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Sistemas de Controle 2Cap.8 - Técnicas do Lugar das Raízes
Pontifícia Universidade Católica de Goiás
Escola de Engenharia
Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro
Sistemas de Controle 2Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro
Cap.8 - Técnicas do Lugar das Raízes
8. Técnicas do Lugar das Raízes
8.1 Introdução
8.2 Definindo o Lugar das Raízes
8.3 Propriedades do Lugar das Raízes
8.4 Esboçando o Lugar das Raízes
8.5 Refinando o Esboço
8.6 Um Exemplo
8.7 Projeto de Resposta Transitória Através do Ajuste de Ganho
8.8 Lugar das Raízes Generalizado
8.9 Lugar das Raízes para Sistemas com Retroação Positiva
8.10 Sensibilidade dos Pólos
Bibliografia principal:
Engenharia de Sistemas de Controle – Norman S. Nise
8.5 Refinando o Esboço
O esboço pode ser refinado através do cálculo dos:
- Pontos de entrada ou saída do eixo real.- Pontos sobre o eixo imaginário (𝑗𝜔)- Ângulos de partida dos pólos complexos e ângulos de chegada em zeros complexos
Programas em PC/calculadoras/celulares
Régua usada antigamente para o cálculo dos pontos notáveis no plano complexo
Spirule (Espírula)
O método moderno é a utilização de programas de computador.
8.5 Refinando o Esboço
Pontos de Saída e de Chegada sobre o Eixo Real
Ponto de entrada
Ponto de
saída
Ângulo dos ramos do lugar das raízes quando entram ou saem do eixo real:
n = número de pólos
Exemplo:
2 pólos ângulo = 90 grausRamos a 90 graus
Ramos a 90 graus
8.5 Refinando o Esboço
Pontos de Saída e de Chegada sobre o Eixo Real
Ganho=0
Ganho>0 (aumentando)
Ganho máximo no eixo real entre os pólos
(ponto de saída)
Ganho mínimo no eixo real entre os zeros(ponto de entrada)
Ganho>0 (aumentando)
Ganho infinito
8.5 Refinando o Esboço
Pontos de Saída e de Chegada sobre o Eixo Real
Esboço do valor dos ganhos no eixo real
Ganho máximo no eixo real entre os pólos
(ponto de saída)
Ganho mínimo no eixo real entre os zeros(ponto de entrada)
8.5 Refinando o Esboço
Pontos de Saída e de Chegada sobre o Eixo Real
Três métodos para encontrar os pontos de entrada e saída:
Método 1) Método do cálculo diferencial- Maximizar e minimizar o ganho K usando cálculo diferencial
𝜎1 → 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎𝜎2 → 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑎í𝑑𝑎
Curva K versus 𝜎
8.5 Refinando o Esboço
8.5 Refinando o Esboço
Retirando do gráfico pólos e zeros em malha aberta e montando equação:
Sabe-se que todos os pontos sobre o lugar das raízes:
8.5 Refinando o Esboço
Isolando K:
Derivando e igualando a zero:
Sobre o eixo real:
8.5 Refinando o Esboço
Derivando e igualando a zero:
𝑑𝐾
𝑑𝜎=
− 𝜎2 + 3𝜎 + 2 ′ 𝜎2 − 8𝜎 + 15 − − 𝜎2 + 3𝜎 + 2 𝜎2 − 8𝜎 + 15 ′
(𝜎2 − 8𝜎 + 15)2
𝑑𝐾
𝑑𝜎=
− 2𝜎 + 3 𝜎2 − 8𝜎 + 15 − − 𝜎2 + 3𝜎 + 2 2𝜎 − 8
(𝜎2 − 8𝜎 + 15)2
8.5 Refinando o Esboço
Resolvendo:
8.5 Refinando o Esboço
Os pontos de saída e de entrada satisfazem a relação:
Método 2) Método de transição
É uma variação do método com cálculo diferencial. É chamado método de transição e elimina a etapa da derivação (Franklin, 1991)
Onde zi e pi são, respectivamente, os negativos dos valores dos zeros e dos pólos de G(s)H(s).
8.5 Refinando o Esboço
Retirando do gráfico pólos e zeros em malha aberta:
Solução:
Aplicando a equação:
8.5 Refinando o Esboço
Simplificando:
8.5 Refinando o Esboço
Método 3) Cálculo por programa de computador – MATLAB e outros
Experiência realizada no laboratório 1 do capítulo 8.
Clique em cima do ponto e descubra seu valor juntamente com o ganho.
8.5 Refinando o Esboço
Pontos de Interseção do Eixo 𝒋𝝎
Pontos que separam entre o comportamento estável e o instável
O valor de 𝜔 no ponto de interseção fornece a frequência de oscilação.
Exemplo ao lado:O ganho no ponto de interseção com o eixo imaginário é o valor limite máximo para estabilidade do sistema.
8.5 Refinando o Esboço
Pontos de Interseção do Eixo 𝒋𝝎
Uma das formas de encontrar o ponto sobre 𝒋𝝎 é aplicando o critério de Routh-Hurwitz Cap. 6 (Controle I)
8.5 Refinando o Esboço
Pontos de Interseção do Eixo 𝒋𝝎 através do Critério de Routh-Hurwitz
8.5 Refinando o Esboço
Pontos de Interseção do Eixo 𝒋𝝎 através do Critério de Routh-Hurwitz
𝑇 =𝐺
1 + 𝐺
𝐺 =𝐾(𝑠 + 3)
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 4)
𝑇 = (𝐾 ∗ (𝑠 + 3))/(𝑠 ∗ ((𝐾 ∗ (𝑠 + 3))/(𝑠 ∗ (𝑠 + 1) ∗ (𝑠 + 2) ∗ (𝑠 + 4)) + 1) ∗ (𝑠 + 1) ∗ (𝑠 + 2) ∗ (
T=
8.5 Refinando o Esboço
Pontos de Interseção do Eixo 𝒋𝝎 através do Critério de Routh-Hurwitz
−1 147 8 + 𝐾
7=90 − 𝐾
7
−1 3𝐾7 07
=21𝐾
7
−7 8 + 𝐾
90 − 𝐾 2190 − 𝐾
=−𝐾2 − 65𝐾 + 720
90 − 𝐾 −90 − 𝐾 21𝐾
−𝐾2 − 65𝐾 + 72090 − 𝐾
0
−𝐾2 − 65𝐾 + 72090 − 𝐾
= 21𝐾
8.5 Refinando o Esboço
Pontos de Interseção do Eixo 𝒋𝝎 através do Critério de Routh-Hurwitz
Uma linha completa de zeros resulta na possibilidade de raízes no eixo imaginário.
Raizes:
8.5 Refinando o Esboço
Pontos de Interseção do Eixo 𝒋𝝎 através do Critério de Routh-Hurwitz
Formando o polinômio par usando a linha 𝑠2
Se duas linhas puderem ser iguais multiplicando-se uma dela por um valor positivo então teremos um polinômio par na linha
8.5 Refinando o Esboço
Pontos de Interseção do Eixo 𝒋𝝎 através do Critério de Routh-Hurwitz
Formando o polinômio par usando a linha 𝑠2
90 − 9.65 𝑠2 + 21(9.65) = 0
𝑠 =
O lugar das raízes cruza o eixo j𝜔 em ±𝑗1,59 com um ganho de 9,65.O sistema é estável para um ganho de 0 até 9.65
8.5 Refinando o Esboço
Pontos de Interseção do Eixo 𝒋𝝎 através do Critério de Routh-Hurwitz
Formando o polinômio par usando a linha 𝑠3
𝑠 =
O lugar das raízes cruza o eixo j𝜔 em ±𝑗1,59 com um ganho de 9,65.O sistema é estável para um ganho de 0 até 9.65
7*𝑠3+(8+9.65)*s=0
7*𝑠3+(8+K)*s=0
8.5 Refinando o Esboço
Ângulos de Partida e de Chegada
Para esboçar corretamente o lugar das raízes, é preciso calcular o ângulo de partida do lugar das raízes a partir dos pólos complexos e o ângulo de chegada aos zeros complexos.
Considere o sistema com realimentação unitária abaixo:
Para encontrar o ângulo de partida dos pólos complexos:
1°) Marque no plano complexo todos os pólos e zeros do sistema a malha aberta:
8.5 Refinando o Esboço
Ângulos de Partida e de Chegada
Zeros: -2Pólos: -3, -1+j,-1-j
2°) Escolher um pólo ou zero complexo e determinar os ângulos das retas que partem dos demais pólos e zeros até o pólo escolhido.
Pólo complexo 1
Pólo complexo 2Ângulo de saída = 𝜃1
8.5 Refinando o Esboço
Ângulos de Partida e de Chegada
Zeros: -2Pólos: -3, -1+j,-1-j
2°) Escolher um pólo ou zero complexo e determinar os ângulos das retas que partem dos demais pólos e zeros até o pólo escolhido.
𝜃2 =90°
Pólo complexo 1
𝜃2 =90°
8.5 Refinando o Esboço
Ângulos de Partida e de Chegada
Zeros: -2Pólos: -3, -1+j,-1-j
2°) Escolher um pólo ou zero complexo e determinar os ângulos das retas que partem dos demais pólos e zeros até o pólo escolhido.
𝜃3
Pólo complexo 1
𝜃2 =90°
𝜃3 = 𝑡𝑔−11
1= 45°
𝜃3 1
1
8.5 Refinando o Esboço
Ângulos de Partida e de Chegada
Zeros: -2Pólos: -3, -1+j,-1-j
2°) Escolher um pólo ou zero complexo e determinar os ângulos das retas que partem dos demais pólos e zeros até o pólo escolhido.
𝜃4
Pólo complexo 1
𝜃2 =90°
𝜃3 = 𝑡𝑔−11
1= 45°
𝜃41
2
𝜃4 = 𝑡𝑔−11
2= 26,56°
8.5 Refinando o Esboço
Ângulos de Partida e de Chegada
3°) Calcular ângulo de saída considerando que os ângulos que partem dos pólos são negativos e os ângulos de chegada nos zeros são positivos e a soma deles é igual a um múltiplo impar de 180:𝜃1
Pólo complexo 1
𝜃2 =90°
𝜃3 = 𝑡𝑔−11
1= 45°
𝜃4 = 𝑡𝑔−11
2= 26,56°
−𝜃1 − 𝜃2 +𝜃3 −𝜃4 = (2𝑘 + 1)180
−𝜃1 − 90 + 45 − 26.56 = 180
𝜃1 = −251.6 = 108.4
8.5 Refinando o Esboço
Ângulos de Partida e de Chegada
𝜃1 = 108.4
8.5 Refinando o Esboço
Traçando e Calibrando o Lugar das Raízes
Devemos poder localizar pontos específicos sobre o lugar das raízes bem como encontrar seus ganhos associados.
Por exemplo:
Determinar ponto exato no qual o lugar das raízes cruza a reta de relação de amortecimento igual a 0,45 e o ganho nesse ponto.
8.5 Refinando o Esboço
Traçando e Calibrando o Lugar das Raízes
Para o ponto onde r=2:
Não é múltiplo impar de 180.Não é faz parte do lugar das raízes.
Para o ponto onde r=0.747: ângulo=-180
Faz parte do lugar das raízes
Ganho neste ponto: