Embed Size (px)
Citation preview
1
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA
Sinusna teorema glasi:
Stranice trougla proporcionalne su sinusima njima naspramnih uglova.
Rcba
2sinsinsin
===γβα
Odnos dužine stranica i sinusa naspramnog ugla trougla je konstanta i jednak je dužini
prečnika (2R) kružnice opisane oko trougla.
Sinusna teorema se primenjuje:
1) Kada su data dva ugla i jedna stranica
2) Kada se date dve stranice i ugao naspram jedne od tih stranica
Kosinusna teorema glasi:
Neka su a,b,c dužine stranica i , ,α β γ veličine odgovarajućih unutrašnjih uglova trougla
ABC. Tada je:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc
b a c ac
c a b ab
α
β
γ
= + −
= + −
= + −
Kosinusna teorema se primenjuje:
1) Kad su date dve stranice i ugao izmedju njih
2) Kad su date sve tri stranice trougla
2
Još neke važne ''stvari'' koje se izvode iz sinusne i kosinusne teoreme su:
→ Površina trougla je:
→ Površina trougla je R
cbaP
4
⋅⋅= , R je poluprečnik opisane kružnice i P r s= ⋅ gde je
2
cbas
++= poluobim a r je poluprečnik upisane kružnice
→ Težišne linije se izračunavaju:
→ Proizvod dijagonala tetivnog četvorougla (oko koga može da se opiše kružnica)
jednak je zbiru proizvoda naspramnih strana.
bdacnm +=⋅
Ptolomejeva teorema
→ Ako su 1d i 2d dijagonalne konveksnog četvorougla i α ugao koji one grade.
Površina tog četvorougla je:
1sin
2
1sin
2
1sin
2
P bc
P ac
P ab
α
β
γ
=
=
=
2
22
2
22
2
22
222
222
222
cbat
bact
acbt
c
b
a
−+=
−+=
−+=
3
αsin2
121 ddP ⋅=
Zadaci:
1) U trouglu ABC dato je 045=α , 060=β i poluprečnik opisanog kruga 62=R . Odrediti ostale osnovne elemente bez upotrebe tablica.
____________
62
60
45
=
=
=
R
o
o
β
α
Najpre ćemo naći ugao γ
Rcba
2sinsinsin
===γβα
Iskoristićemo sinusnu teoremu.
⇒= Ra
2sinα
o
ooo
oje
75
)6045(180
180
=
+−=
=++
γ
γ
βα
34
341222
264
45sin622
sin2
=
==⋅=
⋅=
=
a
a
a
Ra
o
α
4
⇒= Rb
2sin β
⇒= Rc
2sin γ
2) Odrediti stranicu b trougla ABC ako su njegove stranice cmccma 6,32 == i
ugao 0105=β
?
105
6
32
____________
=
=
=
=
b
cmc
cma
oβ Ovde ćemo upotrebiti kosinusnu teoremu!!!
βcos2222 accab −+=
Ajmo prvo da nadjemo o105cos
)4560cos(105cos ooo +=
4
)31(2
2
2
2
3
2
2
2
1
45sin60sin45cos60cos
−=⋅−⋅=
−= oooo
36
361822
364
60sin622
sin2
=
==⋅=
⋅=
=
b
b
b
Rb
o
β
( )332
dim2
1
2
2
2
3
2
264
)30sin45cos30cos45(sin64
)3045sin(64
75sin62
sin2
+=
→
⋅+⋅⋅=
+⋅=
+⋅=
⋅=
=
c
osrec
c
c
Rc
jeRc
oooo
oo
o
5
proverimo→+=+ 2)33(3612
3612
3369
333232
2
+=
++=
+⋅+=
3) U trouglu ABC dato je AB=24cm, AC=9cm i ugao 060=α . Odrediti bez upotreba tablica, stranicu BC i poluprečnik opisane kružnice.
A B
C
a
c=24cm
b=9cm
cma
a
a
a
a
bccba
o
21
441
441
2
1249257681
60cos2492249
cos2
2
2
222
222
=
=
=
⋅⋅⋅−+=
⋅⋅⋅−+=
−+= α
33
)33(
3612
366612
)31(6612
4
)31(26322)6()32(
22
2
2
2
222
+=
+=
→+=
+−+=
−−+=
−⋅⋅⋅−+=
b
b
trikmalib
b
b
b
??,
60
24
9
__________
==
=
=
=
Ra
cmc
cmb
oα
6
⇒= Ra
2sinα
4) U trouglu ABC razlika stranica a i b jednaka je 3cm ugao 060=γ i poluprečnik
opisane kružnice cmR3
37= . Odrediti stranice trougla ABC.
?,,
3
37
60
3
_____________
=
=
=
=−
cba
R
cmba
oγ
⇒= Rc
2sin γ
cmR
R
R
emoracionališR
R
R
Ro
37
3
321
3
3
3
21
3
21
3
422
2
2
3
21
260sin
21
=
=
⋅=
=
=
=
=
cmc
c
c
Rc
o
7
2
3
3
372
60sin3
372
sin2
=
⋅⋅=
⋅⋅=
= γ
7
bbbbb
bbbb
bbbb
abbac
o
39649
2
1)3(2)3(49
60cos)3(2)3(7
cos2
222
22
222
222
−−+++=
⋅+−++=
+−++=
−+= γ
→=−+ 04032 bb kvadratna jednačina ‘’po b’’
5
2
133
1
2,1
=
±−=
b
b
→−= 82b ovo nije rešenje jer ne može dužina stranice da bude negativan broj.
Dakle 5=b
8
35
3
=
+=
+=
a
a
ba
5) U krugu su date tetive AB=8cm i AC=5cm. One grade medjusobni ugao 060=α . Izračunati poluprečnik opisane kružnice.
cma
a
a
a
a
bccba
o
7
49
4089
2
14026425
60cos85285
cos2
2
2
2
222
22
=
=
−=
⋅⋅−+=
⋅⋅⋅−+=
−+= α
⇒= Ra
2sinα
?
60
8
5
____________
=
=
=
=
R
cmc
cmb
oα
3
37
3
3
3
7
3
7
2
3
72
260sin
7
=
⋅=
=
=
=
R
R
R
R
Ro
8
6) Ako su stranice trougla 2,,2 +− aaa i jedan ugao iznosi 0120 , odrediti stranice.
a
a-2a+2
o120
Pazi: o120 je ugao naspram najveće stranice (a+2)
−⋅−−−+=+
−−−+=+
−+=
2
1)2(2)2()2(
120cos)2(2)2()2(
cos2
222
222
222
aaaaa
aaaaa
abbac
o
γ
)2()2()2( 222 −+−+=+ aaaaa
aaaaaaa 24444 2222 −++−+=++
0)5(2
1020 2
=−
−=
aa
aa
→= 0a nemoguće
5=a
7
2
3
3252
=
+=
=
=−=−=
c
ac
b
ab
7) Ozračinati visinu fabričkog dimnjaka koji se nalazi na horizontalnom nepristupačnom tlu, ako se vrh dimnjaka iz tačke A vidi pod uglom α , a iz tačke B pod uglom β . Tačke A i B pripadaju takodje horizontalnoj ravni a njihovo rastojanje AB= a . Osa dimnjaka i tačke A i B leže u istoj ravni. Ovde je najvažnije skicirati problem!!!
2
2
+=
−=
=
ac
ab
aa
9
βα −
β
A B
V
.
0 a. .
x
Obeležimo traženu visinu sa OV=X
Prvo nadjemo nepoznate uglove OVA∠ i AVB∠
⇒
−=∠
−=∠
β
αo
o
OVB
OVA
90
90
Primenimo sinusnu teoremu na trougao ABV
)sin(
sin
sin)sin( βαβ
ββα −=⇒=
−a
AVAVa
sad primenjujemo definiciju sinusa na pravougli trougao VOA.
⇒=AV
Xαsin
βααβ
αβ
−=∠
+−−=
−−−=
∠−∠=
AVB
OVAOVBAVB
oo
oo
9090
)90()90(
)sin(
sinsin
)sin(
sinsin
)(sin
βαβα
βααβ
α
−=
−=
=
aX
aX
AVX
10
8) U trouglu ABC dato je ,1=−ba ,2
3=ch R=4. Bez upotreba tablica izračunati α .
?
4
2
3
1
________
=
=
=
=−
α
R
h
ba
c
Najpre ćemo upotrebiti obrasce za površinu trougla:
2
chcP⋅
= , R
abcP
4=
Dakle:
Sada napravimo sistem:
3
2
71
012
12)1(
1
12
1
1
2,1
2
___________
=
±−=
=−+
=+
+=
=
=−
b
b
bb
bb
ba
ab
ba
42 −=b Nemoguće
Dakle 44133 =⇒=+=⇒= aab
12
2
342
42
2
42
42
=
⋅⋅=
⋅⋅=
=
=
=⋅
ab
ab
hab
Rhab
Rhab
R
abchc
c
c
c
c
11
Dalje iskoristimo sinusnu teoremu:
⇒= Ra
2sinα
Znamo da je o30=α jer je 2
130sin =o
Dakle o30=α
9) Odrediti stranice trougla površine 33=P , ako je ugao 060=α i zbir stranica koje zahvataju dati ugao b+c=7
Ovdećemo iskoristiti obrazac za površinu trougla:
Dalje ćemo oformiti sistem jednačina:
12
7
=
=+
bc
cb
Izrazimo c=7-b i zamenimo u bc=12
2
1sin
8
4sin
2sin
=
=
=
α
α
αR
a
?,,
7
60
33
___________
=
=+
=
=
cba
cb
P
oα
12
3
3
2
133
60sin2
133
sin2
1
=
⋅=
=
=
bc
bc
bc
bcP
o
α
12
43
34
2
17
0127
127
12)7(
7
2
1
2,1
2
2
=⇒=
=⇒=
±=
=+−
=−
=−⋅
−=
cb
cb
b
bb
bb
bb
bc
Znači imamo dve mogućnosti:
3,41 == cb ili 4;32 == cb
Upotrebimo sad kosinusnu teoremu:
13
13
1225
2
1122916
60cos34234
cos2
2
2
2
222
222
=
=
−=
⋅⋅−+=
⋅⋅⋅−+=
−+=
a
a
a
a
a
bccba
o
α
10) U tetivnom četvorouglu ABCD dijagonala BD je normalna na stranicu BC, ugao ABC= 0120 , ugao BAD= 0120 , DA=1. Izračunati dijagonalu BD i stranicu CD Odavde je vrlo važno nacrtati skicu i postaviti problem, rešenje zatim dolazi samo po
sebi:
A
BC
D
1200
1 β
.
13
Pošto je oABC 120=∠ i oABDBCBD 30=∠⇒⊥ a kako je oo ADBBAD 30120 =∠⇒=∠ naravno trougao ABD je jednakokraki 1=⇒ AB a onda
nije teško naći DB
→⋅⋅⋅−+= oDB 120cos11211 222 Kosinusna teorema
3
3
2
1211
2
2
=
=
−⋅−+=
DB
DB
DB
pošto se radi o tetivnom četvorouglu, zbir naspramnih uglova je isti!!!
030120120 ++=+ βα oo
βα += o30 i važi još o90=+ βα pa je :
oo 30,60 == βα
Primenimo definiciju:
2
3
2
3
360sin
=
=
=
CD
CD
CD
o
