-
Bezmemorijski sustav
ima svojstvo da odziv sustava ovisisamo o trenutnoj vrijednosti
ulaznog signala, a ne
onjihovim prethodnim ili buducim vrijednostima.
Memorijski signal
oznakau( -inf;t]kazuje kako je u odredivanju odziva y, utrenutku
t, potrebno poznavati ulazni
signal, ne samo utrenutku t, vec i na cijelom intervalu (
-inf;t]
Nekauzualni sustav
trenutni odziv sustava je bio posljedica trenutne i proslih
vrijednosti ulaznog signala.
Vremenski stalan sustav
su sustavi koji nemijenjaju parametre tijekom vremena.
Linearan sustav
linearne sustave obiljezava i vazno svojstvo po kojem je zaulaz
jednak nula i izlaz jednak nula
y1=S(u1); y2=S(u2)
S(a*u1) +S(b*u2) =a*y1+b*y2
BIBO stabilnost
sustav je BIBO stabilan ako je za svaki omedeni ulaz njegov
odziv takoder omeden.
|u(t)| =< Mu |y(t)| =< My< inf
|u(n)| =< Mu |y(n)| =< My< inf
Konvolucijski zbroj
Y(n)=(u*h)(n)= u(m)h(n m)=
-svojstva: 1) y(n)=(u*(h1+h2))(n)=(u*h1)(n)+(u*h2)(n)
2) komutativnost (x1*x2)(n)=(x2*x1)(n)
3) komutativnost (x1*(x2*x3))(n)=((x1*x2)*x3)(n)
4) (E-p(x1)*E-q(x2))(n)=y(n-p-q)= x1(j)x2(n p q j)=
5) (x*)(n)= x(m)(n m) = x(n)=
-
Konvolucijski integral
= ( ) =
-svojstva: 1)komutativnost (x1*x2)(t)=(x2*x1)(t)
2)distributivnost (x1*(x2+x3))(t)=(x1*x2)(t)+(x1*x3)(t)
3)asocijativnost (x1*(x2*x3))(t)=((x1*x2)*x3)(t)
4)pomak (E-1t1(x1)*E-1
t2(x2))(t)=y(t-t1-t2)
5)
( ) = = ()
Jednadba diferencije(diskretni)
Nepobueni sustav-> je komponenta totalnog odziva koja je
posljedica samo
djelovanja pocetnih uvjeta y0(n)= yh(n)
Mirni sustav-> je komponenta odziva koja je posljedica
djelovanja pobude uz pocetne
uvjete jednake nuli ym(n)= yh(n)+yp(n)
Prirrodni sustav-> yprirodni(n)=y(n)-yp(n)
Prislini-> yprisilni(n)=yp(n)
Totalni odaziv:
1) odaziv nepobuenog sustava +odaziv mirnog sustava
*y(n)=y0(n)+ym(n)]
2) homogeno + partikularno [ Y(n)=yh(n)+yp(n) ]
-partikularno rijeenje:
u(n) y(n)
A (konst) K
Arn Krn
Arn, r=qi Knrn
AnM K0+nK1+.....+nMKM
rnnM rn(K0+nK1+.....+nMKM)
Acos(0n) K1 cos(0n)+K2 sin(0n)
Asin(0n) K1 cos(0n)+K2 sin(0n)
-
Dif jedn.(kontinuirani)
Nepobueni sustav-> je komponenta totalnog odziva koja je
posljedica samo
djelovanja pocetnih uvjeta y0(t)= yh(t)
Mirni sustav-> je komponenta odziva koja je posljedica
djelovanja pobude uz pocetne
uvjete jednake nuli ym(t)= yh(t)+yp(t)
Prirrodni sustav-> yprirodni(t)=y(t)-yp(t)
Prislini-> yprisilni(t)=yp(t)
Totalni odaziv:
1) odaziv nepobuenog sustava +odaziv mirnog sustava
*y(t)=y0(t)+ym(t)]
2) homogeno + partikularno [ Y(t)=yh(t)+yp(t) ]
-partikularno rijeenje:
u(t) y(t)
A (konst) K
Art Krt
Art, r=qi Knrt
AtM K0+tK1+.....+tmKM
rttM rt(K0+tK1+.....+tMKM)
Acos(0t) K1 cos(0t)+K2 sin(0t)
Asin(0t) K1 cos(0t)+K2 sin(0t)
-poetni uvjeti su objanjeni na slubenom alabahteru
Frekvencijska karakteristika sustava(kontinuirani)
u(t)=Uest=U(cos(t)+sin(t))
yp(t)=Yest=H(j)Uejt
H(-j)= H*(j)
s=j
-amplitudna frekvencijska karakteristika : |H(j)|= ( H j )2 + (
H j )2
-fazna frekvencijska karakteristika : H j = arctg( H j
H j )
1) arctg(
)
2) arctg(
)=- arctg(
)
-
3) arctg(
)=- arctg(
)
4) arctg(
)= + arctg(
)
-prisilni odaziv: yp(t)= | H(j))|Ucos(0n+ kut[H(j)]) ->
umjesto cos moze biti sin
ako je je on na ulazu, a cos je ako
njega imamo na ulazu
-sustav je stabilan ako je realni dio pola negativan
-Re[H(j)] parna funkcija od
-Im[H(j)] neparna funkcija od
-| H j | parna funkcija od
- kut[H(j)] neparna funkcija od
Frekvencijska karakteristika sustava(diskretni)
u(n)=Uzn
y(n)=H(z)Uzn
H(z)= =
z=ej
-amplitudna frekvencijska karakteristika : |H(ej)|= ( H ej )2 +
( H ej )2
-fazna frekvencijska karakteristika : H ej = arctg( H ej
H ej )
1) arctg(
)
2) arctg(
)=- arctg(
)
3) arctg(
)=- arctg(
)
4) arctg(
)= + arctg(
)
-prisilni odaziv: yp(n)= | H(ej |Ucos 0n+ kut[H(e
j)]) -> umjesto cos moze biti sin
ako je je on na ulazu, a cos je ako
njega imamo na ulazu
-sustav je stabilan ako su realni dio polova negativan
-
-Re[H(ej)] parna funkcija od
-Im[H(ej)] neparna funkcija od
-| H(ej | parna funkcija od
- kut[H(ej)] neparna funkcija od
Z transformacija
X(z)= ()=0
z=rej
-apsolutna konvergencija sume garantira i konvergenciju X(z)
-osnovne z transformacije:
x(n) X(z)
(n) 1
(n-m) z-m
(n)
1
n (n)
( 1)2
n2 (n) ( + 1)
( 1)3
n3 (n) (2 + 4 + 1)
( 1)4
an (n)
nan (n)
( )2
n2 an (n) ( + )
( )3
( + )
!
( )+1
cos(0n)(n) ( cos 0 )
2 2 cos 0 + 1
sin(0n) (n) sin 0
2 2 cos 0 + 1
an cos(0n)(n) ( cos 0 )
2 2 acos 0 + 2
an sin(0n) (n) sin 0
2 2 cos 0 + 2
-svojstva: 1)linearnost w(n)=a x(n)+b y(n) -> W(z)=a X(z)+b
Y(z)
-
2)pomak Z{x(n+p)}=zp[X(z)- ()1=0 ]
3) Z{x(n-p)}=z-p[X(z)- ()1= ]
4)konvolucijski zbroj h(n)*u(n)H(z)U(z)
5)mnoenje s 'an' Y(z)=Z{y(n)}=Z{anx(n)}=X(
)
Npr. y(n)=x(n)cos(0n)=x(n)0.5[e-jn + ejn]
Z{ x(n)cos(0n)}=0.5[X(zej)+X(z e-j)]
6)mnoenje s 'n' Y(z)=Z{np x(n)}=(
)pX(z)
7)poetna vrijednost niza x(0)=lim ()
8)konana vrijednost niza lim1 1 1 () = lim ()
-inverzna z transformacija:
1)razvoj u red X(z) =x(0) +x(1)z -1+x(2)z -2+x(3)z -3+...
->
-> x(n) =x(0)(n)+x(1)(n 1)+x(2)(n 2)+x(3)(n -3)+...
- razvoj u red za X(z) postizemo dijeljenjem brojnika s
nazivnikom
2)rastavom na parcijalne razlomke
-brojnik treba biti polinom veceg reda nego nazivnik, ako nije
tako onda se
mora dijelit brojnik s nazivnikom
-rastavimo na parcijalne razlomke(postupak ima objasnjen u 14.
cijelini 52.
slajd) i prepoznamo oblik te ga pretvorimo iz frekvencijske
domene u
vremensku
Laplaceova transformacija
X(s)= ()
0
s= +j
- L transformacija postoji za sve signale koji ne rastu brze od
nekog eksponencijalnog
signala Ceat i vrijedi : | | <
0; |x(t)|Ceat; >a
-osnovne L transformacije:
x(t) X(s) (t) 1 (t-) e-s
-
(t) 1
t(t) 1
2
tj (t) !
+1
eat(t) 1
teat(t) 1
( )2
tj eat(t) !
( )+1
cos(bt)(t)
2 + 2
sin(bt)(t)
2 + 2
e-atcos(bt)(t) +
( + )2 + 2
e-atsin(bt)(t)
( + )2 + 2
re-atsin(bt+)(t) ( + ( ()
2 + 2 + (2 + 2)
re-atsin(bt+)(t) 0.5
+ +
0.5
+ +
-svojstva: 1) linearnost w(t)=a x(t)+b y(t) -> W(s)=a X(s)+b
Y(s)
2)vremenski pomak L{x(t-)(t-)}=e-sX(s)
3)fazni pomak L{x(t)eat}=X(s-a)
4) L{x(at)}=1
x(
)
5)konvolucija L{[x1(t)(t)* x2(t)(t)]}=X1(s)X2(s)
6)vremenska derivacija L{()
}=sjX(s)- 1=1 (0
)
7)integracija u vremenu L{
0}=
1
X(s)
8)frekvencijska derivacija L{(-t)jx(t)}= [
0()=
( )
-inverzna L transformacija:
-rastavom na parcijalne razlomke:
-
- nazivnik treba biti polinom veceg reda nego brojnik, ako nije
tako onda se
mora dijelit brojnik s nazivnikom
-rastavimo na parcijalne razlomke(postupak ima objasnjen u 15.
cijelini 34.
slajd) i prepoznamo oblik te ga pretvorimo iz frekvencijske
domene u
vremensku
