Seminarski rad

Mentor: Student:

dr Đorđe Herceg Anita Pustai

Novi Sad, 13.01.2013.

Definicija i konstrukcija parabole

Istorijski razvoj

Apolonios Pergejski živeo je od 262. do 190. god. pre

nove ere. Rođen je u Pergi u Pamfiliji, gradu u severo-

zapadnom delu Male Azije. Došao je kao mlad u

Aleksandriju i vaspitao se kod Euklidovih učenika.

Pretpostavlja se da je predavao u Aleksandriji i Pergi i

postao jedan od najvećih matematičara tog doba.

Napisao je traktat ( delo od 8 knjiga ) o paraboli, elipsi i hiperboli. Nazivi

ovih krivih potiču upravo od Apolonija a koriste se i danas.

Definicija:

Parabola je skup svih tačaka u ravni sa osobinom da je rastojanje ma

koje tačke M tog skupa od jedne stalne tačke F te ravni ( žiže ) – jednako

rastojanju te tačke M od jedne stalne prave i iste ravni ( direktrise ) koja

ne prolazi kroz tačku M.

Jednačina parabole:

Koordinatni sistem određujemo na sledeći način:

osu Ox postavimo kroz žižu F, normalno na direktrisu d i to u pravcu od d

ka F, a osu Oy normalno na Ox, kroz sredinu odsečka koji spaja žižu sa

direktrisom.

Neka je P parabola kod koje rastojanje između žiže F i direktrise d iznosi

p. Tada, u ovako definisanom koordinatnom sistemu, jednačina

direktrise glasi:

,

a žiža F ima koordinate (

, 0 ).

Neka je M = ( x,y ) proizvoljna tačka parabole P

Teorema:

Tačka M = ( x,y ) pripada paraboli P ako i samo ako njene koordinate

zadovoljavaju jednačinu:

Dokaz: ( ) Označimo sa N podnožje normale iz tačke M na

direktrisu. Kako je M = ( x,y ) proizvoljna tačka

parabole P, po definiciji, dužine duži FM i NM su

jednake.

Imamo:

| | √

;

| | |

|.

Iz jednakosti | | = | | sledi:

√

|

|,

odakle se, posle kvadriranja, dobija:

– px +

+ = + px +

,

tj. = 2px.

( ) Neka su brojevi x i y zadovoljavaju jednačinu = 2px.

Dokažimo da se tačka M = ( x,y ) nalazi na jednakom

Rastojanju od prave d čija je jednačina

i tačke

F = (

, 0 ), tj. dokažimo da tačka M pripada paraboli P.

Na prvom mestu primetimo da važi:

| | √

;

| | |

|.

Međutim, imamo = 2px , pa je

| | =√

= √

= |

|=

= |

|=| |

što značida je rastojanje tačke M od tačke F jednako

rastoranju tačke M od prave d, tj. da tačka M pripada

paraboli P.

Napomena:

Promena položaja koordinatnog sistema u odnosu na žižu i

direktrisu parabole, menja se i njena jednačina.

Na primer, paraboli odgovara jednačina:

(p > 0)

(p > 0)

(p > 0)

Konstrukcija parabole:

Zadata je direktrisa d,žiža F i osa parabole.

• d o, d o = { }

• konstruišemo središte duži | | = p (npr. tačka O),

| |= | |=

• konstruišemo paralelnu pravu sa direktrisom čije je rastojanje od

direktrise najmanje

• konstruišemo kružnicu k(

)

• paralelna prava dodiruje kružnicu u tački O, ta tačka se naziva teme

parabole

Analogno, konstruišemo kružnice ( čiji su poluprečnici proizvoljni ali

veći od

) i više paralelnih prava sa direktrisom( čija su rastojanja

jednaka sa poluprečnicima) i tako dobijene presečne tačke

određuju parabolu.

Zadaci : 1. Odrediti parametar, žižu i jednačinu direktrise parabole !

Reš:

2y x

2

2

11y x 1 1 p 122p 1 p

2p 2 2 2 4y 1 x

1F 0;

4

1d : y

4

T 0;0

2. Napisati jednačinu parabole čije je teme koordinatni početak, ako

se zna da je osa simetrija jednaka x osi i žiža ima sledeće

koordinate (0;3)!

Reš:

p

2

2 2

T 0;0

pF 0;3 3 p 6

2

1 1y x y x

2p 12

Napomena:

Ako je osa parabole paralelna sa y osom, a teme parabole nije u

koordinatnom početku, nego ima sledeće koordinate: T(u;v), tada je

jednačina parabole:

Neka je parametar parabole p=2, teme u tački T(3;-1). Tako je žiža

F(3;0), a jednačina:

gde je v-direktrisa.