SVEUČILIŠTE/UNIVERZITET „VITEZ“TRAVNIK

FAKULTET POSLOVNE EKONOMIJE

STUDIJ I CIKLUS; GODINA STUDIJA: VI CIKLUS; III GODINA

LINEARNO PROGRAMIRANJE

SEMINARSKI RAD

Travnik, 20.06..2014. godine

SVEUČILIŠTE/UNIVERZITET „VITEZ“ TRAVNIK

FAKULTET POSLOVNE EKONOMIJE

STUDIJ I CIKLUS; GODINA STUDIJA: VI CIKLUS; III GODINA

LINEARNO PROGRAMIRANJE

SEMINARSKI RAD

STUDENT: Pjanić Cendy

PREDMET: Kvantitativni aspekti ekonomije i biznisa

PROFESOR: Doc.dr. Mirjana Landika

ASISTENT: Mr.sc. Ibrahim Obhodžaš

SADRŽAJ

SADRŽAJ..........................................................................................................................1

1. UVOD.........................................................................................................................2

1.1. Problem, predmet i objekt istraživanja................................................................2

1.2. Znanstvene metode..............................................................................................3

1.3. Radna hipoteza....................................................................................................3

1.4. Svrha i ciljevi istraživanja...................................................................................4

2. SUŠTINA I PREDMET IZUČAVANJA LIENARNOG PROGRAMIRANJA........5

2.1. Karakteristike problema linearnog programiranja...............................................7

2.2. Faze u riješavanju problema................................................................................7

2.3. Karakteristike metoda linearnog programiranja..................................................9

3. METODE RIJEŠAVANJA PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA.....10

3.1. Simpleks metoda................................................................................................10

3.2. Grafičko riješavanje modela linearnog programiranja......................................11

3.3. Promjena funkcije cilja......................................................................................15

4. ZAKLJUČAK...........................................................................................................16

LITERATURA.................................................................................................................16

1

1. UVOD

Tema seminarskog rada okvirno obuhvaća područje linearnog programiranja. Dakle

linearno programiranje bi predstavljalo granu matematike koja se bavi problemom

optimizacije sistema unutar zadanih ograničenja. Stoga je bitno naglasiti da je područje

primjene linearnog programiranja široko, te obuhvaća: proizvodnju, transport i

distribuciju marketing, telekomunikacije financijsko ulaganje i planiranje raspored

zaposlenika itd.

Linearno programiranje promatra probleme u kojima se linearna funkcija cilja mora

optimizirati (maksimizirati ili minimizirati) uz uvjete ili ograničenja. Sami uvjeti ili

ograničenja su dani u obliku jednačina ili/i nejednačina i uz nenegativne varijable

odlučivanja. To predstavlja jedan formalni postupak optimizacije sustava kod kojih se

funkcija cilja i ograničenja mogu izraziti linearnim kombinacijama promjenljivih

veličina. Kod cjelobrojnog su programiranja varijable odlučivanja cjelobrojne.

Kroz sam rad bit će prikazani osnovni elementi i karakteristike linearnog programiranja,

te metode i modeli koji proizlaze iz ovog programiranja.

1.1. Problem, predmet i objekt istraživanja

Kroz ovaj seminarski rad bit će prikazani podaci vezani za linearno programiranje. Kroz

nekoliko ključnih elemenata bit će prikazana važnost rješavanja problema u poduzeću

putem linearnog programiranja, a samim tim je bitno prikazati i široku primjenu samog

linearnog programiranja. Kroz primjer grafičkog modela bit će prikazan jedan on načina

dolaska do optimalnog rješenja putem linearnog programiranja.

2

1.2. Znanstvene metode

U ovom seminarskom radu koristit će se više stručnih znanstvenih metoda, kao što su:

- Metode analize i sinteze po kojoj će se analizirati značaj i funkcija linearnog

programiranja. Uz sintezu pojedinačnih elemenata moguće je doći do ukupnih

sintetičkih zaključaka.

- Metode apstrakcije i konkretizacije. Po metodi apstrakcije zanemarit će se neki

drugi segmenti vezani za podjelu modela i metoda linearnog programiranja a

izvući osnovne funkcije i zadaće koje se odnose na tumačenje informacija koju

nosi grafički model. Uz konkretizaciju moguće je jasno i precizno karakterizirati

važnost ove teme u samom rješavanju određenih problema.

- Metoda analize sadržaja- tj. literature koja je korištena u svrhu prikupljanja

podataka o linearnom programiranju.

1.3. Radna hipoteza

U seminarskom radu postavlja se jedna radna hipoteza .

Na temelju predmeta i cilja istraživanja postavlja se glavna ( radna) hipoteza

seminarskog rada :

''Riješavanje problema putem linearnog programiranja je kompleksno i komplikovano i

zahtijeva rad većeg broja stručnjaka, ali je samim tim siguran dolazak do optimalnog

rješenja''

3

1.4. Svrha i ciljevi istraživanja

Svrha ovog rada je prikupljanje informacija o linearnom programiranju kako bi se

definirale stavke koje prikazuju dolazak do optimalnog rješenja problema. Također,

informacije i rezultati istraživanja su prikupljani u cilju ostvarenja uspjeha pri

razumijevanju linearnog programiranja. Cilj ovog seminarskog rada je prikazati koje je

područje primjene linearnog programiranja, te postupak dolaska do optimalnog rješenja

problema.

4

2. SUŠTINA I PREDMET IZUČAVANJA LIENARNOG PROGRAMIRANJA

Svaki ekonomski problem je istovremeno i organizacioni problem, ako posmatramo

najzastupljenije probleme preduzeća kao što su sktruktura proizvodnje, nabavke,

skladištenja, prodaje i transporta proizvoda, riješenje navedenih problema određujemo

koji će se proizvodi i u kojoj količini proizvoditi, nabaviti, kako će se prodavati,

skladištiti i transportovati do željenih odredišta. Svaki navedeni problem ima veći broj

mogućih riješenja u zavisnosti koji kapacitet resursa i u kojim kombinacijama se koriste.

Donosioci odluke treba doći do optimalnog između većeg broja mogućih riješenja.

Uslovi izbora optimalnog riješenja je prethodno definisanje kriterija optimalnosti.

Linearno programiranje upravo predstavlja oblast matematičkog programiranja koje

obezbjeđuje da se iz većeg broja mogućih riješenja dođe do optimalnog riješenja.

Drugim riječima, linearno programiranje je skup kvantitativnih modela i metoda pomoću

kojih se vrši izbor optimalnog riješenja. Odnosno traži ekstremna vrijednost linearne

funkcije uz uvažavanje odgovarajućeg skupa ograničenja. 1

Primjena linearnog programiranja obezbjeđuje da se eliminiše subjektivizam u postupku

donošenja odluke u pogledu koje riješenje treba proglasiti optimalnim. Pomoću metoda

linearnog programiranja mogu se riješiti brojni realni problemi.

Linearno programiranje predstavlja skup modela i metoda kojima se mogu riješavati

raznorodni ekonomski problemi. Na osnovu toga možemo reći, da je linearno

programiranje kvantitativna naučna metoda, pomoću koje se od većeg broja raznih

alternativnih riješenja može da izabere optimalno riješenje. Primjenom metoda linearnog

programiranja pri riješavanju problema stvara se objektivna osnova za donošenje

konačne odluke. Jedino tada će biti moguće da se, pri izboru nekog riješenja, odstrani

eventualna subjektivna naklonost, pojedinca ili grupe, istraživača za neko riješenje.

1 Landika M.“Kvantitativne metode u menadžmentu”, Visoka škola za ekonomiju i informatiku Prijedor,

Prijedor, 2007. , str. 7

5

Metodama linearnog programiranja mogu se riješavati najrazličitiji problemi ekonomske

prirode. Ono za svoj predmet proučavanja odabira probleme iz oblasti proizvodnje i

raspodjele i iz oblasti investicija. Veliku primjenu ove metode nalaze pri analizi

poslovanja preduzeća.2

Predmet linearnog programiranja svodi se uglavnom na pronalaženje optimalnih

riješenja za sljedeće ekonomske probleme :

1. Utvrđivanje optimalne strukture privrede u razvoju

2. Izrada optimalni programa investicionih ulaganja

3. Najpovoljniji razmještaj proizvodnih snaga odnosno izbor optimalne lokacije

novih kapaciteta

4. Utvrđivanje optimalnog plana spoljnotrgovinske razmjene

5. Pronalaženje optimalnog plana raspodjele proizvodnih zadataka na proizvođače

jedne privredne grane ( grupacije )

6. Izrada optimalnog plana raspodjele sirovina i reprodukcionog materijala na

zainteresovane proizvođače

7. Utvrđivanje optimalnog plana raspodjele neke robe od proizvođača do potrošnih

centara

8. Optimalni plan integracija u privredi

9. Optimalni plan investicionih programa

10. Utvđivanje optimalnog programa proizvodnje

11. Utvrđivanje stepena optimalnog korištenja kapaciteta, uz otkrivanje postojanja "

uskih grla" proizvodnje i određivanje veličine neiskorištenog kapaciteta oruđja

za rad

12. Pronalaženje optimalnog programa poljoprivredne proizvodnje, uz određenja

prilagođavanja

13. Problemi mješavine

14. Problemi raspoređivanja3

2.1. Karakteristike problema linearnog programiranja

2 Ibidem, str. 73 Ibidem, str. 8

6

Linearnog programiranje predstavlja jedan skup metoda, pomoću kojih se riješavaju

raznorodni problemi ekonomske prirode. Da bi bilo koji problem mogao biti riješen

metodom linearnog programiranja mora ispunjavati sljedeće uslove :

Da postoji linearna veza između promjenljivih veličina. U većini slučajeva realne

problemi opisuju se promjenljivim koje ne pokazuju funkcionalnu, već

stohastičku zavisnost između promjenljivih veličina koje formiraju problem.

Ovakvi problemi se mogu riješiti jedino da se pretpostavi linearna veza između

promjenljivih, razlike se zanemare ili se izračuna koeficijent odstupanja, inače

takvi problemi se ne mogu riješiti primjenom modela i metoda linearnog

programiranja.

Da se precizno definiše cilj koji se želi postići riješavanjem problema.

Da postoji više alternativa, jer ako postoji samo jedno moguće riješenje onda

nema opravdanja i potrebe za primjenu modela linearnog programiranja.

Svaki problem koji se želi riješiti metodama linearnog programiranja treba biti

ograničen limitirajućim faktorima. Odnosno, da za riješavanje problema postoje

ograničene mogućnosti, to jeste, ograničenja sredstva.

Svi ovi uslovi moraju istovremeno postojati. Ako makar jedan od njih nije ispunjen,

takav problem se ne može riješavati ni jednom od metoda linearnog programiranja. Tako

da se svaki problem mora najprije analizirati sa stanovišta ispunjenosti navedenih

uslova.

2.2. Faze u riješavanju problema

Riješavanje problema primjenom modela linearnog programiranja prolazi kroz sljedeće

faze :

Izbor problema. Najprije se mora odabrati problem za riješavanje. Pri tome je

neophodno da se posebno ispitaju karakteristike svih pojava koje ga formiraju,

da se ustanove međusobni odnosi, međusobna zavisnost ovih pojava. Najvažnije

7

je da se provjeri, da li problem ima karakteristike koje su potrebne da bih se

mogao riješiti metodama linearnog programiranja.

Izbor metode. U zavisnosti od izabranog problema i njegovih karakteristika vrši

se izbor adekvatne metode linearnog programiranja.

Prikupljanje podataka. Važna, zahtjevna i obilna faza rada je prikupljanje

podataka. Tačnost i valjanost optimalnog riješenja zavisi od tačnosti i isitnitosti

polaznih pretpostavki, među kojima posebno mjesto pripada odgovarajućem

dokumentacionom materijalu. Metoda linearnog programiranja ne mogu

poboljšati kvalitet optimalnog riješenja iznad kvaliteta podataka koji sačinjavaju

model. Metode omogućavaju i olakšavaju pronalaženje optimalnog između

većeg broja mogućih riješenja, koje zadovoljava postavljeni kriterij optimalnosti.

Zaključujemo da se u ovoj fazi mora posvetiti najviše pažnje.

Formiranje modela. Problem se može uspješno riješiti samo ako se predstavi u

obliku podesnog matematičkog modela. Podesa matematički model je onaj koji

najvjernije predstavlja posmatrani problem. Model treba da bude takav da

reaguje na sve promjene njegovih parametara, kako bi reagovao stvarni problem

pod uticajem promjene odgovarajućih faktora. Odabir ograničavajućih faktora i

njihovo kvantitativno izražavanje traži angažovanje i timski rad različitih

stručnjaka, kako bi se obezbjedilo da se stvarni problem riješava kroz njegov

teoretski matematički model.

Riješavanje problema. Formirani model se riješava primjenom neke od metoda

linearnog programiranja. U današnje vrijeme problemi iz domena linearnog

programiranja se riješavaju primjenom računara.

Analiza optimalnog riješenja. U ovoj fazi se vrši prevođenje dobijenog

optimalnog riješenja sa jezika elektronske mašine i vrši se sistematska analiza

tog riješenja. U ovoj fazi treba da se ispita i da li je optimalno riješenje

primjenljivo, odnosno koliko je ono stabilno u odnosu na očekivane promjene.4

2.3. Karakteristike metoda linearnog programiranja

4 Ibidem, str. 8

8

Metode linearnog programiranja imaju sljedeće karakteristike :

Omogućavaju pronalaženje optimalnog riješenja, bez da se utvrđuju sve moguće

alternative tog riješenja. Ispituje se koje sve uslove mora da ispuni neko riješenje

da bi moglo da se smatra optimalnim.

Sve metode linearnog programiranja imaju statički karakter, što je i njihov

najveći nedostatak. Sve ekonomske pojave, pod dejstvom raznih faktora

ispoljavaju različite razvojne tendencije. Ove tendecije nije moguće kvantitativno

izraziti u modelima pogodnim za riješavanje primjenom linearnog programiranja.

Unatoč tome, postoji čitav niz ekonomskih problema koji se uspješno riješavaju

metodama linearnog programiranja. Kod tih modela varijacije u vremenu

neznatno odstupaju od teorijski linearnih modela. Ako su u pitanju značajna

odstupanja, onda se problem mora postaviti tako da se izbjegne statički karakter

metoda linearnog programiranja. Tu imamo tri mogućnosti :

a) Programiranje u kraćem vremenskom periodu. Ovaj period treba da bude

dovoljno dug, tako da može da obuhvati sve izražajne zakonitosti

određene pojave. Mnoge se pojave posmatraju u razmacima od godinu

dana. Tada se, u cilju izbjegavanja statičkog dejstva metode na ponašanje

problema, problem može riješiti po kvartalima, ili za svaki mjesec

posebno.

b) Kod nekih problema može se uvođenjem posebnih problema ograničenja

i pretpostavki, izvršiti dinamiziranje statčkih modela. Dejstvo investicija,

na privredni razvoj u dužem periodu, kretanje društvenog proizvoda,

odnosno nacionalnog dohotka bilo je posebno pogodno za ispitivanje

dinamiziranih linearnih modela.

c) Primjena parametarskog linearnog programiranja, kome je cilj da ispita

dejstvo promjene značajnih faktora na dobijeno optimalno riješenje.

Ovim postupkom se ispituje elastičnost riješenja pod uticajem promjene

polaznim pretpostavki i na taj način posrednim putem ispituju moguće

vremenske varijacije optimalnog riješenja.

9

3. METODE RIJEŠAVANJA PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Metode linearnog programiranja se upotrebljavaju za iznalaženje optimalnog riješenja

problema koji se riješava primjenom modela linearnog programiranja. Ovaj postupak je

moguć ako je problem predstavljen u obliku pogodnom za riješavanje metodama

linearnog programiranja. Potrebno je pri tome, utvrditi kriterij optimalnosti ( odrediti

funkciju cilja ) i ograničavajuće faktore koji korenspondiraju za problemom.

Kriterij optimalnosti određuje cilj koji se želi postići pronalaženjem optimalnog riješenja

dok ograničavajući faktori određuju područje u kome se nalazi optimalno riješenje.

Priroda problema određuje izbor i kvantificiranje ograničavajućih faktora. Problemi

linearnog programiranja mogu biti takvi da nemaju riješenje koje bi bilo optimalno sa

svih mogućih stanovišta. Optimalno riješenje sa jednog stanovišta može biti potpuno

neprihvatljivo sa drugog stanovišta, kriterija optimalnosti. Da bi se riješenje nekog

problema smatralo optimalnim, mora se naglasiti šta se smatra kriterijem optimalnosti

odnosno koje uslove to riješenje mora da ispuni da bi bilo optimalno.

Metode linearnog programiranja :

a) Simpleks metoda

b) Transportna metoda

c) Metoda raspoređivanja5

3.1. Simpleks metoda

Simpleks metodom mogu se riješavati svi modeli linearnog programiranja. Ovom

metodom mogu se riješavati i transportni problem i problem raspoređivanja koji

problemi se inače riješavaju posebnim metodama.

Na osnovu iznesenog, može se reći da simpleks metoda ima karakter opštosti, to jest, da

je u poređenju sa ostalim metodama linearnog programiranja univerzalna metoda.

5 Ibidem, str.11

10

Postoji veći broj algoritama simpleks metode, kao što su : grafička metoda, simpleks

tabela, Dantzigov algoritam, revidirana simpleks metoda, metoda elementarnih matrica i

metoda submatrica.

Navedene metode se razlikuju u postupku koje se služe za iznalaženje optimalnog

riješenja problema, ali se primjenom bilo koje metode dobija isto optimalno riješenje.6

3.2. Grafičko riješavanje modela linearnog programiranja

Ova metoda se može koristiti samo ako problem nema više od dvije nepoznate. Izuzetno,

u relativno prostim problemima grafičkom metodom se mogu riješavati i problemi koji

sadrže tri nepoznate.

Svaki problem se mora naprije postaviti u vidu modela pogodnog za korištenje neke

metode, u ovom slučaju simpleks metode.

Model čine jedan sistem različitog broja linearnih jednačina i nejednačina. Sve jednačine

i nejednačine moraju imati zajedničke elemente, jer djeluju kao jedna cjelina, jedan

problem.

Postojanje kontradikcije između nejednačina koji čine jedan stvarni problem je dovoljan

signal da postoji neka greška u modelu, odnosno u kvantitativnom izražavanju

odgovarajućih faktora.

Svaka nejednačina predstavlja jedan kvantitativno izražen ograničavajući faktor, koji

ima određeno dejstvo na problem kao cjelinu. Skup svih ograničavajućih faktora

definiše problem. Riješavanje problema mora da ispunjava uslove koje postavlja,

posebno svaki ograničavajući faktor i svi oni zajedno kao cjelovit problem. To će biti

samo ono riješenje koje odgovara koordinatama tačke sa zajedničkog područja. U tome

leži i opravdanje što se, kod grafičkog riješavanja problema sa dvije nepoznate,

prethodno utvrđuje područje zajedničko za sve nejednačine sistema. 7

6 Ibidem, str. 127 Ibidem, str. 13

11

Po svom obliku, zajedničko područje jednog sistema nejednačina može biti ograničeno i

neograničeno.

Neograničeno zajedničko područje, obično je sa jedne strane otvoreno. Na primjer,

sistem nejednačina.

- X + Y ≤ 0 ( P1 )

- X + 2Y ≥ 0 ( P2 )

X, Y ≥ 0

Obrazuje zajedničko područje, ali neograničeno po obliku. Ukoliko grafički prikažemo

navedeni sistem nejednačina uočavamo da je površina omeđena sa pravim P1 i P2

riješenje datog sistema ( slika 1. ).

Slika 1.

Izvor : Landika M.“Kvantitativne metode u menadžmentu”, Visoka škola za ekonomiju i informatiku

Prijedor, Prijedor, 2007

Prema navedenom može se zaključiti da skup ograničavajućih faktora, odnosno jedan

sistem jednačina ili nejednačina može da :

12

a) Obrazuje zajedničko područje ili

b) Neobrazuje zajedničko područje.

Ukoliko obrazuje zajedničko područje, onda ono po svome odliku može biti ograničeno

( zatvoreno ) ili neograničeno ( otvoreno ).

Uvođenje novih nejednačina u postojeći sistem nejednačina može da ima za posljedicu

promjenu ranije obrazovanog područja, a može da bude bez ikakvog uticaja na već

formirano područje. 8

Zajedničko područje uvijek formira jedan skup tačaka koje istovremeno zadovoljavaju

cijeli sistem nejednačina. Osim nejednačina u modelima se često pojavljuju i jednačine.

Zajedničko područje i tada postojati i imati pomenute oblike. Međutim, ono će

obuhvatiti samo tačke na jednom dijelu prave ( duž ), čija se jednačina pojavljuje u

sistemu nejednačina. Dakle, to će biti sve tačke koje leže na pravoj, a istovremeno

zadovoljavaju sve ostale nejednačine u sistemu.

Ukoliko u navedeni sistem dodamo jednačinu :

2X – 5Y = 50 ( P3 )

Skup mogućih riješenja se mijenja i postaje duž CD , kao što je prikazano na slici 2.

8 www.wikipedia.org

13

Slika : 2.

Izvor : Landika M.“Kvantitativne metode u menadžmentu”, Visoka škola za ekonomiju i informatiku

Prijedor, Prijedor, 2007

Da bi se pronašlo optimalno riješenje problema grafičkom metodom linearnog

programiranja, neophodno je problem, prevesti u model podesan za riješavanje

grafičkom metodom, odnosno odrediti :

- Kriteriji optimalnosti

- Ograničavajuče faktore, koji se mogu odnositi na :

a) Kapacitet oruđja za rad

b) Raspoloživi broj i strukture radne snage

c) Raspoloživa količina sirovine i reprodukcionog materijala

d) Mogućnost prodaje proizvodenih količina i slično

Svaki ograničavajući faktor se iskazuje ( ne ) jednačinom na čijoj lijevoj strani se nalazi

koeficijent iskorištenosti pojedinog resursa ( koeficijenti uz promjenljive ) a na desnoj

strani limit, odnosno raspoloživost datog resursa ( slobodni član ). Funkcija kriterija je

linearna funkcija čija ekstremna vrijednost se traži ( minimun ili maksimum ). U opštem

obliku model linearnog programiranja može se zapisati :

a) Funkcija cilja :

( max ) ; Z = ¿c1 x1+c2 x2+…+cn xn

b) Sistem ograničavajućih faktora :

a11 x1+a12 x2+…+a1 n xn≤ a01

a21 x1+a22 x2+…+a2 n xn ≤a02

...............................................................................................................

am1 x1+am2 x2+…+amn xn≤ a0 m

x j ≥ 0∀ j , j=1 , n

14

Postojeće optimalno riješenje se mijenja i postaje novo, takođe optimalno riješenje, ili

kao posljedica promjene ograničavajućih faktora ili kriterija optimalnosti. Jedno

optimalno riješenje važi samo za pretpostavljene uslove. Bilo kakva promjena ovih

uslova može izazvati prelaz postojećeg u novo optimalno riješenje.

3.3. Promjena funkcije cilja

Promjena funkcije cilja može biti izazvana promjenom samog kriterija optimalnosti i

promjenom koeficijenata uz promjenljive u funkciji kriterija. Kriterij optimalnosti može

se odnositi na : maksimiziranje dohotka, dobitka, stepena korištenja kapaciteta i slično,

ili na minimiziranje troškova, radnog vremena i slično.

Dakle, u zavisnosti od problema, optimalno riješenje može zahtijevati da funkcija

kriterija uzme svoju maksimalnu ili minimalnu vrijednost. Tu svoju vrijednost ona će

postići ili u jednoj ektremnoj tački ili u dvije ektremne tačke i svakoj njihovoj

konveksnoj kombinaciji, odnosno beskonačno mnogo riješenja. Ovaj beskonačno veliki

broj optimalnih riješenja može da postane konačan dodavanjem dopunskih uslova, kao

što je zahtijev da promjenljive u optimalnom riješenju moraju biti cijeli brojevi.

4. ZAKLJUČAK

Tema seminarskog rada okvirno je obuhvaćala temu linearnog programiranja iz oblasti

kvantitativnih aspekata ekonomije i biznisa.

Linearno programiranje promatra probleme u kojima se linearna funkcija cilja mora

optimizirati (maksimizirati ili minimizirati) uz uvjete ili ograničenja. Sami uvjeti ili

ograničenja su dani u obliku jednačina ili/i nejednačina i uz nenegativne varijable

15

odlučivanja. To predstavlja jedan formalni postupak optimizacije sustava kod kojih se

funkcija cilja i ograničenja mogu izraziti linearnim kombinacijama promjenljivih

veličina. Kod cjelobrojnog su programiranja varijable odlučivanja cjelobrojne.

Ovime je dokazana hipoteza koja glasi : ''Riješavanje problema putem linearnog

programiranja je kompleksno i komplikovano i zahtijeva rad većeg broja stručnjaka, ali

je samim tim siguran dolazak do optimalnog rješenja''

LITERATURA

- Mirjana Landika : “Kvantitativne metode u menadžmentu”, Visoka škola za

ekonomiju i informatiku Prijedor, Prijedor, 2007.

16