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¿?
EN ESTA PRESENTACION SE VERA ACERCA DE INTEGRALES TRIPLES Y LAS INTEGRALES EN COORDENADAS
POLARES…
SE UTILIZARAN ALGUNAS TRANSFORMACIONES PARA EL CASO DE LAS INTEGRALES EN COORD. POLARES,
MIENTRAS QUE LA INTEGRALES TRIPLES, POR EL MOMENTO, SE MOSTRARA COMO EVALUARLAS EN FORMA
INDEFINIDA Y DEFINIDA…
𝑥𝑦𝑧2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧SOLUCION: SE INTEGRARA CON RESPECTO A LA VARIABLE QUE MANEJA LA DIFERENCIAL, UN EJEMPLO, SI LA
DIFERENCIAL FUESE DZ, SE VA INTEGRAR CON RESPECTO A Z
𝑥𝑦𝑧2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑥𝑦𝑧2 𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑥2
2𝑦𝑧2 𝑑𝑦𝑑𝑧 =
𝑥2
2𝑦𝑧2 𝑑𝑦 𝑑𝑧
= 𝑥2
2
𝑦2
2𝑧 𝑑𝑧 =𝑥2
2
𝑦2
2
𝑧2
2+ 𝐶
𝑥𝑦𝑧2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ==𝑥2
2
𝑦2
2
𝑧2
2+ 𝐶
2
𝑥𝑧4 − 3𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧
SOLUCION:
2
𝑥𝑧4 − 3𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 =
2
𝑥𝑧4 − 3𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧 =
2𝑦
𝑥𝑧4 − 3𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑧
= 2𝑦𝑧4 − 3𝑥
𝑥𝑑𝑥𝑑𝑧 = 2𝑦
𝑧4
𝑥− 3 𝑑𝑥 𝑑𝑧 = 2𝑦 𝑧4𝑙𝑛 𝑥 − 3𝑥 𝑑𝑧
= 2𝑧4𝑦 𝑙𝑛 𝑥 − 3𝑥 𝑑𝑧 =2
5𝑧5𝑦 𝑙𝑛 𝑥 − 3𝑥𝑧 + 𝐶
2
𝑥𝑧4 − 3𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 =
2
5𝑧5𝑦 𝑙𝑛 𝑥 − 3𝑥𝑧 + 𝐶
(3𝑧𝑥 − 3𝑦𝑥)𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥SOLUCION:
(3𝑧𝑥 − 3𝑦𝑥)𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 = 3𝑧𝑥 − 3𝑦𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 3
2𝑧2𝑥 − 3𝑧𝑦𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥
= 3
2𝑧2𝑥 − 3𝑧𝑦𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
3
2𝑧2𝑥𝑦 −
3
2𝑧𝑦2𝑥 𝑑𝑥 =
3
2𝑧2𝑥2
2𝑦 −3
2𝑧𝑦2𝑥2
2+ 𝐶
=3
4𝑧2𝑥2𝑦 −
3
4𝑧𝑦2𝑥2 + 𝐶
(3𝑧𝑥 − 3𝑦𝑥)𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 =3
4𝑧2𝑥2𝑦 −
3
4𝑧𝑦2𝑥2 + 𝐶
0
3
0
2
0
1
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
SOLUCION:
0
3
0
2
0
1
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 0
3
0
2 𝑥2
2+ 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧
1
0𝑑𝑦𝑑𝑧 =
0
3
0
2 1
2+ 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑦𝑑𝑧
= 0
3 1
2𝑦 +𝑦2
2+ 𝑦𝑧2
0𝑑𝑧 =
0
3
1 + 2 + 2𝑧 𝑑𝑧 = 0
3
2𝑧 + 3 𝑑𝑧 = 𝑧2 + 3𝑧3
0= 9 + 9 = 18
0
3
0
2
0
1
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 18
0
1
0
𝑥
0
𝑥𝑦
𝑥 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
SOLUCION:
0
1
0
𝑥
0
𝑥𝑦
𝑥 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0
1
0
𝑥
0
𝑥𝑦
𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0
1
0
𝑥
𝑥𝑧𝑥𝑦
0𝑑𝑦𝑑𝑥 =
0
1
0
𝑥
𝑥𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
= 0
1
0
𝑥
𝑥2𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0
1
0
𝑥
𝑥2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0
1
𝑥2𝑦2
2
𝑥
0𝑑𝑥 =
0
1
𝑥2𝑥2
2𝑑𝑥 =
0
1 𝑥4
2𝑑𝑥
=1
2
𝑥5
5
1
0=1
10−−−−−→
0
1
0
𝑥
0
𝑥𝑦
𝑥 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 =1
10
0
4
0
𝜋2 0
1−𝑥
𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥SOLUCION:
0
4
0
𝜋2 0
1−𝑥
𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0
4
0
𝜋2[ 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑧 ]
1 − 𝑥
0𝑑𝑦𝑑𝑥
= 0
4
0
𝜋2𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 1 − 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥 =
0
4
0
𝜋21 − 𝑥 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 =
0
4
1 − 𝑥 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦
𝜋20𝑑𝑥
= 0
4
1 − 𝑥 (𝑥) 𝑑𝑥 = 0
4
𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥 =𝑥2
2−𝑥3
3
4
0=42
2−43
3− 0 =16
2−64
3= 8 −64
3= −40
3
0
4
0
𝜋2 0
1−𝑥
𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 = −40
3
ALGUNAS FORMULAS PARA RECORDAR
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
𝑥 = 𝑟2 − 𝑦2
𝑦 = 𝑟2 − 𝑥2
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 =𝑦
𝑥
CONVERSION DE RADIANES A GRADOS Y VICEVERSA
DE RADIANES A GRADOS:
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 ∗180
𝜋
DE GRADOS A RADIANES
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 ∗𝜋
180
UNA PEQUEÑA NOTA:PARA CAMBIAR UNA INTEGRAL DOBLE DE COORDENADAS RECTANGULARES A COORDENADAS POLARES SE
HACE QUE, EN SU PROCESO DE TRANSFORMACION (COMENZANDO DESDE EL CENTRO HACIA AFUERA), QUE
EN LA PRIMERA INTEGRAL SU LIMITE SEA DESDE LA DISTANCIA DEL CENTRO DEL RADIO HASTA LA ORILLA DE
LA FUNCION QUE SE ESTA TOMANDO Y EN LA SEGUNDA INTEGRAL EL GIRO O LAS VUELTAS QUE SE ESTA
DANDO LA FUNCION YA QUE ES EL AREA QUE ESTA ABARCANDO. SI HAY UNA FUNCION EN LA INTEGRAL, HAY
QUE CONVERTIRLO EN COORDENADAS POLARES:
0
2𝜋
0
6
3𝑟2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃
SOLUCION:
0
2𝜋
0
6
3𝑟2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃 = 0
2𝜋
0
6
𝑠𝑒𝑛 𝜃 3𝑟2 𝑑𝑟𝑑𝜃 = 0
2𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑟36
0𝑑𝜃
= 0
2𝜋
63 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 = 216 0
2𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 = 216 −𝑐𝑜𝑠 𝜃2𝜋
0= 216 −COS2𝜋 + COS0
= 216 −1 + 1 = 0
0
2𝜋
0
6
3𝑟2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃 = 0
0
𝜋2 2
3
9 − 𝑟2 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃SOLUCION:
0
𝜋2 2
3
9 − 𝑟2 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 = −1
2 0
𝜋2 2
3
9 − 𝑟2 −2𝑟𝑑𝑟 𝑑𝜃 = −1
2 0
𝜋2 9 − 𝑟2
32
32
3
2𝑑𝜃
= −1
2 0
𝜋2 2
39 − 𝑟2
323
2𝑑𝜃 = −
1
2 0
𝜋2 2
3032 −2
3532 𝑑𝜃 = −
1
2 0
𝜋2−2
3532𝑑𝜃
= −1
2−2
3532 0
𝜋2𝑑𝜃 =1
3532 0
𝜋2𝑑𝜃 =1
3532 𝜃
𝜋20=1
3532𝜋
2=𝜋
6532
0
𝜋2 2
3
9 − 𝑟2 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 =𝜋
6532
0
𝑎
0
𝑎2−𝑦2
𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
SOLUCION: SE RECOMIENDA TRANSFORMAR DE COORDENADAS RECTANGULARES A COORDENADAS
POLARES, YA QUE LA SOLUCION PUEDE SER MAS FACIL EN UNA INTEGRAL QUE LA OTRA…
0
𝑎
0
𝑎2−𝑦2
𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 ⇒ 0
𝜋2 0
𝑎
𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∗ 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃
Y CONTINUAMOS CON LAS SOLUCION DEL PROBLEMA
0
𝜋2 0
𝑎
𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∗ 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃 = 0
𝜋2 0
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑟2 𝑑𝑟𝑑𝜃 = 0
𝜋2𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑟3
3
𝑎
0𝑑𝜃 =
0
𝜋2 𝑎3
3𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃
=𝑎3
3−COS𝜃
𝜋/2
0=𝑎3
3−𝑐𝑜𝑠𝜋
2+ 𝑐𝑜𝑠 0 =
𝑎3
30 + 1 =
𝑎3
31 =𝑎3
3
PORLO TANTO, EL RESULTADO FINAL ES:
0
𝑎
0
𝑎2−𝑦2
𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 =𝑎3
3
0
3
0
9−𝑦2
𝑥2 + 𝑦232 𝑑𝑥𝑑𝑦
SOLUCION:
0
3
0
9−𝑦2
𝑥2 + 𝑦232 𝑑𝑥𝑑𝑦 ⇒
0
𝜋2 0
3
(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃)2+(𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃)232 ∗ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
0
𝜋2 0
3
(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃)2+(𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃)232 ∗ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 =
0
𝜋2 0
3
𝑟2𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃32 ∗ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
= 0
𝜋2 0
3
𝑟2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃32 ∗ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 =
0
𝜋2 0
3
𝑟2 132 ∗ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 =
0
𝜋2 0
3
𝑟232 ∗ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
= 0
𝜋2 0
3
𝑟3 ∗ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 = 0
𝜋2 0
3
𝑟4𝑑𝑟𝑑𝜃 = 0
𝜋2 𝑟5
5
3
0𝑑𝜃 =
0
𝜋2 35
5𝑑𝜃 =35
5 0
𝜋2𝑑𝜃35
5𝜃
𝜋20
=35
5
𝜋
2=243
10𝜋 −−−−−→
0
3
0
9−𝑦2
𝑥2 + 𝑦232 𝑑𝑥𝑑𝑦 =
243
10𝜋
BIBLIOGRAFIAS
• LARSON, HOSTETLER Y EDWARDS, “CALCULO DE VARIAS VARIABLES-MATEMATICAS 3”, EDITORIAL MC
GRAW HILL, 2009, 352 PAGS.
• W. SWOKOWSKI, EARL, “CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA”, SEGUNDA EDICION, E.U.A, 1097 PAGS.
