Sistemas de funciones iteradasy los fractalesEdwinAlfonsoAdameSarmientoFacultaddeMatematicasFundacionUniversitariaKonradLorenzJuniode2005ResumenRevisaremoscomopreambulolastransformacionesmatricialesenelplano,luegonosin-troduciremosenel temamostrandoalgunosfractalesfamosos, despuessedescribenlosconceptosfundamentalesdelateoradeespaciosmetricos, luegoserevisaralapartedeSistemasdeFuncionesIteradas(SFI),dondemostraremoslosdosalgoritmoseldetermi-nisticoyelaleatorio,ypor ultimoseconstruirandosfractalesenhojadecalculo.Indicegeneral1. Transformacioneslineales 11.1. Transformacionesmatriciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1. Transformacionesgenerales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2. Transformacionesdematrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Algunastransformacionesmatricialesdelplano . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1. Reexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2. Compresiones-expansiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3. Cortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.4. Rotaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.5. Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3. Transformacioneslineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1. Propiedadesdelastransformacioneslineales . . . . . . . . . . . . . 161.4. Matrizdeunatransformacionlineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5. Transformacionesanes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222. MonstruosMatematicas 252.1. Fractales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2. ElconjuntodeCantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3. CurvasdePeanoyHilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4. CurvadeKoch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293. ConjuntosAutosemejantes 313.1. Conjuntosautosemejantesfamosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.1. ConjuntodeCantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.2. ConjuntosdeCantorenR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2. CurvadeKoch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3. Espaciosmetricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.1. Espaciosmetricoscompletosycompactos . . . . . . . . . . . . . . . 35i3.3.2. Aplicacionescontractivasenespaciosmetricos . . . . . . . . . . . . 353.4. Teoremadelpuntojo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5. Invarianzarespectoaunsistemadesemejanzas . . . . . . . . . . . . . . . 384. SistemasdeFuncionesIteradas 404.1. Elespaciodelosfractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2. Aplicacionescontractivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3. ObtenciondelfractalasociadoaunSFI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3.1. AlgoritmoDeterminista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3.2. Algoritmoaleatorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.4. TeoremadelCollage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.4.1. AproximaciondeimagenesrealesmedianteSFI . . . . . . . . . . . 574.5. Unahojadehelechofractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.6. Fractalesenmovimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605. FractalesenHojadeCalculo 635.1. EltriangulodeSierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2. NuevoTriangulodeSierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.3. ElHelechodeBarsnsley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716. Conclusiones 74A. MedidadeConjuntos 76A.1. LamedidadeLebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76A.2. Dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78A.3. DimensiondeHomotecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78A.4. MedidadeHaussdor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79A.5. DimensiondeHausdor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80A.6. DistanciadeHausdor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80B.AlgunasnocionesdeHojadeCalculo 82iiIndicedeguras1.1. Transformacionlinealdeunaimagen.[NAKOS] . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Dominio,codominioycontradominio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Reexionesbasicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Compresionyestiramientoalolargodelejex. . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5. Escalamientoalolargodelosejesxyy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6. Deslizamientoalolargodelejex. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7. Deslizamientoalolargodeladireccionnegativadey. . . . . . . . . . . . . 101.8. Deslizamientoentransformacionesdeimagen.[NAKOS] . . . . . . . . . . . 111.9. Rotacionentornoalorigen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.10. Proyeccionesortogonalessobrelosejes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.11. Transformacionlineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.12. Dilatacionycontraccionporunfactorde2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.13. Matrizdeunatransformacionlineal.[NAKOS] . . . . . . . . . . . . . . . . 201.14. (a)Traslacion,(b)transformacionafn:rotacionydespuestraslacion. . . . . 221.15. Traslacioncondeslizamientodeunpolgono. . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.16. Tetraedrogiradoytrasladado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1. El conjunto ternario de Cantor se obtiene de manera inductiva comenzandoporel segmentodeunidadyquitandoencadaetapaacadaintervaloelsegmentomedioresultantededividirloentrespartesiguales. . . . . . . . . 272.2. Primeras etapas de la generacion de la curva de Hilbert. La curva de Hilbertesunejemplodecurvaquellenaelplano,porloquesudimensionfractales2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3. Primeros pasos del proceso de construccion de la curva de Koch. En el lmitedados dos puntos cualesquiera de la curva es imposible llegar a uno de ellosdesdeel otroporencimadelacurva. Lalongituddecualquiertramodecurvaesinnita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30iii3.1. Elconjuntodecantoren R2esunconjuntoautosemejantebajoelsistemadecuatrosemejanzasquetransformanelcuadradoinicialencadaencadaunodeloscuatrocuadradosdelasesquinas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2. LacurvadeKochsepuedeconstruirsustituyendoel segmentoI porlossegmentosI1, I2, I3, I4yrepitiendoencadaunodeellosesteprocesoinde-nidamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.1. Unaaplicacioncontractivaf acercalos puntos ycontrae, por tanto, losconjuntossobrelosqueseaplica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2. Traslacionmedianteelvector(, ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3. Girodeanguloycentroenelorigen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.4. Simetrarespectodelejedeabscisas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.5. Homoteciacentradaenelorigenderazonk. . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.7. Cadaparte Ti, 1 i 3, del triangulode Sierpinski es semejante altriangulototal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.8. CadaunadelaspartesKi, 1 i 4, delacurvadeKochindicadasessemejantealacurvatotalK. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.9. Intervalosconvergentesal conjuntodeCantorobtenidosmedianteel SFIf1(x) =x3yf2(x) =(x+2)3apartirdelintervalounidad. . . . . . . . . . . . 504.10. Primeras iteraciones del SFI asociado al triangulo de Sierpinski a partir deuntriangulodeladounidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.11. TriangulodeSierpinskiobtenidotraslaaplicaciondelalgoritmoaleatorioalSFIdelcuadro4.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.12. LahojadehelechoqueseintentaraaproximarmedianteunSFIaplicandoelteoremadecollage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.13. Cada una de las cuatro partes de la hoja del helecho aqu indicadas se puedeconsiderar como el resultado de una aplicacion contractiva sobre la imagencompleta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.14. Para obtener las aplicaciones contractivas que transforman la imagen com-pleta del helecho en cada una de las partes indicadas en la gura 4.13,tenemosquesituarlahojaenel plano R2. Si laimagensecentrahorizontalmenteenelorigen,lastransformacionesseobtienendemaneramascomoda. . . . 604.15. Unarbolfractal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.16. Lahojade helechoagitadapor el vientomediante distintos valores delparametro.Losvaloresdadosason= arc sen dondeevolucionaseg un se indica bajo cada gura. El movimiento de la hoja se puede observaralseguirlasimagenesdeizquierdaaderechaydearribaaabajo. . . . . . 62iv5.1. Formulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.2. UbicaciondeFormulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.3. GenerandolosPi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.4. TriangulodeSierpinski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.5. FuncionbuscarH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.6. EltriangulodeSierpinski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.7. ConstruccionhelechodeBarnsley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.8. HelechodeBarnsley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73A.1. CP(A, ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81A.2. dH(A, B) = max{1, 2} = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81B.1. Notacionnumericaenhojadecalculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83B.2. Formulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83vIndicedecuadros4.1. Notacionsimplicadadel sistemadefuncionesiteradasasociadoal trian-gulodeSierpinski.LacolumnamarcadaconPROBnoes utiltodava;susignicadoserevisaraenelsiguienteapartado. . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2. SFI asociado a un triangulo de Sierpinski modicado mediante la variaciondelasprobabilidadesasociadasacadaunadesustransformaciones. . . . . 564.3. Aproximacionmedianteel teoremadecollagealahojadehelecho. Lasprobabilidadesseasignaronenfunciondel areageneradaporcadatrans-formacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.1. funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.2. TablaparagenerareltriangulodeSierpinski. . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.3. Formulaquecalculaelcoecienteedelafuncionf4. . . . . . . . . . . . . 72viIntroduccionEstetrabajofueeditadoenLATEX,paralocualhubolanecesidadderealizarunestudioprofundo del manejo de las sentencias que se usan para la elaboracion de textos, especial-mentematematicos.Basicamentelosfractalessecaracterizanpordospropiedades: autosemejanza(oautosi-militud)yautorreferencia.Laautorreferenciadeterminaqueelpropioobjetoapareceenladeniciondesmismo,conloquelaformadegenerarelfractalnecesitaalg untipodealgoritmorecurrente. Laautosemejanzaimplicainvarianzadeescala, esdecir, el objetofractal presenta la misma apariencia independientemente del grado de ampliacion con quelos miremos. Por mas que se ample cualquier zona de un fractal, siempre hay estructura,hasta el innito, apareciendo muchas veces el objeto fractal inicial, contenido en s mismo.En su citada obra TheFractalGeometryofNature1Mandelbrot razono que la naturalezaentiendemuchomasdegeometrafractal quedegeometradiferenciable.2Lageometrafractalaborda elestudiode formasgeometricas nodiferenciableso quebradasacualquierescalaquesemiren.TambienfueimportantelapublicacionporHuntchinsonen1981deuntrabajoenelquese desarrolla el concepto de conjunto autosemejante, de gran trascendencia en el desarrolloposteriordelageometrafractal.A partir de ah, muchos cientcos se han encontrado fractales en sus campos de estudio. Ladistribucion de las galaxias, los procesos fsicos de ramicacion, agregacion y turbulencia,la aparicion de ruido en se nales electricas (precisamente una especie de conjunto de Cantorensudistribucion)einclusolosfenomenoseconomicososociologicossonalgunosdeloslugaresenlosqueseescondeelserpenteoincansabledelosfractales.Ladimensionfractal1Editada en castellano en 1997, veinte a nos despues de su publicacion original, por la editorial Tusquets.2Esmascorrectocontraponerlageometrafractal alageometradiferenciablequealaeuclidiana,aunque muchas fuentes la opongan a esta ultima.viiLamedicionde formas fractales (fronteras, poligonales, etc.) haobligadoaintroducirconceptos nuevos quevanmas alladelos conceptos geometricos clasicos. El conceptodelongitudnoestaclaramentedenido. Lalongituddelalneafractal dependedelalongituddeinstrumento, odelaunidaddemedidaquetomemos, lanociondelongitudenestoscasos, carecedesentido. Paraellosehaideadootroconcepto: el dedimensionfractal, queseaunageneralizaciondeladimensioneucldea. Sabemosqueengeometraclasicaunsegmentotienedimensionuno, uncrculotienedimensiondos, yunaesferatiene dimension tres. Para que sea coherente con lo dicho una lnea fractal tiene que tenerdimensionmenorquedos(nollenatodalaporciondeplano). Engeneral loquesucedees que la longitud de la curva fractal es superior a la del segmento de recta que lo genera,yporlotanto,engeneralladimensionfractalseraunn umerocomprendidoentreunoydos.LadimensionHausdorH(X)deunobjetofractalXmideeln umerodeconjuntodelongitudLquehacenfaltaparacubrirXporL.Rese nahistoricaLosfractalesfueronconcebidosaproximadamenteen1880porelfrancesHenriPoincare.Susideasfueronextendidasmastardefundamentalmentepordosmatematicostambienfranceses,GastonJuliayPierreFatou,hacia1918.Setrabajomuchoenestecampodu-rante varios a nos, pero el estudio quedo congelado en los a nos 20. El estudio fue renovadoapartir de 1974enIBMyfue fuertementeimpulsadopor el desarrollode lacompu-tadoradigital. El Dr. Mandelbrot, delaUniversidaddeYale, consusexperimentosdecomputadora, es considerado como el padre de la geometra fractal. En honor a el, uno delosconjuntosqueel investigollevasunombre. Otrosmatematicos, comoDouady, Hub-bardySullivantrabajarontambienenestaareaexplorandomas las matematicas quesusaplicaciones. Desdeladecadadel 70estecampohaestadoenlavanguardiadelosmatematicoscontempor aneos.InvestigadorescomoelDr.RobertL.Devaney,delaUni-versidaddeBostonhaestadoexplorandoestaramadelamatematicaconlaayudadelascomputadorasmodernas. M.F.Barnsley, en1985, estudiounageneralizaciondel me-tododeJ.E.Hutchinson.MientrasqueJ.E.Hutchinsonutilizabasemejanzascontractivas,M.F.Barnsleyutilizaaplicaciones contractivas, loquelepermiteampliar notablementelafamiliadefractalesobtenidos. El metododeM.F.Barnsleydescubrelaposibilidaddeencontrarunfractalqueseaproxime,tantocomoqueramos,aunobjetonatural.M.F.Barnsleyutilizaelterminofractalparareferirseacualquierconjuntocompactoynovaco.El metododeM.F.Barnsleyparagenerarconjuntosfractales, sebasaenlossistemasdefuncionesiteradas(SFI).viiiContenidodeldocumentoEn el capitulo uno se describen las transformaciones matriciales basicas en el plano, tam-biensedenelatransformacionlineal general. Por ultimoserealizaunesbozodelastransformacionesaneslascualesnosseranmuy utilesenlaconstrucciondeunobjetofractal.Enel segundocapituloMonstruosmatematicosnosintroduciremosenlatematicamos-trando algunos de los fractales mas famosos, este capitulo se basa en informacion obtenidaen [GUZMAN] y [BARNS.], el objetivo de este capitulo es describir, por lo cual se omitenlasdemostraciones.Enel capitulotres semuestralateoradeconjuntos autosemejantes, todos estos sonconceptosfundamentalesdelateoradeespaciosmetricos,enloscualessesustentaespe-cialmenteelteoremadelpuntojo.Lossistemasdefuncionesiteradassonlasbasesdelastecnicasactualesenlacompresionfractal,esossistemas generalizanlaconcepcionde autosemejanzadelcaptulo4constitu-yendolasherramientasbasicasparalaconstrucciondeobjetosfractales.Enel capitulo6seconstruyendosfractalesenhojadecalculo, el famosotriangulodeSierpinski yel HelechodeBarnsleyestocomoladeadeusar unaherrmientadeusocom unentrelaspersonas.En el apendice A se aborda la medida de Lebesgue, la dimension de Hausdor, la distanciadeHausdor; estasnossirvenparamedirycompararfractales. El apendiceBpresentaunamotivacionparatrabajarenhojadecalculo.ixCaptulo1TransformacioneslinealesLosvectoresylasmatricesserelacionanenformaintimaatravesdelamultiplicacionmatricial.ParaunamatrizjaAdemxn,cualquiervectornxcorrespondealvectormAx. Estacorrespondenciadenidaporel productomatricial Axesel principal ejemplodeunatransformacionlineal,cuyadenicionactualsedebeaPeano1.Las transformaciones lineales desempe nan un papel importante en las matematicas, fsica,ingeniera,procesamientodeimagenes,gracasencomputadoraymuchasotrasareasdelacienciaydelavidadiaria.Figura1.1:Transformacionlinealdeunaimagen.[NAKOS]Eldilemadeuncaricaturista[NAKOS]Uncaricaturistamodernoempleacomputadoras yalgebralineal paratransformar las1GuiseppePeano. Nacioel 27deagostode1858enCuneo, Italia. Murioel 20deabril de1932enTurnItalia.FueunodelosprimerosenconcebiralasmatematicasmascomounLenguaje,Capazdeexpresar ideas de manera sucinta y sin ambig uedades que como una simbologa. Su interes por las curvasfractales deviene de sus estudios en el campo de de la logica simbolica y de como una proposicion nitapudiera llegar a generar una expansion innita de proposiciones no triviales1imagenes que dibuja. Supongamos que trata de dar la sensacion de movimiento a la imagendelagura1.1(a) inclinandolayestirandola(horizontalmente) enformagradual parallegar alade lagura1.1(b). Si el estiramientogradual necesario, por ejemplo, alolargo del eje xes de 50 %, como puede modelarlo matematicamente yhacer que lacomputadora trace la imagen inclinada? El metodo debera ser independiente de la imagen(cuadro)inicial parapoderaplicarloaotroscuadros. Comoveremosenlaseccion1.1,enlarespuestainterviene unasencillamultiplicacionde matriz por vector. De hecho,necesitamosmultiplicarporlaizquierdael vectorcoordenadodecualquierpuntoenelplanoquedeseemostransformar,porlamatriz1 0,50 1

1.1. TransformacionesmatricialesEnestaseccionsepresentaranlastransformacionesdematricesyestudiaremosalgunastransformaciones matriciales del plano que desempe nan un papel importante en las gracasencomputadora.1.1.1. TransformacionesgeneralesConfrecuenciasedeseaconocercomoserelacionanloselementosdeunconjuntoconlosde otro. A veces se usa una reglaque describa esta relacion. A continuacion presentamosalgunosejemplosdeesasreglas.(R1) Paracadavector2(x, y)seleasignaelvector3(x y, 0, y).(R2) Paracadavector2xy

seleasignaelvector3denidopor

1 10 00 1xy

(R3) Paracadax > 0seleasignalasolucionrealparaydey2x = 0.(R4) Paracadaxrealseleasignalasolucionrealdex2+ 1 = 0Hay varias diferencias agudas entre algunas de estas reglas. La regla (R4) no tiene sentido,porquex2+ 1=0notienesolucionreal. (R3)esambigua, porquey2 x=0implicax. As, a cada x le corresponden dosn umeros, y no uno. Por otro lado, las reglas (R1)2y(R2)notienenestosproblemas. Acadavector2seleasignaexactamenteunvector3denidoporlareglacorrespondiente. (R1)y(R2)estanbiendenidas, yconstituyenejemplos de transformaciones. Una transformacion Tmapeo o funcion de un conjuntoA a un conjunto B, representada por T: A B, es una regla quer asocia a cada elementodeAunelementodeb, unico,deB,llamadoimagendeaBajoT.SeescribeT(a)=bysedicequeasemapeaaT(a).AsellamadominiodeT.BescodominiodeT.Elsubconjunto de Bformado por todas las imagenes de los elementos de A se llama rango2ocontradominiodeTyserepresentaporR(T)oporT(A).EsposiblequedosomaselementosdeAtenganlamismaimagen(1.2).DostransformacionesT1,T2:A Bsoniguales(seescribeT1= T2)sisusimagenescorrespondientessoniguales,esdecir,siT1(a) = T2(a) paratodoaenA.Figura1.2:Dominio,codominioycontradominio.LasReglas(R1)y(R2)denentransformacionesiguales,yaque

1 10 00 0xy

=

x y0yEjemplo1.1. SeaT: R3 R2latransformacionexpresadaporT(x, y, z)=(x t +z, x +y z)2Aclaracion: El uso de la palabra rangode una transformacion es cada vez mas general y se debe a latraduccionindiscriminadadelapalabrarange2rank;peroparatratardeconservarladiferenciaentrerangocomo dimension del contradominio, y el contradominio mismo, usaremos aqu las palabras rango2contradominio, respectivamente. Tambien hay que recordar que no es lo mismo range(contradominio)que rank(rango) de una matriz.3(a) PorqueTesunatransformacion?Cualessudominio?Cualessucodominio?(b) Cual delosvectores(1, 2, 3), (1, 2, 3)y(1, 0, 5)tienenlamismaimagenbajoT?(c) Determinetodoslosvectores3queseaplicana(0, 0).(d) Describael contradominiodeT.Solucion1.1.(a) Tesunatransformacionporquecadavector3,como(x, y, z)corres-pondeexactamenteaunvector2,quees(x y + z, x + y z).El dominiodeTesR3.El codominioes R2.(b) T(1, 2, 3) = (1 (2) + 3, 1 + (2) 3) = (6, 4).Deigual manera,T(1, 2, 3) =(4, 6)yT(1, 0, 5) = (6, 4).Porconsiguiente,(1, 2, 3)y(1, 0, 5)tienenlamismaimagen.(c) Esprecisoconocertodoslosvectores(x, y, z)talesqueT(x, y, z) = (x y +z, x +y z) = (0,0)).Entoncesx y +z= 0x +y z= 0Cuyasoluciongeneral es(0, r, r), r R. Todosellossonlosvectores3queaplicana(0, 0).(d) Paradeterminarel contradominiosenecesitantodoslosvectores2, (a, b), paraloscualesexistenn umerosx, yyztalesqueT(x, y, z)=(a, b). Entonces, senecesitantodoslos(a, b)quehacenconsistenteel sistemax y +z= ax +y z= bPuesto que la matriz de coecientes tiene dos pivotes, el sistema es consistente para todasa, b.Enconsecuencia,elcontradominiodeTes R2.41.1.2. TransformacionesdematricesConsideremosporejemplolamatrizdeterminadaA=1 1 11 1 1

. Si tomamoslosvectores3xyformamoslosproductosAx,obtenemosvectores2 unicos.Porejemplo,1 1 11 1 1

101=20

,1 1 11 1 1

123=64

yengeneral,1 1 11 1 1

xyz=x y +zx +y z

EsclaroquepodemosdenirunatransformacionT: R3 R2porlareglaT(x)=Ax.Dehecho,Teselmapeodelejemplo1.1.Esteesunejemplodetransformacionma-tricial ,odematrices.Estatransformacioneslamasimportantedelalgebralineal.Denicion1.1. (Transformacionmatricial)Una transformacion matricial Tse expresa mediante T: RnRmy a esta le correspondeunamatrizAmxntal queT(x) = A(x)Paratodox Rn.Asellamamatriz(estandar)deT.Porejemplo, (R1)y(R2)sedenenlatransformacionmatricial T: R2 R3, T(x)=A(x),con

1 10 00 0Ejemplo1.2. ParalaAyTanteriores, compareR(T)yCol (A). Determineunades-cripcionexplcitadeR(T).5Solucion1.2. Unvector3w=

abcestaenR(T)siysolosihayunvector2xy

tal queTxy

=

1 10 00 1xy

=

x y0y=

abc. Esto equivale a decir que el sistemacuyamatrizaumentada es[A : w] esconsistente,otambienquewestaenCol(A). Porconsiguiente,R(T)=Col(A).ComoT(x)=wimplicaquea = x y, b = 0yc = y,setienex = a+c, b = 0yy= c.As, a y c pueden ser escalares cualquiera y b = 0. En consecuencia, R(T)=

a0c, a, c R

Teorema1.1.SiT(x) = Axescualquiertransformacionmatricial,entoncesR(T) =Col(A).Demostracion.w R(T) T(x) = wparaalgunxAx = wparaalgunx[A : w] es consistentew Col(A)El teorema siguiente describe las dos propiedades mas importantes de una transformacionmatricial.Teorema1.2. Cualquiertransformacionmatricial T: Rn Rm, T(x)=AxSatisfacelosiguiente(1.) T(x + y) = T(x) +T(y)paratodosx,yen Rn.(2.) T(cx) = cT(x)paratodoxen Rnytodoslosescalaresc.61.2. AlgunastransformacionesmatricialesdelplanoAhoraestudiaremosalgunastransformacionesmatricialesgeometricasdel planoquesonmuyinteresantes(R2R2): reexiones, compresiones-expansiones, cortes,rotacionesyproyecciones.1.2.1. ReexionesFigura1.3:Reexionesb asicas.Lasreexionessedenenrespectoacualquierrectaenel plano. Nosinteresanaquellasqueestanvinculadasconunarectaqueatraviesaelorigen,engeneralrespectoalosejescoordenados (Rx y Ry) y a la recta diagonal y= x(Rd). Vease la gura 1.3 Esas reexionessedenenconlasformulasRy(x, y) = (x, y) Rx(x, y) = (x, y) Rd(x, y) = (y, x)Ytodasestassontransformacionesmatriciales;susmatricescorrespondientesson 1 00 1 1 00 1 0 11 0

porejemploRyxy

= 1 00 1 xy

: xy

,yassucesivamente.Ademasexistelareexionbasicarespectoalorigen,cuyaformulaymatrizsonRo(x, y) = (x, y) 1 00 1

7Estotambienpuedeconsiderarsecomorotacionde180oentornoalorigen.1.2.2. Compresiones-expansionesLas compresiones y expansiones son escalamientos a lo largo de los ejes coordenados. Conmasprecision: parac>0, latransformacionCx(x, y)=(cx, y)escalalascoordenadasxconunfactordec, dejandoinalteradasalascoordenadasy. Si 0 0.Figura1.4:Compresionyestiramientoalolargodelejex.Otro tipo son los escalamientos simultaneos a lo largo de los ejes x y y, como Cxy(x, y) =(cx, dy) con factores de escala c > 0 y d > 0 a lo largo de las direcciones x y y(gura 1.5).TantoCxcomoCyyCxysontransformacionesmatriciales,consusrespectivasmatricesc 00 1 1 00 c c 00 d

8Figura1.5:Escalamientoalolargodelosejesxyy.1.2.3. CortesUncorteodesplazamiento3alolargodelejexesunatransformaciondelaformaSx(x, y) = (x + cy, y)Enotras palabras, cadapuntose mueve alolargode ladireccion xunacantidadFigura1.6:Deslizamientoalolargodelejex.proporcionalaladistanciaalejex(gura1.6),tambienhaycortesalolargodelejey.Sy(x, y) = (x, cx +y)3Aclaracion: Este nombre de transformacion da idea de las deformaciones por esfuerzo cortantey delos deslizamientosde capas cristalinas en los materiales sometidos a esfuerzo cortante9SxySysontransformacionesmatricialescuyasmatricesson1 c0 1 1 0c 1

Observequelaconstantecenlaformulaparauncortepuedesernegativa.Lagura1.7ilustraestecasoparaSy(x, y) = (x, 2x + y).Figura1.7:Deslizamientoalolargodeladireccionnegativadey.Ejemplo1.3. DeterminelatransformacionSxquesedeslizaendireccionpositivadexenunfactorde0,5.Paralagura1.8,obtengalasimagenesdelospuntos(0, 2), (0, 1), (0,5, 0,5), (0, 0), (1, 0), (1, 1), (1, 1), (1, 0).Solucion1.3. SxseexpresacomoSx(x, y) = (x +,5y, y),Porconsiguiente,Sxxy

=1 0,50 1 xy

(1.1)Lasimagenesdelospuntosidenticadospuedencalcularsesustituyendosuscoordenadas10Figura1.8:Deslizamientoentransformacionesdeimagen.[NAKOS]enlaecuacion(1.1).Sinembargo,seahorraespacioescribiendolosproductosmatrizporvectorenformadeunproductodematrices:1 0,50 1 0 0 0,5 0 1 1 1 12 1 0,5 0 0 1 1 0

=1,0 . 5 . 75 0 1,0 1. 5 . 5 1,02,0 1,0 . 5 0 0 1,0 1,0 0

Lascoordenadasdelasimagenesson(1, 2), (0,5, 1), (0,75, 0,5), (0, 0), (1, 0), (1,5, 1), (0,5, 1), (1, 0).1.2.4. RotacionesOtrotipodetransformacionenelplanoeslarotacionogiroentornoacualquierpuntoenelplano.Nosinteresanprincipalmentelasrotacionesentornoalorigen.Ejemplo1.4. (Rotacionenel plano)LatransformacionR: R2R2sedeneporR

xy

=cos sin sin cos xy

yhacegirarcadavectorx, yradensentidocontrarioal delasmanecillasdel reloj entornoal origen.11Solucion1.4. Deacuerdoconlagura1.9(a), OBeslarotacionde OAunangulode.Entoncesx = r cos y= r sen x

= r cos( + ) y

= r sen( +)MedianteidentidadestrigonometricassellegaaFigura1.9:Rotacionentornoalorigen.x

= r cos cos r sin sin y

= r sin cos +r cos sin x

= x cos y sin y

= y cos +x sin Porconsiguientex

y

=x cos y sin x sin +y cos

=cos sin sin +cos xy

= Rxy

QuedemuestranqueResunarotacionderadentornoal origen.Porejemplo,secalcularalaimagende(1, 1)para =2(gura1.9(b)).R211

=cos2sin2sin2cos2 11

=0 11 0 11

: 11

121.2.5. ProyeccionesLasproyeccionesdelplanosobreunarectatambiensontransformacionesdelplano.Nosinteresanlasproyeccionesortogonalessobrelarectaquepasanporelorigen,enespecialsobrelosejescoordenados.LasproyeccionesPxsobreelejexyPysobreelejey(gura1.10)seexpresanporPx(x, y) = (x, 0) Py(x, y) = (0, y)lascualessontransformacionesmatricialesconmatrices1 00 0 0 00 1

Figura1.10:Proyeccionesortogonalessobrelosejes.1.3. TransformacioneslinealesLas transformaciones lineales son mapeos de importancia fundamental en el algebra linealyensusaplicaciones. Sontransformacionesentreespaciosvectorialesqueconservanlasumavectorialylamultiplicacionporescalar.Enestasecciondeniremosunatransfor-macionlinealysemostraranvariosejemplos.Denicion1.2. (transformacioneslineales)13SeaV, Wdosespaciosvectoriales.Unatransformacionlineal (0mapeolineal)deV aWesunatransformacionT: V Wtal queparatodoslosvectoresuyvdeV ycualquierescalarc,1. T(u+v)=T(u)+T(v);2. T(cu)=cT(u).El signo+enu+vesunasumaenV , mientrasqueel signo+enT(u) + T(v)esunasumaenW. Del mismomodo, lasmultiplicacionesescalarescuycT(u)seefect uanenV yW,respectivamente.EnelcasoespecialV= W,latransformacionlinealT: V VsellamaoperadorlinealdeV.Figura1.11:Transformacionlineal.Ejemplo1.5. DemuestrequelastransformacionesT: R2R2denidaporTxy

=2x 3yx +4y

eslinealSolucion1.5.Sean u =x1y1

y v=x2y2

14EntoncesT(u +v) = Tx1y1

+x2y2

= Tx1 + x2y1 + y2

=2(x1 +x2) 3(y1 +y2)(x1 +x2) + 4(y1 +y2)

=2x13y1x1+4y1

+2x23y2x2+4y2

= Tx1y1

+Tx2y2

= T(u) + T(v)Paratodoescalarc,T(cu) = Tcx1cy1

=2cx13cy1cx1 + 4cy1

= c2x13y1x1 + 4y1

= cTx1y1

= cT(u)Sesatisfacenambaspartesdeladenici`on,demodoqueTeslineal.Ejemplo1.6. DemuestrequelatransformacionT: R3R2eslineal:T(x, y, z) = (x z, y +z)Solucion1.6.Sean u = (x1, y1, z1) y v= (x2, y2, z2).15EntoncesT(u +v) = T(x1 + x2, y1 +x2, z1 +z2)= ((x1 +x2) (z1 +z2), (y1 +y2) + (z1 +z2))= (x1z1, y1 +z1) + (x2z2, y2 +z2)= T(u) +T(v)demuestralaparteunodeladenicion.Ejemplo1.7. (Transformacionesmatriciales)Demuestrequetodatransformacionmatricial eslinealSolucion1.7. Deacuerdoconel Teorema1.2delaseccion1.1, ambaspropiedadesdeladenicionsecumplen. Practicaremosvolviendoadesarrollarlademostracion. Si T:RnRm, entonces T(x) = Ax es una transformacion matricial, y T(x+y) = A(x+y) =Ax +Ay= T(x) +T(y)T(cx) = A(cx) = c(Ax) = cT(x)Enconsecuencia,Teslineal.Ejemplo1.8. (Transformacionlineal geometrica)Demuestrequelasreexiones,cortesodesplazamientos,compresiones-estiramientos,to-dosconrespectoalosejescoordenados, lasrotacionesconrespectoal origenyalaspro-yeccionessobrelosejesdecoordenadassontransformacioneslineales.Solucion1.8. Todos estos mapeos4sontransformaciones matriciales, basandoseenlaseccion1.1Enconsecuencia,seg unel ejemplo1.7,sonlineales.1.3.1. PropiedadesdelastransformacioneslinealesTeorema 1.3.T: V Wes una transformacion lineal si y solo si para todos los vectoresv1yv2 V,ytodoslosescalaresc1yc2,secumpleT(c1v1 +c2v2) = T(c1v1) +T(c2v2)= c1T(v1) +c2T(v2)Demostracion. SiTeslineal,entoncesT(c1v1 +c2v2) = T(c1v1) +T(c2v2)= c1T(v1) +c2T(v2)4Las reexiones con respecto a cualquier recta que pasa por el origen y las proyecciones sobre cualquierrecta que pasa por el origen son tambien transformaciones matriciales(es decir, lineales).16deacuerdoconlaspartes1y2deladenicion1.2Alainversa,siTesunatransformaciontalqueT(c1v1 + c2v2) = c1T(v1) + c2T(v2)paratodos v1, v2 Rny todos c1, c2 R. entonces si igualamos c1= c2= 1 obtenemos la parte1deladenicionyhaciendoc2= 0seobtienelaparte2.As las transformaciones lineales mapean una combinacion lineal de vectores en la mismacombinacionlinealdelasimagenesdeesosvectores.Teorema1.4. T: V Wesunatransformacionlineal.Entonces1. T(0) = 0;2. T(u v) = T(u) T(v).Demostracion. 1. Deacuerdoconlaparte2deladenicion1.2,T(0) = T(0v) = 0T(v) = 02. Seg unelteorema1.3,haciendoquec1= 1yc2= 1,T(u v) = T(1u + (1)v) = 1T(u) + (1)T(v) = T(u) T(v)Ejemplo1.9. Esf: R2R2unatransformacionlineal,denidaporf(x, y) = (x, 1)?Solucion1.9. Si f fueralineal, entoncesf(0, 0)seria(0, 0), conbaseenlaparte1delteorema4.Sinembargo,f(0, 0) = (0, 1),porlotantofnoeslineal.Ejemplo1.10. Compruebequelatransformacion0 : V Weslineal.Solucion1.10. Siuy vsonvectoresdeV ycesunescalar,entonces0(v +u) = 0 = 0 + 0 = 0(v) + 0(u)y0(cv) = 0 = c0 = c0(v)LatransformacionI : V V queconviertecadavector deV ensi mismosellamatransformacionidentidaddeV.I(v) = v v V.Ejemplo1.11. (Homotecia)Paraunescalarjoc,compruebeque T: V V eslineal.T(v) = cv17Solucion1.11. Seanu, w V yr R.Teslineal,porqueT(u + w) = c(u +w) = cu +cw = T(u) + T(w)T(ru) = c(ru) = r(cu) = rT(u)AlatransformaciondelejemploNselellamahomotecia.Sic > 1,lahomoteciaesunadilatacion,ysuefectosobrevesestirarloenunfactordec.Si0 < c < 1,lahomoteciaesunacontraccion, ysuefectosobrevesencogerlaenunfactordec(gura1.12). Sic < 0,estatransformacioninvierteladirecciondev.Figura1.12:Dilatacionycontraccionporunfactorde2.Ejemplo1.12. (proyeccionaal rectaquepasaporel origen)SiuesunvectorjodistintodeceroenR3,latransformacionT: R3R3denidaconlaproyeccionortogonal decadav R3sobreueslineal (gura1.13).T(v) =v uu uuSolucion1.12. PuestoqueT(c1v1 +c2v2) =(c1v1 +c2v2) uu uu =c1v1 u +c2v2 uu uu= c1v1 uu u u +c2v2 uu u u = c1T(v1) +c2T(v2)Loanteriorsedemostroseg unelteorema1.3.1.4. MatrizdeunatransformacionlinealEnestenumeral segeneralizarael conceptodematrizestandardeunatransformacionmatricial.Sedemostraraquetodatransformacionlinealentreespaciosvectorialesdedi-mensionesnitaspuederepresentarsecomounatransformacionmatricial.18Teorema1.5. (Matrizdeunatransformacionlineal)SeaT : VWunatransformacionlineal entredosespaciosvectorialesV y Wddedimensionesnitas.SeaB= {v1, ..., vn}unabasede V yB

= {v

1, ..., v

m}unabasedeW.LamatrizAmxncuyascolumnasson[T(v1)]B , ..., [T(vn)]B

Esla unicamatrizquesatisface[T(v)]B = A[v]BDemostracion. Como Bgenera a V , hay escalares c1, ..., cntales que v= c1v1+ +cnvn.AsT(v) = c1T(v1) + +cnT(vn)PorqueTeslineal.Porconsiguiente[T(v)]B = c1[T(v1)]B+ +cn[T(vn)]B

= A

c1...cn= A[v]BLa vericacion de que A es la unica matriz con la propiedad [T(v)]B = A{v}Bpara todov VDenicion1.3. LamatrizAdel teorema1.5sellamamatrizdeTconrespectoaByB

.SiV= WyB= B

,AsellamamatrizdeTconrespectoaB(gura1.13).Observaciones1. El teorema 1.5 es muy util. Si conocemos A es posible evaluar T(v) calculando [T(v)]B

comoA[v]B,locualestansolounamultiplicaciondematrices.19Figura1.13:Matrizdeunatransformacionlineal.[NAKOS]2. La matriz de Tdepende de T, By B

. Aun cuando se modica el orden de los vectoresenunadelasbases,lamatrizTcambiaEl teorema1.5tienelaconsecuenciaimportantedequelas unicastransformacioneslinealesdeRnaRmsonlastransformacionesmatriciales.Teorema1.6.Toda transformacion lineal T: RnRmes una transformacion matricialDemostracion. SeanByB

las bases estandar deRnyRm, respectivamenteentoncesseg unelteorema1.5,hayunamatrizAtalque[T(v)]B = A[v]BPara todo v Rn. Pero como T(v) = [T(v)]B y A[v]B= Av para bases estandar, tenemosT(v) = AvPorconsiguiente,TesunatransformacionmatricialcuyamatrizestandaresA.Ejemplo1.13. SeaT: R2R3latransformacionlineal denidaporxy

=

2x + yx yx + 4y20yseanB= {v1, v2}yB

= {v

1, v

2, v

3}lasbasesdeR2yR3,dondev1= e2v2= e1yv

1= e3, v

2= e2v

3= e1respectivamente,(a) DeterminelamatrizAdeTconrespectoalasbasesByB

.(b) LamatrizestandardeTesigual queAdel inciso(a.)?(c) Eval ueT 46

enformadirectayapartirdel inciso(a.).Solucion1.13.(a) Enestecaso,T(e2) = T01

=

114y T(e1) = T10

=

211Acontinuacionnecesitamos[T(e2)]B y[T(e1)]B .Esfacil vericarque

114B

=

411y

211B

=

112Porconsiguiente,A =

4 11 11 2(b) La matriz estandar de T, que tambien es la matriz de Tcon respecto a la base estandar,es

2 11 11 4quenoesigual queA.(c) Al sustituirenlaformulaparaT,seobtieneT 46

=

2102021Porotrolado,parausarAsenecesita 46

B,quees64

.Demaneraque,T 46

B

=

4 11 11 264

=

20,010,02,0As,porladeniciondeunvectorcoordenadoconrespectoaB

.T 46

= 20

00110

0102

100=

2,010,020,01.5. TransformacionesanesDenicion1.4. SeaAunamatriz mxn, unatransformacionafnT : RnRmtienelaformaT(x) = Ax +bParaalg unvectormjob. Estatransformacionesnolineal si b =0. Porloanterior,T(0) =0. Enel casoespecial enquem=nyAsealamatrizI deidentidad, n n,entoncesT(x) = Ix + b = x + bAesaTselellamatraslacionporb.Unatraslacionporunvectorb = 0desplazaaunagurasumandobatodossuspuntos.Unatransformacionafnesunatransformacionlinealseguidadeunatraslacion.Figura1.14:(a)Traslacion,(b)transformacionafn:rotacionydespuestraslacion.La gura 1.14(a) muestra la imagen S del cuadrado S despues de la traslacion por (2,-1).Lagura1.14(b)muestralaimagenSdelcuadradoSbajolatransformacionafn.22T(x) =2222 2222x + 20

Tconsisteenunarotacionde45seguidadeunatraslacionpor(2, 0).Lastransformacionesanesconn = m = 2yn = m = 3sonmuy utilesparalasgracasencomputadora.Ejemplo1.14. ObtenerlatransformacionafnTqueconvirtiolaimagenizquierdadelagura1.15enladerecha,puestoqueseusaronlospuntossiguientes:(1, 0), (0,7, 0,7), (0, 1), (0,7, 0,7), (1, 0), (0,7, 0,7), (0, 1), (0,7, 0,7), (1, 0)cuyasrespectivasimagenesfueron:(2, 1), (2,05, 0,3), (1,5, 0), (0,65, 0,3), (0, 1), (0,05, 1,7), (0,5, 2), (1,35, 1,7), (2, 1)Figura1.15:Traslacioncondeslizamientodeunpolgono.Solucion1.14. SeanT(x) = Ax +bconb =b1b2

yAa bc d

.EntoncesTx1x2

=a bc d x1x2

+b1b2

=ax1 + bx2 +b1cx1 +dx2 +b2

yaqueT01

=a +b1c +b2

=21

23T01

=b +b1d +b2

=1,50

T 10

= a +b1c +b2

=01

llegamosal sistemaa +b1= 2c +b2= 1b +b1= 1,5d +b2= 0a +b1= 0c +b2= 1cuyasolucionesa = 1, b = 0,5, c = 0, d = 1yb1= 1, b2= 1.Demodoque,T(x) = Ax +b =1 0,50 1

x +11

Porloanterior,Tesel deslizamientoen0,5alolargodel ejexseguidodelatraslacionpor(1, 1).Siobservamoslagura1.16,latransformacionafnTsedescribeconlarotacionde45en direccion positiva en torno al eje zseguida de una traslacion por (1, 1, 1), esto se aplicoaltetraedrodelaizquierdayprodujoeltetraedrodeladerecha.T(x) =

22220222200 0 1x +

111Figura1.16:Tetraedrogiradoytrasladado.24Captulo2MonstruosMatematicasLahistoriadelosfractalescomienzaanalesdelsiglo XIX,enelsiglo XXpermanecenenestado de quietud. En el ultimo cuarto del siglo XX y casi en paralelo a la evolucion de lainvestigaciondelossistemascaoticos,losfractalesvancobrandounaugecreciente,hastaconvertirseenunconceptocadavezmasextendidoentodaslasciencias.Enesteapartadonosintroduciremoseneltemamostrandoalgunosfractalesfamosos.2.1. FractalesA nales del siglo pasado, el matematico Charles Hermite tildaba de plaga lamentablelafascinacion que algunos otros matematicos sentan por determinadas curvas que desaabanlos cimientos de la geometra de la epoca. Muchos como el consideraban patologicas aqueltipodecurvas, desentendiendosedesusinsolitaspropiedades. UnodeaquellosprimerosmonstruosgeometricoseraeldenominadoconjuntodeCantor.Sudeniciones:Setomaunsegmentodedeterminadalongitud(porejemploelintervalo[0, 1]delarectareal)ysedivideentressegmentosdeiguallongitud,seeliminaelsegmentocentralyelprocesoserepiteconlosdosnuevossegmentosresultantes. El resultadoderepetiresteprocesoinnitasveces(pasoallmite)eselconjuntodeCantor.Unespectadorinnitesimal queobservaralarepeticionanteriorduranteunaeternidad,noterminaraporverdesaparecerlatotalidaddeloslospuntos. El consolidadosistemadedemedidasdela epoca(medidadeLebesgue)dabaparadichoconjuntomedidanula.Tardeotempranosetuvoqueaceptarqueaquelsistemademedidaserainsuciente.En 1890, Peano ideo otro de tales rarezas: una curva que rellenaba el plano Como podauna region cuadrada del plano ser una curva? A nos mas tarde Hilbert ideo una curva conidenticapropiedadperodemassencillaelaboracion.25Otroejemploesel delacurvaideadaporel MatematicoHelgeVonKochen1904. Unsegmentosedivideentrespartesiguales, suplantandolacentral porlosdossegmentosquejuntoadichaparteformaranuntrianguloequilatero. El procesoserepiteinnitasveces con los cuatro segmentos resultantes. Una caracterstica sorprendente de la curva deKochesqueunpermetroinnitoalojaunareanita.Todasestasformashanterminadoportransformarmuchosdelosconceptosdadosporvalidos hasta el siglo pasado, terminando en la denominada teora geometrica de la medidadesarrolladaenlasprimerasdecadasdel sigloXX. UnodelosaspectosmasimportantessurgidosdeestateoraeslaredeniciondelconceptodedimensionacargodeHausdor,quepermitequeestascurvastengandimensionfraccionaria.LacurvadeKochtieneunadimensiondeHausdorde1, 2618locual indicaqueestamas cercadeser unarecta(dimension1)queunaarea(dimension2).LostrabajosdeHausdorfueroncontinuadosdurante la decada de los a nos 20 del siglo XX por Besicovitch derivando la teora geometricadelamedida.Hoydatodaslascurvasanterioresestancontenidasdentrodeunaclasemasampliadeobjetosmatematicosdenominadosfractales. El terminofractal fueacu nadoporBenoitMandelbrot(descubridordeunodelosmasbellosycomplejosconjuntosmatematicos,que llevasunombre) hace apenas unos veintisiete a nos comounneologismoderivadodelapalabralatinafractus1estandoa unporestablecerladenicionexactaydenitivadel termino. Sinembargo, dealgonohayduda: lascurvasanteriormentedescritassongenuinamentefractales.Resultacuriosoquelosmatematicosquesentaronlasbasesdelateorageometricadelamedidaacomienzosdeestesiglo, lohicierondesdeunpuntodevistacompletamenteteorico,sinintuirloscambiosquehanpropiciadoalasmatematicascomotal.2.2. ElconjuntodeCantorEl conjuntodeCantor2esunejemploclasicodeconjuntononumerableconel mismocardinal queel continuo, pero, apesar de ello, conmedidadeLebesgueunidimencio-nal(longitud)nula. Una breve descripcion de esta medida puede encontrarse en el apendiceA.Paraconstruir el conjuntodeCantor separtiradel intervalounidadE0=[0, 1] R,Dividimosdichointervaloentrespartesigualesyconsideramoslosintervaloscerradosde1Aunque Mandelbrot denio el sustantivo fractal con un genero femenino, son raras las referencias encastellano que se reeren a las fractales y gran mayora las que lo hacen a los fractales.2George Cantor Nacio en San Petersburgo (Rusia). Su madre era rusa y su padre era un comerciantedanes. En 1856 la familia se traslado a Wiesbaden (Alemania),Cantor estudio los conjuntos innitos26losextremosE11=

0,13

E12=

23, 1

cadaunodeellosdelongitud13.El procesoanterior serepitesobrelos nuevos conjuntos obtenidos. Cadaunodeestosintervalos se divide en tres intervalos de igual longitud para prescindir del intervalo centralyconsiderarloscuatrointervaloscerradosE21=

0,19

E22=

29,13

E23=

23,79

E24=

89, 1

cadaunodeellosdelongitud19.Si continuamos indenidamente de esta forma, en la etapa k-esima tendremos 2kintervaloscerradosEkjconj= 1, 2, . . . , 2kcadaunodeellosdelongitud3k.Figura2.1: El conjuntoternariodeCantorseobtienedemanerainductivacomenzandoporelsegmentodeunidadyquitandoencadaetapaacadaintervaloelsegmentomedioresultantededividirloentrespartesiguales.Consideremosahoraparacadak = 1, 2, . . .elconjuntoEk=2kj=1EkjObservemos quelos conjuntos Ek, k =1, 2, . . . , formanunasucesionmonotonamentedecreciente,estoesEk+1 Ek kElconjuntolmitedeesteproceso27E=k=1Ekse denomina conjunto ternario de Cantor. En la gura 2.1 se muestran las primeras etapasdelageneraciondelconjuntodeCantor.Laspropiedadesasombrosasdeesteconjuntosonabundantes.Veamosunascuantas.EnprimerlugarobservemosqueEnoesvacoyaqueencadaEkestan, comomnimo, losextremosdelos2kintervaloscuyaunionnosdaEky,porlotanto,tambienestanenE.Ademas,elconjuntodeCantorescerradoporserintersecciondecerrados.Contodo, estosnosonlos unicospuntosdeE; si as fuera, setrataradeunconjuntonumerable.PeroEesnonumerable.Veamoslo.CadapuntodeEesrepresentabledeforma unicamediantea =a13+a232+ +an3n+ dondecadaaies0o2.Podemosentoncesescribirloenbasetrescomoa = 0.a1a2. . . an. . .Recprocamente, cadaexpresiondeestetipocorrespondeaunpuntodeE. Si Efueranumerable3podramos ordenar sus elementos. Supongamos que es cierto lo anterior y queEesnumerablea1= 0.a11a12a2= 0.a21a22a3= 0.a31a32. . . . . . . . . . . .yformemosunpunto0.b1b2. . .apartirdelasucesionanteriorconlareglasiguientesiann= 0, bn= 2siann= 2, bn= 03Unconjuntoesinnitosi tieneel mismocardinal queunaparteestrictasuya, estoes, si puedeestablecerseunaaplicacionbiyectivaentreel conjuntoyunsubconjuntopropiosuyo. Unconjuntoesnumerable si tiene el mismo cardinal que N. Cantor demostro que Qes numerable y que R es no numerable.28El n umero as formado no esta en la sucesion anterior y, sin embargo, pertenece claramenteaEy,portanto,Enopuedesernumerable.Este procedimiento es muy similar a la famosa tecnica utilizada por Cantor para demostrarlanumerabilidadde R.Aun as el conjunto de Cantor tiene medida de Lebesgue unidimensional nula. Esta medidasediscuteenel apendiceA. Paracualquieretapak, lafamiliadeintervalos {Ekj}, j =1, . . . , 2k, es un recubrimiento de Eformado por intervalos disyuntos. As se tiene, por laspropiedadesdelamedidadeLebesgue,queL1(E) L1(2kj=1Ekj) =2kj=1L1(Ekj) = 2k3k= (23)kPuestoqueladesigualdadesciertaparatodoky(23)ktiendeacerocuandoktiendeainnito,seobtieneL1(E) = 0.Aunque aqu no se demostrara, puede comprobarse, ademas, que el conjunto E no contieneintervalos,esdecir,esinnitamenteporoso.2.3. CurvasdePeanoyHilbertEn 1980 Peano construyo una curva continua que pasa por todos los puntos del cuadradounidad[0, 1]2Eraelprimerejemplodeunacurvaquellenaunespacio.A nosmastarde,Hilbertconstruyeotradel mismotipoconunaconstrucciongeometricamassimplededescribir. La curva de Hilbert se construye iterando el procedimiento que puede observarseenlagura2.2.Encadaetapacadasegmentosesustituyeporotroscuatroconlamitaddelongitud.LacurvaLmitedetalespoligonalesllenaelcuadradodeunidad.2.4. CurvadeKochEsta curva fue construida en 1904 por el matematico Helge von Koch, se parte del segmentounidad[0, 1] ysedivideentrespartesiguales, sustituyendolapartecentral porlosdossegmentosquejuntocondichaparteformaranuntrianguloequilatero.Concadaunodeloscuatrosegmentosqueas quedendeterminadosserepitelaoperacionanteriormentedescrita.seprocedeindenidamentedeestaformaobteniendoencadaetapakunapoligonal delongitud (43)k. La curva de Koch se dene como la curva lmite a que converge la sucesion29Figura2.2:PrimerasetapasdelageneraciondelacurvadeHilbert.LacurvadeHilbertesunejemplodecurvaquellenaelplano,porloquesudimensionfractales2.cuando ktiende a innito. Se trata, por tanto, de una curva de longitud innita pues (43)ktiendeainnitoconk.Masa un,lalongituddelapartedecurvacomprendidaentredospuntos cualesquiera de la misma tambien es innita. El area bajo la curva, por otra parte,vienedadaporlaserie1 + (49) + (49)2+ (49)3+ Figura2.3:PrimerospasosdelprocesodeconstrucciondelacurvadeKoch.Enellmitedadosdospuntoscualesquieradelacurvaesimposiblellegaraunodeellosdesdeelotroporencimadelacurva.Lalongituddecualquiertramodecurvaesinnita.queconvergea93asumiendoqueelarea bajoeltriangulodelaprimeraiteraciones 1.Enlagura2.3puedenverselasprimerasetapasdelageneraciondelacurvadeKoch.30Captulo3ConjuntosAutosemejantes3.1. ConjuntosautosemejantesfamososComomuestradeestosconjuntosseabordarantresconjuntoscelebres.3.1.1. ConjuntodeCantorConsideremos unsistema1, 2de dos contracciones deRde ecuaciones 1=x3y2(x) =x3+23. LaprimeratransformaI =[0, 1] enel intervalo[0,13], mientras que2(I) = [23, 1].Sabemos que el conjunto de Cantor E construido en el pagina 26 no es otro que el conjuntodelosn umerosrealesincluidosenItalesqueensusexpresionesdecimalesenbasetressologurancerosydoses.Observamosquesixesunodetalesn umeros,x3tambienloes(la division por 3 en base 3 se efect ua corriendo la coma decimal un lugar a la izquierda).Tambienx3 +23estara en el conjunto de Cantor, ya que ahora tras correr la coma un lugaralaizquierdasumaremos0, 2(enbase3).Los conjuntos 1(E) y 2(E) resultan ser aqu, respectivamente, aquellos puntos del con-junto de Cantor cuyas expresiones decimales comienzan por 0, 0 y aquellos que comienzanpor 0, 2. Entreambos re unentodos los puntos deE, siendovacasuinterseccion. He-mos probado que el conjunto de Cantor es autosemejante con arreglo a la denicion dadaanteriormente.3.1.2. ConjuntosdeCantorenR2Para obtener el conjunto de cantor en R2mostrado en la gura partiendo de un cuadradoutilizamosunsistemadecuatrosemejanzas: lasquetransformanel cuadradoinicial en31Figura3.1:Elconjuntodecantoren R2esunconjuntoautosemejantebajoelsistemadecuatrosemejanzasquetransformanelcuadradoinicialencadaencadaunodeloscuatrocuadradosdelasesquinas.cada uno de los cuadrados peque nos que ocupan sus cuatro esquinas. Mas concretamente,si 1y 2son las semejanzas del ejemplo anterior, nuestras cuatro semejanzas son ahoraFigura3.2: Lacurvade Kochse puede construir sustituyendoel segmentoI por lossegmentosI1, I2, I3, I4yrepitiendoencadaunodeellosesteprocesoindenidamenteij= (i(x), j(y)), 1 i, j 2El conjuntoEsedescomponeenlauniondecuatrocopiassemejantes, quesonprecisa-mentelasij(E).3.2. CurvadeKochConsideremoslascuatrosemejanzasdelplanoquetransformanelsegmentounitarioIenloscuatrosegmentosdelagura3.2.PuededemostrarsequelacurvadeKochesautosemejanterespectoaestascuatroseme-janzas, cada una de las cuales tiene razon13. En el captulo siguiente se dan las ecuacionesexactasdetalessemejanzas.323.3. EspaciosmetricosAntesdeprofundizarenlascaractersticasdelosconjuntosautosemejantes,esnecesariomostrar algunos conceptos sobre topologa y espacios metricos cuya comprension es vital.Aunqueenunprincipiopuedanparecerconceptosexcesivamenteabstractos, severasuutilidadalahoradeconformarunabaseteoricasolidadelageometrafractal.Se dice que d es una metrica o distanciadenida en un conjunto Xsi a cada par de puntosx, y Xselespuedeasignarunn umeroreald(x, y)talque:1. x, y X, d(x, y) 0yd(x, y) = 0 x = y2. x, y X, d(x, y) = d(y, x)3. x, y, z, X, d(x, z) d(x, y) +d(y, z)(desigualdadtriangular)Al par (X, d) se le denomina espacio metrico. Un ejemplo caracterstico de espacio metricoeselespacio Rnconladistanciaeucldeahabituald(x, y) = |x y| =

nk=1(x2ky2k)conx, y Rn.Si (X, d)esunespaciometrico, todoA Xadmitedeformanatural unametricadA,dadaparax, y ApordA(x, y) = d(x, y)lo que convierte (A, dA) en un espacio metrico del que se dice es subespaciometricodeX.Enunespaciometrico(X, d), dadounpuntox Xyunn umeroreal r>0sedenebolaabiertadecentroxyradiorcomoelconjuntoB(x, r) = {y X= d(x, y) < r}Si enestadenicionsecambia 0, por peque no que sea, existe x Atal que x > (supA) es decir, un puntoxtanproximoal supremodeAcomoqueramosSielconjuntoAescerrado(incluyeasufrontera),nosoloocurreloanterior,sinoquedehechoexistex Atal quex=supA, yentoncessupA=maxA, estoes, el supremoseconvierteenmaximo.Apartirdeestadeniciondesupremoessencilloobtenerladenmoymnimodeunconjunto.DadounsubconjuntoacotadoAenunespaciometrico(X,d)sedenediametrodeAcomo|A| =supx,yA{d(x, y)}SiAyBsonconjuntosacotadosdeX(enparticularcuandoalgunodeellossereduceaunpunto),sedenedistancia1entreAyBcomod(A, B) = infxA,yB{d(x, y)}Enunespaciometrico(X, d)unconjuntoAsellamaabiertosi paracadax AhayunabolaB(x, r) A.UnconjuntoBsellamacerradosisucomplementarioX Besabierto.Enunespaciometrico(X, d)dadoA XsellamaadherenciadeAalconjuntoA = adh(A) = {x X:paratodabolaB(x, r),B(x, r) A = }LaadherenciadeunconjuntoeselmnimoconjuntocerradoquelocontieneytambienA = adh(A) = {x : d(A, x) = 0}Unconjuntoescerradosiysolosicoincideconsuadherencia.DadoA XsellamainteriordeAalconjunto1EstadistancianocoincideconlametricadeHausdordHqueseveramasadelante; dehecho, nisiquiera es una metrica seg un la denicion anterior ya que no cumple el apartado 1.34Int(A) = {x A : B(x, r) A}El interiordeunconjuntoesel mayorconjuntoabiertocontenidoenel. Unconjuntoesabiertosiysolosicoincideconsuinterior.Unasucesion {xn}depuntosdeunespaciometrico(X, d)esconvergentesi existeunn umeroxqueveriquequeparacualquier>0existeunnatural Ntal quesi n> N,d(x, xn) < .Entoncesseescribex = lmnxn.Unaaplicacionf : X Y entredosespaciosmetricosescontinuaenx Xsi paratodo > 0existetalqued(x, y) > d(f(x), f(y)) < Si fes continua en todo punto de X, se dice que es continua en X. Una condicion necesariaysucienteparaquefseacontinuaenxesque,paratoda {xn}convergenteax,sealmf(xn) = f(lmxn)f(x)Una condicion necesaria y suciente para que fsea continua en Xes que para todo A Xseaf(adh(A)) adh(f(A))3.3.1. EspaciosmetricoscompletosycompactosEnunespaciometrico(X, d)unasucesion {xn}sellamadecauchysiparatodo>0existeunNtalquesip, q>N,d(xp, xq)>.TodasucesionconvergenteesdeCauchy,peropuedehabersucesionesdeCauchyquenoseanconvergentes.Cuandotodasucesionde Cauchy es convergente a un punto de X, al espacio metrico se le denomina completo.Unespaciometricoes compactosi paratodasucesion {xn}depuntos deXadmiteunasubsucesionconvergenteaunpuntodeX.Sonejemploscaractersticosdeconjuntoscompactoslosconjuntoscerradosyacotadosde Rn.Laimagendeunconjuntocompactoporunaaplicacioncontinuaentreespaciosmetricosesunconjuntocompacto.3.3.2. AplicacionescontractivasenespaciosmetricosUnaaplicacionf:X X,donde(X, d)esunespaciometrico,escontractivasiparax, y X, d(f(x), f(y)) k d(x, y)paracierto0 02-2Hallary= fj(x)2-3hacerx = y2-4Sii > 50,representarx553. FinParaM= 5000tendremos,engeneral,unamuybuenaaproximaciondelatractorA.Un cambio en las probabilidades asociadas al SFI va a producir un cambio en la distribu-ciondelosMpuntosqueserepresentan,loqueproduciradistintosaspectosdesombrassobreel atractor. Estopuedevericarseconel SFI paralaobtenciondel triangulodeSierpinskiconprobabilidadesp1=0, 6, p2=0, 3, p3=0, 1mostradoenelcuadro4.2.ElconjuntoresultantetraslaaplicaciondelalgoritmoaleatorioaesteSFIpuedeobservarseenlagura.f A B C D E F PROB1 0,5 0 0 0,5 0 0 0,62 0,5 0 0 0,5 0,5 0 0,33 0,5 0 0 0,5 0,25 0,5 0,1Cuadro4.2: SFIasociadoauntriangulodeSierpinski modicadomediantelavariaciondelasprobabilidadesasociadasacadaunadesustransformaciones.Figura4.11:TriangulodeSierpinskiobtenidotraslaaplicaciondelalgoritmoaleatorioalSFIdelcuadro4.2.4.4. TeoremadelCollageUnaimagenI seraunconjuntocompactoynovaciodepuntosde Rn, n=1, 2, 3. SeaI H(Rn)unaimagenrealysupongamosqueexisteunSFI {f1, f2, . . . , fN}derazonr56talqueF(I) = Ni=1fi(I)estasucientementeproximoaI,esdecir,dH(I, F(I)) Entonces si A H(Rn) es el atractor de este SFI, se tiene, aplicando el teorema del puntojoquedH(A, I) 11 rdH(I, F(I)) 1 rEsdecir,queelatractorAdelSFIseaproximabastantealaimagenrealIsiempreque>0seasucientementepeque no.Tenemosportantoelsiguientecorolariodelteoremadepuntojo.Corolario4.2. (Teoremadel collage)SeaI H(Rn)unaimagenreal ydado>0, sea {f1, f2, . . . , fN}unSFIconfactordecontractividadr,0 r < 1,tal quedH(I, F(I)) EntoncesdH(A, I) 1 rdondeAesel atractordel SFIA la vista del teorema anterior se puede observar que la aproximacion del atractor A a laimagenrealIseramejorcuantomaspeque noseaelvalordelfactodecontractividadryqueestaaproximacionnodependedeln umerodeaplicacionesqueformanelSFI.Lagranimportanciadeestesencilloresultadoestribaenlaposibilidaddesustituir laimagen Ireal por el atractor A, Siempre que la aproximacion sea lo sucientemente buena.Si el SFI correspondienteestaformadopor pocas transformaciones, almacenandoloenlugar de la imagen Ihabremos obtenido una reduccion signicativa en el espacio ocupadopor laimagen. Estafuelaideaqueabri olainvestigacionenlacompresionfractal deimagenes.4.4.1. AproximaciondeimagenesrealesmedianteSFISeai H(Rn)unaimagenreal.ElprocesoaseguirparaaproximarlamedianteSFIseraelsiguiente:571. EncontraraplicacionescontractivasfiRnRn,1 i N,talesquedH(I,Ni=1fi(I))sealomaspeque noposible.Sea,porejemplo,dH(I, Ni=1fi(I)) EntoncesdH(A, I) 1 rdondeAesel atractordel SFIyestaaproximacionseramejorcuantomaspeque nossean y r. Por ello es conveniente elegir transformaciones contractivas de la mejor razonposible, independientementedel n umerodeellas, quepuedesertamgrandecomosequiera.2. GenerarelatractorAmediantecualquieradelosalgoritmosdescritosanteriormente.Una pregunta obvia es por que no hacer que el SFI Fcomprima muy ligeramente Icon loqueladistanciadH(I, F(I))seramuypeque nayquizadH(A, I)tambienlosea,Estonofuncionara porque para tal SFI el termino11rsera muy grande y no podremos garantizarquedH(A, I)seapeque na(dehecho,noloes)4.5. UnahojadehelechofractalSea I R2la imagen de la gura que vamos a tratar de representar mediante un sistemadefuncionesiteradas.Para encontrar el SFI tenemos que descomponer esta imagen Ien partes de tal forma quecadaunadeellassepuedaobtenerapartirdelaimagentotal medianteunaaplicacioncontractiva(aserposibleafn). Una Unaposibledescomposicionseilustraenlagura4.13Enestadescomposicionutilizamos4partesquellamamosIi,1 i 4,ysecumplequeI = 4i=1Ii. Parahallar las aplicaciones quetransformanlaimagentotal I enIi,1 i 4,tenemosquesituarestaimagenenelplano R2,loquepodemoshacercomosemuestraenlagura4.14,incluyendoIenelcuadrado[12,12]x[0, 1].Deestaformalaimagenquedacentradahorizontalmenteenelorigenyesmasfaciloperar.Laaplicacionf1quenostransformaI enI1esunahomoteciacentradaenel origenderazon34seguidadeunlevegirodeangulo32ydeunatraslacionalpunto(0,14)luegof1

xy

=

cos32sin32sin32cos32

340034

xy

+

014

58Figura 4.12: La hoja de helecho que se intentara aproximar mediante un SFI aplicando elteoremadecollage.Figura 4.13: Cada una de las cuatro partes de la hoja del helecho aqu indicadas se puedeconsiderarcomoelresultadodeunaaplicacioncontractivasobrelaimagencompleta.Laaplicacionf3quenostransformaI enI3esunahomoteciacentradaenel origenderazon310respecto al eje de abscisas y25respecto al de ordenadas seguida de un giro de3,seguidadeunatraslaciondevector(0,18)f3

xy

=

cos3sin3sin3cos3

3100025

xy

+

018

Por ultimo, la aplicacion f4que transforma Ien I4es una homotecia centrada en el origende razon310respecto al eje de abscisas y12respecto al de ordenadas seguida de un giro de4yseguidadeunatraslacional punto(0,18Despuesdeasignarprobabilidades, seg unloscriteriosestablecidosenlaseccionanterior,elSFIescritoenformasimplicadaserael de el cuadro 4.3, que ejecutado mediante el algoritmo aleatorio y representando 100000puntosnosdaraprecisamentelaimagendelagura4.12.ComoejercicioellectorpuedeintentarahoraobtenerunSFIqueaproximeelarbolmos-tradoenlagura4.15. Pista: unposibleSFItienecincotransformacionesdelascuales59Figura4.14: Paraobtenerlasaplicacionescontractivasquetransformanlaimagencom-pleta del helecho en cada una de las partes indicadas en la gura 4.13,tenemos que situarlahojaenelplano R2.Silaimagensecentrahorizontalmenteenelorigen,lastransfor-macionesseobtienendemaneramascomoda.f A B C D E F PROB1 0,746 -0,073 0,073 0,746 0 0,25 0,652 0 0 0 0,25 0 0 0.033 0,15 -0,344 0,258 0,2 0 0,125 0,144 0,212 0,353 -0,212 0,353 0 0,125 0,18Cuadro4.3:Aproximacionmedianteelteoremadecollagealahojadehelecho.Laspro-babilidadesseasignaronenfunciondelareageneradaporcadatransformacion.dosconformanlaparteinferiordeltronco.4.6. FractalesenmovimientoNos vamos a ocupar aqu de la posibilidad de establecer movimiento en los conjuntos frac-tales. Puesto que los conjuntos fractales que hemos considerado en este captulo dependendirectamente de una familia de funciones contractivas parece razonable esperar que peque- nasvariaciones enestasfunciones produzcanpeque nasvariaciones enelfractal generado.Si esto fuera as, podramos producir con una sucesion de fractales muy proximos entre sunefectodemovimiento.SupongamosquelasaplicacionescontractivasquedenenunSFI {f1, f2, . . . , fN}novie-60Figura4.15:Unarbolfractal.nenunvocamentedeterminadas, sinoqueestandenidas enfunciondeunparametrop [, ] Rdel quedependencontinuamente. El siguienteteoremadeterminacomoinuyenenelatractorpeque nasvariacionesdelparametrop.Teorema4.3. Paracadap [, ] Rsea {f1(p), . . . , fN(p)}unSFIderazonr(p),0 r(p) r 0,denimosHs(E) = inf{i=1|Ai|s: {Ai}es recubrimiento de E}n umero1quemideeltama no-sdelconjuntoE,esdecir,ignorandolasirregularidadesdequetienentama nomenorque.Si hacemos tender a cero, iremos apreciando irregularidades de tama no cada vez menor.Ademas, si 0, Hs(E)aumenta, puesesun nmotomadocadavezsobreunaclasemasrestringidaderecubrimientosy,portantoexisteellmiteHs(E) = lm0Hs(E)1para una denicion precisa de los conceptos de nmo y supremo puede consultarse la pagina 3479que puede ser nito o innito. Al n umero Hs(E) se le conoce como medidas-dimensionaldeHausdor.Puededemostrarsequeladenicionesequivalentesi sesuponequelosrecubrimientosestanformadosporabiertos,porcerradosoporconexos,debidoaquetalesrestriccionesnoalteranlassumasdelodiametrosdelosconjuntosdelmismo.A.5. Dimensi ondeHausdorLamedidas-dimensionaldeHausdorcomofunciondestieneuncomportamientoespe-cial. Surangoestaformadoporuno, dosotresvalores. Estosposiblesvaloressoncero,unn umeronitoeinnito.TeoremaA.1. Seanunn umeroenteropositivoyseaEunsubconjuntoacotadode Rn.SeaHs(E) lamedidas-dimensional deHausdortal comosedeniomasarribacomo0 DH ntal queHs(E) =

sis < DH0 sis > DHEl unico n umero real DHque cumple el teorema anterior se conoce como la dimensiondeHausdordel conjunto E y se escribe tambien como DH(E). Evidentemente, los conjuntosclasicosconservansudimensionclasicabajoDH,perolosconjuntosfractalesestanahoramuchomejorcaracterizadosypodemosintentardarunadenicionprecisadeellos.Seramuysimplearmarqueunafractal esaquel conjuntocondimensionfraccionaria.Algunos fractales tienen dimension entera. Un fractal es cualquier conjunto cuya dimensiondeHausdorseamayorestrictamentequesudimensiontopologica.A.6. DistanciadeHausdorUna forma alternativa de entender la distancia de Hausdor entre dos conjuntos es a partirdelconceptodecuerpo paralelo.El cuerpo paralelodeunconjuntocompactoF, CP(A, ), eslauniondetodaslasbolas de radio d centradas en puntos del conjunto A. Si x CP(A, ) para alg un y A esd(x, y) d. Por ello, es facil comprobar que, para hallar dH(A, B), basta tomar 1y 2lomas peque nos posible de forma que A CP(B, 2) y B CP(A, 1). Entonces dH(A, B)eslamayorentrelosn umeros1y2.80FiguraA.1:CP(A, ).FiguraA.2:dH(A, B) = max{1, 2} = 1.81ApendiceBAlgunasnocionesdeHojadeCalculoLa Hoja de Calculo la invento en el a no 1978 un estudiante de la Universidad de HarvardllamadoDanBricklin,yelprogramainformaticoloescribiounamigosuyollamadoBobFramkston. Setratabadeunaaplicacionparaunmicroordenador muypopular enlosambientesuniversitariosnorteamericanosdelaepoca, el AppleII. Visicalc-queas sellamoesaprimeraHojadeCalculofuetodounexito. PosteriormenteLotus comprolos derechos y, tras sucesivas mejora.s, laconvirtioenlaLotus 1-2-3, que representoel paradigmade las Hojas de Calculodurante muchos a nos. El programasimulaunacuadrculaparecidaalashojasqueseutilizanencontabilidad.Una, Hoja de Calculo aparece en la pantalla del ordenador como una cuadrcula de celdasordenadas por las ycolumnas. Cadaceldaseidenticapor sucolumnaysula; lascolumnas se enumeran mediante la sucesion alfabetica (A, B, ..., Y, Z. AA, AB, ...) ,y laslas mediante la sucesion natural (1, 2, 3, ...), de modo que la celda G5 estara situada en la5ala, 7acolumna. Tambien podemos identicar un grupo de celdas. lo que denominamosun rango de celdas , del siguiente modo: si estan en la misma la o en la misma columna,seindicaralaprimerayla ultimaceldasseparadaspordospuntos(:); C2:H2identicael rangodeceldasdelasegundalacontenidasentrelaterceraylaoctavacolumnas.Cuando el rango de celdas ocupa un rectangulo que abarca varias las y varias columnas,quedaraidenticadose nalandolaceldaqueocupalaesquinasuperiorizquierdaylaqueesta en la esquina inferior derecha, separadas por dos plintos; E5:G8 identica. ei rango delasdoceceldaspertenecientesalaslasquinta,sexta,septimayoctavayalascolumnasquinta,sextayseptima.UnaceldadeunaHojadeCalculopuedecontenern umeros,formulasocualquierotracosa que no sean ni n umeros ni formulas, lo que denominamos texto con caracter general.Enunaceldadeunahojadecalculosepuedenescribirn umerosen:82formatodecimalnormal:3, 56notacioncientca: 2, 34e 5formatodefecha:03/4/2005formatodehora:08:20:12FiguraB.1:Notacionnumericaenhojadecalculo.FiguraB.2:Formulas.Una formula es cualquier expresion algebraica bien construida precedida por el signo igual(=)Seutilizanlossiguientessignos:83 elsigno+paralasuma elsigno paralaresta elsigno/paraladivisi on elsigno paralamultiplicaci on elsignoparalapotenciaci on ademasdetodalacolecciondefuncionesdelahojadecalculo.En una formula se puede usar, ademas de valores numericos, referencias a otras celdas queactuarancomoindeterminadasenlaexpresionalgebraica.84Bibliografa[NAKOS] NakosGeorgeyJoynerDavid,AlgebraLineal ConAplicaciones, In-ternationaThomsoneditores,S.A.,1999.[G.FRACT.] EstradaWilliamFernando, GeometriaFractal, Conceptosyprocedi-mientosparalaconstrucciondefractales, Cooperativa editorial Magisterio ,2004.[BARNS.] BarnsleyMichael,FractalsEverywhere,AcademicsPress,1988.[MANDEL.] Mandelbrot Benoit B. , La Geometria Fractal de la Naturaleza, TusquesEditores,S.A.,1997.[GUZMAN] GuzmanMiguelde,MartnMiguelA, Mor anManuelyReyesMiguel, EstructurasFractalesysusAplicaciones, Editorial Labor, S.A. ,1993.[FRACTUS] Talanquer Vicente, Fractus Fracta Fractal, Impresora y EncuadernadoraProgreso,S.A.,2002.[LATEX] RodrigodeCastroKorgi, El UniversoLatex,PanamericanaFormaseImpresos,S.A.,2003.[EXCEL] VilaFermi,MicrosoftExcel2000,AlfaomegagrupoeditorialS.A.,2000.[C.FRACT.] Monroy Olivares Cesar, Curvas Fractales,Afaomega grupo Editor,S.A.,2002.[O.FRACT.] Mandelbrot Benoit, Los Objetos Fractales,Tusquets Editores, S.A.,1988.[FRACT.] Herren Gustavo, Fractales las Estructuras Aleatorias,Editores Litera-rios,2002.85Indicealfabeticoaplicacionespaciosmetricoscontinua,35bolaabierta,33cerrada,33conjuntoabierto,34adherencia,34cerrado,34interior,34espaciometricocompacto,35completo,35sucesionespaciometricoCauchy,35convergente,35transformacionafn,22matricial,5transformacionesmatricialescompresiones,8cortes,9lineales,13proyecciones,13reexiones,7rotaciones,1186