presión uniforme P/a2 según el eje

“Z” vertical. En la dirección del eje “X” está bloqueado por paredes verticales que

le impiden deformación alguna en este sentido.

a. ¿Que fuerza “F” habría de aplicarse en la dirección “Y” para que en esa

dirección se deforme longitudinalmente con un acortamiento dado “δ”?

b. ¿Qué presión “q” aparecería en el sentido “X” producida por las paredes

mencionadas?

SOLUCIÓN:

a) El estado de esfuerzos y deformaciones queda expresado con los siguientes

datos e incógnitas:

?a

Pa

?a

F

0?q

z2z

y2y

xx

b) Resolviendo la ecuación 0x podemos despejar q en función de F y los

datos del problema:

2

22

xa

PFq0

E

a

P

a

F

E

q

X

Z

Y F F

P/a2

P/a2

a


Julio Melián/2010

121

c) Sustituyendo en a

y

se podrá despejar F y luego determinar q:

aEa

PFPF

E

qa

P

Ea

F2

22

2y

;

1

PaEF

2a

P1

PaE

q

2a1

PaEq


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122

PROBLEMA V-4

El esquema de la figura está compuesto por dos barras verticales de acero de longitudes

“a”, iguales, y de secciones S = a2/10, sometidas a unas fuerzas de compresión W, que

conectan a un bloque de hormigón de forma cúbica y arista 2a, mediante unas placas

rígidas e indeformables, que transmiten la compresión W al hormigón. Este bloque de

hormigón está limitado por sus caras laterales izquierda y derecha por sendas superficies

rígidas e indeformables, mientras que frontal y posteriormente se encuentran totalmente

libres.

Los coeficientes de deformación elástica del hormigón y acero son respectivamente:

EH; y EA = 10.EH;

mientras que el coeficiente de Poisson del hormigón es:

50, ;

Calcular:

1. Acercamiento total “δT” entre los puntos “A” de los extremos de las barras metálicas.

2. Deformación unitaria “εx” en el hormigón en la dirección normal a la cara frontal.

3. Esfuerzo “ζy” producido por las paredes laterales.

2

a

A W

2a

W

A

a


Julio Melián/2010

123

PROBLEMA V-5

El pilar de hormigón de sección rectangular aa2 , está zunchado por una chapa de acero

de espesor 10

ae .

Siendo ;25,0y;E10E Ha determinar el esfuerzo cortante máximo del hormigón

cuando este está sometido a la compresión “p”.

PROBLEMA V-6

El soporte de sección variable de la figura está cargado con la fuerza vertical “P” en la sección que

se indica. Conocido el módulo de elasticidad “E” y el de Poisson “μ” del material, determinar las

reacciones en la base y cabeza del soporte.

a

2a

“p

”

“p

”

2a x 2a

a x a

P

4a

2a


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124

PROBLEMA V-7

La sección recta de una pieza prismática es un triángulo equilátero. Estando sus extremos superior e

inferior impedidos de todo tipo de desplazamiento, se le aplica una presión uniforme “p” en sus

caras laterales. Determinar el esfuerzo cortante máximo si “μ” es el coeficiente de Poisson

SOLUCIÓN:

a) Las acciones de compresión simple “p” en cada cara, por no tener componente “η”, son

acciones principales.

b) Al tener tres direcciones principales en el mismo plano transversal, indica que el elipsoide de

esfuerzos es de revolución de eje vertical.

c) Tomados dos ejes X e Y horizontales y el vertical Z, el tensor de esfuerzos será para estas

direcciones principales:

00

0p0

00p

donde “ζ” es el esfuerzo de compresión vertical debido a la imposibilidad de deformación en

esta dirección.

d) La deformación según el eje vertical será: p20E

p2

Ez

e) Así, razonado a través de los círculos de Mohr:

p5,02

pmaxmax

“p” “p”

“p”


Julio Melián/2010

125

PROBLEMA V-8

Un bloque elástico de Módulo de Young “E” y Módulo de Poisson “μ”, está apoyado sobre

una superficie horizontal inamovible y, lateralmente, está ajustado por unas barras

metálicas de Módulo de Elasticidad doble del anterior (2E).

Las caras anterior y posterior de este bloque están totalmente libres y las dimensiones del

bloque son las de un cubo de arista “2a”. Las barras tienen longitud “a” y sección recta

3

aS

2

Cuando se le somete a una compresión vertical conocida “p”, se desea saber el esfuerzo

cortante máximo de dicho bloque y el esfuerzo de compresión de las barras metálicas.

SOLUCIÓN:

Realizando dos cortes verticales que seccionen el bloque y la barra, resultará aislado en

perfecto equilibrio el conjunto representado en la figura donde actúa el esfuerzo horizontal

del hormigón HY y el de la barra metálica a , que deben (a través de las superficies sobre

las que actúan) mantener el equilibrio del conjunto aislado:

2HYa a4S (ecuación isostática)

12

aHY

De otra parte, el estado de esfuerzos en

el hormigón será:

p12

0

HZ

aHY

HX

a 2a a

2a.2a.2a

E ; μ

p

X

Y

Z

pHZ

S

Fa

2HYa4

F

pHZ


Julio Melián/2010

126

Siendo por tanto posible expresar las deformaciones longitudinales (según X) en función de

la incógnita hiperestática única a :

aE2

a

a2E

p

E12a2

aaa

aHYHY

y como la longitud horizontal total de las dos barras más el bloque no puede variar:

p7

1p

7

120

EE

p2

E602 HYa

aaaHY

Así hemos determinado la compresión en las barras, mientras que el estado de esfuerzos en el

hormigón será:

p

p

HZ

HY

HX

.7

1

0

lo que permite calcular, a través de los círculos de Mohr, el esfuerzo cortante máximo en el

hormigón: 2

pHmax


Julio Melián/2010

127

PROBLEMA V-9

El pilar de hormigón de sección recta cuadrada axa que se muestra en la figura, se

encuentra encajonado entre dos paredes fijas e indeformables que contactan con las caras

anterior y posterior del pilar (X), y además está encajado lateralmente entre dos placas

(también rígidas e indeformables, aunque no fijas) que están unidas por ocho barras de

acero elástico (Y) cuyo Módulo de Young es diez veces superior que el del hormigón

Ha E10E

También se sabe que la sección de cada barra de acero es de 0,025a2.

Tomando un valor hipotético del Coeficiente de Poisson 25,0 , determinar el esfuerzo

cortante máximo del hormigón cuando este está sometido a la compresión “p” (Z).

Determínese también el esfuerzo de tracción en las barras de acero.

X

Y

Z

“p”

“p” a

a

4a


Julio Melián/2010

128

PROBLEMA V-10

El pilar de hormigón de sección recta cuadrada axa que se muestra en la figura, se

encuentra libre en sus caras anterior y posterior del pilar (X). Por otra parte, está encajado

lateralmente entre dos placas rígidas e indeformables (no fijas) que están unidas por ocho

barras de acero elástico (Y) cuyo Módulo de Young es diez veces superior que el del

hormigón

Ha E10E

.

También se sabe que la sección de cada barra de acero es de 0,025a2.

Tomando un valor hipotético del Coeficiente de Poisson 25,0 , determinar el esfuerzo

cortante máximo del hormigón cuando este está sometido a la compresión “p” (Z) y, a su

vez, de las placas laterales están tirando cuatro fuerzas “ 2paF ”. Determínese también el

esfuerzo de tracción en las barras de acero.

X

Y

Z

“p”

“p” a

a

F

F

F

F

F

F

F

F

3a


Julio Melián/2010

129

PROBLEMA V-11

Un bloque prismático de hormigón como el que se muestra en la figura, se encuentra

encajonado por dos paredes fijas e indeformables entre las caras verticales laterales (Y),

mientras que sufre una tracción “2p” en la dirección perpendicular al dibujo (X).

Siendo el coeficiente de Poisson “μ”, y estando sometido a la compresión vertical “p” (Z),

determinar:

1. El esfuerzo cortante máximo absoluto del hormigón.

2. El máximo esfuerzo cortante y los máximos normales en tracción y compresión sobre

los planos cuyas normales forman 30º con el eje Y citado.

X

Y

Z

“p”

“p”

“2p”


Julio Melián/2010

130

PROBLEMA V-12

Llamemos X ,Y y Z a los ejes correspondientes a las aristas que constituyen el dibujo de la

figura. Ésta representa un hueco indeformable de superficie horizontal 2a.a (plano X-Y). En

su interior se vierten dos materiales elásticos (de módulos de elasticidad y de Poisson

deferentes: E1, E2, μ1 y μ2), de manera que uno ocupa el doble que el otro en la forma que

indica la figura. En estas condiciones y con la ayuda de un émbolo que transmite

uniformemente a ambos materiales la presión p (aunque cada uno asuma parte de esa

presión), y obligue a los dos a contraerse en igual medida, plantear el proceso que se debe

seguir para determinar los esfuerzos cortantes máximos en cada material.

SOLUCIÓN:

Habrá que tratar por separado los dos bloques elásticos para finalmente, a través de las relaciones

isostáticas e hiperestáticas, determinar los estados de esfuerzos en cada cual y calcular, a través de los

círculos de Mohr de cada uno, los esfuerzos cortantes máximos solicitados.

Cuerpo 1 Cuerpo 2

;p

;r

;q

11Z

11Y

11X

;

;

;0

Z1Z

11Y

1X

;p

;r

;q

22Z

22Y

22X

;

;

;0

Z2Z

22Y

2X

En el cuadro anterior, solo los valores nulos son conocidos, y todos los alargamientos unitarios ε se

expresarán en función de de los esfuerzos ζ, por lo que nos encontramos con un total de seis

incógnitas a desvelar.

E1 ; μ1 E2 ; μ2

p

2a a

X

Y

Z


Julio Melián/2010

131

2

2X

2

2

2Y

2

2

2Z2

Z

2

2Z

2

2

2X

2

2

2Y2

Y

2

2Z

2

2

2Y

2

2

2X2

X

1

1X

1

1

1Y

1

1

1Z1

Z

1

1Z

1

1

1X

1

1

1Y1

Y

1

1Z

1

1

1Y

1

1

1X1

X

EEE

EEE

EEE

EEE

EEE

EEE

Si comenzamos por ecuaciones isostáticas de equilibrio, según el eje Z deberá verificarse que:

22

21

2apa2pa3p ;(1) según el eje Y deberá ser: 21 rr ;(2).

En cuanto a las ecuaciones hiperestáticas, tenemos en primer lugar las que corresponden a las

deformaciones longitudinales unitarias en ambos cuerpos: según el eje X, ;01X (3) y ;0

2X (4).

Según el eje Z, ;2Z

1Z (5). Y según el eje Y, el alargamiento total de ambos bloques deberá ser

nulo: 0aa22Y

1Y ;(6).

Con ello hemos planteado un sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas, cuya resolución nos

permitirá conocer los esfuerzos principales en ambos cuerpos en función de los datos p, a, E1, E2, μ1 y

μ2. Usando los Círculos de Mohr tendremos los máximos η como la media entre el mayor y el menor

valor propio de cada bloque.


Julio Melián/2010

132

PROBLEMA V-13

Un bloque paralelepipédico de un material de módulo elástico E2 y módulo de Poisson μ,

tiene dimensiones exteriores de 4a x 6a en planta, y dispone de un hueco en su parte central

de 2a x 4a, como se muestra en la figura, atravesándole de arriba a abajo. Sus caras

verticales exteriores están limitadas por paredes rígidas e indeformables.

En el hueco central se introduce a modo de cuña otro material de módulo de elasticidad E1 y

el mismo módulo de deformación transversal μ. Las dimensiones de esta cuña exceden

originalmente de las del hueco abierto en la cantidad 2Δ,en cada uno de sus lados, con lo

que al ser introducido en él, se verá fuertemente comprimido.

Se desea determinarlas compresiones mutuas entre los dos materiales (qx y qy) y el esfuerzo

cortante máximo correspondiente al bloque principal (η2), al igual que el esfuerzo máximo

cortante del bloque central (η1)

SOLUCIÓN:

Al introducir el bloque 1 en el alojamiento del 2 (de menores dimensiones) se producirán unas

tensiones entre las paredes de ambos en forma de presión mutua de valor desconocido. En principio,

esta presión sobre las caras horizontal y vertical de la figura, no tendrán por qué ser iguales, así que

designaremos a ambas incógnitas hiperestáticas por qx y qy. Así que el aislamiento de una parte de

Perspectiva tridimensional

a a 4a

a

a

2a

Planta

E1 ; μ

E2 ; μ


Julio Melián/2010

133

ambos bloques como el designado por la línea de puntos indicada en la figura, nos mostrarán las

indicadas presiones, aclarándonos la situación de los esfuerzos que se manifiestan en los dos bloques:

Es decir, el bloque 1 estará sometido a los esfuerzos normales:

;0

;q

;q

z

yy

xx

Mientras que el bloque 2 parece tener diferente comportamiento para la zona que denominamos (A) y

la que denominamos (B):

;0

;q

;0

)A(

Az

yAy

Ax

;0

;0

;q

)B(

Bz

By

xBx

Así pues que tendremos dos incógnitas hiperestáticas qx y qy para cuya resolución se precisará

plantear otras tantas ecuaciones que pongan de manifiesto las deformaciones correspondientes a las

direcciones x e y. En ambos casos la longitud total será inalterable por ser las paredes rígidas e

indeformables (6a y 4a); lo que quiere decir que el exceso 2Δ que presentan las aristas del bloque 1

respecto a las dimensiones del hueco del bloque 2, deberán ser absorbidas entre ambos por sus

propias deformaciones.

Calculemos las deformaciones correspondientes:

BLOQUE 1:

)afectano(E

q

E

q

a4.E

qqa4

E

q

E

q

a4.E

qqa4

E

q

E

q

1

y

1

x1z

1

xy1y

1y

1

x

1

y1y

1

yx1x

1x

1

y

1

x1x

a a 4a

a

a

2a E1 ; μ

E2 ; μ

qx

qy

qx

qy

E2 ; μ

E1 ; μ

(A)

(B)


Julio Melián/2010

134

BLOQUE 2 (zona A):

)afectano(E

q

a2E

q)aa(

E

q

)afectano(a4E

q

1

yAz

2

yAy

Ay

2

yAy

Ax

Ax

2

yAx

BLOQUE 2 (zona B):

)afectano(E

q

)afectano(a2E

q

a2E

q)aa(

E

q

2

xBz

By

By

2

xBy

2

xBx

Bx

2

xBx

Con esta información calculada, podemos decir que la suma de las deformaciones según X y según Y

(en valores absolutos, ya que ambos serán negativos) deberán ser iguales a 2Δ:

2a2E

qa4.

E

qq

2a2.E

qa4.

E

qq

2

2

2

y

1

xy

2

x

1

yx

Ay

1y

Bx

1x

Sistema en qx y qy del que se calcularán

ambas incógnitas hiperestáticas para luego, a través de los Círculos de Mohr determinar los máximos

esfuerzos cortantes en cada caso.


Julio Melián/2010

135

PROBLEMA V-14

Una columna prismática cuya sección recta es un pentágono regular de lado “a”, se

encuentra comprimida por una carga axial que repartida por la sección recta da un esfuerzo

de compresión de “p” Kg/cm2. El material con que está construida la columna tiene un

Módulo de Elasticidad “E” y de Poisson “μ”, ambos conocidos.

La columna está abrazada por un zuncho de un material [m] cuyo Módulo de Elasticidad es

infinito mE .

Determinar el esfuerzo cortante máximo que se manifiesta en la columna y la deformación

longitudinal unitaria de esta según su propio eje. [A efectos finales numéricos, tómese

μ=0,32]

SOLUCIÓN:

a) El eje Z, vertical, será dirección principal del tensor de esfuerzos porque sobre el plano

horizontal que representa (sección recta de la columna) tan solo se ejerce un esfuerzo de

compresión (ζ=-p; η = 0). Así que las otras dos direcciones principales estarán en el plano

horizontal.

Además, cualquier plano vertical que pase por el eje de la columna y también sea

perpendicular a una de sus caras laterales, será plano de simetría. Por lo que habrá cinco en las

mismas condiciones y, por tanto, el estado de esfuerzos en ellos será idéntico. Esto conlleva

una situación de simetría axial con el eje Z, o lo que es lo mismo, que todos los ejes

a

“p”

“p”

X

Z

Y


Julio Melián/2010

136

horizontales serán direcciones principales con un esfuerzo único normal ζ común y sin

esfuerzo cortante.

b) Teniendo en cuenta que el Módulo de Elasticidad del material del zuncho es infinito, resultará

que este material no tiene deformación alguna:

0E

m

m

mm

por lo que la columna no puede deformarse según ninguna dirección horizontal.

c) El estado de esfuerzos y deformaciones a que dar lugar la situación anterior, será la siguiente:

?dadop

0?q

0?q

zz

yy

xx

d) Resolviendo la ecuación 0x podemos despejar q en función de p y los datos del

problema:

p47,0p1

q0E

pq

E

qx

E

p85,0

E

p

1

21

E

q2

E

p2

z

e) Siendo, entonces, los esfuerzos principales – p y – q = -0,47p, por los círculos de Mohr

tenemos el esfuerzo cortante máximo, a 45º con el eje Z y de valor:

p265,02

p47,0p

2

qpmax


Julio Melián/2010

137

PROBLEMA V-14

La figura muestra un simple dado de hormigón, de forma cúbica, armado mediante cuatro

barras corrugadas de acero que lo atraviesan en la dirección Z, de tal forma que existe

una adherencia total entre el acero y el hormigón, que imposibilita el desplazamiento de

ninguna partícula de la masa de hormigón sobre la superficie perimetral de las barras de

acero.

La parte superior e inferior del cubo están protegidas por dos placas indeformables y total

mente adheridas al acero y al hierro. Sobre ellas actúan cuatro fuerzas de tracción de

valor P, que producirán los efectos elásticos consecuentes en el conjunto. El cubo de

hormigón no se encuentra sometido sobre sus paredes laterales exteriores a ninguna

carga, presión ni limitación alguna de contorno.

Supuesta conocida la sección SA de cada barra, determinar la arista “a” del cubo de

hormigón para que los esfuerzos cortantes que ha de soportar no superen en ningún caso

el de un valor dado .

Datos conocidos:

P

EA

EH

SA Incógnita:

a

SOLUCIÓN:

a) La tracción general a que se ve sometido el conjunto con las cuatro fuerzas P,

deberá ser repartida adecuadamente entre las barras de acero y el bloque de

hormigón. Evidentemente, debido a la adherencia entre ambos materiales, el

alargamiento o deformación que sufra el uno será igual al del otro.

P P P P

P P P P

a

a

a


Julio Melián/2010

138

b) Una sección transversal a las barras de armadura pondrá de manifiesto el equilibrio

entre las fuerzas que absorberá el acero, la que absorberá el hormigón y la acción

externa del total de 4P.

El hormigón y el acero se encontrarán en tracción con esfuerzos normales,

respectivamente, de ζz y ζA que actuarán sobre las áreas correspondientes a2 y SA,

por lo que las fuerzas resultantes serán: ; cuya

suma deberá ser igual a 4P. Así:

Esta consideración general debe ser compatible con la

igualdad entre los alargamientos unitarios de ambos

materiales en el sentido del eje Z definido en el enunciado.

Y puesto que no existen sobre el hormigón esfuerzos

transversales a este eje, su deformación longitudinal unitaria será: ; y, por

su parte, las barras de acero: ; lo que permitirá escribir: ;

siendo, entonces

c) Por lo tanto, el esfuerzo principal de tracción en el hormigón será

Siendo nulos los otros dos valores propios del tensor de esfuerzos. Por lo que el

esfuerzo cortante máximo habrá de ser la mitad de aquel, como quedaría patente

mediante el uso de los círculos de Mohr.

d) Así que si se desea que este esfuerzo cortante sea el valor dado , será preciso

que la arista a tenga un valor de

P

ζa

P

ζa

ζz


Julio Melián/2010

139

PROBLEMA V-15

Una columna de material de Módulo de Elasticidad “E” y Módulo de Poisson “μ”, tiene

sección variable [según tres tramos iguales en longitud =“a”], cuyas secciones rectas son

cuadradas y tienen por áreas “S”, “2S” y “3S” [tal como se indica en la figura], se

encuentra encastrada entre el techo y el suelo, que son inamovibles.

En su parte central (2) se ejerce una compresión lateral sobre dos de sus caras opuestas,

de valor “p” (eje Y de la figura), mientras que según la cara frontal y trasera está libre

(eje X, perpendicular al papel).

Se debe calcular lo siguiente:

1. Las fuerzas de reacción que se ejercerán sobre el techo y el suelo.

2. Esfuerzo normal máximo en el tramo (1).

3. Esfuerzo normal máximo en el tramo (3).

4. Esfuerzo cortante máximo en el tramo (2).

5. Desplazamiento de las secciones de separación denominadas como C y D.

2 S

S

3 S

a

a

a

A

B

C

D

p p

(1

)

(3

)

(2

)

X

Y

Z


Julio Melián/2010

140

SOLUCIÓN:

a) La presión transversal al eje de la columna en la dirección Y producirá expansiones

en los sentidos perpendiculares X y Z. Y así como en el sentido X no existe

ninguna ligadura que impida este desplazamiento, en el sentido Z se verá minorada

la extensión vertical por los encastres en A y B, en los que aparecerán sendas

reacciones R para que las dilataciones y contracciones a lo largo del eje Z, en los

tres tramos, se compensen sin modificar la distancia AB = 3a. Así que el problema

habrá de plantearse con esa única incógnita hiperestática R.

b) La igualdad de las reacciones en A y en B es evidente, en razón al equilibrio de las

fuerzas verticales, como también es obvio su sentido (compresión) para evitar la

dilatación vertical. De esta forma, los tramos (1) y (3) estarán sometidos a

compresión con la correspondiente contracción, mientras que el (2),

necesariamente, tendrá que ver alargada su longitud en la misma cantidad que

corresponda a la suma de las contracciones de (1) y (3):

2 S

a+δ1+δ3

a-δ1

a-δ3

X

Y

Z

C

p p

A

(1)

R

(2)

D

3 S

B

(3)

R

S


Julio Melián/2010

141

c) Por tanto, habrá que determinar los esfuerzos normales según la dirección Z en los

tres tramos en función de la incógnita hiperestática R. Para ello, analizando las

situaciones en que se encuentran las secciones horizontales en cada uno:

d) Y así como las deformaciones en los tramos (1) y (3) solo obedecen a la Ley de

Hooke, dado que están sometidos a carga axial únicamente, no se podrá decir lo

mismo del tramo (2) en que existen cargas transversales que influyen en las

deformaciones en los otros sentidos, por lo cual analizaremos en particular este

tramo intermedio, calculando el alargamiento δ2 :

SE

pS

SE2

Ra

;aE

p

SE2

Ra

E

p

SE2

R

)afectaráno(

)afectaráno(

S2

R

p

0

2

Z2

Z

Y

X

2Z

Y

X

e) En cuanto a los tramos (1) y (3), conforme a la Ley de Hooke, en el sentido del eje

Z:

SE3

Ra4a

SE3

RR3

aSE3

Ra

aSE

Ra

;SE3

R

E

;SE

R

E31

33

11

33

11

f) La condición hiperestática de que la distancia AB quede invariable nos permite

expresarla así:

0pS2

R

3

R4;0321

pS11

6R

S

R1

S

A

(1)

R

ζ1

S2

R2

C p p

(2)

2S

A

R

ζ2

S3

R3

3 S

B

(3)

R

ζ3


Julio Melián/2010

142

g) El esfuerzo normal máximo en los tramos (1) y (3) son los ya mencionados ζ1 y ζ3

que, en función de p serán:

;p11

2y;p

11

631

h) Como los esfuerzos principales (normales) en el tramo (2) son:

p11

3

p

0

Z

Y

X

El esfuerzo cortante máximo (siguiendo los Círculos de Mohr) será:

2

pmax

ya que ζZ es bastante menor que p.

i) Las secciones C y D se desplazarán de acuerdo a la Ley de Hooke, para los

esfuerzos ζ1 y ζ3 ya calculados:

;aE

p

11

2y;a

E

p

11

631


Julio Melián/2010

143

Capítulo Sexto

Elementos estructurales con carga transversal


Julio Melián/2010

144


Julio Melián/2010

145

PROBLEMA VI-1

Determinar el momento máximo y la flecha máxima en una viga simplemente apoyada en

sus extremos, sometida a una carga q uniformemente repartida y cuya luz es L. Tómense

E e I como valores del módulo de elasticidad y momento de inercia de la viga. Calcular el

ángulo que forma la tangente a la elástica en los apoyos

.

SOLUCIÓN:

La simetría que caracteriza al problema exige

reacciones iguales en los dos apoyos, de forma

que sumen la carga total que gravita sobre la

viga: qL.

El desarrollo correspondiente del diagrama de

fuerzas cortantes se iniciará con la reacción en

el apoyo A y linealmente disminuirá con la

pendiente –q :

qx2

qLV

con lo que la función del momento flector se

deduce de :

cteVdxMdxVdM;Vdx

dM

cuya constante de integración deberá ser nula

por cuanto en la posición x=0 (sección A), al

ser una articulación, no existirá momento

alguno. Así:

2x

2

qx

2

qLM

siendo su valor máximo el que se manifiesta

en el punto medio de la viga (x=L/2):

8

qLM

2

max

Con la función del momento flector, puede exponerse la ecuación diferencial de la

elástica:

(d. m. f.)

B A

2

qL

2

qL

L

q

A B

q

A B

θA

(elástica)

qL/2

(d. f. c.)

-qL/2 A

B

-

+


Julio Melián/2010

146

;xqL24

1qLx

12

1qx

24

1yEI

);0K0y;0xpara(

;KxqL24

1qLx

12

1qx

24

1yEI

;qL24

1qLx

4

1qx

6

1yEI

);qL24

1K0y;

2

Lxpara(

;KqLx4

1qx

6

1yEI

;x2

qLx

2

qMyEI

334

2

2334

323

31

123

2

Así, la flecha máxima se producirá en el centro (2

Lx ) y valdrá:

EI

qL

384

5y

4

max .

Igualmente, el ángulo de la tangente en A será y’ en 0x : EI24

qL3

A

PROBLEMA VI-2

Determinar el momento máximo y la flecha máxima en una viga doblemente empotrada,

sometida a una carga q uniformemente repartida y cuya luz es L. Tómese E e I como

valores del módulo de elasticidad y momento de inercia de la viga.

SOLUCIÓN:

La simetría que caracteriza al problema exige reacciones iguales en los dos apoyos, de

forma que sumen la carga total que gravita sobre la viga: qL (equilibrio isostático).

De otra parte, las condiciones de contorno que supone la existencia de los empotramientos,

exigen la aparición en ellos de momentos de reacción MA que obliguen a la elástica a salir

con tangente horizontal en los extremos A y B de la viga. Estas reacciones son

hiperestáticas, y solo podrán ser resueltas mediante el planteamiento analítico ó gráfico

(Mohr) de la citada condición de contorno.

El desarrollo correspondiente del diagrama de fuerzas cortantes se iniciará con la reacción

en el apoyo A y linealmente disminuirá con la pendiente –q :

qx2

qLV

con lo que la función del momento flector se deduce de :


Julio Melián/2010

147

cteVdxMdxVdM;Vdx

dM

cuya constante de integración deberá ser -MA

por cuanto en la posición x=0 (sección A), así

debe ser. Así:

A2

Mx2

qx

2

qLM

correspondiendo su máximo, bien a los que

aparecen en los empotramientos o al que se

manifiesta en el punto medio de la viga (x=L/2).

Evidentemente, nada puede ser conocido hasta

no determinar la incógnita hiperestática.

Para ello, integrando la ecuación diferencial,

lograremos deducir la función y’ que al anularse

en 0x y también en x=L/2, permitirá

calcular MA.

;x24

qLqLx

12

1qx

24

1yEI

);0K0y;0xpara(;Kx24

qLqLx

12

1qx

24

1yEI

12

qLM0y;

2

Lxpara(;xMqLx

4

1qx

6

1yEI

);0K0y;0xpara(;KxMqLx4

1qx

6

1yEI

;Mx2

qLx

2

qMyEI

22

34

222

234

2

AA23

11A23

A2

Así, la flecha máxima se producirá en el centro (2

Lx ) y valdrá:

EI

qL

384

1y

4

max

Por otra parte, la función del momento flector será 12

qLx

2

qx

2

qLM

22 resultando en

el punto medio de la viga 24

qLM

2

C ; (más pequeño que los del empotramiento), por lo

que: 12

qLM

2

max

qL/2

(d. f. c.)

-qL/2 A

B

-

+

2

qL

2

qL

L

q

A B

MA MA

(d. m. f.)

B A

q

A B

(elástica)


Julio Melián/2010

148

También interesa conocer la posición de los puntos de inflexión, donde cambia de

curvatura la elástica y que se producirá en las secciones de momento flector nulo:

0LxL6x622 ; o sea:

L6

3

2

1xinf

PROBLEMA VI-3

Determinar el momento máximo y la flecha máxima en una viga simplemente apoyada en

sus extremos, sometida a una carga P situada a las distancias a y b de los extremos de la

viga, cuya luz total es L=a+b. Tómense E e I como valores de su módulo de elasticidad y

momento de inercia. Calcular el ángulo que forma la tangente a la elástica en el apoyo A

y la sección en la que se produce la flecha máxima.

SOLUCIÓN:

Las ecuaciones de equilibrio isostático nos definen por un lado: PRR BA ; y por otro,

tomando momentos respecto a B: bPLRA de donde:

PL

aR

PL

bR

B

A

El desarrollo correspondiente del diagrama de fuerzas cortantes se iniciará con la reacción

del apoyo A cuyo valor permanece constante hasta dar el salto brusco de discontinuidad

que supone la carga P. Tras este salto pasa al valor de RB con el que llega hasta el final del

diagrama. Así se presentan dos tramos AC y CB de funciones diferentes de la fuerza

cortante V, en cuya sección común C deberán coincidir tanto la tangente a la elástica como

la flecha en sí: Tramo AC: ;PL

bV1 tramo CB: ;P

L

aV2

De esta forma el diagrama de momentos flectores tendrá un primer tramo de

variación lineal positiva y otro segundo de variación también lineal negativa:

xLPL

aaxVMM

PL

abM;Px

L

bxVM

2max2

max11


Julio Melián/2010

149

Ello repercutirá en dos ecuaciones matemáticas diferentes de la elástica: una para cada

tramo, con plena coincidencia de flecha y tangente en la sección común C.

22

2

12

1

2

1

Kx2

1LxP

L

ayEI

KPxL2

byEI

xLPL

ayEI

PxL

byEI

Las constantes de integración K1 y K2 deberán

cumplir dichas condiciones para ax :

2

2

1

2

212

1

2KaLaP

L

aKPa

L

byy

CC

2

2

12

PaKK

En una segunda integración, aparecerán nuevas

constantes C1 y C2. La primera será nula por ser

0y1 en el apoyo A (perteneciente a este entorno),

es decir en x=0; y para la segunda habrá de tenerse

en cuenta que también en B la flecha es nula (x=L):

2

2

132

2

13

1

2232

2

113

1

Cx2

PaKx

6

1x

2

LP

L

ayEI

xKPxL6

byEI

CxKx6

1x

2

LP

L

ayEI

CxKPxL6

byEI

LK

aLPaLC

CPaLLPa

LKCLPa

KPaLPaL

yEI

LxparayCxPa

KxPa

xL

PayEI

12

2

22

12

2

1

22

2

2

2

1

23

2

6

32

;032226

:;226

PL

b

(d. f. c.)

A

B

- PL

a

+

P

C

AR

L

P

A B

a b

BR

C

(d. m. f.)

B A C

A B

θA

(elástica)

P

C


Julio Melián/2010

150

es decir:

LK6

a3L2PaLx

2

PaKx

2

Pax

L6

PayEI

xKPxL6

byEI

1

2

123

2

13

1

ambas expresiones deberán coincidir cuando ax , en la sección C de aplicación de la

carga:

LK6

a3L2PaL

2

PaaK

2

Pa

L6

PayEI

aKPaL6

byEI

1

3

1

34

ax2

13

ax1

simplificando:

bKPaL6

aaL3L2yEI

aKPaL6

byEI

1

323

ax2

13

ax1

y al igualar los segundos miembros tendremos el valor de:

PL6

b2aabK1

ello permite ya la obtención de cualquiera de los valores requeridos:

1. Flecha en C: PEIL3

bay

22

ax

2. Tangente en C:

PEIL3

baaby ax

3. Tangente en A:

PEIL6

b2aaby 0x

4. Tangente en B:

PEIL6

ba2aby Lx

5. Situación de la flecha máxima: La flecha máxima aparecerá en la sección

correspondiente a la tangente horizontal a la elástica. Si (como sucede en este

ejemplo) a<b la tangente horizontal acontecerá en el segundo tramo y

haciendo 0y2 se determinará el valor correspondiente de x:

3

aLx

22

maxy

6. Flecha máxima:

PaEIL39

aLy

322

max


Julio Melián/2010

151

Así, si fuera el caso de tener la carga aplicada en el punto medio de la viga a=b=L/2, los

valores anteriores serían: EI16

PLy

3

0x ; EI48

PLy

3

max ;

y el momento máximo: 4

PLMmax

PROBLEMA VI-4

La viga de la figura está de módulo de elasticidad E y sección cuyo momento de inercia

respecto a la línea neutra es I en el tramo central, y 2I en los volados.

Calcular:

3. Reacciones en los apoyos B

4. Momentos flectores a derecha e izquierda de los apoyos

5. Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores en la viga

6. Angulo que gira la viga en los apoyos B

7. Forma y curvaturas de la elástica

8. Posición de las secciones de inflexión

9. Posición de la flecha máxima

10. Cálculo de dicha flecha máxima

11. Flecha de los extremos volados A

A A B B

I

2Pa 2Pa

2a a a

2I 2I

Pa Pa 2P

2a


Julio Melián/2010

152

PROBLEMA VI-5

La viga de la figura está de módulo de elasticidad E y sección cuyo momento de inercia

respecto a la línea neutra es I.

Calcular:

1. El momento MD que habría de aplicarse en el extremo de la parte volada para que,

en esa sección D, la tangente a la elástica fuera horizontal.

2. Reacciones en el apoyo C y el empotramiento A.

3. Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores en la viga.

4. Angulo que gira la viga en el apoyo C.

5. Forma y curvaturas de la elástica.

6. Posición de las secciones de inflexión.

7. Posición de la flecha máxima.

8. Cálculo de dicha flecha máxima.

PROBLEMA VI-6

La viga de la figura tiene módulo de elasticidad E y sección cuyo momento de inercia

respecto a la línea neutra es I.

Determinar:

1. Reacciones en los apoyos

2. Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores en la viga

3. Valores máximos de los momentos flectores y secciones que los soportan

4. Angulo que gira la viga en los apoyos A y B. Calcularlos.

5. Forma y curvaturas de la elástica. Dar la estimación y explicar porqué.

6. ¿Existe algún punto entre A y C con flecha nula? Explicar porqué.

7. Posición de las tangentes horizontales a la elástica. Calcularlas.

8. Posición de las secciones de inflexión. Calcularlas.

2a a a

A D B C MD

Pa

a a a a

A A

B

8/9.Pa

C

B

8/9.Pa


Julio Melián/2010

153

PROBLEMA VI-7

Aplicando los Teoremas de Mohr, determinar la flecha en el extremo volado D de la viga

de la figura. Momento de Inercia I y módulo de elasticidad E.

PROBLEMA VI-8

Aplicando los Teoremas de Mohr, determinar la flecha en el centro de la viga de la figura.

(Datos: Momento de Inercia I; módulo de elasticidad E; carga P; y luz de la viga 5a).

PROBLEMA VI-9

La viga de la figura que tiene sección uniforme de momento de inercia I y cuyo módulo de

elasticidad es E, está cargada uniformemente con una carga repartida “q” a lo largo de

toda ella (incluida la parte volada). En su extremo C se encuentra aplicado un momento

exterior de fuerzas de magnitud “ 2qL

2

3” en el sentido de giro de las agujas del reloj. El

otro extremo A está empotrado, mientras que en B hay un apoyo articulado simple.

Calcular las reacciones en A y B, así como los diagramas de fuerzas cortantes y

momentos flectores.

Determinar igualmente la forma de la elástica, con sus puntos de inflexión donde los haya

y las flechas máximas en ambos tramos de la viga.

P

A C D

2a 2a a

B

P

A C

2a 3a

B

2L L

A B C

q

2qL

2

3


Julio Melián/2010

154

SOLUCIÓN:

a) Las reacciones en las secciones de contorno de la viga, vienen dadas por las

ecuaciones isostáticas de equilibrio. Sin embargo, al tener un grado de

hiperestaticidad, quedará una incógnita (tomaremos la reacción del empotramiento

A) a determinar por la ecuación hiperestática.

b) Los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores (en función de la

incógnita hiperestática R) serán:

c) Las correspondientes funciones de fuerzas cortantes y momentos flectores resultan:

TRAMO AB (0<x<2L):

RL2Rxqx2

1MRqxV

211

2L L

A B C

q

2qL

2

3

R

2RL

R+3qL

-R

-R-2qL

qL

-

+2RL

2qL

2

3

discontinuidad

de la tangente del

diagrama mm.ff.

Sección de inflexión

de la elástica


Julio Melián/2010

155

TRAMO BC (2L<x<3L):

2222 qL6qLx3qx

2

1MqL3qxV

d) De esta forma, los valores máximos de momentos flectores podrán estar, o bien en

los extremos del diagrama, o bien será el valor de la tangente horizontal, que

tendrá lugar, en todo caso, en su primer tramo, ya que el punto de inflexión debe

manifestarse en la sección B.

e) Siguiendo el proceso de estudio, las ecuaciones diferenciales de la elástica serán:

2223222

2

22

12312

2

12

KxqL6qLx2

3qx

6

1

dx

dyEIqL6qLx3qx

2

1

dx

ydEI

KRLx2Rx2

1qx

6

1

dx

dyEIRL2Rxqx

2

1

dx

ydEI

La tangente a la elástica en la sección del empotramiento A (x=0) tendrá que ser

horizontal:

0K1

La tangente a la elástica en la sección B tendrá que ser única para el primero y

segundo tramo (x=2L):

2322

3322RL2qL6KKqL12qL6RL4RL2

La integración final de las ecuaciones diferenciales dan:

2232234

2

1234

1

CxRL2qL6xqL3qLx2

1qx

24

1EIy

CRLxRx6

1qx

24

1EIy

Siendo igualmente nula la flecha en A (tramo 1):

f) 0C1

Y resultarán también iguales a cero las flechas en la sección B (x=2L) para los dos

tramos:

422

44444

334

qL3

13C0CqLqL12qL12qL4qL

3

24

qLR0RL4RL

3

4qL

3

2

f) Con las constantes de integración determinadas y la incógnita hiperestática calculada,

procedemos a escribir las funciones de fuerzas cortantes, momentos flectores y

correspondientes ecuaciones de la elástica y tangente para cada tramo:


Julio Melián/2010

156

TRAMO 1

2

qLx

4

qLqx

2

1M

4

qLqxV

22

11

xqL2

1qLx

8

1qx

6

1

dx

dyEIxqL

4

1qLx

24

1qx

24

1EIy

223122341

TRAMO 2

2222 qL6qLx3qx

2

1MqL3qxV

32232

4322342

qL2

13 xqL6qLx

2

3qx

6

1

dx

dyEI

qL3

13xqL

2

13xqL3qLx

2

1qx

24

1EIy

g) Esquemáticamente:

qL

+

-

qL4

9

qL4

1

2L L

A B C

q

2qL

2

3

qL4

1

qL4

13

2qL

2

1

Sección de inflexión de la elástica

0,78L

2qL

2

1

2qL

2

3

2max qL2M


Julio Melián/2010

157

Con esta información ya pueden dibujarse el estado de cargas y reacciones de la

viga, sus diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores y la forma

aproximada que toma la curva de la elástica. Además, podremos calcular las

posiciones de flechas máximas, puntos de inflexión y cualquier otro valor que

desee ser conocido, simplemente sustituyendo en las ecuaciones obtenidas los

valores que le corresponden a x en la sección interesada.

Corte con el eje de referencia del d. m. f. (momento flector nulo)

L78,0x0L2Lxx202

qLx

4

qLqx

2

1M0M

222

211

Situación del momento flector máximo 2

max qL2ML2x

Situación de la flecha máxima en el TRAMO 1

0L12Lx3x40L2

1Lx

8

1x

6

10

dx

dy 22221

EI

qL2,0yL4,1x

4

1max

Y la flecha máxima en el volado:

EI

qL875,3yL3x

4

2max

PROBLEMA VI-10

La viga de la figura, cuyo módulo de elasticidad es E, tiene entre A y B sección

uniforme de momento de inercia I, mientras que entre B y C su momento de inercia

es 2I. Los momentos Pa están aplicados en las secciones D y C (extremo volado),

tal como se indica en el dibujo. El extremo A está empotrado, mientras que en B

hay un apoyo articulado simple.

Mediante el uso de los Teoremas de Mohr, calcular las reacciones en A y B, así

como los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores.

Determinar igualmente la forma de la elástica, con sus puntos de inflexión donde

los haya.

2a a

A B C

Pa

a

Pa I

D

2I


Julio Melián/2010

158

SOLUCIÓN:

a) Las reacciones en las secciones de empotramiento y apoyo, vienen dadas por las

ecuaciones isostáticas de equilibrio. Sin embargo, al tener grado uno de

hiperestaticidad, quedará una incógnita a determinar por la ecuación hiperestática

(tomaremos la reacción R del apoyo B).

b) La estimación previa de la forma de la elástica ayuda claramente a presentir los

sentidos de las reacciones y la forma de los diagramas de fuerzas cortantes y

momentos flectores:

El equilibrio implícito a que se ve sometida la viga antes de ser condicionada por el

empotramiento A y el apoyo B, permiten deducir su deformada en esta situación de

total libertad (línea de puntos más fina) para hacerla pasar luego por los puntos A y

B (línea de puntos más gruesa); resultando finalmente la reacción del momento de

empotramiento en A que obligue a una tangente horizontal de la elástica (línea

gruesa), como condición de contorno. Consecuentemente, se obtienen las

direcciones de las fuerzas de reacción en A y B y la relación de equilibrio isostático

entre esas reacciones R y el momento del empotramiento 3Ra.

c) Los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores (en función de la


-R

+R -

+3Ra

-Pa

-Pa

2Ra-Pa

2Ra

2a

R

3Ra

R

2I I

D


Julio Melián/2010

159

d) Las correspondientes funciones de fuerzas cortantes y momentos flectores resultan:

TRAMO AD (0<x<a):

Ra2MRa3RxMRV )ax(D111

TRAMO DB (a<x<3a):

PaMPaRa3RxMRV )a3x(B222

TRAMO BC (3a<x<4a):

PaMPaM0V )a4x(C333

e) De esta forma, los valores máximos de momentos flectores tendrán que

corresponder a alguno de los extremos del diagrama, o bien –Pa o bien +3Ra.

f) Tal como se pide en el enunciado del problema, se exige su resolución mediante el

uso de los Teoremas de Mohr.

g) Así, habrá que expresar la ecuación hiperestática evidenciando que la distancia

desde B a la tangente en A es nula. El uso del diagrama de momentos flectores

permite su recomposición con el triángulo entre A y B y el rectángulo entre D y B,

en la forma que se representa a continuación:

Por tanto, el momento estático de las áreas triangular y rectangular (con sus

respectivos signos) respecto al eje que pasa por B, será:

P9

2R0a2a3Ra3

2

1aa2Pa

+3Ra

-Pa

-Pa

2Ra-Pa

2Ra

B A

3a

2a


Julio Melián/2010

160

h) Con esta información ya pueden dibujarse el estado de cargas y reacciones de la






SOLUCIÓN MÁS COMPLETA:

a) Las reacciones en las secciones de empotramiento y apoyo, vienen dadas por las

ecuaciones isostáticas de equilibrio. Sin embargo, al tener grado uno de

hiperestaticidad, quedará una incógnita a determinar por la ecuación hiperestática

(tomaremos la reacción R del apoyo B).

2a a

A B C

Pa

a

P9

2

D

P9

2

Pa9

6

xfm

Pa9

6

-Pa

-Pa

Pa9

5

Pa9

4

P9

2

- P

9

2

Pa


2a a

A B C

Pa

a

Pa

R

3Ra

R

2I I

D


Julio Melián/2010

161



momentos flectores:

El equilibrio implícito a que se ve sometida la viga antes de ser condicionada por el

empotramiento A y el apoyo B, permiten deducir su deformada en esta situación de

total libertad (línea de puntos más fina) para hacerla pasar luego por los puntos A y

B (línea de puntos más gruesa); resultando finalmente la reacción del momento de

empotramiento en A que obligue a una tangente horizontal de la elástica (línea

gruesa), como condición de contorno. Consecuentemente, se obtienen las

direcciones de las fuerzas de reacción en A y B y la relación de equilibrio isostático

entre esas reacciones R y el momento del empotramiento 3Ra.




TRAMO AD (0<x<a):

Ra2MRa3RxMRV )ax(D111

TRAMO DB (a<x<3a):

PaMPaRa3RxMRV )a3x(B222

TRAMO BC (3a<x<4a):

PaMPaM0V )a4x(C333

-R

+R -

+3Ra

-Pa

-Pa

2Ra-Pa

2Ra


Julio Melián/2010

162



f) Siguiendo el proceso de estudio, las ecuaciones diferenciales de la elástica serán:

33

33

2

32

222

2

22

121

2

12

C2

1Pax

2

1

dx

dyEICPax

dx

dyEI2Pa

dx

ydI2E

Cax)PR3(Rx2

1

dx

dyEIa)PR3(Rx

dx

ydEI

CRax3Rx2

1

dx

dyEIRa3Rx

dx

ydEI

Las constantes de integración que han sido introducidas, tendrán que verificar las

condiciones de contorno que define el problema y, por tanto, las que implican la

continuidad de la elástica al pasar de un tramo al siguiente. Así:

La tangente a la elástica en la sección del empotramiento A (x=0) tendrá que

ser horizontal:

0C1

La tangente a la elástica en la sección D tendrá que ser única para el primero y

segundo tramos (x=a):

222

2222PaCCa)PR3(Ra

2

1Ra3Ra

2

1

La tangente a la elástica en la sección B tendrá que ser única para el segundo y

tercer tramos (x=3a):

233

22a)R9P(CC

2

1a3Pa

2

1Paa3a)PR3(Ra

2

9

Con lo que, sustituidas ya totalmente las constantes Ci , la primera integración de

las ecuaciones diferenciales, resultan:

23

222

21

a)R9P(2

1Pax

2

1

dx

dyEI

Paax)PR3(Rx2

1

dx

dyEI

Rax3Rx2

1

dx

dyEI


Julio Melián/2010

163

La integración final de las ecuaciones diferenciales darán:

'3

223

'2

2232

'1

231

Cxa)R9P(2

1Pax

4

1EIy

CxPaaxPR32

1Rx

6

1EIy

CRax2

3Rx

6

1EIy

Deberá procederse en forma análoga para calcular las constantes de integración

C’i y la reacción R:

La flecha en A es nula (x=0) (tramo 1):

0C'1

Las flechas en la sección D (x=a) para los dos tramos uno y dos, deberán ser

iguales:

3'2

'2

33333Pa

2

1CCPaaPR3

2

1Ra

6

1Ra

2

3Ra

6

1

La flecha en la sección B (x=3a) para el tramo segundo será nula:

P9

2R0Pa

2

1a3Pa9)PR3(

2

1a27R

6

1 3333

La flecha en la sección B (x=3a) para el tramo tercero será también nula:

3'3

'3

33Pa

4

3C0Ca3)P2P(

2

1a9P

4

1

g) Con las constantes de integración determinadas y la incógnita hiperestática

calculada, procedemos a escribir las funciones de fuerzas cortantes, momentos

flectores y correspondientes ecuaciones de la elástica y tangente para cada tramo:

TRAMO AD (0<x<a):

Pa9

4MPa

9

6Px

9

2MP

9

2V )ax(D111

Pax3

2Px

9

1

dx

dyEIPax

3

1Px

27

1EIy

21231

TRAMO DB (a<x<3a):


Julio Melián/2010

164

Pa9

5MPa

9

3Px

9

2MP

9

2V )ax(D222

22232232 PaPax

3

1Px

9

1

dx

dyEIPa

2

1xPaPax

6

1Px

27

1EIy

TRAMO BC (3a<x<4a):

PaM0V 33

233223 Pa

2

1Pax

2

1

dx

dyEIPa

4

3xPa

2

1Pax

4

1EIy







2a a

A B C

Pa

a

P9

2

D

P9

2

Pa9

6

xfm

Pa9

6

-Pa

-Pa

Pa9

5

Pa9

4

P9

2

- P

9

2

Pa



Julio Melián/2010

165

Así, la sección de la viga que tiene tangente horizontal (además del empotramiento)

será la que se encuentra en el segundo tramo con 0dx

dy2 ; es decir, aquella que

verifica:

a86,1a)15(2

3a

2

3693x0a9ax3x fm

22

Siendo entonces la flecha que le corresponde, la que se deduce de sustituir este

valor de xfm en y2.

Por su parte, la flecha en el extremo volado será:

EI

Pa55,0

EI

Pa

4

955y

33

(max)2

Mientras que la flecha en el extremo volado será calculada sustituyendo x=4a en

y3:

EI

Pa25,1

EI

Pa

4

5y

33

(max)3

i) Sin embargo, tal como se pide en el enunciado del problema, todo lo expuesto a

partir del apartado f) no se corresponde con la respuesta pedida, ya que se exige su

resolución mediante el uso de los Teoremas de Mohr.

j) Así, habrá que expresar la ecuación hiperestática evidenciando que la distancia

desde B a la tangente en A es nula. El uso del diagrama de momentos flectores

permite su recomposición con el triángulo y el rectángulo entre A y B, en la forma

que se representa a continuación:

+3Ra

-Pa

-Pa

2Ra-Pa

2Ra

B A

3a

2a


Julio Melián/2010

166

Por tanto, el momento estático de las áreas triangular y rectangular (con sus

respectivos signos) respecto al eje que pasa por B, será:

P9

2R0a2a3Ra3

2

1aa2Pa

Resolución evidentemente mucho más rápida y sencilla que la realizada

anteriormente, llevándonos igualmente a las conclusiones sobre las reacciones,

diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores, como a la forma de la

elástica, que ya fueron apuntadas antes, en el apartado h).

Toda la exposición efectuada en esta resolución del problema entre los apartados f)

a h) ha tenido como único objetivo resaltar la utilidad de los Teoremas de Mohr

para determinados casos.

PROBLEMA VI-11

Una viga, apoyada en sus secciones A y B como se indica en la figura, está

cargada con dos momentos exteriores de valor Pa en las secciones B y D y con

sentidos de giro opuestos. A partir de su extremo izquierdo, continúa volada hasta

la sección C. El momento de inercia de la sección recta de la viga entre A y B es I,

mientras que la parte volada tiene otra sección de momento de inercia doble (2I).

El material es el mismo para ambos tramos y su Módulo de Elasticidad es E .

Se pide calcular:

1. Reacciones en los apoyos.

2. Diagrama de momentos flectores.


4. Angulo de la tangente a la elástica en B.

5. Posición de la sección de flecha máxima y valor de esta.

6. Valor de la flecha en C.

B I 2I C

Pa

Pa A D

a a 2a


Julio Melián/2010

167

SOLUCIÓN:

La viga se encuentra en perfecto equilibrio, por lo que la vinculación de los apoyos

es meramente representativa, sin que pueda aparecer reacción alguna.

El diagrama de fuerza cortante tendrá pues una representación plana de fuerza

cortante nula.

Por su parte, el diagrama de momentos flectores será uniforme y constante entre D

y B y de valor Pa, mientras que desde C hasta D habrá de ser nulo.

Tras el diagrama de momentos flectores, resulta fácil dibujar el esquema de la

elástica, que presentará entre D y B un arco de flexión pura positiva y entre D y C

un tramo recto sin curvatura.

Sin embargo, la determinación analítica de las características de esta elástica

deberá contemplar la diferente función del momento flector en el tramo DB, de la

que corresponde al tramo CAD. Y, para este último tramo, que en el cálculo

analítico de la elástica, el volado CA se verá afectado por un momento de inercia

doble que en la otra parte AD.

Con ello, es también de destacar que la elástica del volado se limitará a tener una

continuidad del tramo recto AD, por lo que cualquier cálculo de flecha en él se

limitará a multiplicar el ángulo de la tangente en A por la distancia a la que se

pretende conocer esa flecha.

B

I 2I

C

Pa

Pa

A

D

(d.f.c.)

(d.m.f.) (+) Pa

B

I 2I

C

Pa

Pa

A

D

a a 2a


Julio Melián/2010

168

Así pues, el cálculo analítico se limitará a los tramos “1” (AD) y “2” (DB).

TRAMO AD (“1”):

;KxyEI)0K0y0x(;KKxyEI

;KyEI

;0yEI

111

1

1

TRAMO DB (“2”):

;Ca3Pa2

9CxPax

2

1yEI

);Ca3Pa2

9C0ya3x(;CCxPax

2

1yEI

;CPaxyEI

;PayEI

322

32

22

2

2

DETERMINACIÓN DE LAS CONSTANTES K y C:

;Pa3

2K;Pa

3

5C;Pa5Ca3;Ca2Pa4CaPa

;Ca2Pa4Ca3Pa2

9CaPa

2

1Kayyaxpara

;CPaKyyaxpara

22333

33321

221

ECUACIONES DE LA ELÁSTICA EN AMBOS TRAMOS:

Tramo AD:

;xPa3

2yEI

;Pa3

2yEI

21

21

Tramo DB:

;Pa2

1xPa

3

5Pax

2

1yEI

;Pa3

5PaxyEI

3222

22

Angulo de la tangente a la elástica en B:

EI3

Pa4y

2

2B a3x

Posición de la sección de flecha máxima y valor de esta:

a3

5x0y2 EI9

Pa8y

3

2max

Valor de la flecha en C:

ay;EI3

Pa2y AC

2

1A EI3

Pa2y

3

C


Julio Melián/2010

169

Capítulo Séptimo

Sistemas estructurales compuestos. Pórticos


Julio Melián/2010

170


Julio Melián/2010

171

PROBLEMA VII-1

En el pórtico articulado de la figura actúa una presión de viento sobre los pilares en la

forma indicada con una carga uniformemente repartida q.

En el pórtico no se consideran otras cargas exteriores, y las secciones de pilares y dintel

tienen el mismo Momento de Inercia I, estando construidos del mismo material de Módulo

de Elasticidad E.

Calcular:

1. Reacciones en las bases de los pilares.

2. Diagramas de momentos flectores en los pilares y el dintel.

3. El momento flector máximo en el dintel y los pilares.

4. Angulo que gira la crujía de unión entre pilares y dintel.

5. Forma y curvaturas de la elástica (indicando las curvaturas en las inmediaciones

de las articulaciones de la cimentación y en las crujías pilar-dintel).


7. Posición de la flecha máxima en el dintel.


9. Desplazamiento de las crujías (flecha del pilar en B)

B B

6a

A A

q q 2a


Julio Melián/2010

172

SOLUCIÓN:

Cálculo de reacciones verticales:

V . 6a = 2 . 2qa . a

V = 2/3 . qa

Estudio del pilar:

Cálculo del momento de la cabeza del pilar:

Mp = 2qa · a = 2qa2

Cálculo de la elástica del pilar:

MxP = + 2qax – ½ · qx2

EI·y`` = – MxP = ½ qx2 – 2qax

EI·y` = 1/6 ·qx3 – qax

2 + K1

EI·y = 1/24 · qx4 – 1/3 · qax

3 + K1x + K2 (x = 0; y = 0; K2 = 0)

[K1 se calculará por la condición de ortogonalidad entre pilar

y dintel en la crujía]

EI·y = 1/24 · qx4 – 1/3 · qax

3 + K1x

Flecha máxima del pilar en B (x = 2a):

EI·yB = 2/3 · qa4 – 8/3 · qa

4 + 2aK1

Tangente a la elástica en B (x = 2a):

EI·y`B = 4/3 ·qa3 – 4qa

3 + K1 = – 8/3 · qa

3 + K1;

θP = [– 8/3 · qa3 + K1]/EI

Análisis de la crujía:

1. Transmitirá el momento de la cabeza del pilar al

extremo del dintel. 2. Transmitirá la reacción vertical V de la cimentación al

extremo del dintel

q

2a

B

Mp

A 2qa

2/3 · qa

2/3 · qa

B B

A A

q q

2a

H=2qa H=2qa

2qa 2qa

V V

6a


Julio Melián/2010

173

Estudio del dintel:

RESPUESTA A CUESTIONES PLANTEADAS:

1. Reacción horizontal: H = 2qa

Reacción vertical: V = 2/3 ·qa

2. Diagramas de momentos flectores:

Ecuación hiperestática:

θD = θP ; + 2qa3 = – 8/3 · qa

3 + K1; K1 = + 14/3 · qa

3

2/3 · qa 2/3 · qa

Mp= 2qa2

Mp= 2qa2

6a

Cálculo de la elástica del dintel:

MxD = – 2/3 · qax + Mp = – 2/3 · qax + 2qa2

EI·y`` = – MxD = + 2/3 · qax – 2qa2

EI·y` = + 1/3 · qax2 – 2qa

2x + C1

EI·y = + 1/9 · qax3 – qa

2x

2 + C1x + C2 (x = 0; y = 0; C2 = 0); (x = 6a ó 3a; y = 0; C1 = + 2qa

3)

EI·y = + 1/9 · qax3 – qa

2x

2 + 2qa

3x

Tangente a la elástica en B (x = 0):

EI·y`B = C1 = + 2qa3;

θD = + 2 · qa3/EI

Ecuaciones de la elástica del pilar:

EI·y`P = 1/6 ·qx

3 – qax

2 + 14/3 · qa

3

EI·yP = 1/24 · qx4 – 1/3 · qax

3 + 14/3 · qa

3x

- 2qa2

+ 2qa2


Julio Melián/2010

174

3. Momento Flector máximo del dintel y los pilares se produce en las crujías:

Mmax = 2qa2

4. El ángulo que gira la crujía:

θB = + 2 · qa3/EI

5. Elástica:

6. Secciones de inflexión solo hay una en el centro del dintel

7. Posición flecha máxima dintel:

EI·y` = + 1/3 · qax2 – 2qa

2x + C1 = + 1/3 · qax

2 – 2qa

2x + 2qa

3 = 0

x2

m – 6ax m + 6a2 = 0; x = 3a √9a

2 – 6a

2 = [3 √3] · a xm = [3 +/- √3] · a

8. Valor de la flecha máxima:

EI·y = + 1/9 · qax3

– qa2x

2 + 2qa

3x;

Xm = [3 – √3 ] · a; EI.ymax = [+ 1/9 · (9 – 6√3+ 3) – 2(3 – √3) + 2] . qa3 . a[3 –

√3]

EI.ymax = (12 –20√3/3) . qa3; ymax = (12 -20√3/3) · qa

4/EI = + 0,45 · qa

4/EI

9. Desplazamiento de las crujías:

EI·yB = 2/3 · qa4 – 8/3 · qa

4 + 2aK1 = 2/3 · qa

4 – 8/3 · qa

4 + 2a · 14/3 · qa

3 =

22/3 · qa4

yB = + 22/3 · qa4/EI

yB yB

xm

ymax


Julio Melián/2010

175

PROBLEMA VII-2

En el pórtico empotrado de la figura actúan las fuerzas P que se indican en las

crujías.

En el pórtico no se consideran otras cargas exteriores, y las secciones de pilares y

dintel tienen el mismo Momento de Inercia I, estando construidos del mismo

material de Módulo de Elasticidad E.

Calcular:





5. Forma y curvaturas de la elástica (indicando las curvaturas en las

inmediaciones de las articulaciones de la cimentación y en las crujías

pilar-dintel).





2a

B B

6a

A A

P P


Julio Melián/2010

176

SOLUCIÓN:

Equilibrio isostático del pórtico:

V . 6a + 2MA = 2 . 2Pa

MA = 2 Pa – 3 Va

Estudio del pilar:

2a

B B

6a

A A

H=P H=P

V V

P P

MA MA


Mp = 2Pa - MA = 3Va;

(en función de la incógnita hiperestática V)

Cálculo de la tangente a la elástica en la cabeza del pilar:

(a través del 1er

Teorema de Mohr)

EI θP = – [– (2Pa–3Va).2a + ½ 2Pa.2a] = (2P – 6V).a2;

θP = (2P – 6V) a2/EI

Cálculo de la flecha en la cabeza del pilar:

(a través del 2º Teorema de Mohr)

EI·yB = – [– (2Pa–3Va).2a.a + ½ 2Pa.2a.2a/3] = (4P – 4P/3 – 6V).a3

yB = (8P/3 – 6V).a3/EI

+

P

dfc dmf

3Va

-(2Pa - 3Va)

2Pa

Mp

B

P

MA

P

V

A

2a

V

θP


Julio Melián/2010

177

Estudio de la crujía:

Estudio del dintel:

V

V

P

P MD

MP

1 Transmitirá el momento de la cabeza del pilar al extremo del

dintel: MD = MP = 3Va.

2 Transmitirá la reacción vertical V de la cimentación al extremo

del dintel.

3 Transmitirá la carga P hacia la cabeza del pilar.

V MD= 3Va


θD = θP ; + 3Va2 = (2P – 6V) a

2; V = 2P/9

V


MxD = 3Va – Vx

EI·y`` = – MxD = Vx – 3Va

EI·y` = + 1/2 · Vx2 – 3Vax + C1

EI·y = + 1/6 · Vx3

– ½.3Vx2 + C1x + C2 (x = 0; y = 0; C2 = 0); (x = 6a ó 3a; y = 0; C1 = +

3Va2)

EI·y = + 1/6 · Vx3

– ½.3Vx2 + 3Va

2x


EI·y`B = C1 = + 3Va2;

θD = + 3Va2/EI

θD

6a

+3Va

- 3Va

V (–)

MD= 3Va


Julio Melián/2010

178

RESPUESTA A LAS CUESTIONES PLANTEADAS:

1. Reacción horizontal: H = P

Reacción vertical: V = 2P/9


3. Momento Flector máximo del dintel se produce en las crujías:

MDmax = 2Pa/3

Momento Flector máximo de los pilares se produce en la base:

MPmax = 4Pa/3

4. El ángulo que gira la crujía: θB = + 2Pa2/3EI

5. Elástica:

yB yB

xm

ymax

- 2Pa/3 + 2Pa/3

- 4Pa/3 - 4Pa/3


Julio Melián/2010

179

6. Secciones de inflexión: una en el centro del dintel; la otra en los pilares a 1/3

de su altura, es decir a “2a/3” de la crujía.


EI·y` = + 1/9 · Px2 – 2/3 · Pax + 2/3 · Pa

2 = 0 ; 1/3 · Px

2 – 2Pax + 2Pa

2 = 0

x2

m – 6ax m + 6a2 = 0; x = 3a √9a

2 – 6a

2 = [3 √3] · a

xm = [3 +/- √3] · a


EI·y = + 1/27 · Px3 – 1/3 · Pax

2 + 2/3 · Pa

2x; para: xm = [3 – √3 ] · a;

EI.ymax = [+ 1/27 · (9 – 6√3+ 3) – 1/3 · (3 – √3) + 2/3] . Pa2 · a[3 – √3]

EI.ymax = (1/9 + √3/9) · [3 – √3] Pa3 = 2√3Pa

3/9;

ymax = 2√3/9 · Pa3/EI = + 0,38 · Pa

3/EI


yB = (8P/3 – 6V) ·a3/EI = (8P/3 – 12P/9) ·a

3/EI = 4/3 · P a

3/EI;

yB = + 4/3 · Pa3/EI


Julio Melián/2010

180

PROBLEMA VII-3

En el pórtico de la figura se producen sendos giros de las zapatas de cimentación

de los pilares, iguales y simétricos, girando hacia el exterior del pórtico un ángulo

conocido θ. En el pórtico no se considera la existencia de carga exterior alguna, y

las secciones de pilares y dintel tienen el mismo Momento de Inercia I, estando

construidos del mismo material de Módulo de Elasticidad E.

Se desea conocer el estado de tensión a que el pórtico se verá sometido ante los

giros mencionados, determinando lo siguiente:


2. Reacciones en las bases de los pilares: fuerzas horizontales y verticales y

momentos de empotramiento.



5. Forma y curvaturas de la elástica (indicando claramente las curvaturas en

las inmediaciones de las cimentaciones y en las crujías pilar-dintel).


7. Posición de la flecha máxima en el dintel, así como el signo o sentido de la

misma.


B B

3a

3a

A A

θ

θ

θ

θ

3a


Julio Melián/2010

181

SOLUCIÓN:


V = 0 (nos quedan dos incógnitas hiperestáticas: H y MA)

Estudio del Pilar:

H

V

MA

H

V

MA

B B

3a

3a

A A

θ

θ

θ

θ

3a

NOTAS:

Por simetría, las crujía B no se desplazarán y la

distancia de B a la tangente en A será el producto del ángulo θ por la altura del pilar = 3a·θ

Obsérvese que el ángulo θ tiene sentido negativo.

3aθ

MA

B

Mp

H

H

θ

A

θP

3a +

H

(dfc) (dmf)

-MA

3Ha

3Ha-MA

Cálculo del momento de la cabeza del pilar (ecuación isostática):

AP MHa3M (1)


Julio Melián/2010

182

Análisis de la crujía:

1 Transmitirá el momento de la cabeza del pilar al extremo del dintel:

MD = MP = 3Ha-MA.

2 Transmitirá la reacción horizontal H de la cimentación al extremo del dintel.

Estudio del dintel:

Por simetría, la tangente en el punto medio será horizontal.

Cálculo de la tangente a la elástica en la cabeza del pilar: “θP”

(a través del 1er

Teorema de Mohr y en función de θ y las incógnitas MA y H)

a3)Ha2

3M(a3Ha3

2

1a3MEI)( AAP

a3EI2

Ha3M2 A

P (2)

Cálculo de la distancia desde B a la tangente en A en la cabeza del pilar:

(a través del 2º Teorema de Mohr en función de los mismos términos)

2

a9)HaM(a

2

Ha9

2

a3aM3EIa3

2

A

2

A

EI2

a3)HaM( A ;

a3

EI2HaM A (3)

MD

H MP

H

θD

θP

V= 0 (d. f. c.)

6a

MD = MP

MD = MP

θD -

fD

B B

fD

(d. m. f.)

MD = MP


Julio Melián/2010

183


1. Momento máximo del dintel: a

EI

15

2MD (en todo el dintel)

Momento máximo de pilares: a

EI

15

16M A (en la base de pilares)

2. 2

a15

EI6H ; 0V ;

a

EI

15

16M A

Cálculo de la tangente a la elástica en el extremo del dintel:

(a través del 1er

Teorema de Mohr) a3Ma3MEI)0( PDD

a3EI

MP

D (4)

Cálculo de la distancia desde B a la tangente en el centro del dintel:


2PDD aM

2

9

2

a3a3MEIf

(5)

Ecuación hiperestática: ecuaciones (2) y (4)

a3

EI2Ha3M2M2a3

EI2

Ha3M2a3

EI

MAP

APPD

y, sustituyendo MP y MA por (1) y (3):

EI6Ha15a3

EI2)

a3

EI2Ha(4Ha9

a3

EI2M4Ha9

a3

EI2Ha3M2)MHa3(2

2

AAA

2

a15

EI6H (6)

a

EI

15

16M A (7)

a

EI

15

2MP (8)


Julio Melián/2010

184


4. El ángulo que gira la crujía: 5

2D

5. 6. y 7. Elástica, sección de inflexión y flecha en el dintel:

8. Valor de la flecha máxima en el dintel: [ecuación (5)] a5

3fD

a15

EI2

a15

EI28

a3

1

a3

8

a3

1

a3

8

Sección de

inflexión

3a Flecha máxima: fD


Julio Melián/2010

185

PROBLEMA VII-4

En el pórtico empotrado de la figura actúan las fuerzas P que se indican en los

extremos de los volados.




Calcular:



3. El momento flector máximo en el dintel, los pilares y el voladizo.






9. Desplazamiento de las crujías (flecha del pilar en B).

10. Flecha en el extremo del volado.

B B

6a

A A

3a

P

P

a a


Julio Melián/2010

186

SOLUCIÓN:

Estudio del pilar:

Equilibrio isostático del pórtico (momentos):

V . 6a + 2MA = 8Pa

MA = 4Pa - 3Va

MA

V V

MA

B B

6a

A A

3a

P

P

a a

(dfc)


Mp = MA = 4Pa - 3Va; (en función de la incógnita

hiperestática V)

(dmf)

- (4Pa – 3Va)


(a través del 1er

Teorema de Mohr)

EI θP = – [– (4Pa – 3Va).3a] = (12P – 9V).a2;

θP = (12P – 9V) a2/EI



EI yB = – [– (4P–3Va).3a. ½3a] = (36P – 27V). ½a3

yB = (36P – 27V). a3/2EI

V

MA

B

Mp

3a

v θP

A


Julio Melián/2010

187

Estudio del dintel:


MxD = 3(V-P)a – (V-P)x

EI·y`` = – MxD = (V-P)x – 3(V-P)a

EI·y` = + 1/2 ·(V-P)x2 – 3(V-P)ax + C1

EI·y = + 1/6 · (V-P)x3 – ½.3(V-P)x

2 + C1x + C2 (x = 0; y = 0; C2 = 0); [x = 6a ó

3a; y = 0; C1 = + 3(V-P)a2]

EI·y = + 1/6 · (V-P)x3 – ½.3(V-P)x

2 + 3(V-P)a

2x


EI·y`B = C1 = + 3(V-P)a2;

θD = + 3(V-P)a2/EI

V-P (–)

VD θD

VD

MD= 3(V-P) a MD

6a

+3(V-P) a

- 3(V-P) a

Análisis del volado y la crujía:

1 El volado transmitirá la carga P de su extremo a

la crujía

2 El volado transmitirá a la crujía el momento Pa

3 La cabeza del pilar transmitirá a la crujía el

momento MP = 4Pa - 3Va.

4 El pilar transmitirá la reacción vertical V de la

cimentación a la crujía.

5 El muñón del dintel en la crujía tendrá que

equilibrar las anteriores con una fuerza

cortante VD y un momento flector MD, cuyo

cálculo dá:

PVV

aPVMPaM

D

PD

)(3

Mp

MD

V

VD

P a


Julio Melián/2010

188


1. Reacción horizontal: H = 0



3. Momento Flector máximo del dintel se produce en las crujías:

MDmax = 3Pa/4

Momento Flector máximo de los pilares se produce en toda su altura:

MPmax = Pa/4

Momento Flector máximo del volado se produce en las crujías:

MVmax = Pa



θD = θP ; + 3(V-P)a2 = (12P – 9V) a

2; V = 5P/4

- 3Pa/4

+ 3Pa/4

-Pa

Pa

- Pa/4 - Pa/4


Julio Melián/2010

189

5. Elástica:

6. Secciones de inflexión: una, en el centro del dintel.


EI·y` = + 1/8 · Px2 – 3/4 · Pax + 3/4 · Pa

2 = 0 ; Px

2 – 6Pax + 6Pa

2 = 0

x2

m – 6ax m + 6a2 = 0; x = 3a √9a

2 – 6a

2 = [3 √3] · a

xm = [3 +/- √3] · a

8. Valor de la flecha máxima del dintel:

EI·y = + 1/24 · Px3 – 3/8· Pax

2 + 3/4 · Pa

2x;

Para xm = [3 – √3 ] · a;

EI.ymax = [+ 1/24 · (9 – 6√3+ 3) – 3/8 · (3 – √3) + 3/4] . Pa2 · a[3 – √3]

EI.ymax = (1/8 + √3/8) · [3 – √3] Pa3 = 2√3Pa

3/8;

EI

Pa43,0

EI4

Pa3y

33

max


yB = (36P – 27V). a3/2EI = (36P – 27.5P/4) ·a

3/EI = 9/8 · P a

3/EI;

EI

Pa12,1

EI8

Pa9y

33

B

10. Flecha en el extremo volado:

La función del momento flector es: PxMV por lo que la ecuación

diferencial de la elástica será:

;KxKPx6

1yEI;KPx

2

1yEI;PxyEI 21

31

2


Julio Melián/2010

190

bajo las condiciones de que para ax deberá cumplirse que 0y y que

By ; lo que permitirá calcular K1 y K2.

322

23ax

211

22

B

Pa12

13K;0KaPa

4

5Pa

6

1yEI

;Pa4

5K;KPa

2

1

4

Pa3EI

EI

Pa08,1

EI12

Pa13y

33

0x

PROBLEMA VII-5

En el pórtico de la figura articulado en la base de sus pilares y cargado anti

simétricamente con la carga uniformemente distribuida q, determinar lo siguiente:

1. Momento flector máximo que deben soportar dintel y pilares.


3. Diagramas de momentos flectores en pilares y dintel.


5. Elástica del pórtico (indicando claramente las curvaturas en las

inmediaciones de las cimentaciones y en las crujías pilar-dintel).


7. Posición de la flecha máxima en el dintel, así como el sentido de la misma.


9. Desplazamiento de las crujías.

B B

2a

A

2a

A

q

q

2a


Julio Melián/2010

191

SOLUCIÓN:

Equilibrio global del pórtico:

qaVa2qa2aV4

Estudio del Pilar:

La antisimetría no permite la existencia de reacciones

horizontales en las cimentaciones por falta de cargas

externas que las equilibren.

La articulación en las bases de los pilares descartan la

existencia de momentos de reacción en la cimentación.

V V

B B

2a

2a

A

2a

A

q

q

(dfc

)

(dmf)

2a

B

V

A

V


Julio Melián/2010

192

Estudio de la Crujía:

Estudio del dintel:

Por antisimetría, en su punto medio, la flecha será nula.

MD=0

MP

V=qa

V=qa

1 Al ser nulo el momento flector en la

cabeza del pilar (MP=0) también lo será

en el extremo del dintel (MD=0)

2 La fuerza axial de compresión del pilar

será transmitida al dintel como fuerza

cortante: V=qa

q

4a

θB

B B

qa qa q

C

qa

(d. f. c.)

-

+ + qa

qa

C

B B

C B B

(d. m. f.)


Julio Melián/2010

193


1. Momento máximo del dintel: 2

D qa2

1M (en x=a)

Momento máximo de pilares: 0M A (en todo el pilar)

2. Reacciones en las bases de los pilares:

0H ; qaV ; 0M A

NOTA: El estado de carga y reacciones en la mitad BC del dintel responde

exactamente a una viga simplemente apoyada con carga uniforme, por lo que

todas sus características de comportamiento serán las mismas que las de dicho

estado de carga en viga articulada.

Fuerza cortante:

qxqaFx

Momento flector:

2

maxx2

x qa2

1MM;ax;qx

2

1qaxM

Ecuación diferencial de la elástica:

4max

334

22334

3B

323

311

23

2

qa24

5yy;ax;xqa

3

1qax

6

1qx

24

1EIy

0K0y;0x;Kxqa3

1qax

6

1qx

24

1EIy

qa3

1EI;0x;qa

3

1qax

2

1qx

6

1yEI

qa3

1K0y;ax;Kqax

2

1qx

6

1yEI

;qaxqx2

1yEI


Julio Melián/2010

194


4. El ángulo que gira la crujía: EI3

qa3

B

5. 6. 7. y 8. Elástica, sección de inflexión y flecha en el dintel:

9. Desplazamiento de las crujías: EI3

qa2a2f

4

BB

B B

2a

2a

A

2a

A

q

q

EI

qaB 3

3

Sección de inflexión: centro del dintel

Sección de flecha máxima: a la distancia “a” de B

Valor de la flecha máxima: EI24

qa5f

4

max

B B

2a

2a

A

2a

A

q

q


Julio Melián/2010

195

PROBLEMA VII-6

En el pórtico articulado de la figura actúan las fuerzas P que se indican en los



dintel tienen el mismo momento de inercia I, estando construidos del mismo


Calcular:









9. Desplazamiento de las crujías (flecha del pilar en B).


B B

6a

A A

3a

P

P

a a


Julio Melián/2010

196

SOLUCIÓN:


V . 6a = 8Pa

V = 4/3 P

Estudio del pilar:

P

B B

6a

A A

3a

P a a

V = 4/3 P V = 4/3 P

3a

B

(dfc) (dmf) 4/3 P

A

4/3 P


Julio Melián/2010

197

Estudio del voladizo y crujía:

Estudio del dintel:

1 El volado transmitirá la carga P de su extremo a la crujía

2 El volado transmitirá a la crujía el momento de P por la

luz del volado Pa

3 El pilar transmitirá la reacción vertical V=4/3 P desde la

cimentación a la crujía.

4 El muñón del dintel en la crujía tendrá que equilibrar las

anteriores con una fuerza cortante VD y un momento

flector MD, cuyo cálculo da:

3

PPP

3

4V

aPM

D

D

MD

4/3

P

VD

P a


MxD = Pa – 1/3 Px

EI·y`` = – MxD = 1/3 Px –Pa

EI·y` = + 1/6 ·Px2 – Pax + C1

EI·y = + 1/18 · Px3 – 1/2.Pax

2 + C1x + C2 [x = 0; y = 0; C2 = 0]; [x = 6a ó 3a; y = 0; C1 = + Pa

2]

EI·y = + 1/18 · Px3 – 1/2.Pax

2 + Pa

2x


EI·y`B = C1 = + Pa2;

θD = + Pa2/EI

P/3

P/3 (–)

θD

6a

+Pa

MD= Pa

P/3

-Pa

MD= Pa


Julio Melián/2010

198





3. Momento Flector máximo del dintel se produce en las crujías: MDmax = Pa

Momento Flector máximo de los pilares es nulo en toda su altura

Momento Flector máximo del volado se produce en las crujías: MVmax = Pa


θB = + Pa2/EI

5. Elástica:

θB

-Pa

+Pa


Julio Melián/2010

199

6. Secciones de inflexión: una en el centro del dintel.


a33a6a9a3x;0a6ax6x

0Pa6Pax6Px;0PaPaxPx6

1y.EI

2222

2222

a33xm


;Pa3

3a33Pa

6

31yEI

;a33Pa1332

13369

18

1yEI

;a33x;xPaPax2

1Px

18

1yEI

22max

2max

m223

EI

Pa58,0

EI3

Pa3y

33

max


;EI

Pa3a3y

3

BB EI

Pa3y

3

B


La función del momento flector es: PxMV por lo que la ecuación

diferencial de la elástica será:

;KxKPx6

1yEI;KPx

2

1yEI;PxyEI 21

31

2

bajo las condiciones de que para ax deberá cumplirse que 0y y que

By ; lo que permitirá calcular K1 y K2.

322

23ax

211

22B

Pa3

4K;0KaPa

2

3Pa

6

1yEI

;Pa2

3K;KPa

2

1PaEI

EI

Pa67,1

EI3

Pa4y

33

0x


Julio Melián/2010

200

PROBLEMA VII-7

En el pórtico empotrado de la figura no se considera la actuación de cargas

exteriores. Sobre él se produce un asentamiento de una de las zapatas en las que

están empotrados los pilares. El valor de este asentamiento es 2 . Las secciones

de pilares y dintel tienen distinto Momento de Inercia: I3 para los pilares, frente

a I para el dintel, estando construidos del mismo material de Módulo de

Elasticidad E .

Se pide calcular:


2. Diagrama de momentos flectores en los pilares y el dintel.

3. El momento flector máximo y la fuerza cortante máxima.




7. Desplazamiento horizontal de la cabeza de los pilares HB .

8. Comparar los efectos de este asentamiento del pórtico descrito, si estuviera

articulado en vez de empotrado (reacciones, momentos flectores, fuerzas

cortantes, ángulo de giro de la crujía y desplazamiento de las cabezas de

los pilares).

B B

6a

A A

3a

I

3I 3I

A’ 2Δ


Julio Melián/2010

201

SOLUCIÓN:

La estructura reúne características antisimétricas, por tanto:

Equilibrio isostático del pórtico (momentos):

V . 6a = 2MA

MA = 3Va

Estudio del pilar:

V

V MA

MA

B B

6a

A A

3a

I

3I 3I

A’ 2Δ

θP

θP

dfc dmf

– 3Va

3a

v

B

Mp

MA

A

v

θP


Julio Melián/2010

202


Estudio del dintel:


(a través del 1er

Teorema de Mohr)

E .3I . θP = – (– 3Va).3a = + 9Va2;

θP = 3V a2/EI



E .3I .yB = 9Va2. ½3a= 27/2 . Va

3

δHP = 9/2 . V. a3/EI

1. La cabeza del pilar transmitirá a la crujía el momento MP = 3Va.

2. El pilar transmitirá la reacción vertical V de la cimentación a la crujía.

3. El muñón del dintel en la crujía tendrá que equilibrar las anteriores

con una fuerza cortante VD y un momento flector MD:

¡Error! Marcador no definido.

Mp

MD

V

VD

V (+)

+

-- -3V.a

+3V.a

V

6a

2Δ θD Δ

MD= 3V.a

MD= 3V.a

V


Julio Melián/2010

203


MxD = – 3Va + Vx

EI·y`` = – MxD = –Vx + 3Va

EI·y` = – 1/2 Vx2 + 3Vax + K1

EI·y = – 1/6 · Vx3 +3/2 . Vax

2 + K1x + K2 (x = 0; y = 0; K2 = 0)

(x = 3a; y = Δ; EI . Δ= – 9/2 Va3 + 27/2 Va

3 +3a K1;

a3

3Va9EI

1K

xa3

3Va9EI

2

Vax 2

33Vx

6

1 -EI·y


EI

2Va3

a3D

a3

3Va9EI

1K'ByEI

;

Cálculo de la incógnita hiperestática V:

a6EIK

a18

EIV;

EI

Va6

a3;

EI

Va3

a3EI

Va3; 13

222

DP

Aplicación a las funciones del problema:

23xDa6

EIx

a18

EIM

a6

EIx

a6

EIx

a36

EI'EIy

2

2

3

xa6

EIx

a12

EIx

a108

EIEIy

2

2

3

3

Giro de la crujía:

a6D

;

Desplazamiento de la crujía:

4EIa18

EIa

2

9

EI

Va

2

93

33

HP


Julio Melián/2010

204

Pórtico articulado:

Ante las condiciones de contorno actuales, donde las articulaciones no permiten la

existencia de momentos sobre las bases A de los pilares, tampoco podrán existir reacciones

verticales, como antes, con lo que los diagramas de momentos flectores de los pilares serán

nulos (y así la curvatura de su elástica) sin poder transmitir momento flector alguno al

dintel (que también quedará exento de flexión alguna), siendo así el ángulo girado por los

pilares el mismo que gire el dintel: 2Δ = 6a . θP :

a3P

; y el desplazamiento horizontal: a3HB



Reacción vertical: V = ΔEI/18.a3

Momento de empotramiento: MA = ΔEI/6.a2

3a

B B

6a

A A

I

3I 3I

A’ 2Δ

θP θP 2Δ

B’


Julio Melián/2010

205


3. Momento Flector máximo del dintel, en las crujías: MDmax = ΔEI/6a2

La fuerza cortante en el dintel es constante: VD = ΔEI/18.a3

El momento flector máximo de los pilares (todo él): MPmax = ΔEI/6a2

Fuerza cortante en los pilares: VP=0

4. El ángulo que gira la crujía: θB = + Δ/6a

5. Elástica:

- ΔEI/6a2

- ΔEI/6a2

- ΔEI/6a2

- ΔEI/6a2


Julio Melián/2010

206

6. Secciones de inflexión: una en el centro del dintel.

7. Desplazamiento horizontal de las cabezas de los pilares: δHP = Δ/4

8. En el pórtico articulado se observan evidentes mejoras respecto a las

solicitaciones de esfuerzos normales y cortantes de la estructura por cuanto

no existen momentos flectores ni fuerzas cortantes. Sin embargo, el

desplazamiento del dintel del pórtico (Δ) se hace cuatro veces mayor, como

el ángulo que gira la crujía se hace el doble del caso de empotramiento.


Julio Melián/2010

207

PROBLEMA VII-8

La viga de la figura, cuyo módulo de elasticidad es E, tiene entre A y B sección

uniforme de momento de inercia I, mientras que entre B y C su momento de inercia

es 2I. Las cargas P están aplicadas en las secciones F y G que se indican, entre A

y B. Y en su extremo volado C se encuentra solicitada por un momento exterior de

valor 3Pa, tal como se indica en el dibujo, en el sentido de giro de las agujas del

reloj. El otro extremo A está empotrado, mientras que en B hay un apoyo

articulado simple.

Calcular las reacciones en A y B, así como los diagramas de fuerzas cortantes y

momentos flectores.

Determinar igualmente la forma de la elástica, con sus puntos de inflexión

donde los haya y las flechas máximas en ambos tramos de la viga.

SOLUCIÓN:

a) Las reacciones en las secciones de empotramiento y apoyo, vendrían determinadas

por las ecuaciones isostáticas de equilibrio. Sin embargo, al tener grado uno de

hiperestaticidad, quedará una incógnita (tomaremos la reacción R del apoyo B) a

determinar por la ecuación hiperestática.

R

3Ra

R a a

A B C

P

P a a

Pa

F G

a a

A B C

P

P a a

Pa I

G F

2I


Julio Melián/2010

208



momentos flectores.




TRAMO AF (0<x<a):

Ra2MRa3RxMRV )ax(F111

TRAMO FG (a<x<2a):

a)RP(M

Ra2)ax)(PR(M)PR(V

)a2x(G3

22

TRAMO GB (2a<x<3a):

PaM

a)RP()a2x(RMRV

)a3x(B3

33

TRAMO BC (3a<x<4a):

PaMPaM0V )a4x(C444

-R

+R

-

-(R+P)

+3Ra

-Pa

-Pa

+2Ra

-(P-R)a


Julio Melián/2010

209



f) Siguiendo el proceso de estudio, las ecuaciones diferenciales de la elástica serán:

44

44

2

4

2

3

23

2

3

2

2

22

2

2

2

1

21

2

1

2

2

1

2

122

)3(2

13

)3()(2

1)3()(

32

13

CPaxdx

dyEICPax

dx

dyEIPa

dx

ydIE

CaxRPRxdx

dyEIPaRaRx

dx

ydEI

CaxRPxPRdx

dyEIaRPxPR

dx

ydEI

CRaxRxdx

dyEIRaRx

dx

ydEI

La tangente a la elástica en la sección del empotramiento A (x=0) tendrá que ser

horizontal: 0C1

La tangente a la elástica en la sección F tendrá que ser única para el primero y

segundo tramos (x=a):

222

2222Pa

2

1CCa)R3P(a)PR(

2

1Ra3Ra

2

1

La tangente a la elástica en la sección G tendrá que ser única para el segundo y

tercer tramos (x=2a):

233

222Pa

2

3CCa2a)R3P(Ra2Pa

2

1a2a)R3P(a)PR(2

La tangente a la elástica en la sección B tendrá que ser única para el tercero y

cuarto tramos (x=3a):

244

22Ra9CC

2

1a3Pa

2

1Pa

2

3a3a)R3P(Ra

2

9

Con lo que, sustituidas ya totalmente las constantes Ci, la primera integración de las

ecuaciones diferenciales, resultan:

24

223

222

21

Ra2

9Pax

2

1

dx

dyEI

Pa2

3ax)R3P(Rx

2

1

dx

dyEI

Pa2

1ax)R3P(x)PR(

2

1

dx

dyEI

Rax3Rx2

1

dx

dyEI


Julio Melián/2010

210

La integración final de las ecuaciones diferenciales nos dará para la elástica:

'4

224

'3

2233

'2

2232

'1

231

CxRa2

9Px

4

1EIy

CxPa2

3ax)R3P(

2

1Rx

6

1EIy

CxPa2

1axR3P

2

1x)PR(

6

1EIy

CRax2

3Rx

6

1EIy

Donde las constantes de integración se determinarán también por las condiciones

de contorno y continuidad: Así, la flecha en la sección A de empotramiento (x=0),

será nula (tramo 1):

0C'1

La flecha en la sección F será la misma si se calcula mediante la ecuación de la

elástica del tramo 1 que si se calcula con la ecuación del tramo 2:

Y resultarán también iguales a cero las flechas en la sección B (x=2L) para los dos

tramos:

422

44444

334

qL3

13C0CqLqL12qL12qL4qL

3

24

qLR0RL4RL

3

4qL

3

2

g) Con las constantes de integración determinadas y la incógnita hiperestática

calculada, procedemos a escribir las funciones de fuerzas cortantes, momentos

flectores y correspondientes ecuaciones de la elástica y tangente para cada tramo:

TRAMO 1

2

qLx

4

qLqx

2

1M

4

qLqxV

22

11

xqL2

1qLx

8

1qx

6

1

dx

dyEIxqL

4

1qLx

24

1qx

24

1EIy

223122341


Julio Melián/2010

211

TRAMO 2

2222 qL6qLx3qx

2

1MqL3qxV

32232

4322342

qL2

13 xqL6qLx

2

3qx

6

1

dx

dyEI

qL3

13xqL

2

13xqL3qLx

2

1qx

24

1EIy







i) El trabajo indicado en el párrafo anterior debe ser realizado minuciosamente por el

alumno, para lo que ya se le debe suponer formación suficiente con las

explicaciones y resoluciones de los problemas anteriores.


Julio Melián/2010

212

PROBLEMA VII-9

En el pórtico empotrado de la figura actúan las fuerzas P que se indican en los





Calcular, aplicando los Teoremas de Mohr siempre que sea posible:










10. Posición y deflexión máxima del pilar.

B B

6a

A A

3a

P P a a


Julio Melián/2010

213

SOLUCIÓN:


Tomando las reacciones verticales iguales a P,

el conjunto del pórtico queda equilibrado

con las incógnitas hiperestáticas H y MA.

Estudio del pilar:

P P

MA MA

B B

6a

A A

P P a a

H H

3a

Equilibrio isostático del

pilar:

Mp + MA = 3Ha;

3a

B

Mp

MA

A

H

H

θP

P

P

(dfc)

H

(dmf)

MA

– MP MA


Julio Melián/2010

214


Estudio del dintel:

Ecuación hiperestática de flecha nula en la cabeza del pilar: (2º Teorema de Mohr)

0 = – MA.3a. ½3a + ½ (MA+MP)3a.a= ½a2[3MP – 6MA] MP = 2MA

Cálculo de la tangente a la elástica en la cabeza del pilar: (1er Teorema de Mohr)

EI (θP-0) =– MA.3a + ½ (MA+MP)3a = 3/2 (MP – MA) a= 3/2 MA.a; θP = 3MA a/2EI

Mp

MD

P

P a

El volado y la crujía:

1 El volado transmitirá la carga P de su extremo a la crujía

2 El volado transmitirá a la crujía el momento de P por la

luz del volado Pa

3 La cabeza del pilar transmitirá a la crujía el momento

MP = 2MA

4. El pilar transmitirá la reacción vertical P desde la base

de cimentación a la crujía.

5. El muñón del dintel en la crujía tendrá que equilibrar las

anteriores con una fuerza cortante un momento flector

MD, cuyo cálculo da:

APD M2PaMPaM

+Pa – 2MA

MD= Pa – 2MA MD= Pa – 2MA

6a θD

C

B B


Julio Melián/2010

215


1. Reacción horizontal: H = 2/5 P

Reacción vertical: V = P

Momento de empotramiento; MA = 2/5 Pa


3. Momento flector máximo del dintel se produce en las crujías: MDmax

= Pa/5

Momento flector máximo de pilares se produce en las crujías: MPmax = 4Pa/5

Momento flector máximo del volado se produce en las crujías: MVmax = Pa


Tangente a la elástica en B: (1er

Teorema de Mohr)

a3)M2Pa(EI

10 ADBC θD = (Pa – 2MA).3a/ EI


θD = θP ; (Pa – 2MA).3a/ EI = 3MA a/2EI ; 2.(Pa – 2MA) = MA ; MA= 2/5 Pa

+ Pa/5

+Pa

-4Pa/5

+2Pa/5


Julio Melián/2010

216

5. Elástica:

6. Secciones de inflexión: a un tercio de la altura del pilar.

7. Posición flecha máxima dintel: por simetría, en el centro del dintel.


(por el 2º Teorema de Mohr): fmax = 9Pa3/10EI = 0,9 Pa

3/EI


La función del momento flector es: PxMV por lo que la ecuación diferencial

de la elástica será:

;KxKPx6

1yEI;KPx

2

1yEI;PxyEI 21

31

2

Bajo la condición de que para ax , habrán de ser 0y ; e By ; podrán

calcularse K1 y K2:

322

23ax

211

22B

Pa15

14K;0KaPa

10

11Pa

6

1yEI

;Pa10

11K;KPa

2

1Pa

5

3EI

EI

Pa93,0

EI15

Pa14y

33

0x

B B

A A

P P


Julio Melián/2010

217

10. Deflexión máxima de los pilares:

Estará situada a 2/3 de la base del pilar (1er Teorema de Mohr: Área nula desde

el empotramiento)

Por el 2º Teorema de Mohr, la distancia desde el punto de máxima flecha a la

tangente en el empotramiento:

EI

Pa

15

4

EI

aM

3

2aa2Ma2

3

2a2M2

2

1

EI

132

AAA

EI

Pa27,0

EI

Pa

15

433

PROBLEMA VII-10

El pórtico de la figura está compuesto por dintel y pilares del mismo módulo de

elasticidad E, e idéntica sección cuyo momento de inercia, con respecto a su línea

neutra, es conocido: I.

Calcular:

1 Reacciones en la cimentación

2 Momentos flectores en las cabezas de los pilares

3 Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores en pilares y dintel

4 Angulo que giran las uniones de dintel con pilares

5 Forma y curvaturas de la elástica

6 Posición de las secciones de inflexión

7 Posición de las deflexiones y flechas máximas de pilares y dintel

8 Cálculo de dichos valores máximos

3a

A A

B B

Pa

Pa

Pa

Pa

a

a

a

6a


Julio Melián/2010

218

SOLUCIÓN:

La deformada de los pilares (dibujada en línea roja) cuando el pórtico es liberado

de las ligaduras en A, exige la aparición de las fuerzas H que repongan las

secciones A en su real ubicación. Ello conllevaría una deformación como la que se

indica con la línea verde de puntos (caso de una articulación en A) con la

correspondiente deformación del dintel. Pero al restituirse finalmente todos los

aspectos de la ligadura (empotramiento) habrán de considerarse los momentos MA

que restituyan las tangentes en las bases de los pilares a su orientación vertical en

lo que sería la deformada elástica final (línea azul más gruesa).

Todo ello hará que el pilar (estudiado aisladamente) deba ser equilibrado en su

cabeza por el momento que le transmita el dintel para compensar el momento

aparecido MA y el provocado por la reacción horizontal H a la distancia 3a :

aH3

El estudio del pórtico liberado de todas sus ligaduras muestra el perfecto

equilibrio ante las cargas externas simétricas, por lo que ante esta situación el

pórtico se limitaría a la deformación de sus pilares hacia la parte interna,

siguiendo las curvaturas definidas por los momentos flectores. Línea roja.

3a

A A

B B

6a

Pa

Pa

Pa

Pa

a

a

a

H H

MA MA


Julio Melián/2010

219

Estudio del pilar:

El diagrama de momentos flectores se puede descomponer en las áreas que en el

siguiente esquema se indican:

Mp

MA

H

Pa

Pa

B

A

H

θP

3a

(dfc)

H (dmf)

MA

MP= MA+3Ha

MA+Ha

MA+Ha-Pa

MA+2Ha-Pa

Equilibrio isostático del pilar:

Mp = MA + 3Ha;

MP= MA+3Ha

MA

=

MA+Ha

MA+Ha-Pa

MA+2Ha-Pa

MA+2Ha

-Pa

-Pa

MA

MP= MA+3Ha

+

MA+Ha


Distancia de B a la tangente en A = 0 = – MA.3a. ½3a – ½ 3Ha.3a.a + Pa.a. ½3a

MA = 1/3.Pa -Ha


Julio Melián/2010

220

Así, ahora encontraremos que la figura anterior de los diagramas de fuerzas

cortantes y momentos flectores deberá quedar rectificada como se expone en la

próxima figura.

La descomposición del diagrama de momentos flectores quedaría ahora de la

siguiente manera:


EI (θP-0) =– MA.3a – ½ 3Ha.3a + Pa.a = –3/2 H.a2; θP = – 3H a

2/2EI

Ante la evidencia de que el ángulo θP >0 , resultará que H<0; es decir, que el sentido

elegido para H había sido erróneo. Este aparente contrasentido se justifica entendiendo

que la magnitud del momento MA capaz de producir la tangencia vertical del pilar en

su base, debe ser tan grande que abrirá los pilares y para que se mantengan en su

posición A, se precisan fuerzas hacia el interior del pórtico en vez de hacia el exterior

del mismo.

(dfc)

H

(dmf)

MA

MP= MA - 3Ha

MA - Ha

MA – Ha - Pa

MA - 2Ha - Pa

3a

Mp

MA

H B

A

H

θP

Pa

Pa


Julio Melián/2010

221

Y entonces, las ecuaciones de equilibrio y las conclusiones de los Teoremas de

Mohr, resultarán:

Estos nuevos resultados deben ser asumidos bajo el nuevo planteamiento del

sentido de la reacción H. Lo contrario conllevaría graves errores conceptuales con

las consecuencias de unos resultados falsos.

-Pa

-Pa

=

MA+Ha MA

MP= MA - 3Ha

MA - Ha

MA – Ha - Pa

MA - 2Ha - Pa

+

MA+Ha MA= MP + 3Ha

MP= MA - 3Ha

Equilibrio isostático del pilar:

Mp = MA - 3Ha;


Distancia de B a la tangente en A = 0 = – MP.3a. ½3a – ½ 3Ha.3a.2a + Pa.a. ½3a

MP = 1/3.Pa - 2 Ha; y MA = 1/3.Pa + Ha


EI (θP-0) =– MP.3a – ½ 3Ha.3a + Pa.a = 3/2 H.a2; θP = 3H a

2/2EI


Julio Melián/2010

222

Estudio del dintel:

El resto del trabajo se deja para ejercitación del lector.

+1/3 Pa – 2Ha

MD= 1/3 Pa – 2Ha MD= 1/3 Pa – 2Ha

6a θD

C

B B

Tangente a la elástica en B: (1er

Teorema de Mohr)

a3)Ha2Pa3

1(EI

10 DBC θD = (P – 6H) a

2/ EI


θD = θP ; (P – 6H) a2/ EI = 3H a

2/2EI; 2P – 12H = 3H ;

H = 2P/15

MA = 7/15 Pa ; MP = 1/15 Pa ; θB = Pa2/5EI ; δC = 3Pa

3/10 EI ;

3a

A A

B B

6a

Pa

Pa

Pa

Pa

a

a

a

2P/15

7Pa/15

2P/15

7Pa/15


Julio Melián/2010

223

PROBLEMA VII-11

El pórtico de la figura está compuesto por dintel y pilares de módulo de elasticidad

E y sección cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra son iguales entre sí

(I). La sección central del dintel se encuentra, además, apoyada en una base fija C.

Y las únicas cargas que actúan en el pórtico son los momentos Pa indicados en las

secciones B de intersección de dintel con pilar.

Calcular:

1. Reacciones en la cimentación

2. Momentos flectores en las cabezas de los pilares

3. Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores en pilares y dintel

4. Angulo que giran las uniones de dintel con pilares


3a

A A

B B

2a

Pa Pa

2a

C


Julio Melián/2010

224

SOLUCIÓN:

a) Liberando las ligaduras del pórtico, incluido el apoyo central C, la tendencia a la

separación de las bases de los pilares A (dados los sentidos de las acciones

externas Pa) obligará a la aparición de reacciones horizontales H simétricas y

dirigidas hacia el interior del pórtico para restaurar las posiciones A. Al restablecer

el apoyo C, anulando la flecha central del dintel, surgirán reacciones verticales V

dirigidas hacia abajo para contrarrestar la acción del apoyo C, que empujará hacia

arriba para rectificar la tendencia de la elástica del dintel. Ver figura.

b) La simetría existente en el pórtico, unida a la carencia de flecha en el punto medio

del dintel, hace que esta sección C se comporte como si fuera un empotramiento,

sin desplazamiento vertical y con tangente horizontal.

3a

A A

B B

2a

Pa Pa

2a

C

H H V V

2V


Julio Melián/2010

225

c) En razón a los vínculos correspondientes a la articulación A y al empotramiento C,

las reacciones exteriores deberán ser, respectivamente, una fuerza RA (de

componentes vertical V y horizontal H), y una fuerza RC (con las mismas

componentes que RA) más un momento MC que proporcione la curvatura de la

elástica en ese punto. Ver figura anterior.

d) La ecuación isostática correspondiente, será la de equilibrio de momentos del

conjunto (ya que el de cargas horizontales y verticales ya se ha tenido en cuenta).

Las ecuaciones hiperestáticas serán la de tangencia horizontal en C y la de la

ortogonalidad pilar-dintel en B después de la deformación.

Con ello obtendremos tres ecuaciones para las tres incógnitas H, V y MC.

A

B

Pa

3a

C

H

H

V

V

MC

Ecuación isostática de equilibrio:

PaMa2Va3H C (1)

2a


Julio Melián/2010

226

e) Estudio del dintel:

* La tangente horizontal en C (supone que la distancia desde B hasta la tangente en

C es nula) por el 2º teorema de Mohr:

;2

;023

22)(

2

1 2

CD

CCD

MM

aMaaMM

(2)

El ángulo del dintel en B:

;

;22)(2

11

EI

aM

aMaMMEI

C

B

CCDBC

(3)

El equilibrio del dintel:

a2VMM CD (4)

f) Estudio del pilar:

B

MD

C

MC

V

V

(d.f.c.)

(-)

(+)

MC

MD

V

(d.m.f.)

2a

(-)

A

B MP

H

H

(-)

H

MP=3Ha

(-)

x

HxM x

(d.f.c.) (d.m.f.)

3a


Julio Melián/2010

227

21

13

2

213

12

x2

2

Ha2

3

EI

1K0ya3x

;xKHx6

1

EI

1y

;0K0y0x

;KxKHx6

1

EI

1y

;KHx2

1

EI

1

dx

dy

;HxEI

1M

EI

1

dx

yd

;xa3x3

1

EI2

Hy

;a3xEI2

H

dx

dy

23

22

(5) EI

Ha3

dx

dy 2

a3x

B

(6)

g) Ecuación hiperestática de identidad del ángulo girado por B en el pilar y en el

dintel [ecs. (3) y (6)]:

Ha3M

;EI

Ha3Pilar

;EI

aMelintD

C2

B

CB

(7)

h) En consecuencia, ya se pueden calcular el resto de las incógnitas utilizando las

ecuaciones (1) (2) (4) y (7):

;Pa3

1M

;Pa3

2M

;Pa3

1M

;P2

1V

;P9

1H

C

D

P


Julio Melián/2010

228

PROBLEMA VII-12

Un pórtico, en estructura y cargas simétricas, se encuentra empotrado en sus

cimientos, y sus pilares sobresalen sobre el dintel la tercera parte de su propia

altura, como se indica en la figura. De igual manera el dintel sobresale de los

pilares, como voladizos en la misma longitud. En los extremos de ambos salientes,

simétricamente, actúan unas cargas puntuales P y 2P (ver figura). Todos los

elementos estructurales son del mismo material y de igual sección.

Se desea calcular lo siguiente:

1. Las reacciones en las cimentaciones.

2. Ángulo girado por las crujías.

3. La flecha que se produce en el extremo volado vertical C.

4. La flecha máxima en el tramo central del dintel.

5. Forma de la elástica y posición de los puntos de inflexión en los pilares.

6. Diagrama de momentos flectores.

6a a

a

3a

a

A A

C

B

C

D D B

P P

2P 2P


Julio Melián/2010

229

SOLUCIÓN:

1. Los cimientos del pórtico deberán ejercer las reacciones pertinentes al caso que

se nos presenta, con reacciones verticales 2P en sentido ascendente y, además,

simétricamente, horizontales H y momentos MA desconocidos (tanto en

magnitud como en sentido) e hiperestáticos.

2. Con objeto de analizar los posibles sentidos de los momentos MA y reacciones

horizontales H, se debe tomar en consideración que el dintel, al no tener cargas

transversales ni momentos exteriores aplicados en su vano, tendrá que verse

sometido a flexión pura (bien positiva o bien negativa).

3. En una primera aproximación, se puede entender que las cargas verticales 2P

de los volados le transmiten al dintel una flexión pura negativa (con un

momento de 2Pa). Mientras que las horizontales P de los minaretes tienden a

producir la flexión pura positiva en el mismo dintel (con un momento de solo

Pa: justo la mitad).

4. Interpretando que la flexión pura con momento 2Pa es superior a la flexión

pura Pa, podemos, a priori, asumir que, siendo la flexión negativa superior a la

positiva, la elástica de nuestro dintel será flexión pura negativa. Cualquier error

en esta apreciación sería finalmente contrastada con un valor negativo en el

resultado del cálculo de las incógnitas hiperestáticas H y MA.

5. Ello provocará una elástica general del pórtico como la que se refleja, a

continuación en la figura, con la correspondiente deducción de los sentidos de

las reacciones H y MA.


Julio Melián/2010

230

6. Y bajo estas condiciones comenzamos el análisis de los diferentes elementos

compositivos del pórtico, comenzando por los salientes volados: horizontales y

verticales.

7. Las cargas y momentos transmitidos por ambos salientes a la crujía, unidos a la

hipótesis que hemos asumido en 5) respecto a la elástica, nos permite sacar

conclusiones en relación al dintel y al pilar:

Equilibrio de la Crujía: ;PaMM DP

6a a

a

3a

a

A A

C

B

C

D D B

P P

2P 2P

MA MA

H H

2P 2P

2P

2P

2Pa

a

B D

P

P

Pa

a B

C

2P

2Pa

B

P

Pa

2P

MP

H

MD

P-H


Julio Melián/2010

231

Estudio del Pilar: ;aH3MM AP

(1º teorema e Mohr):

;MMa32

1

EI

1

;aM3MMa32

1

EI

1

APP

AAPP

(2º teorema de Mohr):

;aH6M;aH3M;M2M

;02

a3aM3aMMa3

2

1

PAAP

AAP

Por lo tanto,

;aH6PaM D

Y así tenemos los

momentos MA, MP y MD

en función de H.

Para poner también θP en

función de H, habrá que

sustituir atrás:

;EI2

Ha92

P

8. La incógnita hiperestática pendiente de resolver será H, la que determinaremos

por la ecuación que se deduzca de la igualdad de los ángulos girados en la

crujía por el pilar y el dintel.

9. Para determinar el ángulo θD en el dintel es posible apoyarse en el 1º teorema

de Mohr por cuanto la tangente a la elástica en su punto medio será horizontal.

+

(dfc)

H

-MA

+MP

+

(dmf)

a

2P

2P

H

H

MA

MP

3a

B

A


Julio Melián/2010

232

;Pa5

1Pa

15

26PaM;P

15

2H

EI2

Ha9Ha6Paa3

EI

1

;Ha6Paa3EI

1aM3

EI

1;aM3

EI

10

D

2

PD

DDDD

10. Las reacciones en los cimientos serán pues:

;Pa5

2M;P2V;P

15

2H A

11. El ángulo girado por las crujías será:

;EI

Pa

5

32

B

12. La flecha en C la obtenemos como suma del giro de la crujía que le desplazará

en θB.a y la distancia desde D a su tangente en B:

EI

Pa

15

4

EI

Pa

5

3

EI

a3

2Pa

2

1y

332

C

6a

B B P-H MD

P-H MD

θD

(dfc)

(dmf) -MD -MD (-)

P

P

Pa

a B

C


Julio Melián/2010

233

13. La flecha en el punto medio del dintel la obtendremos como la distancia desde

B a la tangente en ese punto medio, cambiada de signo (ver figura del apartado

9):

EI

Pa

10

9a

2

3a3M

EI

1y

3

Dmax

14. La forma de la elástica resulta la supuesta en el apartado 5. Y los puntos de

inflexión en los pilares estarán a la distancia a de los cimientos A y en las

crujías B.

15. Por último, el diagrama de momentos flectores se incluye a continuación (para

simplificar, se indica solo una de las mitades simétricas: a la izquierda el d.m.f.

de los elementos verticales=pilares; el de la derecha al dintel):

6a a

a

3a

a

A A

C

B

C

D D

B

2/5.Pa

4/5.Pa

Pa

1/5.Pa

2Pa


Julio Melián/2010

234

PROBLEMA VII-13

La figura representa una estructura acodada formada por un pilar AC y una viga

CB que están sólidamente unidas. A y B son articulaciones fijas. Sus secciones

rectas son iguales y ambos están construidos del mismo material de Módulo de

Elasticidad E. En la crujía de unión actúa un momento exterior conocido “Pa” en

el sentido de las agujas del reloj, y las dimensiones quedan indicadas.

1. Se desean las reacciones en A y B y el ángulo que gira la crujía.

2. A la vista de los diagramas de momentos flectores, dibujar la elástica.

SOLUCIÓN:

1. Al considerarse fijos los puntos A y B, no teniendo en cuenta deformaciones

longitudinales ni en pilar ni en viga, el punto C de la crujía también será fijo.

En consecuencia en pilar y viga las flechas en C serán nulas, igual que en las

articulaciones A y B.

2. Por otra parte, en ambas articulaciones aparecerán reacciones horizontales (H)

y verticales (V) que deberán equilibrarse mutuamente y compensar el momento

exterior Pa, por lo que:

a

2a Pa

A

C B

a

2a Pa

A

C B

H

V

V

H

Equilibrio de

momentos:

;PHV2

;PaHaVa2


Julio Melián/2010

235

Los sentidos de H y V son inequívocos al considerar la acción vertical que

habría que ejercer en B, si se soltara esa articulación, para reponerlo a su

correcta posición. Lo mismo que procedemos al soltar la articulación A y

considerar la fuerza horizontal correspondiente, para llevar dicho punto a su

sitio.

3. En la descomposición de los tres elementos (pilar, crujía y viga) que se expone

a continuación, es fácil deducir las reacciones de los otros extremos de cada

elemento y los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores:

4. En su virtud, las ecuaciones diferenciales de la elástica de cada tramo, se

resolverán como sigue:

C Pa

V

V

H

H

MP

MD

C

B

2a

V

V H H

MD

(-) -V

(+) MD

A

C

a

V

V

H

H

MP

(-)

(-)

H MP

Análisis de la

viga:

Va2M D

Análisis del

pilar:

HaM P

Análisis de la

crujía:

PaMM PD

PHV2


Julio Melián/2010

236

pilar viga

;xHa6

1Hx

6

1yEI

;Ha6

1Hx

2

1yEI

;Ha6

1K;0y

;KxHx6

1yEI

;KHx2

1yEI

;HxyEI

;HxM

23P

22P

2ax

3

2

PX

;xVa3

4VaxVx

6

1yEI

;Va3

4Vax2Vx

2

1yEI

;Va3

4C;0y

;CxVaxVx6

1yEI

;CVax2Vx2

1yEI

;Va2VxyEI

;VxVa2M

223D

22D

2a2x

23D

2D

D

DX

(se ha tenido en cuenta que para 0x , en ambos elementos, 0y ; es decir,

en A para el pilar y en C para la viga)

5. Al aplicar la ecuación hiperestática que iguala los ángulos de giro en C del pilar

y la viga:

V4Hyy

;Va3

4yEI0xpara

;Ha3

1yEIaxpara

DP2

D

2P

Lo que, unido a la ecuación isostática:

P3

2Hy;

6

PV

6. El ángulo girado por la crujía serán pues:

EI

Pa

9

22

C

7. Resultando finalmente la elástica en la forma que se indica:

Pa

A

C B


Julio Melián/2010

237

PROBLEMA VII-14

El pórtico empotrado de la figura contempla dos minaretes como elementos

sobresalientes de la parte superior de los pilares, en cuyos extremos superiores se

considera la actuación simétrica de los momentos exteriores Pa. Las secciones de

pilares, dintel y minaretes tienen el mismo Momento de Inercia I , y son del mismo

material de Módulo de Elasticidad E .

Se pide calcular:


2. Diagrama de momentos flectores en el pórtico completo.

3. El momento flector máximo y la fuerza cortante máxima en el pórtico.




7. Desplazamiento horizontal de la cabeza de los minaretes .

B B

6a

A A

I

I I

3a

a

C C

I I

Pa Pa


Julio Melián/2010

238

SOLUCIÓN:

Si no existieran ligaduras de ningún tipo en las bases de los pilares, la estructura se

encontraría en equilibrio y se deformaría simétricamente bajo la acción de los

momentos exteriores “Pa”, tendiendo la base de los pilares a un desplazamiento

hacia el exterior.

La corrección de estos desplazamientos exige la aparición en la cimentación de

cargas horizontales “H” sobre las bases de los pilares con dirección “hacia dentro”

que lleven los puntos “A” a su correcta posición, aunque la elástica del pilar (ahora

considerado como articulado en “A”) daría lugar a una tangente en su origen

distinta de cero (no vertical) y de signo negativo (hacia el exterior del pórtico).

Al ser la ligadura real un empotramiento, esta exigirá igualmente que el cimiento

actúe con los momentos de empotramiento “MA” (simétricos) y con el sentido

apropiado que lleve a dicha tangente a la posición vertical de empotramiento.

La condición de simetría exige igualmente que las crujías “B” no se desplacen, por

lo que la elástica del pilar debe ser tal que recupere con su curvatura continua y

uniforme dicha posición, que es inalterable.

B B

6a

A A

3a

I

I I

a

C C

I I

Pa Pa

Las reacciones H y MA serán

hiperestáticas, por cuanto aparecen

como consecuencia de deformaciones

de la estructura

H H

MA MA


Julio Melián/2010

239

La conservación de la curvatura de la elástica del dintel, la ortogonalidad de las

crujías y el efecto de los momentos exteriores en los extremos de los minaretes

acaban por definir la forma general de la elástica del pórtico, como se expresa en la

figura, y que permitirá determinar los sentidos de los momentos flectores en

relación correcta con las curvaturas:

Estudio del pilar:

La distancia desde B a la tangente en A = 0

(2º Teorema de Mohr)

;M2M;0M3MM

;0a2

3a3Maa3)MM(

2

1

APAPA

APA

que, en combinación con la ecuación de

equilibrio:

;Ha2M

;HaM

P

A

Cálculo de la tangente en la cabeza del pilar:

;EI

Ha

2

3

;aM2

3aMa3M3

2

1EI

2

P

AAAP


Ecuación de equilibrio de momentos: Mp+MA = 3Ha;

(d.f.c.)

-H

H

MA

H

MP

B

A +

-MP

+M

A (d.m.f.)

Equilibrio de la crujía:

1. La cabeza del pilar transmitirá a la crujía el momento MP = 2Ha

2. El minarete transmitirá el momento Pa

3. El muñón del dintel en la crujía tendrá que equilibrar los

anteriores con un momento flector MD, cuyo cálculo da:

a)H2P(MPaM PD

Mp

MD

Pa


Julio Melián/2010

240

Estudio del dintel:

Cálculo de la tangente en el extremo del dintel:

;EI

a)H2P(3;a3MEI

2

DDD

Con ello quedan respondidas las preguntas 1 y 4 del enunciado. El momento

máximo es Pa en las cabezas de los minaretes; y la fuerza cortante máxima:

H = 2/5P [que se manifestará en los pilares] (pregunta nº 3).

En cuanto a la elástica del pórtico, la primera figura de esta solución da cumplida

cuenta de ella (pregunta nº 5)

La profundización en el estudio del pórtico expuesto requiere un análisis de los

minaretes. Estos pueden considerarse como piezas empotradas en A, con un apoyo

en B y el momento transmitido por el dintel, y con un momento exterior Pa

aplicado en su extremo C.

(d.f.c.)

(d.m.f.) (+) MD

MD MD θD

B B

3a 3a

Cálculo de la incógnita hiperestática H:

;P5

2H);H2P(2H;

EI

a)H2P(3

EI

Ha

2

3;

22

DP

Reacciones, momentos y giros:

;P5

2H ;Pa

5

2M A ;Pa

5

4M P ;Pa

5

1M D

EI

Pa

5

32

DP


Julio Melián/2010

241

Tras dibujar los diagramas de

f.c y m.f., queda de manifiesto

el punto de inflexión de la

elástica a la distancia a de la

base del pilar (pregunta nº 6).

Por su parte, la distancia de C a

la tangente en A, mediante el 2º

T. de Mohr, resulta:

a2

1Paa

2

5a3Pa

5

2a3a3Pa

5

6

2

1EI

2

EI

Pa

10

293

Con ello se da respuesta a la 7ª

pregunta del enunciado.

En cuanto al diagrama de momentos flectores del pórtico completo (preg. 2ª):

2/5P

(d.f.c)

P5

2H

Pa5

1M D

P5

2H

3a a

Pa

Pa5

2M A

(-)

(+)

2/5Pa

Pa 4/5Pa

(d.m.f.)

a

B B

A A

C C

Pa Pa

2/5Pa 2/5Pa

4/5Pa

Pa

(+)

(+)

(-)

(-)

1/5Pa


Julio Melián/2010

242

PROBLEMA VI-15

En el pórtico articulado de la figura actúan las fuerzas P que se indican en las crujías.

En el pórtico no se consideran otras cargas exteriores, y las secciones de pilares y dintel

tienen el mismo Momento de Inercia I, estando construidos del mismo material de Módulo

de Elasticidad E.

Calcular:










P B B

6a

A A

3a

P


Julio Melián/2010

243

SOLUCIÓN:


V . 6a = 2 . 3Pa

V = P

Estudio del pilar:

Ecuación diferencial de la elástica:

;KxPx6

1yEI;KPx

2

1yEI;PxyEI

32


KPa2

9EI

2P


Ka3Pa2

9yEI

3B

B B

6a

A A

3a

H=P H=P

V V

P P


Mx = Px; MP = 3Pa

A

3a

B

P

P

+

P

dfc dmf

3Pa P Mp

+

P

θP


Julio Melián/2010

244


Estudio del dintel:

1. Transmitirá el momento de la cabeza del pilar al extremo

del dintel: MD = MP = 3Pa

2. Transmitirá la reacción vertical P de la cimentación al

extremo del dintel.

3. Transmitirá la carga P hacia la cabeza del pilar.

Mp

MD

P

P

P

P


;xPa3Pax2

3Px

6

1yEI;Pa3Pax3Px

2

1yEI

Pa3C0y;CxPax2

3Px

6

1yEI

;CPax3Px2

1yEI;Pa3PxyEI;PxPa3M

22322

2a3x

23

2x

Tangente a la elástica en B (x = 0): 2

D Pa3EI

Ecuación hiperestática: (θP = θD)

222Pa

2

15K;KPa

2

9Pa3

P

- 3Pa

P (–)

P θD

MD= 3Pa MD= 3Pa

6a

+3Pa


Julio Melián/2010

245


1. Reacción horizontal: H = P

Reacción vertical: V = P


3. Momentos Flectores máximos del dintel y pilares se producen en las crujías:

MDmax = 3Pa


θB = + 3Pa2/EI

5. Elástica:

yB yB

xm

ymax

θA

θB

- 3Pa + 3Pa


Julio Melián/2010

246

6. Secciones de inflexión: una solamente, en el centro del dintel.


;a)33(x;0a6ax6x;0Pa3Pax3Px2

1yEI

2222

xm = (3 +/- √3) · a


;Pa3yEI

;Pa)33(3)33(2

3)33(

6

1xPa3Pax

2

3Px

6

1yEI

3max

323223

Para el primer tramo del dintel: xm = [3 – √3 ] · a;

ymax = √3 · Pa3/EI = + 1,73 · Pa

3/EI


;Pa18Pa2

153Pa

2

9Ka3Pa

2

9yEI

3333B

yB = + 18 · Pa3/EI


Julio Melián/2010

247

PROBLEMA VI-16

La figura representa una estructura en forma de cruceta con sus extremos

articulados y carga “q” exterior uniformemente distribuida en la forma descrita.

Las longitudes de los cuatro brazos son iguales de la misma sección y del mismo

material.

1. Calcular las reacciones en los empotramientos y el giro del nudo central de

la cruceta.

2. Dibujar los diagramas de momentos flectores y elásticas correspondientes,

indicando la posición de los puntos de inflexión.

3. Calcular la flecha máxima.

SOLUCIÓN:

1. La estructura presenta una antisimetría total respecto al centro de la cruceta A,

por lo que las reacciones en las articulaciones B y C serán iguales y

antisimétricas. Además, las articulaciones no darán ninguna reacción axil (p.ej.

en las barras verticales) ya que su condición doblemente antisimétrica no

permitiría el equilibrio con reacciones horizontales en las otras articulaciones.

Así que la determinación de las reacciones transversales se limitará al

establecimiento del equuilibrio de momentos del conjunto. Al mismo tiempo se

conservará inalterable la posición del punto A.

q

A B

B

C

C

2a

q

q

q


Julio Melián/2010

248

2. Cuanto queda dicho se traduce en el estado de acciones externas (resultantes de

la carga “q” y reacciones “R”) y el esquema de la elástica general que se

indica:

3. Calculada la reacción “R”, como el caso isostático que constituye el problema,

se podrá estudiar solamente un brazo de la

cruceta, dado que por simetría los otros tendrán

idénticas características:

Nótese que la antisimetría no permite la existencia de

momentos flectores en la cruceta “A”, por lo que el tramo

BA se comporta como una viga simplemente apoyada con

una carga distribuida “q”.

La determinación hecha de la función del momento flector

M permite desarrollar la ecuación diferencial de la elástica

y sus integraciones:

2a

A B

qa qa

q

qa

-qa

(d.f.c

.)

(d.m.f.

)

2a

A

B

B

C

C

R

R R

R

2qa 2qa

2qa 2qa


Julio Melián/2010

249

Existe un punto de inflexión único en “A”, tanto horizontalmente como

verticalmente.

PROBLEMA VI-17

La figura representa una estructura en forma de cruceta con sus extremos

empotrados y una sola carga exterior consistente en un momento aplicado

exactamente en el punto de encuentro de los elementos horizontal y vertical. Las

longitudes y secciones de los cuatro brazos son iguales y del mismo material.

Calcular las reacciones en los empotramientos y el giro del nudo central de la

cruceta.

Dibujar los diagramas de momentos flectores y elásticas correspondientes,

indicando la posición de los puntos de inflexión y flecha máxima.

a

4Pa

A B

B

B

B


Julio Melián/2010

250

SOLUCIÓN:

1. La estructura presenta una antisimetría total respecto al centro A, tanto en el eje

horizontal como en el vertical, por lo que las reacciones en los

empotramieentos B serán todas iguales y antisimétricas: a) oponiéndose, de una

parte, al giro que propugna el momento exterior 4Pa, b) conservando

inalterable la posición del punto A, de otra, y finalmente, c) respetando la

condición de empotramiento de los extremos B.

2. Si planteáramos la abstracción de considerar los extremos B articulados, en vez

de empotrados, surgirían fuerzas de reacción en B (todas iguales) equilibrando

por pares al momento exterior 2Pa. Es decir fuerzas de valor P, como muestra

la figura, con unas deformaciones elásticas del tipo de las que se indican. Con

ello, las conclusiones a) y b) quedarían aplicadas (rojo):

La conclusión c) implicaría la aparición de momentos de empotramiento para

que rectifiquen la curvatura de la elástica en el sentido conveniente (azul)

a

A B

B

B

B

P

4Pa

P

P P


Julio Melián/2010

251

3. Esos momento de reacción, como puede verse en la figura, tienen todos el

mismo sentido de giro, por lo que desestabilizarían el equilibrio del conjunto,

haciendo necesaria la aparición de nuevas fuerzas de reacción en B (ver figura

siguiente) que se sumarían a las P ya descritas y que vamos a llamar R, como

una incógnita hiperestática, cuya relación con los momentos de empotramiento

debe deducirse de la ecuación de equilibrio:

4. La resolución de la incógnita hiperestática R se deducirá de la condición de

mantenerse el punto A sin desplazamiento alguno, por lo que la distancia desde

A a la tangente en B será nula. Esto puede establecerse a partir del segundo

Teorema de Mohr en el diagrama de momentos flectores.

Para ello aislamos un tramo cualquiera BA, con las reacciones ya descritas en B

y las cargas transmitidas desde A para el correspondiente equilibrio.

a

B

B

B

P+R

P+R

P+R

MB=Ra

MB=Ra

MB=Ra A

B 4Pa

P+R

MB=Ra


Julio Melián/2010

252

Ahora podemos considerar su diagrama de momentos flectores descompuesto

como se indica a continuación para facilitar la aplicación de los teoremas de

Mohr:

2º Teorema de Mohr (distancia desde A a la tangente que pasa por B):

Mientras que el giro del nudo será (1er teorema de Mohr):

Así pues, las reacciones en los empotramientos serán:

Y la rotación del nudo central:

Diagrama de

Fuerzas Cortantes -(P+R)

A B Pa

P+R

Ra

P+R a

+Ra

-Pa x

a-x

+Ra

-Pa

= +

-Pa-Ra

a

+Ra


Julio Melián/2010

253

Respecto a los diagramas de momentos flectores y elástica, quedan reflejados a

continuación:

SIGUIENDO OTRO PLANTEAMIENTO:

La situación de antisimetría total del problema, nos permitirá efectuar cuatro

cortes en las proximidades del punto central A, estableciendo acciones

antisimétricas en los muñones, que equilibren el momento 4Pa, como se indica

en la figura:

A partir de aquí, ya podríamos continuar el problema

en la línea que se indica a partir del punto 4.- de la

solución anterior.

+Pa/2

-Pa a/3

a/3

A B Pa

1,5P

Pa/2

1,5P a

inflexió

n flecha máxima

4Pa

A Pa

a

Pa

a

Pa

a

Pa

a

R

R

R

R


Julio Melián/2010

254

PROBLEMA VI-18

Los dos elementos estructurales de la figura constituyen una crujía y actúan como

pilar y viga, ambos empotrados respectivamente en su cimiento y en un muro de

carga.

Se encuentran sometidos a sendas cargas puntuales P, localizadas y orientadas en

la forma que indica la figura.

Se pide determinar las cargas que soportan el cimiento y el muro, fuerza cortante

máxima y el momento flector máximo a que se ve sometida la estructura, la flecha

máxima y la forma de la correspondiente elástica.

La viga y el pilar están constituidos del mismo material (de módulo de elasticidad

E), tienen la misma sección (cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra es

I) y sus longitudes son iguales.

P P

P

P

a

a a a

a

a

A

C

B


Julio Melián/2010

255

SOLUCIÓN:

a) La disposición geométrica de las barras y su carga, presentan simetría respecto al

eje que pasa por C a 45º con la horizontal, de forma que las reacciones en los

empotramientos A y B serán por lo tanto iguales y simétricas, aportando las

reacciones que equilibren horizontal y verticalmente el conjunto.

b) La misma disposición de simetría exigirá una elástica simétrica, en la que el

ángulo recto de la crujía en C se conserve, por lo que dicha unión ni sufrirá

desplazamiento alguno, ni efectuará ningún giro. Lo que significa que tanto el pilar

como la viga atacarán a la crujía con tangentes a la elástica vertical y horizontal

respectivamente. Es decir, que esa crujía se comportaría exactamente igual que

hacen los empotramientos como condiciones de contorno. Tanto para el pilar como

para la viga, estando ambos en idéntica situación de doble empotramiento.

c) Todo ello nos podría permitir trivializar el problema reduciéndolo a una simple

viga doblemente empotrada, sin embargo vamos a desarrollar los razonamientos

oportunos con la rigurosidad más estricta.

VB=HA=Y

HB=VA=X

MA=MB=MO

P P

P

P

a

a a a

a

a

A

C

B

eje de simetría

VB

VA

HB

HA

MB

MA


Julio Melián/2010

256

d) Un análisis completo de la estructura nos muestra a estas conclusiones de simetría

con la evidente igualdad de las reacciones VB y HA, a las que llamaremos Y; como

la igualdad de las HB y VA, que llamaremos X; y los momentos, MA y MB, dada la

situación de simetría.

e) El estudio final de cualquiera de esas ramas (la CB por ejemplo) como doblemente

empotradas nos dará por fin la solución buscada:

f) Tan solo resta la determinación de la

incógnita hiperestática MO, que

podrá determinarse por el primer

Teorema de Mohr al igualar la

tangente en el punto medio del vano

con la de cualquiera de sus extremos:

El área negativa del d.m.f. es:

MO (a + a/2) = 3/2 MOa

El área positiva:

½ Pa.a + Pa.a/2 = Pa2

Al igualar ambas áreas:

MO = 2/3 Pa (negativo)

El momento en el centro del vano:

Pa – MO = 1/3 Pa

Las respuestas a las cuestiones planteadas son ya inmediatas.

P

Y Y

P

X X MO M

O

Y = P ; al igual que

será, si se estudiara el

pilar, que X = P;

C B

P

P P

P

P P MO M

O

P

P

M

O

M

O MO -

Pa

a a/

2

M

O

M

O P

a

a a/

2


Julio Melián/2010

257

ROBLEMA VI-19

Los dos elementos estructurales de la figura constituyen una crujía y actúan como

pilar y viga, ambos empotrados respectivamente en su cimiento y en un muro de

carga.

Se encuentran sometidos a sendas cargas puntuales P, localizadas a mitad de cada

vano y orientadas en la forma que indica la figura.

Se pide determinar las cargas que soportan el cimiento y el muro, fuerza cortante

máxima y el momento flector máximo a que se ve sometida la estructura, la flecha

máxima y la forma de la correspondiente elástica.

La viga y el pilar están constituidos del mismo material (de módulo de elasticidad

E), tienen la misma sección (cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra es

I) y sus longitudes son iguales.

P

P

a a

a

a

A

C

B


Julio Melián/2010

258

SOLUCIÓN:

a) La disposición geométrica de las barras y su carga, presentan antisimetría respecto

al eje que pasa por C a 45º con la horizontal, de forma que las reacciones en los

empotramientos A y B serán por lo tanto iguales y antisimétricas, aportando las

reacciones que equilibren horizontal y verticalmente el conjunto.

b) De otra parte, el extremo C de la viga no puede acercarse ni alejarse de B, ya que

la longitud “2a” deberá permanecer inalterable. La misma circunstancia deberá

acaecer analizando el pilar AC, por lo que C tampoco podrá desplazarse

verticalmente. Así que el punto C deberá ser considerado como posición fija.

c) También, la misma disposición de antisimetría exigirá elásticas antisimétricas, en

las que el ángulo recto de la crujía en C se conserve, aunque sí podrá efectuar un

cierto giro. Lo que significa que tanto el pilar como la viga atacarán a la crujía con

tangentes a la elástica de una misma inclinación a un punto fijo que es C. Es decir,

que cada elemento de esa crujía se comportaría exactamente igual que hacen las

vigas empotradas en un extremo y apoyadas en el otro, sin absorber momento de

reacción en C; cosa que de otro modo, resulta evidente al tener que compatibilizar

las elásticas giradas en C con el equilibrio de momentos en la crujía.

Por antisimetría:

VB=HA=Y

HB=VA=X

MA=MB=MO

HB

VB

eje de

antisimetría

VA

HA

MB

MA

P

P

a a

a

a

A

C

B


Julio Melián/2010

259

d) Sin embargo, aunque así sea, no se puede simplificar absolutamente el problema

reduciéndolo a una simple viga empotrada y apoyada, pues las reacciones axiales

van a jugar el importante papel de soportar una parte de las cargas “P” del otro

elemento de la estructura. Lo que hará que se transmitan ciertas cargas de

compresión a los cimientos.

e) Un análisis global de la estructura nos expone estas conclusiones de antisimetría

con la evidente igualdad de las reacciones VB y HA, a las que llamaremos Y; como

ocurre igual con las HB y VA, que llamaremos X; y los momentos, MA y MB.

f) El estudio final de cualquiera de esas ramas (la CB por ejemplo) como empotrada-

apoyada nos llevará por fin a la solución buscada:

g) Tan solo resta la determinación de la incógnita hiperestática MO, que podrá

determinarse por el 2º Teorema de Mohr al anular la distancia desde C a la

tangente en B:

El área negativa del d.m.f. es:

(P-2X).a2;

La distancia desde su c.d.g. al

eje que pasa por C:

(a+1/2 a)=3/2 a

El área positiva 1:

½ (P-X).a2

La distancia desde su c.d.g. al

eje que pasa por C:

(a+1/3 a)=4/3 a

El área positiva 2: ½ X.a2

La distancia desde su c.d.g. al eje que pasa por C:

2/3 a

Igualando los momentos estáticos correspondientes:

(P-2X)a2.3/2.a = ½ (P-X).a

2. 4/3 a + ½ X.a

2. 2/3 a

P

P

X

Y=P-

X

P

X Y

X X M

O

θc

Xa

a a


Julio Melián/2010

260

Lo que simplificado nos da como soluciones de X e Y:

X = ¼ P; Y = ¾ P;

Resultando el momento del empotramiento:

M0 =1/2 Pa

Las respuestas a las cuestiones planteadas resultan ya muy fáciles de determinar aplicando

convenientemente los Teoremas de Mohr con el esquema del diagrama de momentos

flectores.

PROBLEMA VI-20

En el pórtico de la figura calcular la flecha máxima del dintel, y el momento máximo en

los pilares. Utilícense los teoremas de Mohr donde sean aplicables. Dibujar la forma de la

elástica de forma que queden indicados claramente los puntos de inflexión de la misma.

Los Módulos de Elasticidad y Momentos de Inercia de pilares y dinteles son conocidos e

iguales entre sí (E e I).

B B

A

4a

A

2a

a P

2a

a P


Julio Melián/2010

261

SOLUCIÓN:

a) Como el pórtico es simétrico y no tiene cargas verticales, las reacciones en las

articulaciones solo se presentarán en sentido horizontal.

b) La elástica del dintel será simétrica y, por tanto con tangente horizontal en su

punto medio. Ello permitirá utilizar los Teoremas de Mohr tanto para determinar

el ángulo de giro de sus extremos B, como para determinar la flecha en el centro.

c) El análisis del pilar nos facilita los diagramas de fuerzas cortantes y momentos

flectores en función de la incógnita hiperestática H. Así como el dintel, que estará

sometido a flexión pura por los momentos transmitidos por las cabezas de los

pilares, deberá acoplarse a la cabeza de estos conservando la ortogonalidad con

ellos. La flexión pura conllevará una elástica continua, sin inflexiones, en arco de

circunferencia. Todo ello nos permitirá intuir la elástica en consonancia con los

diagramas de momentos flectores.

H H

B B

A

4a

A

2a

a P

2a

a P


Julio Melián/2010

262

Para valores de x comprendidos entre: el momento flector en el

pilar será: ; siendo entonces la ecuación diferencial de su elástica, en ese

primer tramo, y sus respectivas integraciones:

Entre: el momento flector será:

;

Así que la ecuación diferencial de este tramo de elástica, con sus respectivas

integraciones serán:

(d.f.c.) (d.m.f.

)

x

H

B

A

2a

a

P

P-H P-H

H

M

p

inflexión de la elástica

cambio de pendiente del m.f.

-Mp

2Ha

Mx

θp


Julio Melián/2010

263

En el punto de aplicación de la carga [común a los dos tramos: ] el valor de

la flecha y la tangente a la elástica serán iguales para las ecuaciones de ambos

tramos:

Lo que simplificado quedaría:

O sea:

Quedando determinadas las otras constantes (k1 y k2) al aplicar la condición de que

para: será:

lo que, con el valor calculado para k, resulta:

y, de otra parte:

Todo en función de la incógnita hiperestática H, que determinaremos igualando los

ángulos girados por las cabezas de pilares y extremos de dintel.

d) El ángulo de la cabeza del pilar será el valor de cuando .

Es decir:


Julio Melián/2010

264

e) Por su parte, el dintel sometido a flexión pura, como se ha dicho antes, permitirá

el uso de los Teoremas de Mohr, facilitando así el cálculo del ángulo girado por

sus extremos.

La aplicación del 1er

Teorema de Mohr permitirá directamente calcular el ángulo

girado por el extremo B:

Que igualado al del pilar:

f) El momento máximo en los pilares habrá de ser el mayor de entre Mp y 2Ha :

De donde se deduce que Mp es el valor máximo del momento en todo el pórtico

Para la determinación de la flecha en el centro nos apoyaremos en el 2º Teorema de

Mohr:

4a

(d.f.c.)

B B

θp

C

Mp Mp

-Mp

(d.m.f.)

-Mp


Julio Melián/2010

265

PROBLEMA VI-21

El pórtico de la figura está compuesto por dintel y pilares del mismo módulo de

elasticidad E y sección cuyos momentos de inercia, con respecto a la línea neutra,

son I y 2I, respectivamente.

Calcular:




4. Angulo que gira las uniones de dintel con pilares



7. Posición de las flexiones y flechas máximas de pilares y dintel

8. Cálculo de dichos valores máximos

4a

2a

A A

B

2I

I

2I p p

B


Julio Melián/2010

266

PROBLEMA VI-22


E y sección cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra es I en el dintel, 2I

en los pilares y, también, 2I en los volados.

Calcular:







7. Posición de la flecha máxima de pilares y la flecha máxima del dintel

8. Cálculo de dichos flechas máximas

9. Flecha de los extremos volados

3a

A A

B B

2I

I

Pa Pa

2a a a

2I 2I

2I

Pa Pa 2P

2a


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267

PROBLEMA VI-23


E y sección cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra es I en el dintel, en

los pilares y, también, en los volados.

Calcular:










3a

A A

B B

I

I

Pa Pa

2a a a

I I

I

Pa Pa 2P

2a


Julio Melián/2010

268

PROBLEMA VI-24




Calcular:










3a

A A

B B

I

I

3Pa 3Pa

2a a a

I I

I

2P

2a


Julio Melián/2010

269

PROBLEMA VI-25

En el pórtico de la figura se produce un desplazamiento horizontal 2Δ << a de una

de las zapatas de sus pilares.

En el pórtico no se considera la existencia de carga exterior alguna, y las

secciones de pilares y dintel tienen el mismo Momento de Inercia I, estando

construidos del mismo material de Módulo de Elasticidad E.

Se desea conocer el estado de tensión a que el pórtico se verá sometido ante dicho

desplazamiento, determinando lo siguiente:


2. Reacciones en las bases de los pilares: fuerzas horizontales y verticales y

momentos de empotramiento.



5. Forma y curvaturas de la elástica (indicando claramente las curvaturas en las

inmediaciones de las cimentaciones y en las crujías pilar-dintel).


7. Posición de la flecha máxima en el dintel, así como el signo o sentido de la

misma.


B B

2a 2a

3a

A A

A’

2Δ


Julio Melián/2010

270

PROBLEMA VI-26


E y sección cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra es I en el dintel y 2I

en los pilares. Calcular:









9. Indicar cuál debe ser el momento flector que debe tomarse para el diseño de

la sección recta de cada elemento del pórtico

3a

A A

B B

2I

I

6a

2I

Pa

Pa


Julio Melián/2010

271

PROBLEMA VI-27


E y sección cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra es I. Calcular:









9. Desplazamiento de las cabezas de los pilares

10. Indicar cuál debe ser el momento flector que debe tomarse para el diseño de

la sección recta definida para el pórtico

3a

A A

B B

I

I

3a

I

Pa

Pa

3a

2Pa


Julio Melián/2010

272

PROBLEMA VI-28




Calcular:










3a

A A

B B

2I

I

Pa Pa

2a a a

2I 2I

2I

2P

2a

Pa Pa


Julio Melián/2010

273

PROBLEMA VI-29


E y sección. Las bases de los pilares están empotradas en sendos cimientos

perfectamente estabilizados en A. El pórtico está cargado con los momentos “P.a”

en las uniones B de pilares y dintel, como se indica en la figura, además de la

carga “P” en la sección central del dintel, C. Calcular:



3. Momentos flectores en los extremos del dintel


5. Angulo que giran las uniones B de dintel con pilares



8. Posición de la flecha máxima del dintel



3a

A A

B B

I

I

3a

I

Pa Pa 2P

3a

C


Julio Melián/2010

274

PROBLEMA VI-30


E y sección cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra es I en el dintel, 2I

en los pilares y, también 2I en los volados.

Calcular:







7. Posición de la deflexión máxima de pilares y la flecha máxima del dintel



10. Indicar cuál debe ser el momento flector que debe tomarse para el diseño

de la sección recta de cada elemento del pórtico

3a

A A

B B

2I

I

Pa Pa

6a a a

2I 2I

2I


Julio Melián/2010

275

PROBLEMA VI-31

El pórtico de la figura está compuesto por dintel de módulo de elasticidad E, y

sección S cuyo momento de inercia, con respecto a su línea neutra, es 3I, mientras

que los pilares (del mismo material que el dintel) tienen un momento de inercia I.-

Las bases de los pilares está empotradas en sendos cimientos perfectamente

estabilizados en A.- Calcular:




4. Angulo de giro de las uniones de dintel con pilares



7. Posición de las deflexiones y flechas máximas de pilares y dintel



3a

A A

B B

4a

Pa Pa

a a 2a

I I

3I C C


Julio Melián/2010

276

PROBLEMA VI-32

En el pórtico doble de la figura calcular el desplazamiento del dintel y el momento

máximo que ha de soportar toda la estructura, así como la posición de la sección

donde se manifiesta. Dibujar la forma de la elástica de manera que queden

indicados los puntos de inflexión de la misma.

Los Módulos de Elasticidad y Momentos de Inercia de pilares y dinteles son

conocidos e iguales entre sí (E e I).

SOLUCIÓN:

a) Estando los pilares articulados en su base, no existen reacciones en forma de

momentos en A ni en C, pero sí habrán fuerzas horizontales que equilibren las cargas

exteriores P y verticales que compensen el momento de vuelco que producen estas

fuerzas.

b) La antisimetría, exige que las reacciones verticales en A sean iguales y de sentido

contrario, anulándose la del pilar central. Mientras que las horizontales, siendo iguales

en los pilares exteriores, será diferente a ellas en C.

2a

P P

2a 2a

B

A C

D

B

A


Julio Melián/2010

277

c) En cuanto a la elástica, por supuesto antisimétrica, se producirá un desplazamiento de

los nudos B y D iguales y hacia la derecha, obligando a su vez al dintel a mantener la

ortogonalidad con los pilares en su encastre.

d) De manera que el equilibrio isostático nos permitirá calcular directamente las fuerzas

verticales V y nos dará una ecuación entre X e Y, quedando el problema pendiente de

la obtención de una ecuación hiperestática para la determinación de las incógnitas

presentadas.

e) El estudio de los pilares nos podrá determinar los momentos flectores en sus cabezas

que serán los que se transmitan al dintel.

2a

2a 2a

X

V

A

X

V

B

A

Y

C

D

B P

P

X

B

A

2a

X

M

B

(d.f.c.)

X

(d.m.f.) (d.f.c.)

Y

Y

D

C

2a

Y

M

D

(d.m.f.)


Julio Melián/2010

278

f) Asumiendo ya que el momento en las cabezas de los pilares exteriores se transmitirán

a los extremos externos del dintel, queda visualizar la crujía que, en forma de T,

remata el pilar central en el punto D. Esta se encontrará sometida al momento flector

procedente del pilar y a los momentos anti simétricos Me (además de las fuerzas

horizontales, no indicadas):

g) Así, ya se puede analizar el dintel (solo presentaremos una mitad) con sus

solicitaciones en función de una única incógnita hiperestática (X ó Y):

De manera que la relación entre MB y Me vendrá dada por la pendiente P de la

fuerza cortante:

D

MD

Me Me

(dfc)

(dmf)

2a

P P

MB=2Xa Me=Ya


Julio Melián/2010

279

h) Esta conclusión, no viene más que a confirmar la expresión ya obtenida en el apartado

d). De otra parte, totalmente obvio, por cuanto no se ha aplicado aún ninguna

condición hiperestática. Esta condición deberá dejar constancia de que la

ortogonalidad entre dintel y pilares permanece inalterable. En el presente estudio no

resulta cómodamente aplicable ninguno de los teoremas de Mohr, por lo que se

realizarán los cálculos por integración sucesiva de la ecuación diferencial de la

elástica.

i) En el pilar AB la función del momento flector es [denominando z a la altura

variable de la sección del pilar, entre 0 y 2a], por lo que el cálculo correspondiente

deberá ser:

para: luego: k2=0

para: ;

luego:

el desplazamiento de B:

j) En el pilar CD la función del momento flector es [denominando también z a

la altura variable de la sección del pilar, entre 0 y 2a], y el cálculo correspondiente

deberá ser:

para: luego: c2=0

para: ;

luego:

el desplazamiento de D:


Julio Melián/2010

280

k) En el dintel BD la función del momento flector es [denominando

otra vez z a la distancia variable de la sección del dintel, entre 0 y 2a], y ahora el

cálculo correspondiente deberá ser:

para: luego:

b2=0

para: luego:

así que:

así que para:

l) La identidad entre los ángulos girados en las uniones B y D por dintel y pilares

respectivos (θB y θD) nos puede permitir la determinación de las constantes k1 y c1:

m) Las constantes anteriores sustituidas en i) y j), nos permiten igualar los

desplazamientos de B y D, que serán idénticos, y que constituyen la ecuación

hiperestática necesaria para el cálculo de X e Y.

o sea,

n) Resuelta la hiperestaticidad, la contestación a las preguntas formuladas resulta ya

sencillo.


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Problemas Isostaticos e Hiperestaticos