Set theory st12From Wikipedia, the free encyclopedia

Contents

1 Ackermann set theory 11.1 The language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 The axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Relation to ZermeloFraenkel set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Ackermann set theory and Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Aczels anti-foundation axiom 32.1 Accessible pointed graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 AD+ 43.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4 Adequate pointclass 54.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5 Admissible ordinal 65.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

6 Admissible set 76.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

7 Alternative set theory 87.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

8 Aronszajn line 98.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

i

ii CONTENTS

9 Aronszajn tree 109.1 Existence of -Aronszajn trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109.2 Special Aronszajn trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109.3 Construction of a special Aronszajn tree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

10 Ascending chain condition 1210.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

10.1.1 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1210.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1310.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1310.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

11 Axiom of adjunction 1411.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

12 Axiom of extensionality 1512.1 Formal statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512.2 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512.3 In predicate logic without equality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612.4 In set theory with ur-elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

13 Axiom of limitation of size 1713.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1713.2 Zermelos models and the axiom of limitation of size . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

13.2.1 The model V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1813.2.2 The models V where is a strongly inaccessible cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

13.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

14 Axiom of projective determinacy 2314.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

15 Axiom of real determinacy 24

16 Axiom of regularity 2516.1 Elementary implications of regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

16.1.1 No set is an element of itself . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2516.1.2 No innite descending sequence of sets exists . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

CONTENTS iii

16.1.3 Simpler set-theoretic denition of the ordered pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2616.1.4 Every set has an ordinal rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2616.1.5 For every two sets, only one can be an element of the other . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

16.2 The axiom of dependent choice and no innite descending sequence of sets implies regularity . . . . 2616.3 Regularity and the rest of ZF(C) axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2616.4 Regularity and Russells paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2616.5 Regularity, the cumulative hierarchy, and types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2716.6 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2716.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2816.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

16.8.1 Primary sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2816.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

17 Axiom schema of predicative separation 30

18 Better-quasi-ordering 3118.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3118.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3118.3 Simpsons alternative denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3118.4 Major theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3218.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3218.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

19 Cabal (set theory) 3319.1 Publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3319.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

20 Cantor tree 3420.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

21 Categorical set theory 3521.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3521.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3521.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

22 ChurchKleene ordinal 3622.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

23 Coanalytic set 3723.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

24 Cocountability 3824.1 -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3824.2 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

iv CONTENTS

25 Code (set theory) 3925.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3925.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

26 Condensation lemma 4026.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

27 Constructive set theory 4127.1 Intuitionistic ZermeloFraenkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

27.1.1 Predicativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4127.2 Myhills constructive set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4227.3 Aczels constructive ZermeloFraenkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4227.4 Interpretability in type theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4327.5 Interpretability in category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4327.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4327.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4327.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

28 Continuum function 4428.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

29 Conull set 4529.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

30 Critical point (set theory) 4630.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

31 Cumulative hierarchy 4731.1 Reection principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4731.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4731.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

32 Deviation of a poset 4832.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4832.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4832.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

33 Dicksons lemma 4933.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4933.2 Formal statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4933.3 Generalizations and applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4933.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5033.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

34 Dierence hierarchy 52

CONTENTS v

34.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

35 Eective descriptive set theory 5335.1 Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

35.1.1 Eective Polish space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5335.1.2 Arithmetical hierarchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

35.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

36 Epsilon-induction 5536.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

37 Erds cardinal 5637.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

38 Extender (set theory) 5738.1 Formal denition of an extender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5738.2 Dening an extender from an elementary embedding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5738.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

39 Extendible cardinal 5939.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5939.2 Variants and relation to other cardinals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5939.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5939.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

40 Fiber (mathematics) 6140.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

40.1.1 Fiber in naive set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6140.1.2 Fiber in algebraic geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

40.2 Terminological variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6140.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

41 Friedmans SSCG function 6341.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6341.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

42 Fuzzy set 6442.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6442.2 Fuzzy logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6442.3 Fuzzy number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6542.4 Fuzzy interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6542.5 Fuzzy relation equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6542.6 Axiomatic denition of credibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6542.7 Credibility inversion theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

vi CONTENTS

42.8 Expected Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6642.9 Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6642.10Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6642.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6742.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6842.13Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6842.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

43 Game-theoretic rough sets 7143.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

44 General set theory 7244.1 Ontology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7244.2 Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7244.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7344.4 Metamathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7344.5 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7344.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7444.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

45 Generic lter 7545.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

46 HalpernLuchli theorem 7646.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

47 Hartogs number 7847.1 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7847.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

48 Hereditarily countable set 7948.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7948.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

49 Hereditary set 8049.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8049.2 In formulations of set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8049.3 Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8049.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8049.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

50 Higmans lemma 8150.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

51 Homogeneous (large cardinal property) 82

CONTENTS vii

51.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

52 Homogeneous tree 8352.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

53 Homogeneously Suslin set 8453.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8453.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

54 Honest leftmost branch 8554.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8554.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

55 Inductive set 8655.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

56 Ineable cardinal 8756.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

57 Innite descending chain 8857.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8857.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

58 Information diagram 8958.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

59 Internal set theory 9159.1 Intuitive justication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

59.1.1 Principles of the standard predicate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9259.2 Formal axioms for IST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

59.2.1 I: Idealisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9359.2.2 S: Standardisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9359.2.3 T: Transfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

59.3 Formal justication for the axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9459.4 Related theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9459.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9459.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

60 Iterable cardinal 9560.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9560.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

61 JechKunen tree 9661.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

62 Jnsson cardinal 97

viii CONTENTS

62.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

63 KleeneBrouwer order 9863.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9863.2 Tree interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9863.3 Recursion theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9963.4 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9963.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

64 KripkePlatek set theory 10064.1 The axioms of KP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10064.2 Proof that Cartesian products exist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10164.3 Admissible sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10164.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10164.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

65 KripkePlatek set theory with urelements 10265.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10265.2 Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

65.2.1 Additional assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10365.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10365.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10365.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10365.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

66 Kruskals tree theorem 10466.1 Friedmans nite form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10466.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10566.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10566.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

67 Kunens inconsistency theorem 10667.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10667.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

68 Kuratowskis free set theorem 10768.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

69 Kurepa tree 10869.1 Specializing a Kurepa tree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10869.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10869.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

70 Knigs lemma 110

CONTENTS ix

70.1 Statement of the lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11070.1.1 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

70.2 Computability aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11170.3 Relationship to constructive mathematics and compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11170.4 Relationship with the axiom of choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11270.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11270.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11270.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11270.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

71 Language equation 11471.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11471.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

72 Laver function 11572.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11572.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11572.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

73 Laver tree 11673.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11673.2 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11673.3 Amoeba forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11673.4 Cohen forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11673.5 Grigorie forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11773.6 Hechler forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11773.7 JockuschSoare forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11773.8 Iterated forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11773.9 Laver forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11773.10Levy collapsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11773.11Magidor forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11873.12Mathias forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11873.13Namba forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11873.14Prikry forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11873.15Product forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11973.16Radin forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11973.17Random forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11973.18Sacks forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11973.19Shooting a fast club . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11973.20Shooting a club with countable conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11973.21Shooting a club with nite conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12073.22Silver forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

x CONTENTS

73.23References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12073.24External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

74 Limitation of size 12174.1 Use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12174.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

75 Lvy hierarchy 12275.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12275.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

75.2.1 0=0=0 formulas and concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12275.2.2 1-formulas and concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12375.2.3 1-formulas and concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12375.2.4 1-formulas and concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12375.2.5 2-formulas and concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12375.2.6 2-formulas and concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12375.2.7 2-formulas and concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12375.2.8 3-formulas and concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12475.2.9 3-formulas and concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12475.2.10 3-formulas and concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12475.2.11 4-formulas and concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

75.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12475.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12475.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

76 Martins maximum 12576.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

77 Millikens tree theorem 12677.1 Strong embedding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12677.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

78 MorseKelley set theory 12778.1 MK axioms and ontology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12778.2 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

78.2.1 Model theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12978.2.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

78.3 The axioms in Kelleys General topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13078.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13178.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13178.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

79 Mostowski collapse lemma 13279.1 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

CONTENTS xi

79.2 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13279.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13279.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

80 Mouse (set theory) 134

81 Naive set theory 13581.1 Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

81.1.1 Paradoxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13581.1.2 Cantors theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13681.1.3 Axiomatic theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13681.1.4 Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13681.1.5 Utility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

81.2 Sets, membership and equality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13781.2.1 Note on consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13781.2.2 Membership . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13881.2.3 Equality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13881.2.4 Empty set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

81.3 Specifying sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13881.4 Subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13981.5 Universal sets and absolute complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13981.6 Unions, intersections, and relative complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13981.7 Ordered pairs and Cartesian products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14081.8 Some important sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14081.9 Paradoxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14181.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14281.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14281.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14381.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

82 Near sets 14482.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14682.2 Nearness of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14882.3 Generalization of set intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14882.4 Efremovi proximity space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14882.5 Visualization of EF-axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14982.6 Descriptive proximity space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14982.7 Proximal relator spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15182.8 Descriptive -neighbourhoods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15282.9 Tolerance near sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15382.10Tolerance classes and preclasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

82.10.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

xii CONTENTS

82.11Nearness measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15582.12Near set evaluation and recognition (NEAR) system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15682.13Proximity System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15682.14See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15782.15Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15782.16References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15882.17Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

83 New Foundations 16383.1 The type theory TST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16383.2 Quinean set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

83.2.1 Axioms and stratication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16483.2.2 Ordered pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16483.2.3 Admissibility of useful large sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

83.3 Finite axiomatizability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16583.4 Cartesian closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16583.5 The consistency problem and related partial results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16583.6 How NF(U) avoids the set-theoretic paradoxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16583.7 The system ML (Mathematical Logic) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16683.8 Models of NFU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

83.8.1 Self-suciency of mathematical foundations in NFU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16783.8.2 Facts about the automorphism j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

83.9 Strong axioms of innity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16883.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17083.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17083.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17083.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

84 Newmans lemma 17284.1 Diamond lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17284.2 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17284.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

84.3.1 Textbooks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17384.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

85 Nice name 17485.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17485.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

86 Noetherian topological space 17586.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17586.2 Relation to compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17586.3 Noetherian topological spaces from algebraic geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

CONTENTS xiii

86.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17686.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

87 Non-well-founded set theory 17787.1 Details . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17787.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17887.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17887.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17887.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17987.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17987.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

88 Normal measure 18088.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18088.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

89 On Numbers and Games 18189.1 Synopsis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18189.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18189.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

90 Ordinal denable set 18390.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

91 Ordinal number 18491.1 Ordinals extend the natural numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18591.2 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

91.2.1 Well-ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18791.2.2 Denition of an ordinal as an equivalence class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18791.2.3 Von Neumann denition of ordinals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18791.2.4 Other denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

91.3 Transnite sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18891.4 Transnite induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

91.4.1 What is transnite induction? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18891.4.2 Transnite recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18991.4.3 Successor and limit ordinals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18991.4.4 Indexing classes of ordinals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18991.4.5 Closed unbounded sets and classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

91.5 Arithmetic of ordinals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19091.6 Ordinals and cardinals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

91.6.1 Initial ordinal of a cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19191.6.2 Conality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

91.7 Some large countable ordinals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

xiv CONTENTS

91.8 Topology and ordinals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19291.9 Downward closed sets of ordinals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19291.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19291.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19291.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19291.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

92 Pocket set theory 19492.1 Arguments supporting PST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19492.2 The theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19492.3 Remarks on the axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19592.4 Some PST theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19592.5 Possible extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19692.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19692.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

93 Positive set theory 19793.1 Interesting properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19793.2 Researchers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19893.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19893.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

94 Prewellordering 19994.1 Prewellordering property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

94.1.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19994.1.2 Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

94.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20094.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

95 Projection (set theory) 20195.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20195.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

96 Pseudo-intersection 20296.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

97 Ramied forcing 20397.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

98 Ramsey cardinal 20498.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

99 Rank-into-rank 20599.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

CONTENTS xv

100Recursive ordinal 207100.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207100.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

101Reecting cardinal 208101.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

102Remarkable cardinal 209102.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209102.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

103RobertsonSeymour theorem 210103.1Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210103.2Forbidden minor characterizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211103.3Examples of minor-closed families . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211103.4Obstruction sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211103.5Polynomial time recognition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212103.6Fixed-parameter tractability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213103.7Finite form of the graph minor theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213103.8See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213103.9Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213103.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214103.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

104Rough set 215104.1Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

104.1.1 Information system framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215104.1.2 Example: equivalence-class structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215104.1.3 Denition of a rough set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216104.1.4 Denability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217104.1.5 Reduct and core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218104.1.6 Attribute dependency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

104.2Rule extraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219104.2.1 Decision matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219104.2.2 LERS rule induction system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

104.3Incomplete data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222104.4Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222104.5History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222104.6Extensions and generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

104.6.1 Rough membership . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223104.6.2 Other generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

104.7See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224104.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

xvi CONTENTS

104.9Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226104.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

105Rowbottom cardinal 227105.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

106S (set theory) 228106.1Ontology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228106.2Primitive notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228106.3Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229106.4Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229106.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230106.6Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

107ScottPotter set theory 231107.1ZU etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

107.1.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231107.1.2 Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232107.1.3 Further existence premises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

107.2Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233107.2.1 Scotts theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233107.2.2 Potters theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

107.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234107.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234107.5External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

108Semiset 236108.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

109Shelah cardinal 237109.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

110Shrewd cardinal 238110.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

111Square principle 239111.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239111.2Variant relative to a cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239111.3Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

112Stemmatics 240112.1History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240112.2Basic notions and objectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240112.3Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

CONTENTS xvii

112.4Eclecticism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242112.4.1 External evidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244112.4.2 Internal evidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244112.4.3 Canons of textual criticism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244112.4.4 Limitations of eclecticism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

112.5Stemmatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245112.5.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245112.5.2 Limitations and criticism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

112.6Copy-text editing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247112.6.1 McKerrows concept of copy-text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248112.6.2 W. W. Gregs rationale of copy-text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248112.6.3 GregBowersTanselle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

112.7Cladistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252112.8Application of textual criticism to religious documents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

112.8.1 Qur'an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253112.8.2 Book of Mormon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254112.8.3 Hebrew Bible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254112.8.4 New Testament . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256112.8.5 Talmud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

112.9Classical texts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259112.10Legal protection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259112.11Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259112.12See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

112.12.1Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260112.12.2Critical editions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261112.12.3Lists . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

112.13Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262112.14References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266112.15Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267112.16External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

112.16.1General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268112.16.2Bible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

113Strong cardinal 269113.1Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269113.2Relationship with other large cardinals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269113.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

114Strong partition cardinal 270114.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

115Strongly compact cardinal 271

xviii CONTENTS

115.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

116Structural induction 272116.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272116.2Well-ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274116.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274116.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

117Subcompact cardinal 275117.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275117.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

118Subtle cardinal 276118.1Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276118.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

119Superstrong cardinal 277119.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

120Suslin cardinal 278120.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278120.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

121Suslin representation 279121.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279121.2External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

122Suslin tree 280122.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280122.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

123Symmetric set 281123.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281123.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

124Tail sequence 282

125TarskiGrothendieck set theory 283125.1Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283125.2Implementation in the Mizar system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284125.3Implementation in Metamath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284125.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284125.5Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284125.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285125.7External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

CONTENTS xix

126Tav (number) 286126.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286126.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

127TeichmllerTukey lemma 287127.1Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287127.2Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287127.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287127.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

128Tree (descriptive set theory) 288128.1Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

128.1.1 Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288128.1.2 Branches and bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288128.1.3 Terminal nodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

128.2Relation to other types of trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288128.3Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289128.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289128.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

129Tree (set theory) 290129.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290129.2Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290129.3Tree (automata theory) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

129.3.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291129.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291129.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292129.6External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

130Unfoldable cardinal 293130.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

131Universal set 294131.1Reasons for nonexistence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

131.1.1 Russells paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294131.1.2 Cantors theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

131.2Theories of universality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294131.2.1 Restricted comprehension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295131.2.2 Universal objects that are not sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

131.3Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295131.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295131.5External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

132Universally Baire set 297

xx CONTENTS

132.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297132.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

133Urelement 298133.1Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298133.2Urelements in set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298133.3Quine atoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299133.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299133.5External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

134Vague set 300134.1Mathematical denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300134.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300134.3External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

135Von NeumannBernaysGdel set theory 301135.1Ontology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301135.2History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301135.3Axiomatizating NBG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

135.3.1 With Class Comprehension schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303135.3.2 Replacing Class Comprehension with nite instances thereof . . . . . . . . . . . . . . . . 304

135.4Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305135.4.1 Model theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306135.4.2 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

135.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306135.6Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306135.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307135.8External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

136Vopnkas principle 309136.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309136.2Strength . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309136.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309136.4External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

137Well-founded relation 311137.1Induction and recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311137.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312137.3Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312137.4Reexivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313137.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

138Well-order 314138.1Ordinal numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

CONTENTS xxi

138.2Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315138.2.1 Natural numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315138.2.2 Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315138.2.3 Reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

138.3Equivalent formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316138.4Order topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316138.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317138.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

139Well-ordering principle 318139.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

140Well-quasi-ordering 319140.1Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319140.2Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319140.3Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319140.4Wqos versus well partial orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320140.5Innite increasing subsequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320140.6Properties of wqos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320140.7Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321140.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321140.9See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

141Well-structured transition system 322141.1Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

141.1.1 Well-structured systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322141.2Uses in Computer Science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

141.2.1 Well-structured Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323141.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

142Zermelo set theory 325142.1The axioms of Zermelo set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325142.2Connection with standard set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325142.3The aim of Zermelos paper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326142.4The axiom of separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326142.5Cantors theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327142.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327142.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

143ZermeloFraenkel set theory 328143.1History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328143.2Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

143.2.1 1. Axiom of extensionality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

xxii CONTENTS

143.2.2 2. Axiom of regularity (also called the Axiom of foundation) . . . . . . . . . . . . . . . . 329143.2.3 3. Axiom schema of specication (also called the axiom schema of separation or of restricted

comprehension) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329143.2.4 4. Axiom of pairing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330143.2.5 5. Axiom of union . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330143.2.6 6. Axiom schema of replacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331143.2.7 7. Axiom of innity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332143.2.8 8. Axiom of power set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332143.2.9 9. Well-ordering theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

143.3Motivation via the cumulative hierarchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333143.4Metamathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

143.4.1 Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334143.5Criticisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334143.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335143.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335143.8External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

144 (set theory) 337144.1Proof of existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

145() 338145.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338145.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338145.3Text and image sources, contributors, and licenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

145.3.1 Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339145.3.2 Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347145.3.3 Content license . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

Chapter 1

Ackermann set theory

Ackermann set theory is a version of axiomatic set theory proposed by Wilhelm Ackermann in 1956.

1.1 The languageAckermann set theory is formulated in rst-order logic. The language LA consists of one binary relation 2 and oneconstant V (Ackermann used a predicate M instead). We will write x 2 y for 2 (x; y) . The intended interpretationof x 2 y is that the object x is in the class y . The intended interpretation of V is the class of all sets.

1.2 The axiomsThe axioms of Ackermann set theory, collectively referred to as A, consists of the universal closure of the followingformulas in the language LA1) Axiom of extensionality:

8x8y(8z(z 2 x$ z 2 y)! x = y):

2) Class construction axiom schema: Let F (y; z1; : : : ; zn) be any formula which does not contain the variable x free.

8y(F (y; z1; : : : ; zn)! y 2 V )! 9x8y(y 2 x$ F (y; z1; : : : ; zn))

3) Reection axiom schema: Let F (y; z1; : : : ; zn) be any formula which does not contain the constant symbol V orthe variable x free. If z1; : : : ; zn 2 V then

8y(F (y; z1; : : : ; zn)! y 2 V )! 9x(x 2 V ^ 8y(y 2 x$ F (y; z1; : : : ; zn))):

4) Completeness axioms for V

x 2 y ^ y 2 V ! x 2 V

x y ^ y 2 V ! x 2 V:5) Axiom of regularity for sets:

x 2 V ^ 9y(y 2 x)! 9y(y 2 x ^ :9z(z 2 y ^ z 2 x)):

1

2 CHAPTER 1. ACKERMANN SET THEORY

1.3 Relation to ZermeloFraenkel set theoryLet F be a rst-order formula in the language L2 = f2g (so F does not contain the constant V ). Dene therestriction of F to the universe of sets (denoted FV ) to be the formula which is obtained by recursively replacingall sub-formulas of F of the form 8xG(x; y1 : : : ; yn) with 8x(x 2 V ! G(x; y1 : : : ; yn)) and all sub-formulas ofthe form 9xG(x; y1 : : : ; yn) with 9x(x 2 V ^G(x; y1 : : : ; yn)) .In 1959 Azriel Levy proved that if F is a formula of L2 and A proves FV , then ZF proves FIn 1970 William Reinhardt proved that if F is a formula of L2 and ZF proves F , then A proves FV .

1.4 Ackermann set theory and Category theoryThe most remarkable feature of Ackermann set theory is that, unlike Von NeumannBernaysGdel set theory, aproper class can be an element of another proper class (see Fraenkel, Bar-Hillel, Levy(1973), p. 153).An extension (named ARC) of Ackermann set theory was developed by F.A. Muller(2001), who stated that ARCfounds Cantorian set-theory as well as category-theory and therefore can pass as a founding theory of the whole ofmathematics.

1.5 See also Zermelo set theory

1.6 References Ackermann, Wilhelm Zur Axiomatik der Mengenlehre in Mathematische Annalen, 1956, Vol. 131, pp.

336-345. Levy, Azriel, On Ackermanns set theory Journal of Symbolic Logic Vol. 24, 1959 154-166 Reinhardt, William, Ackermanns set theory equals ZF Annals of Mathematical Logic Vol. 2, 1970 no. 2,

189-249 A.A.Fraenkel, Y. Bar-Hillel, A.Levy, 1973. Foundations of Set Theory, second edition, North-Holand, 1973. F.A. Muller, Sets, Classes, and Categories British Journal for the Philosophy of Science 52 (2001) 539-573.

Chapter 2

Aczels anti-foundation axiom

In the foundations of mathematics, Aczels anti-foundation axiom is an axiom set forth by Peter Aczel (1988), as analternative to the axiom of foundation in ZermeloFraenkel set theory. It states that every accessible pointed directedgraph corresponds to a unique set. In particular, according to this axiom, the graph consisting of a single vertex witha loop corresponds to a set that contains only itself as element, i.e. a Quine atom. A set theory obeying this axiom isnecessarily a non-well-founded set theory.

2.1 Accessible pointed graphsAn accessible pointed graph is a directed graph with a distinguished vertex (the root) such that for any node in thegraph there is at least one path in the directed graph from the root to that node.The anti-foundation axiom postulates that each such directed graph corresponds to the membership structure of aunique set. For example, the directed graph with only one node and an edge from that node to itself corresponds toa set of the form x = {x}.

2.2 See also von Neumann universe

2.3 References Aczel, Peter (1988). Non-well-founded sets. CSLI Lecture Notes 14. Stanford, CA: Stanford University,

Center for the Study of Language and Information. ISBN 0-937073-22-9. MR 0940014.

Goertzel, Ben (1994). Self-Generating Systems. Chaotic Logic: Language, Thought and Reality From thePerspective of Complex Systems Science. Plenum Press. ISBN 978-0-306-44690-0. Retrieved 2007-01-15.

Akman, Varol; Pakkan, Mujdat (1996). Nonstandard set theories and information management. Journal ofIntelligent Information Systems 6 (1): 531. doi:10.1007/BF00712384.

3

Chapter 3

AD+

In set theory, AD+ is an extension, proposed by W. Hugh Woodin, to the axiom of determinacy. The axiom, which isto be understood in the context of ZF plus DCR (the axiom of dependent choice for real numbers), states two things:

1. Every set of reals is -Borel.2. For any ordinal less than , any subset A of , and any continuous function :, the preimage 1[A]

is determined. (Here is to be given the product topology, starting with the discrete topology on .)

The second clause by itself is referred to as ordinal determinacy.

3.1 See also Suslins problem

3.2 References W.H. Woodin The Axiom of Determinacy, Forcing Axioms, and the Nonstationary Ideal (1999 Walter de

Gruyter) p. 618

4

Chapter 4

Adequate pointclass

In the mathematical eld of descriptive set theory, a pointclass can be called adequate if it contains all recursivepointsets and is closed under recursive substitution, bounded universal and existential quantication and preimagesby recursive functions.[1][2]

4.1 References[1] Moschovakis, Y. N. (1987), Descriptive Set Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Elsevier, p. 158,

ISBN 9780080963198.

[2] Gabbay, Dov M.; Kanamori, Akihiro; Woods, John (2012), Sets and Extensions in the Twentieth Century, Handbook of theHistory of Logic 6, Elsevier, p. 465, ISBN 9780080930664.

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Chapter 5

Admissible ordinal

In set theory, an ordinal number is an admissible ordinal if L is an admissible set (that is, a transitive model ofKripkePlatek set theory); in other words, is admissible when is a limit ordinal and L0-collection.[1][2]

The rst two admissible ordinals are and !CK1 (the least non-recursive ordinal, also called the ChurchKleeneordinal).[2] Any regular uncountable cardinal is an admissible ordinal.By a theorem of Sacks, the countable admissible ordinals are exactly those constructed in a manner similar to theChurch-Kleene ordinal, but for Turing machines with oracles.[1] One sometimes writes !CK for the -th ordinalwhich is either admissible or a limit of admissibles; an ordinal which is both is called recursively inaccessible.[3] Thereexists a theory of large ordinals in this manner that is highly parallel to that of (small) large cardinals (one can denerecursively Mahlo cardinals, for example).[4] But all these ordinals are still countable. Therefore, admissible ordinalsseem to be the recursive analogue of regular cardinal numbers.Notice that is an admissible ordinal if and only if is a limit ordinal and there does not exist a

Chapter 6

Admissible set

In set theory, a discipline within mathematics, an admissible set is a transitive set A such that hA;2i is a model ofKripkePlatek set theory (Barwise 1975).The smallest example of an admissible set is the set of hereditarily nite sets. Another example is the set of hereditarilycountable sets.

6.1 See also Admissible ordinal

6.2 References Barwise, Jon (1975). Admissible Sets and Structures: An Approach to Denability Theory, Perspectives in

Mathematical Logic, Volume 7, Springer-Verlag. Electronic version on Project Euclid.

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Chapter 7

Alternative set theory

Generically, an alternative set theory is an alternative mathematical approach to the concept of set. It is a proposedalternative to the standard set theory.Some of the alternative set theories are:

the theory of semisets the set theory New Foundations Positive set theory Internal set theory

Specically, Alternative Set Theory (or AST) refers to a particular set theory developed in the 1970s and 1980s byPetr Vopnka and his students. It builds on some ideas of the theory of semisets, but also introduces more radicalchanges: for example, all sets are formally nite, which means that sets in AST satisfy the law of mathematicalinduction for set-formulas (more precisely: the part of AST that consists of axioms related to sets only is equivalentto the ZermeloFraenkel (or ZF) set theory, in which the axiom of innity is replaced by its negation). However,some of these sets contain subclasses that are not sets, which makes them dierent from Cantor (ZF) nite sets andthey are called innite in AST.

7.1 See also Non-well-founded set theory

7.2 References Vopnka, P. Mathematics in the Alternative Set Theory. Teubner, Leipzig, 1979. Proceedings of the 1st Symposium Mathematics in the Alternative Set Theory. JSMF, Bratislava, 1989. Holmes, Randall M. Alternative Axiomatic Set Theories in the Stanford Encyclopedia of Philosophy.

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Chapter 8

Aronszajn line

In mathematical set theory, an Aronszajn line (named after Nachman Aronszajn) is a linear ordering of cardinality@1 which contains no subset order-isomorphic to

!1 with the usual ordering the reverse of !1 an uncountable subset of the Real numbers with the usual ordering.

Unlike Suslin lines, the existence of Aronszajn lines is provable using the standard axioms of set theory. A linearordering is an Aronszajn line if and only if it is the lexicographical ordering of some Aronszajn tree.[1]

8.1 References[1] Funk, Will; Lutzer, David J. (2005). Lexicographically ordered trees. Topology and its Applications 152 (3): 275300.

doi:10.1016/j.topol.2004.10.011. Zbl 1071.03032.

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Chapter 9

Aronszajn tree

In set theory, an Aronszajn tree is an uncountable tree with no uncountable branches and no uncountable levels. Forexample, every Suslin tree is an Aronszajn tree. More generally, for a cardinal , a -Aronszajn tree is a tree ofheight such that all levels have size less than and all branches have height less than (so Aronszajn trees are thesame as @1 -Aronszajn trees). They are named for Nachman Aronszajn, who constructed an Aronszajn tree in 1934;his construction was described by Kurepa (1935).A cardinal for which no -Aronszajn trees exist is said to have the tree property. (sometimes the condition that is regular and uncountable is included.)

9.1 Existence of -Aronszajn treesKnigs lemma states that @0 -Aronszajn trees do not exist.The existence of Aronszajn trees (= @1 -Aronszajn trees) was proven by Nachman Aronszajn, and implies that theanalogue of Knigs lemma does not hold for uncountable trees.The existence of @2 -Aronszajn trees is undecidable (assuming a certain large cardinal axiom): more precisely,the continuum hypothesis implies the existence of an @2 -Aronszajn tree, and Mitchell and Silver showed that it isconsistent (relative to the existence of a weakly compact cardinal) that no @2 -Aronszajn trees exist.Jensen proved that V=L implies that there is a -Aronszajn tree (in fact a -Suslin tree) for every innite successorcardinal .Cummings & Foreman (1998) showed (using a large cardinal axiom) that it is consistent that no @n -Aronszajn treesexist for any nite n other than 1.If is weakly compact then no -Aronszajn trees exist. Conversely if is inaccessible and no -Aronszajn trees existthen is weakly compact.

9.2 Special Aronszajn treesAn Aronszajn tree is called special if there is a function f from the tree to the rationals so that f(x)

9.4. SEE ALSO 11

The elements of the tree are certain well-ordered sets of rational numbers with supremum that is rational or . Ifx and y