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INNOVACIÓN EDUCATIVA, n.º 20, 2010: pp. 15-35 15
Significado referencial y perSonal de nocioneS algebraicaS en educación Secundaria.
el caSo del número áureo
joséantoniocajaravillepegitoUniversidadedesantiagodecompostela(españa)
tâniac.rochasilvagusmãoUniversidadeestadualdosudoestedaBahia(Brasil)
FranciscoM.rodríguezMayoi.e.s.M.a.gonzálezestévez.carril-pontevedra(españa)
RESUMEN eneste trabajo,enmarcadoenelproyectode investigación“Problemática didáctica del estudio del álgebra en educación secundaria”1, presentamos un estudio sobre el significado de referencia y elsignificadopersonal,atribuidoalnúmeroáureo,φ,respectivamenteporunlibrodetextodematemá-ticasde1ºdebachilleratoyporestudiantesdesecundariaydela licenciaturadematemáticasenlaUniversidad de santiago de compostela (Usc). el análisis del contraste de ambos significados, serealizautilizandolasherramientasteóricasdelenfoqueontosemióticodelacognicióneinstrucciónmatemática(eos).Palabras clave:Didácticade laMatemática,significadoreferencialypersonal,estudiodelálgebra,configuracionesepistémicaycognitiva.
ABSTRACT inthispaper,framedintheresearchproject“educationalproblemsofthestudyofalgebrainsecondaryeducation”,wepresentastudyofthereferencemeaningandthepersonalmeaningattributedtothegoldenratio,φ,respectivelybyatextbookofsecondarymathematicseduca-tionandhighschoolstudentsandundergraduatemathematicsattheUniversityofsantiagodecompostela(Usc).theanalysisofthecontrastofthetwomeanings,isperformedusingthe theoretical tools of onto-semiotic approachofmathematical cognition and instruction(eos).Keywords:Mathematicseducation,referentialandpersonalmeaning,studyofalgebra,epis-temicandcognitiveconfigurations.
Recibido: 10/XI/09. Aceptado: II/20101 proyectosubvencionadoporelMcyt-FeDer:sej2004-07346,Ministeriodecienciaytecnología,plan
nacionaldeinvestigacióncientífica.Desarrolloeinnovacióntecnológica.Madrid. investigadorprincipal:joséa.cajaravillepegito.investigadores:luiscachafeirochamosa,teresaFer-
nándezBlanco,patriciaFerrojove,tania,c.r.s.gusmão,HumbertogusmãodeMoura,pedroa.labra-ñaBarrero,auroraplatacasais,ManuelrodriguezMayo,juliorodrígueztaboadayMªjesússalinasportugal.
16 joséantoniocajaravillepegitoyotros:Significado referencial y personal
1. IntroduccIón
siel reconocimientodeφ,comonúmero, fueproblemáticopara losgrandesmatemáticosgriegosenfrentadosalproblemadelcálculodelarazónentreelladoyladiagonaldelpentágonoregular,porsucarácterirracional,resultaverosímilquetambiénplanteedificultadesdesignificadoparalosestudiantesdeenseñanzasecundaria.
esnecesario,portanto,elestudiodedichaproblemática.paraellodebemospresentaralgu-nasnocionescentralesparaladidácticadelamatemática,comosonlasdesignificadoreferencialypersonaldeunobjetomatemático,delasquesóloharemosunabrevereferencia,dentrodelmarcoteóricoconocidocomoenfoqueontosemióticodelacognicióneinstrucciónmatemáticas(eos).
posteriormente,tomandocomoreferenciaellibrodetextodeMatemáticas(colera,garcía,gazteluyoliveira,2002)paraelnivelde1ºcursodebachillerato,opcióndecienciassociales,paralacomunidadautónomadegalicia(encuyoscentrosescolaresdichotextogozadeampliaimplan-tación)analizaremoselsignificadoreferencialdelnúmero áureo,queestosautorespresentandentrodelaunidadtemática“númerosreales”,ylaproblemáticadidácticaquepuededesencadenardichosignificadodecaraalacomprensión,porpartedelosestudiantesdeestenivel(einclusodeniveluniversitario),queestudianesteobjetomatemático,apartirdelainformaciónquelesofrecedichotexto.Mostramoslosconflictossemiótico/cognitivosquesederivandedichoestudio,atravésdelanociónde“dualidadexpresión/contenido”,queconsideralasdisparidadesentrelaexpresiónqueponeenjuegounemisor(profesor,texto,etc.)yelcontenidoqueinterpretaelreceptor(estudiante,lector,etc.)quequieredecirelemisor.
2. nocIones teórIcAs
2.1. Algunos estudios sobre dificultades de aprendizaje de nociones algebraicas
comoseseñalaenelDiseñocurricularBasedelMinisteriodeeducaciónycienciaespañol(1989)elaprendizajedelálgebraresultaunescolloimportanteparaunbuennúmerodealumnos,debido—entreotrascosas—almayorgradodeabstracciónquerequierelautilizacióndesímbolos—significantes—,amenudosinsignificadoinmediato.lasinvestigacionessobrepensamientoalge-braicosecircunscribenadiferentesmarcosteóricosentrelosquedestacamos:
a)elmarcodelapsicologíacognitiva,bajoelqueseidentificanlosfactoresqueinfluyensobrelaenseñanza-aprendizajedelálgebra,queponendemanifiestolasconsecuenciaslimitativasdeconsiderarelálgebracomoaritméticageneralizada(KieranyFilloy,1989;Kieran,1992),pres-cindiendodesupotencialcomomodelodeorganizacióndeotrasobrasmatemáticas(Bolea,Boschygascón,2001).
b)elenfoquelingüístico,queconsideraallenguajealgebraicocomoellenguajebásicodelasmatemáticas,centrandoelinterésenelestudiodelossistemasderepresentaciónsemióticos(Kaput,1987;janvier,1987;Duval,1993)queconstatanlanecesidaddeaceptarquelaapropiacióndeunobjetomatemáticodifícilmenteselograsinlaadquisicióndediversasrepresentacionessemióticasdelmismo.
INNOVACIÓN EDUCATIVA, n.º 20, 2010: pp. 15-35 17
c) el enfoque antropológico y ontosemiótico (chevallard, Bosch y gascón, 1997; Bolea,Boschygascón,2001;godinoyBatanero,1994;godino,2002),que,adoptandounpuntodevistapragmático,centransuatenciónenelanálisisdelsignificadode losobjetosmatemáticos tantoanivelpersonalcomoinstitucional,estudiandolosfenómenosderivadosdelatransposicióndidácti-caescolartratandodeintegrarlosaspectossintácticos,semánticos,pragmáticosysocioculturales.comoproblemasespecíficosdelprocesodeenseñanza-aprendizajedelálgebraseidentifican:
• Dificultades asociadas a los procesos de evolución del pensamiento algebraico en losestudiantes,queprovocanquelosconocimientosadquiridos,enunadeterminadaetapa,se conviertan enmodelos implícitos inadecuadospara la adquisicióndenuevos cono-cimientos.estooriginaobstáculosepistemológicosydidácticos(Brousseau,1983)queconstituyenunafuentedeerroressistemáticosypersistentesquedebensuperarseparalograrnuevosaprendizajes.
• seidentificantresgruposdeerrores(palareaysocas,1994):a)losqueseoriginanporlaexistenciadeobstáculoscognitivos;b)loserroresdelálgebraquesederivandeerroresprocedentesdelestudiodelaaritméticayc)losdebidosalascaracterísticaspropiasdellenguajealgebraico.socas(1997),identifica,asimismo,tresgruposdeerroresquetienensuorigenen:a)unobstáculocognitivo;b)ausenciadesentidodelossistemasderepre-sentación;yc)actitudesafectivasyemocionales.
2.2. El Enfoque Ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática (EOS)
elanálisisdidácticodesignificadosdenocionesmatemáticas,constituyeelnúcleodelmarcoteóricoconocidoporenfoqueontosemióticodelacognicióneinstrucciónmatemáticas(eos).esteprogramadeinvestigaciónvienesiendodesarrolladoporgodinoycolaboradores,desdehacemásdeunadécada,(godinoyBatanero,1994;godino,2002;godino,Bataneroyroa,2005;Font,2005;godino,BataneroyFont,2006,godinoyFont,2004,2007).proponeunanálisisdelanociónde“significado”desdeunpuntodevistadidáctico,dirigido,entreotrascosas,aapoyarlosestudiosso-brelaevaluacióndelosconocimientosmatemáticos.paraesteanálisis,elmodeloteóricodesarrolla-dosebasaenlossupuestospragmáticosdelsignificadodelosobjetosmatemáticosdesdeunatripleperspectiva:institucional,personalytemporal.porsignificado deunobjetomatemático(lenguaje, problema, concepto, propiedad, procedimiento, argumento),entendemos,deacuerdocongodinoyBatanero(1994,pág.332),“elsistemadeprácticasoperativasydiscursivasqueunsujeto(personaoinstitución)realizanpararesolvercamposdeproblemasdeloscualesemergedichoobjetomatemá-tico,comunicaraotroslasolución,validarlaygeneralizarlaaotroscontextosyproblemas”.estossistemasdeprácticasconstituyenelobjetobásicoparadeanálisis(godino,2002).enesaperspecti-va,eleosconsideraque,paralarealizacióndecualquierprácticamatemática,esnecesarioactivarunconglomeradodeobjetosformadoporalgunosotodosloselementoscitados. esteconglomeradosedenominaconfiguración. estasconfiguracionespuedensercognitivas(conglomeradodeobjetospersonales)oepistémicas(conglomeradodeobjetosinstitucionales)segúnseconsiderelaprácticadesdelaperspectivapersonaloinstitucional(godino,2002,godinoyFont,2007).
godinoyFont(2007,p.2)distinguenentrediversostiposdesignificado:
18 joséantoniocajaravillepegitoyotros:Significado referencial y personal
• tiposdesignificadosinstitucionales:– Referencial:sistemadeprácticasqueseusacomoreferenciaparaelaborarelsigni-
ficadopretendido.enuna institucióndeenseñanzaconcretaestesignificadodere-ferenciaseráunapartedelsignificadoholístico (o“sabio”)delobjetomatemático.ladeterminacióndedichosignificadoglobal requiere realizarunestudiohistórico–epistemológicosobreelorigenyevolucióndelobjetoencuestión,asícomotenerencuentaladiversidaddecontextosdeusodondeseponeenjuegodichoobjeto.
– Pretendido:sistemadeprácticasincluidasenlaplanificacióndelprocesodeestudio.– Implementado:enunprocesodeestudioespecíficoeselsistemadeprácticasefectiva-
menteimplementadasporeldocente.– Evaluado: elsubsistemadeprácticasqueutilizaeldocenteparaevaluarlosaprendi-
zajes.
• tiposdesignificadospersonales:– Global:correspondealatotalidaddelsistemadeprácticaspersonalesqueescapazde
manifestarpotencialmenteelsujetorelativasaunobjetomatemático.– Declarado: da cuentade las prácticas efectivamente expresadas a propósitode las
pruebasdeevaluaciónpropuestas,incluyendotantolascorrectascomolasincorrectasdesdeelpuntodevistainstitucional.
– Logrado:correspondealasprácticasmanifestadasquesonconformesconlapautainstitucionalestablecida.enelanálisisdelcambiodelossignificadospersonalesquetienelugarenunprocesodeestudiointeresarátenerencuentalossignificadosinicia-lesopreviosdelosestudiantesylosquefinalmentealcancen”.
porotrapartediremosqueunapersona“comprende”undeterminadoobjetomatemáticosiha“captadosusignificado”,esdecir,siescapazdeinterpretary/orealizarlasprácticasadecuadaspararesolverlosproblemasasociadosadichoobjeto.lanocióndecomprensiónesevolutivaeneltiempo.enunmomentodadounapersonaposeeunacomprensiónmásomenosparcialdeunde-terminadoobjetomatemático,peroesmuydifícilquenocomprendanadaolocomprendatodoenrelacióncondichoobjeto.lainstituciónescolartienecomounodesusobjetivosnuclearesacercar,paulatinamente, el significadoqueundeterminadoestudianteposeedeunobjetomatemático, alsignificadoquedichoobjetotieneparala“matemáticasabia”,esdecir,paralacomunidaddelosmatemáticos.paraintentarlograresteobjetivo,lainstituciónescolar(escuelainfantil,primariayse-cundaria,universidad)poneenjuegounaseriededispositivosqueseconcretanenloquellamamosprocesodeinstrucción.enesteprocesoentranenjuegomuchoselementosqueinteraccionanentresí,configurandounambientedeestudiosocialmentecompartido:curriculum,profesor(a),estudian-tes,librosdetexto,nuevastecnologías,etc.
loslibrosdetextoconstituyenunelementoimportanteenelprocesodeestudio,puespre-sentanelsignificadoreferencialescolardeunconjuntodeconocimientos,socialmentedemandadosparalaformacióndesusciudadanos.lamaneraconcretadepresentarlosconocimientosaaprender,suidoneidadcognitivaydidáctica,puedenfavorecerodificultarelaprendizajedelosestudiantes.
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3. sIgnIfIcAdo referencIAl (escolAr) del número áureo
enesteapartadovamosaanalizar,alaluzdeleos,elsignificadoreferencialquesobreelnúmeroáureo(objetodenuestrointerés)plasmaellibrodetextodeMatemáticasi(colera,garcía,gazteluyoliveira,2002),citadoanteriormente.trasunabrevepresentacióndelaunidad“númerosreais”:
Figura1
planteaninmediatamente,allector,lasiguientetarea,aresolverporlosestudiantes:
20 joséantoniocajaravillepegitoyotros:Significado referencial y personal
Figuras2-3
Dospáginasmásadelante,eltextopresentaunainformaciónsobreunapropiedadgeométricadelnúmeroáureo,cuyainterpretaciónconsidera“transparente”paradichosestudiantes:
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Figura4 a continuación vamos a realizar un análisis de este texto,siguiendo el modelo onto-semiótico de godino (2002). en estapresentacióndelsignificadoreferencialdelnúmeroáureo,seenco-miendanalestudiantecinco tareas:
a)Demostrar lasemejanzadedos triángulos,con lasuge-renciadeque“bastaconprobarquetienendosángulosrespectivosiguales”;
b)Construir el modelo matemático de la relación entre lalongituddeladiagonaldelpentágonoylalongituddesulado(to-madacomounidaddelongitud),utilizandolasemejanzaanterior,
c)obtenerelvalordel(acontinuaciónfigurauntextoqueparecenoenlazarconestatarea.
Dehechosehabladeunarelaciónquesesimbolizaporφ =,queeselvalorobtenidopara
l,alresolverlatarea,esdecir,secometeunabusodelenguajequeidentificaal conφ(cambiodesímboloderepresentación,quelosautoresconsideran“transparente”)
d)Demostrarque,enelrectánguloáureo,=φ
e)Probarque,enlaconstrucción,BD=φvamosaevidenciarlacomplejidadepistemológicaysemiótica(onto-semiótica)delapro-
puestadellibrodetexto,paramostrarlashipotéticasdificultadesdeinterpretacióndelsignificadoreferencialporpartedelosestudiantesdeesteniveleducativo(conflictosderivadosdeladualidad“expresión/contenido”).
3.1. Resolución de la tarea a) por un experto
laposicióndelostriángulosBDeyBcF“noesdethales”.siseaceptalasugerenciaquesedaeneltexto,existenvariasformasdeprobarqueambostriángulostienendosángulosrespecti-vamenteiguales.consideraremosaquídosmodelosdeprueba.
Prueba 1:comoaBesparaleloaec,elánguloBdeltriánguloBDaesigualalánguloFdeBcF(alternosinternosentreparalelas),peroeltriánguloBDaesigualalBDe,porconstrucción,asíqueelánguloBanterioresigualalánguloedeBDe,portanto E °=F°;asuvez,elángulocdeBcFeselmismoángulodeBce.comolostriángulosBceyBDesoniguales,porconstrucción,sededucequeC°=D°.
Prueba 2.enelinteriordelpolígonoestrelladoseformaunpentágonoregular,suángulocentrales360/5=72º,elángulo interioressusuplementario180-72=108º.asíque(verfigurasiguiente)lasdiagonalestrazadasenelpentágonoregular trisecan cada ángulointeriordedichopentágono.losángulosdelafiguraE, D, FyC,valentodos72º.portantohemosdemostradodedosformasdistintasquelostriángulosBDEyBCFsonsemejantesportenersusángulosrespectivosiguales.
Unresolutorexperto,pararesolverestatarea,eligiendoporejemplolaformadeprueba2—que consideramos más potente, explicativamente— ha tenido que llevar a cabo las siguientesacciones:
1+√52
ABAD
22 joséantoniocajaravillepegitoyotros:Significado referencial y personal
a)leercondetenimientolainformacióntextualygráficaqueseleofreceeneltexto;b)diseñarunafiguraparaestablecerrelacionesentreángulos;c)calcularelángulointeriordelpen-tágono regular mediante la operación 360/5 = 72º; d) deducirqueelángulointerior(I)delpentágonoysuángulocentralsonsuplementariospuestoque72+I/2+I/2=180º;72+I=180º,y,por tanto dicho ángulo interior vale 180-72 = 108º; e) puestoquelosángulosinterioryexteriorsonsuplementarios(porcons-trucción),deducirqueelánguloexteriorvale72ºy,portanto,elánguloformadopordosdiagonalesdelpentágonoestrelladoqueconfluyenenunmismovértice(p.e.ena)esde36º;f)deducirquelosotrosdosángulosqueseformanena,valen,cadauno,36º,yaqueeneltriánguloisóscelesagB,elángulogvale108º
porseropuestoporelvérticealángulointeriordelpentágonoregular;g)deducir,enconsecuenciaquelasdiagonalesdelpentágonoestrelladoqueconfluyenenunmismovérticetrisecanelángulointeriordelpentágonoregular;h)deducirque,debidoalapropiedadanteriorlosánguloseyDdeltriánguloBDeyelcdeltriánguloBcFvalen72º,yqueelánguloFdeltriánguloBcFtambiénvale72º,porsersuplementariodelángulointeriordelpentágonoregular;k)argumentar,finalmente,quepuestoquelostriángulosBDeyBcFtienendosángulosrespectivosiguales,tambiéntendránigualelterceroy,portanto,tienentodoslosángulosrespectivosiguales,loquedemuestralasemejanzadeestosdostriángulos.
ladiversidaddetécnicasquesemanejanpararealizarlasaccionesquesehandescritopararesolver la tarea,asícomosuplanificación,secuenciaciónyverificación,ponendemanifiesto lacomplejidad onto-semánticadeestatarea.postulamosqueunestudiantemediodeesteniveleduca-tivotendráseriasdificultadespararesolverestatareaporsísolo,sinmásayudasquelasfacilitadaseneltexto.
3.1.1. Configuración epistémica (ideal) de la tarea a)
enesteapartado,ya títulodeejemplo,vamosarealizar,elanálisisdelosconocimientos(tiposdeobjetosyrelacionesentrelosmismos)puestosenjuegoenlaresolucióndeunatareaporunsujetoideal(experto).enelmarcodeleosestoequivaleaelaborarlaconfiguración epistémicaasociadaalaresolucióndedichatarea.
lacomparaciónentrelossignificadosatribuidosalosobjetosmatemáticospordeterminadasinstituciones(escolares,sociales)oporunapersonayunreferenteinstitucional(“matemáticasa-bia”)nospermiteidentificarconflictos semióticos entredichosagentes.Dichosconflictosserefierenatodadisparidadodesajusteentrelossignificadosatribuidosaunamismaexpresiónpordossujetos(personasoinstituciones)eninteraccióncomunicativaypuedenexplicarlasdificultadesylimitacio-nesdelosaprendizajesylasenseñanzasimplementadas.laconfiguraciónepistémicaseusarácomoreferencia para estudiar las configuraciones cognitivas de los sujetos y formular hipótesis sobreconflictossemióticospotenciales.
seidentificanlosobjetosyrelacionesprimarias(lenguajes,conceptos,proposiciones,proce-dimientosyargumentospuestosenjuego),loquepodemosdescribircomounanálisissemántico.
Figura5
INNOVACIÓN EDUCATIVA, n.º 20, 2010: pp. 15-35 23
Tabla I
LENGUAJE:
Términos y expresiones:relaciónentre ladiagonalyellado de un pentágono regular,demostrar que los triángulosBeD y BcF son semejantes,es suficiente con probar quetienendosángulosrespectivosiguales.
Gráficos:Dibujodeunpentágonoregularytrazadodesusdiagonales.
Notaciones: ABCDE, para representar elpentágono regulardevértices:A,B,C,D,E.
F para denotar un vértice quepermitaidentificaruntriángulodeterminado.
BCF y BDE, para identificardostriángulosobjetivodecom-paración.
SITUACIONES/ PROBLEMAS:Situación inicial:1.paraestablecerlarelaciónentreladiagonalyelladodelpentágonoregular,dalossiguientespasos:a)DemuestraquelostriángulosBeDyBcFsonsemejantes.
(para esto es suficiente probar que tienen dosángulosrespectivamenteiguales)
E
x
p
r
e
s
a
A
y
u
d
a
Motivan Resuelven
CONCEPTOS/ DEFINICIONES:Conceptos previos:pentágono regular, diagonal, lado, pentágono estrellado, relación, triángulo, semejanza de triángulos,ángulosrespectivos,igualdaddeángulos,ángulosopuestosporelvértice,ángulocentral,ángulointerioryánguloexteriordeunpolígonoregular,ángulossuplementarios.
Conceptos emergentesDemostrar,probar,condiciónsuficiente.
PROPIEDADES/ PROPOSICIONES:1. en un pentágono regular, la amplitud del ángulo central de es de 72º (360/5). su ángulo interior essuplementariodel centralymide,por tanto,108º.laamplitudde suánguloexterior es igual a lade suángulocentral.2.enunpentágonoregular,lasdiagonalesqueconfluyenenunmísmovértice,trisecanelángulointeriordelpentágono.3.losángulosopuestosporelvérticetienenigualamplitud.
PROCEDIMIENTOS: 1.partiendodelgráficodelasituación,construirotrográficoparaestudiarlasmedidasdelosángulosqueseformanenunpentágonoestrellado.2.calcularlamedidadelángulocentraldeunpentágonoregular:(360/5)=72º3.calcularlamedidadelángulointeriormediantelaobservacióndeque:72+I=180º,I=108º.4.calcularlamedidadelánguloexterior:72º5.observarque,lostresángulosqueseformanenasonigualesymiden36º6.Determinarque,enconsecuencia,losángulose,D,cyF,miden72ºy,portanto,soniguales,loquepruebalasemejanzadelostriángulosBDeyBcF.
Justifican
ARGUMENTOS:a)apartirdelgráficodelasituación,sededucequeelángulocentraldelpentágonoregularmide360/5=72º,yaqueseforman5ángulosigualescuyasumavale360º.b)elángulointerior(I)delpentágonoysuángulocentralsonsuplementariosyaque72+I/2+I/2=180º;72+I=180.c)losángulosinterioryexteriorson,porconstrucción,suplementarios.elánguloexteriordelpentágonoregularmide,entonces,72º.d)elánguloqueformanlasdiagonalesqueconfluyenenunvérticedelpentágonoregular,mide36º,yaqueeselángulodeuntriánguloisóscelescuyosotrosdosángulosigualesmiden72º.asíqueestasdiagonalestrisecanelángulointeriordelpentágono.f)porlapropiedadanterior,losángulose,D,cyFmiden72ºy,portanto,soniguales.g)sedemuestraasíque los triángulosBDeyBcFsonsemejantes,pues tienendosángulos respectivosiguales.
24 joséantoniocajaravillepegitoyotros:Significado referencial y personal
acontinuaciónmostramoscómounsujetoideal(experto)resolveríaelrestodelastareas:
3.2. Resolución de la tarea b)
laresolucióndeestatareaseapoyaengranmedidaenlapruebaanterior:silostriángulosBDeyBcFsonsemejantes,entoncessusladosrespectivossonproporcionales.si,comoseproponeeneltexto,elegimoscomounidaddelongitudladelladodelpentágonoregular,llamamoslalalongituddelladodelpentágonoestrellado,yconstruimoslafiguraquesigue:
Figura6
laigualdadentrelasrazonesdeloslados“largos”y“cortos”respectivamentedeambostriángulosnosllevaalaecuación—propuestaeneltexto—
queseríaelmodelomatemáticodelarelaciónentreelladodelpentágonoestrelladoyeldelpen-tágono regular generatriz.Un resolutor experto, para resolver esta tarea, tendría que realizar lassiguientesacciones:a)leerelenunciadodelamisma;b)construirunafigura(comolaanterior,p.e.)quepermitaidentificarlaslongitudesdelosladosarelacionarporsemejanzadelostriángulosBcFyBDe;c)establecerlaproporciónentreloslados“largos”deambostriángulos(l:1),yloslados“cortos”(1:l-1);d)determinarelmodelomatemáticomediantelaigualdaddeambasrazones,
basándoseenlasemejanzadetriángulos,loquepruebaquedichomodeloes:.
lasdificultadesdeestatareaparalosalumnosdeesteniveleducativo,puedenaparecerenlasaccionesb)yc),debidoalanecesidaddeinterpretarlasemejanzadetriánguloscomoigualdadentrelasrazonesdelosladosrespectivos,algunasdecuyaslongitudeshayquedeterminarpreviamente.
3.3. Resolución de la tarea c)
a)sidespejamos l,obtenemoslaecuaciónde2ºgrado:l2 –l -1=0,consoluciones:l=.
l 1
1 l-1=
l 1
1 l-1=
1 ± √52
INNOVACIÓN EDUCATIVA, n.º 20, 2010: pp. 15-35 25
b)comol(cantidaddelongitud)tienequeserpositiva,laúnicasoluciónfactiblees.
elllamarφaestenúmero,puedecrearconflictossemióticosalosestudiantes,puesestevaloreselobtenidoparal.luegodebenaceptarelcambiodenotación.tambiénpodríallevaralacon-fusióndeque,enunpentágonoestrelladocualquiera,lalongituddesuladoeselnúmero áureo,loqueesfalsosinoseadoptaelconveniodequelalongituddelladodelpentágonoregularbaseeslaunidad.Quizásnohubieraestadodemásque,eneltexto,segeneralizaralatareaaunacantidadde
longitudarbitrariacparaelladodelpentágono,loquellevaríaaplantearlaecuación:
queconduciríaalaecuaciónde2ºgradol2 –cl -c2= 0,cuyaúnicasoluciónfactible,tomandoccomo
parámetro,esl=c(),esdecir:=φ.esdecir,la razón que hay entre la longitud del lado
del pentágono estrellado y la del lado del pentágono regular generatriz es el número áureo.
3.4. Resolución de la tarea d)
a)sepuedepartirdelasproporciones(porsemejanza):====
,dedonde:AD2 –AD.MB – MB2=0y,resolviendoenAD: AD = MB(),dedónde:
φ ==.
b)peropodríapartir,análogamente,de:===1+=1+,
dedondeAB2 –AD.AB – AD2=0,parallegaralamismaconclusión.
sinosehageneralizado,enlatarea b),larelaciónentreladoydiagonaldelpentágonore-
gular,avaloresarbitrariosdelalongituddellado(),esdeesperarquelosestudiantesdeeste
niveltengandificultadespararesolverlataread)sinayudaexterna.p.e.,enlaecuacióndesegundogradoAD2 –AD.MB – MB2=0,hay que decidir cuál es la incógnita y cuál el parámetro2.además,hayqueelegiradecuadamentelossegmentosquedebenponerseenrelación.estonosllevaapensarquesetratadeunatareacomplejaparadichosestudiantes.
AD + MBAD
1 + √52
l c c l-1
=
1 + √52
l c
ABAD
MNMB
ADMB
AM + MBAD
1+√52
ADMB
ABAD
ABAD
AM + MBAD
AD + MBAD
MBAD
ADAB
lc =φ
2 enBolea,Boschygascón(2001)seinterpretaunaincógnitacomo“unvalordesconocidoquesemanipulacomosifueseconocido”yparámetrocomo“unvalorconocidoquesemanipulacomosifuesedescono-cido”.
26 joséantoniocajaravillepegitoyotros:Significado referencial y personal
3.5. Resolución de la tarea e)
Tabla II
comotaread)(ejercicio3),seafirmaBD = φ,loquesuponeprobar que si AB=AC =1, entonces BD = φ. para ello, elestudiante,debe(usandoelteoremadepitágoras)establecerlasrelaciones:DO = AOyAO2 +1= DO2 +1= OB2
BD=DO+OB=DO+
siDO=½,entonces:
BD =+==φ
De nuevo postulamos dificultades y conflictos en los estu-diantespararesolverestatarea.
√ 1 + DO2
12
14
√ 1 +1 + √5
2
4. evIdencIA de conflIctos semIótIco-cognItIvos, A pArtIr del sIgnIfI-cAdo referencIAl
conscientesdelosconflictossemióticosquepodíangenerarse,apartirdelenunciadodecidi-mossometerloalaconsideracióndeunamuestrade19estudiantesde1ºdeBachilleratodecienciassociales,(yaprovecharladisponibilidaddealumnosparapasarlotambiénen4ºdeeso(29estu-diantes),delies“M.a.gonzálezestévez”decarril-pontevedra.paraelloselesentregaelenun-ciadodelproblema,reproduciendoliteralmentelapropuestadelcitadolibro,proponiéndolescomotareaprincipallademostracióndelasemejanzadetriángulos,yanimándolesaque,acontinuación,siguieranresolviendolasdemástareaspropuestas,segúnsusposibilidadescognitivasytemporales.
Deacuerdoconcomentariosanteriores,habíamospostulado“apriori”que:
• ladiversidaddetécnicasquesemanejanpararealizarlasaccionesquesehandescritopararesolverlatareaa)asícomosuplanificación,secuenciaciónyverificación,ponendemanifiestosucomplejidadontosemiótica,postulandoqueunestudiantemediodeestosniveleseducativospodríatenerdificultadespararesolverestatareaporsísolo,sinmásayudasquelasfacilitadaseneltexto.
• lasdificultadespuedenaparecerenlastareasa)yb),debidoalanecesidaddeinterpretarlasemejanzadetriánguloscomoigualdadentrelasrazonesdelosladosrespectivos,algunasdecuyaslongitudeshayquedeterminarpreviamente.
• obtenidalasolucióndelaecuación:l2 – l – 1=0cuyassolucionesson:l=,losestu-
diantesprimerohandedecidirquesólolasoluciónpositivaesadmisible,portratarsedeunamedidadelongitud.llamarφaestenúmero,puedecrearconflictossemióticosalosestudiantes,puesestevaloreselobtenidoparal,debiendoaceptareinterpretarelcambiodenotación.encasocontrario,podríallevarlosalconflictodequeenunpentágonoestrelladocualquiera,lalongituddesuladoeselnúmero áureo,loqueesfalsosinoseadoptaelconveniodequelalongituddelladodelpentágonoeslaunidad.
1 ± √52
INNOVACIÓN EDUCATIVA, n.º 20, 2010: pp. 15-35 27
• seesperaque,en1ºdeBachillerato(16-17años),almenosunaparterepresentativadelosestudiantes,puedanresolverconéxitolatareaa),peroelcambiodenotaciónylageneralizaciónqueseefectúaapartirdeb),puedeocasionarconflictossemióticosaestosalumnos.
lasituación,enrelaciónaladinámicadeclase,enlaqueseencontrabanlosdoscursoseramuydiferente:
• en4ºseestabaestudiandotrigonometría,enespecialproblemasdesemejanzadetrián-gulossimilaresalpropuestoperoconunniveldedificultadinferior.losprincipalesar-gumentosqueseempleabaneranlaigualdaddeángulosenbasealasrelacionesentrelosángulosqueseformancuandounarectacortaadosrectasparalelasylaposibilidaddesituarlasfigurasenposicióndethales.
• en1ºbachilleratoseestabantratandoproblemasderesolucióndesistemasdeecuacioneslinealesempleandoenmétododegauss,muyalejadosdelproblemapropuesto.
• entodosloscursosselesrecordócómopuedecalcularselamedidadelosángulosdeunpolígonoregulary,en4ºeso,despuésdetranscurrirlamitaddeltiempodelaprueba,seindicóquequizásfueseposiblecalcularlamedidadetodoslosángulosimplicados.
• en1ºdebachilleratofuenecesariorecordarloscriteriosdesemejanzadetriángulos,enparticularlaigualdaddeángulos.
• enalgunoscasos,antepreguntasdirectasdealumnos,elprofesorhizoalgúncomentariosobrelavalidezdelasargumentacionesqueproponían,engeneraldeltipo“eso no pue-des suponerlo”.
• atodoslosalumnosseles“informó”dequelapruebateníarelevanciaparasucalifica-ción,sibienlosalumnosdebachilleratonollegaronacreérselodeltodo.
4.1. Resultados
4.1.1. En 4º de ESO
Tabla III
Argumentos
respuestacorrecta
suponerectoelánguloeBcyquesedivideendosiguales
giraneltriánguloBFcsobreeltriánguloeBDysuponequequedanenposicióndethales
intentacalcularlamedidadelosángulosdeunpentágonosinconseguirlo
razonamientosincorrectossobrelaigualdaddeángulos
asumen, sin demostrar, la igualdad de losángulosquecompartenelvérticeB.
Frec.
1
1
6
1
6
5
Comentarios
calculatodoslosángulosdelpentágonoestrelladoydeducelaigualdaddelosdosángulospedidos.
nollegaademostrarnadayse limitaadarunarespuesta“matemática”.
Demostraciónbasadaen“evidenciavisual”.
Unestudianteañade(sindemostrar)quelosánguloseBDyFBcsoniguales
enuncasointentademostrarlaigualdaddeeBDeFBc
Un estudiante calcula la medida de los ángulos delpentágono,sincompletarlatareapropuesta.
28 joséantoniocajaravillepegitoyotros:Significado referencial y personal
Análisis:
Manuel(unalumnoconungrantesónyqueintentaportodoslosmediosllegaralfinalencadaproblema)fueelúnicoalumnoqueformulóunarespuestacorrecta.lohaceapoyándoseencálculosaritméticosdelasmedidasdelosángulosynoenrazonamientosgeométricos.suéxitosebasaenquelafiguracentraltambiénesunpentágonoregular(algoquenadiemásutilizó),loquelepermitecalcularlamedidadelosángulosaDeyceD3:
tambiénestámuycercadeconseguirlojavier(unalumnoconmuybuenasideasperocalifi-cacionesnomuybrillantes),conunaformulaciónrealmenteoriginal:
• establecelaigualdadentrelosángulosBcFyBeDporserigualeslostriángulosBDeyBecytenerencomúnelánguloclostriángulosBceyBcF.
• elánguloBcFesigualalánguloBFcyalosángulosBeDyBDe(sinargumentarparaelánguloBFc).
• intentaresolverlaecuación.
otroalumnoqueestuvocercadelarespuestacorrectafueDamián(undeportistaentrelosmejoresalumnosenmatemáticas):
• calculacorrectamentelamedidadelosángulosdeunpentágonoregular(comootros7).• establecelaigualdaddelostriángulosBceyeDB,peronollegaaestablecerlaigualdad
delosángulosBFcyBeD.• resuelvelaecuaciónycalculaelvalordelnúmeroáureo(solodosalumnosseenfrenta-
ronalaecuaciónyéleselúnicoquellegaaresolverla).
Argumentos
argumenta que, de no darse la semejanza, nopodríaformarseuna“estrellaperfecta”
razonamientos correctos sobre la igualdad deángulos empleando la igualdad del triánguloeBDconelBecyasumiendo,sindemostración,queeltriánguloBFcesisósceles
calculanlamedidadelosángulosdelpentágonoperonoestablecenlasemejanza.
parece calcular los ángulos pero no está clarosi realmente prueba o supone la trisección delánguloB
nodanningunarespuesta
total
Frec.
1
1
2
1
4
29
Comentarios
esunademostracióncasicorrectadelasemejanza,afaltadelademostracióndeserisósceles.
lamayoríadelosalumnosde4ºconocíanlamedidadeeseángulo
De ser así (los comentarios hechos al profesor ante laobservación“no puedes asumir, de entrada, que el ángulo B se divida en tres iguales”asílosugieren),lademostraciónseríacorrecta.
Tabla III (continuación)
3 realmentenoesnecesarioutilizarlaregularidaddelpentágonocentral.podemoscalcularlosánguloscBDycDBeneltriánguloisóscelesBcDpuessabemosqueelánguloBcDmide108º.
INNOVACIÓN EDUCATIVA, n.º 20, 2010: pp. 15-35 29
Marcos (el alumno con mejores calificaciones en Matemáticas) construye un complicadorazonamientogeométrico,sinllegaraunresultadocorrecto.engeneral,lasrespuestassonmuchomenoselaboradas,comolasdeesperanza(unabuenaalumna):
Figura7
enotroscasos,lasrespuestassonbastanteconfusas.joséluis(unalumnoqueestecursoestárealizandoungranesfuerzoenlamateria):“porque si no son semejantes los triángulos, no puedes llegar a formar una estrella perfecta como esa. O sea, que si el triángulo BDE no puedes hacer la estrella perfecta. Mi teoría es que si lo traslado tiene que ser semejante, o sea igual en proporción para formar la estrella perfecta. Los ángulos son iguales porque se puede formar la estrella per-fecta”
4.1.2. En 1º de Bachillerato
Tabla IV
Argumentos
calculan correctamente los ángulos de lostriángulosydemuestranlasemejanza
suponenlatriseccióndelánguloB
calculalamedidadelángulodeunpentágono
sonsemejantesporser isóscelesysumar180º(fueunargumentoqueaparecetambiénen4ºapesardequeenclasefueradesmentido)
losángulossonigualesporsumar180º
losángulossonigualesporsumar180ºycalculalamedidadelángulodeunpentágono
los ángulos son iguales por sumar 180º yresuelvenlaecuación
pasa directamente a resolver la ecuación sinintentardemostrarlasemejanza
total
Frec.
6
4
1
1
3
1
2
1
19
Comentarios
Utilizan la técnica de calcular los ángulos centrales,interioresyexterioresdeunpentágonoregular.
calculan los ángulos del pentágono y algún otro ángulo.además,algunoresuelvelaecuación
posiblemente existiese un cierto “intercambio deinformación” entre los alumnos de este grupo que,curiosamente, se dieron por satisfechos en cuanto fueroncapaces de escribir algo “matemático” , suponiendo,ingenuamente, que así queda justificada una respuestacorrecta.
este estudiante mostró una enorme frustración cuando elprofesorindicólanecesidaddecontestarsiguiendoelordendelaspreguntas.
30 joséantoniocajaravillepegitoyotros:Significado referencial y personal
Análisis:
comoeradeesperar,enestecursolosalumnosutilizanmenosargumentacionesgeométricasperotodoslosalumnosintentanalgunarespuesta.
Marta(notable),respondiócorrectamentealapartadoa),empleandounrazonamientoaritmé-tico,basadoenelcálculodelosánguloscentraleinteriordeunpentágonoregular.leticia(notable)realizaunprocesosimilaraMartaydeterminalarespuestaalapartadoa).
aldo(sobresaliente)—yotros3alumnos—calculalamedidadelosángulosdelpentágonoyresuelvelaecuaciónparadeterminarelnúmeroáureo.
Aldo:
Figura8
algunosalumnossemostraronsatisfechosconunarespuestaclaramenteincompleta.Manuel(sobresaliente):“FCB es igual a EBD porque ABC es simétrico. Entonces al dividir el ángulo A en tres partes también es simétrico”.
envarioscasos,larespuestahacereferenciaala“semejanzadetriángulosisósceles”vanessa(bien):“son semejantes porque los dos son triángulos isósceles”.
engeneral,losalumnosde1ºdebachilleratodieronrespuestasmáscoherentesperotambiénmásconservadoras,enmuchoscasossinintentarresponder,realmente,alascuestionesformuladas.soloenseiscasos(31,6%)seaprecialaaplicacióndeconocimientosadecuadosalaobtencióndeunarespuesta.
5. confIgurAcIón cognItIvA de un estudIAnte de lA lIcencIAturA de mAtemátIcAs, relAcIonAdAs con lAs tAreAs A), b) y c).
alavistadelosconflictossemióticosycognitivosapreciadosenestasdosmuestrasdees-tudiantes,sedecideproponerlamismatareaa17estudiantesde2º,3ºy4ºcursosdelalicenciaturade matemáticas, que estudian la materia, de libre configuración, Didáctica de la Matemática ensecundariaenlaUsc.engenerallasrespuestasdedichosestudiantesconcuerdanbastanteconlarespuestadeunresolutorexperto,porloquepodemosconcluirque,engeneral,elsignificadorefe-
INNOVACIÓN EDUCATIVA, n.º 20, 2010: pp. 15-35 31
rencialpropuestoenellibrodetextoanalizado,formapartedelosconocimientosdeestosestudian-tes.sinembargo,mostramosaquí,porresultarnosmuysorprendente,larespuestadeunestudiantede3ºcurso.
Figura9
32 joséantoniocajaravillepegitoyotros:Significado referencial y personal
argUMentos:a)suposicióningenuadequelostriángulosBeDyBcFsonsemejantes(darporsupuestoloquehayqueprobar)b)suposicióningenua(sinprobar)dequeα=βc)igualdaddeángulossignificaigualdaddesenosdeestosángulosd)suposicióningenua(sinprobar)quelostriángulosHyjson“equivalentes”.
CONCEPTOS/ DEFINICIONES:Conceptos previostriángulo,semejanzadetriángulos,triángulos“equivalentes”,igualdaddeángulos,senoycosenodeunángulo.
Conceptos emergentesformulacióndehipótesis,probar,
PROPIEDADES/ PROPOSICIONES:1.encualquiertriángulosecumplenlasrazonestrigonométricaselementales(errónea)2.α=β⇒senα=senβ 3.enunpentágonoregular,lasdiagonalesqueconfluyenenunmismovértice,trisecanelángulointeriordelpentágono.(propiedadsupuesta,peronodemostrada)
PROCEDIMIENTOS: 1.partiendodelgráficodelasituación,construirotrográficoparaestudiarlasmedidasdelosángulosqueseformanenunpentágonoestrellado.2.suponiendoqueαyβsoniguales,interpretar(erróneamente)queBFcyBeDsontriángulosrectángulos3.suponerquesen α=1/(l-1)(errorsorprendenteyaqueeldibujoquepresentaelestudiante,muestrauntriángulorectánguloBcF,queno eseltriángulodelenunciadodelatarea.(isóscelesnorectángulo)y,aunquelofuera,cometeotroerrorgraveconlanocióndesenodeunángulo.4.suponerquesenβ =l/1(cuandonoseapreciaque1 ylsean“catetos”nihipotenusadeBeD,yaquedichotriángulonoesrectángulo).5.comoα=βsededucequesenα=senβ6.obtienefinalmentequedelaigualdadanteriorderivalaecuaciónquesepropone.
SITUACIONES/ PROBLEMAS:Situación inicial:1.paraestablecerlarelaciónentreladiagonalyelladodelpentágonoregular,dalossiguientespasos:a)DemuestraquelostriángulosBeDyBcFsonsemejantes.
(paraestoessuficienteprobarquetienendosángulosrespectivamenteiguales)
LENGUAJE:
Términos y expresiones:
-“lostriángulosBeDyBcFsonsemejantes”,-“supongamosquelosángulosαyβ soniguales”-“triángulosequivalentesH,j”etc.
Gráficos:Dibujodeunpentágonoregularytrazadodesusdiagonales.Dibujodetriángulos
Notaciones: -ABCDE, pararepresentarelpentágonoregulardevérticesA,B,C,D,E.-Fparadenotarunvérticequepermitaidentificaruntriángulo.-BCFyBDE,paraidentificardostriángulosobjetivodecomparación.-1ylpararepresentarlamedidadelados.-H,jparaidentificardostriángulosdeapoyosemiótico.
Motivan Resuelven
Justifican
paraunamayorclaridadalahoraderealizarelanálisisontosemiótico,elaboramoslaconfi-guracióncognitivadeesteestudiante.eneleos,dichaconfiguración,alcompararlaconlaconfigu-raciónepistémicadereferencia,nospermitirádetectarcoincidenciasodiscrepanciasentresignifica-dospersonaleseinstitucionales,postulandosusposiblescausas.
Tabla V
E
x
p
r
e
s
a
A
y
u
d
a
INNOVACIÓN EDUCATIVA, n.º 20, 2010: pp. 15-35 33
Análisis semiótico-cognitivo de la solución de este estudiante:
sicomparamoslaconfiguraciónepistémicaconlaconfiguracióncognitivaanterior,observa-mosqueesteestudiante(enniveluniversitarioavanzado)tienegrandeslagunasdecomprensióndeconocimientosmatemáticos,quesesuponedebenalcanzarseenlosestudiosdesecundaria,asícomootrosquesonnuclearesenestudiosdelalicenciaturadematemáticas.losconflictos semióticos queseobservanson:
1º:establecercomohipótesisdetrabajopropiedadesmatemáticasquesepide(explícitaoimplícitamente)quedemuestre:“a)lostriángulosBeDyBcFsonsemejantes”;“lostriángulosBeDyBcFsonsemejantespora)”;“supongamosquelosángulosαyβsoniguales”
2º.suponerquelasrazonestrigonométricasbásicas(seno-coseno),aplicablessóloatriángu-losrectángulos,puedengeneralizarseacualquierotrotipodetriángulo.
3º.“adaptar”elenunciadodelproblemaasusposibilidadescognitivas,“convirtiendo”untriánguloisóscelesnorectánguloBcF,enuntriángulorectángulo,alquepuedaaplicarsusconoci-mientosdetrigonometría.esteconflictorevelaqueesteestudiantenoesconscientedelaimportan-ciadelascondicionesqueimponeundeterminadoproblema(dilema“expresión/contenido”),yalasquedebesujetarseparaintentarbuscarunasoluciónalmismo.porotraparte,resultaparticularmentesorprendenteque,esteestudiante,cometaunerrortanespectacularcomoconstruir(ingenuamente)untriángulorectánguloisósceles,cuyoángulorecto(c)noestáformadoporlosdoscatetosigualesdelmismo:
Figura10
uotro,nomenosdramático,comoconsiderarquesenα =
estosconflictossemióticos,perotambiéncognitivos,ponendemanifiestolasprofundasca-renciascomprensivasdedichoestudiante,muyalejadasdelosconocimientosqueselesuponen,dadoelniveleducativoenqueseencuentra.
cateto contiguocateto opuesto
34 joséantoniocajaravillepegitoyotros:Significado referencial y personal
5. reflexIones fInAles
• laprincipalymásevidenteesladistanciaentrelosplanteamientosdidácticosdelapro-puestadelosautoresylascapacidadesrealesdeinterpretaciónyaccióndelalumnadoalquesupuestamentevadirigida.estehechoeselorigendenumerososconflictossemióti-co-cognitivospotenciales,quecondicionanlaposibilidaddealcanzarun“aprendizajeconcomprensión”.
• lagrandificultaddelosestudiantespararealizarunrazonamientodeductivoysuescasafluidez en la aplicaciónde conocimientospreviosque se les suponen,pero a losque,comomínimo,nohandotadodelossuficientes“sentidos”(Font,2005)parasercapacesdeaplicarlosacontextosconcretos.
• Dalaimpresióndequefrenteaunproblemacomoelpropuesto,lamayoríadelosalum-nosno intentanrespondera laspreguntasformuladas, limitándoseadarunarespuestaque,ingenuamente,consideran“matemática”.estoponedemanifiestolafaltadecom-prensióndeunadelasreglasnuclearesdelamatemática:lanecesidaddesujeciónalascondicionesdelproblema.
• paraunestudiantemedio,enfrentarseaunproblemaquedifícilmentepodráresolver,su-poneungrandesgasteemocionalsinrecompensaalguna,unresultadonefasto,totalmentecontrarioalsupuestamenteperseguidode“motivar”alalumno.
• porotraparte,semuestralapotenciadelatécnicaquenosofreceeleos,pararealizarunanálisismicroscópicodelosconocimientosyconflictosdeunsujeto(anteunadeter-minadatareamatemática),frentealmarcocognitivosegúnelcualelconocimientomate-máticosereducebásicamenteaconceptosyprocedimientos,entendidoscomoentidadesmentales.nosedistingueelpapelespecíficodelasproposicionesyargumentacionesy,sobretodo,noseexplicitaelpapelclavedelassituaciones–problemas,comoorigenyrazóndeserdetalesentidades,cuyaconstrucciónestá,además,mediadaporlosrecursoslingüísticosytecnológicosdisponibles.todoelloponedemanifiestoqueel“saberma-temático”nopuedeserconsiderado“transparente”enlasinvestigacionesendidácticadelamatemática,comoparecederivarsedelasinvestigacionesenelmarcocognitivo.porelcontrario,dichosabereslavariablemásproblemáticadecualquierinvestigaciónenestaáreadelconocimiento.
reconocImIento:
trabajorealizadoenelmarcodelproyectoMcyt-FeDer:sej2004-07346,Ministeriodecienciaytecnología,plannacionaldeinvestigacióncientífica.Desarrolloeinnovacióntecnoló-gica.Madrid.
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