SISTEMA DIÉDRICO

El punto

Ejercicio Nº 59Dada la proyección horizontal A' de un punto A, determinar la proyección vertical, sabiendo que A dista 3 unidades de la LT.En la fig. en el espacio se ve que la distancia OA = d =3, la cota h y el alejamiento l, forman un triángulo rectángulo del que conocemos la hipotenusa d y el cateto l y como es lógico el ángulo recto

d

A

O

A''

A'

h

l

Datos las proyecciones del punto A = A’-A’’

A''

A'

L T

1º Con centro en la proyección que conocemos en este caso A' trazamos un arco de radio 3 unidades en nuestro caso 3 cm., que corta a la LT en el punto M, la longitud OM = h es la longitud del cateto que nos falta del triangulo rectángulo anterior en nuestro caso la cota del punto.

A''

O

A'

d =3

ML T

2º Trazamos el arco de centro O y radio OM = h, su intersección con la línea de referencia nos da las proyecciones vértices del punto A'' y B''. Puesto que existen dos soluciones

A''

O

A'-B'

d =3

B''

h

l

ML T

Ejercicio Nº 60Dado un punto A situado en el plano horizontal, hallar otro punto de dicho plano que diste 5 unidades de A y 2 de LT.Vemos en la fig en el espacio el procedimiento. Por estar a 2 unidades de la línea de tierra y estar el punto en el plano horizontal PH estará en una paralela a la LT m y n, que distan 2 u. Y por estar a 5 unidades de A y este estar situado en el PH tendrá que estar en una circunferencia de centro A' y radio 5u. Donde se corten las paralelas y la circunferencia se encontraran los puntos pedidos.

A'

3u. 3u.

5u.

E'

B'

D'

C'

A''

n

m

Datos el punto A dado por sus proyecciones A’ y A’’

TL

A'

A''

1º Trazamos una circunferencia de radio 5u. con centro en A'.

TL

A'

A''

5u.

2º Trazamos dos paralelas a la LT a una distancia de 2u.

TL

A'

A''

5u.

2u.

2u.

m

n

3º Los puntos de corte de las paralelas con la circunferencia son los punto solución, B'-B'', C'-C'' y D'-D''.El problema puede no tener solución, una solución, dos, tres o cuatro como en nuestro caso. Dependiendo de las distancias y de la posición

TL

A'

A''

E'B'

D'C'

C'' D''

E''B''

5u.

2u.

2u.

m

n

Ejercicio Nº 61Dado un punto A = A'-A'', halar otro punto de su mismo cuadrante, de igual alejamiento que A, que diste 3 unidades del horizontal y 4 del punto dado.En la fig. en el espacio se ve como es el problema, como el punto que tenemos que determinar tiene que tener el mismo alejamiento tiene que estar situado en un plano paralelo al plano vertical PV, tiene que estar en el mismo cuadrante y estar a 3u del PH es decir cota -4 y como tiene que estar a 4u del punto A tiene que estar situado en una circunferencia de radio 4u. como vemos tenemos dos soluciones.

AA''

A'

B

C

4u

3u

s

Dado el punto a por sus proyecciones A’ y A’

A''

A'

L T

1º Trazamos una paralela a 3u de la LT recta s que se encuentre en el 4º diedro.

A''

A'

L T

s

3u

2º Trazamos el arco de centro A'' y radio 4u que corta a la recta s en B'' y C'', proyecciones verticales de los puntos buscados.

A''

A'

B''

L T

sC''4u

3u

3º Por A' trazamos una paralela a la LT dado que los puntos buscados tienen que tener el mismo alejamiento.

A''

A'

B''

L T

sC''4u

3u

4º Por B'' y C'' se trazan perpendiculares a la LT y obtenemos las proyecciones horizontales B' y C'

A''

A'

B''

L T

s

C'

C''

B'

4u

3u

Ejercicio Nº 62Dado un punto A = A'-A'' situado en el tercer cuadrante, hallar su simétrico B, respecto al primer bisector.En la fig. en el espacio vemos como se soluciona el problema. Hallamos el simétrico de A, que nos determina el punto B, si determinamos las proyecciones de ambos punto A y B vemos como la cota de uno el igual al alejamiento del otro y viceversa. También podemos resolverlo si determinamos la 3º proyección, se halla el punto B y sus proyecciones.

PV

PH

L

T

1º Bisect

A

B

A'

A''

B'

B''

a

a

b

b

1º Datos las proyecciones del punto A = A'-A''.

TL

A'

A''

2º Trazamos una recta cualquiera PV que nos divide el espacio en cuatro diedros, trazamos el 1º bisector (bisectriz del 1º y del 3º diedro).

TL

A'

A''

1º Bisect

PV

PH

3º Hallamos la 3º proyección del punto A. Por A' y A'' trazamos paralelas a la LT. Donde la paralela por A' corta PV punto 1 Trazamos un arco de circunferencia que corta a la LT en el punto 2 por este trazamos una perpendicular a la LT que corta a la paralela por A'' en el Punto A''' que es la 3º proyección de A.

TL

A'

A'' A'''

1º Bisect

PV

PH

1

2

4º Hallamos el simétrico de A''' respecto al 1º bisector (por A''' trazamos una perpendicular al 1º bisector, hacemos centro en 3 y con radio 3-A''' trazamos un arco de circunferencia que corta a la perpendicular en B''' que es el simétrico de A).

TL

A'

A'' A'''

B'''

1º Bisect

PV

PH

1

2

3

5º Desabatimos el punto B''' de la siguiente forma, trazamos por B''' paralelas a LT y a PV, la paralela a LT corta en B'' a la línea de referencia del punto A = A'-A'' la paralela a PV corta en 4 a la LT llevamos esta distancia sobre PV y trazamos la paralela a la LT que corta a la línea de referencia en B' que es la proyección horizontal de B.

TL

A'

A''

B''

B'

A'''

B'''

1º Bisect

PV

PH

1

2

3

4

6º También vemos que se cumple que la cota de A es igual al alejamiento de B, y el alejamiento de A es la cota de B por lo que podríamos trazar directamente las proyecciones de B.

TL

A'

A''

B''

B'

A'''

B'''

1º Bisect

a

b

b

a

PV

PH

1

2

3

4